BIENVENIDOS AL MARAVILLOSO MUNDO DE LA FSICADentro de ste cuadernillo encontrars todos los contenidos de Fsica, que se desarrollarn a lo largo del presente ao. Es importante tener en cuenta que a) se debe leer, analizar y comprender la teora desarrollada b) es necesario resolver todos los problemas planteados c) ante cualquier duda preguntar al profesor. Durante el desarrollo de la clase hay que prestar atencin, preguntar cuando no se entiende o comprende una explicacin, y expresar las dudas sobre los trabajos dados de tarea. La mayor parte del aprendizaje se producir cuando resuelvas los problemas, el copiar la resolucin de un problema del pizarrn o de un compaero no genera un verdadero aprendizaje. Por lo tanto es necesario que le dediques el tiempo necesario para analizar la teora y resolver los problemas dados de tarea.

CONTENIDOS DE FSICA DE 2 AO DE CIENCIAS NATURALES CINEMTICA Movimiento. Sistemas de referencias. Desplazamiento y posicin de un cuerpo. Velocidad. Movimiento rectilneo uniforme. Grficos de x(t) y v(t). Encuentro de mviles que se desplazan con M.R.U. Movimiento rectilneo uniformemente variado. Grficos de x(t), v(t) y a(t). Encuentro de mviles. Mviles que cambian su movimiento, resolucin de problemas en forma grfica y analtica. Cada libre y tiro vertical. Grficos de h(t), v(t) y g(t) en la cada libre y el tiro vertical. Problemas de encuentro con cada libre y tiro vertical. Movimientos combinados, resolucin de problemas en forma grfica y analtica. Movimiento parablico. Movimiento circular uniforme. DINMICA Dinmica. Leyes de la dinmica. Diferencias entre el peso y la masa de un cuerpo. Relacin entre el peso y la masa de un cuerpo. Fuerza de rozamiento. Sistema de unidades. Resolucin de problemas de dinmica. Resolucin de problemas integrando contenidos de cinemtica y dinmica. Trabajo macnico. Potencia. Energa mecnica. Energa Potencial. Energa Cintica. BIBLIOGRAFA EMPLEADA Cuadernillo del C.B.C. de la Universidad de Buenos Aires. Seminario Universitario 2002 y 2003 de Fsica de la Universidad Tecnolgica Nacional. Cuadernillo de Fsica de la Universidad Nacional de La Matanza. Fsica (Mecnica, Fluidos y Calor) de Alberto Heinemann. Editorial Estrada. Fsica 1 de Castiglioni, Perazzo y Rela. Editorial Troquel Fsica de Editorial Puerto de Palos. Exmenes del curso de ingreso a la U.B.A. Exmenes del curso de ingreso a la U.T.N.

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EXPECTATIVAS DE LOGRO Que el alumno logre: a) Analizar la informacin dada en situaciones problemticas b) Resolver situaciones problemticas relacionadas con los contenidos dados, generando estrategias y secuencias lgicas, justificando cada paso con modelos fsico-matemticos correctos. c) Analizar y realizar grficos de x(t) , v(t) , a(t) y diagramas del cuerpo libre. d) Emplear adecuadamente las frmulas definidas en clase y unidades correspondientes a las diferentes variables que se utilizarn. e) Desarrollar el hbito de prestar atencin y realizar las actividades planteadas para ser trabajadas en clase o en el hogar. f) Presentar las actividades y/o trabajos prcticos en el tiempo y la forma acordados. g) Emplear un lenguaje tcnico, propio de la asignatura, en forma coherente, fluida y ordenada.

CRITERIOS DE EVALUACIN Durante el desarrollo de las clases se tendr en cuenta que el alumno: Adquiera disciplina y constancia en el estudio y prctica de ejercicios. Presente los trabajos en la forma y en el tiempo establecidos. Muestre responsabilidad en todos los aspectos del trabajo diario. Preste atencin y realice las actividades propuestas. En las evaluaciones orales y/o escritas se tendr en cuenta: La aplicacin correcta de los conocimientos trabajados en clase, en la resolucin de problemas. El empleo correcto de la informacin en la resolucin de problemas. La construccin y anlisis de grficos de x(t), v(t) y a(t). La utilizacin adecuada de las unidades y pasajes de unidades. El anlisis de los resultados obtenidos y la aplicacin correcta de los mismos en diferentes etapas de un problema. La responsabilidad en la presentacin en tiempo y forma de los trabajos asignados. El empleo de un lenguaje tcnico en forma coherente, fluida y ordenada. Prof. Marcelo Gauna Notificado (firma del padre, madre o tutor): Espero que puedas adaptarte al modelo de trabajo del presente ao. No te quedes con dudas, pregunta en clase, hace los trabajos planteados, tanto para el horario de clase como los dados de tarea. Es fundamental que en tu casa repases la teora y realices la tarea. Para cuando tengas un momento de tranquilidad, te regalo la siguiente frase

Ponerse en movimiento es importante, pero lo ms importante es mantener el entusiasmo inicial, persistir y no rendirse a pesar de las dificultades.

2

Porque vamos a tener tropiezos, pero la clave no est en no caerse, sino en saber levantarse y continuar.

CINEMTICAEs la parte de la Fsica donde se estudia el movimiento de los cuerpos, independientemente de las causas que provocan dicho movimiento. Es decir, se analizan las caractersticas de los movimientos, a lo largo de su recorrido, pero no se plantean las causas que generan dicho movimiento. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME (M.R.U.) En el movimiento rectilneo uniforme los cuerpos se mueven en lnea recta y siempre con la misma velocidad, es decir mantiene la velocidad sin modificarla. Ahora bien, cul ser la funcin matemtica que, a partir de las caractersticas del M.R.U., describa el desplazamiento de los cuerpos en funcin del tiempo? Deduciendo que la velocidad media es el cambio de posicin en un intervalo de tiempo, tenemos la siguiente expresin: x Vm = t y debido a que la velocidad se mantiene constante durante todo el perodo de tiempo, podemos decir que la velocidad media es igual a la velocidad, V m = V . Al relacionar las dos expresiones obtenemos que: x V = t Esta expresin nos permite calcular el desplazamiento x que cada cuerpo realiza en cada intervalo t de tiempo. Al llevar las condiciones del M.R.U. a un grfico que relacione la velocidad con el tiempo (a ste grfico lo llamaremos velocidad en funcin del tiempo), observamos:m V s

v

t(s) Teniendo en cuenta el grfico de v(t) podemos deducir que el producto v t corresponde al rea bajo la lnea dentro del intervalo de tiempo. Es un rea muy especial que no se mide en m 2 o en cm 2 , sino que al multiplicar las unidades de la velocidad con las unidades de tiempo obtenemos: m s = m es decir, ste rea tiene unidades de longitud y representa el desplazamiento que s realiza el mvil, en un determinado tiempo. La ecuacin horaria del M.R.U. se puede obtener a partir de la frmula de velocidad:

t0

t

f

3

v=

x t

v t = x v t f t 0 = x f x0 v t f t 0 + x0 = x f

( (

) )

x f = v t f t 0 + x0

(

)

xf t

v es la velocidad del mvil es la posicin final del mvilf

x0 es la posicin inicial del mvil, es el punto de partida del mvil

es el instante en el que llega a la posicin final

t0 es el instante en el que comienza a moverse.

Si representamos grficamente la ecuacin horaria en un grfico de espacio en funcin del tiempo, podemos observar que se obtiene una lnea recta: xm)xf

x = x f x 0

x0

t0t = t f t 0

t

f

t(s)

Si analizamos la ecuacin horaria podemos llegar a la ecuacin de una recta. Para facilitar los clculos, suponemos que el mvil comienza su movimiento en t 0 = 0 s , si reemplazamos ste valor en la ecuacin horaria tenemos:x f = v t f 0 s + x0 x f = v t f + x0 y = m x +b

(

)

esta expresin coincide con la ecuacin de una recta

4

Se tendr en cuenta en la resolucin de problemas que todo mvil que avanza o se desplaza hacia la derecha o hacia arriba tiene velocidad positiva. Por lo tanto establecemos nuestro sistema de referencia para la velocidad y la posicin de los mviles como el empleado en matemtica, con los ejes de coordenadas cartesianas, habitualmente llamados eje X y eje Y. Recordando que la pendiente de una recta es constante, podemos deducir que la velocidad es el valor de la pendiente de la ecuacin horaria. De ste anlisis podemos deducir que para iguales intervalos de tiempo el cuerpo se desplaza en longitudes iguales. Anlisis de grficos de x(t) y v(t) a) Si el mvil avanza (es decir si se desplaza a favor del sentido positivo del eje de referencia), se considera que la velocidad es positiva, por lo tanto los grficos de x(t) y v(t) sonm v s xf

x(m)

v

x0 t0tf

t(s)

t0

t

f

t(s)

El grfico de x(t) representa a un mvil que AVANZA, manteniendo constante su velocidad, por tal motivo la pendiente de la recta debe ser POSITIVA (recordemos que la pendiente corresponde a la velocidad).

b) Si el mvil retrocede (es decir si se desplaza en sentido contrario al sistema positivo del eje de referencia), se considera que la velocidad es negativa, por lo tanto los grficos de x(t) y v(t) son

t0

t

f

t(s)

x(m)

x0-vxf

m v s

t0

t

f

t(s)

El grfico de x(t) representa a un mvil que RETROCEDE, manteniendo constante su velocidad, por tal motivo la pendiente de sta recta debe ser NEGATIVA (recordemos que la pendiente corresponde a la velocidad). Cuando el mvil retrocede x , tambin ES NEGATIVO.

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VELOCIDAD INSTANTNEA Es la velocidad de un mvil en un cierto instante, o en determinado punto de su trayecto. La velocidad instantnea en un punto P de un trayecto puede definirse como el valor del lmite de la velocidad media cuando nos acercamos al punto P, Su expresin matemtica es:

V i = lim t 0

x t

Cuando la velocidad instantnea de un mvil es constante y, por lo tanto, igual a su velocidad media, se dice que el movimiento es rectilneo uniforme.

UNIDADES

[V ] = m , km , cms h

mm ,... min das ,

Pasaje de unidades: 1 km = 1000 m 1h = 3600 s PROBLEMAS DEL M.R.U. 1) Un vehculo recorre la distancia de 606 km en lnea recta, cuando parte de Bs. As. A Ro m m Cuarto, empleando un tiempo de 7 horas. Obtener su velocidad y expresarla en y . s m in . m m R : 24 ,05 = 1442 ,86 s min 2) Un mvil que parte 20 m detrs del punto de referencia con una velocidad constante de km 55 , avanza durante 9 segundos. Calcular la posicin final y la distancia recorrida. h R.: x f = 117 ,5 m ; x = 137 ,5 m

km . Calcular el tiempo empleado. h R : t = 10 seg km 4) Un camin se desplaza en lnea recta con una velocidad constante de 97 , llegando a 230 h metros al cabo de 6 segundos. Obtener el punto de partida y la distancia recorrida. R.: x 0 = 68 ,36 m ; x = 161 ,67 m3) Un atleta recorre 100 metros con una velocidad de 36 5) Si la luz que emite el Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos con 20 segundos. Calcular la km distancia que recorre, sabiendo que la velocidad de la luz es de 300.000 . s

6

.

6) Qu tiempo emplea un vehculo para recorrer el trayecto en lnea recta de 306 km que une m Rosario con Bs.As., si emplea una velocidad de 19,44 ? sR : t = 4 h22 min 21 seg

R : x = 150 .000 .000 km

7) Un vehculo que parte 50 metros detrs del punto de referencia llega hasta un punto situado a 130 por delante del punto de referencia, sabiendo que su movimiento comienza un segundo despus de comenzado a controlar el tiempo y que llega cuando el cronmetro indica 7 segundos, hallar la velocidad del mvil y la distancia recorrida. Graficar x(t) y v(t) m ; x = 180 m R.: v = 30 s 8) Un mvil se encuentra 135 m detrs del punto de referencia y avanza con una velocidad km constante de 48 . Sabiendo que se comenz a mover al los 4 segundos de comenzar a h cronometrar el tiempo y recorre una distancia de 120 m, calcular la posicin final, el tiempo, desde el instante que comienza a funcionar el cronmetro hasta llegar a dicha posicin y la velocidad con la que llega. Graficar x(t) y v(t). m R.: x f = 15 m ; t f = 13 s ; v = 13 ,33 s 9) Un ciclista se desplaza en lnea recta, controlamos el movimiento, 2 segundos despus de comenzado a mediar el tiempo, alcanzando un punto ubicado 80 m por delante del punto de referencia cuando el cronmetro indica los 5 segundos. Sabiendo que se desplazaba con una km velocidad constante de 19 calcular el punto de partida, la posicin cuando el cronmetro h marca los 3 s y el tiempo empleado en recorrer 20 m. R.: x 0 = 64 ,17 m ; x f = 69 ,44 m ; t = 3 ,78 s 10) Un mvil que parte 200 metros delante del punto de referencia 4 segundos despus de comenzar a controlar el tiempo, retrocede con una velocidad constante, recorriendo 155 m en 5 segundos, sin tomar el tiempo que estuvo detenido. Obtener la velocidad, la posicin final, el tiempo empleado en llegar a los 150 metros y la distancia recorrida luego de 2 segundos de marcha. Graficar v(t) y x(t) m ; x f = 45 m ; t = 1 ,61 s ; x = 62 m R.: v = 31 s m 11) Un mvil retrocede con una velocidad constante de -10 desde un punto situado a 60 m m in por detrs del punto de referencia. Sabiendo que comienza su marcha 5 segundos despus de comenzar a controlar el tiempo y que recorre una distancia de 263 m , calcular la posicin final del mvil, el tiempo empleado en llegar a dicho punto desde el instante que comenz a funcionar el cronmetro. Graficar x(t) y v(t) R.: x f = 323 m ; t f = 1583 s

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km . Si se distrae h un segundo para observar por el espejo retrovisor, hallar la distancia recorrida en dicho perodo de tiempo. R.: x = 25 m km 13) Cunto tiempo tarda un tren de 200 m de largo, que marcha a una velocidad de 54 en h pasar por un tnel de 1600 m de largo. R.: t = 2 min km km 14) Un mvil recorre la tercera parte de su recorrido a 108 y el resto a 72 . Calcular h h la velocidad media del vehculo. km R.: v m = 81 h12) Un conductor se desplaza en un automvil con velocidad constante de 90 15) Un ciclista que viaja en una trayectoria rectilnea, recorre la mitad de su camino a 30 y la otra mitad a 20

km , h

km . Despreciando el tiempo empleado en variar la velocidad, calcular el h

valor de la velocidad media, teniendo en cuenta que v m

v1 + v2 2

R.: v m = 24

16) Responda verdadero o falso y justifique la respuesta: a) el velocmetro indica la velocidad media b) se recorren 300 km en tres horas, entonces durante el viaje hay necesariamente al menos un km instante en que el velocmetro marca 100 h m km c) 1 es ms que 1 s h 17) Un mvil que parte 2 segundos despus de comenzado a cronometrar su tiempo desde un punto situado 200 m delante del punto de referencia retrocede con una velocidad constante hasta llegar a otro punto situado en -35 m cuando el cronmetro marca 7 s. Graficar x(t) y v(t) e indicar en que instante el mvil pasa por el punto de referencia. R.: t = 6,26 s 18) Dado los siguientes grficos representar x(t) , sabiendo que el espacio recorrido se expresa en metros, el tiempo empleado en segundos y que el mvil parte 50 m detrs del punto de referencia: m V a) b) s 0 9 t(s) 20

km h

8

-12 0 7 t(s)m V s

c) km V h

d) 0 2 5 t(min)

83

-23 0 2 14 t(s)m V s

e) m V min

f) 0 2 9 t(min)

100

-60 0 4 18 t(s) km V h

i) Calcular la posicin de cada mvil a los 5 segundos de comenzado a controlar el tiempo. ii) Obtener el tiempo empleado en recorrer 75 metros. iii) En el caso de pasar por el punto de referencia, indicar en qu instante pasa cada mvil. R.: i) a) x f = 50 m b) x f = 110 m c) x f = 19 ,18 m d) No se puede calcular porque no hay informacin del mvil a los 5 s de comenzado a controlar el tiempo, e) x f = 48 ,33 m f) No se puede calcular. ii) a) t = 3,75s b) t = 6,25s c) t = 3,25s d) t = 3,26s e) t = 44,91s f) t = 124,5s. iii) a) t = 2,5s b) No pasa porque el mvil retrocede c) t = 4,17s d) No pasa e) t = 33,94s f) No pasa porque el mvil retrocede.

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m hasta s llegar a una posicin de -309 m. Calcular el tiempo empleado si comenz el movimiento 3 s despus de comenzado a medir el tiempo. Graficar x(t) R.: t = 9,05 s19) Un mvil que parte desde -110 m retrocede con una velocidad constante de 22

20) A partir de los siguientes grficos representar los grficos de v(t) : a) 60 x(m) b) 96 x(m)

c)

0 0

8

t(s) 5 t(min)

d)

0 0

7 4

t(s) t(min)

-100

-80 -x(km) -x(km) f) 120

e)

0 -50

8

t(s)

x(cm)

-180

40 -x(km) h) 6 0 5 21 t(s)

g) 200

x(m)

x(km)

10

80 0

2,7

7

22

t(min)

0

1

6

t(h)

R.: a)

v =0

m s

b)

v = 13 ,71

m s

c)

v =0

m s

d)

v = 333 ,33

m s

e)

v = 16 ,25

m s

f)

v = 0 ,05

m m g) v = 8 s min

h) v = 0 ,18

m s

km , desde los 6 s hasta h los 11 s. Teniendo en cuenta que parte 45 metros detrs del punto de referencia indicar en que instante pasa por el punto de referencia y hasta que posicin llega. R.: x f = 89 ,7 m ; x = 134 ,7 m21) Un mvil se desplaza en lnea recta con velocidad constante de 97

22) Los siguientes grficos corresponden a distintos mviles, que realizan movimientos rectilneos. Expresar las ecuaciones horarias para cada uno de ellos e indicar en qu instante pasarn por la posicin tomada como origen de coordenadas (punto de referencia) a) 24 b) 20 12 6 0 6 t(s) 0 4 t(s) x(m)

x(m)

c) 16

x(m)

d) 8

x(m)

0 -8

6

t(s)

0 -4

4

10

t(s)

-x(m)

-x(m)

11

R.: a) x f = 3 c) x f

m m t f + 6 m b) x f = 2 t f + 20 m pasa por el punto de referencia a los t = 10 s s s m m = 4 t f 8 m y t = 2 s d) x f = 2 t f 4 s + 8 m y t = 8 s n s

(

)

23) Dos participantes de una carrera de regularidad trazaron cada uno el grfico de posicin en funcin del tiempo de su vehculo, desde sus propios sistemas de referencias para un tramo recto de su recorrido. a) b) x(km)

x(km) 3

2

1 0 5 t(min) 0 1 5 t(min)

a) Escribir las ecuaciones horarias de cada vehculo, desde el sistema elegido por cada participante. b) Se puede decir cul de ellos se movi a mayor velocidad? c) Hallar la posicin de cada vehculo a los 15 minutos. R.: a) x f = 6 ,67

m t f 60 s y se encuentra a 6997,2 m del punto de referencia a los 15 min. Se s mueve ms rpido el que tiene mayor pendiente (mayor velocidad), es decir el mvil del grfico b. x f = 8 ,33

(

m t f + 1000 m y se encuentra a 7 km del punto de referencia a los 15 min b) s

)

24) Ignacio, cronmetro en mano y ubicado en un tramo rectilneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 m de l hay un rbol, y ms lejos un cartel. En cierto instante ve que un mvil se le acerca por la izquierda, y dispara el cronmetro cuando lo tiene a 100 m; el auto pasa frente a l 5 segundos despus. Utilizando como origen la posicin de Ignacio, y los tiempos que indica el cronmetro: a) obtener la velocidad del auto b) expresar la ecuacin horaria c) calcular el instante en que el auto pasa frente al rbol d) si cuando el cronmetro indica 10 segundos el auto pasa frente al cartel, cuntos metros hay entre ste y el rbol

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e) graficar x(t) y v(t) e indicar en dichos grficos todos los puntos de referencia mencionados R.: a) v = 20

m s

b) x f = 20

m t f + 100 m s

c) t = 7s d) x = 60 m

25) Dados los siguientes grficos determinar, cul es el que representa un movimiento ms veloz y por qu? Y expresar la ecuacin horaria para cada uno de ellos. a) x(m) b) x(m) A A 20

15

5

B

0 20 t(s)

x(m)

2

B

t(s)

0

5

0

4

t(s)

c) 4

x(m)

A

x(m)

2

1

B

0

10

t(s)

0

4

t(s)

R.: a) El mvil A es el ms rpido, porque su ecuacin horaria tiene mayor pendiente. Mvil A m m x f = 2 t f + 5 m y el mvil B x f = 1 t f s s m m b) El mvil A es el ms rpido. Mvil A x f = 10 t f y el mvil B x f = 5 t f s s m m c) El mvil B es el ms rpido. Mvil A x f = 0 ,2 t f + 2 m y el mvil B x f = 0 ,25 . s s

km desde los 50 m delante del punto h de referencia, 4 segundos despus de comenzado a controlar el tiempo. Calcular el instante que pasa por el punto de referencia y graficar x(t) y v(t). R.: t = 5,88 s26) Un mvil retrocede con una velocidad constante de 96

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27) Un tren avanza en lnea recta con una velocidad constante y emplea en pasar por un tnel de 42 m de largo 3,3 s, calcular la velocidad del tren. Si mantiene dicha velocidad y emplea 9,7 s en entrar todo el tren en otro tnel, hallar la longitud del tren. m ; longitud = 123 ,45 m R.: v = 12 ,73 s

28) Para cada uno de los siguientes grficos indicar si los valores indicados son mayores, menores o igual a cero para x 0 , t 0 y V a) b) c)

x

x

x

t

t

t

d)

x

e)

x

f)

x

t

t

t

g)

x

h)

x

i)

x t

t

-t

t

-x

-x

R. :a) x 0 = 0 ; t 0 = 0 ; v > 0 b) x 0 > 0 ; t 0 = 0 ; v < 0 c) x 0 > 0 ; t 0 > 0 ; v > 0 d) x 0 > 0 ; t 0 > 0 ; v < 0 e) x 0 = 0 ; t 0 > 0 ; v > 0 f) x 0 > 0 ; t 0 = 0 ; v = 0 g) x 0 = 0 ; t 0 < 0 ; v > 0 h) x 0 < 0 ; t 0 = 0 ; v > 0 i)

x0 > 0 ; t 0 = 0 ; v < 0

29) Tres segundos de comenzado a controlar el tiempo pasa un automvil delante de una estacin km de servicio, desplazndose en lnea recta con una velocidad constante de 89 . Calcular el h

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tiempo que emplea en recorrer una distancia de 147 m e indicar el tiempo que marca el cronmetro. Indicar a que distancia de la estacin de servicio se encuentra al finalizar el movimiento y graficar x(t). R.: t = 8,95 s , x f = 72 ,84 m km m 30) La velocidad del sonido es de 330 y la velocidad de la luz es de 300.000 . Si se s s produce un relmpago a 50 km de un observador. Qu percibe primero dicho observador, la luz o el sonido?. Con qu diferencia de tiempo los registra? R.: 2 min y 31,5 s

31) Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un polica. Cunto tarda el polica en orlo?R : t = 6 ,18 s

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) En el movimiento rectilneo uniformemente variado los cuerpos se mueven en lnea recta y modifican su velocidad, pero en forma gradual, ya sea aumentndola o disminuyndola. En ste movimiento aceleracin permanece constante. La aceleracin surge porque la velocidad cambia. Siempre que la velocidad se modifique aparecer una aceleracin. Sabiendo que la aceleracin que adquiere un mvil es la variacin de la velocidad con relacin al tiempo empleado en cambiar dicha velocidad, matemticamente se puede escribir que:

a=

v t

a=

v f v0 t f t0

Si representamos grficamente la v(t) podremos analizar la ecuacin de la aceleracinm v s vf

v0 t0tf

t(s)

15

A partir de la representacin grfica podemos deducir que la pendiente de la recta es la aceleracin y por lo tanto se puede asegurar que para iguales intervalos de tiempo la velocidad cambia en cantidades iguales. La representacin grfica de la aceleracin en el M.R.U.V. siempre es un segmento paralelo al eje del tiempo, debido a que permanece constante (sin modificarse) durante todo el trayecto.

m a 2 sa

t0

t

f

t(s)

- a

m a 2 s t0tf

t(s) El signo de la aceleracin depende de la inclinacin de la recta que se obtiene al relacionar la v(t). ste signo no nos aclara si el mvil avanza o retrocede, y no nos alcanza para saber si el mvil aumenta o disminuye su velocidad. Utilizando las propiedades de pendiente de una recta podemos deducir que: a) si un mvil avanza aumentando su velocidad o retrocede disminuyendo la velocidad, la aceleracin es POSITIVA, porque la recta que se obtiene al representar grficamente v(t) es CRECIENTE. km v h vf

cm v s vf

t0 v0 v0 t0+V , +a ytf

ttf

t(s)

t(s)

cm v s

Desde t 0 hasta t: -V , x y +a. Desde t hasta t f : +V , +x y +a. b) si un mvil avanza disminuyendo su velocidad o retrocede aumentando su velocidad, la aceleracin es NEGATIVA, porque la recta que se obtiene al representar grficamente v(t) es DECRECIENTE. m v s km v v0 Desde t 0 hasta t: h

+x

v0t

+V ,

+x y -a

16

v

f

t0vf

t

f

t(s) : -V, x y

t0-a

t

f

t(s)

m v s

Desde t hasta t

f

+V , +x y -a En la resolucin de problemas se debe tener en cuenta los signos de la velocidad, de la aceleracin, desplazamiento del mvil y de su posicin. Si un mvil se encuentra delante del punto de referencia su posicin es POSITIVA, pero si se encuentra detrs del punto de referencia, su posicin es NEGATIVA. Se considerar que todo mvil que avanza, es decir, se desplaza hacia la derecha del sistema de referencia, tiene velocidad POSITIVA. Y todo mvil que retroceda, es decir, se desplaza hacia la izquierda del sistema de referencia, tiene velocidad NEGATIVA La aceleracin es POSITIVA cuando el mvil avanza aumentando la velocidad o cuando retrocede desminuyendo la velocidad. La aceleracin es NEGATIVA cuando el mvil avanza disminuyendo la velocidad o cuando retrocede aumentando la velocidad. (Recordemos que los signos de la aceleracin surgen de la pendiente de la recta cuando se grafica la v(t), no nos indica si el mvil avanza o retrocede ). Cuando un mvil avanza su x (distancia recorrida) ES POSITIVO y cuando retrocede su x ES NEGATIVO. Cuando un mvil avanza la grfica de la posicin en funcin del tiempo puede tener las siguientes caractersticas: a) avanza aumentando la velocidad b) avanza disminuyendo la velocidad x(m) x(m)xf xf

x0t(s) Su velocidad, aceleracin y desplazamiento son positivos

x0 t0tf

t(s) Su velocidad y desplazamiento son positivos y su aceleracin negativa

t0

t

f

c) retrocede aumentando la velocidad

d) retrocede disminuyendo la velocidad

t0x0

t

f

t(s)x0

t0

t

f

t(s)

xf

xf

-x(m)

-x(km)

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Su velocidad, aceleracin y desplazamiento son negativos

Su velocidad y desplazamiento son negativos y su aceleracin positiva

RESUMEN DE GRFICOS DEL M.R.U.V. a) El mvil avanza por lo tanto la v > 0 v x y x > 0

t t EL MVIL AVANZA AUMENTANDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a>0

v

x

t t EL MVIL AVANZA DISMINUYENDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a0

t

t

18

v

x EL MVIL RETROCEDE AUMENTANDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a v0

Si analizamos las caractersticas de los cuerpos que caen libremente veremos que tiene las mismas caractersticas del M.R.U.V. . Los cuerpos se desplazan en lnea recta y aumentan su velocidad en forma proporcional, por lo tanto mantienen una aceleracin constante durante todo el trayecto. La nica diferencia se establece en la cada libre donde todos los cuerpos tienen la misma aceleracin ( g ) .

CARACTERSTICAS DEL TIRO VERTICAL Para facilitar el anlisis del movimiento de los cuerpos en el tiro vertical consideraremos dos etapas, una etapa es cuando el cuerpo sube y la otra es cuando el cuerpo baja.

49

Etapa de ida .

vf =0

m s

Etapa de vuelta m v0 = 0 s

g = 9 ,8

m s2

hmax

g = 9 ,8

m s2

hmax

v0 > 0

m s

v

f

> v0

Etapa de ida: a) para que un cuerpo suba es necesario que tenga una velocidad mayor a cero, un cuerpo no sube si su velocidad es igual a cero. b) cuando un cuerpo sube su velocidad tiene signo POSITIVO. c) a medida que sube su velocidad va disminuyendo, por tal motivo la aceleracin de la gravedad es negativa. d) cuando se detiene alcanza una velocidad igual a cero, en ste punto, llega a su altura mxima; por lo tanto podemos decir que en la altura mxima la velocidad es igual a cero. e) el desplazamiento es POSITIVO. En la etapa de vuelta su cumplen las mismas caractersticas que poseen los cuerpos en la cada libre: a) la velocidad de partida es igual a cero. b) cuando el cuerpo baja la velocidad tiene signo NEGATIVO. c) a medida que baja, su velocidad va aumentando, pero como tiene signo negativo, la aceleracin de la gravedad es NEGATIVA. d) el desplazamiento es NEGATIVO. Si relacionamos la etapa de ida con la etapa de vuelta podemos establecer que: a) el tiempo que tarda en subir es el mismo tiempo que tarda en volver al mismo lugar del punto de partida. b) la velocidad de partida en la etapa de ida es igual a la velocidad de llegada en la etapa de vuelta, siempre que llegue al mismo lugar del punto de partida. c) cuando el cuerpo deja de subir, alcanza su altura mxima, es decir, cuando la velocidad de ida es igual a cero, el cuerpo alcanza su mxima altura.

FRMULAS DE LA CADA LIBRE Y EL TIRO VERTICAL

50

Recordando que la cada libre y el tiro vertical cumplen con las condiciones del M.R.U.V. sus frmulas deben ser similares. Si las comparamos obtenemos:

a=

v f v0 tf

M.R.U.V.g= v vf f 0

Cada libre y tiro verticalt t

t

0

0

2 1 x f = v0 t f t 0 + a t f t 0 + x0 2 2 f 2 0

2 1 h f = v 0 t f t 0 + g t f t 0 + h0 2 2 2

v

=v

+ 2 a x

v f = v0 + 2 g h

(Recordemos

negativo)

que la aceleracin de la gravedad siempre tiene un valor

SIGNOS DE CADA LIBRE Y TIRO VERTICAL PARA TENER EN CUENTA

a) Cuando un cuerpo SUBE su velocidad es POSITIVA. b) Cuando un cuerpo BAJA su velocidad es NEGATIVA c) Cuando un cuerpo SUBE la altura recorrida es POSITIVA. d) Cuando un cuerpo BAJA la altura recorrida es NEGATIVA. e) La aceleracin de la gravedad siempre es NEGATIVA.

RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE CADA LIBRE Y TIRO VERTICAL

1) Un cuerpo se suelta en cada libre desde una altura de 15 m, obtener el tiempo empleado en llegar al suelo y la velocidad con la que llega. m R.: t = 1 ,75 s ; v f = 17 ,15 s

51

2) Si un cuerpo es arrojado hacia abajo, en forma vertical, con una velocidad de 36 es el desplazamiento experimentado? , si emplea 3 segundos en llegar al suelo.

km , cul h

R.: h = 74 ,1 m

3) Si un cuerpo es lanzado hacia arriba, con una velocidad inicial de 12

pone en marcha un cronmetro, calcular: a) el instante en que alcanza la altura mxima b) el desplazamiento hasta dicho instante c) el instante que vuelve al punto de partida d) representar h(t) , v(t) y g(t) , suponiendo que el cuerpo parte del suelo.

m y, en ese instante se s

R.: a) t = 1 ,22 s b) h = 7 ,36 m c) t = 2 ,44 s 4) Un cuerpo es lanzado hacia arriba alcanzando una altura mxima de 180 m. Hallar a) la velocidad de partida, b) el tiempo empleado en alcanzar la altura mxima y c) el tiempo total empleado en llegar nuevamente al suelo. m R.: a) v 0 = 59 ,4 , b) t = 6 ,06 s , c) t t = 12 ,12 s s 5) Un cuerpo se suelta desde una altura de 60 m, obtener el tiempo empleado en llegar al suelo y la velocidad con la que llega. Graficar h(t) , v(t) y g(t) . m R.: t = 3 ,5 s ; v f = 34 , 29 s 6) Desde una torre de 9 m de altura se tira hacia arriba un cuerpo con una velocidad de km 80 . Calcular la velocidad que posee a los 3 segundos de la partida. Graficar h(t) , v(t) y h g(t). m R.: v f = 7 ,18 s 7) Se dispara un cuerpo hacia arriba, que sube durante 4 segundos, graficar h(t) , v(t) y g(t) hasta llegar a la altura mxima . m R.: v 0 = 39 ,2 , h = 78,4 m s 8) Se suelta un cuerpo desde una torre de 12 m de altura, calcular el tiempo empleado por el cuerpo en llegar al suelo, la velocidad con la que llega y graficar h(t), v(t) y g(t). m R.: t = 1 ,56 s ; v f = 15 , 33 s 9) En el preciso momento en que se acciona un cronmetro, se lanza desde el piso, verticalmente hacia arriba, una pelota. En el ascenso, pasa por una altura x, a los 0,5 s de la partida. Empleado 3,2 segundos en llegar a la altura mxima Determinar: a) la velocidad inicial con que fue lanzada la pelota b) la altura mxima a la que llega la pelota

52

c) graficar h(t) , v(t) y a(t) d) calcular la altura x R.: v 0 = 31 ,36

m ; hmax = 50 ,17 m s

10) Desde un globo aerosttico que sube con una velocidad de 27 200 m de altura. a) Calcular el tiempo empleado por el cuerpo en llegar al suelo. b) La altura mxima que alcanza. c) La velocidad con la que llega al suelo. d) La altura que posee el globo cuando el cuerpo llega al suelo

km , se deja caer un cuerpo, a h

m ; d) h = 248 ,23 m s 11) Un proyectil es lanzado hacia arriba desde lo alto de una torre de 30 m de altura. Al cabo de 10 segundos vuelve a pasar por el punto de partida. a) Calcular la velocidad inicial con que fue arrojado b) Calcular la altura mxima a la que llega. c) Calcular la posicin y velocidad que posee a los 9 segundos de la partida. m m ; hmax = 152 ,5 m ; h = 74 ,1m ; v f = 39 ,2 R.: v 0 = 49 s s

R.: a) t = 6 ,43 s ; b) h max = 202 ,87 m ; c) v f = 63 ,06

12) Desde una terraza ubicada a 10 m de altura respecto del nivel del piso, se lanza m verticalmente hacia arriba un objeto A con una velocidad de 20 . Al cabo de cierto tiempo, s desde el mismo punto, se deja caer otro objeto B. Sabiendo que ambos llegan simultneamente al suelo: a) Calcular el perodo de tiempo que se debe esperar para soltar al cuerpo B b) Indicar dnde se encuentran los cuerpos al cabo de 3 segundos. c) Representar h(t) , v(t) y g(t) hasta el instante en que los dos cuerpos llegan al suelo. R.:Primero se calcula el tiempo empleado por el objeto A en llegar al suelo, empleando la 1 m m 2 siguiente ecuacin 0 = 9 ,8 2 t f + 20 t f + 10 m , el tiempo empleado es de t = 4 ,53 s . 2 s s Este valor se reemplaza en tiempo final, de la ecuacin del segundo objeto, cuando llega al suelo, 1 m 2 que se expresa 0 = 9 ,8 2 t f t 0 + 10 m . El tiempo que debe esperar es de t 0 = 3 ,1s 2 s

(

)

13) Desde un pozo de 7 metros de profundidad se dispara un proyectil que sube durante 4 s. Calcular la altura mxima, los tiempos empleados en pasar por el nivel del suelo y la velocidad que tiene en dicho punto. R.: h max = 71 ,4 m ; t 1 = 0 ,18 s ; t 2 =

53

14) Dados los siguientes grficos obtener el tiempo empleado en alcanzar una velocidad de 3 , la distancia recorrida al cabo de 4 segundos y la posicin cuando alcanza los 4 cuerpo que se desplaza verticalmente. a) h(m) 16 b)

m s

m , de un s

h(m) 9

0 -7 -h(m) R. a) la v 0 = 1 ,7

2

t(s)

0 -6

1,2

t(s)

-h(m)

m ; t = 0 ,3 s ; h = 85 ,2 m ; h = 15 ,35 m b) s

v 0 = 18 ,38

m ; t = 1 ,57 s ; h = 39 ,25 m ; h = 10 ,43 m s

15) Desde una torre de 85 m de altura, se deja caer un cuerpo, en el mismo instante, desde el km suelo se tira verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 90 . Determinar en h forma grfica y analtica si se cruzan los dos cuerpos, de se verdadero, calcular el tiempo empleado, la altura y la distancia recorrida por los mviles hasta el encuentro. R.: t e = 3 ,4 s ; h = 28 ,36 m ; h A = 56 ,64 m ; h B = 28 ,36 m

km . h Desde una altura de 76,5 m y 0,6 segundos despus se lanza otro cuerpo, hacia abajo, con una km velocidad de 5 . Determinar en forma grfica y analtica si se cruzan los dos cuerpos, de se h verdadero, calcular el tiempo empleado, la altura y la distancia recorrida por los mviles hasta el encuentro. m m m m t f 4 ,9 2 t f 2 4 m . Mvil 2 h f = 4 ,49 t f 4 , 9 2 t f 2 + 75 ,57 m ; R.: Mvil 1 h f = 37 ,5 s s s s t e = 2 ,41 s ; he = 57 , 92 m ; h 2 = 18 ,58 m16) Desde un pozo de 4 m de profundidad se lanza un cuerpo con una velocidad de 135 17) Martn mide el tiempo de cada de una moneda que tiene sujeta con sus dedos a cierta altura del piso de un ascensor, cuando est en reposo. Repite la experiencia cuando el ascensor sube m m con una velocidad constante de 2 , y nuevamente la realiza cuando desciende a 2 , s s

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siempre desde la misma altura. En cul de las experiencias registr un intervalo de tiempo mayor? R.:

18) Un cuerpo se suelta en cada libre y emplea en recorrer la segunda mitad de su desplazamiento 2 segundos. Calcular: a) el desplazamiento total, b) la velocidad con la que llega al piso y c) la velocidad que posee en la mitad del recorrido. m m R.: a) htotal = 228 ,52 m b) v f = 66 ,93 c) v = 47 ,33 s s 19) Un cuerpo que desciende en cada libre pasa por los puntos a y b de su trayectoria con m m velocidades Va = 20 y Vb = 50 . Calcular la distancia entre a y b. s s R.: h = 107 ,08 m

m , se pide: s a) Elegir un sistema de referencia, que se mantendr invariable a lo largo de todo el problema y plantear la ecuacin horaria, justificando los valores y signos asignados b) Calcular su posicin y velocidad al cabo de 2 s, 4 s, 6 s y 8 s . c) Hallar los desplazamientos entre los 0 s y 2 s; los 2 s y 4 s ; los 4 s y 6 s y entre 6 s y 8 s. Analizar los resultados obtenidos d) Determinar en que instante vuelve a pasar por el punto de partida. e) Obtener el instante en el que llega a su altura mxima y el valor de dicha altura. f) Hallar en que instante se encuentra a 25 m de altura. g) Graficar h(t) y v(t). m m 2 R. : a) h = 4 ,9 2 t f + 30 t f ,b) t = 2s h = 40,4m v =10,4 m/s , t = 4s h = 41,6m s s v = -9,2m/s , t = 6s h = 3,6m v = -28,8 m/s , t = 8s h = -73,6m v = 48,4 m/s. c) h0 2 = 40 ,4 m , h2 4 = 9 ,84 m , h2 8 = 115 ,2 m20) Se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 30

21) Ignacio deja caer piedritas desde el balcn de su casa. El portero que est en la vereda observa que una de las piedritas tarda 0,2 segundos en pasar frente a la puerta de entrada que tiene 2 metros de altura. Con esta informacin, hallar a que altura del piso donde parten las piedritas. (Sugerencia: tome como origen del sistema de referencia al borde superior de la puerta). R.: h = 6 ,15 m

m . Cuando s se encuentra a 16 m del piso, Martn que est en el suelo le dispara un proyectil que parte con m una velocidad de 30 , desde una altura de 1 metro. s22) Un globo aerosttico asciende verticalmente con una velocidad constante de 10

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A qu distancia del piso alcanzar la piedra al globo? Cunto tiempo despus de partir? Cul ser la velocidad de la piedra en ese instante?. Representar grficamente h(t) y v(t). m R.: h = 22 ,5 m ; t = 0 ,65 s ; v = 23 ,63 s

m , y s simultneamente Aylen, que se encuentra 40 m ms arriba, arroja otra hacia abajo, tambin con m una velocidad de 10 . A qu altura y en que instante se cruzan ambas piedras? Representar s grficamente h(t) ,v(t) y g(t).23) Mariana arroja verticalmente hacia arriba una piedra, con una velocidad de 10 R.: x e = 0 ,4 m ; t e = 2 s 24) Una caita voladora, que parte del reposo a nivel del piso, es impulsada verticalmente hacia arriba con una aceleracin que se supone constante, mientras dura el combustible, este se agota a los 5 segundos de partir, cuando est a 100 metros de altura. Desde ese instante se mueve libremente, hasta que regresa al punto de partida: a) Determinar la mxima velocidad que alcanzar al ascender y la mxima al descender b) Calcular la altura mxima c) Graficar h(t), v(t) y g(t) m m ; v f = 59 ,67 R.: a) v 0 = 40 b) hmax = 181 ,63 m s s 25) El capitn de un barco dispara verticalmente hacia arriba una luz de bengala verde y un m segundo despus otra roja. Ambas parten desde el mismo punto, con una velocidad de 20 s movindose libremente: a) Hallar la posicin y velocidad de la bengala roja, cuando la verde alcanza su altura mxima b) Determinar a qu altura, con respecto al nivel de partida, se cruzan ambas c) Representar grficamente h(t) , v(t) y g(t). m R.: a) h = 15 ,5 m ; v = 9 ,81 s 26) Desde el fondo de un pozo de 5 m de profundidad se tira verticalmente hacia arriba una piedra que sube durante 4,3 segundos. a) Indicar en que instante sale del pozo m b) Los tiempos empleados en llegar a una velocidad de 1 ,3 y la altura que posee. s Si a los 1,6 segundos de la partida, desde una altura de 11 metros se tira verticalmente hacia arriba otra piedra en el mismo trayecto de la piedra anterior: c) qu velocidad inicial se le debe dar a la segunda piedra para que alcance a la primera a los 0,3 segundos de haber sido lanzada? d) ha qu altura se encuentran? e) puede ocurrir que las piedras se encuentren dos veces? f) graficar h(t), v(t) y g(t) hasta los 8 segundos de haber lanzado la primera piedra.

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R.: a) 0,12 s, b) t 1 = 4 ,17 s y t 2 = 4 ,43 s 27) Calcular la profundidad de un pozo cuando el sonido producido por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar con su fondo, se oye tres segundos despus. Recordemos que la velocidad del m sonido en el aire es de 340 s R.: 28) Una pelota cae desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar del borde superior al borde inferior de una ventana de 2,5 m de longitud A qu distancia de la cornisa se encuentra el marco superior de la ventana? R.: 29) Dos proyectiles se encuentran sobre una misma horizontal separados 20 m. En el mismo m instante se lanzan verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 el primero y de s m 150 el segundo. s a) A qu distancia se encontrarn uno de otro al cabo de 10 segundos de iniciarse el movimiento? b) En qu instante se encontrarn a la misma altura? Cul es esta altura? c) Graficar h(t) v(t) y g(t) hasta el instante en que regresa el primer cuerpo al suelo. R.: 30) Un globo que se eleva verticalmente con una velocidad constante de 4 ,8

se encuentra a 19,2 m de altura se suelta un saco de lastre: a) calcular la posicin y la velocidad del saco de lastre al cabo de 0,25 s ,0,5 s, 1 s, y 2 s b) al cabo de cuanto tiempo llegar al suelo? c) obtener la velocidad en el instante en que llega al suelo.

m . Cuando el globo s

R.:

31) Desde un edificio de 75 m de altura se lanza un cuerpo verticalmente, tres segundos despus alcanza el suelo. Calcular el mdulo de la velocidad inicial, su direccin y sentido. m R: v = 10 hacia el piso s m 32) Se dispara un proyectil desde el piso con una velocidad inicial de 30 verticalmente y hacia s arriba junto a un edificio. Un nio situado en una ventana a una altura h sobre el piso lo ve pasar subiendo y dos segundos despus bajando. A qu altura sobre el piso se encuentra el nio? R: h = 40 m m 33) Desde un globo que est a 240 m del suelo y asciende a 6 , se deja caer un objeto. s Calcular:

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a) la altura mxima alcanzada por el objeto y la posicin del globo en ese instante. b) la posicin y velocidad del objeto al cabo de 6 s. c) a que distancia del globo se encuentra el objeto a los 6 s. d) graficar x(t) y v(t) para los dos cuerpos desde el instante en que se suelta el objeto hasta que llega al suelo. m R:a) hmax = 241,8m , h globo = 243,6m b) h=96m , v =-54 , c) d = 180m s 34) Un cocinero se encuentra haciendo panqueques. Cuando el sartn se encuentra a 1 m de altura sobre el piso de una habitacin de 3 m de altura, lanza uno verticalmente hacia arriba con m velocidad inicial de 7 , luego alcanza el techo adhirindose a l durante 2 s y por ltimo se s despega cayendo hasta alcanzar el piso. a) hallar el tiempo total de recorrido del panqueque desde que sali del sartn. b) graficar h(t) y v(t). R: t = 3,17 s 35) Se deja caer una piedra desde una torre de altura h. Cuando est a 20 m sobre la superficie m del piso su velocidad es de 30 , entonces, despreciando el rozamiento con el aire: s a) calcular la velocidad de la piedra al alcanzar el piso b) calcular la altura h c) cunto tiempo estuvo la piedra en el aire? m R: v = 36 , h = 65 m , t = 3,6 s s 36) Se arroja verticalmente y hacia abajo un proyectil desde un edificio de altura h. Un segundo m despus, cundo est a 20 m sobre el piso su velocidad es de 30 , entonces, calcular la s velocidad de la piedra al alcanzar el piso, la altura h y el tiempo que estuvo la piedra en el aire. m R: v = 36 , h = 45 m , t = 1,6 s s 37) Se deja caer una piedra en un pozo. Al cabo de seis segundos de soltarla, se oye el choque m con el agua. La velocidad de propagacin del sonido es de 340 en el aire. Calcular la s profundidad del pozo. R: h = 153,9 m 38) Se suelta desde un acantilado de altura h sobre el nivel del mar, una piedra. Si durante el ltimo segundo de su cada recorri la mitad de dicha altura. Hallar el tiempo que tard en caer y la altura del acantilado. R: t = 3,41 s , h = 58,28 m 39) Un paracaidista salta de un helicptero que se encuentra en reposo. Cae libremente y despus de recorrer 50 m abre el paracadas, el cual le produce una desaceleracin constante de

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2

m2

s aire y la altura desde la que salt.

. Si llega al suelo con una velocidad de 3

m . Calcular el tiempo que estuvo el hombre en el sR: t = 17,76 s , h = 297,25 m

40) Se deja caer una piedra al agua desde un puente que est a 48 m sobre la superficie. Un segundo despus de haber dejado caer la primera piedra, se arroja otra. Ambas llegan al agua en el mismo instante. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra y representar x(t) y v(t) de las dos piedras. m R: v = -12,09 s 41) Desde lo alto de un edificio se lanzan simultneamente dos cuerpo con velocidades iniciales verticales e iguales en mdulo, pero de sentidos opuestos. A los 10 s del lanzamiento los cuerpos distan 100 m entre s. Calcular, en ese instante, las distancias entre cada cuerpo y el punto de lanzamiento. R: h1 = 450 m , h2 = 550 m 42) Se arroja verticalmente una piedra (A) desde el piso y hacia arriba con una velocidad de 30 m . Dos segundos despus, se suelta otra (B) desde una altura de 60 m. Hallar, tomando como s origen del sistema de referencia en el piso y sentido positivo hacia arriba: a) en qu instante se encuentran a la misma altura b) el valor de dicha altura c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro, indicando su sentido d) la velocidad de ambas piedras al alcanzar el piso e) repetir los clculos tomando como referencia el punto donde se suelta la piedra B. m m R: a) t e = 3 ,88 s , b) he = 42 ,77 m ,c) v A = 8 ,02 , v B = 38 ,02 ,d) s s m m v f A = 30 ; v f B = 34 ,29 s s

m . Un segundo despus se lanza s m verticalmente hacia arriba, otro cuerpo con velocidad inicial de 35 . Calcular la velocidad de s ambos cuerpos en el instante que se encuentran a la misma altura y la distancia recorrida por los dos hasta el encuentro. m m R: V 1 = 4 , V 2 = 29 s s43) Se lanza un objeto hacia arriba, con una velocidad de 20 44) Un cohete parte del reposo movindose hacia arriba con una aceleracin vertical constante de m 19,5 2 durante un minuto. En ese momento se agota el combustible y sigue subiendo como una s partcula libre. Cul es la mxima altura que alcanza? Cul es el tiempo total transcurrido desde que despega hasta que cae al suelo?. Graficar h(t).

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R: h =103545 m , t = 320,9 s 45) El portero de un edificio se encuentra frente a la puerta de entrada, que tiene 2 m de altura. Un nio que se halla en la ventana de un piso superior deja caer diversos objetos. Para averiguar de que piso provienen, el portero observa que estos recorren el tramo de la puerta en 0,15 segundos. Calcular el piso en que se encuentra el nio, sabiendo que cada piso tiene una altura de 3 m. R: h = 9,9 m que corresponde al tercer piso. 46) Desde una terraza de 6 m de altura, se tira verticalmente hacia arriba un cuerpo que sube hasta una altura mxima de 32 m. Un segundo despus se dispara un segundo proyectil desde el km suelo, verticalmente hacia arriba con una velocidad de 167 . h a) Determinar si el segundo proyectil intercepta al primero, cuando el primero sube b) En caso contrario calcular si lo hace en la etapa de vuelta. c) Representar grficamente h(t), v(t) y g(t) para las dos mviles hasta en instante en que llegan al suelo. m m m m t e 4 ,9 t e 2 + 6 m ; h e = 4 , 9 t e 2 + 56 ,18 t e 51 , 28 m y el t e = 1 ,7 s R.: he = 22 ,5 2 2 s s s s 47) Desde un pozo de 4 m de profundidad se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo con km una velocidad de 67 , en el mismo instante desde el suelo se dispara un segundo proyectil con h km una velocidad de 80 Calcular si los cuerpos se encuentran, de ser verdadero, determinar si h lo hacen una o dos veces, expresar las coordenadas del o los puntos de encuentro y graficar h(t), v(t) y g(t). m m m m 2 2 R.: he = 4 ,9 2 t e + 18 ,61 t e 4 m ; he = 4 ,9 2 t e + 22 , 2 t e y el t e = 1 ,1 s (No se s s s s encuentran).

48) Desde un pozo de 5 m de profundidad se dispara verticalmente hacia arriba un proyectil con km una velocidad de 92 , dos segundos despus desde una torre de 6,3 m de altura se dispara h km hacia arriba un segundo cuerpo con una velocidad de 47 . Calcular si los cuerpos se h encuentran, de ser verdadero, determinar si lo hacen una o dos veces, expresar las coordenadas del o los puntos de encuentro y graficar h(t), v(t) y g(t) para los dos cuerpos hasta el instante en que llegan al suelo. R.: t e = 4 ,85 s 49) Desde un globo aerosttico suspendido a 200 m de altura, se deja caer verticalmente un cuerpo A. Al cabo de un segundo, se arroja otro cuerpo B con una velocidad inicial desconocida. a) Calcular la velocidad inicial de B si se sabe que ambos cuerpos se encuentran a los 2 s del lanzamiento de A. b) Cul es la separacin de ambos luego de 3 s de haber sido arrojado el cuerpo A?

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R.: a) v 0 = 14 ,7

m b) h = 4 ,9 m s

MOVIMIENTO RELATIVO La combinacin de movimientos se basa en el Principio de superposicin o de independencia de los movimientos, que fuera enunciado por Galileo Galilei, y su enunciado es el siguiente: Cuando el movimiento de un punto es la resultante de otros dos movimiento simultneos, la posicin que ocupa dicho punto al cabo de un cierto tiempo, es la misma que ocupara si ambos movimientos se hubieran llevado a cabo en forma sucesiva e independiente uno del otro y cada uno de ellos durante el mismo tiempo. Dentro de la combinacin de movimientos se pueden dar los siguientes casos, cuando las velocidades tienen: a) la misma direccin y sentidos iguales b) la misma direccin y sentidos opuestos c) distintas direcciones En todos los casos si queremos calcular la velocidad resultante se realizar SUMANDO VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen. En frmula se puede expresar:

V R =V A +V B

Para calcular la velocidad resultante se define un sistema de referencia a partir del cul se establece el signo que debe tener la velocidad. En nuestro caso consideramos un sistema de referencia coincidente con los ejes de coordenadas cartesianas que se utiliza en matemtica, es decir toda velocidad que va hacia arriba o hacia la derecha tiene signo positivo, y toda velocidad que se dirige hacia la izquierda o hacia abajo tiene signo negativo.

CASO A En esta situacin dos cuerpos se desplazan en la misma direccin y en el mismo sentido. Por ejemplo un remero en un bote navega a favor de la corriente En este caso para calcular la velocidad resultante la suma algebraica coincide con la velocidad vectorial. Bote Ro Clculo analtico:V R =V A +V B

Velocidad del bote V A Velocidad de la corriente V B

61

La velocidad resultante = Velocidad del bote + Velocidad de la corriente Resolucin grfica:VA VB VR

CASO B En esta situacin dos cuerpos se desplazan en la misma direccin pero con sentidos contrarios. Por ejemplo sera como remar en un bote, en contra de la corriente. En este caso la suma algebraica no coincide con la suma vectorial, debido a que se establece signo positivo a la velocidad que va hacia la derecha y signo negativo a la velocidad que se dirige hacia la izquierda. Por lo tanto:VA

VB

Clculo analticoV R =V A +V B

La velocidad resultante = Velocidad del bote + (-Velocidad de la corriente)

Resolucin grficaVB VA VR

CASO C Un cuerpo se ve afectado por velocidades que tienen distintas direcciones, para calcular la velocidad resultante se pueden analizar dos situaciones particulares:

Primer caso: cuando las velocidades forman un ngulo recto (un ngulo de 90) Resolucin grfica: Dadas las velocidades, se forma un paralelogramo o se suman los vectores

VA

VR

VR

VA

62

VB

VB

Tengamos en cuenta que para obtener la velocidad resultante, en forma grfica o analtica, se mantiene el concepto de SUMAR VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen

Resolucin analtica La resolucin analtica se basa en el teorema de Pitgoras, cuyo enunciado es el siguiente: En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Si observamos la representacin grfica, veremos que se forma un tringulo rectngulo donde la hipotenusa es la velocidad resultante y los catetos son las velocidades que intervienen.

VR

VA

VB

Al aplicar el teorema de Pitgoras llegamos a la siguiente expresin: el cuadrado de la velocidad resultante es igual a la suma del cuadrado de las otras dos velocidades que intervienen. Cuya forma matemtica es:

VR 2 = V A 2 + VB 2

Segundo caso: cuando las velocidades que intervienen forman un ngulo cualquiera entre ellas. Tambin en este caso se mantiene el concepto de SUMAR VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen para obtener la velocidad resultante. Mtodo grfico Dadas las velocidades se forma un paralelogramo o se sumen los vectores que intervienen

VR VA VB

VR VB

VA

Mtodo analtico

63

Este mtodo se basa en el teorema del coseno, cuyo enunciado es el siguiente: En todo tringulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados, menos el doble producto los lados por el coseno del ngulo comprendido entre dichos lados. Si observamos la representacin grfica de las velocidades veremos que se forma un tringulo

VR VB

VA

VR

VA VB

Al aplicar el teorema del coseno llegamos a la siguiente expresin, el cuadrado de la velocidad resultante es igual a la suma del cuadrado de las velocidades MAS el doble producto de las velocidades que intervienen por el coseno del ngulo comprendido entre dichas velocidades. Se puede determinar que la diferencia entre el enunciado del teorema del coseno y la expresin que se va aplicar cambia en un signo. Esto se debe a que no se emplea el ngulo sugerido en el teorema del coseno, sino que utilizamos su suplementario. El coseno de un ngulo tiene el mismo valor absoluto que su suplementario, pero cambia el signo. La expresin matemtica para aplicar sera:

V R 2 = V A 2 + V B 2 + 2 V A V B cos

Desarrollaremos a continuacin el movimiento parablico, que es un caso particular del caso c, es decir del caso donde un cuerpo se ve afectado por velocidades que tienen distintas direcciones.

MOVIMIENTO PARABLICO

Primer Caso Cuando a un cuerpo que se encuentra a cierta altura y se le aplica una velocidad constante y horizontal hasta llegar al suelo, observaremos que sigue un recorrido correspondiente a la mitad de una parbolav y =0

vx

hmaxvx

64

vy

vR

En este caso a un cuerpo que esta a cierta altura y se lo deja caer al mismo tiempo que se le aplica una velocidad horizontal a lo largo de todo el trayecto que realizar. Esta velocidad horizontal siempre mantiene el mismo valor, es decir se mantiene constante. Como resultado de la combinacin de la cada libre del cuerpo y de la velocidad horizontal se obtiene un movimiento denominado parablico. A medida que el cuerpo cae la velocidad vertical ( v y ) va aumentando, por lo tanto la velocidad resultante ( v R ) tambin aumenta.v y =0

v x = cte . v x = cte .

v x = cte .

hmaxv x = cte .vy

vR

Si queremos calcular la velocidad resultante en cualquier punto del trayecto, se aplica el teorema de Pitgoras, debido a que las velocidades que intervienen siempre son perpendiculares. La frmula que se emplea para el clculo de la velocidad resultante es la siguiente:vR2 = vx2 + v y2

Si queremos calcular el ngulo de inclinacin de la velocidad resultante, aplicamos la teora de las razones trigonomtricas: vRvy

vx

ac r tg

=

v v

y x

Segundo caso Cuando a un cuerpo le aplicamos una velocidad que tiene un ngulo de elevacin, veremos que realiza un movimiento parablico. Para analizar dicho movimiento es necesario descomponer la velocidad original en dos componentes, una horizontal y otra vertical

65

v0

vy

v0

vx

Para obtener el valor de cada componente, en la descomposicin de vectores, se utilizan las razones trigonomtricas, debido a que entre ellos forman un ngulo recto, y al sumar vectorialmente las componentes obtenemos un tringulo rectngulo. Frmula para calcular la COMPONENTE HORIZONTAL de la velocidad inicial Frmula para calcular la COMPONENTE VERTICAL de la velocidad inicial

v x = v 0 cos v y = v 0 sen

Si recordamos como vara la velocidad en el tiro vertical y mantenemos constante la velocidad horizontal obtendremos el movimiento parablico.v x = cte . v x = cte .vy vy

v x = cte .

v x = cte .

hmaxvy

vy

v x = cte .vy

v x = cte .

Se puede interpretar el movimiento parablico como un tiro vertical combinado con una velocidad horizontal constante. Es decir a medida que el cuerpo sube y luego baja, en todo instante, se le aplica una velocidad horizontal que no cambia su mdulo. Como combinacin de estos dos movimientos se obtiene el movimiento parablico. Para resolver los problemas del movimiento parablico se aplica toda la teora del tiro vertical en la componente vertical ( v y ) de la velocidad dada originalmente y la teora del M.R.U. en la componente horizontal ( v x ) de la velocidad original. Es decir se aplican las frmulas del tiro vertical y del M.R.U. SI DESCOMPONEMOS INICIALMENTE la velocidad original. Basndonos en la teora del tiro vertical, podemos aplicarla en el movimiento parablico y tenemos: a) la velocidad de partida es igual a la velocidad de llegada, siempre que llegue a un punto que est a la misma altura que el punto de partida. b) el tiempo de ida es igual al tiempo de vuelta, siempre que llegue a un punto que est a la misma altura que el punto de partida. c) a un mismo nivel o altura, la velocidad de subida es igual a la velocidad con que baja el cuerpo.

66

d) en la altura mxima la componente vertical de la velocidad es igual a cero. e) el ngulo de elevacin es igual al ngulo de depresin en la misma altura f) se denomina alcance a la mayor distancia horizontal recorrida por el cuerpo. g) en la etapa de ida, la velocidad real es POSITIVA, lo mismo que la componente vertical. h) en la etapa de vuelta, la velocidad real es NEGATIVA, lo mismo que la componente vertical. Una frmula para calcular el alcance de un cuerpo donde el punto de partida y el punto de llegada SE ENCUENTRAN A UN MISMO NIVEL O ALTURA es:

a=

v0 2 sen2 g

Otra frmula empleada para calcular la altura mxima de un cuerpo donde el punto de partida EST AL MISMO NIVEL O ALTURA que el punto de llegada es:

hmax =

v 0 2 sen2 2 g

En ambas frmulas se utiliza el valor POSITIVO de la aceleracin de la gravedad.

RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO PARABLICO

km con un ngulo de elevacin de 30. h Calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima, el valor de dicha altura y el alcance. R.: t i = 6 ,38 s , h max = 199 , 3 m , x = 1381 ,31 m1) Un fusil lanza un proyectil con una velocidad de 450

m y un ngulo de elevacin de 45. s Hallar las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial, a los 0,3 segundos y al segundo de la partida. m m m m m ;v x = ; v y = 32 ,42 R.: a) v y = 35 , 36 , b) v x = , c) v y = 25 ,56 s s s s s2) Un proyectil sale disparado con una velocidad de 50

km Cul debe ser el ngulo con h respecto al horizonte con que se debe apuntar para dar en un blanco situado a 660 m de distancia.3) Los proyectiles de un fusil parten con una velocidad de 860

67

R.: = 3 15' 14' '

4) Una pelota de ftbol se lanza con un ngulo de 30 con respecto a la horizontal, sabiendo que km la velocidad de partida fue de 97 . Calcular: h a) el tiempo que tardar en llegar al suelo b) La distancia horizontal que recorre hasta llegar a la altura mxima c) la velocidad que posee al segundo de la partida d) los tiempos empleados en alcanzar una altura de un metro. m R.: a) t t = 2 ,74 s b) x = 31 ,94 m c) v R = 26 ,62 d) t 1 = 0 ,076 s y t 2 = 2 ,67 s s 5) Un objeto se lanza con un ngulo de elevacin de 60 y la componente horizontal de la km velocidad es de 97 . Obtener: h a) la altura mxima b) la velocidad con la que llega al suelo m c) los tiempos empleados en llegar a una velocidad de 3 ,5 s R.: a) hmax = 111 ,22 m b) v R = 53 ,89

m c) s

6) Un cuerpo se lanza con un ngulo de elevacin de 75 , demorando tres segundos en llegar nuevamente al suelo. Calcular la altura mxima, el alcance, la velocidad que posee al recorrer una m distancia horizontal de 8 m y los tiempos en obtener una velocidad de 4 . s m ; t 1 = 0 , 93 s ; t 2 = 2 ,07 s R.: h max = 11 ,03 m ; a = 11 ,82 m ; v R = 6 ,52 s 7) Desde un faro de 25 metros de altura, se dispara un proyectil con una velocidad horizontal de km 40 . Calcular a qu distancia del faro, el proyectil chocar con el agua y el tiempo empleado. h R.: x = 25 ,1m ; t = 2 ,26 s 8) Desde un edificio de 37 m se dispara horizontalmente un cuerpo que recorre una distancia horizontal de 80 m. Hallar el valor de la velocidad de partida. m R.: v 0 = v x = 29 ,1 s 9) Desde un edificio de 38 m de altura se dispara un proyectil con una velocidad de 78 ngulo de elevacin de 38. Calcular: a) la distancia horizontal desde el edificio hasta el lugar de impacto b) el tiempo empleado en llegar al suelo c) la altura que posee el proyectil un segundo antes de llegar al suelo d) la velocidad con la que llega al suelo y el ngulo de inclinacin.

km y un h

68

R.: a) x = 76 ,18 m , b) t t = 4 ,46 s , c) h1 = 25 ,5 m , d) v R = 34 ,85

m , s

= 6 0 3 9' 1 7"

km . Si desde el h avin se debe dejar caer un paquete de provisiones, a un grupo de personas aisladas por un temporal. Cuntos metros antes de llegar sobre el grupo de personas, se debe soltar la caja? R.: x = 2722 ,2 m10) Un avin vuela horizontalmente a 1960 m de altura, a una velocidad de 490 11) Un pasajero de un colectivo deja caer, al pasar frente a una seal, un objeto desde una km altura de 1,225 m. El colectivo se desplaza con una velocidad de 62 . Cuntos metros h despus de la seal el cuerpo toca el suelo? R.: x = 8 ,61 m 12) Se dispone de un can que forma un ngulo de 60 con el terreno. Si el objeto que se quiere destruir se encuentra ubicado en lo alto de una torre de 12 m de altura y a 200 m del lugar de disparo. Calcular la velocidad con que debe salir la bala de can. m R.: v 0 = 17 ,71 s 13) Un jugador del seleccionado argentino de rugby lanza la pelota hacia adelante de manera que alcanza una altura mxima de 13,3m . En el instante en que el jugador patea, un segundo jugador corre a recibirla, empleando 2,8 segundos en llegar al posible lugar de impacto. Es posible que pueda agarrar la pelota, teniendo en cuenta que puede saltar hasta una altura de 2,35 m? R.: altura de la pelota h = 6,8 m

km , suelta una h bomba cuando se encuentra a 3814 m de su objetivo. A qu distancia del objetivo cae la bomba? R.: x = 0 ,79 m14) Un avin que vuela a 1600 m de altura con una velocidad constante de 760 15) Un jugador de ftbol patea la pelota contra el arco que se encuentra a 13 m . Si le imprime km una velocidad de 45 formando un ngulo de elevacin de 38 con el terreno. Convertir el h gol? a qu altura del suelo pasa la pelota? Y cunto tiempo emplea en llegar al arco?. R.: s , h = 1,67 m ; t = 1,3 s 16) Se dispara un perdign con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina, de 10 m m de altura. El proyectil parte con una velocidad de 50 , en una direccin que forma un ngulo s de 37 con la horizontal. Elegir un sistema de referencia. a) Calcular la posicin del perdign a los 2 s, 5 s y 6 s (altura y distancia horizontal recorrida) b) Obtener el instante que llega al suelo. R.: a) t = 2 s ; h = 50 ,58 m , x = 79 ,86 mt = 5 s ; h = 37 , 95 m ; x = 199 ,65 m

b) t t =

69

17) Un gato malla muy fuerte, instalado sobre un muro de 2m de altura. Ignacio est en su jardn, frente a l y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojndole un zapato. El proyectil m parte con una velocidad de 15 , formando un ngulo de 53 con la horizontal, desde una altura s de 1,25 m. a) Hallar a qu distancia por encima de donde estaba el gato pas el zapato. b) Determinar a qu distancia al otro lado del muro lleg el zapato al piso. R.: a) h = 3 ,67 m 18) Mariana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Martn lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 segundos despus. Sabiendo que Martn se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Mariana, hallar: a) la altura desde donde parti el llavero b) la velocidad con la que lleg a las manos de Martn. m R.: a) h=4,336m ,b) v f = 9 ,87 s 19) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada de 30 (baja por un plano inclinado de 30 con la horizontal), llegando al borde de dicha rampa (A) con cierta velocidad. Luego de 1 segundo de vuelo libre, retoma la pista en (B) , 4,33m ms adelante del punto (A). Hallar la velocidad que tiene en el punto A, y el desnivel existente entre A y B. Qu velocidad tendr en B? m m m m m ; v yA = 2 ,5 ; v yB = 12 ,3 ; v A = 5 ; h = 7 ,4 m ; v B = 13 ,04 R.: v x = 4 ,33 s s s s s 20) Martn patea una pelota de rugby, la pelota pica en la cancha 60 m ms adelante y 3 s despus de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto ms alto y la velocidad con la que llega al suelo. m m ; v R = 24 ,82 R.: v R = 20 s s 21) El arquero Guillermo Desastronius arroja oblicuamente una flecha, la que parte desde una m altura de 1,25 m , con una velocidad de 20 y formando un ngulo de 53 con la horizontal. s La flecha pasa por encima de un pino que est a 24 m de distancia y va a clavarse a 10 m de altura en otro rbol que se alza ms atrs. Calcular el tiempo de vuelo de la flecha, la velocidad con la que lleg al rbol y el ngulo con que se clav. Obtener la altura mxima que puede tener el pino. R.:

t = 2 ,5 6s ; v R = 1 5,1 2

m ; = 3 7 1 4' 5" ; h = 1 3,5 9m s

22) Martn patea una pelota de ftbol que sale disparada con un ngulo de 30 con la horizontal m y una velocidad de 20 . En el mismo instante, pero 20 m delante, sale Ignacio con la misma s

70

direccin de la pelota. Calcular la velocidad con la que debe correr Ignacio para alcanzar la pelota cuando llega al suelo, se supone que mantiene la velocidad constante. R.: v x = 7 ,52 m / s 23) A 2 m de distancia y a 1,2 m de altura se dispara un bollo de papel para que llegue a un cesto de 0,4 m de altura y 0,4 m de dimetro. Calcular la velocidad de partida de cada bollo, para que ingrese en el cesto. Si un segundo bollo de papel se lo tira desde una distancia de 1m m delante del cesto, a una altura de 75 cm, con una velocidad de 4 , determinar si el bollo s entra en el cesto o cae al suelo. m m ; v = v x = 0 ,74 ; t = 0 ,455 s R.: v 0 = 7 ,95 s s 24) La malabarista Mariana muestra su destreza manteniendo continuamente en el aire cuatro platos. Los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su derecha, que se encuentra a la misma altura y separada de la izquierda por una distancia de 1,2 m. Los platos alcanzan una altura de 4 metros. Calcular la velocidad con que los arroja, la velocidad con la que pasan por el punto ms alto. Si tarda 0,2 segundos en recorrer la distancia horizontal, cuando vuelve a la mano de partida, obtener cada cunto tiempo recibe un plato. m m R.: a) v 0 = 9 ,94 , b) v x = 0 ,74 , c) t t = 1 ,62 s s s 25) Desde el borde de un acantilado de 200 m de altura Ignacio lanza un proyectil, formando un ngulo de 30 por encima de la horizontal, observando que impacta en el agua luego de 10 segundos de vuelo. Hallar la velocidad inicial del proyectil y la distancia desde la base del acantilado al punto donde hace impacto. R.: m v = 58 ; x = 502 ,3m 0 s 26) Un atleta desea saltar una valla de 2 m de altura. Para ello toma carrera y salta 1 m antes de llegar a la valla. Qu velocidad mnima deber darle en el salto para lograr pasar la valla? Cunto tiempo dura el salto completo? m m ,V y = 6 ,3 , t = 1 ,26 s R.: V x = 1 ,6 s s m 27) Nacho lanza una pelota con una velocidad de 10 y un ngulo de elevacin de 45. La s pelota choca contra una pared que se encuentra a una distancia de 3 m del lugar de lanzamiento. A qu altura choca la pelota contra la pared? Cul es la velocidad de la pelota en el momento del choque? m R.: h = 2 ,1m , v = 7 ,2 s 28) Se dispara un proyectil con un ngulo de elevacin de 30 y tarda 6 segundos en llegar al suelo. Hallar la altura mxima que alcanza y la velocidad de partida. m R.: h = 44 ,1m ,V = 58 ,8 s

71

29) El artillero de un can desea hacer impacto sobre un tanque que se mueve sobre una km carretera a 30 , alejndose del can. El can se encuentra en una colina a 80 m de altura h y a una distancia horizontal del tanque de 800 m . Si el can dispara sus proyectiles con un ngulo de elevacin de 40, calcular el valor de la velocidad con la que deben salir los proyectiles. A que distancia del punto de impacto estar el tanque si los proyectiles salen disparados con una km velocidad de 500 . h m 1 t e ; h = v 0 t e + g t e 2 . t e = 13 , 24 s : R.: x e = x 0 +v e cos t e = 800 m + 8 , 33 s 2 m v 0 = 92 ,77 y x = 227 , 24 m s 30) A 800 m de una ciudad se dispara un can; sabiendo que sus proyectiles salen disparados km con una velocidad de 600 , calcular el ngulo de elevacin que debe darse al can. h R.:

= 8 1 1 4 8" '

31) Desde un monte de 100 m de altura se dispara con un can contra un puesto enemigo, que se encuentra a 500 m de distancia horizontal. Si el disparo se efecta con un ngulo de 30, obtener la velocidad de partida del proyectil y la altura mxima que alcanza. m , h = 1016 m R.: V = 36 s 32) Un proyectil es lanzado desde el piso de tal manera que al cabo de 4 segundos alcanza la altura mxima, para luego caer a una distancia de 100 m del punto de lanzamiento. Calcular la velocidad de lanzamiento, la velocidad con la que alcanza la altura mxima y la velocidad que posee a los tres segundos de la partida. m m ,V x = 12 ,5 R.: V = 41 ,9 s s 33) Un cuerpo se mueve por un plano horizontal, que se encuentra a 10 m de altura, con una m velocidad constante de 10 . Cuando llega al final del plano cae: s a) determinar la aceleracin con la que cae b) calcular el mdulo, direccin y sentido de la velocidad en la mitad de la cada c) obtener la distancia horizontal que recorre, desde el momento en que abandona el plano horizontal m R.: b) v = 14 ,03 , c) x = 14 , 3 m s

72

34) Un objeto se desplaza por un plano horizontal pasando de una velocidad de 5

m a otra de s

m m , manteniendo una aceleracin constante de 1 2 . Si en ste punto cae y sabiendo que el s s plano se encontraba a 2,3 m del suelo, calcular la distancia horizontal recorrida hasta llegar al suelo y la velocidad con la que llega. m R.: x = 2 ,75 m y v = 7 ,81 s 435) Un preso lanza mensajes, atados a piedritas, hacia su mujer que lo observa desde la vereda, a 14 m del muro de la crcel. Nuestro hombre lanza la piedritas horizontalmente, tal que pasen justo rozando el borde del muro, de 7,8 m de altura. Su ventana se encuentra separada a 10 m del muro y a una altura de 12,8 m. Calcular la velocidad con que debe lanzar las piedritas, a qu distancia del muro caern?. Si la mujer empieza a caminar justo cuando lanza una piedra, con qu velocidad deber caminar para llegar justo a la piedra cuando sta toca el piso. Si se duplica la velocidad de lanzamiento, cul es el tiempo de cada? rozar el borde del muro? qu se modifica?. R.: v x = 9 ,9 m / s ; x = 6 ,039 m ; v = 4 ,88 m / s 36) Dos edificios de hallan separados 30 m entre s. Desde una ventana del primer piso de un edificio, ubicada a 16 m de altura, se arroja una piedra en direccin horizontal, con una m velocidad de 20 . Con qu velocidad inicial, en direccin vertical, debe ser lanzada otra s piedra, desde el segundo piso del segundo edificio, 0,5 segundos despus de ser arrojada la primera, para lograr que la intercepte en su vuelo, cuando la primer piedra est a punto de impactar en el segundo edificio. R.: 37) Cachito, decide jugar a Guillermo Tell, utilizando a Rolando de portamanzana. Lo apoya en un rbol y por supuesto con la manzana en la cabeza, preparndose para lanzar su flecha desde una distancia de 3 m, apoyando la ballesta en su hombro, a 1,6 m del piso. Apunta hacia la manzana, quedando la flecha en direccin horizontal, y el hilo tensado de manera de brindarle a la misma m una velocidad inicial de 10 . Como era de esperar la flecha da en la manzana. Calcular la s altura de Rolando, la velocidad de la flecha al llegar a la manzana. R.: 38) Con relacin al problema anterior, qu hubiera ocurrido si la velocidad inicial fuese el doble? qu hubiese ocurrido si la velocidad inicial fuese la mitad? R.: 39) Desde un pozo de 6 m de profundidad se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 796 km y un ngulo de elevacin de 73. Suponiendo que el proyectil sale del pozo y hace impacto h

73

sobre un blanco de 1,7 m de altura. Calcular el tiempo empleado por el proyectil en llegar al blanco, la velocidad con la que llega y el alcance. m R.: v f = 220 ,77 , t t = 43 ,12 s , a = 2787,71 m s 40) Un proyectil se dispara desde un pozo de 4 m de profundidad y al cabo de 5 s llega al suelo. Sabiendo que recorre toda la longitud del pozo que es de 3 m y que el proyectil sale del borde superior opuesto, calcular: la velocidad de partida y la altura mxima que alcanza. R.: 41) Un atleta cuyo centro de gravedad se encuentra a 1,2 m de altura, ha de saltar un obstculo de 2m, lanzndose con un ngulo de 60 con respecto a la horizontal. Calcular la velocidad con que debe iniciar el salto y la distancia horizontal al obstculo desde el punto donde se lanza hasta que llega nuevamente al suelo. R.: V0 = 4 ,6

m , X = 0 ,93 m s

MOVIMIENTO RELATIVO 1) Un ciclista se desplaza horizontalmente con una velocidad constante de 45 lugar de su recorrido comienza a soplar un viento constante de 6

km . En cierto h

m . Calcular la distancia s horizontal recorrida en 10 s, teniendo en cuenta que: a) el viento va a favor del desplazamiento del ciclista, b) el viento va en sentido contrario al desplazamiento del ciclista, c) el viento es perpendicular al desplazamiento del ciclista.

R.: a) x = 185 m , b) x = 65 m , c) x = 138 ,65 m

km , pasa sobre la ciudad A, h dirigindose hacia la ciudad B situada a 400 km al Norte de A. La oficina meteorolgica en tierra km le informa que sopla viento en direccin Este-Oeste, a 45 . h a) Determinar la direccin en que se desplaza la avioneta en esas condiciones. b) Hallar el ngulo que debe desviar su rumbo, para desplazarse efectivamente hacia B, suponiendo que se mantienen constantes las velocidades. Hallar cunto tardar en llegar.2) Una avioneta, cuya velocidad respecto al aire es de 205 R.: a) N-O, b)

= 1 6 7 3 7' 9"

3) Un avin para dirigirse hacia el Este debe volar orientado como se indica en la figura. En una hora recorre 300 km en la direccin Oeste-Este. Cul de las siguientes opciones podra ser verdadera para esta situacin. El viento est soplando hacia el:

74

km km km , b) Sur a 91,7 , c) Norte a 87,7 h h h km km e) Este a 286,9 , f) Oeste a 87,7 . h ha) Norte a 91,7 Oeste Este Direccin del avin

, d) Sur a 286,9

km h

,

17

R.:

m respecto del agua, s orientada de tal forma que, si las aguas estuvieran quietas, cruzara perpendicularmente. El bote parte de un punto A ubicado sobre una de las mrgenes y llega a otro punto B en la margen opuesta, distante 100 m de A. Cul es el mdulo de la velocidad del bote respecto de tierra y cunto tarda en cruzar el ro? m m m m a) 5,33 y 25 s , b) 5,33 y 15 s , c) 5,33 y 10 s , d) 6,66 y 25 s , e) 6,66 s s s s m m y 15 s , f) 6,66 y 10 s. s s R.:

4) Un bote cruza un ro de 60 m de ancho con una velocidad de 4

5) Entre los muelles A y B que estn en la misma orilla de un canal rectilneo hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A hasta B, y 50 segundos en regresar. Considerando constantes los mdulos de las velocidades del bote respecto al agua y de la corriente respecto a la orilla, calcular el valor de los mismos. R.:

km desde 40m, h km km km durante 15 s. Sabiendo que la velocidad del viento es de a) 25 , b) 30 , c) 12 y h h h tiene una direccin que forma un ngulo de -35 con respecto a la direccin del ciclista, d) igual km al punto anterior pero la direccin del viento es de 35, e) es de 15 y tiene una direccin h perpendicular a la direccin del ciclista y va de izquierda a derecha. Calcular la distancia recorrida.6) Un ciclista se desplaza en lnea recta con una velocidad constante de 34 R.: a) x = 37 ,5 m , x = 154 ,8 m b)

x = 266 ,7 m ,

c)

x = 184 ,95 m ,

d)

x = 184 ,95 m ,

e)

MOVIMIENTO CIRCULAR

75

CONCEPTOS PREVIOS a) Longitud de una circunferencia b) Concepto del nmero

l = 2 r l = 2 rentonces

. Si

=

l 2r

, reemplazando tenemos

l = 3 ,14 ... d c) Elementos que se pueden encontrar en una circunferencia: M N r d o

=

o

a

b

o es el centro de la circunferencia r es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia d es el dimetro de la circunferencia, es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro o M es una recta tangente a la circunferencia. Comparte con la circunferencia un solo punto. No la corta ni la atraviesa. N es una recta secante a la circunferencia, la corta en dos puntos y atraviesa la circunferencia. es el ngulo central de la circunferencia. El vrtice del ngulo central es el centro de la circunferencia. El arco ab = r Medidas Angulares Sistema sexagesimal, es el sistema que divide a la circunferencia en 360 partes iguales 90

180

0 , 360

270 Sistema circular, se basa en ngulos centrales medidos en radianes. Un radin es un ngulo que tiene un arco cuya longitud es igual a la del radio. 1 rad 2

rad

0 rad , 2 rad

3 rad 2

76

Relacin entre el sistema circular y el sistema sexagesimal

De acuerdo a los diagramas anteriores podemos establecer las siguientes relaciones: 1 3 90 = rad , 180 = rad , 270 = rad , 360 = 2 rad 2 2

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Si atamos un cuerpo al extremo de un hilo de longitud (r) y lo hacemos girar, obtendremos un movimiento circular del cuerpo, cuya trayectoria ser un crculo de radio (r). Si el cuerpo describe arcos iguales en tiempos iguales, el movimiento se denomina Movimiento Circular Uniforme. Tambin podemos decir que un cuerpo tiene un M.C.U. cuando describe ngulos centrales iguales en tiempos iguales. La velocidad lineal o tangencial se representa con un vector tangente a la curva (comparte con la circunferencia un punto pero no la atraviesa). El vector velocidad lineal cambia permanentemente de direccin para que la partcula realice el giro, pero en cada posicin es tangente a la trayectoria. bv v

a

r

cv

dv

VELOCIDAD TANGENCIAL

(v )

La frmula para calcular la velocidad lineal o tangencial se puede deducir recordando la frmula x v = . Si el cuerpo realiza un giro completo, el espacio recorrido de la velocidad t corresponde a la longitud de una circunferencia de radio r; y la longitud de una circunferencia se calcula con la expresin l = 2 r . Entonces reemplazamos el valor de la longitud de la

77

circunferencia en la frmula de velocidad y llegamos a la frmula de la velocidad lineal o tangencial del M.C.U.

v=

2 r t

Esta relacin puede modificarse si el cuerpo da muchos giros, incorporando la cantidad de giros que da la partcula (n)

v=

2 r n t

VELOCIDAD ANGULAR () Es la relacin que existe entre el ngulo central que describe el cuerpo cuando gira con el tiempo empleado. Es decir cuando una partcula pasa del punto a al punto b en un tiempo t, describe un ngulo central a

b

sentido de giro

La frmula que nos permite calcular la velocidad angular se puede expresar:

=

t

Las caractersticas del vector velocidad angular son: a) Direccin: es perpendicular al plano al que pertenece la circunferencia que describe el mvil b) Sentido: es el mismo sentido en que avanza el tirabuzn. Un mtodo simple para poder representarlo consiste en utilizar la MANO DERECHA, orientamos con los dedos el sentido de giro del cuerpo y con el dedo pulgar marcamos el sentido del vector velocidad angular. c) Mdulo: es el valor numrico representado en una escala adecuada. Sentido de giro

78

Sentido de giro

sentido de giro

Unidades de la velocidad angular: a) si el ngulo central est medido con sistema sexagesimal b) si el ngulo central est medido con sistema circulargrados segundos radianes [] = segundos

[] =

Por ejemplo, si un cuerpo realiza una vuelta completa (o una revolucin), en un tiempo de 5 segundos, la unidad de la velocidad angular se puede expresar: 360 1 2 rad rad = 72 = 72 = 1 ,26 a) = b) = 5s s s 5s s 1 = Hz ( hertz ) En general no se escribe ni rad ni grados, por lo tanto llegamos a la expresin s RELACIN ENTRE LA VELOCIDAD LINEAL Y LA VELOCIDAD ANGULAR Cuando un cuerpo da un giro o vuelta completa tenemos que la longitud de la circunferencia es igual a 2 r , su velocidad lineal y angular se puede expresar: 2 r 2 rad v= = y Si reemplazamos el valor de la velocidad angular en la frmula t t de la velocidad lineal obtenemosv = r

CARACTERSTICAS DE LAS VELOCIDADES EN EL M.C.U. a) La velocidad lineal NO ES CONSTANTE ya que cambia permanentemente de direccin b) la velocidad angular ES CONSTANTE y es la que le da el nombre al M.C.U. Tengamos en cuenta que a medida que aumenta el radio de la circunferencia la velocidad lineal aumenta, pero la velocidad angular permanece constante.

v2

Como r2 > r1 entonces v 1 > v 2

r2

v1

Por lo tanto, podemos definir que en el M.C.U. la velocidad angular permanece constante.

ACELERACIN CENTRPETA

79

El cambio de direccin del vector velocidad lineal (no el cambio de mdulo), va a producir una aceleracin, que se denomina aceleracin centrpeta. Recordemos que el concepto de aceleracin v es la variacin de la velocidad en el tiempo: a = t La direccin y el sentido de la aceleracin centrpeta ser la del incremento de la velocidad lineal. Sentido de giro ava

a b

va

a bvb

vv vb

bvb

Teniendo en cuenta que v a + v = v b , por lo tantova vb va va

v

vb

v

vb

v

Si analizamos la variacin de vector , llegamos a la conclusin que cuando el punto b est muy v prximo al punto a, la direccin de coincide con el radio y su sentido va hacia el centro de v la circunferencia. Las frmulas de la aceleracin centrpeta son:

ac = 2 r

ac =

v2 r

Las unidades de la aceleracin centrpeta coinciden con las unidades de la aceleracin m M.R.U.V, es decir son : [ a c ] = 2 s PERODO Y FRECUENCIA

del

El perodo (T) es el tiempo medido en segundos que emplea un mvil en dar una vuelta completa. En el movimiento circular uniforme el perodo es constante. Si decimos que un cuerpo en el M.C.U. da 240 vueltas por minuto y nos piden calcular su perodo. Empleando la regla de tres simple directa podemos calcular lo pedido. Si da 240 vueltas en 60 segundos

80

entonces una vuelta

demora =

1vuelta 60 s = 0 ,25 s 240 vueltas

La frecuencia (f) es el nmero de vueltas o revoluciones que da el mvil en cada unidad de tiempo (segundo). Por ejemplo si un cuerpo tiene un perodo de 0,25s y se mueve con M.C.U. y nos piden que calculemos su frecuencia, debemos plantear una regla de tres simple directa Si en 0,25 segundos en un segundo una vuelta dar1 s 1vuelta = 4 vueltas 0 ,25 s

Resumiendo: Perodo (T) es el tiempo en dar una vuelta completa o revolucin Frecuencia (f) es la cantidad de revoluciones o vueltas completas que da el cuerpo en un segundo. La frecuencia y el perodo son magnitudes inversamente proporcionales, por lo tanto, podemos decir que, LA FRECUENCIA ES LA INVERSA DEL PERODO, en frmula se expresa:T = 1 f

f =

1 T

RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 1) Un mvil con movimiento circular uniforma tarda 5 segundos en dar dos vueltas, calcular su grados rad velocidad angular y expresarla en y en s s rad rad gr = 2 ,5 R: w = 144 y w = 0 ,8 s s s 2) Un motor efecta 2000 revoluciones por minuto. Calcular su velocidad angular en

gr sgr s

R: w = 12000 3) Un mvil se mueve con M.C.U. dando 120 vueltas por minuto. Calcular su perodo.

R: T = 0,5s

4) El perodo de un M.C.U. es de T = 0,5 s , calcular su velocidad angular. R: w = 12 ,56 5) Un motor da 3000 rev. Por minuto, obtener su perodo y su velocidad angular.

rad s

81

R: w = 314 ,15

rad s

T = 0,02 s

6) Calcular la velocidad tangencial de un mvil que describe una circunferencia de 10 cm de radio en 0,2 s Cul es el valor de la velocidad angular? Dibujar los vectores velocidad pedidos. rad cm R: w = 31 ,42 , v = 314 ,16 s s 7) Determinar la velocidad tangencial de un punto del ecuador de la Tierra, considerar como radio ecuatorial los 6000 km. km R: v = 1570 h 8) Calcular la velocidad tangencial de un punto que describe una circunferencia de 0,5 m de radio rad con una velocidad angular de 31,4 . s m R: v = 15,7 s 9) La velocidad tangencial de un punto que describe una circunferencia de 2 m de radio es de 10 m , hallar la velocidad angular, el perodo y dibujar los vectores velocidades. s rad R: w = 5 y T = 1,26 s s 10) Obtener la cantidad de vueltas completas, el ngulo barrido por el radio de la circunferencia rad que describe un cuerpo, que se desplaza con una velocidad angular de 3 en 2 minutos. s R: 57 vueltas completas y el ngulo es de 360 rad

km , sabiendo que el radio de la rueda es de 30 cm, obtener la h velocidad angular, la velocidad tangencial de un punto situado a 0,5 cm del centro de giro y graficar los vectores que intervienen. gr cm v = 27 ,78 R: w = 55 ,56 s s11) Una bicicleta corre a 60 12) Una hlice de avin da 1200 r.p.m., obtener su perodo, velocidad angular y frecuencia. vueltas rad R: T = 0,05 s , f = 20 y w = 125 ,66 s s 13) Hallar la aceleracin de un mvil que se desplaza con M.C.U. recorriendo una pista circular km de 80 m de radio, a 72 de velocidad lineal. h m R: a c = 5 2 s

82

14) Un mvil da 180 vueltas por minuto, determinar su frecuencia y perodo. R: T = 0,33 s , f = 3

rev s

15) Una esfera atada a un hilo de 2 m de largo da 120 vueltas por minuto, hallar el perodo, la velocidad angular y la velocidad tangencial. gr rad m = 4 R: T = 0,5 s, w = 720 , v = 25 ,13 s s s

km , sabiendo que el radio de la rueda es de 0,4 m, obtener su h velocidad angular y la frecuencia expresada en revoluciones por minuto. gr R: w = 37 ,5 , T = 0,16 min s16) Un vehculo marcha a 54 17) Un disco gira a razn de 60 vueltas en medio minuto, teniendo en cuanta que tiene 1 m de radio, determinar su aceleracin centrpeta. m R: a c = 157 ,91 2 s 18) Un satlite artificial gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta completa cada aproximadamente 90 min, suponiendo que su rbita es circular, que el radio medio de la Tierra es de 6370 km y que la altura media del satlite sobre su superficie es de 280 km, determinar su km velocidad tangencial en y representar grficamente v , w , a c h km R: v = 27 .855 ,45 h 19) Un mvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 hz, m determinar, el perodo, la velocidad angular, su velocidad tangencial en , su aceleracin y s graficar las magnitudes que se puedan graficar. rad m m R: T = 0,1 s , w = 62 ,8 , v = 31 ,4 , a c = 1971 ,92 s s s 20) Hallar la aceleracin que experiment el satlite del problema 18 en

m s2R:

s2 21) Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50cm de su eje, estn sometidos a una aceleracin que sea 500 veces la de la gravedad. 1 R: w = 98 ,99 , f = 15,75 hz s

a c = 9 ,003

m

83

22) Cul es la velocidad angular de la Tierra en su movimiento de rotacin alrededor de su eje? rad gr , , r . p .m . Exprese el resultado en s s gr rad = 7 ,2 10 5 R: w = 7 10 4 r . p .m . = 4 ,2 10 3 e s 23) Cul es la velocidad angular de la Tierra en su movimiento orbital alrededor del Sol, rad gr , , r . p .m . suponiendo que describe un M.C.U.? Expresar el resultado en s s gr rad = 1 ,9 10 7 R: w = 1 ,9 10 6 r . p .m . = 1 ,2 10 5 s s 24) Un reloj pulsera tiene una aguja horaria de 1 cm de largo, la minutera de 1,5 cm y la segundera de 1,8 cm. Determinar la velocidad angular, velocidad tangencial y aceleracin centrpeta de cada una. gr rad = 0 ,1 R: minutera: w = 1 ,7 10 3 ;segundera s s gr gr rad rad w = 0 ,1 =6 = 8 ,3 10 3 ; horaria w = 1 ,45 10 4 s s s s 25) Cul es la velocidad tangencial de dos puntos ubicados en cada una de las agujas del problema anterior: uno situado en el centro del reloj