Curso 2012-2013

Curso 2012-2013José Ángel Bañares 17/10/2013. Dpto. Informática e Ingeniería de Sistemas.

Inteligencia Artificial (30223)Problemas resueltos

ÍndiceProblema del laberintoPuzzle de dos dimensionesMisioneros y caníbalesA* en grafoMinimax y poda alfa-beta

Problema del laberintoprincipio fin

Una búsqueda informada puede resolver este laberinto, encontrando un

camino desde la localización inicial hasta la final. Las posibles acciones son: arriba, abajo, izquierda, derecha, que son sólo válidas si hay una línea de puntos entre las celdas del laberinto. Considerar que la heurística utilizada es la distancia en línea recta entre la posición actual y la final del laberinto.

1. La heurística propuesta ¿es admisible?¿es consistente?, y ¿La distancia al cuadrado?

2. Muestra que la búsqueda en escalada (ascenso de la colina) no podrá encontrar una solución óptima con la heurística de la distancia en línea recta.

3. ¿Qué algoritmo de búsqueda garantizaría encontrar una solución óptima con estas heurísticas heurísticas (distancia y cuadrado distancia)?

4. Indica los cuadrados buscados en el laberinto utilizando A* con la heurística dada y un coste unitario por cada movimiento.

Problema del laberinto (heurística)

y

6 7,62 6,71 5,83 5 4,24 3,61 3,16

5 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

4 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

3 ini 7 6 5 4 3 2 1 fin

2 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

1 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

22 )()(),( objobj yyxxyxh

heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo.

Es admisible (subestima) y consistente (por la desigualdad triangular)


y

6 7,62 6,71 5,83 5 4,24 3,61 3,16

5 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

4 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

3 ini 7 6 5 4 3 2 1 fin

2 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

1 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x


heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo.

Es admisible (subestima) y consistente (por la desigualdad triangular)1,4

1 6,087 <= 1,41+6,08


y

6 58 45 34 25 18 13 10

5 53 40 29 20 13 8 5

4 50 37 26 17 10 5 2

3 ini 49 36 25 16 9 4 1 fin

2 50 37 26 17 10 5 2

1 53 40 29 20 13 8 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x


heurística: cuadrado de la distancia en línea recta hasta el objetivo.

Ni admisible (sobreestima) ni consistente

Problema del laberinto (escalada)

y

6 58 45 34 25 18 13 10

5 53 40 29 20 13 8 5

4 50 37 26 17 10 5 2

3 ini 49 36 25 16 9 4 1 fin

2 50 37 26 17 10 5 2

1 53 40 29 20 13 8 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x


heurística: cuadrado de la distancia en línea recta hasta el objetivo.

Ni admisible (sobreestima) ni consistente2 37

¡49 > 2 + 37!

Problema del laberinto (escalada)

y

6 7,62 6,71 5,83 5 4,24 3,61 3,16

5 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

4 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

3 ini 7 6 5 4 3 2 1 fin

2 7,07 6,08 5,1 4,12 3,16 2,24 1,41

1 7,28 6,32 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x


heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo. El laberinto tiene dos soluciones.

1 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

15 16

17

18

19

20 21

22

23 241

3

4 5 6 7 8 9 10

11

1213

2

Problema laberinto (A*)

Laberinto con dos soluciones

y

6 4 5 6 7 8 9 10

5 3 4 5 6 15 16 11

4 2 3 4 7 14 17 12

3 ini 1 2 3 8 13 18 13 fin

2 12 11 10 9 12 19 22

1 13 12 11 10 11 20 21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

Coste del camino óptimo desde el estado inicial ( g )

Algoritmo A* ( f’ = g + h’)

22 )()(),( objobj yyxxyxh 22 )()(),( objobj yyxxyxh

¡ENCUENTRA EL ÓPTIMO! No encuentra el óptimo

y

6 62 50 40 32 26 22 20

5 56 44 34 26 28 24 16

y 52 40 30 24 24 22 14

3 ini 50 38 28 24 22 22 14 fin

2 62 48 36 26 22 24 24

1 66 52 40 30 24 28 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

y

6 11,6 11,7 11,8 12 12,2 12,6 13,2

5 10,3 10,3 10,4 10,5 18,6 18,8 13,2

4 9,07 9,08 9,1 11,1 17,2 19,2 13,4

3 ini 8 8 8 12 16 20 14 fin

2 19,1 17,1 15,1 13,1 15,2 21,2 23,4

1 20,3 18,3 16,4 14,5 14,6 22,8 23,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

Puzzle de dos dimensiones

Las figuras a) y b) muestran los estados inicial y final respectivamente de un puzzle de dos dimensiones con tres piezas (A, B y C) que pueden moverse en las cuatro direcciones, siempre y cuando los límites del tablero, las casillas negras (obstáculos que no se mueven) y las otras dos piezas no se lo impidan.

Se pide:1. Establecer las acciones y encontrar una heurística admisible

2. Dibujar el espacio de estados que se genera al aplicar el algoritmo A* explorando en un grafo. Póngase especial interés en indicar claramente los distintos valores que forman la información que permite valorar cada nodo.

Estado Inicial

Estado Objetivo

C

AB

0

C

AB

5: f'=10, g=1, h'=9

C

AB

4: f'=8, g=1, h'=7

C

A

B

3: f'=8, g=1, h'=7

CA

B

2: f'=10, g=1, h'=9

C

A B

1: f'=9, g=1, h'=8 1

C

A B

8: f'=10, g=2, h'=8

C

A B

7: f'=8, g=2, h'=6

C

AB

6: f'=8, g=2, h'=6 2

C

AB

12: f'=10, g=3, h'=7

C

AB

11: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

10: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

9: f'=10, g=3, h'=7 3

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

0: f’ =8 , g=0, h=8

1: f’ =8 , g=1, h=7

C

AB

0

C

AB

5: f'=10, g=1, h'=9

C

AB

4: f'=8, g=1, h'=7

C

A

B

3: f'=8, g=1, h'=7

CA

B

2: f'=10, g=1, h'=9

C

A B

1: f'=9, g=1, h'=8 1

C

A B

8: f'=10, g=2, h'=8

C

A B

7: f'=8, g=2, h'=6

C

AB

6: f'=8, g=2, h'=6 2

C

AB

12: f'=10, g=3, h'=7

C

AB

11: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

10: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

9: f'=10, g=3, h'=7 3

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

C

AB

0

C

AB

5: f'=10, g=1, h'=9

C

AB

4: f'=8, g=1, h'=7

C

A

B

3: f'=8, g=1, h'=7

CA

B

2: f'=10, g=1, h'=9

C

A B

1: f'=9, g=1, h'=8 1

C

A B

8: f'=10, g=2, h'=8

C

A B

7: f'=8, g=2, h'=6

C

AB

6: f'=8, g=2, h'=6 2

C

AB

12: f'=10, g=3, h'=7

C

AB

11: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

10: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

9: f'=10, g=3, h'=7 3

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

8 10 8 8 10

8

8 8 10

10 8 8 10

10 8 10

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

C

AB

18: f'=8, g=5, h'=3

C

AB

17: f'=8, g=5, h'=3

C

A

B

16: f'=10, g=5, h'=5 5

C

AB

22: f'=8, g=6, h'=2

CA

B

21: f'=8, g=6, h'=2

C

AB

20: f'=10, g=6, h'=4

CA

B

19: f'=10, g=6, h'=4 6

CA

B

24: f'=8, g=7, h'=1

CA

B

23: f'=10, g=7, h'=3 7

CAB

27: f'=8, g=8, h'=0

CA

B

26: f'=10, g=8, h'=2

CA

B

25: f'=10, g=8, h'=2 8

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

C

AB

18: f'=8, g=5, h'=3

C

AB

17: f'=8, g=5, h'=3

C

A

B

16: f'=10, g=5, h'=5 5

C

AB

22: f'=8, g=6, h'=2

CA

B

21: f'=8, g=6, h'=2

C

AB

20: f'=10, g=6, h'=4

CA

B

19: f'=10, g=6, h'=4 6

CA

B

24: f'=8, g=7, h'=1

CA

B

23: f'=10, g=7, h'=3 7

CAB

27: f'=8, g=8, h'=0

CA

B

26: f'=10, g=8, h'=2

CA

B

25: f'=10, g=8, h'=2 8

8 10 8 8 10

8

8 8 10

10 8 8 10

10 8 10

C

AB

0

C

AB

5: f'=10, g=1, h'=9

C

AB

4: f'=8, g=1, h'=7

C

A

B

3: f'=8, g=1, h'=7

CA

B

2: f'=10, g=1, h'=9

C

A B

1: f'=9, g=1, h'=8 1

C

A B

8: f'=10, g=2, h'=8

C

A B

7: f'=8, g=2, h'=6

C

AB

6: f'=8, g=2, h'=6 2

C

AB

12: f'=10, g=3, h'=7

C

AB

11: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

10: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

9: f'=10, g=3, h'=7 3

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

10 8 8

10 10 8 8

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

C

AB

18: f'=8, g=5, h'=3

C

AB

17: f'=8, g=5, h'=3

C

A

B

16: f'=10, g=5, h'=5 5

C

AB

22: f'=8, g=6, h'=2

CA

B

21: f'=8, g=6, h'=2

C

AB

20: f'=10, g=6, h'=4

CA

B

19: f'=10, g=6, h'=4 6

CA

B

24: f'=8, g=7, h'=1

CA

B

23: f'=10, g=7, h'=3 7

CAB

27: f'=8, g=8, h'=0

CA

B

26: f'=10, g=8, h'=2

CA

B

25: f'=10, g=8, h'=2 8

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

C

AB

18: f'=8, g=5, h'=3

C

AB

17: f'=8, g=5, h'=3

C

A

B

16: f'=10, g=5, h'=5 5

C

AB

22: f'=8, g=6, h'=2

CA

B

21: f'=8, g=6, h'=2

C

AB

20: f'=10, g=6, h'=4

CA

B

19: f'=10, g=6, h'=4 6

CA

B

24: f'=8, g=7, h'=1

CA

B

23: f'=10, g=7, h'=3 7

CAB

27: f'=8, g=8, h'=0

CA

B

26: f'=10, g=8, h'=2

CA

B

25: f'=10, g=8, h'=2 8

8 10 8 8 10

8

8 8 10

10 8 8 10

10 8 10

C

AB

0

C

AB

5: f'=10, g=1, h'=9

C

AB

4: f'=8, g=1, h'=7

C

A

B

3: f'=8, g=1, h'=7

CA

B

2: f'=10, g=1, h'=9

C

A B

1: f'=9, g=1, h'=8 1

C

A B

8: f'=10, g=2, h'=8

C

A B

7: f'=8, g=2, h'=6

C

AB

6: f'=8, g=2, h'=6 2

C

AB

12: f'=10, g=3, h'=7

C

AB

11: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

10: f'=8, g=3, h'=5

C

AB

9: f'=10, g=3, h'=7 3

C

AB

15: f'=10, g=4, h'=6

C

AB

14: f'=8, g=4, h'=4

C

A

B

13: f'=10, g=4, h'=6 4

10 8 8

10 10 8 8

10 8

10 10 8

Problema misionero y caníbales En la orilla de un río hay 3 misioneros y 3 caníbales y todos ellos

pretenden cruzar al otro lado. La barca que se utiliza para cruzarlo solo tiene capacidad para dos personas, con lo que alguien ha de estar volviendo siempre a la orilla inicial mientras quede gente sin cruzar. Además, si en alguna ocasión y en cualquiera de las orillas se encuentran un número mayor de caníbales que de misioneros, los primeros se comerán a los segundos.

1. ¿Cómo representarías los estados?

2. ¿Cuáles serian los operadores?

3. ¿Qué heurísticas existen para este problema? ¿Son admisibles?

Problema misioneros - ESTADO ESTADO: Se podría indicar la posición de la barca, junto con el

número de misioneros y caníbales que hay en cada lado. Se podría pensar que, dado que el número de personas en el extremo final puede

calcularse a partir de los que hay en el inicial, basta con indicar la posición de la barca y los misioneros y caníbales que quedan en el extremo inicial. Sin embargo, la primera aproximación permite describir más fácilmente las precondiciones y efectos de los operadores, por lo que mantenemos la representación inicial. Además, el espacio de estados tiene el mismo tamaño e idéntica semántica con ambas representaciones.

Formalmente, un estado será representado por una terna (Mi, Ci, B, Mf ,Cf ) en la que: B ∈ [i, f] indica la posición de la barca, por lo que toma el valor i si está en

el extremo inicial, o f si está en el final Mi, Ci, Mf, Cf ∈ [0,..., 3] indican el número de misioneros y caníbales

que quedan en el extremo inicial y final del río, respectivamente

De esta manera, el estado inicial se representa como (3, 3, i, 0, 0) y el estado final como (0, 0, f, 3, 3)

Problema misioneros - ACCIONESSe dispone de 5 acciones que transportan personas de la orilla x

a la orilla y: Mover1C(x, y) transporta 1 caníbal desde la orilla x hasta la orilla y Mover2C(x, y) transporta 2 caníbales desde la orilla x hasta la orilla y Mover1M(x,y) transporta 1 misionero desde la orilla x hasta la orilla y Mover2M(x,y) transporta 2 misioneros desde la orilla x hasta la orilla y Mover1M1C(x,y) transporta 1 misionero y un cabinal desde x hasta y

El modelo de transiciones debe representar las precondiciones de cada acción y sus efectos.

Modelo transiciones

La persona debe estar en la orilla para moverseLa barca debe estar en la orilla

Evitamos movimientos que llevan a que hayaMas caníbales que misioneros en una orilla.

12

3

3 grupos de precondiciones

Misioneros y caníbales (heurísticas) Vamos a obtener las heurísticas por relajación del problema original.

Para dicha relajación, partimos de las precondiciones expuestas. Eliminar primer grupo de precondiciones. Si eliminamos ese primer

grupo de condiciones, se obtiene un problema relajado que no parece ser mucho más fácil de resolver que el problema original, por lo que no tiene mucho sentido.

Eliminar segundo grupo de precondiciones. Se puede asumir que hay infinitas barcas tanto en un lado como en otro. Este problema tiene una solución muy sencilla, que es asumir que siempre viajan un caníbal y un misionero juntos, con la acción Mover1M1C(i,f). Por tanto, la heurística resultante de este problema relajado es:

asumiendo que en el estado n se cumplen los requisitos definidos por el grupo de precondiciones 3.

?

Misioneros y caníbales (heurísticas) Vamos a obtener las heurísticas por relajación del problema original.

Para dicha relajación, partimos de las precondiciones expuestas. Al eliminar el tercer grupo de condiciones, obtenemos un problema relajado

en el que los caníbales nunca se comen a los misioneros. Entonces, en cada viaje de ida y vuelta, podemos transportar a una persona (dado que la otra tendrá que volver para llevar la barca). Por tanto, la heurística resultante es:

donde orilla(n) = 1 si en el estado n la barca está en la orilla i (B = i), y orilla(n) = 0 si la barca la orilla final (B = f).

Si eliminamos el grupo de precondiciones 2 y 3 a la vez es equivalente a eliminar solo la precondición 2.

Misioneros y caníbales (heurísticas)Las dos heurísticas son admisibles, puesto que son resultado

de relajar el problema original. Para decidir qué heurística elegir, h1 o h2, estudiamos cuál

es la más informada, puesto que será la que, siendo admisible, tendrá un valor más cercano a h∗. Se observa fácilmente que la más informada es h2, puesto que h1(n) ≥ h2(n), sea cual sea el valor de Ci y de Mi para el estado n. Por tanto, elegimos h2(n).

Misioneros y caníbales (exploración)Aplicar el algoritmo de búsqueda A* sobre la representación

del problema de los misioneros y los caníbales. Especifica cuándo un nodo del árbol de búsqueda es expandido y cuándo es sólo generado. Utiliza la heurística resultante de relajar el tercer grupo de precondiciones.

A* en grafo Aplicar el algoritmo de búsqueda

A* en grafo al siguiente grafo de estados. El nodo inicial es A y hay un solo nodo objetivo, que en este caso es Z. A cada arco se le ha asociado un coste y a cada nodo la estimación de la menor distancia de ese nodo al nodo objetivo (hay que asumir que se trata de una heurística admisible). Se pide el orden en que los nodos son expandidos y el orden de la solución. Justifica tu solución dibujando en la siguiente página el árbol que se genera en la búsqueda indicando: f’, g y h’, así como el nº de orden en que los nodos son visitados

80 A

27 B 60 C 70 E65 D

50 F

50 H50 G

0 Z

151010

53

30

4

3035

2

5 10

80 A

27 B 60 C 70 E65 D

50 F

50 H50 G

0 Z

151010

53

30

4

3035

2

5 10

A 800

801

B 274

312C 60

10

704D 65

10

755E 70

15

856

F 509

593

G 5044

94

F 5015

65F 50

20

70F 50

18

68H 50

45

95

H 5039

897

Z 041

418

MALSería correcto si añadiéramos la restricción de que sóloSe pueden aplicar acciones para ir hacia abajo y no volverHacia arriba.

80 A

27 B 60 C 70 E65 D

50 F

50 H50 G

0 Z

151010

53

30

4

3035

2

5 10

A 800

801

B 274

312C 60

10

704D 65

10

755E 70

15

85

F 509

593

G 5044

94

F 5015

65F 50

20

70

F* 5015

65 H 5042

92

H 5039

897

Z 041

418

A* 808

88A*80

10

98

A*8020

100

B* 2714

41 C 6014

74D 60

19

84

E 7012

826

A*8030

100

F*5069

119

*Nodos expandidos previamente, no haría falta calcular coste

Minimax / Poda alfa-beta

873 8410 572

max

min

873 8410 572

max

min

Búsqueda en juegos [7 mi] Considerar el árbol de juego mostrado abajo. Asumir que el nodo de arriba es un nodo max. Las etiquetas de los arcos son los movimientos. Los números en el nivel de abajo son los valores heurísticos de esas posiciones.• Completa el árbol de juego utilizando una búsqueda mini-max• Indica las ramas podadas con una poda alfa-beta con una búsqueda de izquierda a

derecha. Indica los valores que van tomando alfa y beta en cada nodo• Reordena las hojas de los nodos de forma que resultara en el máximo número de nodos

podados en una poda alfa-beta de izquierda a derecha (indica también las ramas podadas). Reordena los hijos pero preserva las relaciones padre-hijo.

Minimax /Poda Alfa-beta

873 8410 572

max

min

4

873

<=243

8410 572

max

min

4

8410

<=2<=34

873 572

max

min

4

873

243

8410 572

max

min

Minimax y Poda alfa-betaDado el árbol de la figura

1. Señala las estrategia ganadoras, si las hubiera, para un jugador MAX y para un jugador MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6.

MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4


Señala las estrategia ganadora, si las hubiera, para un jugador MAX y para un jugador MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6.

MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX64

6

6

8 1

8

7 8

7

8 4

4

7MAX tiene dos estrategias ganadoras => MIN no.


Señala las estrategia ganadora, si el nodo inicial fuera MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6.

MIN

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MAX

MIN

MAX

MAX

MIN6 7 9 56 5

6 6 8 4

6 86

6MIN no tiene estrategia ganadora


2. Recorre el árbol de izquierda a derecha, siguiendo el método de poda alfa-beta, indicando claramente (tachando con una x) los nodo en que se produce poda. Encuadra /marca los nodos terminales que no ha sido necesario recorrer. Señala el valor de la decisión más acertada para MAX.

MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-betaDatos a marcar

Los valores de alfa y beta con los que se hace cada llamada recursiva desde cada nodo. Convenio

Si las llamadas se hacen desde un nodo MAX, alfa (a) será un valor que puede ir aumentando, hasta igualar o superar a beta (b), en cuyo caso se producirá una poda alfa. Estas llamadas las marcaremos con (a=valor1, valor2), para reslatar que es el cambio de a el que determina el que haya poda o no.

Si las llamadas se hacen desde un nodo MIN, beta(b) será un valor que puede ir disminuyendo, hasta igualar o quedar por debajo de alfa (a), en cuyo caso se producirá una poda beta. Estas llamadas las marcaremos con (valor1, b=valor2).

EL segundo dato relacionado con el nodo a marcar, es el resultado que se devuelve al nodo padre.

Marcado de una Poda alfa-beta

MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX

(a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b

(valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a

(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞, b= ∞)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4 6

(-∞, b= ∞)

(-∞,b= 4)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4 6

(-∞, b= ∞)

(-∞,b= 4)4

(a=4, ∞)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4 6

(-∞, b= ∞)

(-∞,b= 4)4

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4 6

(-∞, b= ∞)

(-∞,b= 4)4

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7 6

(4, b=7)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

6


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8

(7,b= 8)

(a=7, 8)


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8

(7,b= 8)

(a=7, 8)4


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8

(7,b= 8)

(a=7, 8)4

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8

(7,b= 8)

(a=7, 8)4

7

77

7


MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MIN

MAX4



(a=-∞, ∞)

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

4

(-∞,b= 4)

6

(a=4, ∞)

(4, b=∞)

7

(4, b=7)

6

(-∞, b= ∞)

6

6

(-∞, b= 6)

(a=-∞, 6)

(-∞, b=6)

8

(-∞, b=6)

9

6

xPoda a:a(=6)=

66

6(a=6, ∞)

(6, b=∞)

(a=6, ∞)

6

(a=6, ∞)

7

7

(6, b=7)

(a=6, 7)

8

Poda a:a(=8)>

7x7

7

(a=7, ∞)

(7,b= ∞)

(a=7, ∞)8

8

(7,b= 8)

(a=7, 8)4

7

77

7 ¡Cuidado!

Valor con Poda alfa-beta

MAX

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MIN

MAX

MIN

MAX



xPoda a:a(=6)=

6 Poda a:a(=8)>

7x

7 ¡Cuidado!

MIN4 6 8

6 8

6

7 8

7

8 4

4

Marcado de una Poda alfa-betaPoda del árbol comenzando por MIN

MIN

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MAX

MIN

MAX

MAX

MIN


MIN

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MAX

MIN

MAX

MAX

MIN6

Poda del árbol comenzando por MIN

(-∞,b= ∞)

(a=-∞, ∞)

(-∞, b= ∞)

4

(a=4,b= ∞)

6

(-∞, b=6)

(a=-∞, 6)

7

(a=-∞, ∞)

6

6

(a=6, ∞)

(6,b= ∞)

(a=6,∞)

8

(a=8,∞)

9

9

6

6 (-∞,b= 6)

(a=-∞, 6)

(a=6, 9)

6

(-∞, b=6)

7

6

(-∞, b=6)

Poda a:a(=6)=

66

(-∞,b= 6)

(a=-∞,6)

8

6

67

7

Poda a:a(=7)>

6x(6,b= 9)

(a=6, 9)

51

6(-∞,b= 6)

Poda a:a(=6)=

6x x

Valor con Poda alfa-beta

MIN

4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

MAX

MIN

MAX

MAX

MIN

Poda del árbol comenzando por MIN

Poda a:a(=6)=

6Poda a:a(=7)>

6x

Poda a:a(=6)=

6x x

6 7

6

9 5

5

6

6

6

8

8

6

Inteligencia Artificial

(30223) Grado en Ingeniería Informática

.

Curso 2012-2013

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