18

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Oscar Cardona Villegas

Héctor Escobar Cadavid

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERÍAS

2016

MÓDULO 2

VECTORES

En la matemática moderna se ha llegado al concepto de vector por una

generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario

de tres dimensiones. En geometría analítica, que es una amalgama del álgebra y

la geometría, los vectores se emplean tanto en sentido geométrico como en

sentido algebraico, por lo tanto se abordará el estudio de los vectores bajo ambas

perspectivas.

2.1 DEFINICIÓN DE VECTOR

Los vectores tuvieron su origen en la física. Se usaron por primera vez en

mecánica para representar una fuerza concentrada. Se sabe que hay dos tipos

básicos de cantidades que se consideran en la física: las que quedan

completamente determinadas por una magnitud y se denominan escalares. Toda

cantidad escalar se representa con un número real que indica su magnitud según

una escala o unidad de medida elegida previamente. Son ejemplos de cantidades

escalares: tiempo, distancia, masa, densidad, temperatura, trabajo, carga

eléctrica, área, volumen y población. Como los escalares son números reales, se

usa el álgebra de reales para operarlos. En este libro los escalares se van a

representar con letras minúsculas.

El otro tipo de cantidades físicas son aquellas que, para quedar completamente

determinadas, necesitan de dos características: magnitud y dirección, y se

20

denominan vectores. Son cantidades vectoriales, la posición relativa entre dos

puntos, fuerza, velocidad, aceleración y momento entre otras.

Los vectores forman un conjunto con el cual se puede constrir un álgebra. El

álgebra de los reales no sirve para hacer operaciones con vectores.

2.1.1 Definición geométrica

Se llama vector AB al segmento de recta dirigido u orientado cuyo punto inicial u

origen es A y cuyo punto final o extremo es B .

La longitud del segmento AB , definida una unidad de medida, es la magnitud o

módulo del vector y se representa AB . La inclinación del vector AB es la de la

recta AB (Toda recta determina una inclinación y todas las rectas y segmentos

paralelos a ella tienen la misma inclinación), y el sentido, dada una inclinación, es

en el que se hace el recorrido de A hacia B . Inclinación y sentido constituyen la

dirección del vector la cual se representa dirAB . En este orden de ideas, todo

vector AB está asociado con el movimiento de una partícula en línea recta desde

el punto A hasta el punto B. El vector AB se representa con una flecha que

indica la magnitud y la dirección.

Figura 2.1. Definición geométrica de vector

El vector AB se puede denotar de varias formas:

a. Las letras de su punto inicial y final, en ese orden, con una flecha encima o

sin ella : AB����

o AB

b. Con una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima: ���A ��a , �i , ��v

Nota: En este texto, sin embargo y por conveniencia, se van a representar los

vectores con negrilla.

Dados dos vectores AB y CD , si ocurre que al hacer coincidir su punto inicial A

con el punto inicial C , también coinciden sus puntos finales B y D , se dice que

AB es igual a CD , lo cual se escribeAB CD= . Esto implica que AB y CD

tienen la misma magnitud y la misma dirección. Todos los vectores iguales a AB

forman una clase* de vectores que se denomina vector libre . Es decir todos los

segmentos de recta dirigidos con igual módulo y dirección representan al mismo

“ente” geométrico denominado vector libre, o simplemente vector. Entonces, un

vector (libre) no tiene puntos inicial y final definidos sino que puede trasladarse

paralelamente a si mismo sin que cambien sus características.

Definición 2.1

Un vector, geométricamente, es un segmento de recta dirigido caracterizado por

una magnitud y una dirección.

Definición 2.2

a. Al vector cuyo módulo es cero se le llama vector nulo, se representa por 0 y

se acepta que no tiene dirección.

b. Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo sea la unidad.

* o conjunto.

22

c. Un vector que tenga la misma inclinación y el mismo módulo que AB , pero

sentido opuesto, se llama vector inverso el cual es único, y se escribe BAo

AB− . Además se cumple que ( )AB AB− − = .

d. Un vector con la misma inclinación y sentido contrario que AB (y cualquier

magnitud) se llama vector opuesto.

2.1.2 Definición algebraica

La definición algebraica de un vector se establece al referirlo a un espacio

euclidiano n-dimensional. Es posible asociar a cada punto P de nE un vector

cuyo punto inicial sea el origen de nE y cuyo punto final sea el punto P . A este

vector OP que también se representa R , se le denomina vector de posición o

vector radar de P. De este modo a cada punto P de nE le corresponde un único

vector R y cada vector R está asociado con un único punto de nE . Esta

biyección permite representar al vector de posición correspondiente al punto P de

coordenadas 1 2 3( , , ,... )nx x x x con la misma n-ada pero escrita

1 2 3, , ,... nx x x x solo para evitar confusiones.

Definición 2.3

Algebraicamente un vector es una n-ada ordenada de números reales

1 2, ,... nx x x en nE . Los ix 1,2,...,i n= se llaman componentes del vector.

Los vectores de posición son importantes en la determinación de la ecuación

vectorial de un conjunto de puntos de un espacio.

Un vector 1 2, ,... nx x x es libre, es decir que no es necesariamente un vector de

posición sino que puede tener su punto inicial en cualquier punto de nE , pero si

se toma como vector de posición (vectores de la misma clase) su punto final tiene

coordenadas 1 2 3( , , ,... )nx x x x .

En la siguiente figura se ilustran los casos en 2E y 3E .

Figura 2.2. Definición algebraica de vector

En nE , el vector nulo es =0 0,0,...,0 y el vector inverso de = 1 2, ,..., nA x x x

es − = − − −1 2, ,..., nA x x x

Una vez establecida la intima relación entre los vectores y el conjunto de las n-

adas de números reales en un espacio euclidiano (isomorfismo entre vectores y

ℝn ) resulta sencillo poder determinar la magnitud y la dirección de un vector si se

conocen las componentes de la n-ada que lo representa.

Sea = 1 2, ,..., nV x x x un vector de nE . Para determinar su magnitud y dirección,

se toma V como un vector de posición. De este modo:

a. El módulo de V es la distancia del origen al punto 1 2( , ,... )nP x x x= .

24

b. La dirección de V se da en términos de los cosenos de los ángulos que la

recta que contiene al vector de posición forma con cada uno de los semiejes

positivos coordenados. Estos cosenos se llaman cosenos directores de V .

Definición 2.4

Dado un vector = 1 2, ,... nV x x x de nE , entonces :

a. El módulo de V es 2

1

n

ii

V x=

= ∑

b. La dirección de V está dada por cos( ) ii

x

Vθ = , [ ]0, , 1,2,..,i i nθ π∈ =

Actividad en clase : Ilustrar los casos de 2E y 3E y casos particulares.

2.2 ALGEBRA VECTORIAL

Sea *V el conjunto de los vectores. Es posible dotar a *V de algunas leyes de

composición para construir un álgebra de vectores. Estas operaciones se definen

tanto en el sentido geométrico de los vectores como en el sentido algebraico, sin

embargo las demostraciones de las propiedades se hacen algebraicamente.

2.2.1 Igualdad

a. La igualdad geométrica de vectores ya fue definida: dos vectores A y B son

iguales,A B= , si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección, es

decir A B= si y sólo si =AB CD y =dirAB dirCD

b. En forma algebraica, los vectores = 1 2, ,... nA a a a y = 1 2, ,... nB b b b de nE

son iguales si y sólo si =i ia b para 1,2,..., .i n=

La igualdad de vectores es una relación de equivalencia lo que significa que

cumple ser reflexiva, simétrica y transitiva. Para , y A B C vectores,

a. Reflexiva: =A A

b. Simétrica: Si A B= entonces =B A

c. Transitiva: Si A B= y =B C entonces =A C

2.2.2 Adición

a. Método geometrico: Dados A , *B V∈ . Sea 0 1PP el segmento orientado que

representa al vector A , el vector B se puede representar por medio de un

segmento orientado que tenga su origen en 1P y su extremo en 2P . Se define

el vector suma A B+ como el representado por el segmento orientado 0 2PP .

Esta se conoce como la regla del polígono para sumar vectores. (fig. 2.3)

Figura 2.3. Adición de vectores

Existe un método análogo, llamado regla del paralelogramo, el cual usted debe

describir.

b. Método algebraico: Dados los vectores de nE , = 1 2, ,... nA a a a y

= 1 2, ,... nB b b b , el vector A B+ está dado por:

+ = + + +1 1 2 2, ,... n nA B a b a b a b

26

Teorema 2.1

{ }*,V + es un grupo abeliano. Este enunciado es equivalente a decir que la

adición de vectores es una OBI* y que cumple las siguientes propiedades :

Para todoA , B , *C V∈ ,

a. Conmutativa: A B B A+ = + .

b. Asociativa: ( ) ( )A B C A B C A B C+ + = + + = + + .

c. Neutro: 0 0A A A+ = + = , siendo0el vector nulo.

d. Inverso: ( ) 0A A+ − = de donde A− es el inverso de A .

Demostración de la propiedad b. para vectores en 3E

Sean = = =1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,A a a a B b b b C c c c

Entonces + + = + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) , , , , , ,A B C a a a b b b c c c

+ + = + + + +1 1 2 2 3 3 1 2 3( ) , , , ,A B C a b a b a b c c c

+ + = + + + + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) , ,A B C a b c a b c a b c

+ + = + + + + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ), ( ), ( )A B C a b c a b c a b c

+ + = + + + + 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) , , , ,A B C a a a b c b c b c

( ) ( )A B C A B C+ + = + +

Actividad para el estudiante : justificar los pasos de la propiedad anterior y hacer

una grafica ilustrativa.

Teorema 2.2

La desigualdad triangular :

Para todo A , *B V∈ , A B A B+ ≤ +

Actividad en clase : Demostrar el teorema 2.2.

La existencia de inversos permite definir la diferencia de vectores: para todo A ,

*B V∈ :

( )A B A B− = + −

Es decir, la diferencia entre A y B es la suma de A y el inverso de B .

a. En forma geométrica si 0 1PP es el segmento dirigido que representa a A y

0 2PP el segmento que representa a B , entonces el segmento dirigido 2 1PP

representa a A B− .

Figura 2.4. Diferencia de vectores

b. En forma algebraica, si = 1 2, ,... nA a a a y = 1 2, ,... nB b b b entonces

− = − − −1 1 2 2, ,... n nA B a b a b a b

Teorema 2.3

A partir de las propiedades de grupo abeliano de { }*,V + se obtienen las

siguientes propiedades de la diferencia.

28

Para todo A , *B V∈ se cumplen:

a. ( )A B A B− + = − −

b. si A B= entonces A B− = −

c. 0 A A− = −

d. 0A A− =

La adición de vectores permite obtener las componentes de un vector en nE del

cual se conocen las coordenadas de su punto inicial y de su punto final. Si V es

un vector cuyo punto inicial es 1 1 2( , ,... )nP x x x= y cuyo punto final es

2 1 2( , ,... )nP y y y= entonces los vectores de posición de 1P y 2P son,

respectivamente, =1 1 2, ,... nOP x x x y =2 1 2, ,... nOP y y y

Por adición de vectores,

1 1 2 2OP PP OP+ =

de donde se obtiene que

1 2 2 1PP OP OP= −

es decir,

= − − −1 2 1 1 2 2, ,... n nPP y x y x y x

Ilustración :

Si 1 (3,4, 2,5)P = − y 2 (1, 7,4,8)P = − , son dos puntos de 4E , el vector 1 2PP es,

= − = − −1 2 2 1 2, 11,6,3PP OP OP

2.2.3 Producto de un vector por un escalar

Se define una operación binaria externa en vectores por medio de Re así:

Para todo ∈ℝa y todo *A V∈ el producto de a y A es el vector aA .

a. En sentido geométrico aA tiene las siguientes características,

• aA a A= , donde a representa al valor absoluto de a .

• aA tiene la misma inclinación que A y su sentido concordante o discordante

con A según a sea positivo o negativo.

En la fig. 2.5 se ilustran los vectores A , 3A y 2A− .

Figura 2.5. Producto de un vector por un real

b. En sentido algebraico, si = 1 2, ,... nA x x x es un vector de nE y ∈ℝa

entonces: = 1 2, ,... naA ax ax ax

Teorema 2.4

Para todos A , *B V∈ y todos a , ∈ℝb , se cumplen:

a. ( )a b A aA bA+ = +

30

b. ( )a A B aA aB+ = +

c. ( ) ( )ab A a bA=

d. 1A A= y 1A A− = −

e. 0 0A = y 0 0a =

Con estas propiedades {V*,+, aA} es un espacio lineal real.

Actividad para el estudiante : Probar estas propiedades e ilustrarlas

gráficamente.

Al vector aA se le llama múltiplo escalar de A , de donde resulta obvio que dos

vectores son paralelos si y sólo si uno es múltiplo escalar del otro.

Con esta idea en la mente, el vector A

A es paralelo a A por medio del escalar

1

A si 0A ≠ . Este vector se representa por AU y se denomina vector unitario en

la dirección de A .

Actividad en clase : Probar que el vector A

AU

A= es unitario.

2.2.4 Ejercicios

Ejercicios básicos.

1. Dados los vectores de 3E , = −6, 2,5u , = 3,0,5v y = −2,4, 9w , halle

a. u v+

b. u v+

c. u v w− +

d. 3 3u u− +

e. 3 5 4u v w− +

f. w

w

g. w

w

h. 2 u w

v

2. Halle escalares a y b tales que

a. = +,3 2,a a b

b. =4, 2,3b a

c. + = −, 2,6a a b b

d. −− = +5

4,2, 3, ,a b a b ab

3. Si el punto inicial del vector = − −2,4, 1X es (2, 1,4)P − , halle su punto final.

Si el punto final del vector = 2,0,7Y es (2,0, 7)Q − , halle su punto inicial.

4. El vector de posición de una partícula móvil es = −2 3( ) 3,4 ,R t t t siendo t el

tiempo. Halle el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [ ]1,7 .

5. Demuestre que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un

vector en nE es igual a la unidad.

32

6. Halle los cosenos directores de los vectores

a. = −1,1,1A

b. = − −7, 3, 5B

c. = −1,2,9, 3,5C

7. Para qué valores de t en reales los vectores = − −, , 1A t t t y

= +,10 ,6B t t de 3E tienen un ángulo π entre ellos.

8. Dados los puntos (3, 1,6)A = − y (5,4,2)B = de 3E , halle las coordenadas de

un punto C tal que AC sea el doble AB y B esté entre A y C .

9. Determine un vector de 3E cuya magnitud sea igual a la de = −7, 5,12A y

cuya dirección sea la de = − −6,9, 10B .

10. Usando vectores verifique que los puntos de 2E (4, 2)− , (10,8) , ( 6,5)− y

(0,15) son los vértices de un paralelogramo.

11. Un vector de 3E tiene magnitud 2 y dirección de modo que su ángulo con el

eje x es 3π y con el eje y es 4π , halle las componentes del vector.

12. Demuestre que si =1 1 1,A x y y =2 2 2,A x y son vectores de 2E , entonces

1A es paralelo a 2A si y solo si 1 2 2 1 0x y x y− = .

13. Halle los vectores de 4E que siendo unitarios son paralelos a 1,2,2,0

Ejercicios avanzados

1. Sean A , B y C puntos colineales. Si C divide al segmento AB en una razón

a

b, es decir =

AC a

CB b, demuestre que

bOA aOBOC

a b

+=+

siendo O un punto

exterior a la recta.

2. Halle para qué valores reales de t y u , los puntos1(2,3)P , + +2(1 ,1 )P t u y

3(2 ,2 )P t u son colineales.

3. Usando vectores demuestre que el baricentro de un triángulo divide cada

mediana en la relación 2 :1.

4. Si (2,5)A = , ( 1,3)B = − y (7,4)C = son tres vértices de un paralelogramo de

2E , usando vectores halle las coordenadas del cuarto vértice (dos respuestas)

5. Pruebe que si , ,a b c ∈ℝ no son todos nulos, los vectores , ,a b c y

, ,ka kb kc tienen la misma dirección si 0k > y dirección contraria si 0k <

( ∈ℝk )

6. Halle un vector de 4E que tenga su punto inicial en el punto medio del

segmento entre los puntos (2,5,0, 4)− y ( 6,7, 2,2)− − y su punto final en el

punto final del vector de posición −1,2, 3,8 .

34

Antes de definir otras operaciones con vectores, se hace necesario introducir unos

conceptos básicos del álgebra lineal.

2.3 CONCEPTOS DEL ÁLGEBRA LINEAL.

2.3.1 Dependencia lineal

Definición 2.5

Dado un conjunto de vectores 1 2, ,..., rA A A de V* y un conjunto de números

reales iα 1,...,i r= se llama vector combinación lineal (C.L) de los iA

1,...,i r= a cualquier vector obtenido como 1

r

i ii

Aα=∑ para cualquier conjunto de

valores de los iα .

De otro modo, un vector combinación lineal es la suma de múltiplos escalares de

los iA , 1,...,i r= . Los iα se llaman componentes escalares de la combinación

lineal y los iA componentes vectoriales.

Ilustración :

Dados los vectores = 1,2,3A , = − −4, 3, 1B , = − −5, 3,5C y = −2,1,6D .

a. Una combinación lineal de , , A B C yD es

− − = − + −3,4, 22 2 3 6A B C D

b. El vector D se puede escribir como combinación lineal de , A B y C como

141 16 67

129 129 129D A B C= − +

El vector nulo puede expresarse como C.L. de cualquier conjunto de vectores. Lo

más simple es que 1 20 0 0 ...0 rA A A= + + , la cual se denomina C.L. trivial.

Todo vector es C.L. de si mismo: 1A A=

Definición 2.6

Dado un conjunto de vectores { }*1 2, ,..., rS A A A= de *V ; si ocurre que la

combinación lineal 1

0r

i ii

Aα=

=∑ se da únicamente en el caso trivial, es decir,

cuando todos los 0iα = entonces se dice que los iA son linealmente

independientes (L.I) o que *S es libre o que los vectores son libres. Pero si ocurre

que la C.L. se presenta para el caso no trivial (o sea sin que todos los iα tengan

que ser0 ) entonces los iA son linealmente dependientes (L.D) o el conjunto

*S es ligado o los vectores son ligados entre si.

Ilustración : Se puede verificar que los vectores de 3E = −1,3, 2A , = 3,1,1B

y = −5, 1,4C son L.D ya que existen escalares ,a b y c diferentes de cero tales

que 0aA bB cC+ + = .

Una de las infinitas posibilidades es que 2, 4a b= − = y 2c = − . Efectivamente

2 4 2 0A B C− + − = .

El lector deberá encontrar otra solución.

Notas:

a. Hay que tener muy en cuenta que un conjunto de vectores es L.I si y sólo si

la única CL que produce el vector nulo es la trivial.

36

b. Un conjunto de vectores debe o bien ser L.I o bien L.D pues estos son

eventos mutuamente excluyentes.

c. Si { }*S A= y 0A ≠ , entonces *S es libre.

d. Si *0 S∈ entonces *S es ligado.

Actividad en clase : Justificar las proposiciones (iii) y (iv).

Teorema 2.5

a. Dos vectores son paralelos si y sólo si son L.D.

b. Dos vectores son no paralelos si y sólo si son L.I.

c. Tres vectores son coplanares si y sólo si son L.D.

d. Tres vectores son no coplanares si y sólo si son L.I.

Actividad en clase : Demostrar algunos de estos enunciados

Teorema 2.6

a. Un conjunto *S de vectores es L.D si y sólo si al menos un vector de

*S puede expresarse como CL del resto de vectores de *S .

b. Un conjunto { }*1 2, ,..., mS A A A= de vectores de nE es L.D sim n> , esto

equivale a decir que si *S es libre entonces *S tienen a lo sumo n vectores.

Demostración del teorema 2.6 a.

Como este teorema es un bicondicional, demostremos uno de los condicionales:

Si el conjunto { }=*1 2, ,..., nS A A A es un conjunto de vectores L.D, al menos un

vector es C.L. del resto.

Por la definición de dependencia lineal:

1 1 2 2 ... 0n nA A Aα α α+ + + = con al menos un 0iα ≠

Sin perder generalidad hagamos 1 0α ≠ :

2 31 2 3

1 1 1

... nnA A A A

α α αα α α

= − − − −

Sustituyendo los αα

+− 1

1

i por jβ (j = 2,3,…, n) nos queda:

1 2 2 3 3 ... n nA A A Aβ β β= − − − − , lo cual nos dice que un iA de *S se puede

expresar como C.L de los restantes vectores.

2.3.2. Ejemplos

Si { , ,A B C } es un conjunto de vectores L.I, pruébese que { , , A B A C B C+ + + }

también es L.I.

Solución:

Acudiendo a la definición de vectores L.I, se debe cumplir que:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0A B A C B Cα α α+ + + + + =

solo si 1 2, α α y 3α son cero.

Por las propiedades de espacio vectorial de *V

1 1 2 2 3 3 0A B A C B Cα α α α α α+ + + + + =

También, 1 2 1 3 2 3( ) ( ) ( ) 0A B Cα α α α α α+ + + + + =

y como , A B y C son L.I, entonces

1 2 0α α+ =

1 3 0α α+ =

2 3 0α α+ =

38

al resolver este sistema se llega a que la única solución es si 1 2 3 0α α α= = = , lo

que implica que { , , A B A C B C+ + + } es L.I.

2. Encuentre con que condiciones los vectores de 2E , ,a b y + −,a b a b son

L.D.

Solución:

Dos vectores paralelos son L.D, entonces se debe cumplir que

= + −, ,a b k a b a b porque dos vectores son paralelos si uno es múltiplo

escalar del otro.

De ahí que ( )a k a b= + y ( )b k a b= − .

De la primera ecuación a

ka b

=+

a b≠ − , reemplazando en la segunda

( )a

b a ba b

= −+

; 2 2 2 0a b ab− − = ∴ (1 2)a b= ± que es la condición pedida.

2.3.3 Base de un E n

Definición 2.7

Se llama base de nE a un conjunto *B finito, no vacío que cumple que :

a. Los vectores de *B son L.I.

b. Cualquier vector de nE es una CL de los elementos de *B . En álgebra lineal

esto se expresa diciendo que *B es un generador de nE o que *B genera a

nE .

Teorema 2.7

Toda base de nE tiene exactamente n vectores.

Teorema 2.8

Si *B es una base de nE , entonces cualquier vector ∈ nEV es una CL única de

la base.

Actividad en clase : Probar el teorema 2.8.

Definición 2.8

Se llama la base canónica de nE al conjunto { }*1 2, ,..., nB U U U= donde

= = =< >1 21,0,...,0 , 0,1,...,0 ,..., 0,0,...,1nU U U

La base canónica es la base más simple y más usada de un nE .

En el caso particular de 2E , la base canónica es { }� �,i j con =�

1,0i y =�

0,1j .

Como vectores de posición �i y �j van asociados a los ejes coordenados x y y

(figura 2.6). Cualquier vector ,x y de 2E se puede escribir como CL de �i y �j :

= +� �

V xi y j

X

Y

P(x,y)

iyjj

xiV

V=<x,y>=xi+yj

Figura 2.6. Base canónica en E 2

40

Los vectores �

xi y �

y j se llaman componentes ortogonales de V .

En 3E , la base canónica es { }� � �, ,i j k siendo =

�1,0,0i , =

�0,1,0j y

=�

0,0,1k , los cuales van asociados a los ejes ,x y y z cuando se toman como

vectores de posición. Todo vector , ,x y z de 3E es una CL de � �,i j y

�k :

= + +� � �

V xi y j zk

Figura 2.7. Base canónica en E 3 � � �, , xi y j zk son las componentes ortogonales de

��V .

2.3.4. Ejemplos

1. Pruebe que { }= −* 1,3 , 2, 1B es una base de 2E .

Solución :

i) Primero se prueba que los vectores son L.I, es decir

queα α+ − =1 21,3 2, 1 0,0 tiene como única solución que 1 2 0α α= = .

Esto resulta evidente a simple vista pues los vectores no son paralelos ya que

no son múltiplos escalares.

ii) Pruebe que *B genera a 2E equivale a pruebe que

α α+ − =1 21,3 2, 1 ,x y tiene solución para cualquier ,x y .

Efectivamente :

1 22 xα α+ =

1 23 yα α− =

de donde 1

2

7

x yα += y 2

3

7

x yα −=

2. Pruebe que { }= − −* 3,0,5 , 1,4,2 , 7, 3,4B es una base de 3E .

Solución :

i) Para probar que *B es libre, se plante la CL igual al vector nulo :

α α α+ − + − =1 2 33,0,5 1,4,2 7, 3,4 0,0,0

de aquí se obtiene :

1 2 33 7 0α α α− + =

2 34 3 0α α− =

1 2 35 2 4 0α α α+ + =

al resolver este sistema para 1 2,α α y 3α se encuentra que que 1 2 3 0α α α= = =

es la única solución lo que significa que los vectores son L.I.

ii) Para probar que *B genera a 3E se establece la CL igual a cualquier vector

, ,x y z de 3E

= + − + −, , 3,0,5 1,4,2 7, 3,4x y z a b c lo que equivale a :

3 7x a b c= − +

4 3y b c= −

42

5 2 4z a b c= + +

la solución de este sistema para ,a b y c arroja que

22 18 25

59

x y za

− − +=

15 23 9

59

x y zb

+ −=

20 11 12

59

x y zc

+ −=

Es decir que ,a b y c existen para cualquier valor de ,x y y z , por lo tanto se

puede encontrar la CL de *B para cualquier vector de 3E . Por ejemplo para

−= = =15 29 19

59 59 591,1,1 , , a b c

En efecto : −= < > + < − > + < − >15 29 19

59 59 591,1,1 3,0,5 1,4,2 7, 3,4

3. Dado el conjunto de vectores de 2E { }= − − −* 1, 1 , 2,2 , 1,1B

a) Verifique si *V es una base de 2E .

b) Exprese el vector −1,1 como una combinación lineal de *B de modo que la

suma de los soportes escalares de la combinación lineal sea 1.

Solución :

a) Hay varias formas de comprobar que *B no es una base de 2E . Una, mostrar

que los vectores de *B son L.D. (hacerlo). Otra es que se contadice el teorema

2.7

b) Aunque *B no sea base es posible expresar el vector −1,1 como C.L. de *B .

Con la condición dada.

− = − − + − +1,1 1, 1 2,2 1,1a b c

Con 1a b c+ + =

De esto se obtiene el sistema

2 1a b c− − + = − (1)

− + + =2 1a b c (2)

1a b c+ + = (3)

Cuya solución es 1 4a c= = y 1 2b = .

Definición 2.9

Dada una base de nE , { }*1 2, ,..., nB B B B= :

a) Si ocurre que los elementos de *B son ortogonales entre si, entonces se

dice que *B es una base ortogonal.

b) Si los elementos de *B son vectores unitarios, es decir 1iB = para

1,2,3,...,i n= , entonces se dice que la base está normalizada.

c) *B es una base ortonormal si cumple las dos condiciones anteriores.

La base canónica definida antes es el ejemplo más obvio de una base

ortonormal.

2.3.5 Ejercicios

1. Sean los vectores de posición de los puntos 1 2,P P y 3P en 2E , = +� �

1 2 3OP i j ,

= +� �

2 4OP i y j y =�

3 5OP i . Halle analíticamente el valor de y de modo que

1 2, P P y 3P sean colineales.

2. En cada caso verifique si el conjunto de vectores dados es L.I. o L.D.

a. { }=* 1,3 , 2,8A

44

b. { }= − −* 6,4,2 , 5, 3,16B

c. { }= − −* 3,7,12 , 6,1, 5 , 3,1,0C

d. { }= − − −* 1,3, 1 , 6, 2,5 , 5, 5,6D

e. { }= −* 1,2,3,4 , 0,1,3,7 , 2,0, 1,10E

3. En cada caso verifique si el conjunto dado es una base de nE :

a. { }=* 1,3 , 3,1B en 2E

b. { }=* 1,2,3 , 3,2,1 , 2,3,1B en 3E

c. { }=* 1,1,2 , 2,2,3 , 3,3,3B en 3E

d. { }= − − −* 5,3,1 , 1,0, 1 , 7,3, 4B en 3E

4. Si { },A B es una base de 2E , muestre que { },A B kA+ también es una base

de 2E para cualquier escalar k .

5. Dados los vectores de 3E = 1,1,4A , = −1, 1,0B y = −0,2, 2C ,

demuestre que son L.I. y expresar el vector = 3,5,2D como su combinación

lineal.

6. Dados los vectores de 3E : = 1,2,3A , = − −4, 3, 1B , = − −5, 3,5C ,

= −2,1,6D

Halle:

a. D como combinación lineal de ,A B y C .

b. A como combinación lineal de 3 2B D− .

c. C como combinación lineal de + −, A B D A y A D+ .

d. Escalares a y b tales que ( ) ( ) 0a A B b C D+ + + =

7. Pruebe que si A , B , *C V∈ son L.I., entonces

a. Los vectores 2 , 3 2A B C A B C+ + + − y 4A B C+ + son L.D.

b. Los vectores + −, A B A C yB C+ son L.I.

8. . Sean = =1,1,1 , 0,1,1A B y = 1,1,0C vectores de 3E

a. Muestre que , A B y C son L.I.

b. Halle un vector D tal que , A B y D sean L.D.

c. Halle un vector unitario que sea C.L. de , A B y C

10. Pruebe que el vector nulo no puede ser parte de una base de nE .

11. Pruebe que si 1m + vectores de nE son L.I, entonces m vectores de estos

también son L.I y que si m vectores son L.D entonces 1m + también son L.D.

12. Sean = − = −1, 1,2 , 3,1, 4A B y = − −2, 3, 1C . ¿Será posible expresar a

A como C.L de B y C ?

13. ¿Para qué valores de α ∈ℝ , los vectores α α= − =1, , 1 , 2 ,5,3A B y

α= 4 ,1,0C son L.I.?, ¿y L.D?

13. Halle el valor de t para que en cada caso el conjunto de vectores sea L.D:

46

a) { }− −2, 7 , , 3t

b) { }−2,1,0 , 3, 5,2 , 1,4, t

2.4 OTRAS OPERACIONES CON VECTORES

2.4.1 Ángulo entre dos vectores

Para determinar el ángulo entre dos vectores de nE no paralelos y diferentes del

vector nulo, se hacen coincidir sus puntos iniciales. El ángulo es entonces el de

menor medida que forman las rectas que contienen a los dos vectores.

Teorema 2.9

Sean = 1 2, ,..., nA x x x y = 1 2, ,..., nB y y y dos vectores de nE no paralelos

y no nulos, el ángulo (0, )θ π∈ entre A y B está dado por :

1cos( )

n

i ii

x y

A Bθ ==

∑

Actividad en clase : Probar el teorema anterior en 2E .

Ilustración : El ángulo entre los vectores de 3E = 7,3,5A y = −2,4,1B es

θ − − + + =

1 14 12 5cos

83 21

θ − = =

�1 3cos 85.9

1743

2.4.2 Producto interior de vectores

A continuación se va a definir una operación binaria entre vectores que da como

resultado un escalar. Esta operación se conoce como producto interior o producto

punto euclidiano o bien producto escalar.

Definición 2.10

Sean dos vectores de nE , = 1 2, ,..., nA x x x y = 1 2, ,..., nB y y y . El producto

interior deA y B es el número real simbolizado A B• y definido como :

1 1 2 21

...n

i i n ni

A B x y x y x y x y=

• = = + + +∑

Si 0A = ó 0B = , 0A B• =

A partir de la definición anterior y el teorema 2.9 se puede obtener que:

cos( )A B A B θ• =

La expresión anterior se conoce como la forma geométrica del producto interior y

establece que este producto es invariante respecto al sistema de referencia ya

que el resultado es el mismo aunque se cambie el sistema de referencia o,

inclusive, aunque no haya ninguno, es decir, el producto interior se puede obtener

para todo par de vectores A , B de *V

Teorema 2.10

El producto interior cumple las siguientes propiedades para todo A, B y *C V∈

y todo escalar ,r s :

a. Simetría : A B B A• = •

b. Bilinealidad : esta propiedad incluye dos partes,

48

i) • + = • + •( )A B C A B A C

+ • = • + •( )A B C A C B C

ii) ( )r A B rA B A rB• = • = •

c. Positividad definida : 0A A• ≥ y 0A A• = sólo si 0A =

d. 0 0A• =

e. ( ) ( ) ( )rA sB rs A B• = •

Actividad en clase : Demostrar algunas de estas propiedades.

Teorema 2.11

A partir de la definición y las propiedades del producto interior se puede concluir

que :

a. La magnitud de cualquier vector *A V∈ se puede expresar como

A A A= • o también 2

A A A= •

b. Si 0A ≠ y 0B ≠ entonces 0A B• = si y sólo si A y B son

perpendiculares.

c. • ≤A B A B . Esto se conoce como la desigualdad de Cauchy-

Schwarz.

d. Si = 1 2, ,..., nV x x x es un vector de { }0nE − y{ }1 2, ,..., nU U U es la base

canónica de nE entonces los cosenos directores de V están dados como

cos( ) ii

V U

Vθ •=

Actividad en clase : Demostrar este teorema.

El significado físico más simple del producto interior se relaciona con el trabajo

mecánico realizado por una fuerza F que desplaza un objeto en línea recta un

∆�r . El trabajo de esta fuerza es = • ∆�T F r

Nota: Con la definición de producto punto una base { }*1 2, ,..., nB B B B= de nE es

ortonormal si se cumple:

0

1i jB B

• =

i j

i j

≠=

Ejemplos

1. Usando el producto interior pruebe que si ∈ℝa y *A V∈ entonces

aA a A=

Solución :

aA aA aA= • según el teorema 2.11 a)

2a A A= • por la propiedad 2.10 e)

= a A A a A• = .

2. Demuestre la desigualdad triangular: para todo A , *B V∈ A B A B+ ≤ +

Solución :

Del teorema 2.11 a), 2

( ) ( )A B A B A B+ = + • +

por propiedad de bilinealidad, A A A B B A B B= • + • + • + •

Por propiedad de la simetría, 2( )A A A B B B= • + • + •

y de nuevo el teorema 2.11 a), = + • +2 22( )A A B B

por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

50

( )+ = + • + ≤ + +2 2 2 2 22 2A B A A B B A A B B

como A B+ y A B+ son números positivos,

A B A B+ ≤ + .

3. Dados A , B y { }* 0C V∈ − de modo que A B⊥ y A C⊥ , demuestre que

A es perpendicular a B Cα β+ para todoα y β ∈ℝ .

Solución :

Puesto que A B⊥ y A C⊥ se cumple que

0A B• = y 0A C• =

Ahora, si el producto interior entre A y B Cα β+ es cero, estos vectores son

perpendiculares, por tanto

( ) ( ) ( )A B C A B A Cα β α β• + = • + • por las propiedades del producto interior.

Al reemplazar en esta ecuación que 0A B• = y 0A C• = :

( ) 0A B Cα β• + = independiente de que valores tomen α y β y la proposición

queda demostrada.

2.4.3 Vector proyección

Un significado del producto interno lo da la proyección de un vector sobre otro.

Definición 2.11

Sean { }*, 0A B V∈ − dos vectores no paralelos y θ el ángulo entre ellos. Si A y

B tienen el mismo punto inicial, se llama vector proyección de A sobre B ,

escrito A BP , al vector cuyo punto inicial es el punto inicial común y cuyo punto

final es el pie del segmento perpendicular trazado desde el punto terminal de A

a la recta que contiene a B .

Según sea el ángulo entre A y B se pueden presentar 3 situaciones que se

ilustran en seguida:

θ θ

/

02

cos

πθ

θ

≤ <

=A BP A /

20A BP

πθ =

= /

2cos

π θ π

θ

< ≤

= −A BP A

Figura 2.8. Proyección de un vector en otro

Teorema 2.12

Si { }*, 0A B V∈ − , entonces el vector proyección de A en B está dado por:

2

( )A B

A BP B

B

•=

Demostración:

Figura 2.9. Teorema 2.12

52

Sean =MN B

=MT A

= A BMD P es la proyección ortogonal de A sobre B

DT C=����

A BP Bα= con { }Re 0α ∈ − (1)

0B C• = (2)

A B Cα= + (3)

C A Bα= − (4)

( ) 0B A Bα• − = (5)

( ) 0B A B Bα• − • = (6)

2

0A B Bα• − = (7)

2

A B

Bα •= (8)

2A B

A BP B

B

⋅=

(9)

Actividad para el estudiante : Justificar los pasos de la secuencia de la

demostración anterior.

Al número real dado por cos( )A θ se le denomina proyección escalar de A

sobre B . De este modo se puede decir queA B• es el producto entre la

proyección escalar de Asobre B y el módulo de B o entre la proyección escalar

de B sobre A y el módulo de A .

Ejemplo

Dados = 1,2,3A y = 4,5,6B vectores de 3E , exprese el vector A B+ como

CL de A BP y B AP .

Solución:

Del teorema 2.12,

2

( )A B

A BP B

B

•= y 2

( )B A

A BP A

A

•=

la combinación lineal queda :

1 2A B B AA B rP rP+ = + con 1r y ∈ℝ2r

1 22 2

( ) ( )A B A Br B r A

B A

• •= +

Para que esta ecuación sea cierta,

1 2

( )1

A Br

B

• =

y 2 2

( )1

A Br

A

• =

con lo que,

= =•

2

1

77

32

Br

A B

Y = =•

2

2

14

32

Ar

A B

y así : 77 14

32 32A B B AA B P P+ = +

54

2.4.4 Producto vectorial

El producto vectorial, también llamado producto exterior o producto cruz, tiene

importantes aplicaciones en la mecánica en tres dimensiones. Esta operación es

específica para vectores en tres dimensiones y no se generaliza en forma natural

para dimensiones mayores.

Definición 2.12

Sean = 1 1 1, ,A x y z y = 2 2 2, ,B x y z vectores de 3E ; el producto vectorial

deA y B es una operación binaria interna que se representa

A B× y se define como:

× = − − −1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1, ,A B y z y z x z x z x y x y

Nota:

Mediante el uso de determinantes se puede representar el producto exterior como

un pseudo determinante de tercer orden que debe desarrollarse por la primera fila:

× = = − +

�� �

�� �1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

i j ky z x z x y

A B x y z i j ky z x z x y

x y z

= − + − + −�� �

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( )y z y z i x z x z j x y x y k

Teorema 2.13

El producto vectorial cumple las siguientes propiedades:

Para todo , A B y 3C E∈ y todo número real ,a b ,

a. Anticonmutativa : ( )A B B A× = − ×

b. Antiasociativa : ( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×

c. Distributiva respecto a la suma: ( )A B C A B A C× + = × + × y

( )A B C A C B C+ × = × + ×

d. ( ) ( ) ( )a A B aA B A aB× = × = ×

e. × = ×( )aA bB ab A B

f. 0A A× =

g. 0 0 0A A× = × =

Actividad para el estudiante : demostrar estas propiedades

Se puede establecer que la forma geométrica del producto vectorial de dos

vectores A y B de 3E tiene las siguientes características:

a. Su magnitud está dada por ( )A B A B sen θ× = , donde θ∈[0,π] es el

ángulo entre A y B .

b. El vector A B× es perpendicular a A y a B y por ende al plano que

determinan.

c. El sentido de A B× , de los dos posibles, lo da la regla de la mano derecha.

Figura 2.10. Producto exterior de vectores

56

Además, con base en el producto vectorial es posible probar las proposiciones

que se presentan en el siguiente teorema.

Teorema 2.14

Si { }3, 0A B E∈ − , entonces

a. A B× da el área del paralelogramo que A yB determinan.

b. A y B son paralelos si y sólo si 0A B× =

c. 2 2 2 2( )A B A B A B× = − • que se conoce como la identidad de

Lagrange.

Actividad en clase : probar las partes a y b de este teorema. La parte c se prueba

en seguida.

Ejemplos

1. Pruebe la identidad de Lagrange.

Solución:

Partiendo del lado izquierdo:

2 2( )A B A B senθ× =

2 2 2A B sen θ=

2 2 2(1 cos )A B θ= −

2 2 2 2 2( cos )A B A B θ= −

= − •2 2 2( )A B A B

2. Dados , A B y 3C E∈ los cuales cumplen que

a) 4 2 0A B C+ − = y

b) 2 3 2 0A B C− + =

Entonces pruebe que 0A B× =

Solución:

De la parte a) y por propiedades de la adición

4 2C A B= +

reemplazando esto en b)

2 3 8 4 0A B A B− + + =

o sea, 10 0A B+ =

también 10B A= −

de aquí se puede concluir que AyB son paralelos y si dos vectores de 3E son

paralelos su producto exterior es el vector nulo , por eso 0A B× =

3. Halle una base ortonormal de 3E diferente de la canónica.

Solución :

Escojamos al azar 2 vectores de 3E que sean ortogonales, digamos = 1,2,3A

y = −4, 2,0B .

Un tercer vector ortogonal a ambos es × = − = −6,12, 10 2 3,6, 5A B . Por tanto

= 1,2,3A , = −4, 2,0B y = 3,6,5C son una base ortogonal de 3E .

Los vectores unitarios = = 11,2,3

14A

AU

A, = −1

4, 2,020

BU y

= −13,6, 5

70CU son la base pedida.

58

2.4.5 Triples productos

La algebrización de *V termina con la definición de los triples productos entre

vectores y los significados geométricos de éstos.

Definición 2.13

Sean , A B y C vectores de 3E .

a. Se llama triple producto escalar (o triple producto interior) de , A B y C al

número real dado por ( )A B C• ×

b. Se llama triple producto vectorial (o triple producto exterior) de , A B y C al

vector dado por ( )A B C× ×

El triple producto escalar se puede expresar como un determinante de tercer

orden. Si = 1 1 1, ,A x y z , = 2 2 2, ,B x y z y = 3 3 3, ,C x y z son vectores de 3E ,

entonces

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

x y z

A BxC x y z

x y z

• =

Teorema 2.15

Los triples productos producen las siguientes propiedades :

a. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B• × = • × = • ×

b. ( ) 0A B C• × = si y sólo si , A B y C son L.D

c. ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = • − • . Esta se conoce como la relación de

Gibbs.

Actividad en clase : demostrar el anterior teorema.

Cuando , A B y C no son coplanares, determinan un paralelepípedo cuyo

volumen está dado por el valor absoluto del triple producto escalar de los tres

vectores.

θ θ

Figura 2.11. Triple producto escalar

Si θ es el ángulo entre A y ( )B C× (figura 2.11), el volumen del paralelepipedo

es

cos( )V A B C θ= ×

= • ×( )A B C

Geométricamente el vector ( )A B C× × es un vector en el plano determinado por

B y C , es decir que ( )A B C× × , B y C son L.D. El lector debe probar esta

proposición.

Ejemplos

1. Pruebe que los vectores = − = − −1,4,2 , 7,11, 2A B y = −5, 3,6C son

coplanares.

Solución :

60

Se sabe que tres vectores de 3E son coplanares si son L.D, por lo tanto si

( ) 0A B C• × = los vectores son coplanares

−• = − − = − − − − + + −

−= − + −=

1 4 2

( ) 7 11 2 (66 6) 4( 42 10) 2(21 55)

5 3 6

60 128 68

0

A BxC

2. Halle condiciones para ,a b y c de modo que los vectores de 3E

= =2 21, , , 1, ,A a a B b b y = 21, ,C c c sean linealmente independientes.

Solución :

Del teorema 2.15 b si ( ) 0A B C• × = los vectores son L.D, por lo tanto si

( ) 0A B C• × ≠ los vectores son L.I, entonces

2

2 2 2 2 2 2 2

2

1

( ) 1

1

a a

A BxC b b bc b c ac ab ca ba

c c

• = = − − + + −

[ ]

2 2 2

2

2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )

b a c b a ab c b a

b a c b a ab c b a b a

b a c ab cb ca

b a b a c c a c

b a a c b c

= − + − − −

= − + − − − +

= − + − −

= − − − −= − − −

Para que este resultado no sea cero es necesario que ,b a a c≠ ≠ y b c≠ que

son las condiciones pedidas.

2.4.6 Ejercicios

Ejercicios básicos.

1. Sean = − − = −1,2, 2 , 4,3, 5A B y = −0, 4,2C . Efectue las siguientes

operaciones:

a) A B×

b) ( )A B C× ×

c) ( )A B C+ •

d) ( )A B C+ ×

e) ( ) ( )A B B C× + ×

f) ( ) ( ) ( )A B C B B A C+ + − × + ×

2. Demuestre que los vectores de 3E = = − + +�� �

2,3,0 , U V i j k y

= +��

3W i k no son coplanares y halle el volumen del paralelepípedo generado

por ellos.

3. Determine para qué valores de a los vectores de 3E = −, 2,1A a y

= −2 , , 4B a a son perpendiculares.

4. Sean *,A B V∈ * de modo que =A a y =B b .

a. Demuestre que los vectores C aB bA= + y D bA aB= − son

perpendiculares.

b. Halle el valor del ángulo entre A y C sabiendo que

( ) /( )C aB bA a b= + +

62

5. Si = − = − −3,5, 3 , 1, 2,3A B y = −2, 1,4C vectores de 3E , halle el vector

proyección de B sobre 2A C− .

6. Sean = + −�� �

12 9 5A i j k y = + −�� �

4 3 5B i j k , encuentre un escalar p tal que

B pA− sea ortogonal a A .

7. Dados dos vectores de 3E , = 1,3,7A y = −4,6,2B , halle si es posible, un

vector P que sea C.L. de A y B y a la vez sea ortogonal a A .

8. Dados los vectores de 3E , = ,2,5A a y = −1,3,9B , halle el valor de a

para que A BP tenga como magnitud 91 y sentido opuesto a B .

9. Halle dos vectores de 2E perpendicular al vector +� �

ai bj cuya magnitud sea

10 .

10. ¿Cuáles de las expresiones siguientes son indefinidas y por qué?

Para ∈ 3, , A B C E

a. A A A× ×

b. A B C× ×

c. ( )B B B× ×

d. ( )A B C× ×

e. ( )A B C• ×

f. ( )A B C× •

g. ( ) ( )A A B B× × ×

h. ( ) ( )A B B C× • ×

i. ( )A B C+ •

j. ( )A B C A B+ • + ×

11. Encuentre un vector de longitud 4 unidades que sea perpendicular al plano

definido por = 1,3,0A y = −0,3, 1B

12. Utilice el triple producto escalar para determinar si los vectores de 3E son

coplanares o no:

a. − − − −1, 1,9 , 0,1, 3 , 1,2,0

b. − −1, 1,1 , 1,0,2 , 1, 1,0

13. Muestre que si *, A B V∈ son tales que A B+ es perpendicular a A B−

entonces =A B .

14. Si { }3, 0A B E∈ − , pruebe que

a. • × =( ) 0A A B

b. ( ) 0A A B× × =

Ejercicios avanzados

15. Demuetre que si A y { }* 0B V∈ − son ortogonales, entonces

2 2 2A B A B+ = +

16. Sean = 1,2A y = 3,4B vectores de 2E . Halle los vectores P y Q para

que se cumpla a la vez que , A P Q P= + es paralelo a B y Q es ortogonal a B .

17. Si = + − = + −� �� � � �

2 3 , 3A i j k B i j k y = − +�� �

4 2C i j k , halle escalares a y b

64

tales que aA bB+ sea ortogonal a C y tenga magnitud 1 .

18. Si , A B y 3C E∈ , pruebe que si se cumple a la vez que A B A C• = •

y A B A C× = × con 0A ≠ , entonces B C= , pero si solo se cumple una

condición, no necesariamente B C= .

19. Pruebe que para todo ∈ 3, A B E , entonces

a. ( ) ( ) 2( )A B A B A B− × + = ×

b. − + • =2 2 2 2A B A B A B

20. Sean *, , A B C V∈ con 0B ≠ y A BC A P= − , entonces pruebe que B y C

son ortogonales.

21. Demuestre que el volumen de un tetraedro que tiene como vértices los puntos

, , A B C y D esta dado por ( ) /6V AB AC AD= • × .

22. Si 3, , A B C E∈ , demuestre la identidad de Jacobi:

( ) ( ) ( ) 0A B C B C A C A B× × + × × + × × =

23. Dados , , A B C y 3D E∈ de modo que 3 ( ) 5 ( )D A C B C A B= × × − × × ,

2, 5A B A C• = • = y 4B C• = entonces exprese a C como combinación lineal

de , A B y D .

24. Si *, A B V∈ son vectores unitarios, pruebe que × + • =2 2( ) 1A B A B .

25. Utilizando el producto interior pruebe que para ∈ℝa y *A V∈

=aA a A .

26. Muestre que si X Y X Y• = para dos vectores no nulos , X Y ,

entonces Y kX= con { }∈ −ℝ 0k .

27. Si , , X Y Z son tres vectores de 3E tales que X es perpendicular tanto a

Y como a Z , muestre que para ∈ℝ, a b , X es perpendicular a aY bZ+ .

Ejemplos de repaso del capítulo

1. Sea = − ∈ 24, 3A E . Halle un vector B de 2E paralelo a A y tal que

4B = .

Solución:

Para que B sea paralelo a A , B tA= { }∈ −ℝ 0t

y por la definición del producto de un escalar por un vector B t A= , de allí,

Bt

A= y como 5A = se tiene que

4

5t = o

4

5t = ± .

De acuerdo a este resultado existen dos vectores que cumplen las condiciones del

problema:

1

16 12,

5 5B

−= y 2

16 12,

5 5B

−=

Nótese que 1 2 0B B+ = lo que indica que son vectores opuestos.

66

2. Dados ( 4,5)A − y (2,3)B puntos de 2E , divida el segmento AB en la razón

3 2 .

Solución :

Sea ( , )C x y el punto divisorio sobre el segmento, entonces:

= + −4, 5AC x y y = − −2 ,3CB x y

como los puntos son colineales AC tCB=

es decir, + − = − −3

24, 5 2 ,3x y x y

de donde, 3

4 (2 )2

x x+ = − 2

5x

−=

y 3

5 (3 )2

y y− = − 19

5y =

entonces ( 2 5,19 5)C − es el punto que divide al segmento en la razón dada.

3. Dados = − +�� �

2 2A i j k y = + −�� �

3 4C i j k de 3E , halle,

a) Un vector B tal que A B C× =

b) Un vector B tal que A B C× = y 1A B• =

Solución:

a) Sea = + +�� �

1 2 3B b i b j b k el vector pedido. Según la hipótesis A B C× = lo cual

equivale a que :

− = + −

�� �

�� �

1 2 3

2 1 2 3 4

i j k

i j k

b b b

o sea, − − + − + + + = + −� �� � � �

3 2 3 1 2 1( 2 ) ( 2 2 ) (2 ) 3 4b b i b b j b b k i j k

Por igualdad de vectores

3 2

3 1

2 1

2 3

2 2 4

2 1

b b

b b

b b

− − =− + =

+ = −

al resolver este sistema se encuentra que tiene infinitas soluciones una de las

cuales es = − −1,0, 3D . La solución más general es B D tA= + ∈ℝt (queda

a cargo del estudiante justificar lo anterior)

b) Del numeral a), A B× produce el sistema

3 22 3b b− − = (1)

3 12 2 4b b− + = (2)

2 12 1b b+ = − (3)

y 1A B• = agrega la ecuación

1 2 32 2 1b b b− + = (4)

De (1), (2), (3) y (4) se logra que 1 2 31, 1b b b= = = − con lo que el vector pedido es

= − −�� �

B i j k

4. Si , , A B C y 3D E∈ , exprese el vector ( ) ( )A B C D× × × como combinación

lineal de A y B .

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )A B C D C D A B× × × = − × × × propiedad anticonmutativa

[ ] [ ]( ) ( )C D B A C D A B= − × • − × • por la relación de Gibbs.

Sean ( )C D Bα = × •

( )C D Aβ = − × • pues el triple producto interior es un número

real, entonces

( ) ( )A B C D A Bα β× × × = + que es lo pedido.

68

4. Dados los vectores de 3E = ,2,5A a y = −1,3,9B , halle el valor de a de

modo que el vector proyección de A en B , A BP , tenga magnitud 91 y

sentido opuesto a B .

Solución:

• − + += = −+ +

−= −

2

( ) 6 451,3,9

1 9 81

51 1,3,9

91

A B

A B aP B

B

a

y 51

91 9191

A B

aP

−= =

de aquí, 91 51 a= −

ó ± = − ∴ = −91 51 40a a ó 142a =

A BP tendrá sentido opuesto a B si A B• es negativo lo cual se cumple si

142a = .

6. Sean = − + = + −� �� � � �, 2 3A i j k B i j k y = − + +

�� �2 2C i j k vectores de

posición. Obtenga un vector de posición unitario OP C⊥ tal queP esté en el

plano determinado por A y B .

Solución:

Los vectores , A B y OP son coplanares y por lo tanto L.D. Sea , ,x y z un

vector paralelo a OP , entonces también es L.D con A y B y se cumple que

= − + − −, , 1, 1,1 2,3, 1x y z a b para diferentes valores reales de a y b .

Adicionalmente si OP C⊥ también ⊥ , ,C x y z y • − =, , 1,2,2 0x y z

De lo anterior se obtiene el sistema:

2x a b= − (1)

3y a b= − + (2)

z a b= − (3)

2 2 0x y z− + + = (4)

del cual se obtiene que = 6a b .

Como a y b tienen diferentes valores, se puede asumir 1b = y 2a = .

Con eso = −, , 4, 3,5x y z

y −

= =, , 4, 3,5

, , 5 2

x y zOP

x y z

o sea −= 2 2 3 2 2, ,

5 10 2OP

2.5 EJERCICIOS DE FINAL DE CAPÍTULO

2.5.1. Preguntas

1. ¿Geométricamente cómo se define un vector?

2. ¿Cuál es la interpretación geométrica del producto de un real por un vector?

3. ¿Cómo se halla un vector unitario en la dirección del vector A��

?

4. ¿Cuándo un conjunto de vectores es L.I?

5. ¿Qué condiciones se requieren para que un conjunto de vectores sea base de

nE ?

6. ¿Cuándo 3 vectores son L.D?

7. Cuál es la condición para que dos vectores de 3E sean:

a. Paralelos

b. Perpendiculares

70

8. ¿Qué tipo de operación es el producto vectorial en 3E ?

9. ¿A qué se le llama triple producto escalar?

10. ¿Cómo se halla el volumen de un paralelepípedo en términos del producto

escalar y del vectorial?

11. ¿Cómo se halla un vector perpendicular a A y a B simultáneamente?

12. ¿Qué aplicaciones tienen los vectores en la física?

2.5.2. Preguntas de falso y verdadero

Justifique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.

a. Si A y { }∈ − 0nB E son L.D, entonces todo par de vectores que se obtengan

como combinación lineal de A y B también serán L.D.

b. Para ∈, , nA B C E se cumple que ( ) ( )A B C A B C• • = • •

c. Si en un conjunto de vectores no hay dos de ellos que sean paralelos,

entonces ese conjunto de vectores es L.I

d. Sean { }∈ −3, , 0A B C E . Si A B⊥ y B C� entonces A C⊥

e. No existe un valor de α ∈ℝ tal que los vectores α α α− +3 , , 1 y

α α α+ −10, 6,3 sean paralelos

f. Si { }∈ −3, , 0A B C E y A B⊥ entonces ( ) 0A B C× × = .

g. { }∀ ∈ − 0nA E , los vectores A y −A son L.D

h. Si { }∈ −3, 0A B E son ⊥ s y de igual magnitud entonces × = •A B A A

i. Para { }∈ −, 0nA B E con A y B no paralelos, los vectores ( AyBA P− ) y B

son ⊥ s .

j. si { }=*1 2, ,..., nB B B B es una base de nE entonces ningún iB puede ser el

vector nulo.

k. Si { }∈ −, , 0nA B C E , C A B= + , A y B son vectores unitarios y

perpendiculares, entonces | | 2C = .

l. Para { }∈ −, , 0nA B C E , si ( ) 0A B C• • = y ( ) 0A B C× × = entonces

B C=

2.5.3. Problemas

1. Dados los vectores de E3 , = − −�� �

4 6 2A i j k , = − + −�� �

4 5 2B i j k ,

= −10,15, 5C , = −6, 3,7D , = − − +�� �2 1

3 2E i j k

Determine:

a. Un vector de magnitud 3 paralelo a A E+ .

b. Un vector perpendicular a D con la mitad de su magnitud.

c. La medida del ángulo entre B D+ .

d. El área del paralelogramo determinada por A C+ y D E− .

e. El vector proyección de B en A .

f. Un vector perpendicular a la vez a A E+ y D C− .

g. El área del triángulo determinado por D C× y A .

2. Sean , A B y C vectores como se muestran en la figura

Si 2A B= = y 3 2C A B= − , halle:

a. C

b. El ángulo entre Ay C

72

c. A B C+ −

d. B C•

Figura 2.12. Ejercicio 2

3. En cada caso y usando varios métodos averiguar si los puntos ,A B y C son

colineales:

a. (2,3), (1,-1), (0,-5)A B C= = =

b. (1,3,0), (3,-5,4), (-2,5,1)A B C= = =

c. (1,2, 2), (3,-5,4), (-2,5,-1)A B C= − = =

d. ( 1,3,7,9), (6,5,2,-3), (10,9 /2,-4,-27/2)A B C= − = =

4. Si C divide al segmento AB en la razón /r a b= , demuestre que

aAC AB

a b=

+.

5. Sean = ,0,1 , B= 2,b,3A a y = 4,5,C c , entonces deduzca condiciones

para , a b y c de modo que { }, , A B C sea una base de 3E .

6. Dados los vectores de 3E , = − =1, 4,6 , 1,4,4A B y = −0, 4,C m ,

determine m para que { }, ,A B C sea L.D.

7. Demuestre que para todo par de vectores , *A B V∈ :

a. + = + • +2 2 22( )A B A A B B

b. + + − = +2 2 2 22( )A B A B A B

c. + − − = •2 24( )A B A B A B

8. Usando vectores, halle el ángulo entre diagonal de un cubo y la diagonal de

una de las caras del cubo y el ángulo entre la diagonal del cubo y una de sus

aristas.

9. Si , *A B V∈ y sabiendo que = 6A , A es ortogonal a B , y, para todo par

de escalares no nulos t y h , los vectores tA hB+ y 4 9hA tB− son

perpendiculares, entonces calcule

a. B

b. +2 3A B

10. Sean 3, , , A B C D E∈ . Si se cumple que

0A B C D+ + − = y 2 0A B C D− + + =

entonces pruebe que

a. 0D B× =

b. 3/2B C D C× = ×

c. 2A C C D D A× = × = ×

d. C D D A× = ×

11. Pruebe, usando vectores, que:

a. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si.

b. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo

mide la mitad del tercer lado.

74

c. Las diagonales de un rectángulo son congruentes.

12. Si 3, B, C EA ∈ , pruebe que si 0A B C+ + = entonces B A A C× = × .

13. Si 3, B, C EA ∈ , = =0,1, , 2 ,3 ,4A a B a a a y = 5 ,6 ,7 C a a a , halle

todos los valores reales de a de modo que , A B y C sean una base de 3E .

Expresar el vector el vector 0,1,a como C.L. de la base.

14. Sean { }n, B, C E 0A ∈ − de modo que se cumple a la vez que

a. = = = 1A B C

b. A B=A C=B C=0• • • entonces

a. Pruebe que A, B y C son L.I.

b. Si = =1, , , ,2,A a b B c d y = , ,3C e f , halle , , , , a b c d e y f

15. Sean A, B vectores de 3E de modo que =A B y

× = • =2 2( ) 1A B A B ; encuentre A .

16. Dados los puntos ( 2,5), B(1,-3), C(6,7)A − y P (punto medio deBC ).

Halle el punto situado a los 2

3 de la mediana AP contados a partir del vértice

A . Muestre que dicho punto también es el punto situado a 2

3 de las otras dos

medianas a partir de los vértices.

17. Halle las coordenadas del punto de intersección de las medianas del

triangulo cuyos vértices son ( 2,4), B(4,-6), C(2,2)A − .

18. Exprese el vector −7, 1,2 como la suma de dos vectores, uno de los

cuales es paralelo y el otro perpendicular al vector −1, 1,2

19. Si ABC es un triángulo y , , L M N los puntos medios de sus lados,

demuestre que OA OB OC OM ON+ + = +���� ���� ���� ����� ����

para todo punto O .

20. Sea ABCD un paralelogramo, donde B y C son vértices opuestos. Si

AB E=����

, AC F=����

, AD G=����

. Demuestre que 1 1

( )2 2F E E G= − −

21. Sean AD����

,BE����

,CF����

las medianas del triángulo ABC . Demuestre que

0AD BE CF+ + =���� ���� ����