Curso de Matemática PropedeúticaAño académico 2008

MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés 15-ene-2008

1 1 1 = 62 2 2 = 63 3 3 = 64 4 4 = 65 5 5 = 66 6 6 = 67 7 7 = 68 8 8 = 69 9 9 = 6

(1 + 1 + 1) ! = 62 + 2 +2 = 63 x 3 - 3 = 6√4 + √4 + √4 =

65 ≠ 5 + 5 = 66 + 6 - 6 = 6-7 ÷ 7 + 7 = 63√8 + 3√8 + 3√8 = 6√9 x √9 - √9 = 6

Lógica matemática.

La lógica matemática sirve de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido.

Proposición Una proposición es una oración que

es verdadera o falsa, pero no es verdadera y falsa a la vez.

Simbólicamente: p: 2 + 2 = 4 q: El cinco es un número primo r: Estelí es la capital de Nicaragua s: √4 + 5 = 9

Proposición Lo que no es una proposición.

1. Qué hora es?2. Lee esto con atención.3. x + 1 = 24. x + y = z

Proposición La negación de una proposición es

otra proposición, llamada la negación de p.

Simbólicamente: ¬p ~pEjemplo: p: 12 + 33 = 39 ¬p: 12 + 33 ≠ 39

Proposición Tabla de verdad para la negación de una

proposición.

p ¬pv ff v

p ¬p1 00 1

Son dos o más proposiciones simples unidas por medio de operador lógico.

: operador de la conjunción (léase

“y”) : operador de disyunción incluyente

(“o”)

Proposiciones compuestas

: operador condicional (“si…entonces…”)

: operador bicondicional (“p si y sólo q ”)

: operador de disyunción excluyente (“o”)

La Conjunción Sean p y q proposiciones. La proposición

p ^ q, es la proposición que es

verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso.

fórmula 2n

n= número de proposiciones.

p q p^qv v vv f ff v ff f f

La Disyunción inclusiva Sean p y q proposiciones. La proposición

p v q, es la proposición que solo es falsa

cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n

n= número de proposiciones.

p q p v qv v vv f vf v vf f f

La Disyunción excluyente Sean p y q

proposiciones. La proposición

p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q son falsas.

fórmula 2n

n= número de proposiciones.

p q p qv v fv f vf v vf f f

La Implicación Sean p y q

proposiciones. La proposición

p q, es la proposición que solo es falsa cuando p es verdadero y q es falso.

fórmula 2n

n= número de proposiciones.

p q p qv v vv f ff v vf f v

La Doble implicación Sean p y q

proposiciones. La proposición

p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q tienen el mismo valor de verdad.

fórmula 2n

n= número de proposiciones.

p q p qv v vv f ff v ff f v

Resumen

Verificación de Aprendizajes

ninguna (e) ninguna (e)

Prueba Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las

siguientes frases: Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es

reflexiva, simétrica y transitiva.p: R es relación de equivalenciar: R es reflexivas: R es simétricat: R es transitivap r s t

Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche.p: la humedad es altaq: lloverá esta tarder: lloverá esta nochep q r

Prueba El cáncer no se cura al menos se

determine su causa y se encuentre un nuevo fármaco.

p: el cáncer se curaq: se encuentra su causar: se encuentra un nuevo fármacop q r

Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña.

p: se requiere valorq: se requiere preparaciónr: escalar la montañar q p

Prueba Si es un hombre que hace una

campaña dura, probablemente será elegido.

p: hace campaña duraq: será elegido

( p q ) ( p q )

Prueba

Prueba

Prueba

)( )(

)()(

pqpqppqqp

pqqppqqp

DEMOSTRAR QUE ES UNA CONTRADICCIÓN

conjunción de Def. f

negación la deley f f asociativaley )()(

imp. la de iaequivalenc )()(DeMorganley )()(

)()(

qqpppqqppqqp

pqqp

Prueba

)( )(

)()(

pqpqppqqp

pqqppqqp

)()(p

)()(p )()(p)()(p

)()(p : dado tanto,lopor bab)(a que Partimos

qpqqpqqpqqpq

qpq

DEMOSTRAR QUE

negaciónley v

negación doble Def.Por f DeMorgan deley )()(

nimplicació equiv.por )()(imp. doble la denegación por )()(

)()( que b)(a que Sabemos

qpqpqpqpqpqp

qpqpDadoba

Inferencia lógica Doble negación: de una premisa p puede

concluirse su doble negación y viceversa.

Simplificación: De una conjunción puede concluirse cualquiera de las proposiciones que la componen.

pp

pp

pqp

qqp

Inferencia lógica Adición: De una proposición p, tomada como

premisa, puede concluirse la disyunción de la misma con cualquier otra proposición.

Modus Ponendo Ponens(MPP): De una fórmula condicional y la afirmación de su antecedente como premisas, puede concluirse la afirmación del consecuente.

qpp

qp

qp

Inferencia lógica Modus Tolendo Tollens(MTT): De una fórmula

condicional y la negación de su consecuente como premisas, puede concluirse la negación del antecendente.

Modus Tolendo Ponens(MTP):De una disyunción y la negación de uno de sus miembros como premisas, puede concluirse la afirmación la afirmación del otro miembro.

p

qp

q

qpqp

Inferencia lógica Distributiva: La conjunción de una proposición y

una fórmula disyuntiva puede transformarse en la disyunción de dos conjunciones.

Distributiva: La disyunción de una proposición y una fórmula conjuntiva puede transformarse en la conjunción dos conjunciones disyunciones.

)()( )(rpqp

rqp

)()()(rpqp

rqp

Inferencia lógica D´Morgan: Una conjunción puede transformarse

en una disyunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.

D´Morgan: Una disyunción puede transformarse en una conjunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.

)( qp

qp

)( qpqp

Resolver

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:

1) p v q 2) p v r3) q r

4 ) De 1 y 3 resulta p (MTP)5) De 2 y 4 resulta r (MTP)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:

1) p v r v q 2) r3) q p

4 ) r v (p v q) expresando (1) por ley asociativa5) De 4 y 2 resulta (p v q) (MTP)6) De 5 y 3 resulta p (MTP)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:

1) p 2) q v p 3) q f

4 ) De 2 y 1 resulta q (MTP) De De 4 y 3 resulta f (ley negación)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:

1) ( p q ) r2) r s3) q s p

4 ) De 3 resulta s (por Simplificación)5 ) De 2 y 4 resulta r (por MTT)6) De 1 y 5 resulta (p q) (MTT)7) De 6 resulta p v q Ley DeMorgan8) De 7 resulta p (Simplificación disyunción)

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.

Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario:

¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q:

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el

lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q: p → q : p ↔ q :

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.

Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario:

¬p ^ q : Pablo no es extraño y le gusta leer libros de matemática.

p ^ q : Pablo es extraño y le gusta leer libros de matemática.

¬(p ^ q): No es cierto que Pablo es estraño y le guste leer libros de

p v ¬ q: Pablo es extraño o no le gusta leer libros de matemáticas.

¬p v ¬ q: Pablo no es extraño o no le gusta leer libros de matemática

p → q : Si Pablo es extraño entonces le gusta leer libros de mat.

p ↔ q : Pablo es extraño si y solo si le gusta leer libros de mat.

Ejemplos Sean: r: La humanidad contamina el medio ambiente. s: La humanidad sobrevivirá. Si r es verdadera y s es falsa. Determine el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

(r٨s) v¬s :¬r v ¬s : r ٨ ¬s : ¬r v s : r → s : r ↔ s :

Ejemplo Determine el valor de verdad de ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]

p q (p٨q) ¬(p٨q) (pvq)

(pvq)٨q ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]

Equivalencias lógicasp ٨ V ≡ p p v F ≡ p

Leyes de identidad

p v V ≡ Vp ٨ F ≡ F

Leyes de denominación

p v p ≡ pp ٨ p ≡ p

Leyes idempotencias

p v q ≡ q v pp ٨ q ≡ q ٨ p

Leyes conmutativas

¬(¬p) ≡ p Ley de la doble negación

Equivalencias lógicas(p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r)

Leyes asociativas

p v (q ٨ r) ≡( p v q)٨(p v r) p ٨ (q v r) ≡( p ٨ q)v(p ٨ r)

Leyes distributivas

¬(p v q) ≡ ¬p ٨ ¬ q ¬(p ٨ q) ≡ ¬p v ¬ q

Leyes de De Morgan

p v (p ٨ q) ≡ pp ٨ (p v q) ≡ p

Leyes de absorción

(p v ¬p) ≡ V (p ٨ ¬p) ≡ F

Ley de negación

Equivalencias lógicasp → q ≡ ¬p v qp → q ≡ ¬q → pp v q ≡ ¬p → qp ٨ q ≡ ¬(p →¬q)¬(p →q) ≡ p ٨ ¬q(p → q)٨ (p → r) ≡ (p → (q ٨ r)(p → r)٨ (q → r) ≡ (p v q) → r(p → q) v (p → r) ≡ p → (q v r)(p → r) v (q → r) ≡ (p ٨ q) → r

Equivalencias lógicasp ↔ q ≡ (p → q)٨ (q → p) p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬qp ↔ q ≡ (p ٨ q) v (¬p ٨ ¬q)¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q

Ejemplo 1Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración:¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad

Ejemplo 1Justifica que las proposiciones ¬(p v (¬p ٨ q)) y ¬p ٨ ¬q son lógicamente equivalentes.

Demostración:¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad

Ejemplo 2Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración:(p ٨ q) → (p v q) ≡ ¬(p ٨ q) v (pvq) por equiv. ≡ (¬p v ¬q)v(pvq) DeMorgan ≡ (¬p v p) v (q v ¬q) Conm yAsoc. ≡ V v V Leyes de negación ≡ V regla disyunción

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores

P(x) : función proposicionalEjemplo:P(x) : (x+1) ≥ xNotación: léase, para todo x P(x),

para cada x P(x), o para cualquier x P(x).Q(x): x ≤ 4

)(xxP

Predicados y Cuantificadores

Todo A es B su negación es Algún A no es

B. Ningún A es B su negación es Algún A es

B.

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores