Curso-taller Habilidad Matematica 15

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MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN DE QUINTANA ROO

El Gobierno del Estado que encabeza el ciudadano Gobernador, Lic. Roberto Borge Angulo, ha plasmado en el Plan Quintana Roo 2011-2016, como una estrategia para lograr una Educación con Resultados, Fortalecer el proceso educativo integral, la formación continua del personal docente y directivo y la gestión escolar, a fin de que los estudiantes alcancen el perfil de egreso establecidos en planes y programas de estudio.

En este sentido, el cuadernillo de ejercicios de matemáticas para docentes y alumnos, es el resultado de los acuerdos a que se llegaron en la última reunión de trabajo de los integrantes de la Comisión Estatal para la Planeación y Programación de la Educación Media Superior; tiene como propósito fortalecer las habilidades matemáticas de los alumnos, a fin de mejorar los resultados de la prueba PLANEA. Por ello, me congratula dirigirme a la comunidad del Conalep Quintana Roo para hacer entrega de este cuadernillo que contiene información fundamental del quehacer educativo y que me parece interesante para su aplicación práctica, con una visión de mejora continua en el nivel de conocimiento y habilidades, que deben desarrollarse con miras a la confrontación de la

prueba PLANEA.

La educación es un asunto que compete a todos, requiere la participación de las maestras y los maestros, de sus organizaciones, de las madres y los padres de familia, de los gobiernos municipales y de la sociedad en general, para unir esfuerzos y hacer converger voluntades de forma tal que podamos juntos, superar los retos, alcanzar los objetivos y sentar las bases para que la educación sea un proceso centrado en la adquisición de competencias que permitan la formación integral de los hombres y mujeres que Quintana Roo requiere.

ENHORABUENA

PROF. EDUARDO JOSÉ PATRÓN AZUETA SECRETARIO DE EDUCACIÓN DE QUINTANA ROO

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Plan Nacional para las Evaluaciones de los

De los Aprendizajes

Rumbo a la Prueba:

PLANEA 2016

Material de apoyo:

Habilidad Matemática

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AGRADECEMOS AL CONALEP TAMAULIPAS, EL PERMITIR LA

REPRODUCCIÓN DEL ESTE CUADERNILLO, QUE SERÁ DE

MUCHA UTILIDAD PARA ALUMNOS Y DOCENTES DE LOS

PLANTELES DEL CONALEP QUINTANA ROO.

Director General de Conalep Tamaulipas Ing. José Guadalupe Ibarra Martinez

Directora de Formación Técnica y de Capacitación Lic. Maria Elena Salazar Peña

Director Administrativo Lic. Benito Montoto Villareal

Director de Informática y Comunicaciones Ing. Carlos Alberto Cisneros Sanchez

Director de Promoción y Vinculación Lic. Luis Carlos Enrique Pachuca Ortiz Director de Planeación y Programación C.P. Oscar Hugo Méndez Rodríguez Compendio y elaboración:

Ing. Miguel Ángel González Acevedo

Ing. Javier Carrizal Jaramillo

Prof. Pedro Castro Castillo

Comentarios y sugerencias:

[email protected]

[email protected]

[email protected]

5

Presentación:

La Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares de Educación Media Superior

(ENLACE-EMS), es un instrumento útil para los alumnos y los planteles; para los alumnos, porque

esta prueba puede servir de diagnóstico para saber el grado de dominio que se tiene en dos áreas

sensibles del conocimiento y de las competencias: la habilidad lectora y la habilidad matemática,

al concluir su formación de nivel medio superior; mientras que a los planteles les permite conocer

el grado de aprovechamiento de sus alumnos y tomar decisiones para mejorar la preparación

pedagógica de sus maestros, la instrumentación didáctica, los documentos curriculares y aún

más conocer el grado de involucramiento de los actores educativos: administrativos, directivos y

padres de familia, entre otros.

6

Asimismo, los resultados de la prueba PLANEA son importantes porque, al medir las habilidades

y competencias de los alumnos, revelan cuán capaces son de aplicarlas en la vida cotidiana.

Como se ha dicho, los resultados constituyen un diagnóstico individual de cada estudiante y

debido a la escala de medición utilizada y a la metodología con que se construye, dichos

resultados proporcionan más información que el promedio numérico obtenido en función del

puntaje alcanzado en una prueba.

En las aplicaciones de la prueba ENLACE 2008, 2009 , 2010 y 2011 las competencias que se

miden son para las áreas de Habilidad matemática y Habilidad lectora, con cuatro niveles de

evaluación: insuficiente, elemental, bueno y excelente.

Para el caso del CONALEP, las estadísticas señalan que tres cuartas partes de los alumnos

egresados de bachillerato se incorporan a alguna actividad productiva, por lo que resulta

fundamental poder medir sus habilidades y competencias al momento de su inserción laboral.

Asimismo, la prueba PLANEA determina en qué medida nuestros jóvenes egresados son

capaces de aplicar, a situaciones reales, los conocimientos y habilidades básicas adquiridas

durante su trayectoria escolar y en qué grado les han facultado en el uso

apropiado de la lengua nacional –comprensión lectora– y las matemáticas –habilidad matemática.

En el contexto de la Prueba PLANEA-EMS, la habilidad matemática se define como: Aptitud de

un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el

mundo, con razonamientos bien fundados, utilizando y participando en las matemáticas en

función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.

El uso adecuado de los resultados de PLANEA puede convertir a esta evaluación en un potente

instrumento de mejora educativa, al aportar elementos que contribuyan a establecer acciones

permanentes y sistemáticas que permitan fortalecer las competencias que constituyen el marco

curricular común del Sistema Nacional del Bachillerato.

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El presente cuadernillo de trabajo, te permitirá conocer los tipos de reactivos de opción múltiple

con miras a la prueba enlace 2015, practicalos y resuélvelos con la asesoría de tu profesor, con

la finalidad de que seas un mejor alumno y tengas la habilidad matemática para resolver

problemas de la vida real.

¡Juntos lo lograremos!

1. Una fracción equivalente a 𝟕

𝟒 es:

A) 4

7

B) 49

16

C) 56

32

D) 49

4

Estrategia de solución:

8

La palabra clave es equivalente lo que significa, igual, lo mismo que o que valen lo mismo.

La fracción es impropia por lo que su valor es mayor que uno

Se eliminan las fracciones propias de las posibles respuestas en este caso el inciso A

La equivalencia se logra multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por el mismo número.

2. ¿Cuál es la forma equivalente de la siguiente fracción? 𝟗

𝟏𝟐

A) 108

48

B) 27

36

C) 19

13

D) 61

15



La fracción es propia por lo que su valor es menor que uno

Se eliminan las fracciones impropias de las posibles respuestas.

La equivalencia se logra multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por el mismo número.

3. Identifique una fracción equivalente a 𝟓

𝟑

A) 3

5

B) 6

10

C) 15

9

D) 10

9


9


La fracción es impropia por lo que su valor es mayor que uno

Se eliminan las fracciones propias de las posibles respuestas.

La equivalencia se logran multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por el mismo número.

4. Identifique una fracción equivalente a 𝟐𝟓

𝟒

A) 13

4

B) 25

4

C) 10

25

D) 8

10



La fracción es mixta, consta de un entero y una fracción impropia


El resultado siempre será una fracción impropia por ser mayor que uno.

La equivalencia se logra multiplicando el entero por el denominador de la fracción y sumándolo al

numerador de la fracción.

5. Identifique una fracción equivalente a 𝟓𝟑

𝟒

A) 15

4

B) 35

4

C) 53

104

D) 23

45

10



La fracción es mixta, consta de un entero y una fracción propia


El resultado siempre será una fracción impropia por ser mayor que uno.

La equivalencia se logra multiplicando el entero por el denominador de la fracción y sumándolo al

numerador de la fracción.

6. ¿Cuál es el resultado al realizar la siguiente operación? 𝟗

𝟓+

𝟔

𝟓−

𝟐

𝟓

A) 9

5

B) 13

5

C) 11

5

D) 14

5


Es la suma y resta de tres fracciones con igual denominador

Si las fracciones tienen igual denominador entonces la fracción resultante de esta operación tendrá el

mismo denominador y el numerador es el resultado de sumar o restar los numeradores de las fracciones

dadas.

7. ¿Cuál es el resultado al realizar la siguiente operación? 𝟕

𝟐+

𝟏

𝟒+

𝟓

𝟑

A) 5

80

B) 130

24

C) 50

12

11

D) 140

24


Es la suma de tres fracciones propias con diferente denominador

Para resolverla lo más recomendable es multiplicar todos los denominadores para encontrar un común

denominador, después debemos de dividir este denominador común entre cada uno de los

denominadores y multiplicar el cociente por este resultado.

8. El resultado de la operación (𝟓

𝟒) (

𝟐

𝟑) (𝟐) es:

A. 5

3

B. 9

10

C. 10

12

D. 56

30


Es una multiplicación de una fracción impropia, una propia y de un entero

El resultado será una fracción impropia por lo que descartamos las fraccionas propias.

Para resolverla se multiplican los de arriba por los de arriba y los de abajo por los de abajo y por último

simplificar si es necesario.

9. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 𝟐

𝟗×

𝟖

𝟐× 𝟑

𝟐

𝟑=

A. 16

315

B. 48

315

12

C. 88

27

D. 174

54


Es una multiplicación de una fracción propia, una mixta y de un entero

Convertir la fracción mixta en fracción impropia




10. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones? [𝟓𝟑

𝟒] [

𝟏

𝟑] (𝟐) =

A. 3 5

6

B. 5 1

2

C. 7 1

4

D. 10 1

4


Es una multiplicación de una fracción propia, una mixta y de un entero

Convertir la fracción mixta en fracción impropia




11. Resuelve la siguiente operación {[−𝟐 + 𝟒(𝟔 − 𝟐)] − 𝟑𝟎} + 𝟐 =

A) 15

B) 7

C) -9

D) 6

12. Resuelve la siguiente operación 𝟑𝟑 + 𝟐𝟓 − √𝟏𝟔𝟎𝟎 − 𝟒𝟐

A) 96

B) 29

C) -7

13

D) 3

13. Resuelve la siguiente operación √𝟗𝟎𝟎 + 𝟑 (𝟔

𝟐) + {𝟐(𝟑 + 𝟏) − 𝟐(𝟐 − 𝟒)}

A) 51

B) 48

C) 32

D) 52

14. Resuelve la siguiente operación 𝟓𝟐 − 𝟒𝟑 + 𝟑𝟑 + 𝟐𝟔 − 𝟐𝟕

A) 135

B) 115

C) 125

D) 145

15. ¿Cuál es resultado de la siguiente operación 𝟔

𝟓÷

𝟐

𝟑 ?

A) 14

5

B) 24

5

C) 19

5

D) 34

5


Para resolverla multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el

denominador de la primera por el numerador de la segunda, se simplifica y la fracción impropia resultante

la conviertes en fracción mixta.

También se puede convertir la división en multiplicación, para realizar esta operación se invierte la

segunda fracción y se resuelve como una multiplicación es decir los de arriba por los de arriba y los de

abajo por los de abajo.

Se puede resolver por la regla del emparedado es decir; extremos por extremos y medios por medios.

14

16. ¿Cuál es resultado de la siguiente operación 𝟒

𝟓÷

𝟑

𝟐÷

𝟔

𝟒 ÷

𝟐

𝟑?

A) 8

15

B) 18

15

C) 28

15

D) 38

15


Puedes resolver la operación por cualquiera de los tres puntos anteriores, primeramente con los dos

primeros términos, al resultado de igual manera con el tercer término y nuevamente al resultado le

aplicas el cuarto término.

17. ¿qué número hay entre 𝟏𝟔

𝟒 𝒚

𝟐𝟓

𝟓?

A) 29

3

B) 54

6

C) 32

3

D) 41

2


Observa detenidamente las dos fracciones impropias, el resultado está a simple vista.

18. ¿resuelve la siguiente operación (𝟒

𝟑)

𝟑

?

A) 12

9

B) 64

9

C) 64

27

D) 16

9


Se trata de la potenciación de un número fraccionario

La fracción impropia está entre paréntesis, esto quiere decir; que tanto el numerador como el

denominador están afectados por la potencia.

Para resolver este reactivo, primeramente elevamos el numerador a la potencia indicada y en seguida el

denominador igualmente a la potencia indicada y si es posible la fracción resultante debe reducirse a su

mínima expresión si así lo solicitan.

15

19. ¿resuelve la siguiente operación (−𝟐

𝟑)

𝟒

?

A) − 16

81

B) 8

21

C) − 8

21

D) 16

81



La fracción propia está entre paréntesis, esto quiere decir; que tanto el numerador como el denominador

están afectados por la potencia, de igual manera el signo menos.

Cuando elevamos el signo menos a una potencia par, el resultado es positivo



mínima expresión; si así lo solicitan.

20. ¿resuelve la siguiente operación (−𝟏

𝟐)

𝟓

?

A) −5

10

B) 1

16

C) −1

32

D) 5

10



La fracción propia está entre paréntesis, esto quiere decir; que tanto el numerador como el denominador

están afectados por la potencia, de igual manera el signo menos.

Cuando elevamos el signo menos a una potencia impar, el resultado es negativo



mínima expresión; si así lo solicitan.

16

21. ¿resuelve la siguiente operación 𝟑

𝟒

𝟑?

A) 27

4

B) 9

4

C) 9

64

D) 27

64



La fracción propia está sin paréntesis, esto quiere decir; que solamente el numerador está elevado a una

potencia, el denominador queda de la misma manera.

Cuando elevamos el signo menos a una potencia impar, el resultado es negativo

Cuando elevamos el signo menos a una potencia par el resultado es positivo.

Para resolver este reactivo, elevamos el numerador a la potencia indicada

22. ¿resuelve la siguiente operación√𝟗

𝟏𝟔?

A) 5

4

B) 9

16

C) 1

4

D) 3

4


Se trata de la radicación de un número fraccionario

La fracción propia está dentro del radical, esto quiere decir; que tanto el numerador como el denominador

están afectados por el radical.

Para resolver este reactivo, primeramente calculamos la raíz cuadrada del numerador y en seguida la

raíz cuadrada del denominador.

En esta operación el radical deberá afectar tanto al numerador como al denominador.

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23. Una rana se encuentra parada sobre una línea que está dividida en metros. El primer salto avanza 1 1/4 m, en el segundo salto se regresa 1/2m. Al tercer salto avanza 3m y en el cuarto salto se regresa 3/4m. Si la rana se encontraba a los 0 m antes del primer salto, ¿En donde se localizará para dar el quinto salto? a)

b)

c)

d)


La opción c) se descarta ya que el avance de la rana es mayor al retroceso. Se emplea suma y resta de fracciones. Si el alumno observa y suma los dos saltos en los cuales se regresa la rana, obtendrá -5/4, la cual se resta

de 1 ¼, y el resultado se obtiene directamente del tercer salto.

24. Fernanda compró 3m de tela para elaborar 3 blusas. En la primera ocupó 1/4m, en la segunda utilizó 3/4m y en la tercera 1 1/2m. ¿Qué cantidad de tela le sobró? a) b) c) d)


la opción a) se descarta ya que es igual al valor de la tela comprada.

La opción d) también se descarta ya que es mayor a la cantidad de tela comprada.

Empleamos suma de fracciones para obtener la cantidad de tela utilizada, y se le resta a 3m para obtener

el sobrante.

18

25. Sebastián se toma 4 litros de agua diariamente. En la mañana tomó 1 ¾ litros, al mediodía tomó ½ litro y

por la tarde ¼ litro. ¿Qué cantidad de agua tomará en la noche?

a) b)

c)

d)


La opción a) se descarta ya que se observa que en la mañana tomó más de un litro de agua.

La opción b) también se descarta ya que es mayor a la cantidad de agua que consume diariamente.

La opción d) se descarta porque es la cantidad de agua que se consume diariamente y los datos del

problema indican que si hubo un consumo de agua.

26. Para festejar el cumpleaños de miguel ángel, se va a cocinar una discada, para ello, se requiere de ¾ kg.

De carne de carnero, 1 ½ kg. De carne de cerdo, 1 ¾ kg. De carne de res y 2/3 kg. De carne de pollo.

¿cuánto de carne se necesita para elaborar ese guiso tan delicioso?

A) 42

3

B) 41

3

C) 43

4

D) 45

4

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27. Para conocer la cantidad de aceite en un motor de un vehículo, este se encuentra dividido en 5 niveles. El primer día se encuentra completamente vacío y se suministra aceite hasta 1 ¼ de nivel. Durante la noche desciende ½ de nivel. Al iniciar el segundo día se suministra aceite que equivale a ½ de nivel y desciende 1/3 de nivel durante la noche. El tercer día incrementa 1 nivel, y en la noche desciende 2/4 de nivel. ¿En qué nivel inicia el aceite al cuarto día?

a) b) c) d)


Se emplea la suma y resta de fracciones. Debe saber convertir las fracciones mixtas a fracciones impropias. Se pueden descartar las opciones c) y d), la c) porque el avance total es mayor al retroceso total y la d)

porque el valor es mayor al avance total.

28. En las elecciones para elegir el consejo estudiantil participaron 4 planillas, obteniendo los siguientes resultados:

Planilla Fracción del total de votos recibidos

1 1/6 2 1/8 3 4/32 4 7/12

¿Cuál fue la planilla ganadora?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


Los incisos b) y c) se descartan, ya que son cantidades iguales, son fracciones equivalentes. El alumno puede dividir 1/6 y 7/12 para determinar cuál de ellos es el mayor, pero si observa ambas

fracciones, deducirá que la mayor es 7/12.

0

0

0

0

20

29. Una empresa dedicada a la producción de jugos necesita comprar una huerta de naranjas para elaborar su producto. De las opciones de compra se han sintetizado las siguientes características:

Huerta Periodo de producción

Cantidad producida durante el periodo

(millones)

Cantidad de jugo por naranja

1 Bimestral 10 25 ml 2 Anual 30 50 ml 3 Trimestral 16 25 ml 4 Semestral 8 50 ml

Para obtener la mayor cantidad de jugo al mes, ¿Qué huerta conviene comprar? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


En este ejercicio es necesario que la cantidad producida se multiplique por la cantidad de jugo, y el resultado sea dividido entre el periodo de producción. El valor más alto será la respuesta correcta.

30. Sandra desea comprar un coche nuevo. Entre sus características requiere que ahorre la mayor cantidad de gasolina posible. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Vehículo Distancia recorrida en km

Consumo de gasolina en litros

1 100 10 2 50 8 3 10 1 4 75 4

¿Qué vehículo debe comprar?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


Si el alumno observa las opciones a) y c), las puede descartar ya que son cantidades equivalentes.

El alumno debe dividir la distancia recorrida entre el consumo, para obtener cual vehículo ahorra mas gasolina.

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31. Keyla, Andrea, Ariana y Fernanda son atletas aficionadas. Durante el entrenamiento fue registrada la distancia que recorrían y el tiempo en que lo hacían, obteniendo los siguientes resultados:

Atleta Distancia recorrida en metros

Tiempo realizado en segundos

Keyla 400 30 Andrea 200 15 Ariana 100 30

Fernanda 1000 20

¿Quién es la mejor?

A) Keyla B) Andrea C) Ariana D) Fernanda


Las opciones a) y b), pueden ser descartadas por el alumno, ya que obtenemos cantidades iguales. Para obtener el resultado, el alumno debe dividir la distancia recorrida entre el tiempo realizado, y el resultado menor será el correcto.

32. Un ingeniero debe medir la aceleración con la que un avión cambia su velocidad de 200km/h a 400 km/h en un lapso de 3 segundos. Para determinar la aceleración utilizamos la ecuación: a = (vf –v0) / t. ¿Qué aceleración en m/s2 lleva el avión?

A) 66.66 B) 30 C) -66.6 D) -30


El alumno puede descartar las opciones c) y d) porque son valores negativos y como la velocidad final es mayor a la inicial, obtenemos un valor positivo.

Para obtener la respuesta correcta el alumno debe restar las dos velocidades y dividir el resultado entre el tiempo.

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33. Durante su recorrido de la casa a la escuela, Juan viajó a 40km/h durante la mitad del recorrido, y la otra mitad a 50km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio?

a) – 45km/h b) – 50km/h c) 45km/h d) – 60km/h


El alumno debe sumar las dos cantidades y dividirlas entre 2, para obtener el promedio. Si se observa, las opciones a), b) y d) son resultados negativos, por lo tanto, se pueden descartar

directamente.

34. Las calificaciones de Pedro durante el semestre fueron: 10, 9, 8, 10, 8 y 9. ¿Cuál es el promedio semestral de Pedro?

A) 11 B) – 9 C) – 8 D) 9


El alumno debe sumar las seis cantidades y dividirlas entre 6 para obtener el resultado. La opción a) se descarta porque el promedio siempre se encuentra entre el numero mayor y el número

menor de los datos que nos presenta el problema. Las opciones b) y c) también se descartan porque son números negativos, y en los datos no tenemos

ningún número negativo.

35. Un auto se desplaza a 30 pies/s y en un lapso de 4 segundos cambia su velocidad 50 pies/s. Para determinar la aceleración utilizamos la ecuación: a = (vf –v0) / t. ¿Qué aceleración en m/s2 lleva el auto si 1 pie=0.30m?

A) 5 B) – 5 C) 1.5 D) –1.5


Para obtener el resultado el alumno debe restar la velocidad inicial de la velocidad final y dividir el resultado entre 4.

Las opciones b) y d) se pueden descartar porque son resultados negativos, y la diferencia nos da un resultado positivo.

23

36. .-El automóvil de Pedro gasta 18 litros de gasolina en recorrer 150km. Si en el tanque hay 9 litros, ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer su automóvil?

A) 54.16 B) 75 C) 24.40 D) 30.11


si analizas el problema te das cuenta que gasta la mitad de gasolina, por lo tanto recorre la mitad de la distancia.

37. .- el automóvil de Juan consume 30 litros de gasolina en recorrer 250 km. Si en el tanque tiene 12 litros, ¿Cuántos kilómetros puede recorrer su auto?

A) 250 B) 120 C) 36 D) 96


planteando una regla de tres simple podras encontrar la respuesta correcta, puedes descartar las opciones a y b porque no pueden recorrer mayor distancia con menos gasolina.

38. .- Un autobús consume 45 litros de combustible en 255 km. Si en el tanque hay 25 litros, ¿Cuántos kilómetros puede recorrer dicho autobús?

A) 100 B) 84.6 C) 141.66 D) 127.5


planteando una regla de tres simple podras encontrar la respuesta correcta, puedes observar que un poco mas de la mitad de combustible, por lo tanto, es casi la mitad de la distancia recorrida.

39. .- Un automóvil consume 32 litros de gasolina en 340 km. Si en el tanque hay 16 litros, ¿Cuántos kilómetros puede recorrer el automóvil?

A) 170 B) 380 C) 680 D) 85


planteando una regla de tres simple. O por simple inspección te das cuenta que es la mitad de gasolina, por lo tanto, es la mitad de la distancia recorrida.

24

40. .- Eduardo pago $2500 por un equipo de sonido que tenia un descuento de 20%. ¿Cuánto costaba

originalmente?

A) $2,400 B) $1,300 C) $3,125 D) $900


planteando una regla de tres simple se observa que la cantidad dada representa el 80% del 100%

41. .- Juan pago $3800 por un refrigerador que tenía un descuento del 20%. ¿Cuál era su precio originalmente.

A) $4750 B) $2800 C) $3040 D) $4560


mediante un regla de tres simple u observando que dicha cantidad pagada representa el 80%,

descartamos las opciones b y c por ser cantidades menores a lo que pago.

42. Se desea construir una tarima con tablas de 40 cm por 400 cm (ancho y largo respectivamente),

acomodándose como se muestra en la figura:

¿Cuál será el área total de la tarima?

A) 16000 cm2

B) 96000 cm2

C) 160000 cm2

D) 8000 cm2


El alumno obtendrá el área de una de las tablas y lo multiplicará por el total de las tablas y así obtendrá el

área total.

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43. en una cancha, como se muestra en la figura, se desea pintar el círculo de su centro. Si la cancha tiene 8

m de ancho y 20 m de largo y el diámetro de su círculo es de 2 m.

Si un litro de pintura rinde para 5 m2. ¿Cuántos litros compraría para pintar el círculo?

A) 3 litros

B) 4 litros

C) 1 litro

D) 2 litros


El alumno deberá obtener el área del círculo, para obtener la cantidad de pintura necesaria que ocuparía

para pintar el círculo.

44. Se va a pintar la pared del salón de clases, en donde está colocado el pizarrón, con las dimensiones como

se muestran en la figura.

Si un litro de pintura alcanza para pintar 6 m2. Estime cuantos litros de pintura son necesarios

comprar.

A) Entre 3.5 y 4 litros

B) Entre 2.5 y 3 litros

C) Entre 4.5 y 5 litros

D) Entre 1.5 y 2 litros

2 m

2 m

12 m

1.2 m Pizarrón

26


Se obtendrá el área total de la pared y el área del pizarrón. Al área de la pared se le restará el área del

pizarrón y el resultado se dividirá entre el área que cubre cada litro de pintura y se obtiene el resultado.

45. Pedro quiere saber el área total de las partes sombreadas de la siguiente figura.

Si el cuadrado mide 6 m por lado. ¿Cuál será el área total de las partes sombreadas?

A) 49.27 m2

B) 28.26 m2

C) 9.54 m2

D) 36.75 m2


Se obtendrá el área del cuadrado y el área del círculo. Al área del cuadrado se le restará el área del círculo

y así obtendrá el área de las partes sombreadas.

46. Juan desea transportar figuras de cerámica, contenidas en cajas pequeñas, en cajas grandes de medidas

0.8m, 1.6 m y 0.8 m (ancho, largo y altura respectivamente) y las cajas pequeñas de 10 cm, 20 cm y 10 cm

(ancho largo y alto respectivamente).

¿Estime el número máximo que cabe en las cajas grandes?.

A) Entre 450 y 480

B) Entre 350 y 380

C) Entre 380 y 450

D) Entre 500 y 520

27


El alumno obtendrá el volumen de la caja grande y la caja pequeña. Se divide el volumen de la caja

grande entre el volumen de la caja pequeña y se obtiene la cantidad de cajas pequeñas que caben en la

caja grande.

47. Este es el mapa del centro de un pueblo que se encuentra ubicado en el sur de Chiapas, México.

¿Determina las coordenadas de las dos escuelas que tienen en ese lugar?

A) (-4, 3), (3, -5)

B) (2,-3), (2, 2)

C) (3, 2), (-2, -2)

D) (3, 2), (-2, 2


Si el alumno se para en el centro del pueblo de frente hacia donde está la punta de la flecha vertical, su

mano izquierda señala las abscisas negativas, su mano derecha, las abscisas positivas, su frente hacia

las ordenadas positivas, y su espalda las ordenadas negativas.

Escuela

la

Escuela

Tienda Café Pizzas Autos Aceites Helados

Librería

Taco

Parque Cine

Farmacia

Museo

Tienda Taxis Hotel

Biblioteca Zócalo

Oficina

Catedral

Parque

Farmacia

Palacio m Hotel Tienda

Escuela

Velas

Taxis Policía

Restaurant Farmacia Restaurant

e Libros

Copias Tacos Escuela

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48. Este es el mapa del centro de un pueblo que está ubicado en el norte de Tamaulipas, México.

¿Localiza los hoteles y determina las coordenadas de los mismos?

A) (2,3), (1,-2)

B) (2,-3), (2, 2)

C) (3, 2), (-2, -2)

D) (3, 2), (-2, 2)


-Si el alumno se para en el centro del pueblo de frente hacia donde está la punta de la flecha vertical, su



Escuela

la

Escuela

Tienda Fotos Taxis Cocina

Tortas

Taco

Parque

Aceros

Farmacia

Museo

Tienda Correos Hotel

Transito

Biblioteca Zócalo

Oficina

Catedral

Parque

Colegio

Farmacia

Palacio m Hotel Autos Tienda

Escuela

Cuartel

Taxis Sonido Dance Novias

Cuartel Restaurant Farmacia Restaurant

e

Policía Pizzas Velas Aceites Tacos Escuela

29

49. Este es el mapa del centro de un pueblo ubicado en el estado de Guerrero, México.

¿Determina las coordenadas de los negocios en donde venden tacos?

A) (2,3), (1,-2)

B) (2,-3) ,(2, 2)

C) (-4,1) ,(2, -5)

D) (3, 2), (-2, 2


Escuela

la

Escuela

Tienda Gatos

Copias

Tacos

Parque

Gordita

s

Farmacia

Museo

Tienda Taxis Hotel

Jugos

Biblioteca Zócalo

Oficina

Catedral

Parque

Revistas

Farmacia

Palacio m Hotel Tienda

Escuela

Cuartel

Copias

Taxis Revistas Libros

Cuartel Restaurant Farmacia Aceites Restaurant

e Juegos

Policía Autos Perros Jugos Velas Tacos Escuela

30




50. Este es el mapa del centro de un pueblo ubicado en el estado de Sonora, México.

¿Localiza las farmacias y determina las coordenadas de las mismas?

A) (2,3), (1,-2)

B) (2,-3) ,(2, 2)

C) (3, 2) ,(-2, -2)

D) (-1, -4), (-3, 1)


Escuela

la

Escuela

Tienda Copias Canes Policía Cine Revistas

Turismo

Taco

Parque Libros

Carnes

Farmacia

Notaría

Museo

Tienda Autocar Hotel

Quesos

Biblioteca Zócalo

Oficina

Catedral

Parque

Tinacos

Taxis

Farmacia

Palacio m Hotel

Tienda

Escuela

Leches

Kínder Grúas

Latón

Pastel Restaurant Farmacia Fotos Restaurant

e Libros

Copias Tacos Escuela

31




51. José pagó $3,400 por una televisión que tiene un descuento del 15%, ¿Cuánto costaba originalmente?

A) $I,700.00 B) $1,955.00 C) $3,910.00 D) $4,000.00


planteando una regla de tres simple.

Se descartan las opciones de MENOR cantidad a la que pago.

52. Pedro pago $2,500 por una televisión que tenía un descuento del 25%, ¿Cuánto costaba originalmente?

A) $1,875.00 B) $3,125.00 C) $3,333.33 D) $2,000.00


planteando una regla de tres simple.

Se puede observar que la cantidad original debe ser MAYOR a la cantidad pagada, por lo tanto

podemos descartar las cantidades menores.

53. Un agente viajero recibe viáticos para 4 días por concepto de comida, trasporte y hospedaje. El gasto

mínimo y máximo que puede efectuar se refleja en la siguiente tabla:

Concepto

Gasto Diario

Mínimo Máximo

Transporte $600,00 $640,00

Comida $140,00 $160,00

32

Hospedaje $350,00 $400,00

Se estima que la cantidad de dinero que gastó durante los 4 días se encuentra entre:

A) $4,360 y $4,800 B) $3,270 y $3,600 C) $5,450 y $6,000 D) $1,090 y $1,200


Recordar que los gastos son por 4 días, por lo tanto, se descartan las cantidades menores a lo gastado

por un solo día

54. Un empleado de cierta maquiladora recibe viáticos para 5 días por los siguientes conceptos. El gasto

diario mínimo y máximo que puede efectuar, se muestra en la siguiente tabla:

Concepto

Gasto Diario

Mínimo Máximo

Transporte $700,00 $750,00

Comida $840,00 $880,00

Hospedaje $200,00 $240,00

Se estima que la cantidad de dinero que gastó durante los 5 días que viajó, se encuentra entre:

A) $1,560 y $7,480 B) $1,240 y $8,700 C) $1,740 y $1.870 D) $8,700 y $9,350


Se puede observar que las cantidades de la opción C, es lo que se gastó en un solo día, y que las

opciones Ay B son menores a lo que gasta por día por lo tanto quedan descartadas.

55. Para asistir a un curso de capacitación en Cd. Victoria, un maestro recibe viáticos para 3 días por

concepto de transporte, comida y hospedaje. El gasto diario mínimo y máximo que puede efectuar se

presenta en la siguiente tabla:

33

Concepto

Gasto Diario

Mínimo Máximo

Transporte $840,00 $860,00

Comida $100,00 $150,00

Hospedaje $450,00 $520,00

Se estima que la cantidad de dinero que gastó durante los 3 días que viajó se encuentra entre:

A) $ 1,390 y $1,530 B) $2,780 y $3,060 C) $1,390 y $4,600 D) $4,170 y $4,590


Se puede observar que las opciones A, B y C son cantidades muy pequeñas comparadas con lo que

gastó en un solo día, por lo tanto quedan descartadas.

Recordar que los gastos son por 3 días.

56. Un agente viajero recibe viáticos para 4 días por concepto de transporte, comida y hospedaje. El gasto

diario mínimo y máximo que puede efectuar se presenta en la siguiente tabla:

Concepto

Gasto Diario

Mínimo Máximo

Transporte $685,00 $710,00

Comida $230,00 $240,00

Hospedaje $420,00 $450,00

Se estima que la cantidad de dinero que gasto durante 4 días que viajó se encuentra entre:

A) $1,335 y $1,400

B) $5,340 y $5,600

34

C) $2,670 y $2,800

D) $1,335 y $1,500


Observar que las cantidades de la opción A es por un solo día y las opciones C y D son muy pequeñas,

por lo tanto quedan descartadas

57. En cuanto se venderá un refrigerador si su precio normal es de $12600 y la tienda ofrece un 15% de

descuento.

A) 100

85=

12600

𝑥

B) 100

85=

𝑥

12600

C) 𝑥

12600=

85

100

D) 𝑥

85=

100

12600


Si aplicas de forma correcta la regla de tres simple, obtendrás él % correcto

58. Un taquero gana $9.00 por cada 5 tacos. ¿Cuántos tacos necesita vender para obtener una ganancia de

$144.00?

A) 112

B) 48

C) 80

D) 32


Aplicar regla de tres simple.

59. Pedro compro un automóvil nuevo en $165200 y el precio incluye el 18% de impuesto. ¿Cuál es el precio

del automóvil antes del impuesto?

A) 29736

B) 29376

C) 140000

35

D) 142000


Palabra clave impuesto incluido en el total, aplicar regla de tres simple.

60. José trae en su cartera $250.00 para sus gastos. Si de Lunes a Viernes, invierte en su transporte $9.50 y

sus comidas, tiene un gasto diario de $ 25.00; cuanto le faltaría para comprar un disco de videojuegos

que cuesta $80.00

A) $ 30.00

B) $52.00

C) $25.00

D) $50.00


Multiplicación y Resta sobre el total. (Operaciones aritméticas).

61. Al equipo de Josué le toco realizar una presentación de teatro y a cada uno de sus integrantes les

corresponderá llevar 9.50 pies de listón rojo, si los alumnos saben que un pie equivale a .305 metros.

¿Cuántos centímetros necesita llevar para la presentación?

A) 28.975

B) 31.147

C) 289.75

D) 311.47


Conversión directa

62. Rosa compro un terreno cuadrado de 625m2, pero solo está delimitada por dos lados. ¿Cuál será la

longitud de la malla en metros, de los lados que faltan para cercarlo en su totalidad .

A) 45

B) 50

C) 35

D) 25

36

Días


Obtener la raíz cuadrada del área.

Multiplicar el resultado por dos

63. La cantidad de vehículos que ingresan a un taller mecánico se observa en la siguiente tabla, y el número

de vehículos que se reparan y salen del taller, en la siguiente gráfica.

Día Total de vehículos

1 30

2 55

3 85

4 120

5 145

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6

Veh

ícu

los

rep

arad

os

37

¿En qué día se quedaron 25 vehículos en el taller?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4


La estrategia consiste en analizar y relacionar la tabla con la

gráfica.

Ambos elementos gráficos comparten la variable días, por lo que

sólo hay que restar la cantidad de vehículos que entran (obtenidos

de la tabla) menos la cantidad de vehículos que salen (obtenida de

la gráfica).

64. La cantidad de personas que han enfermado por influenza en una comunidad se observa en la siguiente

tabla, y el número de personas que han sanado se muestra en la siguiente gráfica.

Días desde que empezó

la enfermedad

Total de enfermos

5 400

10 450

15 490

20 510

25 530

30 550

Per

son

as c

ura

das

38

¿Después de cuántos días el número de personas aún enfermas se encuentra en 330?

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30


La estrategia consiste en analizar y relacionar la tabla con la gráfica.

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40

Días desde que se descubrió la enfermedad

39

Ambos elementos gráficos comparten la variable “días desde que empezó la enfermedad”, por lo que

sólo hay que restar la cantidad de enfermos totales (obtenidos de la tabla) menos las personas curadas

(obtenida de la gráfica).

65. La cantidad de litros de agua que ingresa a una cisterna se

observa en la siguiente tabla, y la cantidad de litros que se

extraen, se muestra en la siguiente gráfica.

¿En qué día la cisterna contendrá 170 litros?

A) 2

Día Litros totales que ingresan

1 100

2 150

3 200

4 250

5 300

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6

Días

Litr

os

qu

e se

ext

raen

40

B) 3

C) 4

D) 5



Ambos elementos gráficos comparten la variable “días”, por lo que

sólo hay que restar la cantidad de litros que ingresan (obtenidos

de la tabla) menos los litros que se extraen (obtenidos de la

gráfica).

66. La cantidad de alumnos que ingresan en una escuela primaria por año se observa en la siguiente tabla, y

el número de alumnos que salen, se muestra en la siguiente gráfica.

Año Total de alumnos

1 90

2 185

3 255

4 335

5 425

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6

Alu

mn

os

qu

e sa

len

41

¿En qué año aún quedan 405 alumnos?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5



Ambos elementos gráficos comparten la variable “Años”, por lo que sólo hay que restar la cantidad total

de alumnos que ingresan (obtenidos de la tabla) menos la cantidad de alumnos que salen (obtenidos de

la gráfica).

67. La velocidad que desarrolla un vehículo en función del tiempo se representa en la siguiente gráfica.

Años

Vel

oci

dad

en

Km

/hr

(v)

42

Cuál es la expresión algebraica que describe la velocidad en función del tiempo, desde el

segundo 2 al 10?

A) V = 15t

B) V = – 15t + 10

C) V = – 15t

D) V = 15t + 10


Se requiere que el alumno conozca las características de la línea recta, que pueda determinar el signo de

la pendiente con sólo observar la inclinación de la recta; que sepa que la ordenada en el origen es el

punto donde la recta interseca al eje y; además que identifique en la ecuación ordinaria de la recta (y =

mx + b); la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b). También es importante saber que la variable

independiente y la dependiente no siempre se representan por las literales x y y.

Finalmente, analizando la recta de este ejercicio se puede observar que su pendiente es positiva; con lo

que podríamos descartar las opciones B y C; y como la ordenada en el origen también es positiva, se

descartaría la opción A.

68. Un trabajador recibe una compensación a su salario en función de la cantidad de horas extras trabajadas,

como se observa en la gráfica:

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

Tiempo en segundos (t)

43

¿Cuál es la expresión algebraica que describe la compensación de los días 6 al 10?

A) y = 300x

B) y = 300x – 1200

C) y = 600x – 1200

D) y = – 300x – 1200


Se requiere tener conocimiento de las características de la línea recta; es decir, su ecuación (y = mx + b),

su pendiente (m) y la ordenada en el origen (b).

Si se observa el segmento de recta delimitado desde x = 6 hasta x = 10, se puede determinar que su

pendiente es positiva, ya que la recta es ascendente; con esto se puede descartar la respuesta D porque

la pendiente es negativa (– 300x).

Si proyectamos la línea recta y hacemos que intersecte al eje y, determinamos que la ordenada en el

origen es negativa, por lo que podemos eliminar la respuesta A, ya que en la ecuación de esta opción la

ordenada en el origen es cero.

Es así que nos quedan dos respuestas probables; la B y la C. Aquí podríamos sustituir un punto del

segmento de recta en las ecuaciones para determinar en cuál de ellas se satisface la igualdad.

69. ¿Cuál es el enunciado de la expresión (2a +b)

A) El cuadrado de un numero mas otro

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 2 4 6 8 10 12

Horas extras (x)

Co

mp

ensa

ció

n (

y)

44

B) la diferencia del doble de un número y otro número

C) El doble de un número más otro número

D) La diferencia de dos números

Estrategias de solución:

Poe eliminación al revisar los resultados propuestos.

Se descarta D y B porque la palabra diferencia significa restar y la expresión es una suma

La solución A se descarta por estar al cuadrado y la expresión no tiene un número al cuadrado

70. ¿Cuál es el enunciado que describe la siguiente expresión algebráica [4𝑥 – (2𝑦)2]

A) La diferencia del cubo de un número y el doble del cuadrado de otro número

B) La diferencia del cuadruple de un número y el doble del cuadrado de otro número

C) El producto del cuadruple de un numero y el doble del cuadrado de otro número

D) El producto del cubo de un numero y el doble del cuadrado de otro número


Por eliminación al revisar los resultados propuestos.

Se descarta C y D porquen el enunciado es una resta, se descrta A porque no hay número as cubo

71. ¿Cuál es el enunciado que describe la siguiente expresión algebráica 2 (u-v)

A) El doble de la suma de dos números

B) El doble producto de la diferencia de dos números

C) La suma del cuadrado de dos números

D) la diferencia del cuadrado de dos números



Se descarta C y D porque el enunciado no está al cuadrado y A porque el enunciado es una resta

72. ¿Cuál es el enunciado que describe la siguiente expresión algebráica (a2 +b2)

A) Diferencia de cuadrados

B) Suma de cuadrados

C) El doble da la suma de dos números

D) Binomio al cuadrado



Se descarta A por la palabra diferencia también C y D, por no ser el doble ni ser binomio al cuadrado.

45

73. Identifique la gráfica que represente la expresión algebraica de la función f(x) = 3x +2


POR ELIMINACIÓN AL REVISAR LOS RESULTADOS PROPUESTOS

Se toma en cuenta el signo de la pendiente y el signo de la ordenada

74. Identifique la gráfica que represente la expresión algebraica de la función f(x) = x2

A

B

C

D

A

B

46


Se toma en cuenta que la abscisa es 0 y si es positiva la x la parábola abre hacia arriba

Es una función cuadrática, positiva.

C

D

47

75. Identifique la gráfica que represente la expresión algebraica de la función f(x) = -x2


Se toma en cuenta que la abscisa es 0 y si es negativa la x la parábola abre hacia abajo

76. Dada la función f(x)=x2-1 indique el valor de f(0)-f(3)

A) -11

B) - 9

C) 6

D) 7


Tomamos en cuenta el valor f(0) da un valor negativo = -1 y la f(3) da un valor - 8 por lo tanto

descartamos los positivos.

A

B

C

D

48

77. dada la función 2x2-1 indique el valor de 𝒇(𝟎)

𝒇(𝟏)

A) 1

B) -1

C) 2

D) -2


Cuando tenemos una función de 0 las variables se eliminan y cuando una función es igual a 1 la variable

toma el valor de1 no importa la potencia

78. Dada la función √𝒙𝟐 -1 indique el valor f(1) . f(2)

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

79. El dueño de un “chat” registró sus costos de acuerdo con el número de computadoras rentadas, con ello

obtuvo la siguiente gráfica.

Costos de renta en pesos

100 90 80 70 60 50 40 30 20

10

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Número de computadoras

¿Cuánto se incrementa el costo al aumentar de 10 a 14 computadoras?

49

A) 20

B) 30

C) 45

D) 55


Palabras clave “incremento del costo de 10 a 14 computadoras”

Leer bien el gráfico

Identificar las variables que representa cada eje

Opciones a descartar puesto que sus valores están debajo del costo de 12 computadoras.

80. Un jugador de la selección de futbol del Conalep, es el líder goleador del torneo y cuyo registro de goles

por partido se muestra en la gráfica.

Goles anotados

10 9 8 7 6 5 4 3 2

1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 Número de partido

Si el torneo va en la jornada 8, y la tendencia se mantuviera ¿cuántos goles se incrementará su cuota

de goleo de la jornada12 a la16

A) 3

B) 6

C) 8

D) 10


¿Cuáles son las palabras clave en el planteamiento? “goles anotados de la jornada 12- 16”

50

¿Cuántos goles se anotan cada 4 partidos?

Las opciones que se eliminarían puesto que en la jornada 12 ya lleva 9 goles

81. Un jugador de la selección de futbol del Conalep, es el líder goleador del torneo y cuyo registro de goles

por partido se muestra en la gráfica.

Goles anotados 18 16 14 12 10 8 6 4

2

0

0 3 6 9 12 15 18 21 24

Número de partidos

Si el torneo va en la jornada 12 ¿cuántos goles llevaría anotados en total en la jornada 21, de

continuar la tendencia?

A) 6

B) 8

C) 12

D) 14


¿Cuáles son las palabras clave en el planteamiento? “goles anotados en la jornada 21”

Cuántos goles se anotan cada x número de partidos?

Observa cuántos goles lleva el goleador hasta la última jornada

las opciones que se eliminarían puesto que en la jornada 12 ya lleva 8 goles

51

82. El dueño de un “chat” registró sus costos de acuerdo con el número de computadoras rentadas, con ello

obtuvo la siguiente gráfica.

Costos de renta en pesos

100 90 80 70 60 50 40 30 20

10

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Número de computadoras

¿Cuánto se incrementa el costo al aumentar de 12 a 20 computadoras?

A) 20

B) 30

C) 45

D) 55


Palabras clave “incremento del costo de 12 a 20 computadoras”

Leer bien el gráfico

Identificar las variables que representa cada eje

Opciones a descartar puesto que sus valores son mayores del incremento de 20 computadoras,

52

83. Un docente ha registrado las inasistencias por semana durante el primer periodo escolar, como se

muestra en la tabla

De acuerdo con los valores registrados, el número de inasistencias correspondientes a la semana 5 es:

A) 29

B) 30

C) 37

D) 39


Palabras clave en el planteamiento” inasistencias semana 5”

Cuántas inasistencias se presentan en la sucesión numérica por día

Cuáles opciones se eliminan

84. Una tienda de autoservicio ha registrado el tiempo en que una cajera atiende a las personas por hora de

trabajo, según se muestra en la tabla.

Horas Personas

1 6

2 13

4 23

6 -------

8 55

De acuerdo a los valores registrados el número de personas atendidas correspondientes a las 6

horas es:

A) 34

B) 41

C) 47

D) 48

Importa considerar:

Palabras clave en el planteamiento “personas atendidas a las 6 horas”

Semanas Faltas

1 7

2 15

3 23

5 -------

8 47

53

Como se presenta la sucesión numérica


85. Una gotera en una llave de lavabo registra un desperdicio de agua por día como se muestra en la tabla.

Días Litros

1 1.5

2 3.0

6 9.0

9 -------

12 17.0

De acuerdo a los valores registrados, el número de litros desperdiciados el día 9 es:

A) 12.5

B) 13

C) 13.5

D) 14


Palabras clave en el planteamiento “litros desperdiciado el día 9”

Cómo se presenta la sucesión numérica


86. Una gotera en una llave de lavabo registra un desperdicio de agua por día como se muestra en la

siguiente tabla.

Días Litros

1 0.5

2 1.5

5 ----------

7 6.5

10 9.5

De acuerdo a los valores registrados el número de litros desperdiciados el día 5 es:

A) 2.5

B) 3.5

C) 4.5

D) 5.5

54


Palabras clave en el planteamiento “litros desperdiciados el día 5”

Cómo se presenta la sucesión numérica


87. Julia compra cuadernos al mayoreo. La siguiente tabla muestra el precio total que debe pagar.

Cuadernos (x) Precio (y)

5 35

10 70

15 85

La expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de cuadernos es:

A) –x – 7y = 0

B) X – 7y = 0

C) 7x – y = 0

D) 7x + y = 0


Cuánto cuesta un cuaderno en pesos mexicanos

Cuál es la variable dependiente y cuál la variable independiente

Traducción de leguaje común a lenguaje algebraico

Opciones a eliminar

88. Pedro vende al mayoreo, dispositivos “USB” de dos gigas de capacidad. La siguiente tabla muestra el

precio total que debe pagar.

“USB” (x) Precio (y)

2 180

4 360

6 540

La expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de dispositivos

“USB” es:

A) –X – 90Y = 0

B) 90x – y = 0

C) 90x + y = 0

D) X + 90y = 0


55

Cuánto cuesta un dispositivo USB en pesos mexicanos



Opciones a eliminar

89. Alicia compra lápices al mayoreo. La siguiente tabla muestra el precio total que debe pagar:

Lápices (x) Precio (y)

12 22.40

24 44.80

36 67.20

La expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de lápices es:

A) –x – 1.20y = 0

B) X – 1.20y = 0

C) 1.20x –y = 0

D) 1.20x –y = 0


Cuánto cuesta un lápiz en pesos mexicanos



90. Gerardo, compra dólares en un banco. La siguiente tabla muestra el precio en pesos que debe pagar en

pesos mexicanos:

Dólares (x) Precio (y)

2 $ 22.40

4 $ 44.80

6 $ 67.20

La expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de dólares es:

A) –x – 11.20y = 0

B) X – 11.2 y = 0

C) 11.20x – y = 0

D) 11.20x + y = 0

56


Cuánto cuesta un dólar en pesos mexicanos

Cuál es la variable dependiente y la variable independiente


91. ¿Qué trayectoria sigue el balón de futbol en el despeje que hace el portero?

A) Circular B) Parábola positiva C) Parábola negativa D) Elíptica


Para resolver esta pregunta el alumno debe tener nociones de las figuras cónicas

Automáticamente se elimina el círculo y la elipse porque el balón no puede hacer esa trayectoria

Se supone que al despejar el balón va hacia arriba y tiende a bajar.

92. ¿Qué trayectoria sigue el balón de futbol en un pase al ras del pasto?

A) circulo B) Parábola C) línea horizontal D) línea vertical


Automáticamente se elimina el círculo y la parábola A y B

Tiene que tener conocimiento hacia donde aparece el sol o desaparece

57

93. De las siguientes gráficas ¿Cuál es una parábola?


Se eliminan automáticamente, circunferencia y la recta.

El alumno conocer la trayectoria de la tierra alrededor del sol. Que es de forma elíptica quedando la respuesta sola la B.

También para saber cómo es una parábola que relacione las antenas parabólicas que forma tienen.

En algunos autos la forma de los faros.

94. De las siguientes gráficas ¿Cuál representa una elipse?

A B

C D

A B

58


Automáticamente se elimina la recta y el circulo (C y D).

El alumno conocer la trayectoria de la tierra alrededor del sol. Que es de forma elíptica.

95. De las siguientes gráficas ¿Cuál es una recta?

96. ¿De las siguientes figuras escribe los nombres correctos?

C D

A B

C D

59

A) Circunferencia con centro en el origen B) Circunferencia fuera del origen C) Elipse con centro en el origen D) Elipse con centro fuera del origen


El alumno debe diferenciar la circunferencia con la de la elipse y conocer cuando es con centro y fuera del origen.

Al inicio está una figura fuera del origen, por lo tanto debe de tomar en cuenta B o D

El alumno debe conocer que el punto de origen es (0,0).

Las coordenadas fuera del origen son (h, k).

97. la gráfica de la ecuación es:


Al observar la ecuación, nos damos cuenta que se trata de una elipse con centro en el origen.

El denominador mayor está en y2, por lo tanto, se trata de una elipse vertical.

Se descartan las circunferencias C y D.

𝑥2

25+

𝑦2

36= 1

A B

C D

60

98. ¿El orden que presentan las siguientes figuras le corresponde a?:

A) Cuadrilátero, círculo, parábola y elipse

B) Circunferencia, elipse, parábola y cuadrilátero

C) Cuadrilátero, circunferencia, parábola y elipse

D) Elipse, circunferencia, parábola y cuadrilátero


Como la circunferencia es la primera figura se eliminan automáticamente A,C Y D

El cuadrilátero relacionarlo con la arena del box, un cuadro

99. ¿Que figura no es una cónica?

A) Cuadrilátero

B) Circunferencia

C) Elipse

D) Parábola


el alumno debe de identificar que tres de ellas son curvas por lo tanto se eliminan.

la figura restante está formada por rectas

A B C D

A B C D

61

100. De la siguiente curva de la parábola con vértice V (0, 0) y Foco F (- 4, 0) ¿Qué ecuación le

corresponde?

A) x2 = 4py

B) x2 = - 4py

C) y2 = 4px

D) y2 = - 4px


El alumno debe de dominar los signos de los cuadrantes

Elimina automáticamente los positivos porque se supone que para el lado izquierdo están los negativos (a y c)

Por lo tanto si el punto (p) está en el eje de las (x) se elimina b

101. De la siguiente curva de la parábola con vértice V (0, 0) y Foco F (0, - 4) ¿Qué ecuación le

corresponde?

A) x2 = 4py

B) x2 = - 4py

C) y2 = 4px

D) y2 = - 4px



Elimina automáticamente los positivos (a y c), porque se supone que para abajo están los negativos

Por lo tanto si el punto (p) está en el eje de las (y) se elimina (d)

102. De la siguiente curva de la parábola con vértice V (0, 0) y Foco F (0, 4) ¿Qué ecuación le

corresponde?

A) x2 = 4py

B) x2 = - 4py

C) y2 = 4px

D) y2 = - 4px


x F

y

x

F

y

x

F

y

62

El alumno debe de dominar los signos de los cuadrantes.

Elimina automáticamente los negativos (b y d), porque se supone que para arriba están los positivos.

Por lo tanto si el punto (p) está en el eje de las (y) y es positivo se elimina (d)

103. De la siguiente curva de la parábola con vértice V 0, 0) y Foco F (4, 0) ¿Qué ecuación le

corresponde?

A) x2 = 4py

B) x2 = - 4py

C) y2 = 4px

D) y2 = - 4px



Elimina automáticamente los negativos (b y d), porque se supone que para la derecha están los positivos.

Por lo tanto si el punto (p) está en el eje de las (y) se elimina (d)

104. La cantidad de miligramos de bacterias (B) en un individuo infectado de Eschericia colli se reproduce muy

rápido después de días (D) de contagio, es K veces el cuadrado de los días transcurridos. Considerando la

constante de proporcionalidad K = 2, ¿Cuántos miligramos de bacterias tendrá a los 5 días de contagio?

A) 25

B) 50

C) 125

D) 150


x F

y

63

Automáticamente se eliminan (c y d)

105. Analizamos un cultivo de bacterias, las que se reproducen cada 0,4 seg. Si partimos de 10 bacterias cuantas

habrá al cabo de 6 ciclos de reproducción si no ha muerto ninguna.

A) 40

B) 60

C) 640

D) 200


El alumno debe de conocer la proporcionalidad

El doble o duplo de un número: 2x.

Automáticamente se elimina) a, b y d

106. La cantidad de miligramos de glóbulos blancos en un individuo con una infección se reproduce muy

rápidamente después de días (D) de infección, es K veces el cuadrado de los días transcurridos, considerando la

constante proporcionalidad K = 2, ¿cuántos miligramos de glóbulos blancos se incrementará a cabo de 6 días?

A) 12

B) 24

C) 36

D) 72

http://es.inmagine.com/pt021/CD021001-photo

64

Estrategia de solución.

Automáticamente se eliminan (a y b)

Representación gráfica de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En

particular, las vibraciones, las ondas, los movimientos elásticos y otras cantidades que varían de forma

periódica se describen con funciones trigonométricas.

Los amortiguadores son fundamentales en muchos sistemas mecánicos sensibles, como la suspensión

de un automóvil. Por ejemplo si tiramos de un amortiguador hacia abajo un peso suspendido y lo

soltamos, el peso empieza a subir y bajar cada vez con menos amplitud hasta quedar en reposo.las

únicas funciones que son capaces de describir este movimiento oscilatorio, entre las que conocemos son

el seno y el coseno, cualquiera de ellas, ya que la gráfica de una de ellas es la traslación horizontal de la

otra.

107. ¿Identifica la función trigonométrica que representa la siguiente grafica?.

A) Y = sen x

B) Y = cot x

65

C) Y = tan x

D) Y = cos x


La gráfica de la función seno está siempre acotada.

El dominio de la función es (−∞,∞) y su imagen o rango es [−𝟏 , 𝟏]

La función seno está representada por ondas que son periódicas, su forma básica se repite una y otra

vez.

Si la gráfica de 𝐬𝐢𝐧 𝒙 se desplaza un poco hacia la derecha o izquierda, se obtiene la gráfica del coseno.

La gráfica de 𝐬𝐢𝐧 𝒙 constan de ondas repetidas y cada una de ellas se extiende por un intervalo de

longitud 𝟐𝝅

Las funciones 𝐬𝐢𝐧 𝒃𝒙 tienen una frecuencia 𝒃 y un período 𝟐𝝅

𝒃

La función 𝐬𝐢𝐧 𝒙 es impar, ya que 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 para toda x

Se define como la razón del cateto opuesto y la hipotenusa


A) Y = sen x

B) Y = cos x

C) Y = tan x

D) Y= cot x


66

La gráfica de la función coseno está siempre acotada.

El dominio de la función es (−∞,∞) y su imagen o rango es [−𝟏, 𝟏]

La función coseno está representada por ondas que son periódicas, su forma básica se repite una y otra

vez.

Si la gráfica de coseno se desplaza un poco hacia la derecha o izquierda, se obtiene la gráfica del seno.

La gráfica de 𝐜𝐨𝐬 𝒙 constan de ondas repetidas y cada una de ellas se extiende por un intervalo de

longitud 𝟐𝝅

Las funciones 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙 tienen una frecuencia 𝒃 y un período 𝟐𝝅

𝒃

La función 𝐜𝐨𝐬 𝒙 es par, ya que 𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 para toda x

Se define como la razón del cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa.


A) Y = sec x

B) Y = csc x

C) Y = cot x

D) Y = tan x

67


La función tangente es una función periódica, y su período es 𝝅

La función 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 es una función impar, ya que 𝐭𝐚𝐧(−𝒙) = − 𝐭𝐚𝐧 𝒙

La gráfica de 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 intercepta al eje de las x, cuyas abscisas son 𝒙 = 𝒏𝝅, para todo número entero 𝒏.

No tiene cota y su imagen o rango es (−∞,∞)

La palabra tangente hace referencia a dos significados diferentes: recta tangente y tangente de un

ángulo.

En geometría, una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva.

En trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo; es

el valor numérico resultante de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a dicho

ángulo.

110. ¿Identifica la función trigonométrica que representa la siguiente grafica?

A) Y = sec x

B) Y = csc x

C) Y = cot x

D) Y = tan x


68

A) Y = sec x

B) Y = csc x

C) Y = cot x

D) Y = tan x


A) Y = sec x

69

B) Y = csc x

C) Y = cot x

D) Y = tan x

113. ¿Identifica la función que representa la siguiente grafica?

70

A) 𝒚 = 𝟑𝒙

B) 𝒚 = 𝟐𝒙

C) 𝒚 = 𝟒𝒙

D) 𝒚 = 𝒆𝒙


La función es positiva (su grafica se encuentra situada sobre el eje de las “x”) para todos los valores de

“x”.

Si “a” es mayor que 1, la función es creciente. A medida que “x” crece, también la función crece y, a

medida que “x” decrece algebraicamente, la función se aproxima, aunque sin alcanzarlo nunca, al valor

cero.

Para todos los valores de “a”, la función tiene el valor de 1 cuando

x = 0

No hay ceros de la función.

El dominio de la función esta en el intervalo - ∞ < x < ∞

El contradominio es y > 0, debido a que ax > 0

Cuando la base está entre 0 y 1, la curva tiende a cero, cuando “x” crece indefinidamente; una vez más,

el eje “x” es una asíntota horizontal.


71

A) 𝑦 = 3𝑥

B) 𝑦 = 2𝑥

C) 𝑦 = 4𝑥

D) 𝑦 = 𝑒𝑥



“x”.



cero.

Para todos los valores de “a”, la función tiene el valor de 1 cuando x = 0






72


A) 𝑦 = 3𝑥

B) 𝑦 = 2(𝑥

3)

C) 𝑦 = 4𝑥

D) 𝑦 = 3(−𝑥

2)



“x”.



cero.

Para todos los valores de “a”, la función tiene el valor de 1 cuando x = 0






NIVEL DE CONOCIMIENTO: EXCELENTE

73

Empleas operaciones con fracciones para solucionar problemas y resuelves combinaciones con signos

de agrupación

Conviertes cantidades de sistema decimal a sexagesimal

Identificas la relación existente entre gráficas y funciones lineales o cuadráticas y expresas

algebraicamente una representación gráfica

Aplicas conceptos avanzados de probabilidad

Solucionas problemas con series de imágenes tridimensionales y aplicas conceptos de simetría

Utilizas fórmulas para calcular el perímetro de composiciones geométricas

Determinas los valores de los elementos de la circunferencia, la parábola y la elipse a partir de su

ecuación y viceversa; identificas la ecuación de una recta a partir de sus elementos y la aplicas para

encontrar la distancia entre dos puntos

Solucionas problemas donde se aplican funciones y leyes trigonométricas.

Conviertes cantidades de sistema decimal a sexagesimal

Sistema sexagesimal: es un sistema de numeración posicional que emplea la base 60, ya que el número

60 tiene muchos divisores (2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60), lo que facilita el cálculo con fracciones.

Este sistema no se usa mucho en el área de informática, pero si en la medición de ángulos y

coordenadas geométricas. La unidad estándar en este sistema es el grado.

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad, se considera a la circunferencia dividida

en 360 partes iguales y un ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan

por dos divisiones consecutivas a cada división de la circunferencia se llama también grado.

Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto en 60 partes

iguales llamados segundos.

Ejemplo 1: Expresar en las distintas unidades sexagesimales la amplitud del ángulo

𝜃 = 45.371°

45.371° = 45° + 0.371°

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0.371(60) = 22.26′ = 22′ + 0.26′

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0.260(60) = 15.6″ = 15″ + 0.6"

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝜃 = 45° 22′16″

74

Ejemplo 2: Convertir 𝟏𝟐𝟓° 𝟒𝟓′𝟏𝟕″ a decimal

125° 45′17″ = 125° + 45′ + 17″

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (17 ÷ 60) + 45′ = 125° + 45.2833333′

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (45.283333 ÷ 60) + 125° =125° + 0.754722

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝜃 = 125.754722°

Ejercicios para abrir la mente:

10.1° = 10° 06′ 10.15° = 10° 09′ 10.155° = 10°09′18″

10.2° = 10° 12′ 10.25° = 10° 15′ 10.255° = 10°15′18″

10.3° = 10° 18′ 10.35° = 10° 21′ 10.355° = 10°21′18″

10.4° = 10° 24′ 10.45° = 10° 27′ 10.455° = 10°27′18″

10.5° = 10° 30′ 10.55° = 10° 33′ 10.555° = 10°33′18″

10.6° = 10° 36′ 10.65° = 10° 39′ 10.655° = 10°39′18″

10.7° = 10° 42′ 10.75° = 10° 45′ 10.755° = 10°45′18″

10.8° = 10° 48′ 10.85° = 10° 51′ 10.855° = 10°51′18″

10.9° = 10° 54′ 10.95° = 10° 57′ 10.955° = 10°57′18″

Ejemplo 4.- ¿A cuántos grados, minutos y segundos equivale la cantidad 10.47°?

A) 10°28′02″

B) 10°28′12″

C) 10°40′07″

D) 10°47′00″

Solución:

10°+ (.47) (60) = 10°+ 28.2' = 10° +28' + (.2) (60) = 10° 28' 12''

Ejemplo 5.- ¿Qué resultado se obtiene al convertir 128.5° a grados?

A) 1° 28′05″

B) 12° 08′05″

C) 120° 08′30″

D) 128° 30′00″

75

Ejemplo 6.- Relacione el número decimal con su equivalente sexagesimal (grados, minutos y segundos).

Decimal Sexagesimal

1. 6.22° 𝑎) 6° 02′02″

2. 7.68° 𝑏) 6° 13′12″

𝑐) 7° 06′08″

𝑑) 7° 40′48″

A) 1a y 2c

B) 1a y 2d

C) 1b y 2c

D) 1b y 2d

Ejemplo 7.- ¿La equivalente de 5° 37′ 30″ es?

A) 5.625°

B) 5.373°

C) 5.616°

D) 5.656°

Ejemplo 8.- ¿La equivalente de 0.5125° es?

A) 51′ 25″

B) 30′ 45″

C) 30′ 37″

D) 51′ 15″

Ejemplo 9.- ¿La equivalente de 114° 57′ 40″ es?

A) 114.9611°

B) 114.5611°

C) 114.4611°

D) 114.8611°

Ejemplo 10.- ¿La equivalente de 0.2525° es?

A) 15′ 39″

B) 15′ 29″

C) 15′ 19″

D) 15′ 09″

76

LA RECTA

Identificas la ecuación de una recta a partir de sus elementos y la aplicas para encontrar la distancia

entre dos puntos y Determinas los valores de los elementos de la circunferencia, la parábola y la elipse a

partir de su ecuación y viceversa

Al referirnos a las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, anotamos que “Una ecuación cuadrática

o de segundo grado con dos variables es del tipo AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0, en donde A, C, D, E y F

son números reales cualesquiera”.

En el curso anterior de geometría analítica demostramos que la gráfica de estas ecuaciones cuadráticas

o de segundo grado, si existe, puede ser una recta, una circunferencia, una elipse o una hipérbola; en

casos especiales, la gráfica puede degenerar en un par de líneas rectas o en un punto.

Ecuación de la recta:

AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; Si A = C = 0; La gráfica es una recta

0X2 + 0Y2 + DX + EY + F = 0

DX + EY + F = 0 podemos sustituir estas letras por:

AX + BY + C = 0 que corresponde a la ecuación de la recta en su forma general

Ejemplos:

𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟔 = 𝟎 𝒚 =−𝟒𝒙 − 𝟔

𝟓 𝒚 = −

𝟒𝒙 + 𝟔

𝟓

Formas de la ecuación de la recta:

𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪 = 𝟎 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 − 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒅𝒐𝒔

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂

𝒚

𝒃+

𝒙

𝒂= 𝟏 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂

Conceptos básicos de recta:

No existe una definición formal para la “línea recta”. Se dice que una línea recta es una sucesión de

puntos que carecen de magnitud y tienen la misma dirección. Algunas personas definen a la línea recta,

en el espacio, como la intersección de dos planos.

77

Atendiendo al primer postulado de Euclides: “dos puntos determinan una línea recta”, podremos inferir

que “la distancia más corta entre dos puntos es la recta que los une” y que “la magnitud comprendida

entre dos puntos de una línea recta es un segmento de recta”.

Distancia entre dos puntos:

Cuando no nos interesa la dirección de la distancia entre dos puntos, sino la magnitud, restamos la

coordenada de uno de ellos de la coordenada del otro y tomamos el valor absoluto del resto.

Uno de los problemas elementales de la geometría analítica es determinar la distancia entre dos puntos

dados cuando dichos puntos se representan mediante coordenadas rectangulares, para calcular la

distancia d entre dos puntos cartesianos se utiliza la siguiente fórmula.

𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

Esta fórmula nos permite calcular la distancia no dirigida entre dos puntos. Si se requiere calcular la

distancia dirigida, puedes utilizar la misma fórmula si p2 está por encima de p1, o sea, si y2 es mayor que

y1. En caso contrario, es decir, si y2 es menor que y1, debe anteponerse el signo menos al radical.

Trabajen en equipo y resuelvan en su cuaderno los siguientes planteamientos.

En cada punto determinen las coordenadas

Calculen la distancia comprendida entre cada una de las siguientes parejas de puntos.

A y F ; F y H ; B y D ; C y E ; F y G ; H y I ; H y A ; C y G

78

Ejercicio 1. Calcula la distancia entre los puntos A (1,2), B (6,8)

A) 7.81

B) 8.81

C) 9.81

D) 6.81

Ejercicio 2. Calcula la distancia entre los puntos C (4,2), D (8,8)

A) 4.21

B) 5.21

C) 6.21

D) 7.21

Ejercicio 3. Calcula la distancia entre los puntos E (-5,2), F (0,1)

A) 4.21

B) 5.01

C) 6.01

D) 7.21

Ejercicio 4. Calcula la distancia entre los puntos G (-9,-3), H (2,2)

A) 09.08

B) 10.21

C) 11.21

79

D) 12.08

Ejercicio 5. Calcula la distancia entre los puntos H (-10,-5), I (-1,-2)

A) 07.49

B) 08.49

C) 09.49

D) 10.49

Ejercicio 6. Calcula la distancia entre los puntos J (0,0), K (8,-4)

A) 8.94

B) 9.94

C) 10.94

D) 11.94

Ejercicio 7. Calcula la distancia entre los puntos L (0,0), M (9,0)

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

Inclinación de una recta:

Una recta no paralela al eje de las x que lo interseque, forma un ángulo 𝜃 comprendido entre cero grados

y 180°, lo cual se expresa así: 𝟎° < 𝜃 < 180°, a este ángulo formado 𝜃 se le llama inclinación de la recta,

es un conocimiento fácil de comprender, pero poco útil en matemáticas.

Pendiente de una recta:

Cualquier recta que no esté en posición horizontal o vertical por lógica está inclinada y esta inclinación se

da como una medida de ángulo que forma la recta con la horizontal.

A ese ángulo de inclinación se le mide en cualquier sistema de medidas angulares, (sistema

sexagesimal, sistema centesimal y radianes), el más común es el sexagesimal en grados minutos y

segundos.

También se usa para medir ángulos la unidad llamada radián, ángulo que en una circunferencia limita a

un arco, cuya longitud es el radio de la circunferencia. Así, un ángulo de una vuelta completa, es decir,

una circunferencia, mide 360°, que equivale a 2𝝅 radianes.

Es conveniente tener presentes las siguientes equivalencias

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

270° =3𝜋

2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

80

135° =3𝜋


180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

90° =𝜋


45° =𝜋


La recta horizontal tiene una inclinación de 𝟎° 𝒂 𝟏𝟖𝟎°, la recta vertical tiene una inclinación de 90°.

En lugar de la inclinación, emplearemos el concepto de la pendiente de una recta y debemos de tener en

cuenta lo siguiente:

La pendiente de toda recta paralela al eje x es cero

Una recta que forma un ángulo entre 𝟎° 𝒚 𝟗𝟎° tiene pendiente positiva

Una recta paralela al eje y no tiene pendiente

Si la recta forma un ángulo obtuso con el eje de las x, la pendiente es negativa

Cuando se tiene una recta y se conocen dos puntos de ella, no importa que pareja de puntos se tomen

de ella ni el orden en que se tomen esos puntos, la pendiente siempre es la misma y para calcularla

utilizamos la siguiente fórmula.

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Trabajando en equipo realicen la siguiente actividad y expongan sus respuestas al resto del grupo.

En su cuaderno de cuadricula elabora un sistema de ejes cartesianos

Localiza los puntos 𝑨(𝟖, 𝟏𝟔), 𝑩(𝟐, 𝟒) y traza la recta

¿cuál es la diferencia entre las ordenadas?

¿cuál es la diferencia entre las abscisas?

Entre la abscisa y la ordenada existe una razón de cambio que puede representarse como un cociente o

división; por lo tanto, una razón de cambio es el grado o medida de inclinación de una recta. En el plano

cartesiano se presenta en el cambio en y con respecto al cambio en x, es decir:

𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 =𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 (𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏)

𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 (𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐)

1.- calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑴(−𝟑, −𝟕), 𝑵(𝟐, 𝟗)

81

A) 𝑚 =16

5

B) 𝑚 =16

8

C) 𝑚 =16

6

D) 𝑚 =16

7

2.- calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟏, 𝟐), 𝑸(𝟓, 𝟗)

A) 𝑚 =12

9

B) 𝑚 =7

11

C) 𝑚 =7

4

D) 𝑚 =12

7

3.- calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑹(−𝟖, 𝟖), 𝑺(𝟓, −𝟗)

A) 𝑚 =13

17

B) 𝑚 = −17

13

C) 𝑚 =17

13

D) 𝑚 = −13

17

4.- calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑹(𝟐, 𝟓), 𝑺(𝟐, 𝟏)

A) 𝑚 = ∞

B) 𝑚 = −1

C) 𝑚 = 1

D) 𝑚 = −4

En este ejercicio obsérvese que queda una división entre cero y que, por tanto, no puede efectuarse.

Nótese que la recta RS es vertical, pues los puntos R y S tienen la misma abscisa, y esto indica que el

ángulo de inclinación de esta recta es de 90° por tanto la pendiente de la recta es la tangente de 90°, por

lo que la función tangente es discontinua en 90°, es decir, no existe la tangente de 90°, se puede

considerar que la tangente tiende al infinito.

Paralelismo y perpendicularidad:

Existen dos condiciones para definirlas

Condición de paralelismo; dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, es decir; 𝒎𝟏 =

𝒎𝟐

82

Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario; es decir,

su producto es igual a -1.

𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒎𝟏 = −𝟏

𝒎𝟐

Ejemplo 1.- demostrar que los puntos 𝑨(−𝟐, 𝟒), 𝑩(𝟓, 𝟔), 𝑪(−𝟑, −𝟏) 𝒚 𝑫(𝟒, 𝟏) son los vértices de un

paralelogramo.

Solución: primeramente en un sistema de ejes cartesianos localiza los puntos y grafícalo en seguida

calculamos las pendientes de sus lados; si son iguales de dos en dos, es un paralelogramo de acuerdo

con la primera condición de paralelismo que es 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

𝑚𝐴𝐵 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=6 − 4

5 − (−2)=

2

7

𝑚𝐶𝐷 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=1 − (−1)

4 − (−3)=

2

7

𝑚𝐴𝐶 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=−1 − 4

−3 − (−2)=

−5

−1= −5

𝑚𝐵𝐷 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=1 − 6

4 − 5=

−5

−1= −5

Como observamos la pendiente de la recta AB es igual a la pendiente de la recta CD y por el otro lado la

pendiente de la recta AC es igual a la pendiente de la recta BD, esto prueba que es un paralelogramo.

Ejemplo 2.- con base en los siguientes puntos 𝑨(−𝟒, 𝟐), 𝑩(𝟐, 𝟔), 𝑪(𝟐, −𝟕) 𝒚 𝑫(𝟖, −𝟑), grafica todas las

rectas formadas por estos puntos y contéstame las siguientes preguntas.

83

A. Cuál es la pendiente o la inclinación de la recta formada por A y B

B. Cuál es la pendiente o la inclinación de la recta formada por A y C

C. Cuál es la pendiente o la inclinación de la recta formada por C y D

D. Cuál es la pendiente o la inclinación de la recta formada por B y D

E. ¿Qué lados de la figura resultante son paralelos?

F. ¿Qué lados de la figura resultante son perpendiculares?

G. Demuestra la condición de paralelismo

H. Demuestra la condición de perpendicularidad

Ejemplo 3.- determina si son paralelas o no las rectas AB y CD con las siguientes coordenadas

𝑨(𝟐, 𝟑), 𝑩(𝟕, 𝟓), 𝑪(−𝟏, 𝟒), 𝑫(𝟒, 𝟔)

A. Si

B. No

C. Tal vez

D. Quien sabe

Ejemplo 4.- comprueba que los siguientes puntos 𝐴(1,2, 𝐵(4, −1)) 𝑦 𝐶(3,4)son los vértices de un triángulo

rectángulo.

Solución: para ser un triángulo rectángulo debe tener un ángulo recto, el cual está formado por rectas

perpendiculares, así que el triángulo ABC es rectángulo si dos de sus lados son perpendiculares entre sí.

Por lo tanto tenemos que calcular las pendientes de cada lado.

84

𝑚𝐴𝐵 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=−1 − 2

4 − 1= −1

𝑚𝐵𝐶 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=4 + 1

3 − 4= −5

𝑚𝐴𝐶 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

=4 − 2

3 − 1=

2

2= 1

Al observar lo anterior nos damos cuenta que las pendientes de la recta AB y CD son recíprocas y de

signo contrario, llegamos a la conclusión que los lados AB y AC son perpendiculares entre sí, y por lo

tanto la figura es un triángulo rectángulo.

Ejemplo 5.- comprueba que los cuatros puntos dados son los vértices de un paralelogramo

𝐴(−2,2), 𝐵(−1,0), 𝐶(2,0) 𝑦 𝐷(1,2)

𝐴(1,1), 𝐵(4,2), 𝐶(6,4) 𝑦 𝐷(3,3)

Ejemplo 6.- calculando las pendientes, comprueba que los siguientes puntos corresponden a un triángulo

rectángulo.

𝐴(1,2), 𝐵(3,0), 𝐶(4,1)

𝐴(1,2), 𝐵(5,2), 𝐶(3,0)

𝐴(1, −2), 𝐵(3,0), 𝐶(1,2)

𝐴(3,1), 𝐵(7,2), 𝐶(1,9)

Ejemplo 7.-determina si la recta que pasa por los puntos 𝐴(6,0), 𝐵(0,4) y la que pasa por 𝐶(0,2), 𝐵(3,0)

son paralelas o perpendiculares entre sí.

A) Paralelas

B) Perpendiculares

C) Una paralela y otra perpendicular

D) No lo se

Ecuación de la circunferencia:

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x, y) que se mueve sobre un plano,

de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas (h, k).

El punto fijo se llama “centro de la circunferencia” y la distancia constante es el “radio” denotado con la

letra r.

85

AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; Si A = C ≠ 0; La gráfica es una circunferencia, un punto, o el conjunto

vacío.

X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 forma general de la circunferencia

La ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto C (h, k) y radio r es:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

A la expresión anterior se le conoce con el nombre de “ecuación en la forma ordinaria o reducida de

una circunferencia”

Si el centro de una circunferencia es el origen, tenemos:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

La expresión anterior es la forma más simple de la ecuación ordinaria y se denomina “forma canónica

de una circunferencia”

Ejemplos:

𝑥2 + 𝑦2 = 16 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜.

5𝑥2 + 5𝑦2 − 14𝑥 + 7𝑦 − 24 = 0 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

La condición que distingue a la circunferencia de las otras curvas (elipse, parábola, hipérbola) es que sus

términos cuadráticos x2, y2 tienen el mismo coeficiente. Además, la ecuación de la circunferencia nunca

tendrá el término Bxy, que en algunos casos tienen las curvas anteriormente citadas.

Ejemplo 1.Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (4,3) y radio 4.

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

86

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 16 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎

Al desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior se

obtiene:

𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 16

𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Ejemplo 2.Determina la ecuación de la circunferencia en su forma reducida y en su forma general con los

datos siguientes. Centro C (-2,1) y radio 3.

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎

Al desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior se

obtiene:

𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 9

𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Ejemplo 3.Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-6,5) y radio 6.

A) 𝑥2 + 𝑦2 + 12𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0

B) 𝑥2 − 𝑦2 + 12𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0

C) 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 10𝑦 + 25 = 0

D) 𝑥2 − 𝑦2 + 12𝑥 + 10𝑦 + 25 = 0

Ejemplo 4.Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-3,2) y radio 4.

A) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0

B) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0

C) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0

D) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0

Ejemplo 5.Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (3,-1) y radio 5.

87

A) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 15 = 0

B) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0

C) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 15 = 0

D) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0

Ejemplo 6.Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-4,-5) y radio7.

A) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 − 8 = 0

B) 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 − 10𝑦 + 8 = 0

C) 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 10𝑦 − 8 = 0

D) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 8 = 0

Ejemplo 7.una circunferencia tiene su centro en el punto C (-6,5) y radio igual a 3, ¿Cuál es su ecuación?

A) (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 5)2 = 9

B) 𝑥2 − 𝑦2 = 9

C) (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 5)2 = 3

D) 𝑥2 + 𝑦2 = 3

Ejemplo 7.El valor del radio de una circunferencia es r = 8 y las coordenadas de su centro son C (4,- 7).

Identifique la ecuación que la representa.

A) (𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 7)2 = 8

B) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 7)2 = 64

C) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 7)2 = 64

D) (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 7)2 = 8

Ejemplo 8.El valor del radio de una circunferencia es r = 9 y las coordenadas de su centro son C (9, 3).

Identifique la ecuación que la representa.

A) (𝑥 − 9)2 + (𝑦 − 3)2 = 100

B) (𝑥 − 9)2 + (𝑦 − 3)2 = 81

C) (𝑥 − 9)2 + (𝑦 + 3)2 = 81

D) (𝑥 + 9)2 + (𝑦 − 3)2 = 100

ELIPSE

Definición de la elipse

88

La elipse se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que

la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano y llamados focos, es una

cantidad constante y mayor que la distancia entre los focos.

La elipse puede estar situada en posición horizontal, vertical o inclinada

Descripción de la elipse:

La elipse es una curva cerrada y tiene dos ejes perpendiculares entre sí y siempre uno mayor que el otro;

el mayor se llama eje mayor y el otro eje menor. El punto de intersección de sus ejes se llama centro y

los puntos extremos del eje mayor, vértices de la elipse. La elipse tiene dos lados rectos, que son rectas

que unen dos puntos de la elipse, pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor donde están

situados los focos. La posición del eje mayor indica la posición de la elipse. La longitud del eje mayor se

representa con 2a, la longitud del eje menor con 2b y la distancia entre los focos con 2c. La elipse es una

curva simétrica respecto a sus dos ejes.

Ecuación de la elipse:

AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; Si (A) (C) > 0; La gráfica es una elipse o un punto

Ejemplos:

3𝑥2 + 4𝑦2 = 12 𝑥2 + 2𝑦2 = 2

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con el centro en el origen

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥 = ±𝑎

𝑏 √𝑏2 − 𝑦2 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑦 = ±

𝑏

𝑎 √𝑎2 − 𝑥2

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse vertical con el centro en el origen

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Ecuación de la elipse horizontal cuando su centro es cualquier punto del plano C (h, k).

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Ecuación de la elipse vertical cuando su centro es cualquier punto del plano C (h, k).

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Forma general de la ecuación de la elipse horizontal.

89

𝐴𝑋2 + 𝐶𝑌2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ≠ 𝐶, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

𝐴 = 𝑏2; 𝐶 = 𝑎2; 𝐷 = −2𝑏2ℎ ; 𝐸 = −2𝑎2𝑘 ; 𝐹 = 𝑏2ℎ2 + 𝑎2𝑘2 − 𝑎2𝑏2

Forma general de la ecuación de la elipse vertical.

𝐴𝑋2 + 𝐶𝑌2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ≠ 𝐶, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

𝐴 = 𝑎2; 𝐶 = 𝑏2; 𝐷 = −2𝑎2ℎ ; 𝐸 = −2𝑏2𝑘 ; 𝐹 = 𝑎2ℎ2 + 𝑏2𝑘2 − 𝑎2𝑏2

Con base en el dominio y rango de la ecuación, su gráfica es una curva cerrada en donde los valores

máximo y mínimo de x son a y – a, respectivamente mientras que los valores máximo y mínimo de y

corresponden a b y – b.

Coordenadas de los vértices:

En la ecuación de le elipse, hacemos y = 0

𝑥2

𝑎2+

(0)2

𝑏2= 1

𝑥2

𝑎2= 1

𝑥2 = 𝑎2

𝑥 = ±𝑎

Las coordenadas de los vértices son 𝑉(𝑎, 0); 𝑉′(−𝑎, 0)

Coordenadas de los vértices del eje menor:

En la ecuación de le elipse, hacemos x = 0

(0)2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

𝑦2

𝑏2= 1

𝑦2 = 𝑏2

𝑦 = ±𝑏

Las coordenadas de los puntos extremos del eje menor son 𝐵(0, 𝑏); 𝐵′(0, −𝑏)

Longitud del lado recto:

90

Para calcular la longitud de cada uno de los lados rectos de la elipse hacemos x = c y x = -c con el fin de

obtener las coordenadas de los puntos extremos de cada segmento; después encontraremos la distancia

entre ellos.

𝑦 = ±𝑏

𝑎 √𝑎2 − 𝑥2 = ±

𝑏

𝑎 √𝑎2 − 𝑐2 = 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2

𝑦 = ±𝑏

𝑎 (𝑏)

𝑦 = ±𝑏2

𝑎

De acuerdo con la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐 𝑦 𝑦 = ±𝑏2

𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑑 = √(𝑐 − 𝑐)2 + [𝑏2

𝑎− (−

𝑏2

𝑎)]

2

= √0 + [𝑏2

𝑎− (−

𝑏2

𝑎)]

2

= √[𝑏2

𝑎− (−

𝑏2

𝑎)]

2

=𝑏2

𝑎− (−

𝑏2

𝑎)

𝐿. 𝑅 =𝑏2

𝑎+

𝑏2

𝑎

𝐿. 𝑅 = 2𝑏2

𝑎

Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse:

Cuando vamos a construir una elipse, 𝑎 representa la longitud del semieje mayor, 𝑏 representa la longitud

del semieje menor y 𝑐 la distancia de su centro a uno de sus focos. Todos estos elementos están

relacionados por la expresión:

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

Excentricidad de la elipse:

Un elemento de lo más importante en la construcción de una elipse es su excentricidad a la cual la

definimos como el cociente o la razón de la distancia focal entre el eje mayor y la definiremos con la letra

𝑒.

𝑒 =2𝑐

2𝑎=

𝑐

𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

91

𝑒 =√𝑎2 − 𝑏2

𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:

𝑒2 = (√𝑎2 − 𝑏2

𝑎)

2

𝑒2 =𝑎2 − 𝑏2

𝑎2=

𝑎2

𝑎2−

𝑏2

𝑎2= 1 −

𝑏2

𝑎2= 1 − (

𝑏

𝑎)

2

𝑒 = √1 − (𝑏

𝑎)

2

𝑦 𝑏

𝑎= √1 − 𝑒2

Cuando analizamos la ecuación anterior nos damos cuenta que cuando la excentricidad entre más se

aproxime a la unidad, menor será el valor de 1 – e2 y, por consiguiente, la razón 𝑏

𝑎 será menor; esto se

reflejará en una elipse mas aplanada.

En resumen:

Una elipse puede ser alargada o casi circular

La excentricidad caracteriza la forma de la elipse

Si el valor de la excentricidad tiende a cero, la elipse se asemeja a una circunferencia

Si el valor de la excentricidad tiende a uno, se tiene una elipse muy aplanada

Si a = b, entonces el lugar geométrico será una circunferencia

Cuando e = 0, se tiene que c = 0 y esto significa que los dos focos están en el mismo lugar y por lo tanto

tenemos una circunferencia

Cuando construimos una elipse, una manera de verificar que los valores obtenidos son correctos es

calculando la excentricidad y constatar que sea menor que uno.

Ejemplo general: dada la ecuación de la elipse 𝑥2

16+

𝑦2

12= 1, calcular:

A) Las coordenadas de los focos:

Solución:

Al observar la ecuación de la elipse determinamos que tiene su centro en el origen y como la cantidad

mayor en los denominadores está en x por lo tanto su eje focal está en el eje x, por lo qué a2 = 16 y b2 =

12; por consiguiente usando la relación:

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 16 − 12

𝑐2 = 4

𝑐 = ±√4

𝑐 = ±2

Las coordenadas de los focos son 𝐹(2,0); 𝐹′(−2,0)

92

B) Las coordenadas de los vértices del eje mayor son:

Solución:

Nuevamente observando la ecuación de la elipse, si a2 = 16 por lo tanto a = 4

Y las coordenadas de sus vértices son 𝑉(4,0); 𝑉′(−4,0)

C) La longitud de cada lado recto:

𝐿. 𝑅 =2𝑏2

𝑎=

2(12)

4=

24

4= 6

D) La longitud del eje mayor:

𝑉𝑉′ = 2𝑎

𝑉𝑉′ = 2(4)

𝑉𝑉′ = 8

E) La longitud del eje menor:

𝐵𝐵′ = 2𝑏

𝐵𝐵′ = 2(√12)

𝐵𝐵′ = 2√(4)(3)

𝐵𝐵′ = 4√3

𝐵𝐵′ = 4(1.73)

𝐵𝐵′ = 6.9

F) La excentricidad:

𝑒 =𝑐

𝑎=

2

4=

1

2

𝑒 =1

2

93

G) Gráfica tu elipse:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Ejemplo general: escribe la ecuación de la elipse con vértices en 𝑉(12,0); 𝑉′(−12,0) y cuya excentricidad

es igual a 9

12

Solución:

El centro de la elipse es el punto medio del segmento 𝑉𝑉′; luego, el centro es el origen y, de acuerdo con

la localización de los vértices, el eje focal está en el eje x; por consiguiente, la ecuación que buscamos es

de la forma:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Recordando que tenemos como dato la excentricidad y cuya fórmula es:

𝑒 =𝑐

𝑎

9

12=

𝑐

12

𝑐 = 9

94

Encontremos ahora el valor de b2

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏2

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2

𝑏2 = 122 − 92

𝑏2 = 144 − 81

𝑏2 = 63

Por lo tanto la ecuación de la elipse es:

𝑥2

144+

𝑦2

63= 1

Ejemplo 1: Dada la ecuación de la elipse, identifique las coordenadas de su centro y los vértices.

(𝑥 + 1)2

9+

(𝑦 + 2)2

16= 1

Análisis del ejemplo anterior:

Cuando observamos la ecuación de la elipse nos damos cuenta que su centro se encuentra fuera del

origen y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 16 y b2 = 9, pues siempre a >b, y como a2

es el divisor del binomio (𝑦 + 2)2, sabemos que es una elipse vertical y Por los binomios de los

numeradores, sabemos que h = -1 y k = - 2, así que el centro es C (-1, - 2).

Las ordenadas de los vértices se calculan sumando y restando el valor de a = 4 a la ordenada del centro.

En resumen:

1. Su centro está fuera del origen

2. Su eje focal está en el eje y

3. Las coordenadas de sus vértices son V ( h , k + a ) y V’ (h , k - a)

4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor son B (h + b , k) y B' (h – b ,k)

5. Las coordenadas de sus focos son F ( h , k +c ) y F' (h , k – c ) en donde c2 = a2 – b2

6. La longitud de su eje mayor es 2a

7. La longitud de su eje menor es 2b

8. La longitud de cada lado recto es 2b2/a

95

Encuentra la respuesta correcta:

A) 𝐶(−1, −2) , 𝑉(−1, −6), 𝑉′(−1 , 2 )

B) 𝐶(−1, −2), 𝑉(−5, −2), 𝑉′( 3 , − 2)

C) 𝐶( 1 , 2 ), 𝑉(−3, 2 ), 𝑉′( 5 , 2)

D) 𝐶( 1, 2), 𝑉( 1 ,6), 𝑉′( 1 , −2 )

Ejemplo 2: Dada la ecuación de la elipse, identifique las coordenadas de su centro y los vértices.

(𝑥 − 3)2

4+

(𝑦 + 1)2

1= 1

A) 𝐶(−3, −1) , 𝑉(−1, −6), 𝑉′(−1 ,2 )

B) 𝐶( 3 , 1 ), 𝑉(−5, −1), 𝑉′(−1 , −1)

C) 𝐶(−3 , 1 ), 𝑉(5, −1), 𝑉′(1 , −1)

D) 𝐶( 3, −1), 𝑉(5, −1), 𝑉′( 1 , −1)


Cuando observamos la ecuación de la elipse nos damos cuenta que su centro se encuentra fuera del

origen y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 4 y b2 = 1, pues siempre a >b, y como a2 es

el divisor del binomio (𝑥 − 3)2, sabemos que es una elipse horizontal fuera del origen y Por los binomios

de los numeradores, sabemos que h = 3 y k = - 1, así que el centro es C (3, - 1).

Las abscisas de los vértices se calculan sumando y restando el valor de a = 4 a la abscisa del centro.

En resumen:

1. Su centro está fuera del origen

2. Su eje focal está en el eje x

3. Las coordenadas de sus vértices son V ( h + a , k ) y V’ (h - a , k )

4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor son B (h , k + a) y B' (h ,k – a )

5. Las coordenadas de sus focos son F ( h + c , k ) y F' (h - c , k ) en donde c2 = a2 – b2




96

Ejemplo 3: ¿Cuáles son las coordenadas del centro y vértices de la elipse que tiene por ecuación. 𝑥2

49+

𝑦2

9= 1

A) 𝐶 (−7, 7), 𝑉1 (−3, 0), 𝑉2 (3, 0 )

B) 𝐶 (−3, 3), 𝑉1 (−7, 3), 𝑉2 (−7, 3)

C) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (−7, 0), 𝑉2 (7, 0 )

D) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (−49, 0), 𝑉2 (49, 9)


Cuando observamos la ecuación de la elipse nos damos cuenta que su centro se encuentra en el origen

y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 49 y b2 = 9, pues siempre a >b, y como a2 es el

divisor de 𝑥2, sabemos que es una elipse horizontal con centro en el origen.


En resumen:

1. Su centro está en el origen


3. Las coordenadas de sus vértices son V (a, 0) y V’ (- a, 0)

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (0, b) y B' (0, - b)

5. Las coordenadas de sus focos son F (c, 0) y F' ( - c, 0 ) en donde c2 = a2 – b2





25+

𝑦2

81= 1

A) 𝐶 (−7, 7), 𝑉1 (−3, 0), 𝑉2 (3, 0 )

B) 𝐶 (−3, 3), 𝑉1 (−7, 3), 𝑉2 (−7, 3)

C) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (−7, 0), 𝑉2 (7, 0 )

D) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (0, 5), 𝑉2 (0, −5)


97


y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 81 y b2 = 25, pues siempre a >b, y como a2 es

el divisor de 𝑦2, sabemos que es una elipse vertical con centro en el origen.

Las ordenadas de los vértices se calculan sumando y restando el valor de a = 9 a la ordenada del centro.

En resumen:



3. Las coordenadas de sus vértices son V (0, a) y V’ (0, - a) =

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (b, 0) y B' (- b, 0) =

5. Las coordenadas de sus focos son F (0, c) y F' ( 0, - c ) en donde c2 = a2 – b2 =

6. La longitud de su eje mayor es 2a =

7. La longitud de su eje menor es 2b =

8. La longitud de cada lado recto es 2b2/a =

9. Su excentricidad es e = c/a

Ejemplo 5: ¿Cuáles son las coordenadas del centro y vértices de la elipse que tiene por ecuación. 𝑦2

100+

𝑥2

64= 1

A) 𝐶 ( 0, 0), 𝑉1 ( 0, 10 ), 𝑉2 (0, −10 )

A) 𝐶 (−3, 3), 𝑉1 (−7, 3 ), 𝑉2 (−7, 3 )

B) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (−10, 0 ), 𝑉2 ( 10, 0 )

C) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 ( 0, 8 ), 𝑉2 ( 0, − 8 )



y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 100 y b2 = 64, pues siempre a >b, y como a2 es

el divisor de 𝑦2, sabemos que es una elipse vertical con centro en el origen.

Las ordenadas de los vértices se calculan sumando y restando el valor de a = 10 a la ordenada del

centro.

En resumen:



3. Las coordenadas de sus vértices son V (0, a) y V’ (0, - a) =

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (b, 0) y B' (- b, 0) =

5. Las coordenadas de sus focos son F (0, c) y F' ( 0, - c ) en donde c2 = a2 – b2 =




98


169+

𝑦2

144= 1

A) 𝐶 (−7, 7), 𝑉1 (−3, 0), 𝑉2 (3, 0 )

B) 𝐶 (−3, 3), 𝑉1 (−7, 3), 𝑉2 (−7, 3)

C) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (−7, 0), 𝑉2 (7, 0 )

D) 𝐶 ( 0, 0 ), 𝑉1 (0, 5), 𝑉2 (0, −5)



y que si analizamos los denominadores, sabemos a2 = 169 y b2 = 144, pues siempre a >b, y como a2

es el divisor de 𝑥2, sabemos que es una elipse horizontal con centro en el origen.


En resumen:



3. Las coordenadas de sus vértices son V (a, 0) y V’ ( - a, 0 ) =

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (0, b) y B' (0, - b ) =

5. Las coordenadas de sus focos son F (c, 0) y F' ( - c, 0 ) en donde c2 = a2 – b2 =




Ejemplo 7. Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son 𝑉(0,10), 𝑉′(0, −10) y sus focos son

𝐹(0,2), 𝐹′(0, −2).

Solución: como la elipse tiene sus coordenadas en el centro C (0,0), los focos están sobre el eje y, la

distancia focal es 2c = 4, la distancia entre los vértices es 2a = 20 entonces b2 = a2 – c2 por lo que b2 =

102 – 22 por lo tanto b2 = 96

𝑥2

96+

𝑦2

100= 1

Ejemplo 8. Dibujar la elipse cuya ecuación es:

𝑥2

81+

𝑦2

121= 1

99

Solución: como el denominador de y2 es mayor que el de x2, decimos con certeza que se trata de una

elipse vertical, en donde a2 = 121, y b2 = 81, así que c2 = 121 – 81 y por lo tanto a = 11, b = 9 y c = √40

Tenemos entonces que los focos son 𝐹(0, √40), 𝐹′(0, −√40); los vértices son 𝑉(0,6), 𝑉′(0, −6); los

extremos del eje menor son 𝐵(4,0), 𝐹′(−4,0);

Marcamos estos puntos y trazamos una curva suave uniendo los vértices y los extremos del eje menor.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

En resumen:



3. Las coordenadas de sus vértices son V (0, 6) y V’ ( 0, - 6 )

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (4, 0) y B' (- 4, 0 )

5. Las coordenadas de sus focos son F (0, √20) y F' ( 0, −√20 ) en donde c2 = a2 – b2 =

6. La longitud de su eje mayor es 2a = 12

7. La longitud de su eje menor es 2b = 8

8. La longitud de cada lado recto es 2b2/a = 5.333

Ejemplo 9. Dibujar la elipse cuya ecuación es:

100

𝑥2

64+

𝑦2

49= 1

Solución: como el denominador de x2 es mayor que el de y2, decimos con certeza que se trata de una

elipse horizontal, en donde a2 = 64, y b2 = 49, así que c2 = 64 – 49 y por lo tanto a = 8, b = 7 y c = √15

Tenemos entonces que los focos son 𝐹(√15, 0), 𝐹′(−√15, 0); los vértices son 𝑉(8,0), 𝑉′(−8, 0); los

extremos del eje menor son 𝐵(0,7), 𝐹′(0, −7);

101

Marcamos estos puntos y trazamos una curva suave uniendo los vértices y los extremos del eje menor.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

En resumen:



3. Las coordenadas de sus vértices son V (8, 0) y V’ ( - 8, 0 ) =

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B (0, 7) y B' (0, - 7 )

5. Las coordenadas de sus focos son F (,√15 0) y F' (−√15 , 0 ) en donde c2 = a2 – b2 =

6. La longitud de su eje mayor es 2a = 16

7. La longitud de su eje menor es 2b = 14

8. La longitud de cada lado recto es 2b2/a = 12.25

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre la ecuación de la elipse con centro en el origen, que

satisface las condiciones dadas.

Ejercicio 10. La longitud del eje mayor es 10 y la del eje menor 8; los focos están sobre el eje y

Ejercicio 11. El eje menor mide 10 y un vértice es (6,0).

Ejercicio 12. El lado recto mide 32

7 y uno de los extremos del eje menor está en (4,0).

Ejercicio 13. El eje menor mide 12 y uno de los focos está en (8,0)

102

Ejercicio 14. El eje mayor mide 16, los focos están sobre el eje x y la curva pasa por el punto

(4,3)

Ejercicio 15. Uno de los vértices está en (0,-7) y la curva pasa por (-3, 7/2)

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre la ecuación de la elipse con centro fuera del origen,

que satisface las condiciones dadas.

Ejercicio 16. Halla la ecuación de la elipse con centro en (-4,-2) si su eje mayor es horizontal y mide 10 y

el eje menor mide 8.

Ejercicio 17. Establezca la ecuación de la elipse que tiene su centro en (-1,-2) si su eje mayor es vertical

y mide 6 unidades y su eje menor 4.

Ejercicio 18. Encuentre la ecuación de la elipse cuyo centro está en (3,2), uno de sus focos en (7,2) y el

vértice correspondiente en (9,2)

Resuelve los siguientes reactivos de opción múltiple.

Reactivo 19.- encuentre la ecuación de la elipse cuyo centro está en (4,5), la longitud del eje mayor es 20

y la del eje menor es 16 y uno de sus vértices está en el punto (-10,0).

A) (𝑥−4)2

100+

(𝑦−5)2

64= 1

B) (𝑥−4)2

64+

(𝑦−5)2

100= 1

C) (𝑥+4)2

100+

(𝑦−5)2

64= 1

D) (𝑥−4)2

100+

(𝑦+5)2

64= 1

Reactivo 20. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(2,1), 𝑉′(8,1) y focos

𝐹(3,1), 𝐹′(7,1).

A) (𝑥+5)2

9+

(𝑦+1)2

5= 1

B) (𝑥−5)2

9+

(𝑦+1)2

5= 1

C) (𝑥+5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

103

D) (𝑥−5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

Reactivo 21. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(−2, 8), 𝑉′(−2 ,0) y

focos 𝐹(−2, 6), 𝐹′(−2, −2).

A) (𝑥+2)2

12+

(𝑦−4)2

16= 1

B) (𝑥+2)2

12+

(𝑦+4)2

16= 1

C) (𝑥−2)2

12+

(𝑦−4)2

16= 1

D) (𝑥−2)2

12+

(𝑦+4)2

16= 1

Reactivo 22. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(−3, 4), 𝑉′(7,4) y focos

𝐹(−1, 4), 𝐹′(5, 4).

A) (𝑥+2)2

25+

(𝑦+4)2

16= 1

B) (𝑥−2)2

25+

(𝑦+4)2

16= 1

C) (𝑥+2)2

25+

(𝑦−4)2

16= 1

D) (𝑥−2)2

25+

(𝑦−4)2

16= 1

Reactivo 23. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(−1, −2), 𝑉′(−7, −2) y

focos 𝐹(−2, −2), 𝐹′(−6, −2).

A) (𝑥+4)2

9+

(𝑦+2)2

5= 1

B) (𝑥−4)2

9+

(𝑦+2)2

5= 1

C) (𝑥+4)2

5+

(𝑦−2)2

9= 1

104

D) (𝑥−4)2

5+

(𝑦−2)2

9= 1

Reactivo 24. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(0,3), 𝑉′(0, −3) y focos

𝐹(0,2), 𝐹′(0, −2).

A) 𝑋2

5+

𝑌2

9= 1

B) 𝑋2

9+

𝑌2

5= 1

C) (𝑥+5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

D) (𝑥−5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

Reactivo 25. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(5,0), 𝑉′(−5, 0) y focos

𝐹(3,0), 𝐹′(−3,0).

A) (𝑥+5)2

25+

(𝑦+1)2

16= 1

B) 𝑋2

25+

𝑌2

16= 1

C) (𝑥+5)2

25+

(𝑦−1)2

16= 1

D) (𝑥−5)2

25+

(𝑦−1)2

16= 1

Reactivo 23. Encuentra la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos: 𝑉(2,1), 𝑉′(8,1) y focos

𝐹(3,1), 𝐹′(7,1).

A) (𝑥+5)2

9+

(𝑦+1)2

5= 1

B) (𝑥−5)2

9+

(𝑦+1)2

5= 1

105

C) (𝑥+5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

D) (𝑥−5)2

9+

(𝑦−1)2

5= 1

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que el valor

absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una cantidad constante

y menor que la distancia entre los focos.

La recta en que están situados los focos es uno de los ejes de la hipérbola y se llama eje focal. El

segmento del eje focal que une los vértices se llama eje transverso; y existe otro eje, perpendicular al eje

transverso, que recibe el nombre de eje conjugado. El eje transverso y el eje conjugado se intersecan en

el centro de la hipérbola.

La hipérbola tiene dos lados rectos, igual que la elipse, que son rectas que unen dos puntos de la

hipérbola, pasan por los focos y son perpendiculares al eje focal.

La hipérbola es simétrica con respecto a sus ejes y tiene dos asíntotas que se cortan en el centro de la

hipérbola.

La posición de la hipérbola la determina la posición de su eje transverso y la hipérbola puede ser

horizontal, vertical o inclinada.

Ecuación de la hipérbola horizontal en su forma canónica con centro en el origen; el eje focal coincide

con el eje x.

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Ecuación de la hipérbola vertical en su forma canónica con centro en el origen; el eje focal coincide con el

eje y.

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1

Establecimos anteriormente que para la elipse, el valor absoluto de los denominadores a2 y b2 nos

señalan dónde están ubicados los focos. Este concepto no aplica para la hipérbola, ya que en esta curva

podemos tener, indistintamente, a > b, a < b, o a = b.

En la hipérbola, la colocación de a2 y de b2 no cambia; cambia x2 o y2 si el eje focal es paralelo al eje x,

entonces x2 y su divisor están precedidos del signo más; si el eje focal es paralelo al eje y, entonces y2 y

su divisor están precedidos por el signo más. Al ampliar este comentario y al observar las dos ecuaciones

106

anteriores de la hipérbola, y tener en cuenta que “a” puede ser igual, mayor o menor que “b”, notamos

que la forma de distinguir una hipérbola horizontal de una vertical es considerar el cociente positivo. En

efecto, cuando en él está x2, la hipérbola es horizontal, y es vertical cuando está en el cociente y2.

Siempre el denominador del cociente positivo es a2 y el del cociente negativo es b2.

La condición que distingue a la hipérbola del resto de las curvas (circunferencia, parábola, elipse) es que

(A) (C) < 0, por lo que la gráfica es una hipérbola o un par de rectas que se cortan.

Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola

El valor a representa la distancia del centro de la hipérbola a uno de los vértices; b representa la distancia

del centro a un extremo cualquiera del eje conjugado y c representa la distancia del centro a cualquiera

de los focos. Para este tipo de cónicas existen las siguientes relaciones entre dichas cantidades.

1. 𝑐 > 𝑎

2. 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

3. 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

Dominio y rango de la relación:

𝑦 = ±𝑏

𝑎 √𝑥2 − 𝑎2

De ella deducimos que el rango de la ecuación es el conjunto de todos los números reales.

Excentricidad de la hipérbola:

Al igual que la elipse, la excentricidad de la hipérbola se define como el cociente de la distancia focal

entre la distancia entre los vértices 𝑐

𝑎; por lo tanto:

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎

107

Como 𝑐 > 𝑎, entonces la excentricidad de una hipérbola es mayor que uno y por lo tanto mide qué tan

abierta o cerrada está la hipérbola.

En síntesis:

La gráfica de la ecuación

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

Centro en el origen

Vértices en (𝑎, 0); (−𝑎, 0)

Focos en (𝑐, 0); (−𝑐, 0); 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Longitud del eje transverso igual a 2a

Longitud del eje conjugado igual a 2b

Longitud de cada lado recto es igual a 2𝑏2

𝑎

La excentricidad es 𝑒 =𝑐

𝑎

Su gráfica consta de dos curvas, una que se prolonga infinitamente hacia la derecha y la otra hacia la

izquierda. Su rango es el conjunto de todos los números reales; es decir, y puede tomar cualquier valor.

En el intervalo −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 no hay gráfica.

Las rectas 𝑦 =𝑏𝑥

𝑎, y 𝑦 = −

𝑏𝑥

𝑎, son sus asíntotas.

Ejemplo general: dada la ecuación de la hipérbola 𝑥2

4−

𝑦2

5= 1 determina:

Las coordenadas de sus focos:

Solución: de acuerdo con la ecuación, la hipérbola tiene su centro en el origen y sus focos están en el eje

x, y conocemos los siguientes valores 𝑎2 = 4 ; 𝑏2 = 5 por lo que es sencillo calcular la c.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐2 = 4 + 5

𝑐 = √9

𝑐 = ± 3, 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: 𝐹(3,0); 𝐹′(−3,0)

Las coordenadas de sus vértices:

Solución: las coordenadas de sus vértices son 𝑉(𝑎, 0); 𝑉′(−𝑎, 0) y nuevamente observando la ecuación

de la elipse vemos que 𝑎2 = 4, por lo tanto a = 2.

Las coordenadas de sus vértices son 𝑉(2,0); 𝑉′(−2,0)

La excentricidad:

108

𝑒 =𝑐

𝑎=

3

2= 1.5 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢é 𝑐 > 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒 > 1

La longitud de sus lados rectos:

𝐿. 𝑅. =2𝑏2

𝑎=

2(5)

2= 5

Las ecuaciones de las asíntotas:

𝑦 = ±𝑏𝑥

𝑎=

√5 𝑥

2

2𝑦 = ±√5 𝑥

√5 𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎

√5 𝑥 + 2𝑦 = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎

Ejemplo general: dada la ecuación de la hipérbola 𝑦2

25−

𝑥2

144= 1 determina:

Las coordenadas de sus focos:

Solución: de acuerdo con la ecuación, la hipérbola tiene su centro en el origen y sus focos están en el eje

y, y conocemos los siguientes valores 𝑎2 = 25 ; 𝑏2 = 144 por lo que es sencillo calcular la c.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐2 = 25 + 144

𝑐 = √169

𝑐 = ±13, 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: 𝐹(0,13) ; 𝐹′(0, −13)

Las coordenadas de sus vértices:

Solución: las coordenadas de sus vértices son 𝑉(0, 𝑎); 𝑉′(0, −𝑎) y nuevamente observando la ecuación

de la elipse vemos que 𝑎2 = 25, por lo tanto a = 5.

Las coordenadas de sus vértices son 𝑉(0,5); 𝑉′(0, −5)

La excentricidad:

𝑒 =𝑐

𝑎=

13

5= 2.6 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢é 𝑐 > 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒 > 1

109

Las ecuaciones de las asíntotas:

𝑦 = ±𝑎𝑥

𝑏=

5 𝑥

12

12𝑦 = ± 5𝑥

5 𝑥 − 12𝑦 = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎

5 𝑥 + 12𝑦 = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son 𝑉(0,2); 𝑉′(0, −2), y cuya

excentricidad es 𝑒 =3

2

Solución:

Al analizar el problema, por los vértices sabemos que el centro de la hipérbola está en el origen que la

hipérbola es vertical y que a = 2, por lo tanto 𝑎2 = 4.

Otro dato que tenemos es el de la excentricidad cuya fórmula es 𝑒 =𝑐

𝑎, en donde determinamos que

c = 3. Ahora calculamos b2.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 9 − 4 = 5

𝑏2 = 5

𝑦2

4−

𝑥2

5= 1 𝑡𝑎𝑚𝑏í𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑠í: 5𝑦2 − 4𝑥2 − 20 = 0

Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la hipérbola con estos datos: 𝑉(4,0) ; 𝑉′(−4,0) , 𝑒 = 3

Solución:

Al analizar el problema, por los vértices sabemos que el centro de la hipérbola está en el origen que la

hipérbola es horizontal y que a = 4, por lo tanto 𝑎2 = 16.


𝑎, y la excentricidad vale 3

𝑒 =𝑐

𝑎

110

3 =𝑐

4

𝑐 = 12

Ahora calculamos b2

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 144 − 16 = 128

𝑏2 = 128

𝑥2

16−

𝑦2

128= 1 𝑡𝑎𝑚𝑏í𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑠í: 128𝑥2 − 16𝑦2 − 2048 = 0

Ejemplo 3. Encuentra la ecuación de la hipérbola con estos datos: 𝑉(2,1) ; 𝑉′(2, −3) , 𝑒 =3

2

Solución:

Al analizar el problema, puesto que los vértices tienen la misma abscisa, sabemos que la hipérbola es

vertical y el centro de la hipérbola está fuera del origen que a = 2, por lo tanto 𝑎2 = 4, 𝑦 𝑐 = 3

Calculemos el punto medio de las ordenadas para encontrar el centro de la hipérbola

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 =𝑦2 + 𝑦1

2=

−3 + 1

2=

−2

2= −1 𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(2, −1)


𝑎,

𝑒 =𝑐

𝑎

𝑒 =3

2

𝑐 = 3

Ahora calculamos b2

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 9 − 4 = 5

𝑏2 = 5

111

Fórmula para una elipse fuera del origen y en forma vertical

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

Sustituimos los valores para obtener la ecuación en su forma ordinaria

(𝑦 + 1)2

4−

(𝑥 − 2)2

5= 1

Hacemos las operaciones para obtener la forma general

5(𝑦 + 1)2 − 4(𝑥 − 2)2 − 20 = 0

5(𝑦2 + 2𝑦 + 1) − 4(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 20 = 0

5𝑦2 + 10𝑦 + 5 − 4𝑥2 + 16𝑥 − 16 − 20 = 0

−4𝑥2 + 5𝑦2 + 16𝑥 + 10𝑦 − 31 = 0

4𝑥2 − 5𝑦2 − 16𝑥 − 10𝑦 + 31 = 0

Ejemplo 4. Encuentra la ecuación de la hipérbola con estos datos: 𝑉(2,3) ; 𝑉′(−4, 3) , y cuyos focos son

𝐹(3,3) ; 𝐹′(−5, 3) ,

Solución:

Al analizar el problema, puesto que los vértices y los focos tienen la misma ordenada, sabemos que la

hipérbola es horizontal y el centro de la hipérbola está fuera del origen.

Calculemos el punto medio de las abscisas para encontrar el centro de la hipérbola

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 =𝑥2 + 𝑥1

2=

−4 + 2

2=

−2

2= −1 𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(−1 , 3)

Los valores de a y c se calculan como distancia del centro de la hipérbola a cualquier vértice y del centro

de la hipérbola a cualquier foco, por lo tanto a = 3 y c = 4

Ahora calculamos b2

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 16 − 9 = 7

𝑏2 = 7

112

Fórmula para una elipse fuera del origen y en forma horizontal

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Sustituimos los valores para obtener la ecuación en su forma ordinaria

(𝑥 + 1)2

9−

(𝑦 − 3)2

7= 1

Hacemos las operaciones para obtener la forma general:

7(𝑥 + 1)2 − 9(𝑦 − 3)2 − 63 = 0

7(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 9(𝑦2 − 6𝑦 + 9) − 63 = 0

7𝑥2 + 14𝑥 + 7 − 9𝑦2 + 54𝑦 − 81 − 63 = 0

7𝑥2 − 9𝑦2 + 14𝑥 + 54𝑦 − 137 = 0

Elige la opción que represente la respuesta correcta:

Reactivo 1.encuentra la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos 𝐹(5,0) ; 𝐹′(−5, 0) , la distancia

entre sus vértices es 4.

A) 𝑥2

4−

𝑦2

21= 1

B) 𝑦2

4−

𝑥2

21= 1

C) 𝑥2

21−

𝑦2

4= 1

D) 𝑦2

21−

𝑥2

4= 1

Reactivo 2.encuentra la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos 𝑉(4,0) ; 𝑉′(−4, 0) , y la

distancia focal es de 10.

A) 𝑥2

9−

𝑦2

4= 1

B) 𝑦2

4−

𝑥2

16= 1

C) 𝑥2

16−

𝑦2

9= 1

D) 𝑦2

16−

𝑥2

4= 1

113

Reactivo 3.encuentra la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos 𝑉(4,0) ; 𝑉′(−4, 0) , y los focos

𝐹(6,0) ; 𝐹′(−6, 0).

A) 𝑥2

16−

𝑦2

20= 1

B) 𝑦2

16−

𝑥2

20= 1

C) 𝑥2

20−

𝑦2

16= 1

D) 𝑦2

9−

𝑥2

4= 1

Reactivo 4. Dada la ecuación de la hipérbola 16𝑥2 − 9𝑦2 − 144 = 0, determina las coordenadas de sus

vértices.

A) 𝑉(4,0) ; 𝑉′(−4, 0)

B) 𝑉(3,0) ; 𝑉′(−3, 0)

C) 𝑉(2,0) ; 𝑉′(−2, 0)

D) 𝑉(5,0) ; 𝑉′(−5, 0)


focos.

A) 𝐹(4,0) ; 𝐹′(−4, 0)

B) 𝐹(3,0) ; 𝐹′(−3, 0)

C) 𝐹(2,0) ; 𝐹′(−2, 0)

D) 𝐹(5,0) ; 𝐹′(−5, 0)

Reactivo 6. Dada la ecuación de la hipérbola 16𝑥2 − 9𝑦2 − 144 = 0, determina la excentricidad

A) 5

3

B) 2

3

C) 1

3

D) 4

3


vértices.

A) 𝑉(4,0) ; 𝑉′(−4, 0)

B) 𝑉(3,0) ; 𝑉′(−3, 0)

C) 𝑉(2,0) ; 𝑉′(−2, 0)

114

D) 𝑉(5,0) ; 𝑉′(−5, 0)


focos.

A) 𝐹(√40, 0) ; 𝐹′(−√40, 0)

B) 𝐹(√30, 0) ; 𝐹′(−√30, 0)

C) 𝐹(√25, 0) ; 𝐹′(−√25, 0)

D) 𝐹(√34, 0) ; 𝐹′(−√34, 0)

Reactivo 9. Dada la ecuación de la hipérbola 16𝑥2 − 9𝑦2 − 144 = 0, determina la excentricidad

A) 1

3

B) √34

3

C) √3

3

D) √4

3

Solucionas problemas donde se aplican funciones y leyes trigonométricas

Para determinar el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos 30° , 45° , y 60°, sin necesidad

de utilizar la calculadora nos apoyaremos en un cuadrado de lado 1 para las funciones de 45° y de un

triángulo equilátero de lado 2, para las funciones de 30° y 60°. y así Obtenemos las siguientes funciones

trigonométricas.

1. Dibujamos un cuadrado de lado 1.

2. Con una diagonal dividimos el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales

3. Calculamos mediante el teorema de Pitágoras la hipotenusa

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 12 = √2

4. Finalmente, calculamos las funciones trigonométricas para 45°.

𝑠𝑒𝑛 45° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

1

√2

cos 45° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

1

√2

tan 45° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

1

1 = 1

115

cot 45° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

1

1 = 1

sec 45° =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

√2

1 = √2

cos 45° =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

√2

1= √2

Las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, las vamos a calcular dibujando un triángulo

equilátero de lado 2 .bajo los siguientes puntos.

1. Consideremos un triángulo equilátero de lado dos.

2. Dibujamos una de las alturas del triángulo equilátero para dividirlo en dos triángulos rectángulos

congruentes

3. Calculemos el valor de dicha altura utilizando el teorema de Pitágoras.

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = √𝑐2 − 𝑎2 = √22 − 12 = √4 − 1 = √3

4. Finalmente, calculemos las funciones trigonométricas

Resolución general de triángulos oblicuángulos:

Para encontrar la solución de triángulos que no son rectángulos, especialmente los oblicuángulos, es

decir, aquellos que no tienen o carecen de un ángulo recto o de 90°, aplicaremos las leyes de los senos y

cosenos que a continuación se describen.

Ley de los senos: “los lados de un triángulo son directamente proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos”. Matemáticamente se expresa como:

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶

Si despejamos cada uno de sus lados, obtenemos:

𝑎 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑏 =𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑠𝑒𝑛 𝐴

𝑐 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝐵

116

𝑠𝑒𝑛 𝐴 =𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶 =𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑏

Ley de los cosenos: “el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, menos el duplo del producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que forman”.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ∴ 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵 ∴ 𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 ∴ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶

Ley de las tangentes: “en todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus lados es a su suma

como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la

mitad de la suma de dichos ángulos”.

𝑎 − 𝑏

𝑎 + 𝑏=

tan12

(𝐴 − 𝐵)

tan12

(𝐴 + 𝐵)

Cuando cursamos el segundo semestre, llevamos una asignatura denominada Geometría y

Trigonometría y nos piden resolver los elementos de un triángulo oblicuángulo, para ello es necesario

conocer tres elementos y de los cuales uno de ellos debe de ser la longitud de un lado, pues tres ángulos

no nos dan suficiente información.

Para resolver todos los elementos del triángulo oblicuángulo, aplicamos las leyes de senos y cosenos

que son los mejores argumentos para la resolución de dichos triángulos. Para ello, necesitamos lo

siguiente:

Conocer los tres lados.(aplicamos ley de los cosenos)

Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Conocer dos lados y el ángulo comprendido.(ley de senos y cosenos)

Conocer un lado y los ángulos adyacentes.

Resolución de triángulos oblicuángulos utilizando las leyes anteriores:

1. Resolver los elementos de un triangulo oblicuángulo conociendo la longitud de sus tres lados

117

a = 6.611 cm., b = 10.25 cm. Y c = 10 cm.

Solución: solo conocemos la longitud de sus lados y carecemos de ángulos aplicamos la ley de los

cosenos

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 Despejamos cos A

2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐=

(10.25)2 + (10)2 − (6.611)2

(2)(10.25)(10)=

161.3572

205= 0.7871

𝐴 = cos−1 0.7871

∡ 𝐴 = 38° 05′ 05"

Ahora calculamos el coseno del ángulo B

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵 Despejamos cos B

2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2

cos 𝐵 =𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2

2𝑎𝑐=

(6.611)2 + (10)2 − (10.25)2

(2)(6.611)(10)=

38.6428

132.22= 0.2923

𝐵 = cos−1 0.2923

∡ 𝐵 = 73° 0′ 24"

Ahora calculamos el coseno del ángulo C

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 Despejamos cos C

2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2

cos 𝐶 =𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2

2𝑎𝑏=

(6.611)2 + (10.25)2 − (10)2

(2)(6.611)(10.25)=

48.7678

135.5255= 0.3598

𝐶 = cos−1 0.3598

∡ 𝐶 = 68° 54′ 34"

Comprobación:

De acuerdo al teorema sobre triángulos que a la letra dice “en todo triángulo la suma de sus ángulos

internos es igual a 180° “.

Δ𝐴𝐵𝐶 = 38° 05′ 05+73° 0' 24 + 68° 54′ 34" = 180°

118

2. Resolver los elementos de un triangulo oblicuángulo conociendo la longitud de dos lados a = 32.45 cm.,

b = 27.21 cm. Y el ángulo comprendido ∡ 𝐶 = 66° 56′

Solución: conocemos la longitud de dos de sus lados (ab) y un ángulo (C), por lo que estamos en

posibilidad de utilizar la ley de senos y la ley de los cosenos para conocer la longitud del lado faltante que

es c.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 ∴ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 = √(32.45)2 + (27.21)2 − [(2)(32.45)(27.21)𝑐𝑜𝑠(66° 56′)]

𝑐 = √1793.3866 − 691.8944 = √1101.4922 = 33.1887 𝑐𝑚.

𝑐 = 33.19 𝐶𝑚.

Ahora, ya conozco la longitud de los tres lados lo que me resta conocer es la medida de los ángulos

restantes mediante la ley de los senos.

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶

Calculamos el ángulo medido de B

𝑠𝑒𝑛 𝐵 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶

𝑐=

(27.21)(𝑠𝑒𝑛 66° 56′ )

(33.19)=

25.0345

33.19= 0.7543

∡𝐵 = sin−1 0.7543

∡𝐵 = 48° 57′ 51"

Calculamos el ángulo medido de A

𝑠𝑒𝑛 𝐴 =𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵

𝑏=

(32.45)(𝑠𝑒𝑛 48° 57′ 51" )

27.21=

24.477

27.21= 0.8996

∡𝐴 = sin−1 0.8996

∡𝐴 = 64° 06′ 20"

Comprobación:

De acuerdo al teorema sobre triángulos que a la letra dice “en todo triángulo la suma de sus ángulos

internos es igual a 180° “.

Δ𝐴𝐵𝐶 = 64° 06′ 20 + 48° 57' 51" + 66° 56′ = 180°

119

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dirección general del Colegio de Educación Profesional Técnica del estado de Tamaulipas.

Elaborado en el mes de Agosto del 2011, con un tiraje inicial de 2500 ejemplares.

Curso-taller Habilidad Matematica 15

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