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GUA DOCENTE DEL CURSO 2014-15

Nombre del curso Clculo y modelizacin estocstica. Procesos de difusin

Profesor(es) Francisco de Ass Torres Ruiz (http://www.ugr.es/local/fdeasis)

Patricia Romn Romn (http://www.ugr.es/local/proman)

Descripcin Esta asignatura est planteada como una introduccin conceptual a la teora de losprocesos de difusin. Como objetivos generales se persigue que el alumno sefamiliarice con esta clase de procesos, conozca las condiciones que loscaracterizan y adquiera destrezas en lo que se refiere a su tratamiento. En esesentido se profundizar en mtodos de obtencin de las distribuciones asociadas,clculo de funciones media y covarianzas, as como de otras caractersticas deinters en aplicaciones prcticas. La aproximacin a esta clase de procesos serealizar tanto desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales deKolmogorov como desde las ecuaciones diferenciales estocsticas, proporcionandomtodos para su resolucin en cada caso. Una vez afianzados estosconocimientos, los cuales se ilustrarn con abundantes ejemplos (Wiener, Ornstein-Uhlenbeck, lognormal,), se abordarn algunos tpicos concretos como es elproblema de la inferencia, principalmente por medio de muestreo discreto, as como

una introduccin al problema de tiempos de primer paso.

Objetivos particulares Conocer e identificar las condiciones que definen y determinan a un proceso dedifusin.

Conocer diferentes procedimientos que permitan el estudio de procesos dedifusin, la obtencin de las densidades de transicin y anlisis de susprincipales caractersticas. En concreto,

o Identificar las condiciones que garantizan la existencia de solucin delas ecuaciones de Kolmogorov. Adquirir destrezas en su resolucinpor diversos procedimientos.

o Identificar las condiciones que garantizan la existencia de solucin delas ecuaciones diferenciales estocsticas cuya solucin seanprocesos de difusin. Adquirir destrezas en su resolucin,especialmente en casos como el lineal o transformables en l.

Conocer y manejar con soltura algunos procesos de difusin concretos(Wiener, Ornstein-Uhlenbeck, lognormal,).

Conocer procedimientos para obtener procesos de difusin a partir de otrosconocidos.

Adquirir destrezas en la estimacin de los parmetros de procesos de difusinmediante muestreo discreto. Aplicacin a casos concretos.

Conocer el problema de tiempos de primer paso en difusiones. Adquirirdestrezas para su resolucin en casos concretos.

Prerrequisitos yrecomendaciones

Para realizar este curso se recomienda tener conocimientos de probabilidad yprocesos estocsticos como los proporcionados, por ejemplo, en las licenciaturasen Ciencias y Tcnicas Estadsticas o Matemticas. Asimismo es aconsejabledisponer de algunos conocimientos sobre algunos mtodos matemticos concretos,como es el caso de ciertos aspectos sobre ecuaciones diferenciales. Durante elcurso se facilitarn complementos necesarios (atendiendo a las necesidades decada alumno) para solventar problemas puntuales en este sentido.

Contenidos 1. Repaso de conceptos generales sobre clculo, modelizacin estocstica yprocesos estocsticos.

2. Procesos gaussianos: Definicin y caracterizacin. Continuidad. Procesosgaussianos markovianos. Ejemplos.

3. Procesos de difusin: Ecuaciones cinticas. Teorema de Pawula. Definicin deproceso de difusin. Ecuaciones de Fokker-Planck y de Kolmogorov en losprocesos de difusin. Condiciones frontera en el caso homogneo. Resolucinde las ecuaciones de Kolmogorov. Los procesos de difusin y las ecuacionesdiferenciales estocsticas. Ejemplos.

4. Inferencia en procesos de difusin mediante muestreo discreto. Ejemplos.

5. Tiempos de primer paso en procesos de difusin. Definiciones y ejemplos.Obtencin de las densidades de tiempo de primer paso mediante ecuacionesintegrales de Volterra. Obtencin de densidades de tiempo de primer paso apartir del proceso Wiener. Otros procedimientos. Ejemplos.

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MetodologaEl curso se desarrolla de modo virtual usando la plataforma Moodle. A lo largo del

curso, los profesores proporcionarn, de forma secuencial, los materiales que

debern ser objeto de estudio as como indicaciones sobre qu fuentes

bibliogrficas pueden ser consultadas de forma complementaria. Asimismo se

propondrn ejercicios para afianzar los conocimientos. Dichos ejercicios propuestos

irn acompaados de otros resueltos que permitan orientar al alumno sobre la

resolucin de los primeros. Al final de cada tema, en los plazos que se irn

indicando en la plataforma, el alumno deber entregar la resolucin de losproblemas propuestos y un resumen/esquema de los principales contenidos del

tema.

Bibliografa Bhattacharya, R.N. y Waymire, E. C. (1990). Stochastic Processes withApplications.John Wiley and Sons.

Cox, D.R. y Miller, H.D. (1972). The theory of Stochastic Processes. Chapmanand Hall LTD.

Gardiner, C.W. (1990). Handbook of Stochastic Methods. 2 Edicin. Springer-Verlag.

Gutirrez, R. y Gonzlez, A. (1991). Estadstica Multivariable. Introduccin alAnlisis Multivariante. Servicio de Reprografa de la Facultad de Ciencias.Universidad de Granada.

Gutirrez, R., Romn, P. y Torres, F. (1995). A note on the Volterra integral

equation for the first-passage-time density. Journal of Applied Probability,32(3),635-648.

Gutirrez, R., Ricciardi, L., Romn, P. y Torres, F. (1997). First-passage-timedensities for time-non-homogeneous diffusion processes. Journal of AppliedProbability,34(3), 623-631.

Gihman, I.I, y Skorohod, A.V. (1974). The theory of Stochastic Processes.Springer-Verlag.

Iacus, S.M. (2008). Simulation and inference for stochastic differential equations.Springer-Verlag

Prakasa-Rao, B. (1999). Statistical inference for diffusion type process. Ed.Arnold, London and Oxford University press, New York, 1999.

Ricciardi, L. M. (1977). Diffusion processes and related topics in Biology.Springer-Verlag.

Todorovic, P. (1992). An introduction to Stochastic Processes and their

Applications. Springer-Verlag. Wong, E. Y Hajek, B. (1985). Stochastic Processes in Engineering Systems.

Springer-Verlag.

Criterios de evaluacin Valoracin de los conocimientos adquiridos mediante la realizacin de losresmenes/esquemas de cada tema. Se har especial nfasis en el nivel decomprensin de los mismos conocimientos, la capacidad para sintetizarlos y seprestar especial atencin a los comentarios que se hagan sobre la utilidad delos resultados que en cada momento se vayan presentando (hasta 3 puntos).

Resolucin de las relaciones de ejercicios. Se prestar especial atencin a laadquisicin de habilidades/destrezas, as como la relacin que se haga encada uno de ellos con los aspectos tericos subyacentes (hasta 7 puntos).

Finalmente, se valorar en general el grado de madurez adquirido por elalumno mediante su participacin en los debates sobre los trabajos realizados

por el resto de los alumnos (este aspecto permitir matizar la calificacinobtenida en los apartados anteriores).

La superacin del curso se obtendr con una puntuacin acumulada de 5 oms puntos.