CURVAS CÓNICAS. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

T7. CURVAS CÓNICASELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA

TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA

F O

M

T

C

D

BA

F1

F1-M

F´

1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA


1. Dibujamos los datos dados para realizar el problema

PF´

D44 mm

50 mm

42 mm

C

F


2. La distancia CF es el semieje mayor AB.Trazando CF desde O sobre el eje mayor, obtenemos AB

a

a

PA BF´O

D

C

F



3. Trazamos la circunferencia focal de centro F´y radio 2a

Ca

a

PA BF´O

D

2 a

F



4. Se traza la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la anterior en los puntos G y H

Ca

a

PF

G

H

A BF´O

D

2 a



5. Las mediatrices r y s de los segmentos GF y HFson las tangentes a la elipse desde el punto P

Ca

a

PF

G

H

A BF´O

D

2 a



5. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF y HFson las tangentes a la elipse desde el punto P

Ca

a

PF

G

H

A BF´O

D

2 a

t1

t2



6. Si unimos G y H con F´ obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2

Ca

t1

t2

a

PF

G

H

A

T1

T2

BF´O

D

2 a



Ca

a

PF

G

H

A BFÓ

D

2 a

5. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF y HFson las tangentes a la elipse desde el punto P

Ca

a

PF

G

H

A BFÓ

D

2 a

4. Se traza la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la anterior en los puntos G y H

Ca

a

PA BFÓ

D

2 a

lacof aicnerefn

ucric

F

3. Trazamos la circunferencia focal de centro Fý radio 2a

2. La distancia CF es el semieje mayor AB.Trazando CF desde O sobre el eje mayor,

obtenemos AB

a

a

PA BFÓ

D

C

F

1. Dibujamos los datos dados para realizar el problema

PF´

D44 mm

50 mm

42 mm

C

F

Ca

t1t1

t2t2

a

PF

G

H

A

T1

T2

BFÓ

D

2 a

6. Si unimos G y H con F´ obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2



2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B

A O

C

D

B P


1. Se trazan los datos dados, y con

radio AO se traza un arco desde C que cortará al eje mayor en los focos F1 y F´.

AF F´

O

C

D

B

AO

P



2. Se traza un arco con centro en F y radio 2AO

AF F´

O

C

D

B

AO

2 AO

P



3. Se traza un arco con centro en P y radio PF´,que corta al arco anterior en los puntos G y H.

AF F´

O

C

D

B

AO

H

G

P

PF´

2 AO



4. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF´y HF´ son las tangentes a la elipse desde el punto P

AF F´

O

C t1

t2

D

B

H

G

P

AO

2 AO

PF´



5. Para calcular los puntos de tangencia con la elipse, unimos G y H con F.

AF F´

O

C t1T1

T2

t2

D

B

H

G

P

AO

2 AO

PF´



AF F´

O

C t1T1

T2

t2

D

B

H

G

P

AO

2 AO

PF´

AF F´

O

C t1

t2

D

B

H

G

P

AO

2 AO

PF´

AF F´

O

C

D

B

AO

H

G

P

PF´

2 AO

AF F´

O

C

D

B

AO

2 AO

PAF F´

O

C

D

B

AO

PA O

C

D

B P

5. Para calcular los puntos de tangencia con la elipse, unimos G y H con F.

4. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF´y HF´ son las tangentes a la elipse desde el punto P

3. Se traza un arco con centro en P y radio PF´,que corta al arco anterior en los puntos G y H.

2. Se traza un arco con centro en A y radio 2AO1. Se trazan los datos dados, y con

radio AO se traza un arco desde C que cortará al eje mayor

en los focos F1 y F´.

DATOS:



3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias

Para resolver este ejercicio aplicaremos el método de afinidad.

A

B

Cr

D


1. Se traza la circunferencia de centro O y radio a (a=distancia AO).Si prolongamos el eje CD conseguiremos C´, afín de C

A

B

C

C´

r

D



2. Tomamos un punto cualquiera E de la recta r, y se une con C mediante la recta m.La recta m corta al eje de afinidad AB en el punto E´´.

A

E

E´´

B

C

m

C´

r

D



3. Al unir E´´ con C´obtenemos la recta m´, afín a la recta m

A

E

E´´

B

C

C´

r

D

m

m´



4. Teniendo m y m´podemos hallar E¨, que es el punto afín de E

A

E

E´

E´´

B

C

C´

r

D

m

m´



5. Donde la recta r corta al eje de afinidad AB, tenemos el punto doble HH´.Si unimos E´con HH´, obtenemos r´, afín de r.

A

E

E´

E´´

B

C

C´

H H´

r

r´

D

m

m´



6. Donde r´ corta a la circunferencia, se obtienen los puntos G´y F´.

A

EF´

G´

E´

E´´

B

C

C´

r

r´

D

m

m´

H H´



7. Los puntos G y F, afines a G´ y F´, son los puntos de intersección de la recta r con la elipse

A

EF´

F

G

G´

E´

E´´

B

C

C´

r

r´

D

m

m´

H H´



A

EF´

F

G

G´

E´

E´´

B

C

C´

r

r´

D

m

m´

H H´

7. Los puntos G y F, afines a G´ y F´, son los puntos de intersección de

la recta r con la elipse

A

EF´

G´

E´

E´´

B

C

C´

r

r´

D

m

m´

H H´

6. Donde r´ corta a la circunferencia, se obtienen los puntos Gý F´.

A

E

E´

E´´

B

C

C´

H H´

r

r´

D

m

m´

5. Donde la recta r corta al eje de afinidad AB, tenemos el punto doble HH´.

Si unimos Ećon HH´, obtenemos r´, afín de r.

A

E

E´

E´´

B

C

C´

r

D

m

m´

4. Teniendo m y m´podemos hallar E¨, que es el punto afín de E

A

E

E´´

B

C

C´

r

D

m

m´

3. Al unir E´´ con Cóbtenemos la recta m´, afín a la recta m

A

E

E´´

B

C

m

C´

r

D

2. Tomamos un punto cualquiera E de la recta r, y se une con C mediante la

recta m. La recta m corta al eje de afinidad AB en el punto E´´.

A

B

C

C´

r

D

1. Se traza la circunferencia de centro O y radio a (a=distancia AO).

Si prolongamos el eje CD conseguiremos C´, afín de C

Para resolver este ejercicio aplicaremos el

método de afinidad.

A

B

Cr

D



A B

C

D

O

4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros


1. Se traza el arco de centro O y radio OA, que corta a la prolongación del eje menor CD en el punto M

A B

C

M

O

D



2. Se unen los puntos A y C, y se traza el arco concentro en C y radio CM hasta cortar a AC en el punto N

A B

C

M

N

O

D



3. Trazamos la mediatriz AN, la cual corta a los ejes mayor y menor o a suprolongación en los puntos O1 y O2, centros del óvalo


A B

C

M

N

O

D

O1

O2


4. Los otros dos centros son simétricos a los anterioresen relación a los ejes


A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4


5. Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1O2, O1O3, y O3O4 para obtener T1T2T3T4


A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4


6. Trazando los arcos O2A y O3B obtenemos T1T2T3T4


A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4

T4

T3

T2

T1


7. Haciendo centro en O1 hasta T1 y en O4 hasta T4 trazamoslos arcos que faltan para completar el óvalo de 4 centros


A B

C

M

N

O

D

O1

O2

O4

T4

T3

T2

T1

O3


A B

C

M

N

O

D

O1

O2

O4

T4

T3

T2

T1

O3A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4

T4

T3

T2

T1

A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4

A B

C

M

N

O

D

O1

O2 O3

O4

A B

C

M

N

O

D

O2

O2A B

C

M

N

O

D

A B

C

M

O

D

A B

C

D

O

7. Haciendo centro en O1 hasta T1 y en O4 hasta T4 trazamos los arcos que

faltan para completar el óvalo de 4 centros

6. Trazando los arcos O2A y O3B obtenemos T1T2T3T4

5. Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1O2, O1O4, y

O3O4 para obtener T1T2T3T4

4. Los otros dos centros son simétricos a los anteriore sen relación a los ejes

1. Se traza el arco de centro O y radio OA, que corta a la prolongación del eje menor

CD en el punto M

2. Se unen los puntos A y C, y se traza el arco con centro en C y radio CM hasta cortar a AC en el punto N

3. Trazamos la mediatriz AN, la cual corta a los ejes mayor y menor o a suprolongación en los puntos O1 y O2,

centros del óvalo



5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma.Traza las tangentes desde un punto exterior P

P

F F´

E


1. Por definición de la elipse, la distancia EF + EF´= 2a.

Por tanto, podemos obtener el eje mayor AB

P

A BF

FE + EF´

E

F´


2a


2. Con centro en F´ o F y radio AO, trazamos un arco para obtener el eje menor CD

P

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO E

F´



3. Trazamos la circunferencia focal de F´(AB desde F´) y la circunferencia PF.

Así obtenemos los puntos G y H.P

G

H

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO

2a

E

F´



4. Trazando las mediatrices de GF y HF obtenemos

las rectas tangentes a la elipse desde el

punto P P

G

H

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO E

F´


2a


5. Para calcular los puntos de tangencia unimos G y H con F´. Los puntos de intersección entre dichas rectas y las rectas tangentes serán

los puntos T1 y T2

P

G

H

A

C

D

OBF

T1T2

FE + EF´

AO E

F´


2a


P

G

H

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO E

F´

P

G

H

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO E

F´

P

A

C

D

OBF

FE + EF´

AO E

F´

P

A BF

FE + EF´

E

F´

P

F F´

E

4. Trazando las mediatrices de GF y HF obtenemos las rectas tangentes a la elipse desde el punto P

3. Trazamos la circunferencia focal de F´(AB desde F´) y la circunferencia PF. Así obtenemos los puntos G y H.

2. Con centro en F´ o F y radio AO, trazamos un arco para obtener el eje menor CD

1. Por definición de la elipse, la distancia EF + EF´= 2a. Por tanto, podemos obtener el eje mayor AB



6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente

F1

t

F2


1. Las proyecciones ortogonales F´1 y F´2

de los focos sobre la recta tangente t pertenecen a la circunferencia principal.

Trazando la mediatriz de F1 F2 podemos calcular el centro de dicha circunferencia

F1

O

F´1

F´2

t

F2



2. Trazamos la circunferencia OF´1 (= Of´2)y obtenemos A y B

F1

O

A

B

F´1

F´2

t

F2



3. Con centro en un foco y radio AO se obtienenlos puntos C y D del eje menor al interceptar en la

recta perpendicular a AB que pasa por O

F1

O

AC

B

F´1

F´2

t

F2

D



4. Conociendo los ejes y los focos, podemostrazar la elipse por uno de los métodos estudiados

F1

O

A

B

F´1

F´2

t

F2

D

C



5. Para calcular el punto de tangenciahallamos el simétrico de F2 y lo unimos con F1.

En la intersección de dicha recta con testará T

F1

O

A

B

F´1

F´2 F´´2

t

F2

D

C



5. Para calcular el punto de tangenciahallamos el simétrico de F2 y lo unimos con F1.

En la intersección de dicha recta con testará T

F1

O

A

B

F´1

F´2 F´´2

t

F2

T

D

C



F1

O

A

B

F´1

F´2

t

F2

D

CF1

O

AC

B

F´1

F´2

t

F2

D

F1

O

A

B

F´1

F´2

t

F2

F1

O

F´1

F´2

t

F2

F1

t

F2

4. Conociendo los ejes y los focos, podemostrazar la elipse por uno de los métodos estudiados

3. Con centro en un foco y radio AO se obtienenlos puntos C y D del eje menor al interceptar en la

recta perpendicular a AB que pasa por O

2. Trazamos la circunferencia OF´1 (= Of´2)y obtenemos A y B

1. Las proyecciones ortogonales F´1 y F´2 de los focos sobre la recta tangente t pertenecen a la

circunferencia principal.Trazando la mediatriz de F1 F2 podemos calcular el centro de dicha circunferencia



A

D

BO

C

M

7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma.Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición


AF F´

D

BO

C

M


1. Se determinan los focos F y F´ tomandola distancia a (AO) sobre C o D


AF F´

D

BO

C

M


2. La tangente de una elipse es la bisectriz del ángulo que formanuno de los radios vectores de dicho punto y la prolongación del otro.

Para ello unimos F y F´con M


A

t

F F´

D

BO

C

M


3. Haciendo la bisectriz de dichas rectas, obtenemos t, la recta tangente


A

t

F F´

D

BO

C

M


4. Para trazar la mitad de la curva se determinan una serie de puntos mediante el método

de las circunferencias concéntricas,es decir, por afinidad.

Comenzamos por trazar las circunferenciasconcéntricas de diámetros AB y CD


A

t

F F´

D

BO

C

M


5. Trazamos radios auxiliares arbitrariosen la parte inferior de

las circunferencias concéntricas


A

t

F F´

D

BO

C

M

Q

S


6. Por cada uno de los puntos en los que la circunferencia interuor corta a los radios trazados,

trazamos paralelas a AB. y por los puntosdonde los radios cortan a la circunferencia

exterior, trazamos paralelas a CD.Así vamos determinando los puntos

de la elipse.


N

P

A

t

F F´

D

BO

C

M

N

PQ

S


6. Por cada uno de los puntos en los que la circunferencia interuor corta a los radios trazados,

trazamos paralelas a AB. y por los puntosdonde los radios cortan a la circunferencia

exterior, trazamos paralelas a CD.Así vamos determinando los puntos

de la elipse.


8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focosson los puntos F y F´.

a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro.b) Calcula los ejes de la elipse.

c) Traza la elipse.

muro

F F´




c) Traza la elipse.

muro

F

F1

F´

1. Aplicando la propiedad de las tangentes, el simétrico F1 del foco F respecto al muro (tangente) pertenece a la

circunferencia focal del otro foco F´.




c) Traza la elipse.

muro

F

T

F1

F´

2. En la recta F´F1 se encuentra el punto de tangencia T de la elipse con el muro




c) Traza la elipse.

muro

F O

M

T

C

F1

F1-M

F´

3. Calculamos el punto medio de FF´y determinamos los ejes.

El semieje mayor a= OA=OB=1/2 F´F1.Calculamos la mediatriz de F´F1 y trazamos el arco F1M desde F. Así

obtenemos los extremos C y D

D




c) Traza la elipse.

muro

F O

M

T

C

D

BA

F1

F1-M

F´

4. Trazando un arco en O con la distancia CF conseguimos A y B




c) Traza la elipse.

muro

F O

M

T

C

D

BA

F1

F1-M

F´

5. Realizamos la elipse por cualquiera delos métodos aprendidos


9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma.Determina, sin trazar la curva:

a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas

F

t1

t2

t3




F

S1

S2

S3

t1

t2

t3

1. El otro foco F´es el centro de la circunferencia focal que pasa por tres puntos S1, S2 y S3,

simétricos de F respecto a cada una de las tangentes dadas.

Por tanto, lo primero que hacemos es calcular losrespectivos simétricos de F.




F

F´

S1

S2

S3

t1

t2

t3

2. Hallamos el centro de la circunferencia que formanS1, S2 y S3, que será F´ (el foco que buscamos),

mediante las mediatrices de S1-S2 y S2-S3 circunferencia focal




F

O

A

BF´

S1

S2

S3

t1

t2

t3

3. Conocidos los focos situamos el eje mayor, que sabemos que mide 2a = Radio circunferencia focal




F

A

D

C

BF´

S1

S2

S3

t1

t2

t3

4. Conocidos los focos y el eje mayor, podemos trazarel eje menor CD trazando un arco desde F o F´con la

distancia AO

O




F

AT2

T3

T1

DB

F´

S1

S2

S3

t1

t2

t3

5. Los puntos de tangencia T1, T2, y T3 se encuentran donde las rectas F´S1, F´S2 y F´S3

cortan a las correspondientes tangentes t1, t2 y t3

O

C




F

AT2

T3

T1

DB

F´

S1

S2

S3

t1

t2

t3

6. Si trazamos la elipse comprobaremos que pasa por los tres puntos de tangencia

O

C


10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro.Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse

P

F

r

O



P

F

r

O

1. Calculamos el foco F´, simétrico de F respecto de O

F´



F

r

O

2. Se traza la circunferencia focal de centro F,cuyo radio es la suma de los radios vectores del punto

P dado ( PF + PF´)

P

lacof aicnerefnucric

F´



F

F´1

r

O

3. para resolver el ejercicio lo hacemos mediante un procedimiento de tangencias. Los puntos de intersección de la recta r con la elipse definida son los centros de las

circunferencias tangentes a la focal de centro Fque pasan por el otro foco F´y por su simétrico F´1

respecto de la recta r.Primero calculamos el simétrico de F´, F´1

P


F´



F

M

N

F´

F´1

r

OO1

4. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la recta r que pase por F´y F´1. Esta circunferencia

corta a la focal trazada anteriormente en M y N

P




F

M

Cr

N

F´

F´1

r

OO1

5. Hallamos el centro radical de las dos circunferenciasen la intersección de F´F´1 con MN

P




F

M

Cr

N

F´

T1

T2I2

I1

F´1

r

OO1

6. Trazamos las tangentes del Cr a la circunferencia focal.En las intersecciónes de T1F y T2F están los puntos de

intersección de r con la elipse: I1 e I2

P




F

M

Cr

N

B

D

C

A

F´

T1

T2I2

I2

F´1

r

OO1

6. Trazamos las tangentes del Cr a la circunferencia focal.En las intersecciónes de T1F y T2F están los puntos de

intersección de r con la elipse: I1 e I2

P



11. TRAZAR LOS EJES REALES DE UNA ELIPSE DADOS UN PAR DE DIÁMETROS CONJUGADOS


D´

A´B´

C´



1

D´

A´O B´

1. Trazamos una perpendicular a A´B´desde O, y haciendo centro

en O trazamos un arco que cortarála perpendicular trazada en el

punto 1C´



C´

1

D´

A´O B´

2. Unimos el punto 1 con C´, hallamosla mediatriz (punto 2) y trazamos una

circunferencia con centro en 2 que pase por 1 y por C 2



C´

1

2

3

D´

A´O B´

3. Si unimos 2 con O obtenemos el punto 3, punto de tangencia entre la circunferencia de centro 2 y una que trazamos con centro en O y

radio O3.El diámetro de esta circunferencia

será igual al eje menor de la elipse.



C´

1

4

2

3

D´

A´O B´

4. Trazamos una nueva circunferencia de centro en 2 y radio 2O,

que cortará a la prolongación de 1C´en los puntos 4 y 5

5



C´

1

5

4

2

3

D´

A´O B´

5. Uniendo 4 y 5 con O obtenemoslas rectas de los ejes reales que buscamos



C´

C

D

1

5

4

2

3

D´

A´O B´

6. El eje CD será el diámetro de lacircunferencia de radio O3



C´

C

DA

B

1

5

4

2

6

3

D´

A´O B´

7. Para sacar el eje AB trazamos un arco de circunferencia con

centro en O y radio O6 (6 es el punto de intersección

entre la circunferencia de radio 2C´y la recta que pasa por

O, 3 y 2).Dicho arco corta a la recta O5

en los puntos A y B



C´

C

DA

B

1

5

4

2

6

3

D´

A´O B´

V1

F1 F2

V2

A


12. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica

HIPÉRBOLA

RECUERDA:2a : V1V22c: F1F2

1. Se dibujan los datos y se toma un punto cualquiera A del eje real

V1

F1 F2

V2

A



HIPÉRBOLA


2. Se traza un arco con centro en F1 y radioV1A,y otro arco con centro en F2 y radio V2A.

El punto P de corte de los dos arcos es un punto de la hipérbola

V1

F1 F2

V2

A

P

V1A

V2A



HIPÉRBOLA


3. Las bisectrices de los ángulos formados porlos radios vectores PF1 y PF2 son la recta

tangente t y normal n

V1

F1 F2

V2

A

P

t

n



HIPÉRBOLA

V1

F1 F2

V2

A

P

t

n

V1

F1 F2

V2

A

P

V1A

V2A

V1

F1 F2

V2

A

3. Las bisectrices de los ángulos formados porlos radios vectores Pf1 y Pf2 son la recta

tangente t y normal n

2. Se traza un arco con centro en F1 y radioV1A,y otro arco con centro en F2 y radio V2A.

El punto P de corte de los dos arcos es un punto de la hipérbola

1. Se dibujan los datos y se toma un punto cualquiera A del eje real

LA NORMAL ES LA PERPENDICULAR A LA TANGENTE EN EL PUNTO DE TANGENCIA



13. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curvaparalelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva

HIPÉRBOLA

F

D

d

C

O


HIPÉRBOLA


HIPÉRBOLA

F F´

D

d

C

O


HIPÉRBOLA

1. Determinamos el otro foco F´, simétrico de F respecto del eje CD


HIPÉRBOLA

FA B

F´

D

d

C

O


HIPÉRBOLA

2. Hallamos los extremos A y B deleje real que distan de C o D la

magnitud OF = c

OF = c


HIPÉRBOLA

FA B

F´

D

d

C

O


HIPÉRBOLA

3. Trazamos la circunferencia focal (radio AB) desde F

OF = c


AB


HIPÉRBOLA

FA B

F´

D

d

C

M

N

O


HIPÉRBOLA

4. Se traza la perpendicular a la distancia dpor F´, que cortará a la circunferencia

focal en los puntos M y N

OF = c



HIPÉRBOLA

FA B

F´

D

d

C

M

N

t1t2

O


HIPÉRBOLA

5. Las mediatrices de los segmentos MF´y NF´

son, respectivamente, las tangentes t1 y t2.

Si la perpendicular por F´a d fuera exterior a la circunferencia focalde centro F, significaría que no habría tangentes paralelas a

dicha dirección y si dicha recta y la circunferencia focalfueran tangentes, habría una sola tangente a la curva paralela a d

OF = c



HIPÉRBOLA

FA B

F´

D

d

C

M

N

t1

T1

t2

O


HIPÉRBOLA

6. Los puntos de tangencia estarán en lasintersecciones de FM y FN con las tangentes

t1 y t2, respectivamente

OF = c

lacof aicnerefnucric T2

14. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm.Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva

HIPÉRBOLA

P

T

t

F



HIPÉRBOLA

P

T

t

F

F1


1. Hallamos F1, simétrico de F respecto a la recta t


HIPÉRBOLA

P

T

t

F


2. El foco F´estará en la recta que une T con F1,

a una distancia 2a = 34 mm de F1

2a=34 mm

F1

F´


HIPÉRBOLA

P

T

t

F


3. Trazamos la circunferencia focal de F´(radio 2A = 34)

2a=34 mm

F1

F´

circunferencia focal


HIPÉRBOLA

P

T

t

F


2a=34 mm

F1

F´

M

N

circunferencia focal4. Trazamos la circunferencia de centro

P y radio PF, que corta a la focal en los puntos M y N


HIPÉRBOLA

P

T

t

F


2a=34 mm

F1

F´

M

N

circunferencia focal5. Las tangentes por P a la hipérbola son las

mediatrices de los segmentos FM Y FN

t1

t2


HIPÉRBOLA

P

T

t

F


F1

F´

M

N

circunferencia focal6. Uniendo F´con M y con N obtendremos

los puntos de tangencia T1 y T2

t1

t2

T2

T1

15. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva.

HIPÉRBOLA

F

a

r

a´



HIPÉRBOLA

F

F´

O

a

r

a´


1. Hallamos el foco F´, que es simétrico de Frespecto de la intersección de las asíntotas O


HIPÉRBOLA

F

S

F´

O

a

r

a´


2. Hallamos el punto S, simétrico de F respecto de una de las asíntotas, en

este caso la recta a.La distancia F´T1 es la distancia 2A2a


HIPÉRBOLA

F

S

F´

O

a

r

a´


3. Trazamos la circunferencia focal de centro F´y radio F´S.

2a


HIPÉRBOLA

F

S

R

F´

O

a

r

a´


4. Trazamos el simétrico de F respecto a r,el punto R

2a


HIPÉRBOLA

F

S

R

N

M

O1

F´

O

a

r

a´


5. Trazamos la circunferencia auxiliar decentro O1 y radio O1F (o O1R).

dicha circunferencia corta a la focalen los puntos M y N2a


HIPÉRBOLA

F

S

Cr

R

F´

O

a

r

a´


6. Sacamos el centro radical entre el ejeradical de las dos circunferencias (recta MN)

y la recta que une RF

N

M

O1

2a


HIPÉRBOLA

F

S

Cr

T1

T2

R

F´

O

a

r

a´


7. Trazamos, desde Cr, las tangentes a la circunferencia focal (para ello calculamos

los puntos de tangencia T1 t T2 - ver trazado de tangentes de un punto a una circunferencia)

N

M

O1

2a


HIPÉRBOLA

F

S

Cr

T1

T2I2I1

R

F´

O

a

r

a´


8. Trazando las rectas T1F´y T2F´obtenemoslos puntos de intersección I1 e I2 en la recta r

N

2a

M

O1

16. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada.

PARÁBOLA

V

F



PARÁBOLA

V

Ad

1. Trazamos la directriz d, perpendicular al eje (recta FV),que dista de V la magnitud VF

F



PARÁBOLA

V

1

5

4

3

Ad

2. Para trazar la mitad izquierda de la curva se hallan una serie de puntos de la misma aplicando la propiedad

de que equidistan del foco y de la directriz

2

F



PARÁBOLA

V

1

5

4

3

Ad

3. Trazamos paralelas a la directriz por cada uno de los puntos

2

F



PARÁBOLA

V

1

5

4

3

Ad

4. Vamos realizando arcos:A1 desde F, A2 desde F, A3 desde F, así sucesivamente.

Estos puntos cortarán a las paralelas a la directrizen los puntos que utilizaremos para trazar la parábola

A1

A2

A3

A4

A5

2

F



PARÁBOLA

V

1

5

4

3

Ad

4. Vamos realizando arcos:A1 desde F, A2 desde F, A3 desde F, así sucesivamente.

Estos puntos cortarán a las paralelas trazadas en los puntos que utilizaremos para trazar la parábola

A1

A2

A3

A4

A5

2

F



PARÁBOLA

M

V

1

2

5

4

3

Ad

5. El punto que buscamos (M) para trazar la tangentese encuentra a 28 mm de F y de d.

Procedemos a ubicarlo

28

mm

28 mm

F



PARÁBOLA

F

F´

M´M

V

1

2

5

4

3

Ad

6. La tangente es la bisectriz del ángulo que forma la recta MF y la perpendicular por M a la directriz

28

mm

28 mm


17. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde

el punto simétrico de M respecto de la directriz

PARÁBOLA

M

N

d




PARÁBOLA

M

1. Si M pertenece a la parábola, el foco F ha de serun punto de la circunferencia de centro M tangente

a la directriz d

N

d




PARÁBOLA

M F

N

2. Como N también pertenece a la parábola, F también es común a la circunferencia que tiene centro en dicho

punto N y es tangente a d. Es decir, F es el punto común a ambas circunferencias. En este caso son

tangentes, por lo que sólo hay un foco. Si hubieran sido secantes habría dos parábolas posibles para los dos focos

d




PARÁBOLA

M F

V

N

3. El eje es la perpendicular a la directriz por F.El Vértice V de la parábola pertenece al eje y

equidista de F y d

d

eje




PARÁBOLA

M F

V

N

d

4.Hallamos M´, simétrico a M desde d, y con centroen M´ trazamos una circunferencia que pase por F

y corte a d en los puntos s1 y s2

M´

S2

S1

eje




PARÁBOLA

M F

V

M´

t2

t1

N

d

5. Las mediatrices de los segmentos FS1 y FS2 son

las tangentes t1 y t2

S2

S1

eje




PARÁBOLA

M F

V

M´

S2

t2

T2

T1

t1

S1

N

d

eje

6. Los puntos de tangencia T1 y T2 son las intersecciones de las perpendiculares por S1 y S2 a d con las tangentes

t1 y t2


18. La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia.Calcula el foco de la curva, el eje y el vértice, y traza la parábola

PARÁBOLA

T

d

t


PARÁBOLA

T

S

F

t

d

1. El pie de la perpendicular por T a d, punto S, es elsimétrico de F respecto de la tangente t



PARÁBOLA

T

S

F

V

A

t

d

2. El eje es la perpendicular a la directriz por F.El Vértice V de la parábola pertenece al eje y

equidista de F y d

eje



PARÁBOLA

T

S

F

V

1

2

3

4

5

6

A

t

d

3. El trazado de la curva se realizará con el método aprendidoanteriormente

eje



19. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma.Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva

PARÁBOLA

r

t1

t2

F


PARÁBOLA

F

S1

S2

r

d

t1

t2

1. Si hallamos los simétricos de F respecto a t1 y t2 obtenemoslos puntos S1 y S2, pertenecientes a la directriz d. Por tanto,

uniendo S1 y S2 obtenemos la directriz



PARÁBOLA

F

S1

S2

r

d

t1

t2

2. Hallamos el simétrico de F respecto a la recta r, el punto R.

R



PARÁBOLA

F

R

O

S1

S2

r

d

t1

t2

3. Trazamos una circunferencia arbitraria O con centro en t y que pase por R y por F



PARÁBOLA

F

R

O

S1

S2

Cr

r

d

t1

t2

4. Prolongando el segmento RF hasta la d obtenemos el Cr



PARÁBOLA

F

R

T

O

S1

S2

Cr

r

d

t1

t2

5. Desde Cr trazamos una recta tangente a la circunferencia O. el punto de tangencia será T.



PARÁBOLA

F

R

T

B

A

O

S1

S2

Cr

r

d

t1

t2

6. Desde Cr trazamos la circunferencia que pasa por T y corta la directriz en A y B



PARÁBOLA

F

R

T

B

I1I2

A

O

S1

S2

Cr

r

d

t1

t2

7. desde A y B trazamos perpendiculares a d que corten a r enlos puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección que buscamos



PARÁBOLA

F

R

T

B

I1I2

A

O

S1

S2

Cr

r

d

t1

t2

8. I1 e I2 son los centros de las circunferencias tangentes a la directrizque pasan por el punto F y su simétrico R



CURVAS CÓNICAS. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

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