Curvas y Superficies 3D

10/2/2014 Curvas y superficies 3D

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Walter Mora F

Curvas y superficies cilndricas

Planos

Veamos primero algunos planos que nos van a ser tiles un poco ms adelante.

El plano (horizontal) , donde ;

[ Ver en ambiente 3D ]

El plano (vertical) , donde ;




El plano (vertical) , donde .


Curvas en el espacio

Vamos a considerar curvas en el espacio tridimensional, pero definidas sobre uno de losplanos , o y con ecuaciones del tipo:



1. en el plano , o o definidas de manera implcita por



Consideremos los siguientes ejemplos

1. La recta

Figura 7.

[Ver en ambiente 3D]

2. La hiprbola



Figura 8.


3. La parbola

Figura 9.




4. La Elipse

Figura 10.


5. La parbola



Figura 11.


Curvas sobre los planos , , o

Una curva sobre un plano , , o , se describe dando la ecuacin de la

curva y el plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas correspoden a a

una traza.

Ejemplos 8.

Dibujar las siguientes curvas:

Parbola sobre el plano



Elipse sobre el plano

Hiprbola sobre el plano

Solucin

Para dibujar cada una de las curvas, primero trasladamos los ejes.

Parbola: trasladamos los ejes YZ hasta y dibujamos sobre estos ejes.

Figura 14.


Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta y dibujamos sobre estos ejes.

Figura 15.




Hiprbola: trasladamos los ejes X y Z hasta y dibujamos sobre estos ejes.

Figura 16.


Superficies cilndricas

Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a

partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una

trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la grfica de una superficie de este

tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la direccin de la directriz, el

movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura

7, la curva generatriz es una prabola y como directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En

el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.

Figura 7.

>[Ver superficie generada por la parbola en 3D]

>[Ver superficie generada por sen(x) en 3D]

>[Ejemplo general: superficies generadas a partir de una curva C y una trayectoria u ]



Definicin (cilindro)

Sea una curva sobre un plano llamada directriz y sea una recta no paralela

al plano , llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las

rectas paralelas a que intersecan a es un cilindro

Observacin : esta definicin es una generalizacin del conocido cilindro circular recto

donde, por ejemplo, la generatriz es que esta sobre el plano y la

directriz es paralela al eje .Para los fines del curso, vamos a estar interesados

nicamente en cilindros cuyas curvas generatrices estn sobre planos paralelos a los

planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes

coordenados.Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos.Cuando la directrizes una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se

conoce como oblicuo.

Un cilindro circular recto tiene como generatriz un crculo y como recta directriz una recta

paralela a uno de los ejes coordenados.En la figura 7 se muestra un cilindro con

generatriz; y con recta directriz paralela al eje .

Figura 8.

En la figura 8 se muestra un cilindro parablico con generatriz y recta

directriz paralela al eje



Figura 9.

Si en la ecuacin:

alguna de las variables , o es libre (no aparece en la ecuacin), entonces su grfica

corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la

superficie sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no

libres y luego movemos esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a

la variable libre.Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta tcnica.

Ejemplo 5

Trazar la grfica de la superficie cilndrica cuya ecuacin est dada por:

Solucin

Observando la ecuacin notamos que la variable libre es , esto nos dice que

debemos dibujar la traza (es decir, la parbola ) de la superficie sobre el plano

(plano ) y luego mover esta traza a lo largo del eje para generar la grfica de

la superficie, como se muestra en la figura 9.



Figura 10.

Observacin : el dominio de la funcin es , esto es un aspecto importante al

trazar su grfica.

Ejemplo 6

Trace la grfica de la superficie cilndrica

Solucin

En este caso la variable libre es , entonces debemos dibujar la traza (la curva )

de la superficie sobre el plano (plano ) y luego debemos moverla a lo largo del

eje coordenado .En este caso es muy importante tomar en cuenta que el dominio de la

funcin es , es decir, slo sobre esta regin vamos a tener

grfica.En la figura 10 se muestra la esta superficie.

Figura 11.

Incluso los planos pueden verse como superficies cilndricas, por ejemplo, el planotiene una variable libre , entonces dibujamos la traza de la superficie sobre el



planos (plano ) y la movemos a lo largo del eje .

Un plano como , tiene dos variables libres y , entonces dibujamos la traza ( )

sobre el plano y la movemos a lo largo del eje .

Figura 12.

Ejemplo 7

Trazar la grfica de la superficie cilndrica

Solucin

La variable libre es , entonces dibujamos la traza sobre el plano (plano ) y la

desplazamos a lo largo del eje , como se muestra en la figura 13.



Figura 13.


Ejemplo 4

Trace la grfica del plano .

Solucin

En este caso tenemos una variable que no aparece en la ecuacin : , entonces elproceso para trazar el plano es muy simple; dibujamos la traza del plano sobre

el plano y luego la desplazamos en la direccin del eje , como se muestra en lafigura 6.

Figura 6.




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