LABORATORIO DE GEOMETRÍA IIDpto.Matemática Aplicada. ETSAMProf. Antonio Casas Pérezantonio.casas@upm.es

Generación de Curvas y Superficies. Mediciones

PRESENTACIÓN

La labor de un Arquitecto se desarrolla en medio de una amplia variedad de formas en el espacio que se concretan en curvas y superficies. El objetivo de este curso es proporcionarle un amplio conocimiento de dichos objetos desde un punto de vista matemático de manera que los problemas de índole práctico que pueda conllevar su uso dejen de serlo y tengamos así gran libertad en el manejo de estos objetos sin preocuparnos por temas que, conceptualmente, son secundarios pero que evidentemente es preciso conocer muy a fondo cuando en un proyecto intervienen: Longitudes de Curvas, Áreas de Superficies, Volúmenes de Espacios, Distribuciones de Cargas, .....

En los cursos 1º y 2º, las asignaturas troncales Matemáticas I, II y III han dado ya un presentación teórica e incluso práctica de los conceptos y herramientas matemáticas que conciernen al estudio de curvas y superficies por lo que se supondrán conocidos los conceptos básicos. Desgraciadamente en dichos cursos, salvo contadas excepciones, no se han podido presentar ejemplos reales pues éstos llevan aparejados gran complicación de cálculos que, siendo un tema secundario desde un punto de vista formal, oscurecen o incluso hacen imposible la comprensión adecuada de los conceptos matemáticos.

Cuando en un proyecto aparece una forma en la fase de diseño y ésta se concreta surgen inmediatamente una legión de problemas de índole práctico que, hoy por hoy, sólo sabemos resolver modelizando matemáticamente la forma a tratar y dando respuestas a los problemas planteados analizando las propiedades matemáticas del modelo asociado.

Vamos a concretar ideas, pensemos en el Arco de St.Louis construido por el arquitecto Eero Saarinen en 1965

Una vez concluido el proceso de diseño, esto es el periodo de tiempo que pasa desde la concepción de la idea hasta la concreción de la misma, tenemos multitud de problemas por resolver que son inabordables si no concretamos la idea “construir un arco invertido de gran altura que simbolice ..... “

Hay muchas curvas que dan el aspecto deseado, ¿Cuál elegir?. Una parábola invertida parece el candidato ideal, sin embargo un somero estudio estructural de este tipo de forma lleva a la conclusión de que las tensiones que se generan al estar sometida a su propio peso no son estrictamente longitudinales, como ocurre con una columna vertical, por lo que aparecen esfuerzos cortantes que obligarían a reforzar la resistencia a le flexión. La curva catenaria, la forma que adopta una cadena suspendida por sus extremos, tiene la propiedad de que los esfuerzos que se generan al someterla a su propio peso son tangentes a la misma. La curva matemática que se elige para desarrollar el proyecto es una catenaria, esto es, debe responder a la ecuación

¿Cuáles deben ser los valores de los parámetros a, b en nuestro caso concreto?

La altura en el centro, esto es en x = 0, es 192 metros y el ancho en la base es también 192 metros. Los valores de los parámetros a, b se obtienen resolviendo en sistema

Buscar una solución analítica del sistema es poco menos que impensable, la presencia del coseno hiperbólico es un grave problema, pero afortunadamente nos basta con encontrar una solución suficientemente aproximada. Un programa como Maple será crucial para darnos la solución de un problema, conceptualmente de orden menor, pero sin cuya solución no podríamos continuar.

Una vez que hemos modelizado matemáticamente el arco a construir, las cuestiones que se irán planteando en lo sucesivo se resolverán sin gran dificultad:

¿Cuál es la presión ejercida en el terreno?¿Cuánto mide el empuje lateral en los apoyos?¿Qué cantidad de acero inoxidable debemos prever para el revestimiento?........

Preguntas como estas se responden fácilmente calculando la longitud de una curva.

El arco tiene una altura tal que hace imposible el uso de grúas para construirlo a base de ensamblar piezas. El método constructivo será ir montando dovelas una encima de otra partiendo simultáneamente de las dos patas del arco y hacer éstas de forma que se vaya obteniendo una curvatura tal que las dos construcciones se encuentren en el punto mas alto.

Las sucesivas dovelas que se coloquen deben tener la curvatura adecuada para que esto suceda. Nos vemos obligados a calcular con bastante precisión la curvatura de la catenaria en diferentes puntos de ésta

Si repasamos los contenidos de las asignaturas de matemáticas cursadas hasta la fecha, vemos que una vez que disponemos de una ecuación que representa la curva o superficie a tratar se tiene una gran cantidad de herramientas que nos permiten evaluar aspectos importantes: Longitudes de Curvas, Áreas que encierran, Curvaturas, Áreas de superficies, Volúmenes que delimitan, .......

El primero y principal problema será pues la obtención de ecuaciones que representen matemáticamente las curvas y superficies que forman parte de nuestro proyecto.

Por otra parte, el uso de un buen programa de CAD permite resolver rápidamente muchos de los problemas mencionados ( Longitudes, Áreas, Volúmenes, ..... ) y conjugarlos con una presentación gráfica envidiable. El problema es que los objetos que podemos introducir en ellos ( Círculos, Arcos, Líneas, Esferas, Cilindros, .....) aunque con una amplia variedad, no agotan las posibles formas que puede desarrollar nuestra imaginación. Un programa como Maple permite generar todo tipo de curvas y superficies imaginables. Veremos una forma de exportar los resultados obtenidos con Maple al programa de CAD Rhinoceros.

Maple es un programa de ordenador con una potencia para hacer cálculos matemáticos, tanto numéricos como simbólicos, que desafía las expectativas mas exigentes. Con Maple podemos hacer las derivadas de las funciones mas complicadas, resolver grandes sistemas o dibujar curvas y superficies con ecuaciones de alto grado de dificultad, sin ningún esfuerzo, gran precisión y extraordinaria rapidez. Rhinoceros es un programa de CAD ampliamente usado tanto en arquitectura como en cualquier rama de la ingeniería porque combina la facilidad de uso con la belleza y exactitud de las presentaciones gráficas que proporciona así como de opciones de cálculo de los parámetros mas característicos de un proyecto. Una vez introducidos los elementos de un diseño, Rhino proporciona los valores precisos de la interacción entre éstos: Intersecciones, uniones, movimientos en el espacio, transformaciones, renderizado, ..... Ambos programas tienen su ámbito de aplicación que normalmente suele ser diferente y no solaparse. En todo proyecto intervienen elementos que se tratan bien con uno de los dos programas pero tienen cierta dificultad si se tratan con el otro.

Por otra parte, Rhinoceros así como otros programas de CAD tiene el inconveniente de ser un programa estático. Si se ha desarrollado un proyecto a partir de un objeto, pongamos para fijar ideas un rectángulo, y se cambian sus proporciones, hay que rehacer todo el trabajo para adaptarse a la nueva situación.

Grasshopper es un plug-in de Rhinoceros que permite diseños cualitativos asociados a parámetros y responde a un cambio de éstos, rehaciendo el proyecto en tiempo real.

Un programa de CAD debe tratar con soltura una serie de elementos geométricos o no que sean las componentes de un amplio número de diseños

Rhinoceros es un programa de CAD 3D que trata ampliamente con tales elementos

Rhinoceros proporciona, además de diferentes vistas de un objeto, todo tipo de perspectivas y renderizados

Para conseguir efectos tridimensionales utiliza la técnica del sombreado, presentando una graduación adecuada de tonalidades de un mismo color

Graduación y colorido múltiple produce texturas y renderizados fotográficos

El cuerpo básico de Rhinoceros incluye el sombreado como renderizado estándar. Renderizados mas elaborados se consiguen con plug.ins externos como Flamingo, Penguin, Brazil.

En la página web de Rhinoceros podemos descargar evaluaciones de estos programas y adoptar uno de éstos según nuestras necesidades de calidad.

Como se ha dicho antes, los objetos en Rhinoceros son estáticos. Un cambio en las proporciones del diseño obliga a generar un nuevo proyecto.

En la columnata que sigue, si cambiamos el diámetro de las columnas, la altura, el número,... nos vemos obligados a efectuar de nuevo toda la construcción. Los pasos a seguir son análogos pero hay que repetirlos.

Cambiar la distribución de alturas, diámetros, separación, .... de los tubos que siguen, hace que nos sea mas fácil obtener a partir de un diseño conceptual uno concreto que será el modelo definitivo a construir

No obstante, el conseguir una figura concreta en un programa estático como Rhinoceros lleva un cierto trabajo que no permite cambiar mucho nuestros parámetros.

El plug-in Grasshopper permite introducir parámetros y relaciones y genera órdenes que se traducen directamente en construcciones en Rhinoceros. Cualquier variación de los parámetros captados por Grasshopper se traduce en la construcción de un nuevo proyecto en Rhinoceros en tiempo real.

Los parámetros en Grasshopper se cambian mediante 'sliders' unidimensionales, bidimensionales u otro tipo de técnicas e inmediatamente obtenemos en Rhinoceros el proyecto correspondiente a los nuevos valores de parámetros. Una vez observemos el proyecto acorde a nuestros gustos podemos consolidar la situación e incorporarlo a Rhinoceros como si se hubiese hecho allí desde un principio.

Rhinoceros es un programa bastante potente, pero si un objeto no figura en el menú es difícil tratarlo. Por ejemplo, en el apartado curvas no figuran explícitamente las sinusoides por lo que, si deseamos, introducir una cubierta como las de Bodegas Ysios de Santiago Calatrava tendremos cierta dificultad.

El problema se soluciona mediante programas externos como el plug-in MathforV4 de Jess Maertterer que permite introducir en Rhinoceros curvas y superficies mediante unas ecuaciones paramétricas.

El problema ahora es que las ecuaciones de las curvas que queramos introducir sean tan complejas que la probabilidad de cometer un error de digitación sea muy alta. No hay que olvidar que las curvas surgen de un proceso de diseño que no permite controlar la complejidad de sus ecuaciones que se obtienen la mayor parte de las veces como solución de determinados procesos en Maple.Es pues adecuado disponer de una herramienta que permita traspasar automáticamente resultados obtenidos en Maple al programa Rhinoceros e incluso a Grasshopper.

Para fijar ideas sobre este enlace, planteamos el siguiente problema: Construir una escalinata que discurre por una rampa que se construye entre dos forjados paralelos planos.

Con Rhinoceros es fácil construir los forjados y elementos accesorios

Construimos un plano horizontal

Por extrusión vertical damos grosor para general el primer forjado

Una copia paralela genera el segundo forjado

Generamos una columna cilíndrica y la copiamos varias veces

Para diseñar el cráter sobre el que discurrirá la rampa pensamos en un paraboloide de revolución que corte a los dos forjados. Utilizamos Maple para obtener de forma precisa los valores de a,b en la ecuación

mas general de un paraboloide que coloque el mismo donde deseamos y con el

tamaño adecuado

Con Maple obtenemos de forma precisa cráter y rampa

También con Maple generamos la escalinata

Los resultados obtenidos en Maple se envían a Rhinoceros. Enviamos el cráter

En Rhinoceros construimos los elementos que faltan, como los agujeros

Importamos la rampa

Y por último la escalinata