Geometria Diferencial de Curvas y Superficies-Notas de Curso

5/26/2018 Geometria Diferencial de Curvas y Superficies-Notas de Curso

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MARCO A. PEREZ B.Universidad Central de Venezuela.

Escuela de Matematica.

GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS

Y SUPERFICIES

Notas de curso

Julio, 2013.


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Estas notas estan basadas en un curso dado por Francisco Tovar en la UCV entre finales

de 2006 y principios de 2007. Cualquier error u omision es responsabilidad del autor.

Los problemas presentados en estas notas fueron tomados del libro del profesor Manfredo

Docarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, del libro de la profesora Edith

I. de Ricabarra, Geometra Diferencial, y de las practicas dadas por el profesor Tovar.

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TABLA DE CONTENIDOS

1 ESPACIO METRICO Rn 1

1.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Transformaciones que conservan el producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Topologa del espacio eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Aplicaciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Diferencial en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Aplicaciones entre abiertos de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 CURVAS REGULARES 7

2.1 Curvas parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Longitud de arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Reparametrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Teora local de curvas parametrizadas p or longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Evoluta vs evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 SUPERFICIES EN R3 25

3.1 Superficies parametricas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Puntos y valores regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Cambio de parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Funciones diferenciables sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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4 METRICA SOBRE SUPERFICIES 41

4.1 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Isometras entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 APLICACION DE GAUSS 53

5.1 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Curvaturas sobre una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Coeficientes de la segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Estudio de superficies mediante polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Aplicacion de Gauss en coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6 Smbolos de Christofell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.7 Lneas asintoticas y lneas de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 SUPERFICIES REGLADAS 71

6.1 Definicion y tipos de superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Superficies regladas no cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 GEODESICAS 77

7.1 Campo vectorial y derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Paralelismo Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Existencia y unicidad de geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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CAPITULO 1

ESPACIO METRICO Rn

1.1 Producto escalar

Recordemos que Rn es el espacio vectorial formado por las n-tuplas (x1, . . . , xn), donde cadaxi pertenece alconjunto Rde los numeros reales, equipado con las operaciones:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn), para todo (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) Rn; (x1, . . . , xn) = ( x1, . . . , xn), para todo (x1, . . . , xn) R1 y todo R.

Otra operacion importante definida sobre Rn es aquella conocida comoproducto escalar, definida por

x y=n

i=1

xi yi, para todo x = (x1, . . . , xn)ey= (y1, . . . , yn) en Rn,

la cual tiene las siguientes propiedades:

(1) x (y+ w) = x y+ x w.(2) (x) y= (x y).(3) es definida positiva: x x 0 para todo x Rn. Mas aun, x x= 0 si, y solo si, x = 0.

Proposicion 1.1.1 (Desigualdad de Schwarz). (x y)2 x2 y2, para todox, y Rn.

El valor||x|| := x x es conocido como la norma del vector x.

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Usando el producto escalar se define la distancia entre dos vectores x e y :

d(x, y) := ||x y||.

Proposicion 1.1.2 (Desigualdad triangular). d(x, y) + d(y, z)

d(x, z).

1.2 Transformaciones que conservan el producto escalar

SeaT : Rn Rn una transformacion lineal tal queT(x y) = T(x) T(y). Note que este tipo de transforma-ciones preservan la norma de cualquier vector, y por ende la distancia entre dos vectores cualesquiera. Enotras palabras, T es una isometra.

Entre todas las isometras, tenemos dos tipos destacables que son:

(1) Traslaciones: Fijemos un vector x0 Rn. La transformacion Tx0 : Rn Rn definida por Tx0(x) =x + x0 es conocida como traslacion con respecto a x0.

(2) Rotaciones: Sea 0 2 fijo. La transformacion T : R2 R2 definida por T(x1, x2) = cos() sen()sen() cos()

x1x2

se conoce como rotacion a razon de .

Ejercicio 1.2.1. Demuestre que x y= T(x) T(y).

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1.3 Topologa del espacio eucldeo

Usando el concepto de distancia se puede definir una topologa en Rn, para todo x Rn. Se defineB(x) ={y Rn :||x y|| < }como la bola abierta de centro x y radio .

Un conjuntoU Rn es abierto si para todo x U existe = (x)> 0 tal que B(x) U.

Un conjuntoV Rn es cerrado si Vc = Rn V es abierto.

Si Wes un conjunto cualquiera de Rn, se denota por int(W) su interior, el cual es abierto, y por W a suclausura, la cual es cerrada.

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1.4 Aplicaciones continuas

Seax un punto en Rn. Un conjunto U es un entorno de x si Ues un abierto tal que x U.

Una aplicacion F :U Rn Rm es continua en un punto x0 U si para todo >0 existe >0 tal queF(U B(x0)) B(F(x0)).

Ejemplo 1.4.1. Sea L : Rn Rm una transformacion lineal, es decir L(ax+by) = aL(x) + bL(y), paratodo a, b R y x, y R

n

. Sea

(aij) =

a11 a1n... . . . ...am1 amn

la matriz asociada a L. Tenemos que y = L(x) esta dado por la multiplicacion

(aij)

x1...xn

= y1...

ym

,dondeyi =

nj=1 aijxj, para cada i = 1, . . . , m. La norma de L esta definida por||L|| :=

ni=1

mj=1 a

2ij .

Entonces:

||L(x)||2 =mj=1

y2j =mj=1

ni=1

aijxi

2

mj=1

ni=1

a2ij

ni=1

x2i=1

2||L(x)||2 ||L||2 ||x||2.

Para cualquier x0 Rn, se sigue que||L(x) L(x0)||2 ||L||2 ||x x0||. Por lo tanto, para > 0, bastatomar= /||L||2 y tenemos queL es continua.

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1.5 Diferencial en Rn

Sea L(Rn, Rm) el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales Rn Rm, el cual es isomorfo aR

nm.

Si L, L

L(Rn, Rm) y

R, se define la suma y el producto por un escalar como sigue:

(L + L)(x) :=L(x) + L(x), para todo x Rn.(L)(x) :=L(x), para todox Rn.

Si (aij) y (aij) son las matrices asociadas a L y L

respectivamente, la matriz asociada a L +L esta dadapor (aij+ a

ij), mientras que la matriz asociada a L viene dada por (aij).

SeaF :U Rn Rm una funcion continua (en cada punto deU), dondeUes un abierto. Se dice queF esdiferenciableen x0 U si existe una transformacion lineal dFx0 tal que

Limh0||F(x0+ h) F(x0) dFx0(h)||

||h|| = 0.

La transformacion dFx0 tiene una unica matriz asociada, conocida como la matriz jacobiana de F en x0.Si F(x) = (F1(x), . . . , F m(x)), entonces dicha matriz viene expresada como:

dFx0 =

F1x1

(x0) F1xn (x0)...

. . . ...

Fmx1

(x0) Fmxn (x0)

.

1.6 Aplicaciones entre abiertos de un espacio metrico

Una aplicacion continua F :U Rn Rm, donde U es abierto, es un homeomorfismo si es biunvoca ybocontinua, es decir, si existe una aplicacionF1 :F(U) Rm U Rn tal queF1(F(x)) = x para todox U, F(F

1

(y)) = y para todo y F(U), F es continua en U yF1

es continua en F(U).

Un homeomorfismoFes undifeomorfismosi ademasF yF1 son diferenciables. Si las derivadas parcialesdeF yF1 son continuas hasta el ordenk , diremos que el difeomorfismo es de clase Ck.

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Teorema 1.6.1 (Teorema de la Funcion Inversa). SeaF :U Rn Rm de claseCk y tal que dFx0 es unisomorfismo, para algun punto x0 U. Entonces Fes un difeomorfismo entre un entorno W dex0 yF(W).

Ejemplo 1.6.1. Sea F : I

R

R

3 una aplicacion continua. Tenemos que F es de la forma F(t) =

(x(t), y(t), z(t)), donde dFt0 = (x(t0), y(t0), z(t0)). SidFt0= 0, entonces (x(t0), y(t0), z(t0)) representaen vector tangente a la curva F(t) en (x(t0), y(t0), z(t0)).

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CAPITULO 2

CURVAS REGULARES

El ob jetivo de este captulo es estudiar ciertos conjuntos de R3 llamados curvas, que son unidimensionales

y se les puede aplicar los metidos del calculo para caracterizarlas.

2.1 Curvas parametricas

Definicion 2.1.1. Sea : I R Rn una aplicacion de I, un intervalo abierto, a Rn (para n = 2 o 3),diferenciable. Esta aplicacion se denomina curva parametrica (t) = (x(t), y(t), z(t)) con x(t), y (t) y z (t)diferenciables. El intervalo Ies de la forma (a, b), y puede incluir los casos a = y/o b = . El conjuntode puntos de Rn dados por (x(t), y(t), z(t)), cont I, se denominatrazade . La variablet se conoce comoparametrode . El vector (t) = (x(t), y(t), z(t)) se denomina vector tangente (o vector velocidaden terminos fsicos).

Ejemplo 2.1.1.

(1) Sea : (0, 2) R2 la curva dada por (t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos que, para x(t) = cos(t) yy(t) = sen(t),x2(t) + y2(t) = 1, por lo que la traza de esta dada por la circunferencia de centro (0, 0)y radio 1.

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(2) La curva : (0, ) R2 dada por (cos(2t), sen(2t)) posee la misma traza que la curva dada en elejemplo anterior, pero con diferente velocidad: (t) = (2sen(t), 2cos(2t)) = 2(t). Se puede decirquees dos veces mas rapida que .

(3) Parametrizacion racional del crculo: Consideramos la familia de rectas que pasan por el punto(1, 0). En general, estas rectas tienen por ecuaciony = t(x + 1). Escogemos para cada recta el puntoperteneciente a la circunferencia x2 + y2 = 1.

Para ello, sustitumos y = t(x + 1) en x2 + y2 = 1, y nos queda:

x2 + t2(x + 1)2 = 1

x2 1 + t2(x + 1)2 = 0(x + 1)(x 1) + t2(x + 1)2 = 0

(x + 1)[x

1 + t2(x + 1)] = 0

(1 + t2)x= 1 t2, tomando x = 1

x(t) =1 t21 + t2

.

Sustituyendo, obtenemos y(t) = t1t21+t2 + 1

= 2t1+t2 . As la curva : R R2 dada por (t) =

1t21+t2

, 2t1+t2

es una parametrizacion de la circunferencia x2 +y2 = 1, pero sin el punto (1, 0). Noteque(t) (1, 0) si t o si t .

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(4) Helice: La curva : I R3 dada por (t) = (a cos(t), b sen(t), b t), con a, b R, es una helicecontenida en el cilindro x2 + y2 =a2, depaso 2b.

(5) Cuspide: Sea : R R2 la curva dada por (t) = (t3, t2). La traza de esta dada por el conjuntode puntos (x, y) tales que y3 x2 = 0. Para esta curva, se tiene (0) = (0, 0). Note que no puededefinirse un vector tangente a en (0, 0).

(6) Lazo: Sea : R R2 la curva dada por (t) = (t3 4t, t2 4). Note que(2) = (2) = (0, 0). Estacurva se conoce comolazo.

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Ejercicio 2.1.1. Parametrice racionalmente las siguientes curvas:

(a) y y0 = a (x x0)2.

(b) (xx0)2

a2 + (yy0)2

b2 = 1.

(c) (xx0)2

a2 (yy0)2

b2 = 1.

2.2 Curvas regulares

En los ejemplos anteriores, vimos que para la curva : R R2 dada por (t) = (t3, t2) es imposible definirun vector tangente en el punto (0, 0). Este problema se evita cuando restringimos nuestro estudio de curvasparametricas a un tipo especial de ellas conocido como curvas regulares.

Definicion 2.2.1. Sea : I R Rn (conn = 2, 3) una curva diferenciable. Si (t) = 0 para todo t I,entonces decimos que es unacurva regular.

Esto nos permite construir un campo vectorial (campo tangente sobre la trayectoria de). Si (t) = 0 paratodo t I, se define la recta tangente sobre cada punto (t), parametrizada por s (t) + (t).

2.3 Longitud de arco de una curva

Sea : I R Rn (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Consideremos una particion de I= [a, b] dadapor a = t0 < t1 < < tn1 < tn= b.

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Denotaremos por l la longitud de entre (a) y (b). Tenemoslni=1 |(ti) (ti1)|. Por el Teoremadel Valor Medio para la derivada, se tiene|(ti) (ti1)| =|(i)|(ti ti1), para algun i (ti1, ti) ypara cada i. Nos queda lni=1 |(i)|(ti ti1). Tomando el lmite deni=1 |(i)|(ti ti1) cuandon , tenemos que la integral

l:= b

a |(u)

|du

define la longitud de arco de la curva entre (a) y (b). Con este calculo, se define ademas la funcionl: I R0 longitud de arco

l(t) =

ta

|(u)|du.

Si (t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces l(t) viene dada por l(t) =ta

(x(u))2 + (y(u))2 + (z(u))2du.

Ejemplo 2.3.1. Consideremos la parametrizacion del crculo unitario (t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos

(t) = (sen(t), cos(t)),|(t)| = 1 y por ende l = 20 1du= 2. De forma similar, se tiene que la funcionlongitud de arco viene dada por la funcion identidad.

Definicion 2.3.1. Sea : I R Rn (conn = 2, 3) una curva diferenciable. Si |(t)| = 1 para todot I,diremos que esta parametrizada por longitud de arco o que es de velocidad unitaria.

Ejercicio 2.3.1. Calcule la longitud del arco del crculo unitario dado por una parametrizacion racional.

2.4 Reparametrizacion

Teorema 2.4.1. Si : (a, b) R Rn (con n = 2, 3) es una curva regular, entonces existe unareparametrizacion de tal que : (0, l)

R

n es de velocidad unitaria, donde l es la longitud de arco de.

Demostracion: Por definicion, l(t) =ta |(u)|du. Note que l(t) es creciente porque l(t) > 0 para

todo t (a, b). De donde l es un difeomorfismo. Definimos(s) = ( l1)(s). Tenemos el diagramaconmutativo

(a, b) R

(0, l)

l(t)

Ahora veamos que esta parametrizada por longitud de arco:

(s) = ( l1)(s) = (l1(s)) (l1)(s) = (l1(s))

l(t) =

(t)|(t)| , dondel

(t)> 0 con t = l1(s).

|(s)| = 1.

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Ejemplo 2.4.1. Sea : (0, 2) R2 la curva dada por (t) = (r cos(t), r sen(t)) (parametrizaciontrigonometrica del crculo x2 + y2 = 1). Tenemos(t) = (r sen(t), r cos(t)) y|(t)| =r. La longitud dearco viene dada por l(t) = r t = s y l = 2r. De donde t = s/r = l1(s). Por lo tanto, : (0, 2) R2tiene la formula (s) = ( l1)(s) = (r cos(s/r), r sen(s/r)). Ademas,

(s) = r 1r sensr , r 1r cossr = sensr , cossr ,y se sigue facilmente que|(s)| = 1.

2.5 Teora local de curvas parametrizadas por longitud de arco

Sea : I R Rn (con n = 2, 3) una curva regular. En el caso que no satisface|| 1, que mide||? Fsicamente,|(t)| representa la rapidez de . Que mide|(s)| cuando|| 1? Que tanto se de-spega de su vector tangente? En esta seccion resolveremos estas preguntas introduciendo nuevos conceptos.

Definicion 2.5.1. Sea : I R Rn (con n = 2, 3) parametrizada por longitud de arco, valork(s) := |(s)| se conoce como la curvatura de .

Ejemplo 2.5.1.

(1) Si : R R3 viene dada por (s) = s a+ b, dondea y b son vectores unitarios de R3, se tiene que(s) =a,|(s)| = 1 y (s) = 0. Por lo que k (s) = 0. En otras palabras, toda recta parametrizadapor longitud de arco tiene curvatura 0. El recproco de este hecho tambien es cierto: Si(s) es una curvaregular parametrizada por longitud arco cuya curvatura es 0, entonces es una recta o un segmentode recta. En efecto, si|(s)| = 0 para todo s, se tiene que (s) =a, para algun vector constantea.Integrando de nuevo, se tiene (s) = s a + b, para algun otro vector b.

(2) La curva : (0, 2r) R2 dada por(s) = r cos sr , r sen sr esta parametrizada por longitud dearco, pues(s) =

sen sr , cos sr y |(s)| = 1. Por otro lado,(s) = 1r cos sr , 1r sen sr y k(s) =

1r cos sr 2 + 1r sen sr 2 = 1r . Por lo tanto, la curvatura de todo crculo es el in-

verso multiplicativo de su radio.

Definicion 2.5.2. Se define el vector normala una curva parametrizada por longitud de arco como el vector

unitarion(s) :=

(s)|

(s)| .

Este vector esta orientado hacia la concavidad de . Derivando la relacion (s) (s) = 1, se tiene2(s) (s) = 0. Como (s) = k(s)n(s), nos queda k(s)(n(s) (s)) = 0, es decirn(s) (s).

La notacion usual para el vector velocidad (s) que usaremos a partir de ahora es t(s) = (s).

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Definicion 2.5.3. Si n = 3, sobre cada punto de (s) se asocia un plano definido por los vectores n(s) yt(s). Este plano se denomina plano osculador. En terminos parametricos, este plano tiene por formula(u, v) un(s) + vt(s) + (s).

Definicion 2.5.4. Dada una curva regular : I R R3 parametrizada por longitud de arco, el vectorb(s) := t(s) n(s) se conoce comovector binormal de en el punto (s). Note que b(s) es unitario, y queademas es ortogonal at(s) yn(s).

Definicion 2.5.5. Dada una curva regular : I R R3 parametrizada por longitud de arco, al triple devectores (t(s), n(s),b(s)) se le conoce como triedro de Frenet-Serret.

Proposicion 2.5.1 (Propiedades).

(1)|t(s)| = |n(s)| = |b(s)| = 1.(2) t(s) = k(s)n(s). Es otras palabras, k(s) mide cuanto se despega (s) de su recta tangente.

(3) t(s) n(s),t(s) b(s),n(s) b(s).

Tenemos que b(s) t(s) = 0 implica b(s) t(s) = b(s) t(s) + k(s)(b(s) n(s)) = b(s) t(s) +b(s) t(s) = 0. Porotro lado, b(s) b(s) = 1 implica b(s) b(s) = 0. De esto se deduce que b(s)||n(s) (b(s) yn(s) son paralelos).

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Definicion 2.5.6. Se define la torsionde en (s) al escalar tal que b(s) = n(s). Este escalar mide,en cierto sectido, cuanto se despega la curva de su plano osculador.

Ejercicio 2.5.1 (Propiedades). Usandot(s),n(s) y b(s) se puede describir la variacion de estos vectores:

(1) t(s) = k(s)n(s).

(2) n(s) = k(s)t(s) + b(s).(3) b(s) = n(s).

Estas relaciones pueden representarse mediante la siguiente multiplicacion de matrices: 0 k(s) 0k(s) 0 0 0

t(s)n(s)

b(s)

= t(s)n(s)

b(s)

.

Ejemplo 2.5.2. Calculemos la torsion de la helice circular(t) = (a cos(t), a sen(t), b t). Primero tenemosque |(t)| = a2 + b2. Por lo que la longitud de arco viene dada por s(t) = t0 a2 + b2du= ta2 + b2. Re-paremetrizando por longitud de arco, nos queda (s) =

a cos

sa2+b2

, a sen

sa2+b2

, bs

a2+b2

. Luego,

(s) = 1a2+b2

a sen

sa2+b2

, a cos

sa2+b2

, b

y (s) = aa

2+b2

cos

sa2+b2

, sen

sa2+b2

, 0

.

Entonces,k(s) = |(s)| = aa

2+b2 . Ahora calculemos el vector binormal y su derivada:

b(s) = t(s) n(s) =

i j k

asen

sa2+b2

a2+b2

acos

sa2+b2

a2+b2

ba2+b2

cos

sa2+b2

sen

sa2+b2

0

= b

a2 + b2 sen s

a2 + b2

, ba2 + b2

cos sa2 + b2

,

aa2 + b2

b(s) =

b

a2 + b2 cos

sa2 + b2

,

b

a2 + b2 sen

sa2 + b2

, 0

= b

a2 + b2 n(s).

Por lo tanto, = ba2+b2 .

Ahora consideremos una curva regular : I R R2 con curvatura no nula, no necesariamente paremetrizadapor longitud de arco. Sabemos que s(t) =|(t)| representa la rapidez de la curva. Recordemos quet(t) =

(t)|(t)| . Luego, k(t) = k(t(s)) =

dtdt dtds

. Como t = t(s(t)), se tiene t(s(t)) s(t) = 1, por lo que

t(s(t)) = 1|(t)| . Luego, k (t) = |

t(t)||(t)| =

x(t)y(t)

x(t)

y(t)

((x(t))2+(y(t))2)3/2 , si (t) = (x(t), y(t)).

Se demostro que k0 si, y solo si, (t) es parte de una recta. Ademas vimos que si (t) parametriza unacircunferencia de radio r , entonces su curvatura viene dada por 1/r. ?1Se cumple el recproco para este tipode curva y curvatura?

Teorema 2.5.1. Si es una curva regular plana con curvatura constante en I= (a, b), entonces (t) es unarco de una circunferencia.

14


21/90

Demostracion: Supongamos, sin perdida de generalidad, que esta parametrizada por longitud dearco. Sabemos quen(s) =k(s)t(s) + b(s) =kt(s). Consideremos la curva (s) = (s) + 1kn(s).Tenemos (s) = (s) + 1kn

(s) = t(s) + 1k (kt(s)) = 0. Se sigue que s = v constante, es decirv= s +

1

kn(s). Por lo que(s) v= 1

kn(s). Por tanto,|(s) v| = 1

|k| , es decir, (s) esta contenidaen una circunferencia de centrov y radio 1/|k|.

Teorema 2.5.2. Sea k : I R R una funcion continua a trozos. Entonces, una curva con velocidadunitaria: I R2 y curvatura k(s) esta dada por

(s) =

cos((s))ds + c1,

sen((s))ds + c2

,

donde(s) = k(s)ds + 0.

Demostracion: Tenemos |(s)| = cos2((s)) + sen2((s) ) = 1 y (s) = (cos((s)), sen((s))).Luego, (s) = ((s)sen((s)), (s)cos((s))) y k(s) =|(s)| =|(s)|. Estas verificacionesprueban el teorema. Aunque podemos hacernos una pregunta valida: De donde salio(s)? Resolviendocierto sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ejercicio 2.5.2. Hallar el sistema de EDO mencionado en la prueba anterior.

Siguiendo nuestro estudio de curvas no necesariamente parametrizadas por longitud de arco. Tenemos elsiguiente ejercicio:

Ejercicio 2.5.3. Sea : I R R3 con rapidezv(t) = |(t)| =s(t) = 0. Entonces se verifica:(1) t(t) = v(t)k(t)n(t).

(2) n(t) = v(t)k(t)t(t) + v(t)(t)b(t).(3)b(t) =

v(t)(t)n(t).

Lema 2.5.1. Sea : I R R3 una curva regular con velocidad v(t) no nula, entonces:(1) (t) = v(t)t(t).

(2) (t) = v (t)t(t) + v2(t)k(t)n(t).

15


22/90

Demostracion: Comot(t) = (t)

|(t)| = (t)v(t), se tiene

(t) = v(t)t(t). Derivando,

(t) = v(t)t(t) + v(t)t(t).

Usando el ejercicio anterior, se obtiene (t) = v2(t)k(t)n(t) + v(t)t(t).

Teorema 2.5.3. Sea : I R3 una curva regular con curvatura no nula. Entonces:(1) t(t) =

(t)|(t)| =

(t)v(t).

(2) b(t) = (t)(t)

|(t)(t)| .

(3) n(t) = b(t) t(t).

(4) k(t) = |(t)

(t)

||(t)|3 .

(5) (t) = ((t)(t))(t)|(t)(t)|2 .

Demostracion: (1) y (3) se siguen a partir de la definicion. Para probar (2) y (4), hacemos lossiguientes calculos:

(t) (t) = (v(t)t(t)) (v(t)t(t) + k(t)v2(t)n(t)) = k(t)v3(t)t(t) n(t),|(t) (t)| = |k(t)v3(t)b(t)| = |k(t)v3(t)|, porque b(t) es unitario.

De estas dos igualdades se sigueb(t) =

(t)

(t)

|(t)(t)| yk(t) = |(t)

(t)

||(t)|3 . Basta probar (5).

((t) (t)) (t) = k(t)v3(t)b(t) (t),(t) = ((t)) = (v(t)t(t) + v2(t)k(t)n(t))

=v (t)t(t) + v(t)t(t) + (2v(t)v(t) + v2(t)k(t))n(t) + v2(t)k(t)n(t)

((t) (t)) (t) = v (t)k(t)v3(t)t(t) b(t) + k2(t)v5(t)b(t) n(t).

Sabemos quen(t) = v(t)k(t)t(t) + v(t)(t)b(t) yt(t) = v(t)k(t)n(t). Entonces,

((t) (t)) (t) = k2(t)v5(t)b(t) (v(t)k(t)t(t) + v(t)(t)b(t)) = k2(t)v6(t)(t),((t) (t)) (t)

|(t) (t)|2

=k2(t)v6(t)(t)

(k(t)v3

(t))3

=(t).

Definicion 2.5.7. Una isometra es una transformacion afnT : Rn Rn R (conn = 2, 3) que preservael producto escalar: T p T q= p q. Se puede verificar que una isometra es el resultado de componer unatraslacion, rotacion o reflexion.

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Ejercicio 2.5.4. Si : I Rn es una curva regular, entonces la curvatura y la torsion de son invariantespor isometras.

Teorema 2.5.4(Teorema Fundamental de la Teora de Curvas). Si dos curvas tienen dominio (a, b), velocidadunitaria, la misma curvatura (no nula) y la misma torsion, entonces existe una isometraTtal queT() = .

Teorema 2.5.5. Dadas dos funciones diferenciables k(s)> 0 y (s) de dominio I= (a, b), para todo punto

P R3 y un triedro ortogonal{t0, n0,b0}, existe una unica curva : I R3, con (a) = P, triedro deFrenet{t0, n0,b0} en P conk(s) y (s) como funciones de curvatura y torsion, respectivamente.

Demostracion: El primer objetivo es construir las funciones t(s), n(s) yb(s). Se plantea el siguientesistema de EDO con condiciones iniciales: 0 k(s) 0k(s) 0 (s)

0 (s) 0

t(s)n(s)

b(s)

= t(s)n(s)

b(s)

t(a) = t0,n(a) = n0,b(a) = b0.

Para la coordenada x, tenemos: 0 k(s) 0k(s) 0 (s)0 (s) 0

xt(s)xn(s)

xb(s)

= xt(s)xn(s)

xb(s)

xt(a) = xt0 ,xn(a) = xn0 ,xb(a) = xb0 .

Lo mismo para las coordenadas y y z. Como la matriz del sistema es invertible, dicho sistema tienesolucion y es unica. As se obtienen las funcionest(s), n(s) yb(s). Se define la curva como (s) =s0 t(u)du+ P. Tenemos que (a) = P y (s) =t(s). Falta ver quet(s), n(s) yb(s) son unitarios yortogonales entre s. Consideremos el siguiente sistema con condiciones iniciales:

n1(s) = t(s) t(s), n1(a) = t0 t0 = 1,n2(s) = n(s) n(s), n2(a) = n0 n0 = 1,n3(s) = b(s) b(s), n3(a) = b0 b0 = 1,n4(s) = t(s) n(s), n4(a) = t0 n0 = 0,n5(s) = n(s) b(s), n5(a) = n0 b0 = 0,n6(s) = b(s) t(s), n1(a) = b0 t0 = 0.

Derivando, obtenemos:

n1(s) = 2k(s)n4(s),n2

(s) =

2k(s)n4(s) + 2(s)n5(s),n3(s) = 2(s)n5(s),n4(s) = (s)n6(s),n5(s) = k(s)n6(s),n6(s) = (s)n4(s) + k(s)n5(s).

Este sistema tiene solucion unica. De las condiciones iniciales se obtiene que n1(s) = 1, n2(2) = 1,n3(s) = 1, n4(s) = 0, n5(s) = 0 y n6(s) = 0.

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2.6 Evoluta vs evolvente

Definicion 2.6.1. Sea : I R2 una curva regular con curvatura no nula. Un punto P R3 esel centrode curvatura de en un punto Q de , si existe una circunferencia C centrada en P, con el mismovector tangente y la misma curvatura en Q. A dicho crculo Cse le conoce como crculo osculatriz.

El crculo osculatriz se parece a la curva en un entorno de Q. Su radio viene dado por 1/k(Q).

Definicion 2.6.2. El conjunto de centros de curvatura de una curva regular , con curvatura no nula, esconocido como evoluta de , y viene expresado por la siguiente formula:

E(t) = (t) + 1k(t)

J(t)|(t)| =(t) +

|(t)|2(t) J(t) J

(t),

dondeJ (t) = (y(t), x(t)).

Ejemplo 2.6.1.

(1) Es facil ver que la evoluta de una circunferencia viene dada por su centro.

(2) En el caso de una elipse (0, 2) (a cos(), b sen()), la evoluta viene dada por

(0, 2) (22 b2)

a cos3(t),b

2 a2b

sen3(t) ,y posee la siguiente grafica:

El concepto inverso de evoluta es aquel de evolvente.

Definicion 2.6.3. Sea : (a, b) R2 una curva regular con velocidad unitaria. Laevolvente o involutadeque pasa por (c), con a < c < b, esta dada por la formula I :=(s) + (c s)(s).Si es una curva regular sin velocidad unitaria, entonces su evolvente en (c) esta dada por

I := (t) + (s(c) s(t)) (t)

|(t)| .

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Ejemplo 2.6.2. Dada la circunferencia unitaria (0, 2) (cos(), sen()), su evolvente viene dada por lasiguiente espiral:

Ejercicio 2.6.1. Sea : (0, l) R2 una curva regular con velocidad unitaria. SeaI(t) la evolvente de por (c), con 0< c < l. Entonces la evoluta deI(t) es la propia curva.

2.7 Problemas

Problema 2.7.1. Encuentre una curva parametrizada (t) cuya traza es la circunferencia x2 +y2 = 1 talque(t) es el crculo en sentido horario con(0) = (0, 1).

Problema 2.7.2. Sea(t) una curva parametrica que no pasa por el origen. Si(t0) es el punto de la trazade mas cercano al origen y (t0) = 0, muestre que el vector posicion(t0) es ortogonal a (t0).

Problema 2.7.3. Una curva parametrica (t) tiene la propiedad de que (t) 0. Que podemos decir de ?

Problema 2.7.4. Sea : I R3 una curva parametrica, con (t) = 0 para todo t I. Muestre que|(t)|es una constante no nula si, y solo si, (t) es ortogonal a (t) para todo t I.

Problema 2.7.5. Sea : I R3 una curva parametrica y sea v R3 un vector fijo. Asuma que(t) esortogonal av para todot Iy que(0) es tambien ortogonal av. Demuestre que (t) es ortogonal av paratodo t I.

Problema 2.7.6. Muestre que las tangentes a la curva regular (t) = (3t, 3t2, 2t3) hacen un angulo con-stante con la lneay = 0, z = x.

Problema 2.7.7. SeaOA = 2ael diametro deS y OY yAV las tangentes a S en O y A, respectivamente.Sear la semirecta dibujada desde O que corta aS enCy a la lnea AV enB . EnOB se marca el segmentoOP=C B. Si tomamos r sobre O, el punto Pdescribe una curva llamada Cisoide de Diocles.

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Demuestre:

(a) La traza de (t) viene dada por

2at2

1+t2, 2at

3

1+t2

, donde t = tan() R.

(b) (0, 0) es un punto singular del Cisoide.

(c) Cuando t , (t) se acerca a la lnea x= 2a, y (t)(0, 2a). Luego, cuandot , la curva ysu tangente se acercan ax = 2a, decimos que x = 2a es una asntota del Cisoide.

Problema 2.7.8. Sea : (1, +) R2 dada por (t) = 3at1+t3 ,

3at2

1+t3

. Pruebe que:

(a) Parat = 0, es tangente al eje X.

(b) Cuando t , (t) (0, 0) y (t) (0, 0).(c) Tome la curva con orientacion contraria. Ahora, cuando t 1, la curva y su tangente se acercan a

la recta x + y+ a= 0.

Problema 2.7.9. Dada la curva (s) =

a cos sc , a sen sc , b sc, dondes R y c2 =a2 + b2.(a) Muestre que s es la longitud de arco.

(b) Determine la curvatura y la torsion de.

(c) Determine el plano osculador de .

(d) Muestre que las lneas que contienen a n(s) y pasan a traves de (s) encuentran al eje Zen un anguloconstante /2.

(e) Muestre que las lneas tangentes a hacen un angulo constante con el eje Z.

Problema 2.7.10. Muestre que la torsion de esta dada por (s) = ((s)(s))(s)|k(s)|2 .

Problema 2.7.11. Una curva regular tiene la propiedad que todas sus tangentes pasan a traves de unpunto fijo.

(a) Pruebe que la traza de es un segmento o una recta.

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(b) Vale la conclusion hecha en (a) si no es regular.

Problema 2.7.12. Si (t) = (sen(2t), sen(2t)), donde t(0, ), demostrar que(t), (t) = 0 para todot (0, ), e interpretar el resultado.

Problema 2.7.13. Si un punto se mueve en el plano segun la ley(t) = (R cos(wt), R sen(wt)), cont R,dondeR y w son constantes, demostrar que|(t)| = 1R |(t)|2.

Problema 2.7.14. Si una partcula se mueve en el plano segun la ley (t) = (t2 t 1, t2 2t), cont R,encontrar v(t) y a(t), los vectores de velocidad y aceleracion, y expresar el parametro de longitud de arco s(t)medida desdet= 0, y hallars(t) ys(t). Encontrar la curvaturak(t) y el vector normal principal n(t) para.

Problema 2.7.15.

(a) Si : I R3 es una curva regular y : (c, d) (a, b) un difeomorfismo entre lo intervalos (c, d) y(a, b), demostrar que (z) = ((z)) es una curva regular.

(b) Si es una funcion diferenciable tal que (z)> 0 para todo z [c, d], (c) = a y (d) =b, mostrarque es un difeomorfismo entre [c, d] y [a, b].

(c) Idem si (z)< 0, (d) = a y (c) = b.

(d) Demostrar que (z) =z es reparametrizacion de : [a, b] R3 que interviene en la orientacion, yhallar el dominio de .

Problema 2.7.16. Demostrar que:

(a) (t) = (t, t, t), con t R, es una recta que pasa por el origen.

(b) (z) = (z2, z2, z2), conz R, no es reparametrizacion de.

(c) () = (e, e, e), con R, es parametrizacion de una semirecta de la recta de la parte (a).

Problema 2.7.17. Dibujar la traza de la curva : R R2 dada por

(t) = (e1/t2 , e1/t2) si t (, 0),(0, 0) si t = 0,(e1/t

2

, e1/t2

) si t = (0, +).

Demostrar que es diferenciable pero no regular.

Problema 2.7.18. El cicloide se define como el lugar geometrico de los puntos del plano que describeun punto sobre una circunferencia de radio r, cuando esta rueda sin deslizar a lo largo de una recta fija.Demostrar que esta curva esta dada por(t) = (r (t sen(t)), r (1 cos(t))).

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Problema 2.7.19. La curva cardioide se define como los puntos del plano de una circunferencia de radioa que rueda sobre otra circunferencia de radio a. Demuestre que dicha curva se puede parametrizar por(t) = (2a cos(t) (1 + cos(t)), 2a sen(t) (1 + cos(t))).

Problema 2.7.20. Calcule la longitud de arco, la curvatura y bosqueje el grafico de las siguientes curvas:

(a) (t) = a (cos(t) + sen(t), sen(t) t cos(t)).

(b) (t) = (c cosh(t/c), t).

(c) (s) = a (cos3(s), sen3(s)).

(d) (t) = (t, t2).

(e) (t) =

acos(t)1+sen2(t)

, asen(t)cos(t)1+sen2(t)

(Lemniscata de Bernoulli).

Problema 2.7.21. Sea: (0, )

R2 dada por(t) = sen(t), cos(t) + Ln tan t2, dondet es el anguloentre el eje negativo de las Yy el vector (t). Demostrar:

(a) es diferenciable y regular, excepto en t = /2.

(b) es simetrica respecto al eje de las X.

(c) La longitud del segmento tangente a la curva entre el punto de tangencia y la intersecci on con el eje delas Yes constante e igual a 1.

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Problema 2.7.22. Probar que si todas las normales de una curva pasan por un punto fijo, la curva es unarco de circunferencia. (Recta normal es la que contiene al vector principal).

Problema 2.7.23. Una curva : I R3 se llama helice si las tangentes de forman angulos constantescon una direccion fijau. Si es una curva con curvatura y torsion no nulas enI, parametrizada por longitudde arco, demostrar:

(a) Si es una helice, las normales principales son paralelas a un plano fijo.

(b) Si cos() =

t, u

entonces sen() =

b, u

para una conveniente eleccion deu.

(c) Si es una helice, probar que k(s)

(s) es constante.

(d) Si para una curva la relacion k es constante, entonces ella es una helice.

Problema 2.7.24. Desarrollando las formulas de Frenet-Serret, calcular t,ny b, y las funciones de curvaturay torsion de la cubica alabeada (t) = (3t t3, 3t2, 3t+t3), con t R. Demostrar que esta curva es unahelice, hallando u y . Verificar que no es una helice circular.

Problema 2.7.25. Sea : I R2 una curva con curvatura no nula en I. La curva (t) =(t) + n(t)k(t) , cont I, se llamaevoluta de . Demostrar:

(a) La tangente de la evoluta en t = t0 es la recta normal de en t = t0.

(b) PoniendoR(t) = 1k(t) , probar que la longitud de la evoluta entre (t1) y(t2) es igual al valor absoluto

de|R2 R1|, dondeRi= R(ti) para i = 1, 2.

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(c) Una curva cuya evoluta esse llamaenvolventede . Toda curva con k(t) = 0, para todo t, tieneinfinitas envolventes, trayectorias ortogonales de su familia de rectas tangentes. Pueden construirseaplicando un hilo sobre y estirandolo manteniendolo tangete a . Construya la envolvente de uncrculo.

Problema 2.7.26. Usando las ecuaciones canonicas locales, demostrar que la curva (s), proyeccion de unacurva sobre el plano osculador en (0) =P, tiene en P igual curvatura que .

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CAPITULO 3

SUPERFICIES EN R3

3.1 Superficies parametricas regulares

Definicion 3.1.1. Una superficie parametrizada es un conjunto de la forma S = X(U), donde U es unsubconjunto abierto de R2 yX: U R3 es una aplicacion diferenciable (llamada una parametrizaciondeS). Para la misma traza S= X(U) pueden haber varias parametrizaciones.

Ejemplo 3.1.1.

(1) La aplicacionX :U

R3, con U=

{(u, v)

R2 : u2 + v2


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Dada una parametrizacion X : U R2 R3, fijemos un punto q = (u0, v0). Considere los abiertosIq =U {(u, v) R2 : v= v0} and Jq = {(u, v) R2 : u= u0}. La curva q(u) =X(u, v0), con u Iq, seconoce como la u-curvaque pasa por q. De manera similar, (v) =X(u0, v), con v Jq, es conocida comola v-curvaque pasa por q.

Definicion 3.1.2. Una superficie parametrizableS, con parametrizacionX: U R2 R3, se diceregularsi dXq es inyectiva, para todo punto q U. El diferencial dXq es la matriz dada por

dXq =

xu (q) xv (q)yu (q)

yv (q)

zu (q)

zv (q)

, dondeX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Recuerde que dXq es inyectiva (o tiene rango 2) si, y s olo si, los vectores Xu =

xu (q),

yu (q),

zu (q)

y

Xv =

xv (q),

yv (q),

zv (q)

son linealmente independientes (o equivalentemente, Xu Xv= 0). Note que la

inyectividad dedXq permite definir un plano tangente en X(q), dado por el conjunto

Tq(S) := {Xu(q) t + Xv(q) h + X(q) : (t, h) R2}.

Ejemplo 3.1.2. Los siguientes son ejemplos de superficies parametricas ragulares:

(1) Esfera unitariaS2: Consideremos la parametrizacionX(u, v) = (sen(u)cos(v), sen(u)sen(v), cos(u)),sobre el abierto (0, ) (0, 2), que cubre a toda la esfera menos al meridiano 0. Calculemos dXq y susmenores:

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33/90

dXQ=

cos(u) cos(v) sen(u) sen(v)cos(u) sen(v) sen(u) cos(v)sen(u) 0

,M1 = cos(u) cos(v) sen(u) sen(v)cos(u) sen(v) sen(u) cos(v) , det(M1) = sen(u) cos(u),M2 =

cos(u) sen(v) sen(u) cos(v)

sen(u) 0

, det(M2) = sen2(u) cos(v),

M3 =

cos(u) cos(v) sen(u) sen(v)

sen(u) 0

, det(M3) = sen2(u) sen(v).

Entonces tenemos

det(M1) = 0 sen(u) = 0 o cos(u) = 0 u= /2,det(M2) = 0 sen(u) = 0 o cos(v) = 0 v= /2 ov = 3/2,det(M3) = 0 v= .

Estas menores no se anulan simultaneamente, lo que significa que la matriz de la diferenciable es derango 2, para todo q U. Es decir, X(U) es regular.

(2) Cono circular: El bicono circular tiene por ecuacion z2 = z2 +y2. Su parte superior acepta laparametrizacionX: R2 R3 dada por X(u, v) = (u,v, u2 + v2).

Calculamos la diferencial dXq, para cualquier q R2:

dXq =

1 00 1u

u2+v2v

u2+v2

.Vemos quedXq no es diferenciable en (0, 0).

Ahora consideremos Y : R>0 (0, 2) R3 dada por Y(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u). En dibujos,tenemos:

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En este caso, la diferencial dXq viene dada por

dXq =

cos(v) u sen(v)sen(v) u cos(v)

1 0

.

Las menores nos dan: det(M1) = u, det(M2) =u cos(v) y det(M3) = u sen(v), las cuales no seanulan simultaneamente pues u >0.

(3) Superficie de tangente a una curva alabeada (no plana): Sea : I R3 una curva alabeada yregular con|| 1. Consideremos la aplicacionX: R I R3 dada porX(u, v) = (s) + u t(s).

El diferencial dXq = (Xu, Xs) tiene por componentes

Xu= t(s), y

Xs= t(s) + u t(s) = t(s) + u k(s) n(s).

Luego,

Xu Xs= t(s) (t(s) + u k(s) n(s))= t(s)

t(s) + u

k(s)

t(s)

n(s)

=u k(s) b(s).

Tenemos que Xu Xs = 0 si, y solo si, u= 0 o k(s) = 0 ob(s) = 0. Comob(s)= 0, la superficiedeja de ser regular sobre la curva y cuando la curvatura se anula.

(4) Tubos alrededor de una curva: Considerese una curva regular : I R3 parametrizada por longi-tud de arco. Fijemos una constante r >0. Consideremos cada triedro de Frenet-Serret {t(s), n(s),b(s)}en (s). Para (0, ), la combinacion r cos() n(s) + r sen() b(s) representa un punto de lacircunferencia de radio r, centrada en (s) y contenida en el plano perpendicular a la recta generadaport(s).

La parametrizacionX(s, ) = r cos() n(s)+ r sen() b(s) define un tubo circular de radior alrededorde la curva, exceptuando el corte correspondiente a = 0.

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35/90

Ahora calculamos la diferencial dXq:

Xs= r cos() n(s) + r sen() b(s),X = r sen() n(s) + r cos() b(s),

n(s) = k(s) t(s) + (s) b(s),b(s) = (s) n(s),

Xs= r

cos()

(

k(s)

t(s) + (s)

b(s)) + r

sen()

(

(s)

n(s))

= r cos() k(s) t(s) r sen() (s) n(s) + r cos() (s) n(s),Xs X = r2 sen() cos() k(s) t(s) n(s) r2 cos2() k(s) t(s) b(s)

=r2 sen() cos() k(s) b(s) + r2 cos2() k(s) n(s).

Comob(s) y n(s) son linealmente independientes y r > 0, tenemos que Xs X = 0 si, y solo si,sen() cos() k(s) = 0 y cos2() k(s) = 0. Tenemos que esta superficie no es regular en los puntosdonde la curvatura se anula. Para aquellos puntos con curvatura no nula, las igualdades anteriores sesatisfacen simultaneamente si, y solo si, = /2 o = 3/2.

3.2 Superficies regulares

Definicion 3.2.1. Un subconjunto Sde R3 es una superficie regular si, y solo si, para todo punto p Sexiste una aplicacionX: U R2 V R3, donde U y Vson abiertos de R2 y Srespectivamente, tal que:

(1) Existeq U que satisfaceX(q) = p V S.

(2) Xes un homeomorfismo de V enU.

(3) La diferencial dXq es inyectiva para todo q U.

Ejemplo 3.2.1.

(1) El paraboloide circular S ={(x,y,z) R3 : z = x2 +y2} es un ejemplo de superficie regular.Consideremos la aplicacion X : R2 R3 dada por X(u, v) = (u,v,u2 +v2), la cual cubre a toda S.Notamos que esta aplicacion continua e invertible, cuya inversa es la proyeccion (x,y,z) (x, y), quetambien es continua. Por lo tanto, X es un homeomorfismo.

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Al calcular la diferencial para todo punto qde R2, tenemos

dXq =

1 00 12u 2v

,que es inyectiva pues el determinante de

1 0

0 1 es siempre no nulo. Por lo tanto,Ses una superficieregular.(2) Consideremos la esferade radior >0, S= {(x,y,z) R3 : x2 + y2 + z2 =r2}. Las seis parametriza-

ciones

(u, v) (u,v,

r2 u2 v2),(u, v) (u,

r2 u2 v2, v),

(u, v) (

r2 u2 v2, u , v),

con (u, v) U ={(u, v) R2 : u2 +v2 < r2}, cubren a toda la esfera y son homeomorfismos condiferenciales inyectivas. Por lo tanto,S es regular.

(3) Recordemos que conjuntoS= {(x,y,z) R3 : x2 + y2 =z2} representa al bicono circular de eje Z.Esta superficie no es regular, pues se presenta un problema en el punto (0 , 0, 0). Cual?

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Teorema 3.2.1. Sea f : U R2 R una funcion diferenciable. Entonces el grafico de fes una superficieregular.

Demostracion: Se define la siguiente parametrizacion paraS= {(x,y,z) R3

: z= f(x, y) y (x, y) U}: X : U R3 dada por X(u, v) = (u,v,f(u, v)). Note que es continua y que su inversa viene dadapor la proyeccionX1 =|Ssobre el plano X Y restringida a S, que adems es continua en la topologarelativa deS.

Tenemos queXes un homeomorfismo con diferencial inyectiva

dXq =

1 00 1fu fv

.

Ejemplo 3.2.2. Volviendo al ejemplo del paraboloide, tenemos otro argumento para probar que este es

regular, por ser el grafico de la funcionf : R2 R3 dada por f(x, y) = (x,y,x2 + y2).

Teorema 3.2.2 (Teorema del Recproco Local). Si S es una superficie regular, entonces para todo p Sexiste un abierto V R2 que contiene a p y otro abierto W en alguno de los planos coordenados X = 0,Y = 0 o Z = 0 tales que V S se corresponde con el grafico de una funcion diferenciable de la formax = x(y, z), y = y(x, z) o z = z(x, y). Es otras palabras, se dice que, localmente, S es el grafico de unafuncion diferenciable de R2 en R3.

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Demostracion: Consideremos un punto pS y una parametrizacion X :U R2 R3 que contieneap. EscribimosX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tenemos la diferencial

xu xvyu

yv

zu

zv

.Al menos una de las menores(x, y)(u, v)

= xu xvyu

yv

, (y, z)(u, v) = yu yvz

uzv

, (x, z)(u, v) = xu xvz

uzv

no se anula, pues Ses regular. Supongamos, sin perdida de generalidad, que

(x,y)(u,v) = 0. Consideremosla composicion X : U R2 W R2. Como J( X) posee determinante no nulo, podemosaplicar el Teorema de la Funcion Inversa (Teorema 1.6.1) para deducir que existe un entorno Uq de qy un entorno Wq de X(q) tales que X restringida a Uq es invertible y ( X)1 : Wq Uq esdiferenciable. Denotando ( X)

1

(x, u) = (u(x, y), v(x, y)), se tiene que:

X ( X)1(x, y) = (x(u(x, y), v(x, y)), y(u(x, y), v(x, y)), z(u(x, y), v(x, y))) = (x,y,z(x, y)).

Entonces, localmente toda superficie se expresa como el grafico de una funcion de R2 en R.

Corolario 3.2.1. Si S es una superficie regular, X : U R2 R es diferenciable y dXq tiene rango 2,entonces X1 establece un homeomorfismo entreU y X(U).

3.3 Puntos y valores regulares

Definicion 3.3.1. Sea F :U Rn Rm una aplicacion diferenciable. Los puntos regulares qde F sontodos aquellos donde dXq es sobreyectiva. Es el caso particularm = 1, es suficiente que F(q) = 0. Diremosquec Rm es un valor regular de F si F1(c) esta compuesto por puntos regulares.

Ejemplo 3.3.1. Considere la esfera S ={(x,y,z) R3 : x2 +y2 + (z 1)2 = c2, c R} y la aplicacionF : U R3 R dada por F(x,y,z) = x2 +y2 + (z 1)2. Tenemos queF(x,y,z) = (2x, 2y, 2(z 1)),el cual es cero si, y s olo si, (x,y,z) = (0, 0, 1). Por lo tando, todos los puntos de S son regulares a ex-cepcion de (0, 0, 1). Como F(0, 0, 1) = 0, tenemos que 0 no es un valor regular de F. Note ademas que

x2 + y2 + (z 1)2 = 0 representa un unico punto (0, 0, 1). El hecho de que c no sea regular refleja un malcomportamiento de la superficie.

Teorema 3.3.1(Teorema de la Funcion Implcita). Seag : R3 Runa funcion diferenciable. Si g(q) = 0,entonces existen abiertosVqy Wg(q)de qy g(q), respectivamente, y una funcion diferenciableh : U R2 Rtal que g(u,v,h(u, v)) = g(q) para todo (u,v,h(u, v)) Vq.

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Teorema 3.3.2. Sea F :U R3 R una aplicacion diferenciable. Sic es un valor regular de F, entoncesF1 es una superficie regular.

Demostracion: Seaq F1(c). EntoncesF(q) = 0 porque c es un valor regular. Por el Teorema dela Funcion implcita, existe Vq entorno abierto de q y WF(q) = Wc entorno abierto de c, junto con unafuncion diferenciable h : U R2 R tales que F(u,v,h(u, v)) =F(q) = c, para todo (u, v)U. Estopermite escribir X : U R2 R3 como X(u, v) = (u,v,h(u, v)), una parametrizacion de un entornorelativo deq F1(c). As se verifica que F1(c) es una superficie regular.

3.4 Cambio de parametro

Consideremos una superficie regular S y p S. Sean X : U1 R2 S y Y : U2 R2 S dosparametrizaciones alrededor de p. Note queV1 = X1(X(U1) Y(U2)) y V2 = Y1(X(U1) Y(U2)) sonentornos abiertos de R2 contenidos en U1 y U2, respectivamente. La aplicacion (Y1 X)|V1 : V1 V2 sedenominacambio de parametro, y es diferencaible.

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3.5 Funciones diferenciables sobre superficies

SeaSuna superficie regular. Que significa que una funcion f :S R3 R sea diferencaible?

Definicion 3.5.1. SeaSuna superficie regular yp S. Una funcionf :S R3 Rse dice diferenciableenp si existe una parametrizacion (ocarta local)X: U R2 R3 que contiene ap, esto es X(u0, v0) = ppara algun (u0, v0)U, tal que f X : U R es diferenciable en (u0, v0). Diremos quef es diferenciableenSsi lo es en cada p S.

Esta definicion no depende de la carta X escogida. Si Y : V R3 es otra carta local alrededor de p.Entonces, como X1

Yes diferenciable, se tiene que (f

Y) = (f

X)

(X1

Y) es diferenciable.

Ejemplo 3.5.1. La funcionf : R3 R dada porf(x,y,z) = d2((x,y,z), (x0, y0, z0)) (distancia al cuadradoentre (x0, y0, z0) fijo y (x,y,z)), es diferenciable en el sentido usual. Ahora consideremos la restriccionf|S2 . Consideremos la carta X : (0, 2) (/2, /2) R3 dada por X(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)), y un punto p S2 que no esta en el meridiano 0. Tenemos quef|S2 es diferenciable en p,pues

(f X)(u, v) = d2((cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)), (x0, y0, z0))= (cos(u) sen(v) x0)2 + (sen(u) sen(v) y0)2 + (cos(v) z0)2

lo es.

SeaF :S1 S2 una aplicacion entre superficies regulares. Que significa que F sea diferenciable?

Definicion 3.5.2. Una aplicacion F : S1 S2 entre superficies regulares es diferenciable en p S1 siexiste una carta X :U R3 de S1 que contiene a p y otra carta Y : V R2 R3 de S2 que contiene aF(p) tal que Y1 F Xes diferenciable en (u0, v0), dondep = X(u0, v0).

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3.6 Plano tangente

Definicion 3.6.1. Sea Suna superficie regular y p S. Sea X : U R2 R3 una parametrizacion quecontiene a p y q U con X(q) = p. El plano tangente a S en p es el espacio vectorial generado por losvectores Xu(q) y Xv(q) (trasladados al punto p). Denotaremos porTp(S) el plano tangente aS enp.

Ejercicio 3.6.1. El espacio tangente Tp(S) no depende de la parametrizacionX escogida sobre S.

Definicion 3.6.2. Sea X : U R2 R3 una parametrizacion de una superficie regular. Un vectortangentea X en p Ses un vector vp para el cual existe una curva : (a, b) X(U) R3, representadapor (t) = X(u(t), v(t)), para la cual (t0) = p y (t0) = vp, dondea < t0 < b. Denotaremos por Xp(U) alconjunto de los vectores tangentes a X enp.

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Teorema 3.6.1. Todo vector en Tp(S) es el vector tangente a una curva en S por p. De forma recproca,todo vector tangente a una curva en Sque pasa por p yace en Tp(S).

Demostracion: Seav0 Tp(S). Entonces existe (w0, s0) R2

junto con una parametrizacionX :UR3 tales quev = Xu w0+ Xv s0. Entonces, definimos(t) = q+ t (w0, s0), conX(q) = p. Definiendo(t) = X((t)), se tiene que (0) =X((0)) =X(q) = p y (0) =dXq((0)) =dXq(w0, s0) = v0.

Ahora probemos el recproco. Sea : (a, b) S R3 tal que (0) =p. Se define = X1((t)), paraun entorno de p. Evidentemente, X((0)) = p y X((t)) = (t). Por lo tanto, (0) Tp(S) ya que(0) =dXq((0)) Tp(S).

Definicion 3.6.3. Toda aplicacion diferenciable F : S1 S2 entre superficies regulares define, para cadapunto p

S1, una transformacion lineal dFp : Tp(S1)

TF(p)(S2) definida pordFp(v0) = (F

)(0), donde

es una curva regular que pasa por p tal que(0) =v0. Se puede demostrar que esta definicion no dependede la curva escogida.

Definicion 3.6.4. Sean S1 y S2 dos superficies regulares. Si : S1 S2 es una aplicacion diferenciable,con inversa diferenciable 1 :S2 S1, entonces diremos que es un difeomorfismo entreS1 y S2.

3.7 Orientabilidad

Definicion 3.7.1. Sea S una superficie regular. Consideremos una carta local X : U R2 R3 quecontiene un punto p. Podemos definir para p un vector normal unitarionp =

XuXv|XuXv| , o con signo opuesto

np = XuXv|XuXv| . Diremos que Ses una superficie orientable si para cada punto pSse puede definir uncampo normal unitariop np continuo sobre S.

Ejemplo 3.7.1. Consideremos la esfera S2 = {(x,y,z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1}. Consideremos laparametrizacion X : (0, 2) (0, ) S2 dada por X(u, v) = (sen(v) cos(u), sen(v) sen(u), cos(v)).Para esta parametrizacion, tenemos el campo normal unitario n(u, v) = XuXv|XuXv| . La parametrizacionY : (0 +/4, 2+ /4) (0, ) S2 dada por Y(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)). Paraesta parametrizacion tenemos el campo normal unitarion(u, v) = YuYv|YuYv| . En el semicrculo no cubierto porX, pero cubierto por Y , las formulas de los campos X e Ycoinciden, por lo que podemos definir un camponormal continuo sobre S. Por lo tanto, S2 es una superficie orientable.

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Teorema 3.7.1. Si Ses una superficie regular tal que se puede cubrir con parametrizaciones tales que lasfunciones de cambio de parametro tienen jacobiano positivo en los puntos de interseccion, entonces S esorientable.

Teorema 3.7.2. Toda superficie regular dada por F1(c), con c un valor regular de F, es orientable.

Demostracion: np = (Fx,Fy,Fz)

F2x+F2y+F

2z

es el campo unitario normal y continuo sobre F1(c).

Ejemplo 3.7.2. Las siguientes superficies son de los ejemplos mas clasicos en cuanto a superficies no ori-

entables:

(1) Cinta de Mobius: La cinta de Mobius se define considerando un segmento de recta AB de longitudmenor que 2, perpendicular al plano X Yy con centro en el punto (0, 2, 0). Luego, movemos el centrode este segmento a lo largo de la curva determinada por la circunferencia x2 + y2 = 4 en el planoX Y.Al mismo tiempo, hacemos rotar el segmento AB sobre su centro. Estos desplazamientos se hacen demanera que cuando el centro a barrido un angulo deu radianes, el segmento a barrido u/2 radianes alrotar alrededor de su centro.

Una carta X: (0, 2) (1, 1) R3 para parametrizar esta superficie viene dada por

X(u, v) =

sen(u)

2 v senu

2

, cos(u)

2 v sen

u2

, v cos

u2

.

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Para cubrir el resto de la superficie, tenemos la carta

Y(u, v) =

2 v sen

u

2+

4

cos(u) ,

2 + v sen

u

2+

4

sen(u), v cos

u

2+

4

.

Por cambio de variables, tenemos X(u, v) = Y(u(u, v), v(u, v)), con los cambios de variables u= u + 3/2,v= v.

Dicho cambio es de signo negativo: (u,v)(u,v) = 1. Al tratar de definir un campo normal unitario sobrela cinta, tenemos que

Xu = Yu uu

+ Yv vu

,

Xv = Yu uv

+ Yv vv

.

De dondeXu Xv =(u,v)(u,v) Yu Yv = Yu Yv.

(2) Botella de Klein: Consideremos la curva ocho : (0, 2) R2 dada por

(t) = (sen(t), sen(t)

cos(t)).

La botella de Klein se genera al rotar una curva ocho centrada en un punto (0 , a, 0), de forma parecidaa como se hizo en el ejemplo anterior, a lo largo de la circunferencia x2 +y2 =a2 en el plano Z= 0,para alguna >0.

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Una de las cartas locales para esta parametrizacion viene dada por

Ka(u, v) = [((a + cos(u/2)) sen(v) sen(u/2) sen(2v)) cos(u)] i+ [((a + cos(u/2)) sen(v) sen(u/2) sen(2v)) sen(u)]j+ [sen(u/2)

sen(v) + cos(u/2)

sen(2v)] k.

Note que la u-curvau Ka(u, 0) corresponde a la circunferencia x2 + y2 =a2 en el planoZ= 0. Porotro lado, lasv-curvasv Ka(u0, v) representan a la curva ocho rotadou0/2 en el plano perpendicularal planoX Y correspondiente al angulou0.

Compruebe que esta superficie no es orientable.

3.8 Problemas

Problema 3.8.1. Demostrar que todo abierto de una superficie regular es a su vez una superficie regular.

Problema 3.8.2. Demostrar que:

(a) S= {(x,y,z) R3 : z= x2 y2} es una superficie regular.(b) La aplicacionX(u, v) = (u + v, u v, 4uv), donde (u, v) R2, es una parametrizacion deS, y entontrar

la region que ella cubre.

(c) Para la parametrizacion (b), senalar las u-curvas y las v-curvas.

Problema 3.8.3(Superficie de revolucion). Si la curva regular(v) = ((v), (v)), conv I, del planoXYno corta al eje Z, demostrar que la rotacion de esa curva alrededor del eje Zgenera una superficie regular,que puede ser cubierta con dos parametrizaciones del tipo X(u, v) = ((c) cos(u), (v) sen(u), (v)), con(u, v) (0, 2) I.

Problema 3.8.4. Cada componente conexa del hiperboloide de dos hojas, de ecuaci onx2 y2 +z2 = 1,puede representarse como una grafica de una funcion. Parametrize la hoja superior:

(a) Por medio de una funcionz = f(x, y).

(b) Como superficie de revolucion.

Problema 3.8.5.

(a) Definir el valor regular de una aplicacion diferenciable.

(b) Demostrar que la imagen inversa de un valor regular de Fes una curva regular en R3.

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Problema 3.8.6. Las ecuaciones

(a) x2 y2 = 0 y(b) (x2 1)2 + (y2 1)2 = 2

son de la forma F(x, y) = c. Demostrar que, en ambos casos,c no es un valor regular y F1

(c) no es unacurva regular en R2.

Problema 3.8.7. El conjuntoS R3 definido por la ecuacionx2 y3 = 0 es un cilindro en R3, que admiteparametrizacionX(u, v) = (u3, u2, v) con (u, v) R2. Se pregunta:

(a) Es 0 un valor regular de F(x,y,z) = x2 y3?(b) Es S, con la parametrizacion dada, una superficie regular?

Problema 3.8.8. Justificar la ecuacionz f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x x0) + fy(x0, y0)(y y0) para el planotangente a la grafica def(x, y) en el punto (x0, y0, f(x0, y0)).

Problema 3.8.9. Demostrar que el plano tangente a la superficie definida implcitamente por la ecuacionf(x,y,z) = c, c valor regular, en el punto (x0, y0, z0) tiene ecuacion

0 = fx(x0, y0, z0)(x x0) + fy(x0, y0, z0)(y y0) + fz(x0, y0, z0)(z z0).

Problema 3.8.10. Sea : I R3 una curva regular de curvatura no nula en I. Considere la superficietangente de , X(t, v) =(t) +v(t), con t I y v >0. Mostrar que los planos tangentes a lo largo de lacurvaX(t0, v) son iguales.

Problema 3.8.11. Sean S1 la esfera x2 +y2 +z2 = 1 y S2 el hiperboloide de una hoja x

2 +y2 z2 = 1.SeanU1 S1 la esferaS1 sin los polos Norte y Sur, yU2 S2 el abierto del hiperboloide S2 determinado por

|z

|< 1. Considere la aplicacion : U1

S1

U2

S2 definida as: cortese la esfera y el hiperboloide con

la semirecta de origen en (0, 0, z), paralela al plano X Y, y sean Pel punto obtenido sobre la esfera (P) elpunto sobre el hiperboloide. Demuestre que la correspondencia P (P) es un difeomorfismo entreU1 y U2.

Problema 3.8.12. La definicion de superficie de revolucion puede extenderse a curvas simples cerradasregulares, que no corten al eje Z. Eltoro se obtiene haciendo girar una circunferencia de radio r y ecuacionen el planoX Zigual a (x a)2 + z2 =r2, donder < a, alrededor del ejeZ. La seccion con el plano y mx,conm = tan(u), es el crculo cuyos puntos tienen coordenadas

x= (a + rcos(v))cos(u), y= (a + rcos(v))sen(u) y z = rsen(v),

donde 0 u < 2 y 0 v


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CAPITULO 4

METRICA SOBRE SUPERFICIES

4.1 Primera forma fundamental

Supongamos que se desea medir la distancia entre dos puntos de una superficie regular S.

La longitud del segmentop1p2 representa la distancia entre p1 yp2 en R3. El problema es que este segmento

no necesariamente esta contenido enS. Entonces queremos definir la distancia entre p1y p2 utilizando curvascontenidas enS. (Este problema comenzo a ser estudiado a finales del siglo XVIII).

Se sabe que la longitud de una curva : I R R3 entre t0 y t1 (t0, t1 I) viene dada por la integrall() =

t1t0

|(t)|dt.

Sea X : U R2 R3 una parametrizacion de S, supongamos que la curva : I R R3 esta contenidaen S. Entonces(t) = X((t)) = X(u(t), v(t)), donde : I U R2 es una curva diferenciable en U.Especficamente, se define como (t) = X1((t)).

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Tenemos (t) = (X(u(t), v(t))) = Xu(u(t), v(t)) u(t) + Xv(u(t), v(t)) v(t). Abreviando, tenemos =Xuu

+ Xvv. Luego,

= (Xuu+ Xvv) (Xuu+ Xvv) = (Xu Xu)(u)2 + 2(Xu Xv)uv+ (Xv Xv)(v)2.

C. F. Gauss introduce en el siglo XIX la siguiente notaci on para cada parametrizacion X : U R2 S:E , F , G: U R son funciones diferenciables dadas por:

E(u, v) = Xu(u, v) Xu(u, v),F(u, v) = Xu(u, v) Xv(u, v),G(u, v) = Xv(u, v) Xv(u, v).

Usando esta notacion, nos queda

(t) (t) = E(u(t), v(t))(u(t))2 + 2F(u(t), v(t))u(t)v(t) + G(u(t), v(t))(v(t))2.

Abreviando, nos queda:

|| =

E(u)2 + 2F uv+ G(v)2 =

Ip().

Definicion 4.1.1. La expresionIp() = E(u(t), v(t))(u(t))2 + 2F(u(t), v(t))u(t)v(t) + G(u(t), v(t))(v(t))2,

conp = (t), se conoce como primera forma fundamental.

Comop0 = (t0) = X((t0)) = X(u(t0), v(t0)) y p1 = (t1) = X((t1)) = X(u(t1), v(t1)), podemos expresarla longitud de arco como

ls() =

t1t0

Ip()dt.

Proposicion 4.1.1 (Repaso de algebra). SeaMuna matriz real de n n elementos.(1) Mes antisimetrica si, y solo si, aij =aji, para todo par i =j . Los autovalores deM son reales.(2) Mes definida positiva si, y solo si, xAxt es una forma bilineal definida positiva.

(3) Si M es definida positiva entonces es semejante a una matriz diagonal cuyas entradas no nulas sonpositivas.

Recuerde queA es semejante a B si existe una matriz invertible P tal queA = P BP1. A Pse le conocecomo matriz de cambio de base.

Proposicion 4.1.2. La primera forma fundamental Ip(u, v) = E(u, v)u2 + 2F(u, v)uv+ G(u, v)v2 es una

aplicacion bilineal definida positiva.

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Demostracion: Sea (u, v)= (0, 0). Queremos verificar que Ip(u, v) > 0. Es suficiente demostrar que E FF G

es definida positiva. Como

E FF G

es simetrica, sus autovalores son reales. Esto implica

que E FF G es semejante a una matriz diagonal 1 00 2 , donde 1 y 2 son los autovalores de E FF G

. Tenemos:

det

E FF G

=EG F2 = (Xu Xu)(Xv Xv) (Xu Xv)2,

det

E FF G

= |Xu Xv| >0,

det

E FF G

=12 > 0.

det E FF G = 0(E )(G ) F2 = 0

EG E G + 2 F2 = 0,

1,2 =(E+ G) (E+ G)2 4(EG F2)

2

=(E+ G) E

2 + 2EG + G2 4EG + 4F22

=(E+ G) (E G)2 + 4F2

2 ,

1 =E+ G +

(E G)2 + 4F2

2 >0,

Como12 > 0 y 1 > 0, se tiene que2 > 0. En conclusion,Ip(u, v) = 1u2+2v

2, donde (u, v) P (u, v)

representa el cambio de base dado por la matriz P.

Proposicion 4.1.3. Siv Tp(S) entoncesIp(v) = v v.

Demostracion: Sea : I Suna curva tal que p = (t0) yv= (t0) = X(u0, v0). Tenemos:

v v= (t0) (t0) = E(u0, v0)(u(t0))2 + 2F(u0, v0)u(t0)v(t0) + G(u0, v0)(v(t0))2 =Ip(u(t0), v(t0)).

Definicion 4.1.2. Se define como la distancia intrnseca entre dos puntos de una superficie conexa porarcos como el nfimo de las longitudes de las curvas que unen a estos dos puntos.

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Observacicon 4.1.1. Aunque no exista una curva de longitud mnima entre ellas (por ejemplo, si la super-ficie no es simplemente conexa), el nfimo siempre existe, pero puede no coincidir con el mnimo.

Sea S una superficie parametrizada por X : U R2 R3. Se definen las aplicaciones diferenciablesE(u, v) = Xu Xv, F(u, v) = Xu Xv y G(u, v) =Xv Xv. Recordemos que la primera forma fundamentalviene dada por

Ip(u, v) = E(u, v)u2 + 2F(u, v)uv+ G(u, v)v2.

Esta aplicacion define una manera diferente de expresar el producto escalar entre vectores deTp(S). A saber,seanv, w Tp(S). Como{Xu, Xv} es una base de Tp(S), tenemosv= v1Xu+v2Xv y w= w1Xu+w2Xv.Luego,

v w= (v1Xu+ v2Xv) (w1Xu+ w2Xv) = v1w1Xu Xu+ (v2w1+ v1w2)Xu Xv+ v2w2Xv Xv.

Si p = X(u0, v0) entonces

v

w= E(u0, v0)v1w1+ F(u0, v0)(v2w1+ v1w2) + G(u0, v0)v2w2.

Sea el angulo entrev y w. Como cos() = vw|v||w| , se tiene que

cos() =Ev1w1+ F(v1w2+ v2w1) + Gv2w2

Ip(v)Ip( w).

4.2 Area de una superficie

Dada una parametrizacion X : U R2 R3 en una superficie S, si tenemos un paralelogramo D U,entonces: que representa X(D) en S?, podemos calcular su area?

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Podemos generalizar un poco el problema de calcular el area de X(D), imponiendo que D sea cualquiersubconjunto medible de U. Una manera de calcular el area de X(D) puede ser dividiendo el sector X(D)en pequenos paralelogramos infinitesimales. Vamos a escoger aquellos paralelogramos generados por XuuyXvv. El area de dicho paralelogramo viene dada por|Xu||Xv|u v sen(), donde es el angulo entreXu y Xv. Entonces, si tomamos una particion de n n paralelogramos, tenemos:

A(X(D)) nj=1n

i=1

|Xu(ui, vj) Xv(ui, vj)|u v.

Tomando el lmite entre todas las particiones, es decir Limn, obtenemos el area de X(D):

A(X(D)) :=

D

EG F2dudv.

Ejemplo 4.2.1. Sea Sel cilindro parametrizado por X : (0, 2)

R

R

3, X(u, v) = (cos(u), sen(u), v).

Consideremos la curva : (0, 2) S dada por (t) = X(u(t), v(t)) donde u(t) = v(t) = t. Primerocalculemos la longitud de arco de en (0, 2).

Calculamos la primera forma fundamental de X.

E(u, v) = Xu Xu= (sen(u), cos(u), 0) (sen(u), cos(u), 0) = 1,F(u, v) = Xu Xv = (sen(u), cos(u), 0) (0, 0, 1) = 0,G(u, v) = Xv Xv = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1,

Ip((t)) = E(u)2 + 2F uv+ G(v)2 = 1 1 + 2 0 1 1 + 1 1 = 2.

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Luego,l() =20

2dt= 2

2.

Ahora consideremos la region D = (0, /2) (0, 1). Usando E, F y G, tambien podemos calcular el area deA(X(D)).

A(X(D)) = DEG F2dD= 2

0 1

0

1

1

0dvdu=

2.

4.3 Isometras entre superficies

Recordemos que una aplicacion : Rn Rn es una isometra si para todo x, y Rn se tiene x y =(x) (y). Generalicemos esta nocion a superficies regulares.

Definicion 4.3.1. Una aplicacion diferenciable : U1 S1 U2 S2 entre superficies regulares es unaisometrasi para cada puntop S1, la transformacion lineal diferencialdp : Tp(S1) T(p)(S2) preserva elproducto escalar en los respectivos planos tangentes, esto es si v, w Tp(S1) entoncesv w= dp(v) dp( w).

De manera equivalente, is una isometra si es sobreyectiva y si para todop

U1, dp es una isometra.

Ejercicio 4.3.1. SiSes una esfera de radio r, probar que Ses isometrica solamente a otra esfera del mismoradio.

Teorema 4.3.1. Toda isometra preserva la primera forma fundamental. Recprocamente, si : S1 S2 esuna aplicacion diferenciable que preserva la primera forma fundamental, entonces es una isometra.

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Demostracion: Sea : U1 S1 U2 S2 una isometra. Queremos ver que Ip(v) = I(p)(dp(v))para todo p U1 y para todo v Tp(S1). Sabemos que Ip(v) = v v. Escribimos p = X(u0, v0) =X(u(t0), v(t0)). Tenemos:

Ip(v) = E(u0, v0)(u(t0))2 + 2F(u0, v0)u(t0)v(t0) + G(u0, v0)(v(t0))2,

dp(v) dp(v) = I(p)(dp(v)) = E(u0, v0)(u(t0))2 + 2F(u0, v0)u(t0)v(t0) + G(u0, v0)(v(t0))2,E(u0, v0) = (Yu Yu)(u0, v0),F(u0, v0) = (Yu Yv)(u0, v0),G(u0, v0) = (Yv Yv)(u0, v0).

Ahora demostraremos el recproco. Es suficiente ver que v1 v2 = d(v1) d(v2), para todo par devectores tangentesv1, v2 Tp(S1) y para todo p S1. Sabemos que

2(v1 v2) = Ip(v1+ v2) Ip(v1) Ip(v2).

Escribimos v1 = u1Xu+ v1Xv y v2 = u2Xu+ v2Xv, donde Xes una parametrizacion alrededor de p.Tenemos:

Ip(v1+ v2) = E(u0, v0)(u1+ u2)2 + 2F(u0, v0)(u1+ u2)(v1+ v2) + G(u0, v0)(v1+ v2)

2,

Ip(vi) = E(u0, v0)(ui)2 + 2F(uivi) + G(vi)

2, i= 1, 2,

Ip(v1+ v2) Ip(v1) Ip(v2) = E(u0, v0)(u21+ 2u1u2+ u22 u21 u22)+ 2F(u0, v0)(u1v1+ u1v2+ u2v1+ u2v2 u1v1 u2v2)+ G(u0, v0)(v

21+ 2v1v2+ v

22 v21 v22),

=E(u0, v0)(2u1u2) + 2F(u0, v0)(u1v2+ u2v1) + G(u0, v0)(2v1v2)

= 2(E(u0, v0)u1u2+ F(u0, v0)(u1v2+ u2v1) + G(u0, v0)(v1v2))

= 2 v1

v2.

Entonces,v1 v2 = Ip(v1+v2)Ip(v1)Ip(v2). Como se preserva la primera forma fundamental, tenemos:

v1 v2 = 12

I(p)(dp(v1) + dp(v2)) I(p)(dp(v1)) I(p)(dp(v2))

Teorema 4.3.2 (Como inducir una parametrizacion sobre una superficie?). Sea X : U1 S1 unaparametrizacion sobre una superficie regular S1 y sea V1 = X(U1) S1. Sea : V1 V2 S2 unaisometra. Entonces Y = X : U1 V2 S2 es una parametrizacion regular de S2 que preserva loscoeficientes de la primera forma fundamental, esto es: EX =EY, FX =FY yGX =GY.

Demostracion: Sea Z : U2 R2 R3 una parametrizacion de V2, i.e. V2 = Z(U2). Existen coorde-nadas (, ). Tome en cuenta que Z1 X es diferenciable. Entonces Y = X= Z Z1 Xes diferenciable. Si Z(, ) = (x(, ), y(, ), z(, )), tenemos que

Y(u, v) = Z(x((u, v), (u, v)), y((u, v), (u, v)), z((u, v), (u, v)))

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es la composicion de funciones diferenciables. Tenga en cuenta que U1 es homeomorfo a V1 por Xy queV1 es homeomorfo a V2 por . EntoncesY = X es un homeomorfismo. Veamos queY es regular.ComoY = X, tenemos Yu= dp(Xu) y Yv = dp(Xv). Luego,

Ey = Yu

Yu= dp(Xu)

dp(Xu) = Xu

Xu= EX porque es una isometra,

FY =Yu Yv = dp(Xu) dp(Xv) = Xv Xv =FX ,GY =Yv Yv = dp(Xv) dp(Xv) = Xv Xv =GX ,

Ahora podemos deducir que

|Yu Yv|2 = (EYGY F2Y)(u0, v0) = (EXGX F2X)(u0, v0) = |Xu Xv|2 = 0,

lo cual implica que Yu y Yv son linealmente independientes, es decir que Y es una parametrizacionregular.

Ejercicio 4.3.2 (Construccion de una isometra). Sea X : U S1 una parametrizacion regular de S1 yY :U S2 una parametrizacion regular de S2. Si los coeficientes de la primera forma fundamental para XeY coinciden, entonces : Y X1 es una isometra local.

Ejemplo 4.3.1.

(1) Consideremos el rectangulo V1 = (0, 2) R y las parametrizaciones regulares X = I y Y : V1 V2dada por Y(u, v) = (cos(u), sen(u), v).

Tenemos

EX =Xu Xu= (1, 0) (1, 0) = 1, EY =Yu Yu= (sen(u), cos(u), 0) (sen(u), cos(u), 0) = 1,FX =Xu Xv = (1, 0) (0, 1) = 0, FY =Yu Yv = (sen(u), cos(u), 0) (0, 0, 1) = 0,GX =Xv Xv = (0, 1) (0, 1) = 1, GY =Yv Yv = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1.

Entonces, = Y X1 =Y es una isometra.(2) Rotamos la curva (0, cosh(v), v) alrededor del ejeZpara obtener una superficie de revolucion conocida

comocatenoide.

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Una parametrizacion regular para esta superficie viene dada por X(u, v) = (cosh(v) sen(u), cosh(v) cos(u), v).

Consideremos tambien la superficie de revolucion obtenida al rotar la curvav senh(v) alrededor delejeZ.

Una parametrizacion para esta superficie viene dada porY(u, v) = (senh(v) cos(u), senh(v) sen(u), u).Tenemos:

Xu= (cosh(v) cos(u), cosh(v) sen(u), 0),Xv = (senh(v) sen(u), senh(v) cos(u), 1),

EX = cosh2(v) cos2(u) + cosh2(v) sen2(u) = cosh2(v),

FX = 0,

GX = senh2(v)

sen2(u) + senh2(v)

cos2(u) + 1 = senh2(v) + 1 = cosh2(v),

Yu= (senh(v) sen(u), senh(v) cos(u), 1),Yv = (cosh(v) cos(u), cosh(v) sen(u), 0),

EY= senh2(v) sen2(u) + senh2(v) cos2(u) + 1 = cosh2(v),

FY = 0,

GY= cosh2(v) cos2(u) + cosh2(v) sen2(u) = cosh2(v).

Se sigue que = Y X1 es una isometra.

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4.4 Problemas

Problema 4.4.1. Calcular la primera forma fundamental en las parametrizaciones de las siguientes super-ficies:

(a) Elipsoide: X(u, v) = (a sen(u)cos(v), b sen(u)sen(v), c cos(u)) con 0< u < y 0< v


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Problema 4.4.10. Calcule la primera forma fundamental de:

(a) X(u, v) = (a sen(u)cos(v), b sen(u)sen(v), c cos(u)).(b) X(u, v) = (au cos(v), bu sen(v), u2).

(c) X(u, v) = (au cosh(v), bu senh(v), u2).(d) X(u, v) = (a senh(u)cos(v), b senh(u)sen(v), c cosh(u)).

Problema 4.4.11. SeaX(, ) = (sen()cos(), sen()sen(), cos()) una parametrizacion de S2. Sea P elplano X=Zctg(), con 0 < < y el angulo de corte de la curva P S2 con el semimeridiano = 0.Calcule cos().

Problema 4.4.12. Dada la parametrizacionX(u, v) = (u cos(v), u sen(v), ln(cos(v)) + u) con 2 < v < 2 ,demuestre que las curvasX(u1, v) y X(u2, v) determinan segmentos con igual longitud sobre todas las curvasX(u, c) conc constante.

Problema 4.4.13. Demuestre que el area de la region R de la superficie z = f(x, y) esta dada por Q

1 + f2x+ f

2y dxdy.

Problema 4.4.14. Demuestre que una superficie de revolucion se puede reparametrizar tal que E= E(v),F = 0 y G = 1.

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CAPITULO 5

APLICACION DE GAUSS

5.1 Segunda forma fundamental

Definicion 5.1.1. Sea S una superficie regular orientable. Entonces la aplicacion N : S S2 dada porN(u, v) = XuXv|XuXv | (que asigna a cada punto p Sel vector normal a S en p) es continua y diferenciable.Tal aplicacion Nse conoce como aplicacion de Gauss. Note que los planos tangentes Tp(S) y TN(p)(S

2)son paralelos, pues tienen el mismo vector normal. Esto implica que la transformacion lineal diferencialdNp : Tp(S)TN(p)(S2) es un operador de la forma dNp : Tp(S)Tp(S). El operador dNp es conocidocomo operador de la forma, pues define como es S.

Sea Suna curva regular contenida en una superficie regular S, que pasa por un punto pS en t = 0.Considerando una parametrizacion regular X : U R2 R3 que contiene a p, podemos escribir (t)como (t) = X(u(t), v(t)). Ahora consideremos la restriccion de la aplicacion de Gauss N sobre, entonceslocalmente podemos escribirN(t) = N((t)).

Denotando(0) =p y (0) = t, tenemos

dN(0)((0)) =dNp(t) = N(t)|t=0 = Nu(p)u(0) + Nv(p)v(0).

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Ademas, denotandoN(u, v) = XuXv|XuXv| (u, v) = (N1(u, v), N2(u, v), N3(u, v)), tenemosNu=N1u

, N2u

, N3u

y Nv =

N1v

, N2v

, N3v

. Siv Tp(S), entonces como podemos expresardNp(v)?. Podemos construir una

curva dentro de Sparametrizada por longitud de arco tal que (0) =p y (0) =t. Entonces obtenemosdNp(v) = Nu(u(0), v(0))u

(0) + Nv(u(0), v(0))v(0) donde(t) = X(u(t), v(t)).

Ejemplo 5.1.1.

(1) SeaS= S2 = {(x,y,z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1}. Se quiere calcular la aplicacion de Gauss paraS2. Si S2, entonces tiene la formula (t) = (x(t), y(t), z(t)). Luego tenemosx2(t) +y2(t) +z2(t) = 1,por lo que al derivar nos queda:

2x(t)x(t) + 2y(t)y(t) + 2z(t)z(t) = 0x(t)x(t) + y(t)y(t) + z(t)z(t) = 0.

Sobre, la aplicacion de Gauss Ntiene la forma N (t) = (t), por lo que

dNp(t) = (t) = (x(t), y(t), z(t)) = t.

Tenemos queN es la identidad sobreS2 ydNp la identidad sobreTp(S2). Note ademas quedNp es un

operador lineal con un solo autovalor de multiplicidad 2 (a saber 1).

Tambien podemos calcular dNp de otra forma, usando la parametrizacion regular (0, 2) (0, ) X S2dada por X(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)). Derivando parcialmente, tenemos

Xu= (sen(u) sen(v), cos(u) sen(v), 0),Xv = (cos(u) cos(v), sen(u) cos(v), sen(v)),

Xu Xv = (cos(u) sen2(v), sen(u) sen2(v), sen(v) cos(v)),|Xu Xv| = sen(v),

N(u, v) = (cos(u)

sen(v), sen(u)

sen(v), cos(v)) = X(u, v),

Nu(u, v) = Xu(u, v),

Nv(u, v) = Xv(u, v),

dNp(v) = I(v),

(2) Consideremos el cilindro S= {(x,y,z) R3 : x2+y2 = 1}. Sea (t) Suna curva regular. Escribiendo(t) = (x(t), y(t), z(t)) tenemos x2(t) +y2(t) = 1. Tenemos x(t)x(t) +y(t)y(t) = 0. Por lo queN((t)) = (x(t), y(t), 0). Si t = (x(0), y(0), z(0)), entonces dNp(t) = (x(0), y(0), 0). Considereel caso en el que es la curva generatriz (t) = ( 0, 0, t). Entonces (t) = ( 0, 0, 1). De dondedNp(

(0)) = (0, 0, 0). Se sigue que 0 es un autovalor de dNp. Ahora consideremos el caso en el que es un crculo (t) = (cos(t), sen(t), v), donde v es un valor fijo. Luego (t) = (sen(t), cos(t), 0),(0) = (0, 1, 0) ydN(1,0,v)(0, 1, 0) = (0, 1, 0). Por lo que 1 es el otro autovalor de dNp.

Otra forma de hallar los autovalores es considerando, por ejemplo, la parametrizacion regular X :(0, 2) R Sdada por X(u, v) = (cos(u), sen(u), v). En este caso, la aplicacion de Gauss se escribecomoN(u, v) = (cos(u), sen(u), 0).

Teorema 5.1.1. La matriz del operador dNp : Tp(S) Tp(S) es autoadjunta, es decir, para todo v, wTp(S) se tienedNp(v), w = v, dNp( w).

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Demostracion: Veamos que ocurre con Xu, Xv, Nu y Nv.

(1) DerivandoN(u, v), Xu(u, v) = 0 respecto a v , obtenemosN, Xuv = Nv, Xu.(2) Derivando

N(u, v), Xv(u, v)

= 0 respecto a u, obtenemos

N, Xvu

=

Nu, Xv

.

Por continuidad de las derivadas parciales de X, resulta la igualdadNv, Xu = Nu, Xv. Ahora, seanv, w Tp(S). Podemos escribirv= v1Xu+ v2Xv y w= w1Xu+ w2Xv. Tenemos:

dNp(v), w = v1Nu+ v2Nv, w1Xu+ w2Xv=v1w1 Nu, Xu + v1w2 Nu, Xv + v2w1 Nv, Xu + v2w2 Nv, Xv=v1w1 Nu, Xu + v1w2 Nv, Xu + v2w1 Nu, Xv + v2w2 Nv, Xv ,

ya queNv, Xu = Nu, Xv= v, dNp( w) .

Definicion 5.1.2. La funcion Ip(v) = dNp(v), v se denomina segunda forma fundamental.

5.2 Curvaturas sobre una superficie

El hecho de que dNp sea autoadjunta garantiza que es simetrica. Luego, los autovalores de dNp son reales,y se pueden obtener autovectores suficientes para una base de Tp(S).

Definicion 5.2.1. Los autovaloes dedNp(v) son valores reales y se denominan curvaturas principalesk1 y k2.

Sea una curva parametrizada por longitud de arco contenida en una superficie regular orientable S, con(0) =p y (0) = t. Restringimos la segunda forma fundamental sobre:

Ip((0)) = Ip(t) =

dNp(t), t

= N(0), (0)

N(s), (s) = 0,N(s), (s) + N(s), (s) = 0

N(s), (s) = N(s), (s) = N(s), k(s)n(s)=k(s) N(s), n(s)=k(s)cos(), donde es el angulo entreN(s) yn(s),

Ip((0)) =k(0)cos() = kpcos().

Definicion 5.2.2. El valorkn= kpcos(), donde es el angulo entre N(p) yn(p), se denomina curvaturanormalde .

Observacicon 5.2.1. kn no depende de , solo del vector tangentet. Para toda curva S con vectortangente t, S tiene la misma curvatura normal en p.

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Teorema 5.2.1 (Meusnier). Todas las curvas parametrizadas por longitud de arco que pasan porp y tienenvector tangentev unitario, tienen la misma curvatura normal.

Demostracion: kn = kpcos() = Ip((0)). Recordemos que Ip(v) no depende de la curva . Si

|(0)| = 1, tenemos(0) = |(0)|t, dondet=

(0)|(0)| . Entonces

Ip((0)) = dNp((0)), (0) =

dNp(|(0)|t), |(0)|t

= |(0)|dNp(t), |(0)|t

= |(0)|2 dNp(t), t = |(0)|2kn.Si consideramost en vez det, se verifica Ip(t) = Ip(t).La definicion de kn esta restringida a vectores del crculo unitario (con centro p y radio 1).

ComoCp es un subespacio compacto y Ip una fincion continua, tenemos que Ip alcanza su valor maximoy mnimo en Cp. A saber, k1 es la maxima curvatura normal y k2 la mnima curvatura normal.

Sean e1 y e2 los autovectores (ortonormales) dedNp. Todo vector v Cp se escribe como v =cos()e1+ sen()e2, donde es el angulo entrev y e1, cos() = e1, v y sen() = e2, v.

Ip(v) = dNp(v), v = dNp(cos()e1+ sen()e2), cos()e1+ sen()e2= cos()dNp(e1) + sen()dNp(e2), cos()e1+ sen()e2 ,

dNp(e1) = 1e1, 1 es el autovalor asociado adNp,dNp(e2) = 2e2, 2 es el autovalor asociado adNp,

Ip(v) = cos()1e1 sen()2e2, cos()e1+ sen()e2 = (cos2()1 sen2()2)= cos2()1+ sen

2()2.

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Supongamos que e1 esta asociado a 1 y 1 > 2. Sabemos que k1 es el maximo de kn(v), conv Cp.Supongamos que el valor k1 se alcanza en v1. Que ocurre si = 0? Como Ip(v1) = 1, por el ordenescogido se tiene 1= k1. Analogamente se verifica que2 = k2. Por lo tanto, k1 es el valor maximo dekny se alcanza en la direccione1, mientras quek2 es el valor mnimo deknque se alcanza en la direccion

e2.

Ejemplo 5.2.1. SeaSuna esfera de centro (0, 0, 0) y radior, es decirS= {(x,y,z) R3 : x2+y2+z2 =r2}.Tenemos queN(p) = p|p| =

xr ,

yr ,

zr

donde p = (x,y,z) S. Luego, dNp(v) = vr , donde|v| = 1. Entonces

Ip(v) = dNp(v), v =

v

r, v

= 1

rv, v = 1

r.

Todas las curvaturas normales son iguales y resultan 1r . Todas las curvas normales son crculos de radiomaximo, los planos normales pasan por el centro de S.

Consideremos el operador dNp(v), y sean k1 y k2 los autovalores dedNp(v). En la base de autovectores(normalidades) la matriz dedNp(v) es

k1 0

0 k2

.

Definicion 5.2.3.

(1) La curvatura de Gauss de S se define como K = det

k1 0

0 k2

= k1 k2. Esta curvatura se

relaciona con el area deS.

(2) Lacurvatura mediadeSse define como la traza H= traza

k1/2 0

0 k2/2

= k1+k22 . Esta curvatura

se relaciona con el area deS.

5.3 Coeficientes de la segunda forma fundamental

Sea Suna curva regular en una superficie regular orientable S. Luego(0)Tp(S) y N(0)Tp(S).Podemos escribir (0) = Xuu(0) +Xvv(0) y N(0) = Nuu(0) +Nvv(0). Supongamos p = (0) y seav= (0) tal que|v| = 1. Calculando la segunda forma fundamental, tenemos

Ip(v) = N(0), (0) = Nuu(0) + Nvv(0), Xuu(0) + Xvv(0)= (u(0))2 Nu, Xu + u(0)v(0) Nu, Xv + u(0)v(0) Nv, Xu + (v(0))2 Nv, Xv .

Derivando la igualdad

N, Xu

=N, Xv

= 0 con respecto a u y v , obtenemos

Nv, Xu = N, Xuv = N, Xvu =

Geometria Diferencial de Curvas y Superficies-Notas de Curso

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