Curvas y superficies en el espacio

J.C. Remiro

Puntos de vista de estudio

Geometría sintética Demócrito y Eudoxo (método de exhausción)

Geometría analítica Jakob Bernoulli

Geometría no euclídea Nikolái Lobachevski, Euler y János Bolyai

Definición de curva

Se denomina curva del espacio al conjunto de puntos P(f(t),g(t),h(t)) dando todos los valores posibles a t y siendo f(t), g(t) y h(t) funciones continuas.

j

O

ik P(f(t),g(t),h(t))

Definición de superficie

Se denomina superficie del espacio al conjunto de puntos P(f(t,s),g(t,s),h(t,s)) que se obtienen dando a t y s todos los posibles valores y siendo f, g y h, funciones continuas.

P(f(t,s),g(t,s),h(t,s))

Coordenadas en el espacio

Dependiendo de los elementos utilizados para definir un punto en el espacio dispondremos de diferentes caracterizaciones de curvas y superficies Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Coordenadas cartesianas

La posición de un punto en el espacio queda determinada en coordenadas cartesianas por la abcisa x, la ordenada y y la altura (cota) z.

j

O

ik

P(x,y,z)

x

y

z

Coordenadas cilíndricas

Un punto queda determinado por la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY, el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY y la distancia con signo desde el punto P al plano XY.

Y

P(r, ,z)

X

Z

z

Coordenadas esféricas

Un punto queda determinado por la longitud del punto al origen de coordenadas, el ángulo (longitud) y el ángulo (colatitud) .

Y

P(r, , )

X

Z

z

De coordenadas cartesianas a cilíndricas

zzy

xarctg

yxr

zrP

22

),,(

zz

rseny

rx

zyxP cos

),,(

O

P(x,y,z)

x

y

z

APz

B

r

C

zOCz

rsenOBy

rOAx

cos

De coordenadas cartesianas a esféricas

2

),,(

22

222

yxarctg

x

yarctg

zyxr

rP

cos

cos

),,(

rz

senrseny

senrx

zyxPO

P(r, , )

x

y

z

APz

B

r

C

OPz=r·sen

Algunos tipos de superficies

Superficies cilíndricas

Una superficie cilíndrica se encuentra formada por los puntos que pertenecen a todas las rectas (generatrices r) que cortan a una curva (directriz d) y tienen por dirección la de un vector (vector direccional v) no nulo.

j

O

ik

x

y

z

r

d

V = (v1,v2,v3)

Superficies cilíndricas: ec.paramétricas

321 ,, vvv

Vector direccional

Ecuaciones de la directriz

)(),(),( thtgtf

Ecuaciones paramétricas de lasuperficie

3

2

1

)(

)(

)(

kvthz

kvtgy

kvtfx(f(t),g(t),h(t))

j

O

ik

x

y

z

r

(x,y,z)

d

V = (v1,v2,v3)

Superficies cónicas

Una superficie cónica se encuentra formada por todos los puntos de las rectas (generatrices) que pasan por un punto fijo (vértice) y cortan a una curva (directriz)

j

O

ik

x

y

z

d

Superficies cónicas: Ec. paramétricas

321 ,, ppp

Vértice

Ecuaciones de la directriz

)(),(),( thtgtf

Ecuaciones paramétricas de lasuperficie

))((

))((

))((

33

22

11

pthkpx

ptgkpy

ptfkpx

j

O

ik

x

y

z

d (f(x),g(x),h(x))

(p1,p2,p3)

(x,y,z)

Podemos deducir la ecuación de una esfera de centro el origen de coordenadas resolviendo el siguiente problema métrico:

La esfera

La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro denominado centro.

RzyxOPOPd 222)(

Gracias …

Recursos externos utilizados

La música de fondo es la canción “enjoyit” del albúm “Point of no return” de Roger Subirana, disponible en Jamendo bajo licencia “creative commons”.

Las imágenes de la diapositiva 11 son del fondo libre de fotografías del site www.pixelperfectdigital.com.

La nube de palabras de la diapositiva 17 se ha realizado utilizando el site www.wordle.net