1. TEORIA DE CURVASAdvertencia inicial:En todo lo que sigue los vectores de Rn sern considerados fila o columna

(sin aviso explcito), segn se desprenda del contexto.

1.1. CURVAS PLANAS

Fijados en el plano un sistema de coordenadas cartesianas, podemos iden-tificar cada punto p con sus coordenadas (x, y) R2, y escribimos p = (x, y).Supongamos que nuestro punto p se mueve por el plano, y en cada ins-

tante t ocupa una posicin (t) = (x(t), y(t)), donde t vara en un ciertointervalo I R . Si nuestro punto no tiene propiedades fantasmales des-cribir sobre el plano una traza continua, es decir, las funciones x(t), y(t),definidas para t I, sern funciones continuas, y se denomina a : I R2curva (parametrizada).A veces se expresa esta situacin escribiendo

(t) :

x = x(t)y = y(t)

son las ecuaciones de (en las coordenadas cartesianas (x, y))Definicin: Supngase I un intervalo abierto de R . Una curva : I 3

t (x(t), y(t)) R2 se dice diferenciable, si las funciones x(t), y(t), admitenderivadas de cualquier, rden en todos los puntos t I. Si el intervalo I noes abierto, se dir que : I R2 es curva diferenciable, si existe unaaplicacin diferenciable : I R2 donde I I, es un intervalo abierto deR, y (t) = (t), t I

1.1.1. Vector velocidad

Si : I R2 es una curva diferenciable, y t0 I, se llama vectorvelocidad de en t0 a:

0(t0) = (x0(t0), y0(t0)) = lmt0(t0 +t) (t0)

ty representa de hecho, la velocidad instantnea de la partcula movil (t) ent = t0Denotamos 0(t0) = (y0(t0), x0(t0)), que es 0(t0) girado +/2 radia-

nes.

1.1.2. Curvas regulares

Un punto (t0) de una curva diferenciable : I R2 se llama regular,si 0(t0) 6= 0. La curva se llama regular si todos sus puntos son regulares

1.1.3. Recta tangente y recta normal

Por un punto regular (t0) de una curva diferenciable , pueden trazarsedos rectas destacadas:

La recta tangente a en t0, que es la recta T que pasa por (t0), ytiene la direccin de 0(t0). Sus ecuaciones son:

x x(t0)x0(t0)

=y y(t0)y0(t0)

La recta normal a en t0, que es la recta N que pasa por (t0), y tienela direccin de 0(t0). Sus ecuaciones son:

x x(t0)y0(t0)

=y y(t0)x0(t0)

1.1.4. Reparametrizaciones

Cuando : I R2 es una curva, y t : J 3 s t = t(s) I es undifeomorfismo entre intervalos, entonces = t es tambin una curva y severifica:

0(s) = t0(s)0(t(s))s Jen particular, si es regular, tambin lo es.

1.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas.

La aplicacin t, se denomina funcin de cambio de parmetro, que per-mite pasar de a . Se dice entonces que las curvas a definen la mismatrayectoria. Si t preserva la orientacin entonces se dice que ambas curvasdefinen la misma trayectoria orientada. Ambas relaciones, son de equivalen-cia sobre la familia de curvas regulares, y definen por paso al cociente, losconceptos de trayectoria, y de trayectoria orientada.

1.1.6. Sobre la geometra de las curvas

Intuitivamente, en el caso de curvas regulares, una trayectoria viene defi-nida por la imagen de una curva regular, y una trayectoria orientada es unatrayectoria dotada de un sentido de recorrido. Conviene distinguir de entrelas entidades matemticas propiedades asociadas a una curva, aquellas quedependen solo de la trayectoria (que denominamos geomtricas), de las quedependen de la parametrizacin concreta. As por ejemplo el vector velocidad0(t) en un punto, no es geomtrico, y sin embargo si lo es el vector unitariotangente 0(t)/ | 0(t) | , o la recta afn tangente a la curva en un punto (t).

1.1.7. Curvas conguentes

Dos curvas (t) = (x(t), y(t)) y (t) = (x(t), y(t)), , : I R2, sedicen congruentes, si existe una congruencia (o movimiento directo)

A : R2 3

xy

xy

= A

xy

+

ab

R2

donde A =cos sinsin cos

es una matriz de giro. Las ecuaciones de

A(t) = (t) son x = a+ (cos)x (t) + ( sin) y (t)y = a+ (sin)x (t) + (cos) y (t)

Tambin podemos interpretar que las ecuaciones anteriores son las de lamisma curva en las coordenadas cartesianas (x, y) respecto al sistema de

referencia con origen en (a, b) y base A = (a1, a2) =cos sinsin cos

.

Recuerdese que las matrices de giro vienen caracterizadas por las condi-ciones AAt = I, detA = 1.

1.1.8. La Geometra intrseca

La geometra intrnseca de una curva estudia los conceptos, propiedades,etc de las curvas, que no dependen de la parametrizacin concreta elegida, nidel sistema de coordenadas cartesiano empleado para escribir sus ecuaciones.Es por esto una buena idea, elegir para esto, un sistema de coordenadascartesianas, respecto al cual las ecuaciones de la curva sean lo ms simplesposibles.

1.1.9. Curvas en implcitas

Las trayectorias de las curvas tambin podran describirse de forma im-plcita.Sea D un abierto de R2 y F : D R una funcin. El conjunto de ceros

de F es el conjunto

C = {(x, y) D : F (x, y) = 0}se dice entonces que el conjunto C es ( viene definido impcitamente por laecuacin) F (x, y) = 0.An cuando F se suponga diferenciable, el conjunto de ceros de F no

tiene porqu ser una linea. De hecho cualquier subconjunto (cerrado) de R2,puede obtenerse como conjunto de ceros de una funcin F diferenciable.No obstante, ciertas hiptesis adicionales sobre la funcin F , nos permi-

ten garantizar (al menos localmente) la existencia de curvas parametrizadas,cuyas trayectorias describen el conjunto de los ceros de F.

Teorema (breve) de la funcin implcita Sea D un abierto de R2 y F :D R una funcin diferenciable, y C el conjunto de ceros de F. Sea (x0, y0) C , y supngase que alguna de las derivadas parciales (F/x)(x0,y0) , (F/y)(x0,y0)es distinta de cero, por ejemplo (F/y)(x0,y0) 6= 0 Existe un entorno U de(x0, y0), y una aplicacin diferenciable g : (a, b) R donde (a, b) es intervaloabierto de R (x0 (a, b)) de manera que

{(t, g(t)) : t (a, b)} = {(x, y) U :F (x, y) = 0}

de esta forma la trayectoria de la curva regular : (a, b) 3 t (t, g(t)) R2coincide con C UNaturalmente hay un resultado anlogo cuando (F/y)(x0,y0) 6= 0

Puntos singulares y regulares. Cuando F : D R es una funcin dife-renciable, un punto (x0, y0) C = F1(0) se dice singular si

Fx

(x0,y0)

=

Fy

(x0,y0)

= 0

Si no es singular, se denomina punto regular. Cuando todos los puntos de Cson regulares, cada componente conexa, puede expresarse como la trayectoriade una curva regular. Una situacin muy frecuente, es que el conjunto depuntos singulares de C, sea un conjunto de puntos aislados. En este caso,cada componente conexa de C puede espresarse como una trayectoria de unacurva regular a pedazos.

Direccin normal y la tangente en un punto regular Si F : D Res una funcin diferenciable, (x0, y0) C = F1(0) es un punto regular,entonces el vector

(gradF )(x0, y0) =

Fx

(x0,y0)

,Fy

(x0,y0)

!

es distinto de (0, 0), y su direccin es normal a la curva en el punto (x0, y0).Demostracin: Si : (a, b) 3 t (x(t), y(t)) R2es una curva regular

con F ((t)) = 0 t, y F ((t0)) = (x0, y0) entonces usando la regla de lacadena:

dF dt

t0

=

Fx

(x0,y0)

dxdt

t0

+

Fy

(x0,y0)

dydt

t0

o de forma equivalente, si v.w denota el producto escalar ordinario de v, w R2 se tiene:

(gradF )((t0)).0(t0) = 0

y as (gradF )((t0)) es ortogonal al vector velocidad 0(t0).

1.1.10. Longitud de una Curva.

Sea : I = [a, b] R2 una curva regular. Se llama longitud de a

L() =Z ba| 0(t) | dt =

Z ba

sdxdt

2+

dydt

2dt (1)

Justificacin del concepto de longitud. La longitud de una curva se debe definir inicialmente de la siguiente forma:Consideremos la familia de todas la particiones a = t0 < . . . < tr = b delintervalo [a, b], entonces

L() = lmt0

rXi=0

(ti)(ti +ti)

donde se entiende que ti = ti+1 ti, y t = max{ti : i = 1, . . . r}.Supongamos para simplificar que la curva es la grfica de una funcin

, y = f(x) , f : [a, b] R, es decir,

(t) = (x(t), y(t)) = (t, f(t))

llamando , xk = tk+1 tk, yk = f(tk+1) f(tk), por el teorema del valormedio podemos tomar k (tk, tk+1) con yk/xk = f 0(k), y se tiene:

L() = lmt0

rXi=0

q(xk)

2 + (yk)2

= lmt0

rXi=0

s1 +

ykxk

2xk

= lmt0

rXi=0

p1 + f 0(k)2xk

=

Z ba

1 + f 0(t)2

dt

Si t : J I es un cambio de parmetro, entonces usando la frmula (1)se tiene, tomando c = t(a), d = t(b):

L() =Z ba| 0(t) | dt

=

Z dc| 0(t(s)) | dt(s)

=

Z dc| 0(t(s)) | dt

dsds

=

Z dc| 0(t(s))dt

ds| ds = L( t)

La longitud es pues un concepto que pertenece a la geometra de la curva.Probemos que pertenece a la geometra intrnseca:En efecto si A(t) = (t), donde A : R2 R2 es el movimiento dado

en el pargrafo 1.1.7 entonces como el giro A : R2 R2

xy

A

xy

preserva el producto escalar, se concluye que |(t)| = |A(t)| = |(t)| y

L() =Z ba| 0(t) | dt =

Z ba| 0(t) | dt = L()

1.1.11. Parametrizacin por el arco

Una curva regular : J R2que verifica la condicin | 0(s) |= 1, se diceque est parametrizada respecto a la longitud de arco (en lo sucesivo PPA)ya que verifica la identidad

L( | [a, b]) = b a a, b J, a < b

Si : I R2es una curva regular, y t0 I , la aplicacin

s : I 3 t s = s(t) =Z tt0

| 0(t) | dt s (I) = J

es un cambio de parmetro con s0(t) =| 0(t) |. Si t = s1 : J I, la curvareparametrizada = t est parametrizada por la longitud de arco.

1.1.12. Diedro de Frenet

Si : I R2 un curva regular se denomina al vector tangente unitario a

T (t) =0(t)| 0(t) | =

1px0(t)2 + y0(t)2

(x0(t), y0(t))

el vector normal unitario es:

N(t) = 0(t)| 0(t) | =

1px0(t)2 + y0(t)2

(y0(t), x0(t))

Ntese que si la curva est PPA entonces T = 0, y N = 0(t).

1.1.13. Determinacin diferenciable del ngulo.

Sea : I R2 un curva .Una determinacin diferenciable del ngulo(DDA) es una aplicacin diferenciable : I R tal que

T (t) = (cos (t), sin (t)) t I

Se puede probar que siempre existe una DDA, (que queda unvocamentedeterminada salvo mltiplos enteros de 2), en tres pasos. Supongamos I =[a, b]1) Para todo t0 I, existe un > 0 y : (t0 , t0 + ) I R que es

DDA.2) Existe una particin a = t0 < t1 < < tr = b y funciones i :

[ti1, ti] R que son DDA.3) Pongamos 1 : [t0, t1] R, 2 : [t1, t2] R entonces 2(t1) 1(t1) =

2n para n Z, y se construye 2 : [t0, t2] R, DDA de la forma:

2(t) =

1(t) si t [t0, t1]2(t) 2n si t [t1, t2]

Tenemos as definida paso a paso r : [a, b] R que es DDA.Observese que si es una DDA entonces tambin se tiene:

N(t) = ( sin (t), cos (t)) t I

1.1.14. Curvatura

Si : I R2 es curva regular, se define la curvatura de en un punto(t0) como:

(t0) = lmt0 (t0 +t) (t0)L (| [t0, t0 +t]) (2)

donde es una DDA. Parece claro que la definicin dada de curvatura esintrnseca. De hecho, si es curva PPA, entonces se tiene:

(s0) = lms0 (s0 +s) (s0)

s= 0 (s0)

1.1.15. Frmulas de Frenet

Si : I R2 es curva PPA, fijada : I R una DDA, entonces el diedrode Frenet de es T (s) = (cos (s), sin (s)), N(s) = ( sin (s), cos (s)) y severifica T 0(s) = 0 (s) ( sin (s), cos (s)), yN 0(s) = 0 (s) ( cos (s), sin (s))se tienen as las frmulas:

T 0 = NN 0 = T

(3)

que se denominan frmulas de Frenet.

1.1.16. Carcter intrnseco de la curvatura

Observese que si : I R2 es curva PPA tenemos por (3)

(0, 00) = (T,N)1 00

= det (0, 00) = |00|Esta frmula permite probar que la curvatura es intrnseca ya que si A(t) =(t) para un movimiento A entonces

A (0(t), 00(t)) = (0(t), 00(t))

y como detA = 1, se concluye = det (0, 00) = detAdet (0, 00) = 1..El estudio de la geometra intrnseca de una curva, no depende del sistema

cartesiano utilizado. En particular si tomamos una referencia cartesiana conorigen el punto (0) (0, 0) y con base ortonormal la dada por (T (0),N(0)),la curva tiene unas coordenadas (s) = (x (s) , y (s)) cuyo desarrollo en seriede Taylor en s = 0 resulta determinado, en este caso, por los valores de lacurvatura y sus sucesivas derivadas en el 0. En efecto, teniendo en cuentaque T (s) = (x0 (s) , y0 (s)) y N(s) = (y0 (s) , x0 (s)) a partir de las frmulas(3), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de T en funcin dela base (T,N) , con unos coeficientes que resultan ser combinaciones de lassucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienza as:

T 0 = N ,

T 00 =dds(N) = 0N + N 0 = 2T + 0N ,

T 000 = (2 0)T + (3 + 0)N , etc. ;y finalmente obtenemos desarrollando por Taylor:

x (s) = s 13!2 (0) s3 +

1

4!(2 (0) (0)0 (0)) s4 + . . .

y (s) =1

2 (0) s2 +

1

3!0 (0) s3 +

1

4!(3 (0) + 0 (0)) s4 + . . .

Se desprenden de aqu muchas propiedades geomtricas interesantes. Por

ejemplo, se ve que (0) = lms02y (s)s2

, lo cual se puede reformular en

trminos intrnsecos de la siquiente forma: denotando por d (s) la distanciaentre el punto (s) y la recta afn que pasa por (0) y tiene por direccinT (0) , la curvatura en 0 est dada por el lmite

| (0)| = lms0

2d (s)L( |[0,s])2 .

1.1.17. Teorema Fundamental (versin plana)

Si : I R2 es curva PPA, y A : R2 3 (x, y) (x, y) R2 esun movimiento entonces = A es una curva PPA, y las funciones decurvatura , coinciden si A preserva la orientacin.

Por otra parte, dada una aplicacin diferenciable : J = [0, L] 3 s (s) R. Existe entonces una curva : J 3 s (s) R2 parametrizadapor el arco, que admite a por funcin de curvatura. Adems la curva estdeterminada salvo movimientos.Demostracin: Si = A , ya hemos probado en el pargrafo 1.1.16

que = .Supongamos ahora dada : J = [0, L] 3 s (s) R y que : J 3

s (s) R2 es una solucin a nuestro problema. Sea = (s) una DDA.As (s) = 0(s) y por tanto se tiene:

(s) = 0 +Z s0

()d (4)

como T (s) = (cos (s), sin (s)) se concluye que nuestra curva (s) = (x(s), y(s))tendr que satisfacer x0(s) = cos (s), y0(s) = sin (s) con lo que:

x(s) = x0 +Z s0

cos ()d, y(s) = y0 +Z s0

sin ()d (5)

las igualdades (4) y (5) permiten construir una nica solucin cada vezque elijamos condiciones iniciales

(0) = (x0, y0), 0(0) = (cos 0, sin 0)

Finalmente si , : [0, L] R2 son dos curvas birregulares con =, entonces el movimiento A que lleva (0) a (0) y (T(0), N(0)) a(T(0),N(0)) transforma en una curva = A que con las mismas con-diciones iniciales que y tiene la misma curvatura. As = .

1.1.18. Clculos con parmetro arbitrario

Sea : I R2 una curva regular, : I R una DDA, y s = s(t) =R ta |0(t)| dt. Por la frmula (2) de la curvatura se tiene:

(t) = lmt0

(t+t) (t)s(t+t) s(t) =

= lmt0

(t+t) (t)t

s(t+t) s(t)t

=0(t)s0(t)

=

=0(t)|0(t)|

como T (t) = (cos (t), sin (t)) , N(t) = ( sin (t), cos (t)), es T 0(t) =0(t)N(t), y N 0(t) = 0(t)T (t), se tiene:

T 0 = |0| NN 0 = |0|T

que son las frmulas generales de Frenet. Se tiene:0 = |0|T00 = |0|0 T + |0|2 N ;

en particular det(0, 00) = |0|3 , por lo que se tiene la frmula:

=det(0, 00)

|0|3 (6)

1.2. CURVAS EN EL ESPACIO

Una curva en el espacio viene definida por una aplicacin : I R3 (t) = (x(t), y(t), z(t)), donde x(t), y(t) , z(t) son funciones diferencia-bles. Su velocidad es 0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t)), y su aceleracin 00(t) =(x00(t), y00(t), z00(t)). Se dice que es regular si 0(t) 6= 0 para todo t I. Sedice que es birregular, si {0(t), 00(t)} son linealmente independientes paratodo t I.Los conceptos de curva regular o birregular son intrnsecos, en el sentido

de que son independientes de la parametrizacin tomada. Es decir: si t : J 3s t = t(s) I es un difeomorfismo entre intervalos, entonces = t estambin una curva y se verifica:

dds(s) =

ddt(t(s))

dtds(s) s J

as, si es regular, tambin lo es. Por otra parte como:

d2ds

=d2dt2

dtds+ddt

d2tds2

se concluye que

(0, 00) = (0, 00)t0 t00

0 t0

y es birregular si lo es.Igual que en las curvas planas se define la longitud de una curva : I =

[a, b] R3como

L() =Z ba| 0(t) | dt =

Z ba

sdxdt

2+

dydt

2+

dzdt

2dt

Si : I R3es una curva regular, y t0 I , la aplicacin

s : I 3 t s = s(t) =Z tt0

| 0(t) | dt s (I) = J

es un cambio de parmetro con s0(t) =| 0(t) |. Si t = s1 : J I, la curvareparametrizada = t est parametrizada por la longitud de arco (esdecir | 0(s) |= 1 s)

1.2.1. Triedro de Frenet

Supongamos que : I R3es una curva parametrizada por la longitudde arco (PPA). Llamamos vetor tangente unitario a a T (s) = 0(s). Si es birregular entonces Span (0(s), 00(s)) tiene dimensin 2, y se denominaplano osculador de la curva en s. Como h0, 0i = 1, se tiene

0 =ddsh0, 0i = 2 h0, 00i

y es birregular si y solo si 00(s) 6= 0 s. Se denomina vector normal unitariode en s a curvatura de en s a

N(s) =1

(s)00(s) con (s) = |00(s)|

y a = (s) se la denomina funcin de curvatura. Finalmente se define elvector binormal de en s:

B(s) = T (s)N(s) (7)

Se denomina a (T,N,B) triedro (mvil) de Frenet para la curva .

1.2.2. Frmulas de Frenet

Supongamos que : I R3es una curva PPA, y sea (T,N,B) su triedrode Frenet. Como (T (s), N(s), B(s)) constituyen una base ortonormal, paracada funcin vectorial X = X(s) s I se tiene la identidad:

X = hX,T iT + hX,NiN + hX,BiB

En particular T 0 = hT 0, T iT + hT 0,NiN + hT 0, BiB pero como hT, T i =1, es 0 = hT, T i0 = 2 hT 0, T i y T 0 = 00 es proporcional a N por lo quehT 0, Bi = 0. Finalmente hT 0, Ni = h00, Ni = , por lo que queda:

T 0 = N (8)

Nos proponemos calcular ahoraN 0 en funcin de (T,N,B). TenemosN 0 =hN 0, T iT+hN 0,NiN+hN 0, BiB. Como antes, hN 0, Ni = 0, y al ser hT,Ni =0, se concluye hN 0, T i = hT 0, Ni = , y llamando a = hN 0, Bi torsinde , queda:

N 0 = T + B (9)Finalmente B0 = (T N)0 = T 0 N + T N 0 = N N + T

(T + B) = N , es decir

B0 = N (10)

Las frmulas (8), (9) y (10) constituyen las frmulas de Frenet que puedenescribirse todas juntas:

T 0 = NN 0 = T +BB0 = N

; (11)

1.2.3. Clculo de la curvatura y la torsin

Proposicin 1.2.3.1 Sea : I R3 una curva birregular y tal que |0| = 1. Se tiene entonces:

0 = T00 = N000 = 2T +0N +B

;

en particular:

= |00| , = det(0, 00, 000)

|00|2 (12)

1.2.4. Curvas congruentes. Carcter intrnseco

Un movimiento en A : R3 R3 viene definido por

xyz

= A

xyz

+

abc

(13)

donde

A = (a1, a2, a3) =

a11 a12 a31a21 a22 a32a31 a23 a33

es una matriz ortogonal (AtA = I) con detA = 1. Las ecuaciones (13) sepueden interpretarse como las de un cambio de coordenadas, al sistema dereferencia cartesiano con origen en (a, b, c) y base (a1, a2, a3). Por supuestoaqu, (x, y, z) representan las coordenadas en el sistema de referencia canni-co.Si es una curva : I R3, la curva = A se llama congruente con .

Se tiene entonces

= A+ (a, b, c) (0, 00, 000) = A (0, 00, 000)

en particular, como A : R3 R3 preserva el producto escalar, se tiene:1) Si es PPA entonces 1 = |0| = |A0| = |0| y es PPA

2) Como 00 = A00 es = |00| = |00| = 3) Como det (0, 00, 000) = detA det (0, 00, 000) = det (0, 00, 000) de (12)

se concluye que = Por tanto ,la curvatura y la torsin as como el parmetro arco son in-

trnsecos a la curva.De forma anloga a como se hizo en el caso de las curvas planas, se puede

calcular el desarrollo de Taylor (en el parmetro) de la curva, expresada staen la referencia cartesiana con origen el punto (0) y con base ortonormalla dada por (T (0), N(0), B(0)) . Los primeros trminos de dicho desarrollo,cuando est parametrizada por la longitud de arco (es decir, cuando | 0 |=1), son

x (s) = s 162 (0) s3 + . . .

y (s) =1

2 (0) s2 +

1

60 (0) s3 + . . .

z (s) =1

6 (0) (0) s3 + . . .

Nuevamente se deducen de forma fcil propiedades sobre la geometra dela curva. Por ejemplo, como la ecuacin del plano afn que pasa por (0)y tiene por direccin Span(T (0) , N(0)) (el llamado plano afn osculador,ver 1.2.6) es, en esta referencia, z = 0 y como es inmediato que la curvasatisface esta ecuacin hasta el segundo orden, resulta evidente que en elplano osculador hay tres puntos de la curva infinitesimalmente prximos(es decir, que la solucin s = 0 es, al menos, triple).Ntese (s) = (x (s) , y (s)) es la proyeccin de sobre el plano afn

osculador. Usando la frmula (6) se concluye que su curvatura plana (0)coincide con la curvatura (0) de en s = 0.

1.2.5. Clculos con parmetro arbitrario

Sea : I R3 una curva birregular a I, s : I J ,s(t) =R ta |0(t)| dt

el parmetro arco.y : J R3 la curva reparametrizada, es decir (s(t)) =(t). Se tiene por definicin T(t) = T(s(t)), N(t) = N(s(t)), B(t) =B(s(t)), (t) = (s (t)), (t) = (s (t)). Entonces:

T 0(t) =dTdt

t

=dTds

s(t)

dsdt

t

= T 0 (s (t)) |0(t)| =

= |0(t)| (s (t))N(s(t)) = |0(t)| (t)N(t)Se pueden determinar de forma anloga las derivadas N 0, y B

0 en funcin

de T, N, B (que llamamos ahora simplemente T, N, B, obteniendose:

T 0 = |0| NN 0 = |0| T + |0| BB0 = |0| N

(14)

que son las frmulas de Frenet con parmetro arbitrario.Como no siempre es fcil reparametrizar la curva por el arco, nos propo-

nemos dar algoritmos explcitos para el clculo de la curvatura (t) la torsin(t) y el triedro de Frenet T (t), N(t), B(t) en cada t.En primer lugar obsrvese que

0(t) =ddt

t

=dds

s(t)

dsdt

t

= T(s(t)) |0(t)| = |0(t)|T (t)

si continuamos derivando, y aplicamos 14 obtenemos :

0 = |0|T00 = |0|0 T + |0|2 N000 = f1T + f2N + |0|3 B

, (15)

donde f1 y f2 son funciones I R diferenciables donde f1 y f2 son funcionesI R diferenciables. En particular:

=|0 00||0|3 , =

det(0, 00, 000)

|0 00|2

Como vimos, el vector tangente unitario es

T =1

|0|0

Adems de las dos primeras frmulas de 15 se deduce que N est en elplano Span (0, 00) y hN,00i = |0|2 > 0, y como adems h0,Ni = 0, nosqueda como nica opcin para N

V = 00 h00, 0i

h0, 0i 0, N =

1

|V |V

1.2.6. Los planos y rectas del triedro de Frenet

Sea : I R3 una curva birregular y (T ,N ,B) el triedro de Frenet.Para cada t I , los planos coordenados del triedro tienen los siguientenombres:

Span(T (t), N(t)) es el plano osculador a en tSpan(N(t), B(t)) es el plano normal a en tSpan(T (t), B(t)) es el plano rectificante a en t

Obsrvese que, para cada t I, estos planos estn en T(t)R3. Se llamaplano vectorial osculador a en t a Span(T (t) , N(t)), que es un planovectorial de R3. El plano afn osculador a en t es el plano afn de R3

que pasa por (t) y tiene por direccin Span(T (t) , N(t)). Anlogamente sedefinen los planos (vectoriales o afines) normal y rectificante a en t.Las rectas afines que pasan por (t) y tienen por direcciones T (t) , N(t)

B(t) se denominan, respectivamente, recta tangente, recta normal principalo recta binormal a en t.Intuitivamente, la curvatura mide cunto se desva la imagen de la curva

de estar contenida en su recta (afn) tangente y la torsin mide cunto sedesva de estar contenida en su plano afn osculador.

1.2.7. Teorema Fundamental (versin tridimensional)

Dadas (s), (s), s [0, L] funciones diferenciables, con > 0, y (T0, N0, B0)base ortonormal positiva de R3, existe entonces una nica curva (s) s [0, L] parametrizada por el arco que tiene a (s), y (s) por curvatura y tor-sin, y su triedro de Frenet en s = 0 es T (0) = T0, N(0) = N0, y B(0) = B0.En particular la curvatura y la torsin determinan la curva salvo movimientos(directos).

Demostracin:

Si existe tal curva. Tomando:

T = (x1, x2, x3)N = (x4, x5, x6)B = (x7, x8, x9)

las frmulas de Frenet (11)dan lugar un sistema lineal de ecuaciones de laforma

dx1/ds

dx9/ds

= A

x1 x9

donde los coeficientes de la matriz matriz A = A(s) dependen diferenciable-mente de la variable s [0, L] y es conocida a partir de las funciones (s), yde (s). Usando el teorema 1.2.8 de ms abajo, se concluye que fijado

= (T0,N0, B0) = (1, 2, . . . , 9) R9

existe un nico espacio de soluciones con (0) = , lo que significaque existe una nica solucin T = T (s), N = N(s), B = B(s) que verificanlas ecuaciones de Frenet (11) y

(T (0), N(0), B(0)) = (T0, N0, B0)

Veamos que (T, N , B) constituyen un sistema de referencia ortonormal.Para ello consideramos las derivadas de los productos escalares, que usando

nuevamente (11) verifican

dds hT, T i = 2 hT,Nidds hT,Ni = hN,Ni hT, T i+ hT,Bidds hT,Bi = hT,Bi hT,Nidds hN,Ni = 2 hT,Ni+ 2 hN,Bidds hN,Bi = hT,Bi+ hB,Bi hN,Nidds hB,Bi = 2 hN,Bi

lo que da lugar sustituyendo hT, T i = y1, . . . , hB,Bi = y6 a un nuevo sistemalineal de ecuaciones diferenciales de la forma

dy1/ds

dy6/ds

= L

y1 y6

que es automticamente satisfecho por hT, T i = 1, . . . , hB,Bi = 6 , convalores iniciales

(1(0), 2(0), 3(0), 4(0), 5(0), 6(0)) = (1, 0, 0, 1, 0, 1)

y tambin por las funciones constantes = (1, . . . , 6) = (1, 0, 0, 1, 0, 1)por tanto (1, . . . , 6) = (1, 0, 0, 1, 0, 1) y el sistema (T, N , B) es ortonormal.Una vez determinado T = T (s) = (T1(s), T2(s), T3(s)) Nos queda integrar

dxds= T1(s),

dyds= T2(s),

dzds= T3(s)

que d lugar a una nica solucin por (s) = (x(s), y(s), z(s)) tal que (0) =p = (x0, y0, z0).Finalmente si , : [0, L] R3 son dos curvas birregulares con =

, y = entonces el movimiento A que lleva (T(0),N(0), B(0)) a(T(0),N(0), B(0)) transforma en una curva = A que con las mismascondiciones iniciales que tiene la misma curvatura y torsin. As = .

1.2.8. Apndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Supongamos A = (aij(s)) una matriz cuadrada cuyas entradas aij(s)s [0, L] son funciones diferenciables con valores reales. Se considera elsistema de ecuaciones:

dx1/dt

dxn/dt

= A

x1 xn

(16)

y sea = { : [0, L] diferenciables: = (1, . . . n) satisfacen (16)}. Entonces es un espacio vectorial sobre R, y para cada Rn existe un nico con (0) = . Por otra parte, la aplicacin:

3 Rn

resulta ser un isomorfismo lineal.