D/C

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

MATERIA

TRABAJO MATEMÁTICA

TEMA

MATRICES

NOMBRE: DIEGO CABASCANGO STHEFANY CHINGAL

GABRIELA LATACUMBA LUIS VILCASAMA

PAOLA CORDOVA

CURSO: AE2-1

PROFESOR: ING. FRANKLIN CUMBAL

SEMESTRE

SEPTIEMBRE – MARZO

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Paola Córdova EJERCICIOS DE 6,1

1. sean

A= 1 -6 2 1 2 3 1 1 D= 1 0 1 2 3 4 F= 6 2 5 1 6 2 -4 2 1 B= 4 5 6 C= 2 2 2 3 0 1 6 0 G= 6 H 0 0 0 7 8 9 3 3 E= 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 6 1

j= 4

A) Establezca el tamaño de la matriz.

El tamaño es el número de filas de las columnas. Así, A es 2 × 3, B es 3 × 3, C es 3 × 2, D es 2 × 2, E es 4 × 4, F es 1 × 2, G es 3 × 1, H es 3 × 3, y J es 1 × 1.

B) ¿Cuáles son las matrices cuadradas? las matrices cuadradas son B, D, E, H y J. C) ¿Cuales matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores? H y J son triangular superior. D y J son triangular inferior. D) ¿cuales son vectores renglón? F y J son vectores fila. E. ¿cuales vector columna? Así, G y J son vectores columna.

7 -2 14 6 6 2 3 -2

A= aij = 5 4 1 0 8 0 2 0 2) ¿Cuál es el orden de A? el orden de A es 4. ENCUENTRE LAS ENTRADAS SIGUIENTES:

3). a21, es 6. 4). a14 es 6. 5). a32 es 4. 6). a34 es 0. 7). a44 es 0. 8). a55 no existe. 9) ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal? Son 7, 2, 1, 0. 10). escriba la matriz triangular de orden 4 dado que todas las entradas que no se requiere que sean cero, son iguales a la suma de sus subíndices (por ejemplo a23= 2+3=5.)

11). construya una matriz A= (aij) si A es 3*5 y aij = -2i+3j

12). construya la matriz B= (bij), si B es 2*2 y bij= (-1) (i + j)

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13). si A es de 12*10 ¿Cuántas entradas tiene A? si aij = 1 para i= j y aij = 0 para i≠j encuentre a33, a52, a10*10 y a 12*10 12 · 10 = 120, por lo que A tiene 120 entradas. Por a33, i = 3 = j, por lo a33 = 1. Desde el 5 ≠ 2, a52 = 0. Por a10, 10, i = 10 = j, así a10, 10 = 1. Desde el 12 ≠ 10, a12, 10 = 0. 14). liste la diagonal principal de: 1 4 -2 0 x 1 y A= 7 0 4 -1 b= 9 y -6 6 -5 1 y 0 z 2 1 7 2

15 escriba la matriz cero de orden (a) 4 y (b) 6

16. si A es una matriz de 7*9 ¿Cuál es el orden de ? Es de 9*7 17.

18.

19.

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20.

21. sean A= 7 0 1 0 0 0 0 0 2 0 -1 0 6 B= 0 2 0 C= 0 0 0 D= 0 4 0 0 10 -3 0 0 0 0 0 6 a) ¿cuáles son las matrices diagonales? A y C b) ¿Cuales son matrices triangulares? Son A, B, C, D 23. si verifique la propiedad general de la transpuesta.

En los problemas 24 al 27 resuelva la ecuación matricial: 2x y 4 6 24. z 3w = 0 7 2x = 4, y = 6, z = 0, y = 7 3w=7. Por lo tanto x = 2, y = 6, z = 0, w =7/3 6 2 6 2 25. z 7 = 6 7 = 6 = 6 2 = 2, x = 6, 7 = 7, 3y = 2, y = 2z 7. Así x=6, y=2/3, z= 7/2 3y 2z 2 7 4 2 1 4 2 1 26. 3x y 3z = 6 7 9 = 7 = 8 es falso por lo tanto no hay solución 0 w 7 0 9 8 2x 7 y 7 27. 7 2x = 7 y = 2x = y, 7 = 7, 7 = 7, y = y 2y = y es decir y = 0. Así, desde 2x = y se obtiene 2x = 0, entonces x = 0. La solución es x = 0, y = 0.

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28. Inventario una tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 245 de frijoles, 400 de atún. Escriba un vector fila que proporcione el número de artículos vendidos de cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $0.95, $1.03, $1.25, respectivamente, escriba esta información como un vector columna.

29). análisis de ventas la compañía widget presenta sus reportes de ventas mensuales por medio de matrices cuyos renglones en orden, el numero de modelo regular. De lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de unidades rojas, blancas, azules, y purpuras que se vendieron. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 2 6 1 2 0 2 8 4 E= 0 1 3 5 F= 2 3 3 2 2 7 9 0 4 0 2 6

(a) En enero, ¿Cuántas unidades de los modelos de súper lujo se vendieron?

La entrada en la fila 3 (súper lujo) y la columna 2 (blanco) es 7. En enero, 7 modelos blancos de súper lujo fueron vendidos.

(b) En febrero, ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

La entrada en la fila 2 (de luje) y la columna 3 (azul) es 3. En febrero, 3 modelos azules de lujo se han vendido.

(c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares purpuras?

Las entradas en la fila 1 (regular) y la columna 4 (púrpura) dan el número de modelos púrpura regulares vendidos. Para la entrada E es 2 y para F la entrada es de 4. Los modelos más habituales púrpura se vendieron en febrero.

(d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en amos meses?

En enero y febrero, los modelos de lujo azules (fila 2, columna 3) vendieron el mismo número de unidades, 3.

(e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?

En enero, un total de 0 + 1 + 3 + 5 = 9 modelos de lujo se han vendido. En febrero, un total de 2 + 3 + 3 + 2 = 10 modelos de lujo se han vendido. Así que, en febrero se vendieron más modelos de lujo.

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(f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?

En enero, un total de 2 + 0 + 2 = 4 reproductores rojas fueron vendidas En febrero un total de 0 + 2 + 4 = 6 reproductores rojos fueron vendidos. Así que, en febrero se vendieron más modelos rojos Widgets.

(g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

2+6+1+2+0+1+3+5+2+7+9+0 = 38 Sumando todas las entradas de la matriz E se obtiene que un total de 38 modelos fueron vendidos en enero.

30). matriz de insumo- producto las matrices de insumo- producto desarrolladas por W.leontief indican las int1111errelaciones que existen entre los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía simplificada consiste en la matriz M que se presenta al final de este problema. Los sectores consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como manufactura, gobierno, acero, agricultura, domestico, etc. Cada renglón muestra como consume el producto de un sector dado cada uno de los cuatro sectores. Por ejemplo, del total de la industria A se disertaron 50 unidades para la propia industria A, 70para la B, 200 para C, y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas en el renglón 1- ha saber.680-informa sobre la producción total de A para un periodo dad. Cada columna indica la producción de cada sector. Que consume un sector dado .por ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50unidades de A,90 de B, 120 de C y 420 de todos los demás productores encuentre la suma de las entradas para cada columna. Haga lo mismo con cada renglón.¿ que observa a al comprar esos totales? Suponga que el sector A aumenta su producción al 20% es decir, en 136 unidades si se supone que esto provoca un aumento uniforme de 20 % en todos sus insumos, ¿en cuántas unidades aumentara su producción el sector B? responda la misma pregunta para C y para todos los demás productores. CONSUMIDORES PRODUCTORES TODOSLOS DEMAS

A B C PRODUCCTORES INDUSTRIA A 50 70 200 360 INDUSTRIA B 90 30 270 320 INDUSTRIA C 120 240 100 1050 TODOS LOS DEMAS 420 370 940 4960 PRODUCTORES

Suma de las Columnas A= 50+90+120+420 A= 680 B= 70+30+240+370

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B= 710 C= 200+270+100+190 C= 1510 D= 360+320+1050+4960 D= 6690 Suma de los Reglones A= 50+70+200+360 A= 680 B= 90+30+270+320 B= 710 C= 120+240+100+1050 C= 1510 D= 420+370+940+4960 D= 6690 La cantidad que la industria consume es igual a la cantidad de su producción. El sector B tiene que aumentar la salida de 20% X 90 = 18 unidades. El sector C industria tiene que aumentar la producción en 20% X 120 = 24 unidades. Todos los demás productores tienen que aumentar en 20% X 420 = 84 unidades.

31). encuentre todos los valore s de x para los cuales

+ 2000X √x² = 2001 - x

ln (e) ^x 2001- 2000x x

² + 200x – 2001 = 0 √x² = x ²

X – 2000 x - 1 x² - x² = 0 X = 2000 x = 1

+ 200x – 2001 = 0 ln (e) ^x = X

X – 2000 x - 1 X ln (e) = x X = 2000 x = 1 x (1) = x X – X = 0

EN LOS PROBLEMAS DEL 32 – 33 ENCUENTRE

32). A= 3 -4 2 -2 1 6

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3 1 4 2

33). 1 7 3 6

1 4 1 2

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EJERCICIO 6.2 En los problemas 1 a 12, realice las operaciones indicadas. 1. 2. 3. 4.

5. 6. Es una matriz y + 66 es un número, por lo que la suma no está definida. 7. La suma no está definida.

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8. 9. 10. 11. 12.

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En los problemas 13 a 24, calcule las matrices requeridas si 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 3 (A - C) es una matriz de 2 x 2 y 6 es un número. Por lo tanto 3 (A - C) + 6 no se define 20.

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21 22. 23. . En los problemas 25 a 28, verifique las ecuaciones para las anteriores matices A, B Y C. 25.

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Así 3 (A + B) = 3A + 3B 26. Así, (2 + 3) A = 2a + 3ª 27. Así k1 (k2A) = (k1k2) A 28.

Así k (A - 2B + C) = kA - 2kB + Kc En los problemas 29 a 34, sean

Calcule, si es posible, las matrices indicadas. 29. 30.

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31. 32. 33. Es imposible porque CT y D no son del mismo tamaño

34. 35. Exprese la ecuación matricial…, como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo. Igualando las entradas correspondientes da

D/C

Multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -3 a obtener

Por lo tanto 36. En forma inversa a la que utilizo en el problema 35, escriba el sistema…, como una ecuación lineal. En los problemas 37 a 40, resuelva las ecuaciones matriciales. 37. 38.

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39

40. 41. Produccion. Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y

magnetos en dos plantas, I y II. La matriz x representa la producción de las dos plantas para el minorista x, y la matriz y representa la producción de las dos plantas para el minorista y. escriba un matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son: 42. Ventas.se A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de

juguetes para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el año 2005. Donde A y B están dadas por…, si la compañía compra un competidor, y en el 2006 duplica las ventas que consiguió en el año 2005, ¿cuál es el cambio de las ventas entre el 2003 y 2006?

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43. Suponga que los productos A, B y C esta dado en se orden, por el vector de precios Si los precios se incrementan en 10%, el vector de los nuevos precios puede obtenerse al multiplicar P, ¿por qué escalar? Por lo tanto P debe ser multiplicado por 1,1 44. Demuestre que

(Una pista: utilice la definición de sustracción y las propiedades de la operación de transposición.)

En los problemas 45 a 47, calcule las matrices dadas si

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45. 4A + 3B 46. -3(A+2B)+C

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47. 2(3C-A)+2B

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PROBLEMAS 6.3 NOMBRE: DIEGO CABASCANGO PARALELO: AE2- 1 Si A= , B= , y AB= C= Cij Encuentre cada uno de los elementos siguientes.

1. C11 = 1(0)+3(-2)+(-2)(3) = 0-6-6 = -12

2. C23 = -2(3)+1(-2)+(-1)(-1) = -6-2+1 = -7

3. C32 = 0(-2)+4(4)+3(1) = 0+16+3 = 19

4. C33 = 0(3)+4(-2)+3(-1) = 0-8-3 = -11

5. C31 = 0(0)+4(-2)+3(3) = 0-8+9 = 1

6. C12 = 1(-2)+3(4)+(-2)1 = -2+12-2 = 8

Si A es de 2 x 3; B de 3 x 1; C de 2 x 5; D de 4 x 3; E de 3 x 2; y F de 2 x 3, encuentre el tamaño y número de entradas en cada uno de los siguientes ejercicios.

7. AE = Si A es 2 x 3 y E es 3 x 2 Tamaño: 2 x 2 Entradas: 4

8. DE = Si D es 4 x 3 y E es 3 x 2 Tamaño: 4 x 2 Entradas: 8

9. EC = Si E es 3 x 2 y C es 2 x 5 Tamaño: 3 x 5 Entradas: 15

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10. DB = Si D es 4 x 3 y B es 3 x 1 Tamaño: 4 x 1 Entradas: 4

11. FB = Si F es 2 x 3 y B es 3 x 1 Tamaño: 2 x 1 Entradas: 2

12. BC = Si B es 3 x 1 y C es 2 x 5 No es factible encontrar el tamaño ni las entradas por qué no se puede formar la matriz ya que el número de la columna de B no es igual al número de filas de C

13. EETB = Si E es 3 x 2 ; ET es 2 x 3 y B es 3 x 1 EET = 3 x 3 y B es 3 x 1 Tamaño: 3 x 1 Entradas: 3

14. E(AE) = Si E es 3 x 2 y (A es 2 x 3)(E es 3 x 2 ) E = 3 x 2 y (AE) es 2 x 2 Tamaño: 3 x 2 Entradas: 6

15. E(FB) = Si E es 3 x 2 y (F es 2 x 3)(B es 3 x 1) E = 3 x 2 y (FB) es 2 x 1 Tamaño: 3 x 1 Entradas: 3

16. (F + A)B = Si ( F es 2 x 3 + A es 2 x 3) y B es 3 x 1 (F + A) = 2 x 3 y (B) es 3 x 1 Tamaño: 2 x 1 Entradas: 2

Escriba la matriz identidad que tiene el orden siguiente

17. 4. 18. 6.

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REALICE LAS OPERACIONES INDICADAS EN LOS PROBLEMAS 19 A 36 (PROGRAMA UTILIZADO)

19. = =

20. = =

21. = =

22. = =

23. =

=

D/C

24.

=

=

25.

=

26.

No se puede multiplicar por que por qué no se puede formar la matriz ya que el número de la columna de B no es igual al número de filas de C

27. = =

28. = =

D/C

29.

=

30.

=

31.

D/C

32.

33. = =

34. a11 a12 x1 a21 a22 x2

35.

36. En los problemas 37 a 44, calcule las matrices requeridas

D/C

37. D – 1/3EI =

38. DD =

39. 3A – 2BC =

40. B(D + E) =

=

D/C

41. 3I – 2/3FE =

=

42. FE(D – I) =

D/C

43. (DC)A =

44. A(BC) =

D/C

En los problemas 45 a 58 calcule la matriz requerida, si existe, dado que

45. A2 = no se puede formar la matriz para multiplicar ya que el número de la columna de A no es igual al número de filas de A (es imposible) 46. ATA 47. B3 = 48. A (BT) 2C

D/C

49. (AIC) T

50. AT (2CT)

51. (BAT) T

52. (2B)T 53.

D/C

54. (ATCTB) O 55. A (I- O) =

56. ITO 57.

58. En los problemas 59 a 61, represente el sistema dado, por medio de la multiplicación de matrices.

D/C

59. 3x + y = 6 2x – 9y = 5 AX=B El sistema de ecuaciones en matrices es: 60. 3x + y + z = 2 x- y + z = 4 5x – y +2z = 12 El sistema de ecuaciones en matrices es:

D/C

61. 2r – s +3t = 9 5r – s + 2t = 5 3r – 2s + 2t = 11 El sistema de ecuaciones en matrices es:

D/C

62.- mensajes secretos los mensajes secretos pueden encriptarse por medio de un código y una matriz de codificación. Suponga que se tiene el código siguiente: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 3

Sea E = 2 4 , la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje tomando cada dos letras del mensaje y convertirlas a sus números correspondientes para crear una matriz de 2 x 1 y luego multiplicar cada matriz por E . Utilice este código para para encriptar el mensaje “the/ falcon/ has/ landed” (el/halcón/ha/aterrizado), deje las diagonales para separar las palabras.

= th =

ef = =

al = =

co = =

nh = =

as = =

la = =

D/C

El mensaje codificado es: 44, 72, 23/ 34, 37, 50, 48, 66, 38/ 60, 58, 78/ 15, 28, 26, 44, 17, 26. 63.- Inventario una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos, 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de $ 55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $ 35, por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de la tienda de mascotas.

64.- Acciones un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C, D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones.

65.- costo de construcción suponga que el contratista del ejemplo 9 debe construir siete casa de estilo rústico, tres con estilo moderno y y cinco con estilo colonial. Con el uso de la multiplicación de matrices, calcule el costo total de la materia prima. Q = 5 2 4 5 20 16 7 17 R = 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13

nd = =

ed = =

=

=

D/C

2500 1200 C = 800 150 1500

75,850 = 5 2 4 81,550 71,650

El coste total de las materias primas es: $828,950. 66.- Costo suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de la compra. Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente: Compra Trasporte 3500 50 Acero

1500 50 Madera

C = 1000 100 Vidrio

250 10 Pintura

3500 0 Mano de obra

a) A partir del cálculo de RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los

costos de la compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.

b) Encuentre la matriz QRC cuya primera entrada proporcione el precio de la compra

total, y cuya segunda entrada del costo total del transporte.

c) Sea Z = 1 , calcule QRCZ, que proporciona el costo total de materiales y transporte para 1 todas las casas que serán construidas.

Q R C = Q (R C) = Q =

=

a) RC = =

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67.- Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6. (a) calcula la cantidad que cada industria y cada consumidor deben pagar por los bienes que reciben. (b) calcula la utilidad recibida por cada industria. (c) encuentre l cantidad total de dinero que es pagada por todas las industrias y todos los consumidores. (d) encuentre la cantidad de la proporción de la cantidad total de dinero que se determinó en (c) pagada por las industrias. Encuentre la proporción de la cantidad total de dinero que se determinó en (c) que es pagada por los consumidores. (a) Cantidad gastada en bienes:

:

La industria del carbón gasta $ 180.000, la industria eléctrica gasta $ 520.000, y gasta la industria del acero.

El Consumidor 1 paga $ 270.000, el consumidor 2 paga $ 380,000, y el consumidor paga $ 3 640.000. (b) A partir del Ejemplo 3 de la sección. 6,2, el número de unidades vendidas de carbón, electricidad, y el acero son 57, 31, y 30, respectivamente. Así, el beneficio para el carbón es 10.000 (57) - 180.000 = $ 390.000, los resultados del ejercicio de electricidad. es

b) QRCQ ( RC ) = =

c) QRCZ QRC Z =

Industria del carbón Dc P =

=

Industria eléctrica DE P = =

Industria del acero DS P = =

Consumidor 1: D1 P = =

Consumidor 2: D2 P = =

Consumidor 3: D3 P = =

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20.000 (31) - 520.000 = $ 100.000, y el beneficio para el acero es de 40.000 (30) - 400.000 = $ 800.000. (c) A partir de (a), la cantidad total de dinero que se paga por todas las industrias y los consumidores es: 180.000 + 520.000 + 400.000 + 270.000 + 380.000 + 640.000 = $ 2.390.000. (d) La proporción de la cantidad total de (c) pagado por las industrias es: 180.000 + 520.000 + 400.000 = $ 110 2,390,000 239 La proporción de la cantidad total de (c) pagados por los consumidores es: 270,000 + 380,000 + 640,000 129 2,390,000 239

68.- Si AB = BA, demuestre que (A + B) (A - B) =A2 – B 2.

(A + B)(A – B) = A(A – B) + B(A – B) [dist. prop.] = A2 − AB + BA −B2 [dist prop.] = A2 −BA + BA − B2 [AB = BA,] = A2 −B2 69.- Demuestre que si: 1 2 2 3 1 2 -1 3

2

Entonces AB = 0. Observe que como ni A ni B son la matriz cero, la regla algebraica para los números reales “si ab = 0, entonces alguno a o b es cero” no se cumple para las matrices. También puede demostrarse que la ley de la cancelación tampoco es cierta para las matrices; es decir, si AB = AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C.

70.- Sean D1 Y D2 dos matrices diagonales de 3 * 3. Calcule D1 D2 Y D2 D1 y demuestre que:

a. Tanto D1 D2 como D2 D1 son matrices diagonales.

b. D1 y D2 conmutan, lo que significa que D1 D2 = D2 D1

=

A = Y B =

=

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Tanto D1D2 y D2D1 son matrices diagonales.

b. De la parte (a), D1D2 = D2D1. Así, D1 y Conmutar D2. [De hecho, todos los n × n diagonal

matrices conmutan.]

En los problemas 71 a 74 calcule las matrices requeridas dado que 1.1 4.8 A = 3.2 -4.1 5.1 B = -2.3 3.2 C = -1.2 1.5 -2.6 1.2 6.8 4.6 -1.4 2.4 6.2 71.- A (2B)

2.2 9.6 3.2 -4.1 5.1 -4.6 6.4 -2.6 1.2 6.8 9.2 -2.8

72.- -3.1 (CA)

-3.1 -7.74 6.72 4.08 -8.44 -2.4 54.4

a. D1 D2 =

D2 D1 =

D/C

73.- 3CA (-B)

-1.1 -4.8 -3.6 4.5 3.2 -4.1 5.1 2.3 -3.2 7.2 18.6 -2.6 1.2 6.8 -4.6 1.4 -3.6 4.5 -36.41 4.9 7.2 18.6 -25.66 18.16

74.- C3

-1.2 1.5 - 1.2 1.5 -1.2 1.5 2.4 6.2 2.4 6.2 2.4 6.2

D/C

PROBLEMAS 6.4

Determine si la matriz de los problemas 1 al 6 es reducida o no. 1.- 2.- No reducida Reducida 3.- 4.- Reducida No reducida 5.- 6.- No reducida No reducida

Reduzca la matriz dada en los problemas 7 a 12. 7.-

8.-

9.-

10.-

1 3 5 0

1 0 0 3 0 0 1 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 3 0 1 5 0 0 0

D/C

11.-

12.-

Resuelva los sistemas de los problemas 13 a 26 mediante el método de reducción. 13.- 2x – 7y = 50 x + 3y = 10

RESPUESTA

D/C

14.- x – 3y = -11 4x + 3y = 9

RESPUESTA 15.- 3x + y = 4 12x + 4y = 2 No hay solución.

16.- x + 2y – 3z = 0 -2x – 4y + 6z = 1 No hay solución.

17.- x + 2y + z – 4 = 0

;

RESPUESTA

3x + 2z – 5 = 0

18.- x + 3y + 2z – 1 = 0

;

RESPUESTA

x + y + 5z – 10 = 0

D/C

19.- x1 – 3x2 = 0 2x1 + 2x2 = 3 5x1 – x2 = 1 No hay solución.

20.- x1 – 4x2 = 9 3x1 – x2 = 6 x1 – x2 = 2

21.- x – y – 3z = -5 2x – y – 4z = - 8 x + y – z = -1

x = -3 ; y = 2 ; z = 0

22.- x + y – z = 7 2x – 3y – 2z = 4 X – y – 5z = 23

D/C

x = 0 ; y = 2 ; z = -5

23.- 2x – 4z = 8 x – 2y – 2z = 14 x + y – 2z = -1 3x + y + z = 0

x = 2 ; y = -5 ; z = -1 ; 0 = 0

24.- x + 3z = -1 3x + 2y + 11z = 1 -x + y + 4z = 1 2x – 3y + 3z = -8

X = 3z – 1 ; y + z = 2 ; 0 = 0 ; 0 = 0

D/C

25.- x1 – x2 – x3 – x4 – x5 = 0 x1 + x2 – x3 – x4 – x5 = 0 x1 + x2 + x3 – x4 – x5 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 – x5 = 0

X1 – X4 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 0 ; X4 = 0

26.- x1 + x2 + x3 – x4 = 0 x1 – x2 – x3 + x4 = 0

x1 + x2 – x3 – x4 = 0 x1 + x2 – x3 + x4 = 0

X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 0 ; X4 = 0

D/C

Resuelva los problemas 27 a 33 con el uso de la reducción de matrices. 27.- IMPUESTOS Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312,000. El impuesto federal es 25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los impuestos federal y estatal. X = impuesto federal. X = 0.25 (312,000 – y) Y = impuesto estatal. Y = 0.10 (312,000 – x) x + 0,25y = 78,000 0.10x + y = 31,200

X = 72,000 ; Y = 24,000

28.-TOMA DE DECICIONES Un fabricante elabora dos productos, A y B. por cada unidad que vende de A la ganancia es de $ 8, y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $ 11. La experiencia le indica que puede venderse 25% más de A que de B. para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $ 42,000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender? X = Numero de unidades de A por el precio. X = 1.25y Y = Numero de unidades de B por el precio. Y = 8x + 11y = 42,000 x – 1.25y = 0 8x + 11y = 42,000

X = 2500 ; Y = 2000

29.- PROGRAMA DE PRODUCCION Un fabricante produce tres artículos, A, B, C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es: $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17,000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11,000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $25,000. Si el costo total será de $80,000, ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse al año siguiente?

D/C

X = número de unidades de A producidas. Y = número de unidades de B producidas. Z = número de unidades de C producidas. Número de unidades: x+ y + z = 11,000. x + y + z = 11,000 Total de costos: 4x + 5y + 7z + 17,000 = 80,000 . 4x + 5y + 7z = 63,000 Total de utilidad: x + 2y + 3z = 25,000. x + 2y + 3z = 25,000

30.- ASIGNACION DE PRODUCCION La compañía Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción en la costa este y en la costa oeste. En la planta de la costa este, los costos fijos son de $20,000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la planta de la costa oeste, los costos fijos son de $18,000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $95. El año próximo, la compañía quiere producir un total de 800 escritorios. Determine la orden de producción para cada una de las plantas el siguiente año si el costo total para cada planta debe ser el mismo. X = numero de escritorios que se produce en la planta de la costa este. Y = numero de escritorios que se produce en la planta de la costa oeste. x + y = 800 x + y = 800 90x + 20,000 = 95y + 18,000 90x – 95y = - 200

X = 400 ; Y = 400

31.- VITAMINAS Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D

D/C

y 5 de vitamina E; la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades, respectivamente; la marca Z tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E. x = número de vitaminas X píldoras. y = número de vitaminas Y píldoras. z = número de vitaminas Z píldoras. 2x + 1y + 1z = 10 (vitamina A) 3x + 3y + 0z = 9 (vitamina D) 5x + 4y + 1z = 19 (vitamina E)

Donde z = 4, 5, 6, 7. x = 7 – z (4) x = 3 ; (5) x = 2 ; (6) x = 1 ; (7) x = 0 y = z – 4 (4) y = 0 ; (5) y = 1 ; (6) y = 2 ; (7) y = 3 z = 0 (4) z = 4 ; (5) z = 5 ; (6) z = 6 ; (7) z = 7

a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera

exacta las cantidades requeridas.

(3 de x; 4 de z); (2 de x; 1 de y; 5z); (1 de x; 2 de y; 6 de z); (3 de y; 7 de z).

b) Si cada píldora de la marca X cuesta 1 centavo; de la marca Y, 6 centavos y de la marca

Z, 3 centavos, ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15

centavos por día?

Los respectivos costos (en centavos) son: 15, 23, 31 y 39. La combinación de (3 de x; 4 de z) costo 15 centavos al día.

c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)? ¿Y la más cara?

La combinación menos cara (3 de x; 4 de z) y la combinación más cara (3 de y; 7 de z)

32.-PRODUCCION Una compañía produce tres artículos: A, B y C, que requiere se procesen en tres máquinas I, II, III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento de cada producto por las tres máquinas esta dado en la siguiente tabla:

D/C

A B C

I 3 1 2

II 1 2 1

III 2 4 1

La maquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuantas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas. X = número de unidades de A. 3x + 1y + 2z = 490 (maquina I) Y = número de unidades de B. 1x + 2y + 1z = 310 (maquina II) Z = número de unidades de C. 2x + 4y + 1z = 560 (maquina III)

X = 98 ; Y = 76 ; Z = 60 33.- INVERSIONES Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 tipo B y 28 de C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 tipo B y 36 de C. Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 220 acciones tipo A, 176 tipo B y 264 tipo C, y adquirir unidades de los tres fondos. X = representa el número de unidades de E. Y = representa el número de unidades de D. Z = representa el número de unidades de G. 12x + 20y + 32z = 220 (acciones A) 16x + 12y + 28z = 176 (acciones B) 8x + 28y + 36z = 264 (acciones C)

D/C

x + z = 5 y + z = 8 z = 0 x = 5 – z y = 8 – z

a. Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los requerimientos

del inversionista

DONDE: Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

COMBINASIONES

z 0 1 2 3 4 5

E 5 4 3 2 1 0

D 8 7 6 5 4 3

G 0 1 2 3 4 5

b. Suponga que cada unidad de E cuesta al inversionista $300 (las de D y G, $400 y $600,

respectivamente). ¿Cuáles de las combinaciones del inciso (a) minimizarán el costo

total del inversionista?

El computo de los costos de cada combinación que encontramos son: $4700, $4600, $4500, $4400, $4300 y $4200, respectivamente. Al adquirir 3 unidades de Lujo y 5 unidades de Gold Star (x = 0; y = 3; z = 5) minimizan los costos.

D/C

EJERCICIOS 6.5 W + x – y – 9z = -3 1 2w + 3x + 2y + 15z = 12 2w + x + 2y + 5z = 8

W = - 1 + 7 r X = 2 – 5 r Y = 4 – 7 r Z = r 2w + x + 10y + 15z = -5

2 w - 5x + 2y + 15z = -10 W + x + 6y + 12z = 9

D/C

3w - x -3y - z = -2 2 w - 2x - 6y - 6z = -4

3. 2W - x - 3y - 2z = -2 3w + x + 3y + 7z = 2

W + x + 5z = 1 4 w y + 2z = 1 W – 3x + 4y – 7z = 1 X – y + 3z = 0

w + x + 3y - z = 2 2 w + x + 5y - 2z = 0 5 2w – x + 3y – 2z = -8

3W + 2x + 8y - 3z = 2 w + 2y - z = - 2

D/C

W + x + y + 2z = 4 2w+ x + 2y+ 2z = 7 6 w+ 2x + y + 4z = 5 3w - 2x + 3y - 4z = 7 4w - 3x + 4y - 6z = 9

4x1 -3x2 + 5 x 3 -10x 4 + 11x 5 = -8 7 2x1 + x 2 + 5x 3 + 3x 5 = 6

2x 1 +3x3 + x 4 + 4x 5= 1 X2 + x3 – 2x4 = 0 8 2x1 – 2x2 + 3x3 + 10x4 + 15x5 = 10 X1 + 2 x2 + 3x 3 - 2x 4 + 2x5 = -2

D/C

Para los problemas del 9 al 14, determine s el sistema tiene un número infinito de soluciones o solo la solución trivial. No resuelva los sistemas. 9 1.06x + 2.3y - 0.05z =0

1.55 – 0.6y + 0.09z = 0

El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas por lo que hay una infinidad de soluciones.

10. 3w + 5x - 4y + 2z = 0 7w – 2x + 9y + 3z = 0

El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas por lo que hay una infinidad de soluciones

3x – 4y = 0 11. X + 5y = 0 4x – y = 0

Tiene el sistema de solución trivial 2x+3y+12z=0 12 3x-2y +5z = =0 4x + y + 14z=0

Tiene el sistema de solución infinita

X + y +z = 0 13 x - z = 0 x – 2y – 5z = 0

Tiene el sistema de solución infinita

D/C

3x + 2x +2z =0 14 2x + 2y – 2z = 0 -4y + 5z = 0

Tiene el sistema de solución trivial

RESUELVA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES SISTEMAS: X + y = 0 15 3x – 4y = 0

2x – 5y =0 16 8x – 20y =0

X + 6y – 2z =0 17 2x – 3y + 4z = 0

4x + 7y = 0

18 2x + 3y =0

D/C

X + y = 0 19 3x – 4y =0 5x – 8y = 0

2x – 3y +z =0 20 x + 2y – z= 0 X + y +z = 0

X+ y +z = 0 21 - 7y – 14z =0 - 2y – 4z = 0 - 5y – 10z = 0

X + y + 7z = 0 22 x – y –z = 0 2x – 3y – 6z= 0 3x + y +13z = 0

D/C

W +x+ y +4z = 0 23 w +x+ 5z =0 2w + x +3y +4z = 0 W +3x +2y -9z = 0

W + x +2y +7z = 0 24 w – 2x – y + z = 0 W+2x + 3y +9z =0 2w – 3x – y +4z = 0

D/C

PROBLEMAS 6.6 En los problemas 1 a 18, si la matriz dada es invertible, encuentre su inversa.

1.

=

2.

3.

4.

5.

=

6.

D/C

7.

8. La matriz no es invertible

9. No se puede realizar

10. La matriz no es invertible

11.

12.

=

D/C

13.

14.

15.

16.

=

D/C

17.

=

18.

=

19. Resuelva AX = B si

20. Resuelva AX = B si

Para los problemas 21 a 34, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible, resuelva el sistema mediante la inversa. Si no es así, resuelva el sistema por el método de reducción.

21.

D/C

22.

23.

24.

25.

26. El coeficiente no es invertible

D/C

27.

28.

29.

D/C

30.

31.

32.

D/C

33.

D/C

34.

EN los problemas 35 y 36, encuentre (I — A)-1 pura la matriz A dada.

35.

36.

D/C

37. Producción de automóviles Resuelva los problemas siguientes con el uso de la inversa

de la matriz implicada. (a) Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El

modelo A requiere una hora de mano de obra para pintarlo y una hora más para

pulirle, el modelo B requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos

procesos. Por cada hora que la línea de ensamblado funciona, existen 100 horas de

mano de obra disponibles para pintura y 80 horas para pulido. ¿Cuántos automóviles

de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de

obra?

(b) Suponga que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2, mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2. La fábrica puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2 cada hora. ¿Cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles?

Se producen 45 del modelo A y 50 del modelo B

D/C

38.

39.

40.

41.

42.

D/C

43. Inversión Un grupo de inversionistas decide invertir $500 000 en las acciones de tres

compañías. La compañía D vende en $60 cada acción y de la cual se espera un

rendimiento 16% anual. La compañía E vende en $80 cada acción y se espera que su

rendimiento alcance el 12% anual. El precio de las acciones de la compañía F asciende

a $30 y su rendimiento esperado es de 9% anual. El grupo planea comprar cuatro

veces más acciones de la compañía F que de la E. Si la meta del grupo es 13.68% de

rendimiento anual, ¿cuántas acciones de cada compañía deben comprar los

inversionistas?

MATRIZ

D/C

44. Inversión Los inversionistas del problema 43 deciden probar con una nueva estrategia

de inversión con las mismas compañías. Desean comprar el doble de acciones de la

compañía F que de la compañía E, y tienen la meta de 14.52% de rendimiento anual.

¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar? Utilice una calculadora graficadora en

los problemas 45 y 46 para(a) encontrar A ', exprese sus entradas en forma decimal,

redondee a dos decimales, (b) Exprese la.; entradas de A-1 en forma fraccionaria, si su

calculadora tiene esa capacidad. [Precaución: para el inciso(b),utilice la matriz A"1 de

¡a calculadora para convertir las entradas a forma fraccionaria: no utilice la matriz de

valores redondeados del inciso (a).

LA MATRIZ ES

D/C

45.

46.

47.

D/C

48.

49.