Deducciones y demostraciones - Transferencia de Calor

1

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR

1.1. Generalidades

La Transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia

de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes.

Siempre que exista una diferencia de temperatura, la energía se transfiere

de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura

De acuerdo con los conceptos de la Termodinámica, la energía que se

transfiere como resultado de una diferencia de temperatura es el calor.

- Las leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía,

pero sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio (pueden

utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para modificar

un sistema de un estado de equilibrio a otro), pero no sirven para

predecir la rapidez (tiempo) con que pueden producirse estos cambios.

- La transferencia de calor, complementa los principios termodinámicos,

proporcionando métodos de análisis que permitan predecir esta

velocidad de transferencia térmica.

Ejemplo:

El calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente, los

principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas

finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad

de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero

nada nos dice respecto a la velocidad de la transferencia térmica o la

temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que haya

que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta

posición de la barra.

2

Realizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la

velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta

información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la

temperatura del agua en función del tiempo.

- Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del

calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes: conducción,convección y radiación.

- El diseño y proyecto de los sistemas de un intercambio de calor y

conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de

estos mecanismos, así como de sus interacciones.

1.2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

La conducción, es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los

medios sólidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de

temperatura. El calor se trasmite de la región de mayor temperatura a la demenor temperatura, debido al movimiento cinético o el impacto directo delas moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastrede los electrones como sucede en los metales.

La ley básica de la conducción del calor (Joseph Fourier), establece: “Latasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dadaes proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y algradiente de temperatura en esa dirección”.

whBTu

x

TAKQX ,

…………….…….………….. (1,1)

2 2,.

xx

Q T BTu wq Kh pie mA x

.……………… (1,2)

Donde: Qx = Tasa de flujo de calor a través del área A en la dirección

positiva.

3

é ,, .w BTuk Conductividad t rmica m k h pie R

A = área de sección transversal de la transferencia de calor

T

x

= gradiente de temperatura

El flujo real de calor depende de la conductividad térmica (k), que es una

propiedad física del cuerpo

El signo (-) es consecuencia del segundo principio de la termodinámica,

según el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura mas baja. El

gradiente de temperatura es negativo si la temperatura disminuye para

valores crecientes de x, por lo que el calor transferido de la dirección

positiva debe ser una magnitud positiva, por lo tanto, al segundo miembro

de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativa, esto se puede

ver en la figura Nº 1)

Fig. Nº 1.1. Signos para la transmisión de calor por conducción

Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio

1.3. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN

Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un sólido cuya superficie de

contacto está a una temperatura distinta TS, al proceso de intercambio de

energía térmica se denomina CONVECCIÓN.

4

Existen dos tipos de convección:

a) Convección libre o natural, ocurre cuando la fuerza motriz procede de

la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto

con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a fuerzas

ascensionales, el fluido próximo a la superficie adquiere una velocidad

debida únicamente a esta diferencia de densidades, sin ninguna fuerza

motriz exterior.

Ejemplo: La convección en un tanque que contiene un líquido en

reposo en el que se encuentra sumergida una bobina de

calefacción.

b) Convección forzada, tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior

mueve un fluido con una velocidad (v), sobre una superficie que se

encuentra a una temperatura Ts mayor o menor que la del fluido Tf,

como la velocidad del fluido en la convección forzada es mayor que en

la convección natural, se transfiere por lo tanto, una mayor cantidad de

calor para una determinada temperatura.

Independiente de que la convección sea natural o forzada, la cantidad

de calor transmitido Qc, se puede escribir (Ley de enfriamiento deNewton)

)( FSC TTAhQ ………… (1,3)

Donde: h = Coeficiente de transmisión del calor por convección en la

interface líquido – sólido (w/m2 .k)

A = Área superficial en contacto con el fluido (m2)

La ecuación anterior sirve como definición de (h), su valor numérico se

tiene que determinar analítica o experimentalmente. En la figura adjunta

se puede visualizar el perfil de un fluido adyacente a una superficie

sólida

5

Figura N° 1.2 Distribución de la temperatura y velocidad de un fluidosobre una placa plana en convección forzada

Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio

El coeficiente de transmisión de calor por convección forzadadepende en general, de la densidad, viscosidad, de la velocidad delfluido, de las propiedades térmicas del fluido (K, Cp), es decir

PCkvfh ,,,, ……………… . (1,4)

En la convección forzada la velocidad viene impuesta al sistemacon una bomba, ventilador y se puede medir directamente

vF

QV A ……………………… …… (1,5)

En la convección natural, la velocidad es de la forma),,( gTfv , es decir depende de:

∆T = diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido

β = Coeficiente de dilatación térmica del fluido, que determina elcambio de densidad por unidad de diferencia de temperatura.

g = Campo de fuerzas exteriores, en general es la gravedad

El número adimensional característico para la convección natural esel número de Grashoff (Gr)

6

32

LTV

gGr

………………………. (1,6)

El número adimensional para la convección forzada es el númerode Reynolds (#Re)

. . .#Re

V D V D

……………………….. (1,7)

Donde: ρ = densidad del fluido, ( kg/m3)

µ = viscosidad dinámica del fluido, (kg/m.s)

ν = viscosidad cinemática del fluido (m2/s)

V = velocidad media del fluido, (m/s)

D = diámetro del tubo, (m)

1.4.Transmisión de Calor por Radiación

Mientras que la conducción y la convección térmica tienen lugar sólo através de un medio natural, la Radiación térmica puede transportar el calora través de un fluido o del vacío, en forma de ondas electromagnéticas ofotones como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicasde los átomos o moléculas, estos se propagan a la velocidad de la luz.

La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calorradiante depende de la temperatura absoluta a la que se encuentra ytambién la naturaleza de la superficie.

El radiador perfecto o cuerpo negro, emite una cantidad de energíaradiante de su superficie, Qr

bEATAQr 4 …………………….. (1,8)

Eb = poder emisivo del radiador.

= constante dimensional de Stefan – Boltzmann

5, 67 x 10-8 w/m2.K4 para el sistema Internacional (SI)

0, 1714 x 10-8 Btu/h pie2. R4 para el sistema americano de ingeniería

La ecuación anterior dice: que toda superficie negra irradia calorproporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.Siendo la emisión independiente de las condiciones de los alrededores, la

7

evaluación de una transferencia neta de energía radiante requiere unadiferencia en la temperatura superficial de dos o más cuerpos entre loscuales tiene lugar el intercambio.

Si un cuerpo negro irradia calor a un recinto que la rodea completamente ycuya superficie es también negra, es decir, absorbe toda la energíaradiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante vienedada por:

42

411 TTAQr ………………………… (1, 9)

Siendo: T1 y T2 = la temperatura del cuerpo negro y la temperaturasuperficial del recinto en (K).

Un cuerpo gris emite radiación según la expresión

Qr = A Eb = A T4 (1-10)

El calor radiante neto transferido por un cuerpo gris a la temperatura T1

a un cuerpo negro que lo rodea a la temperatura T2 es:

Qr = 1 A ( T14 - T2

4 ) ……..…………………….. (1,11)

= Emisividad, propiedad de la superficie es numéricamente igual alcociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio conrespecto a la de uno negro, adquiere valores entre 0 y 1 y constituyeuna medida para evaluar cuan efectivamente emite radiación uncuerpo real con respecto a uno negro. En la figura N° 3 se visualizalos tres mecanismos de transferencia de calor

Figura N° 1.3 Mecanismos de transferencia de calor por conducción,Convección y radiación,

Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da Edición

8

1.5. Ecuación Fundamental de la Transmisión de Calor por Conducción

Fig. Nº 1.4 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento

Rectangular de volumen de control

Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio

1.5.1 Deducción de la Ecuación Diferencial para la conducción de calor(coordenadas rectangulares)

Para el flujo térmico de la dirección (x), la ley de Fourier viene dada por:

x

TkAQx

x

Tk

A

Qxqx

(1.12)

QX = calor que atraviesa la superficie A en la dirección positiva de las x

qX = flujo de calor por unidad de superficie transversal

k = conductividad térmica del material (magnitud positiva), para flujounidireccional (según x)

Considerando un elemento de volumen infinitesimal dedimensiones ∆x, ∆y, ∆z; estableciéndose el balance energético:

9

Energía que atraviesa Variación de la energíaEnergía generada en

+por conducción el interna dentro del elementoel elemento de control

elemento de control de control

(1,12)

La energía Qx que entra por conducción al elemento de volumeninfinitesimal en la dirección x es:

Qx = qx ∆y ∆z

La energía saliente en la misma dirección

xx

QxQQ xxx

El balance de energía que atraviesa el elemento de volumen en ladirección x:

x x xx x

Q Q qQ Q x x x y z

x x x

(1-13)

Haciendo lo mismo en las direcciones y, z

zyxy

qy

y

Qy

y

QQQ yyy

yy

(1-14)

zyxz

qz

z

Qz

z

QQQ zzz

zz

(1-15)

La energía que por conducción atraviesa el elemento de volumen es:

zyxz

q

y

q

x

q zyx

(1-16)

La energía generada o disipada de el elemento de volumen por fuentes

o sumideros de energía

zyxqQgen 0 (1.19)

0q Energía generado por unidad de volumen (W/m3 ), (BTU/h.m3)

10

La variación U de la energía interna de dt, para el caso de sólidos y

líquidos, en los que los calores específicos a presión (Cp) y volumen

(Cv) constante son iguales Cp Cv , es de la forma

U T Tm Cp Cp x y z

t t t

(1.20)

y Cp no varían con el tiempo.

En consecuencia el balance energético total proporciona la ecuaciónn

diferencial de la conducción de calor, en la forma:

t

TCpq

z

q

y

q

x

q zyx

0 ………………… (1,21)

Teniendo en cuenta la ecuación de Fourier para cada dirección:

z

Tkq

y

Tkq

x

Tkq zyx

,,

Se obtiene, la ecuación diferencial de conducción de calor encoordenadas rectangulares:

o

T T T Tk k k q Cp

x x y y z z t

……….. (1,22)

T = T (x, y, z, t) ; , , ,o oq q x y z t

Ó en notación simbólica:

0( . ) P

Tk T q C

t

……………….……….. (1,23)

Si la conductividad térmica es constante, entonces la ecuación se

simplifica a:

t

TCpqTk

02 ………………………. (1,24)

11

Nota 1: El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas:

zyx

2

2

2

2

22 ……………………….. (1,25)

Nota 2:Cp

k

, difusividad térmica. (1.26)

Si la conductividad térmica es constante (k), la ecuación se reduce a:

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T

10

2

2

2

2

2

2

………………… (1,27)

Cuando no hay generación interna de calor (se conoce como ecuaciónde Fourier, o ecuación del calor o de la difusión)

t

T

z

T

y

T

x

T

1

2

2

2

2

2

2

……………………… (1,28)

Para regiones estacionarias (Ecuación de Poisson)

002

2

2

2

2

2

k

q

z

T

y

T

x

T ……………………… (1,29)

Regimen estacionaria sin generación interna de calor (Ecuación deLaplace)

02

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T ………………… ……… (1,30)

1.5.2 Deducción de la ecuación diferencial de conducción de calor encoordendas cilíndricas en estado transitorio

1. Considerar el pequeño elemento cilíndrico de control

, , ,r z r de densidad y pc calor específico .

12

Fig. Nº 1.5 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento

de volumen de control en coordenadas cilíndricas

Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio

2. Balance de Energía sobre este elemento durante un pequeño intervalo

de tiempo t se puede expresar como :

(1.31)

Reemplazando valores

r z r z genr z

EQ Q Q Q Q Q Q

t

(1.32)

3. Siendo el volumen del elemento V r r z . El contenido de

energía en dicho elemento y la velocidad de generación de calor dentro

del mismo se pueden expresar como :

Velocidad de Velocidad de Velocidad de

conducción de conducción de generación de

calor de entrada calor de salida calor en el interior

al elemento del elemento del elemento

Velocidad de

cambio de

energía

del elemento

13

.p pT T

E U mc c r z rt t

(1.33)

0 0 .generadoQ q V q r z r

4. Operando en la ecuación (4) y dividiendo entre . .r z r , se tiene

01 1 1

. .r r r z z z

pr

Q QQ Q Q Q Tq c

r z r r z r r r z t

5. Dado que el área de transferencia de calor del elemento para la

conducción de ese calor en las direcciones , ,r z son:

.rA r z , .A r z ; .zA r r

6. Tomamos el límite cuando , ,r z r y t tiende a cero se obtiene

por definición de derivada y de la Ley de Fourier de la conducción de

calor.

0

1 1 1 1lim r r r r

rr

Q Q Q T TkA kr

r z r r z r r z r r r r

20

1 1 1 1lim

r

Q Q Q T TkA k

r r z r r r z r r r zr r

0

1 1 1lim .

. .z z z z

zz

Q Q Q T TkA k

r r z r r z r z z z z z

8. Reemplazando en 6, se tiene

02

1 1T T T TKr k k q Cp

r r r r z z t

(1.34)

Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadascilíndrica (estado transitorio).

14

1.5.3 Ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas

Deducción de la ecuación diferencial de transferencia de calor por

conducción en coordenadas esféricas:

Fig. Nº 1.6 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento de volumen de control en coordenadas esfèricasFuente: Elaboraciòn propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio

r = radial

senrV 2

senrAr2

rrA ; rrsenA ; ificoCalorEspecCp : ; Densidad

1. Balance de energia :

Velocidad de Velocidad de Velocidad de

conducción de conducción de generación de

calor de entrada calor de salida calor en el interior

al elemento del elemento del elemento

Velocidad de

cambio de

energía

del elemento

(1.35)

2. Remplazando:

r r r generado

EQ Q Q Q Q Q Q

t

(1.36)

= Polar, cenital o colatitud

= azimutal o longitud

15

3. El contenido de energía en dicho elemento y la velocidad de generación de

calor dentro del mismo se pueden expresar como:

t

TVCp

t

TmCp

t

U

t

E

1.37)

V= Volumen del elemento = rsenrV 2

4. Reemplazando se tiene:

( ) ( ) ( ) 0r r rTQ Q Q Q Q Q q V Cp Vtf f f q q q r+ D + D + D

¶- - - - - + =¶

5. Dividiendo entre el volumen V:

t

TCpq

qq

rsenr

qq

rsenrr

qq

senrrrr

0222

111

6. Tomando limites y reemplazando la ecuación de FOURIER:

r

q

senrr

qq

senrLim rrrr

220

11

r

Tsenrk

r

TkAq rr

2

Se tiene :

r

Tkr

rr2

2

1

q

rsenrrsen

qq

rrLim

rsen 230

11

T

rrkT

kAq

Se tiene :

T

ksenr 22

1

16

q

rsenrr

qq

rrsenLim

r 30

11

T

rrsenkT

kAq

Se tiene :

T

ksensenr 2

1

7. Ordenando, se obtiene la ecuación diferencial de la conducción decalor en coordenadas esféricas:

202 2 2 2

1 1 1T T T Tkr k ksen q Cp

r r r r sen r sen t

1.6 Condiciones de bordes y condición inicial (1-38)

Para poder realizar la integración de la ecuación general de conducción, en

términos matemáticos es menester incluir las condiciones iniciales y de

borde. En general, por ser la ecuación general de conducción de primer

orden en tiempo se requiere del establecimiento de una única condición

inicial.

1.6.1 La condición inicial, se refiere a la distribución de temperatura que

existe en el instante de tiempo inicial.

Condición inicial: T (x, y, z, t = 0) = Ti (x, y, z)

1.6.2 Para el caso de las condiciones de borde; se observa que en las

variables espaciales (x, y, z), la derivada de mayor orden que aparece

en la ecuación general de conducción es dos; por tanto se requiere el

establecimiento de dos condiciones de borde por cada variable espacial.

A continuación incluimos un conjunto de condiciones de borde que

aparecen con frecuencia en la formulación de problemas de conducción.

17

( ) , 0ST x T x

" , 0SdT

k q xdx

, 0dT

h T T k xdx

a) Temperatura especificada constante (condición de Dirichlet)

Figura Nº 1.7 Sistema con borde a temperatura constante

Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Panana Girio Alberto Emilio

b) Flujo de calor especificado constante (condición de Neuman)

Figura Nº 1.8 Sistema con flujo de calor en el borde constante

Fuente: Elaboraciòn propia, Ing- Alberto Emilio Panana Girio

c). Ambiente convectivo (Robin)

Figura Nº 1.9 Sistema cuyo borde se encuentra adyacente a un fluido

Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Ing. Alberto Emilio Panana Girio

18

4 4 , 0dT

T T k xdx

(b) Ambiente radiactivo

Figura N° 1.10 Sistema con borde expuesto a radiación

Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Gario

e). Resistencia térmica de contacto

Figura Nº 1.11 Resistencia térmica de contacto entre dos sólidos


Realizando una ampliación en la interfaz de los materiales mostrada en lafigura 10, se tiene:

Figura Nº 1.12 – Resistencia de contacto entre dos paredes


19

En ella se incorpora ctR ," que es precisamente la resistencia térmica de

contacto,.si 0" , ctR . Se satisface que BA TT

Desde el punto de vista del cálculo, la presencia de la resistencia térmica decontacto se cuantifica añadiendo una resistencia adicional,

Circuito térmico, mostrando la resistencia térmica de contacto:

La resistencia térmica de contacto, R”t,c, generalmente se determinaexperimentalmente, R”t,c depende en general de:

La presión de contacto

Del acabado superficial

A continuación se presenta una tabla donde se muestra valores característicos

de la resistencia térmica de contacto.

Tabla 1.1. Resistencia térmica de contacto para:

(a) Superficies metálicas bajo condiciones de vacío y

(b) Interfaz de Aluminio (rugosidad; 10 nm) 105 N/m2 con diferentesfluidos interfaciales.

Resistencia térmica de contacto R”t,c x 104 [ m2 . K /W

Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da. Edición

A

A

K

L

B

B

K

LctR ,"

20

1.7 Problema Resueltos

Problema N° 1

Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de

plástico, se cura colocando una fuente de calor por radiación cilíndrica dentro

del tubo. El espacio entre el tubo y la fuente se vacía, y la fuente entrega un

flujo de calor uniforme , que se absorbe en la superficie interna del tubo. La

superficie externa del tubo se mantiene a una temperatura uniforme, .

Figura N° 1. 13-a Cilindro con fuentes de calor

Fuente: Elaboración propia, Eng. Alberto Emilio Panana Girio

Desarrolle una expresión para la distribución de temperatura en la pared

del tubo en términos de , , , y . Si los radios interior y exterior del

tubo son y , ¿Cuál es la potencia que se requiere por

unidad de longitud de la fuente de radiación para mantener la superficie interna

a ? la conductividad de la pared del tubo es w/m.K.

SOLUCIÓN:

1. Diagrama de flujo

21

Figura N° 1.13-b Cilindro con fuentes de calor

Fuente : Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio

2. Balance de energía

Donde:

ε = Emisividad de la superficie de frontera (superficie del tubo plástico)

σ =

3. Este es un problema unidimensional de radiación y conducción de calor

es estado estable, con conductividad térmica constante y sin generación

de calor en el medio.

4. La ecuación balance de energía se puede expresar:

5. La solución de la ecuación diferencial general se determina por

integración directa

6. Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias de integración.

22

7. Con las condiciones de frontera.

C.F1

CF2

8. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene:

Dado que,

9. Aplicando la segunda condición de frontera da:

10.Despejando se obtiene.

11.Reemplazando (2) y (3) en (4):

12.La expresión de la distribución de temperaturas en la pared del tubo

queda expresada en términos de , , , y .

13.Potencia Requerida por la Fuente de Radiación

23

14.Para una emisividad de ε = 0.85

15.Reemplazo en la ecuación (5):

16.Luego:

Problema N° 2

A través de un tubo de acero de 60mm de diámetro interior y 75mm de

diámetro exterior, fluye vapor a una temperatura de 250ºC. el coeficiente de

convección entre el vapor y la superficie interna del tubo es de 500W/m2 .K,

mientras que la superficie externa del tubo y los alrededores es 25W/m2.K. La

emisividad del tubo es 0.8, y la temperatura del aire y los alrededores es 20ºC.

¿Cuál es la perdida de calor por unidad de longitud de tubo? La conductividad

térmica del material es, k = 56, 5 W/m.°C

24

Figura N° 1.14 Tubo de acero sometido a fluidos interior y exteriorFuente: Elaboraciòn propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio

1. Circuito térmico

Obteniendo Ts = 502K

Luego:

25

Problema N° 3

Un tubo de diámetro de = 0,5 m, cuya emitancia superficial vale e = 0,9 que

transporta vapor de agua posee una temperatura superficial de 500K. El tubo

esta localizado en una habitación a 27ºC y el coeficiente de transmisión de

calor por convección entre la superficie del tubo y el aire de la habitación se

puede considerar igual a hc = 20 w/m2K; calcular:

a) La conductancia superficial unitaria combinado radiación y convección.

b) El calor disipado por unidad de tiempo y por metro de longitud del tubo.

Solución.-


Figura N° 1.15 Tubo de acero sometido a fluido Panana Girio

2. El tubo se puede considerar como un cuerpo emisor, rodeado por uncuerpo negro que es la habitación, se tiene que considerar también laconvección de tal forma que la conductancia global será:

rC hhh (hr = coeficiente de radiación)

CmwhC º/20 2

3. Se tiene que el calor trasferido por radiación

26

exttuborexttubor TTAhTTAQ 44

4. Despejando (hr)

Km

KmxxKm

wx

TTA

TTAh

extt

extTr 3005001

30050019,01067,5

2

444242

844

Kmwhr2/88,13

5. Por lo tanto:

Kmwh 2/88,3388,1320

6. La pérdida de calor por unidad e tiempo y por metro de longitud de tubo

exttuboe TTLhdQ

mwKKmwxxmLQ /7159,10643200/88,3315,0/ 2

Problema N° 4

Un tubo que conduce vapor sobrecalentado en un sótano a 10ºC tiene una

temperatura superficial de 150ºC. El calor perdido en el tubo ocurre por

radiación natural (e = 0.6) y por convección natural (hc =25W/m2 K). Determine

el porcentaje de la perdida total de calor mediante ambos mecanismos.

Solución.-

1. Diagrama de flujo:

27

Figura N° 1.16 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior(aire)


2. Para un sistema en donde hay convección y radiación:

El calor transferido es:

c r

c 1 2 r 1 2

c r 1 2

Q = Q + QQ = h A(T -T ) + h A(T -T )Q = (h + h )A(T -T )

3. Donde hc, es el coeficiente de transferencia de calor por convección

promedio entre el área A y el aire a una temperatura T2.

4. El coeficiente de transferencia de calor por radiación (hr) entre el área A

y T2 es:

4 4 2 2r 1 2 1 2 1 2 1 2h = (T - T )/(T - T )= (T - T )(T + T )es es

5. El coeficiente combinado de transferencia de calor se define:

h = hc + hr

6. Este coeficiente de transferencia, especifica el promedio de la razón de

flujo de calor total entre una superficie a un fluido adyacente y los

alrededores por unidad de área y por intervalos de temperatura entre la

superficie y el fluido.

28

7. Realizando el reemplazo de los valores de las variables se tiene

hr = 0.6x(5.67x10-8W/m2k4)(4232 + 2832 )(423 + 283)K3

hr = 6.221125W/m2k

h = hc + hr

h = 25 + 6.221125 = 31.22W/m2k

8. Por lo tanto la transferencia de calor por m es:

Q = Ah(Ttubo - Taire)= Ax31.22(150 - 10)W/m2K

q/A= 4.37KW (calor total)

9. El calor por convección:

qc/A= h(T - Tf)= 3.5KW/m2

10.Calor por radiación:

qr/A = £σ(T4 – Tf4 )= 0.6x5.67x10-8(4234 - 2834)

qr/A = 0.87KW/m2

Por tanto el porcentaje de perdida de calor por radiación respecto el

total de calor:

%Q = (0.87/4.37)x100 = 19.9%

11.Pérdida de calor por convección respecto el total de calor:

%Q = (3.5/4.37)x100= 80.1%

Problema N° 5

Un tanque Cilíndrico de oxigeno liquido (LOX, por sus siglas en ingles), tienesun diámetro de 4 pies, una longitud de 20 pies y extremos hemisféricos. Latemperatura de ebullición del LOX es de -29oF. Se busca un aislante quereduzca la razón de evaporación en estado estacionario a no más de m = 25lb/h. El calor de vaporización del LOX es de ΔHv = 92 Btu/lb. Si la temperaturaexterior del aislante es de 68oF Y el espesor de este no debe ser mayor a 3pulg, ¿Qué valor debería tener su conductividad térmica?

29

Solución.-


Figura N° 1.17 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior(aire)

Fuente: Elaboración propia, Ing, Alberto Emilio Panana Girio

2. Condiciones Según el problema, hay transferencia de calor por conducción. Asumiremos calor conductivo unidimensional en el tanque cilíndrico.

3. Datos:r1= 2pies ε = 3pulg = 0.25pies; ε = r2-r1 r2 = 2.25pies

K= ¿? m = 25lb/h hfg = 92Btu/lb T1= -29oF T2= 68oF

4. Cálculo de la cantidad de calorQK = m x hfg = (25lb/h)(1h/3600s) x (92Btu/lb)

QK = -0.63889 Btu/s

5. Determinación de la conductividad térmica K:

1 2 2 1

2 1 1 2

2 ( ) Ln (r /r )

Ln (r /r ) ( )

kL T T QQ k

L T T

-0.63889Btu/s n (2.25/2)

2 (20pies) (-29F -68F)

Lk

-6k = 6.1734 10 (Btu/s.pie.°F) x (3600s/h)

k = 0.0222 Btu/h.pie.°F

30

Problema N° 6

Una esfera de 2 in de diámetro, cuya superficie se mantiene a unatemperatura de 170°F, está suspendida en medio de un cuarto que está a70°F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15Btu/h.ft2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8. Determine:

a. La razón transferencia de calor desde la esfera.

b. La razón de transferencia de calor por unidad de área.

Solución.-

1. Diagrama de flujo:

Figura N° 1.18 Esfera sólida sometida a convección

Fuente: Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio

2. El flujo de calor transferido por conducción en la superficie de la esferaes igual al calor transferido por convección mas el calor por radiación

k c rQ Q Q

3. Cálculo del área de transferencia

2 2 2 24 4 (1/12) 8,7266 10A r pie

4. Cálculo del calor transferido por convección

2 22

( ) 15 8,7266 10 (170 70). .

130,4 /

c s S F

c

BtuQ hA T T pie F

h pie F

Q Btu h

5. Cálculo del calor transferido por radiación

31

4 4 8 2 4 42( ) 0,8 0,1714 10 8,7266 10 (630 530 )

9,408 /r alrQ A T T

Qr Btu h

6. Reemplazando en (2)El flujo de calor Qt y qt, son:

2 2 2

130,4 / 9,408 / 140,308 /

140,308 /1607,82

8,7266 10 .

t

tt

Q Btu h Btu h Btu h

Q Btu h Btuq

A pie h pie

En el Sistema Internacional:

241,1207 ; 5158, 2290 /tQ W q W m

Problema N° 7

El techo de una casa consta de una losa de concreto de t = 0,8 ft (pies) deespesor (k = 1,1 Btu/h.ft.°F) que tiene H = 25 ft de ancho y L = 35 ft de largo. Laemisividad de la superficie exterior del techo es ε = 0,8 y se estima que elcoeficiente de transferencia de calor por convección es h = 3,2 Btu/h.ft2.°F. Enuna noche clara de invierno se informa que el aire ambiental está a Tf = 50°F,en tanto que la temperatura del cielo nocturno para la transferencia de calor porradiación es Talrd =310 °R. Si la temperatura de la superficie interior del techoes T1 = 62°F, determine:

a. La temperatura de su superficie exterior.b. La razón de la pérdida de calor a través del mismo cuando se

alcanzan las condiciones estacionarias de operación.Solución.-


Figura N° 1.19 Techo de concreto, la superficie exterior sometido aconvección y radiación

Fuente: Elaboración propia, Ing ° Alberto Emilio Panana Girio

32

2. Cálculo del calor transferido

k c rQ Q Q

2.1 Determinación del área de transferencia

225 35 825A H L pie pie pie

2.2 Determinación del calor transferido por conducción:2

21 2

2

522. 1,1 825

. . 0,8

592143,75 1134,375

T T Btu TQ k A pie

t h pie F

Q T

2.3 Cálculo del calor transferido por convección:2

2 22

2

( ) 3,2 825 ( 510). .

2640 1346400 /

c s F

c

BtuQ hA T T pie T R

h pie F

Q T Btu h

2.4 Cálculo del calor transferido por radiación:4 4 8 4 4

2 2

42

( ) 0,8 0,1714 10 825 ( 310 )

0,00000113124 10447,2389

r alr

r

Q A T T T

Q T

2.5 Reemplazando en (2), se tiene:4

2 20,000001134 3774,375 1948990,9883 0T T

2.6 Resolviendo, la temperatura: T2 = 497,97 °R

3. El calor transferido

522 497,941,1 825

0,8

27293,06 /

k

k

Q

Q Btu h

1.8 Problemas propuestos

P1. Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que

toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a

800°C, es interceptada por la otra. La temperatura de esta última superficie

33

se mantiene a 250 °C. Calculese la transferencia de calor entre las

superficies por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene

a 800 °C.

P2. Una placa de metal está perfectamente aislada por una de sus caras y por

la otra absorbe el flujo radiante del sol de 700 W/m2. El coeficiente de

transferencia de calor por convección en la placa es 11 W/m2.°C y la

temperatura del ambiente 30 °C. Calcúlese la temperatura de la placa en

condiciones de equilibrio.

P3. Un cilindro de 3 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200

°C, mientras que una corriente de aire a 30 °C y con un coeficiente de

transferencia de calor de 180 W/m2.°C, le sopla transversalmente. Si la

emisividad de la superficie es 0,7. Calcúlese la perdida total de calor por

unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que esta colocado

el cilindro están a 10 °C. Comente sus cálculos.

P4. Se deja una plancha de 1000 W sobre una tabla de planchar con su base

expuesta al aire a 20 °C. El coeficiente de transferencia de calor por

convección entre la superficie de la base y el aire circundante es 35

W/m2.°C. Si la base tiene una emisividad de 0,6 y un área superficial de

0,02 m2, determine la temperatura de la base de la plancha.

P5. Una esfera de 2 pulgadas de diámetro, cuya superficie se mantiene a una

temperatura de 170 °F, está suspendida en medio de un cuarto que está a

70 °F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15

Btu/h.pie2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8, determine la razón total

de transferencia de calor desde la esfera.

P6 En el verano, las superficies interna y externa de una pared de 25 cm deespesor se encuentran a 27 °C y 44 °C, respectivamente. La superficieexterior intercambia calor por radiación con las superficies que la rodean a40°C, y por convección con el aire ambiente, también a 40 °C, con uncoeficiente de transferencia de 8 W/m2. °C. La radiación solar incide sobrela superficie a razón de 150 W/m2. Si tanto la emisividad como lacapacidad de absorción de la superficie exterior son 0,8, determine la

34

Conductividad térmica de la pared.

Figura N° 1.20 Superficie sólida sometido a convección y radiaciónFuente: Elaboración propia-Ing. Alberto Emilio Panana Girio

1.9 CIRCUITOS TERMOELÉCTRICOS

Para una pared plana simple cualquiera sometida a convección por una superficie(Izquierda) y a ( convección + radiación ) por la otra (derecha), tal como se muestraen la figura se tiene,

Figura N° 1.21 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido aconvección interior y convección y radiación exterior

Fuente: Elaboración propia. Ing Alberto E. Panana Girio

35

Figura N° 1.22 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido aconvección interior y convección y radiación exterior


Figura N° 1.23 Circuito térmico de un Superficie sólidas colocadas enserie y paralelo,y sus superficies sometidas aconvección


36

CAPITULO II TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

2.1 Conducción en estado estableSe llama estado estable, al caso de transferencia de calor en que el tiempono es un factor a considerar, la transferencia de calor en donde nointerviene el tiempo permite simplificar el análisis en cierta medida.

La ecuación principal para la conducción de estado estable con generacióninterna es la Ecuación de Poisson

2 0oqT

K (2.1)

La ecuación de Laplace se aplica para la conducción de estado estable singeneración de calor.

02 T (2.2)

Las dos ecuaciones se aplican a un medio isótropo, medio donde suspropiedades no varían con la dirección, se supone que las propiedadesfísicas también son independientes de la temperatura.

2.2Conducción en estado estacionario – Unidimensional – Sin generaciónSe considera la conducción del calor en estado estable a través desistemas simples en los que la temperatura y el flujo de calor sonfunciones de una sola coordenada. La ecuación diferencial gobernante es:

0nd dTx

dx dx

(2.3)

Donde:

n = 0 , para sistema de coordenadas rectangulares.

n = 1, para sistema de coordenadas cilíndricas

n = 2, para sistema de coordenadas esféricas.

2.2.1 Paredes planas

En el caso de una pared como la mostrada en la figura 2.1 se aplicala ecuación (1) con n = 0

37

00

dx

dTx

dx

d ………………….. (2.4)

La ecuación y condiciones de frontera que se deben satisfacer son:

Figura N° 2.1 Pared Plana, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor

Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Gario

1). 02

2

dx

Td …………….. (2.5)

2). C.F: 1 OOx TTT )()( x = 0 (2.6)

C.F: 2 LLx TTT )()( x = L (2.7)

3). La ecuación (2) se puede separar e integrar dos veces:

0

dx

dT

dx

d

1Cdx

dT ……………………. (2.8)

21)( CxCT x ………………(2.9)

4). Se evalúan las constantes de integración C1 y C2 aplicando las condicionesde frontera, con lo que se obtiene:

Para 0x 0TT

OTC 2 ……………………………….(2.10)

Para Lx LTT

38

01 TXCTL

L

TTC L 0

1

………………….. (2.11)

5). Sustituyendo los valores de C1 y C2 en la expresión (4), la distribución de latemperatura será:

00

)( TxL

TTT L

x

ó xL

TTTT L

x

0

0)( ………(2.12)

De acuerdo con la ecuación (7), la variación de la temperatura es lineal enuna pared bajo las condiciones específicas en la figura (1)

6). Se puede usar la ecuación de Fourier para determinar el flujo de calor eneste caso.

En forma escalar:dx

dTKAQx …………………. (2.13)

En estado estable Qx es constante, se puede separar e integrardirectamente esto es como:

0

L

o

TL

T

Qx dx KA dT= -ò ò

Lo que da: L ox

T TQ KAL

æ ö- ÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø(2.14)

La cantidad:, KAL

es la conductancia térmica (Ct ), para una placa o

pared plana.

Se llama resistencia térmica por conducción al reciprocó de laconductancia térmica.

Resistencia térmica = tL R

KA=

7. Si la conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con algunarelación lineal, como

TKK 10 ,

la ecuación resultante para el flujo de calor (integrando ecuación Fourier)

39

con Δx = L, se tiene:

2 202 1 2 12

K AQx T T T T

L

También se puede obtener:

2

1

2

1

( )

; 1

T

TTm T

T

K dTK Si K Ko T

dT

(2.15)

2

1

2

1

2 22 1 2 10

02 1

1 2T

Tm T

T

T T T TK T dtK K

T TdT

2 112m oK K T T

2 201 2 1 22

K AQx T T T T

L

(2.16)

1 2m

T TQ K A

L

Donde:

KO = conductividad térmica en T = 0

= constante llamada coeficiente por temperatura de laconductividad térmica.

1 2 1 20 1

2

T T T T TQx A K

LLAKm

(2.17)

Donde:

21 21

0

TTKKm , valor medio de la conductividad térmica.

Para una variación lineal de K con T, la conductividad térmica en aecuación (1) deberá ser evaluada a la media aritmética de la temperatura:

221 TT

40

2.2.2 Cilindros Huecos

Figura N° 2.2 Cilindro hueco, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo decalor

Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio

1. Para la conducción de calor de estado estable a través de una paredcilíndrica en la dirección radial, la ecuación de Laplace toma laforma.

0)(

dr

dTr

dr

d r (2.18)

2. Separando las variables e integrando se obtiene:r

C

dr

dT 1

Integrando nuevamente: 21)( CLnrCT r

3. Si el sistema y las condiciones de frontera son como se indica en lafigura o sea que:

CF:1 iri TT )( , irr (2.19)

CF: 2 0)0( TT r , 0rr

4. Entonces las constantes de integración C1 y C2 son:

1 2 0 1 0 2i iT C Lnr C T C Ln r C

1 2i O

i i iO

i

T TC C T C Ln r

rLn

r

(2.20)

41

02 /

ii i

o i

T TC T Ln r

Ln r r

5. Reemplazando las constantes C1 y C2 en la relación dada en (2) enla ecuación de )(rT (perfil de temperatura), será

0

/ /i o i

i io i o i

T T T TT Ln r T Ln r

Ln r r L n r r

0

0

ii

i

i

T T rT T Ln

r rLnr

(2.21)

6. La razón de flujo de calor, aplicando la ecuación de Fourier.

dr

dTKAQr

7. El área para un sistema cilíndrico es, 2A rL y el gradiente de

temperatura drdT , dado por el resultado de la primera integración.

r

C

dr

dT 1 ; Donde: 01

0

i

i

T TC

rLn

r

(2.22)

8. Reemplazando estos términos en la expresión de la razón del flujo decalor se tiene:

0

0

2/

ir

i

T TQ K L

Ln r r

(2.23)

00

2

/r ii

KLQ T T

Ln r r

Por lo tanto, la temperatura dentro de un cilindro hueco es unafunción logarítmica del radio r, mientras que una pared plana ladistribución de la temperatura es lineal.

Nota 1- En cilindros se tiene:

Que en algunas aplicaciones es útil tener la ecuación para laconducción del calor a través de una pared curva, en la mismaforma que la ecuación tal como:

42

AK

LT

TTL

AKQ i

0

Para obtener la ecuación de esta forma, se igualan estaecuación con la ecuación siguiente:

0

0

2

i

i

T TQ

rLn r

KL

Pero usando en la ecuación: io rrL , como el espesor de la pared del cilindro a través

del cual es conducido el calor.

Haciendo AA

Como 2

oo i

i

K A T KL Trr r Ln r

; 2 o i

o

i

r r LA

rLn r

Como rLA 2 yi

o

i

oA

Ar

r , A se puede expresar como:

o i

o

i

A AA

ALn A

(2.24)

A = área media logarítmica, entonces, la rapidez deconducción de calor a través de un cilindro hueco, se puedeexpresar como:

0i i o

o io i

o i

O

i

T T T TQ

r rr rA AK A K

ALn A

(2.25)

Nota 2: Para valores deiA

A0 < 2, el área media aritmética

2/io AA y el área media logarítmica defieren aproximadamente en

43

un 4%, por lo cual la primera puede usarse satisfactoriamente, paraparedes de mayor espesor, esta aproximación no es aceptable.

2.2.3 Esferas Huecas

Figura N° 2.3 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo decalor

Fuente: Elaboración Propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio

En el caso esférico, la forma unidimensional de la ecuación deLaplace para el flujo de calor es radial:

02

dr

dTr

dr

d ………………….. (2.26)

Separando las variables e integrando dos veces se obtiene:

21

r

C

dr

dT ………………….. (2.27)

21 C

r

CT ……………… (2.28)

Las condiciones aplicables de frontera para el caso esférico son:CF: 1 iri TT )( , irr …………. (2.29)

CF: 2 0)0( TT r , 0rr …………. (2.30)

Aplicando estas condiciones de frontera se obtiene las constantesde integración:

1 2

1 2

( / )

( / )i i

o o

T C r C

T C r C

44

oi

i

rr

TTC

110

1

→

io

i

rr

TTC

110

1

……. (2.31)

12 2

1 1i o

i oi i

i i

T T

r rCC T C T

r r

…….. (2.32)

Reemplazando las constantes en el perfil dado y despejando setiene que la distribución de temperaturas para este caso es:

0

0

1 1

1 1i

i i

i

r rT T T T

r r

(2.33)

La expresión para el flujo radial de calor en una capa esféricaes:

dr

dTKAQr

En donde 24 rA ydr

dT esta dado por:

12

CdT

dr r 2

11r

rr

TT

dr

dT

oi

oi

(2.34)

Sustituyendo Qr queda:

0

0

41 1r i

i

KQ T T

r r

00

0

4 ir i

i

KrrQ T T

r r

…………… . (2.35)

La resistencia térmica para una esfera hueca es:

0

04i

ti

r rRKr rp-= …………………….. (2.36)

Para determinar el calor evacuado a través de una esfera huecade radio interior r1 y radio exterior r2, calentada por un fluido TF1

45

de coeficiente de convección h1, a un medio exterior Tf2 concoeficiente de convección h2, se tendrá:

1 2

2 12 2

1 1 1 2 2 2

1 14 4 4

f fT TQ r r

r h r r K r hp p p

-=

-+ +(2.37)

1h = coeficiente de convección en el interior de la esfera

2h = coeficiente de convección en el exterior de la esfera

Resf = resistencia térmica de la esfera

2 1,e

2 1

R4t sf

r r

r r K

(2.38)

Para una esfera el radio crítico se puede determinar mediante:

h

KrC

2 (2.39)

2.2.4 Espesor Crítico de Aislante para una tubería

Figura N° 2.4 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujode calor

Fuente: Elaboración propia, Ing° Alberto Emilio Panana Girio

Considerar una capa de aislante, que podría instalarse alrededorde una tubería circular.

La temperatura interior del aislante se fija en iT y la superficieexterior esta expuesta a un medio de convención (fluido) a unatemperatura T

46

K = conductividad del aislante.

a. Circuito térmico

KL

rrL

R in

2

0

1

Lhr

R0

2 2

1

b. La transferencia de calor radial

oo

i

r

hrK

rrLn

TTLQ

1

2

0

1

Transformando esta expresión para determinar el radio extremodel aislante (r0), que hará máxima la transferencia de calor, escuando

00dr

dqr ; 1 2

0 0

0 0

1 12

0

1

r

i

o

L T TKr hrdQ

dr rLn r

K r h

c. Por tantoh

Kro = radio crítico de aislante. (2.40)

Respecto al radio critico se debe considere:

1. Si el radio externo es menor al valor expresado por la relación (radiocrítico), la transferencia de calor se incrementara adicionando másaislante.

2. Para radios externos mayores al valor crítico, un incremento en elespesor del aislante provocará una reducción en la transferencia decalor.

tQ

TC

R2

T2 T∞

R1

0

1 2

ni

rL rR

KL

2

0

1

2R

r Lh

47

3. Para los valores de h suficientemente pequeñas, la perdida de calor porconvección puede de realidad incrementarse con la adición del aislantedebido al incremento de área de superficie.

2.2.5 Coeficiente Total de Transferencia de Calor (U)

El flujo de calor a través de una configuración plana, cilíndrica es:

1total

total

Q UA T UR A

(2.41)

a. Para una pared plana

Figura N° 2.5 Pared plana compuesta con supeficies convectivas para evaluar elcoeficiente de convección global

Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio

Si la pared esta formado por n capas con fronteras conectivas lastemperaturas de los fluidos 1T y 3nT donde n =2 capas

)( 31 nTTUAQ

23 34

12 23 34 ( 2) ( 3)

11 1...

n n

U x xh K K h + + +

=D D+ + + +

(2.42)

b. Para un cilindro

El coeficiente global se puede expresa en función al área interna oen del área externa. Por ejemplo basado en área externa

48

)( 5144 TTAUQ ; LrA 44 2

Basado en el radio r4

Figura N° 2.6 Cilindro hueco compuesto con supeficies convectivas para evaluarel coeficiente de convección global


43 4

4 42 34

2 12 23 34 45

1

1n n

Ur rr L r Lr rr

r h K K h

= æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+ + +

(2.43)

2.2.6 Conducción a través de Materiales en paralelo

Figura N° 2.7 Pared plana colocados en paralelo para evaluar la transferencia decalor


49

Suponga que dos sólidos A y B se colocan uno junto al otro enparalelo y que la dirección del flujo de calor es perpendicular alplano de la superficie expuesta de cada sólido.

Entonces el flujo de calor total es la suma del flujo de calor através del sólido A, más el que pasa por B. Escribiendo laecuación de Fourier para cada sólido y sumando.

( ) ( )1 21 2 1 2

A Bt A B

K A K AQ Q Q T T T TL L

= + = - + - (2.44)

Circuito térmico

Resistencia A =1AK

LR

AA

Resistencia B =2AK

LR

BB

O sea:

1 2 1 2

1 1 A Bt

A B A B

R RQ T T T T

R R R R

1 2t

A B

A B

T TQ R RR R

-=

+

(2.45)

2.3Problemas Resueltos

Problema N° 1

Una placa grande de acero que tiene un espesor de L= 4pulg, conductividadtérmica K = 7.2 BTU/h.pie.ºF y una emisividad de ε = 0.6, esta tendida sobre elsuelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa en x = L intercambia calorpor convección con el aire ambiente que está a la temperatura de 90ºF, con un

Si: AA = AB

L

50

coeficiente promedio de transferencia de calor h = 12 BTU/h.pie2. ºF, así comopor radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura del cielo a 510 ºR. Asímismo la temperatura de la superficie superior de la placa es 75 ºF. Si sesupone una transferencia unidimensional de calor en estado estable.

a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera.b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella.c. Determine el valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa.

Solución:


Figura N° 2.8 Placa de acero con superficie exterior expuesta a convección yradiación


2. Datos:

ε = 0,6

3. Resolviendo las preguntas planteadas:

a. Hallando la ecuación diferencial y las condiciones de frontera.

La ecuación diferencial para el problema será:

Las condiciones de frontera son:

51

CF:CF:

b. Obteniendo una relación para la variación de la temperatura enla placa.

Primero hallamos las ecuaciones de calor de conducción,convección y radiación:

De la ecuación diferencial, separamos e integramos variables:

Hallamos las constantes de integración:

Hallando C1 de la ecuación (2):

Reemplazando las constantes de integración en la ecuación general,hallamos la distribución de la variación de temperatura en la placa:

c. Determinamos el valor de la temperatura en la superficie inferiorde la placa.

De la primera condición de frontera:

52

Reemplazamos estos datos en la ecuación (3):

Despejando T1:

Por último reemplazamos los datos del problema:

Así obtenemos el valor de la temperatura en la parte inferior de la placa:

4. Las respuestas respectivas son:

a. La ecuación diferencial y las condiciones de frontera son:

CF1:CF2:

b. La relación para la variación de la temperatura en ella.

c. El valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa.

PROBLEMA Nº2

Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una acontinuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Unextremo de la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuestoa T2 = 30º C. Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de caloralcanza el estado estacionario.

53

Figura N° 2.9 Barras planas colocados en serie, para evaluar la temperatura decontacto


Solución:

1. Con L1 = L2 = L (Longitudes de la barra de oro y de plata)2. Calculo de los calores transferidos por cada barra, según la ley de la

conducción de calor de Fourier:

3. Cuando se alcanza el estado estacionario estos dos valores son iguales:

4. Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valoresobtenidos de esta tabla:

PROBLEMA N° 3

Una pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de loscuales son de conductividad térmica conocida, KA = 20 W/mK y KC = 50W/mK yde espesor conocido LA= 0,30 m y LC = 0,15 m. El tercer material B, que se

54

intercala entre los materiales A y C, es de espesor conocido. LB = 0,15 m, perode conductividad térmica. Ka desconocida. En condiciones de operación deestado estable, las mediciones revelan una temperatura de la superficieexterna TS0 = 20ºC, una Temperatura de la superficie interna Tsi = 600ºC y unaT∞ = 800ºC. Se sabe que el coeficiente de convección interior h = 25W/m2K¿Cuál es el valor de KB?

Diagrama de flujo.-

Figura N° 2.10 Pared plana compuesta colocados en serie, conconductividad térnica del plano central desconocida


Datos.-

KA = 20w/mk KC = 50w/mk KB =?

LA = 0,3 m LB = 0, 15 m LC = 0, 15 m

TF = 800ºC Tsi = 600ºC Tso = 20ºC

Solución.-

1. La transferencia de calor a través del sistema mostrado en la figura, encondiciones estacionarias, unidireccional (dirección de las X), singeneración de calor, se tiene que :

conv a B cQ Q Q Q= = =

2. Por lo tanto se deduce que la transferencia de calor se puede determinarmediante la ecuación:

C

C

B

B

A

A

osFx

K

L

K

L

K

L

h

ttq

1,

55

BB

x

KK

CCq

15.0058.0

780

50

15.015.0

20

3.0

25

1º20º800

………………… ()

3.-La transferencia de calor a través del sistema es igual a lo que se transfierepor convección a la pared A: qConv = q x

wqC 5000)600800(25 …………………………………… ()

4. Igualamos () y () tenemos:

BK

15.0058.0

7805000

5. Operando en (4 ), se obtiene la conductividad térmica de BmkwK B /5306.1

Problema N° 4

Una pared plana grande, tiene un espesor de 0.35m; una de sus superficies semantiene a una temperatura de 35ºC mientras que la otra superficie esta a115ºC. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica delmaterial de que esta hecha la pared: así se sabe que a T = 0ºC, K = 26w/mk ya T = 100ºC, K = 32w/mk. Determine el flujo térmico que atraviesa la pared,suponiendo que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura.

Solución.-


Figura N° 2.11 Pared plana con conductividad térmica variable


2. Primera forma de solución:

56

i. La temperatura media de la pared.

mxm 175.02

35.0 , CTm º75

2

35115

ii. La conductividad térmica media se puede obtener interpolandolinealmente entre las dos temperaturas media.

0100

2632

075

26

mK , CmwKm º/5.30

iii. El flujo térmico a través de la pared.

0 (115 35)º30.5 / º

0 35x i

x m

Q T T Cq K w m C x

A e m

2/4285,6971 mwqx

3. Segunda forma de solución:

i. Suponiendo que K(T) varia linealmente de la forma: TKK 10

Reemplazando:

)0(126 0 K …………………… (1)

)100(132 0 K …………………… (2)

De (1) 260 K

ii. Reemplazando en (2) )1001(2632

31030769.2100/126

32

x

TxTK 31030769.2126)( ,

21 21

0

TTKKm

iii. Por tanto la conductividad térmica media es:

499.302

351151030769.2126 3

xKm

4. También se puede determinar mediante la relación:

57

dT

dTTKKm

)(;

35115

1030769.22626 3115

35

dTTxxKm

Cmw

xx

Km º/499.3080

351152

1030769.226)35115(26 22

3

PROBLEMA N°5

Una sección de pared compuesta con las dimensiones mostradas acontinuación se tiene temperaturas uniformes de 200ºC y 50ºC en lassuperficies izquierda y derecha respectivamente. Si las conductividadestérmicas de los materiales de la pared son:

KA = 70W/mK, KB = 60 w/mk, KC = 40 w/mk y KD = 20 w/mk. Determine larazón de transferencia de calor a través de esta sección de pared y lastemperaturas en las superficies de contacto.

Figura N° 2.12 Pared plana compuesta colocados en serie y en paralelo paraevaluar la transferencia de calor


Datos:

: AA = AD = 36 cm2 = 36 x10-4m2

AB = AC = 18 cm2 = 18 x10– 4m2

Solución:

1. Se tiene una pared compuesta que contiene resistencias térmicas enserie y paralelas, en este caso la resistencia de la capa intermedia (casoB y C) es:

58

CB

CB

RR

RRR

2

2. La razón de flujo de calor es:

n

imo

R

TQ

3

1

max

3. El circuito térmico para este sistema es:

CTTT DA º15050200max

4. Las resistencias térmicas son:

321

3

1

RRRRn

wkmxmkw

m

AK

XR

AA

A /079365.0)1036()/70(

02.0241

CB

CB

RR

RRR

2

wk

mxmk

wm

AK

XR

BB

BB /23148.0

101860

025.0

24

wk

mxmk

wm

AK

XR

CC

CC /34722.0

101840

025.0

24

wkx

R /13888.03787.0

080374.0

34722.023148.0

34722.023148.02

wkmxmkxw

m

AK

XR

DD

D /55555.01036/20

04.0243

59

13

1

773795.055555.013888.0079365.0

k

wRn

5. Reemplazando:

w

w

CC

Qx 849.193º

773795.0

º150

PROBLEMA N° 6

El vapor a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared a unatemperatura uniforme de 500K. El tubo está cubierto con una manta aislantecompuesta con dos materiales diferentes A y B

Figura N° 2.13 Cilindro hueco, con metrial aislante diferentes colocados enparalelo para evaluar la transferencia de calor


Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia decontacto infinita y que toda la superficie externa está expuesta al aire, parael cual y

a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes,marque todos los nodos y resistencias pertinentes.

b) Para las condiciones que se establecen. ¿Cuál es la pérdida total delcalor del tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externaTs,2(A) y Ts,2(B)?

Solución.-

1. El circuito térmico, de acuerdo al diagrama de flujo, es:

2. De la grafica de la conducción térmica tenemos

60

Q = QA + QB

3. Cálculo de las resistencias térmicas

4. Reemplazando valores tenemos

Problema N°7

Vapor con calidad del 98% fluye a una presión de 1,37. 105 N/m2, a unavelocidad de 1 m/s por un tubo de acero de 2,7 cm. de diámetro exterior y 2,1cm. de diámetro interior. El coeficiente de transferencia de calor en la superficieinterna donde ocurre condensación es de 567 w/m2k. Una película de grasa enla superficie interna añade una resistencia térmica unitaria de 0,18 m2k/w.Estime la razón de pérdida de calor por metro de longitud de tubo, si:

a. El tubo está descubierto.b. El tubo está recubierto con 1 capa de 5 cm. de 85% Mg en ambos

casos suponga que el coeficiente de transferencia de calor porconvección en la superficie externa es de 11 w/m2k y temperaturaambiente 21ºC. Evalué x; L = 3m.

Solución.-

61


Figura N° 2.14 Tubería aislada donde fluye vapor por su interior


2. De tablas de vapor saturado a P = 0,137 MPaCTr º6,108 kgmVF /0011,0 3 kgKJhF /3593,455

kgmVg /2687,1 3 kgKJhg /3471,2689

3. Cálculo de la entalpía de entrada)(1 FgF hhxhh

)3593,4553471,2689(98,03593,4551 h

3081,21893593,4551 h

kgKJh /6673,26441

4. Cálculo del volumen especifico a la entrada)(1 FgF VVxVV

)0011,02687,1(98,00011,01 V

2422,10011,01 V

kgmV /2433,1 31

5. Evaluación del flujo másico.Qm 1

1)(.. VAVm

32

2433,1

1)0105,0(

1

m

kgm

s

mm

62

mk

wKa 07788,0

mkwK C /27,43

skgm /10.78581,2 4

6. Cálculo de la entalpía de entrada

mhH .11 4

1 2644,6673 2,78581.10H

watts

KJH 8,7367368,01

7. Realizando un corte transversal se tiene en el siguiente Diagramade flujo:

8. Cálculo de la cantidad de calor, cuando el tubo está descubierto

TCV

aV

RharK

rrLn

hr

TT

L

Q

2

12

1 2

1

2

)/(

2

1

r2

18,0)11)(10.7,2(

1

)27,43(2

)1,2/7,2(

567)10.1,2(

122

Ln

TaT

L

Q V

m

w

L

Q7822,38

9. Cálculo de la entalpía de salida para un tubo de 3 m de largo

Si L = 3m → wattQ 3467,206

QHH 12 → 3467,2068,7362 H

wH 4533,5302

m

Hh 2

2 →skg

wh

/10.78581,2

4533,53042

63

Kg

KJh 1258,19042

Fg

F

hh

hhx

2 →3593,4553471,2689

3593,4551258,1904

x

%8551,64x

10.Cálculo de la cantidad de calor perdido para la tubería con aislante

TCV

V

RKa

rrLn

K

rrLn

hr

TaT

L

Q

2

)/(

2

)/(

2

1 2312

1

10e cm 3 2 2,7 5 7,7r r e cm

2 2

(108,6 21)º1 (2,7 / 2,1) (7,7 / 2,7) 1

0,18(2,1.10 )567 2 (43,21) 2 (0,07788) (7,7.10 )(11)

Q CLn LnL

32,14Q w

L m

11.Determinación de la entalpía de salida para la tubería con aislante y lacalidad del vapor a la salida

Si L = 3m → 96,4374Q w

QHH 12 → 2 736,8 96,4374 640,3625H W

2 640,3625H w

m

Hh 2

2 → 2 4

640,36252298,658199 /

2,78581.10 /

wh Kj kg

Kg s

Fg

F

hh

hhx

2 → 2381,5716 455,35930,8174

2689,3471 455,3593x

81,76%x

64

2.4PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1

La conductividad calorífica de una lámina aislante varía con la temperatura. Deacuerdo con la expresión:

1179,01035,3 4 Txk

Donde: T (k) y k (Kj/h.m.K).

Si el espesor de la lámina es de 0,10 m y las temperaturas a ambos lados de lamisma son 673 y 373 K respectivamente, calcular:

a) El flujo de calor a través de la lámina.b) La temperatura en un punto situado a 0,081 m del lado más frío.

Para las condiciones del sistema mostrado en la tabla, se produce unaconducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. Laconductividad térmica es 25 W/m.K y el espesor L = 0,5m. Determine lascantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente:

Caso T1 T2 dT / dC (K/m) qx (W/m2)

1 400K 300K

2 100ºC -250

3 80ºC 200

4 -5ºC 4000

5 30ºC -3000

PROBLEMA 2

La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de airecaliente sobre su superficie interna.

a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de unaventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del airecaliente int,T = 40ºC y su coeficiente de convección KmWh 2

int /30 yla temperatura del aire exterior extT , =-10ºC y su coeficiente deconvección KmWhext ./65 2

65

b) Evalúe cualitativamente la influencia de extT , y hext sobre lastemperaturas.Datos: KmWKakvidrio ./4,1)300(

Solución:

a) CTyCT ext º9,4º7,7int

b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar extT ,

PROBLEMA 3

En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala comosistema para desempeñar su superficie interior un elemento de calentamientoconsistente en una película transparente delgado con resistencias eléctricas. Alcalentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de caloruniforme en la superficie interna.

a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesariapara mantener la temperatura de la superficie interna a 15ºC cuando latemperatura del aire interior es CT º25int, y su coeficiente deconvección KmWh 2

int /10 . El aire exterior está en las mismascondiciones que en el problema anterior.

b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana.c) Evalúe cualitativamente la influencia de extT , y exth sobre la potencia

eléctrica.

Solución:

a) 2/27,1" mkWP elec

b) CText º1,11

c) elecP" aumenta al aumentar exth y disminuye al aumentar extT ,

PROBLEMA 4

Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero deyeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientesde transferencia de calor por convección son KmWhext ./60 2 y

KmWh 2int /30 . El área total de la superficie es de 350 m2.

Datos: Tablero de yeso: k (a 300K) = 0,17 W/m.K

Propiedades termo-físicas de la fibra de vidrio:

66

T (K) )/( 3mkg )./( KmWk

300 16 0,046

300 28 0,038

300 40 0,035

Tablero de madera contra placada: k (a 300 K) = 0,12 W/m.K.

Figura N° 2.15 Pared plana aislada y sometido a convección interior yexterior


a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de lapared incluyendo los efectos de convección.

b) Determine la pérdida de calor total de la pared.c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2.K,

¿Cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor?d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de

calor a través de la pared?

Solución: b. 4.214 W; c. 0, 45 %

c. La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la kmenor.

PROBLEMA N° 5

Una hielera cuyas dimensiones exteriores son: 30cm x 40cm x 40cm estáhecha de espuma de estireno ( ). Inicialmente la hielera está llena

con 40 Kg de hielo a 0 ºC y la temperatura de la superficie interior se puedetomar como 0 ºC en todo momento, el calor de fusión del hielo a 0 ºC es

y el aire ambiente circundante esta a 30°C. Descartando toda

67

transferencia de calor desde la base de 40cmx40cm de la hielera, determinecuanto tiempo transcurrirá para que el hielo que está dentro de ella se fundapor completo, si las superficies exteriores de la misma están a 8°C

Figura N° 2.16 Hielera sometida a convección tanto interior y exterior


PROBLEMA N° 6

La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso del airecaliente sobre su superficie interior.

a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de laventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del airecaliente 40 °C y su coeficiente de convección (esto en el

interior), y la temperatura del aire exterior es -10°C y su coeficiente deconvección es .

b) Evalúe cualitativamente la influencia de la temperatura del aire exterior yel coeficiente exterior sobre las temperaturas.

Figura N° 2.17 Ventana de vidrio sometida a convección interior y exterior


68

PROBLEMA N° 7

Considere el caso de la conducción estable unidimensional a través de unmaterial que tiene una sección transversal que disminuye linealmente desde elvalor, A0 en X = 0 hasta AL en X = L. Si su superficie lateral esta aislado y lastemperaturas en X = 0 y x = L son To y TL respectivamente. La conductividadtérmica del material es: K = K0 (1 + aT + b T2), donde K0, a y b son constantes.Determinar el flujo de calor.


Figura N° 2.18 Sólido de área y conductividad térmica variable


PROBLEMA N° 8

Un recipiente esférico de radio interior r1 = 2m, radio exterior r2 = 2,1 m yconductividad térmica k= 30 W/m. °C está lleno de agua con hielo a 0 °C.El recipiente está ganando calor por convección del aire circundante queestá a Tf = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 18W/m2. °C. Si se supone que la temperatura de la superficie interior delrecipiente es de 0 °C

a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para laconducción unidimensional y estable de calor a través del recipiente.b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en él,resolviendo la ecuación diferencial.

c. Evalúe la velocidad de la ganancia de calor del agua con hielo

69

CAPITULO III CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR (GeneraciónInterna de calor)

3.1 Generalidades

Entre las aplicaciones de la transferencia de calor se requiere realizar elanálisis en aquellos donde existe la generación o absorción de calordentro de un sistema, dentro de estos casos se puede encontrar en:

o Materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica.o En reactores nucleares.o Horno de Microondas.o Indústria de proceso químicos.o Proceso de combustión,o Esfuerzo térmico en el concreto durante su curado o secado, ya que

se genera calor en el proceso de curado, procurando que ocurrandiferencias de temperatura en la estructura.

En esta sección se considera estudiara a una pared plana, un cilindrosólido y esfera sólida, con fuentes de calor interna en forma uniforme:

3 3

3 3

Cantidad de energía.unidad de tiempo y unidadad de volumen

Cantidad de calor generado interno por unidadde tiempo ( ) ( / )

volumen del sólido

geno

gen

Q W Btuq om h pieV

Q W o BTU h

V m o pie

3.2 Pared Plana

Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño otemperatura constante igual a fT . Suponga que circula una corrienteeléctrica o través de la placa, provocando en esta una generación decalor uniforme º

ºq por unidad de tiempo y volumen.

El coeficiente de transferencia de calor por convección (h) en cada ladode la placa es el mismo, dando por resultado una temperatura (Tw )(temperatura de la pared) en ambos casos

Figura 3.1 – Pared Plana con generación de Calor Uniforme

Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio panana Girio

Para encontrar la distribuciónde temperatura en la placa,se debe conocer la EcuaciónDiferencial apropiada.

Haciendo un balance deenergía en la placa deespesor (dx) y ÁreaTransversal (A)

70

1. xx gen x dx x

dQQ Q Q Q dx

dx (3.1)

2. AdxqQgenº0 (3.2)

3. Reemplazando en 3:

dxdx

TdKA

dx

dTKAAdxq

dx

dTKA

2

2ªª (3.3)

4. Simplificando: 0ºº

2

2

K

q

dx

Td Ecuación diferencial de 2do orden (3.4)

5. Condiciones de Frontera:

CF: 1 x=0 0dx

dT (3.5)

También se tiene que LAqdx

dTKA Lx 2

21 º

º

LAqdx

dTKA Lx 2

21 º

º

CF: 2 x=L T=Tw

x=-L T=Tw (3.6)

Estas ecuaciones expresan el hecho de que la distribución de temperaturaes simétrica con respecto al eje y (x=0).

6. De la ecuación 4, separando variables e integrando se obtiene:

1

.oq xdTC

dx K (3.7)

7. Separando variables e integrando nuevamenteº 2º

( ) 1 22x

q xT C x C

K

8. Aplicando la CF:1 01 C (3.8)9. Con la CF:2

º 2º

2

.

2

q LC Tw

K (3.9)

10.Reemplazando en )( xT , 1,C y 2C y Simplificando se tiene

22ºº

)( 2xL

K

qTwT x (Distribución de temperatura) (3.10)

11.La temperatura en el centro, se puede determinar en x=0 por lo tanto T=Tc

71

Reemplazando esta condición en en la distribución de temperatura se

obtiene: max2

ºº

2TL

K

qTwTc (3.11)

12.El flujo de calor se obtiene a partir de la ecuación de Fourier

x

dTq K

dx

.ox L

q LdT

dx K (3.12)

( / )x x L oq K q L K

x x L oq q L (3.13)

De igual forma la cantidad de calor se conduce para el otro lado, en x= -L

3.3 CILINDRO SÓLIDO

Figura 3.2 Cilindro sólido con generación interna de Calor Uniforme

Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio

rLA 2 LrV 2 , 2dV rLdr (3.14)

3.3.1 Se determinará la ecuación diferencial que describe la distribución detemperaturas, haciendo un balance de energía en una cáscara cilíndricade espesor (dr)

drQdr

dQQQQ rrdrrgenr (3.15)

1. Reemplazando los valores de calor en la ecuación anterior

2. ºº2 2 2 2

dT dT d dTK rL q rLdr K rL K L r dr

dr dr dr dr

00

K

rq

dr

dTr

dr

d (3.16)

Sea el cilindro sólido de longitud L,que tiene una perdida de calordespreciable en los extremos, de K=cte, con generación interna de calor,la superficie exterior del cilindro semantiene a una temperatura Tw(conocida)

72

3. Las condiciones de frontera para resolver la ecuación (16), son :

CF: 1 r=r0 T=Tw (3.17)

CF: 2 r=0 0dr

dT (simetría) (3.18)

4. Separando variables e integrando la ecuación N° 3.16, se tiene

1

2ºº

2C

K

rq

dr

dTr

r

C

K

rq

dr

dT 1ºº

2 (3.19)

Separando variable e integrando nuevamente (19)

21

2ºº

4CrLC

K

rqT n (3.20)

5. Las constantes de integración se evalúan con las condiciones defrontera, con la CF:2,

C1 = 0 (3.21)

6. Con la primera condición de fronteraº 2

24o oq r

Tw CK

º 2

02 4

oq rC Tw

K (3.22)

7. Reemplazando en (3.20), los valores de las constantes C1 y C2, ysimplificando, se obtiene la distribución de temperatura

K

rqTw

K

rqT

44

20

ºº

2ºº

º2 2º

04

qT Tw r r

K (3.23)

La temperatura máxima o el centro, para r = 0 y T = Tmáx

º 2º 0

max 4q rTc T Tw

K= = + (3.24)

3.3.2 Cálculo del flujo de Calor

dr

dTKq rorr Como:

K

rq

dr

dTror 2

00 (3.25)

Reemplazando se tiene

0 0 0 0

2 2r ro r r ro

q r q rq K q

K

(3.26)

73

3.4 ESFERA SÓLIDA

Figura 3.3 Esfera sólida con generación interna de Calor Uniforme


3

3

4rV , 24dV r dr 24A r (3.27)

3.4.1 Se formulara la ecuación diferencial para lo cual se realizara unbalance de energía en la cáscara esférica de espesor (dr)

r gen r r

dQ Q Q Q dr

dr (3.28)

genQ Calor generado por unidad de tiempo en la cáscara esférica deespesor dr y por área de la superficie 24 r y representa unincremento de energía de volumen 24gen oQ q r dr

1. Reemplazando las cantidades de calor en el balance anterior

2 º 2 2 2º4 4 4 4

dT dT d dTK r q r dr K r K r dr

dr dr dr dr

(3.29)

2. Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial gobernante

: 002

2

K

qr

dr

dTr

dr

d (3.30)

3. Esta ecuación diferencial es de segundo orden, requiere dos condicioneslimítrofes para obtener su solución

CF: 1 r = r0 T = Tw (3.31)

4. Debido a que ( 0q ) es uniforme a través de la esfera y Tw es constantesobre toda la superficie exterior de la esfera, es de esperar que ladistribución de temperatura sea simétrica con respecto al centro de laesfera, por tanto la otra condición de frontera es:

CF: 2 r = 0 0dr

dT (3.32)

Considerar una esfera sólida conuna fuente de calor distribuida,(qo) uniformemente, de K=constante y su superficie a unatePperatura constante Tw.

74

5. Separando variable (30) e integrando, se tiene:

1

3ºº2

3C

K

rq

dr

dTr

21

ºº

3 r

C

K

rq

dr

dT (3.33)

6. Separando variables de nuevo o integrando la relación anterior:

21

2ºº

6C

r

C

K

rqT (3.34)

7. Aplicando la segunda condición en la frontera, a la ecuación (34)

100 C 01 C (3.35)

O sea 2

2ºº

6C

K

rqT

8. Aplicando la primera condición de frontera:º 2º

26oq r

Tw CK

→º 2º

2 6oq r

C TwK

(3.36)

9. Reemplazando los valores C1 y C2 en (3 5 ), se tiene:

º

2 2º06

qT Tw r r

K (3.37)

10. Se puede determinar la temperatura Tc en el centro de la esfera (r=o)2º

º max6

oq rTc Tw T

K (3.38)

3.4.2 Flujo de calor

dx

dTKqr

K

rq

dx

dTror 3

00 (3.39)

0 0 0 0

3 3r

q r q rq K

K

(3.40)

3.5 DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA PARED

NOTA 1.- Puede suceder que algunos problemas no se conozca Tw, pero encambio, º

ºq , h y Tf (temperatura de fluido), son conocidas. En estadoestacionario, todo el calor generado en el sólido se debe transmitirpor convección hacia fuera al fluido que lo rodea (si no fuera así, setendría un crecimiento de la energía en el sólido, que daría porresultado un incremento de la energía interna del material queposteriormente requeriría un cambio de temperatura con respecto al

75

tiempo), se puede determinar Tw para las tres geometrías en laforma siguiente, si el coeficiente de transferencia de calor (h) esuniforme:

( )superficie.gen o W fQ q V h S T T°= = - (3.41)

Donde:

V= Volumen de todo el cuerpo

Superficie = área de la superficie del cuerpo que transfiere calor porconvección al fluido que se encuentra fT

3.5.1 PARED PLANA DE ESPESOR 2L

Calor total generado en la pared Qgen = . .2oq A L

Calor que transfiere por convección la pared al fluido que lo rodea

.2 . w fQc h A T T , por tanto se tiene:

. .2 .2 .o w fq A L h A T T

fw Th

LqT

ºº (3.42)

3.5.2 CILINDRO DE LONGITUD (L) Y RADIO ( 0r ), donde 0rL

Calor total generado en el cilindro sólido ,Qgen Lrq 2

0ºº

Calor transferido por convección del cilindro al fluido que lo rodea

0.2 . . . w fQc h r L T T

Igualando estas expresiones

º 2º 0 02 w fq r L hL r T T

fw Th

rqT

20

ºº (3.43)

3.5.3 ESFERA SOLIDA (de radio 0r )

Energía total generado en la esfera, Qgen3

0ºº

ºº 3

4rqVq

(3.44)

Calor que transfiere por convección la esfera al fluido que lo rodea

76

20.4 . w fQc h r T T

Igualando estas expresiones

º 3 2º 0 0

44

3 w fq r h r T T

(3.45)

fw Th

rqT

30

ºº (3.46)

Se puede afirmar que:

1. Para la esfera y el cilindro, siempre ocurre la temperatura máxima en elcentro de simetría, si la fuente de calor es uniforme y el coeficiente (h)es constante de toda la superficie.

2. Para una pared plana con una fuente de calor uniforme la temperaturamáxima ocurre en el plano central solamente si los coeficientesconectivos y las temperaturas ambientales son iguales por ambas caras.

3.6 PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

1. Una varilla cilíndrica larga, de 200 mm de diámetro y conductividad térmicade 0,5 W/m.k, experimenta una generación volumétrica uniforme de calorde 24000 W/m3. La varilla está encapsulada en una manga circular quetiene un diámetro externo de 400 mm y una conductividad térmica de 4W/m. K. La superficie externa de la manga se expone a un flujo de airecruzado a 27 ºC con un coeficiente de convección de 25 W/m2.Ka. Realizar el circuito térmico.b. Encuentre la temperatura en la interfaz entre la varilla y la manga y en la

superficie externa.c. ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla?

Solución:

1. Para resolver el problema se harán algunas suposiciones:La conducción en la varilla y la manga es radial unidimensionalCondiciones de estado estable.La varilla presenta generación volumétrica uniforme.La resistencia de contacto entre la varilla y la manga es despreciable.

2. El circuito térmico para la manga.

77

3. El calor generado por unidad de longitud y tiempo es:

mWmxx

mWDEq

221

gen 0.754420.0000,244'' 3

oq

4. La resistencia térmica por conducción a través de la manga

( )2

1 2S

ln 400ln 20R' 2.758 10 .2 2 4 .

rr kx m WWk xs m Kp p

-

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= = =

5. Resistencia térmica por convección

2conv

2 2

1 1R 3.183 10 .25 . 0.400

kx m WWh Dm Kx x m

pp

-= = =

6. Cálculo de la cantidad de calor a través del sistema ( de la temperaturainterior y la temperatura exterior de la manga, es

( )( )3

221

0 10

0

24,0000.100

71.8º4 4 0.5 .

192º

r

Wm mq rT T T CWK x m K

T C

= = + = +

=

( )( )2 2

1

1

1

q' ' '.27º 754 2.758 10 3.183 10

71.8º

s convT T R RW K mT C x xm W

T C

- -

¥= + +

= + +

=

CWKmxxm

WCRTT conv º0.51.10183.3754º27'' 22

q

7. Cálculo de la temperatura del centro de la varilla:

CC

KmWx

mmW

TK

rqTT

r

º192º8.71

.5.04

100.0000,24

4

23

1

21

00

T(0) = 192 °C

78

PROBLEMA 2

Un muro de espesor 2L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·Kexperimenta una generación volumétrica de calor qo,(W/m

3) mientras está

sometido a un proceso de convección en sus dos superficies (x = -L, x = L) conun fluido a temperatura Tf = 20 ºC. En condiciones de estado estacionario ladistribución de temperaturas en el muro es de la forma T(x) = a + bx + cx2,siendo a = 82 ºC, b = -210 ºC/m y c = -2·104 ºC/m2. El origen de coordenadasse encuentra en el plano medio del muro.

a) Calcular el valor de la generación volumétrica de calor qo

b) Calcular los valores de los flujos de calor en las dos superficies del muro,

y .

c) ¿Cómo están relacionados estos flujos de calor con la generaciónvolumétrica de calor en el interior del muro?

Solución:


Figura 3.4 Pared sólida con generación interna de Calor Uniforme


2. Se tiene que la ecuación diferencial gobernantes:

2

2 0od Tk qdx

+ =

3. obtiene al resolver la ecuación de calor la ecuación anterior separandovariables e integrando dos veces:

79

4. Al comparar de (3) con la ecuación del enunciado: T(x) = a + bx + cx2

Se tiene que:

°C/m2

5. Despejando: qo=2x105W/m3

6. Aplicando la ley de Fourier en los dos extremos de la pared:

7. Toda la energía generada en la pared ha de salir por las dos superficies

PROBLEMA 3

Considere un alambre largo usado como resistencia con radio r1 = 0,3 cm yconductividad térmica kalambre = 18 W/m. °C en el cual se genera calor demanera uniforme a una razón constante de qo = 1,5 W/cm3, como resultado delcalentamiento por resistencia. El alambre está recubierto con una capa gruesade plástico de 0,4 cm de espesor, cuya conductividad térmica es kplástico = 1,8W/m. °C. La superficie exterior de la cubierta de plástico pierde calor porconvección hacia el aire ambiente que está a Tf = 25 °C, con un coeficientecombinado promedio de transferencia de calor de h = 14 W/m2. °C Al suponeruna transferencia unidimensional de calor, determine en condicionesestacionarias:

a. La temperatura en el centro del alambre.b. La temperatura en la inter-fase alambre – capa de plástico.c. La temperatura superficial del plástico

Solución.-


80

Figura 3.5 Alambre cilíndrico aislado sólida con generación interna de CalorUniforme


2. Sea:Tc = temperatura en el centro del alambre

Ts = Temperatura en la interfase alambre – plástico

Tp = temperatura superficial del plástico

K1 = conductividad térmica del alambre

K2 = conductividad térmica del plástico

T´ = temperatura en función del radio para el alambre

T´´= temperatura en función del radio para el plástico

3. Cálculos en el alambre

3.1 Ecuación diferencial de conducción de calor con generación interna decalor

1 constanteoqd dT

r kr dr dr k

3.2 Separando variables e integrando dos veces, se tiene

1

2

1 2

+2

T´=4

o

o

q r CdT

dr k r

q rC Lnr C

k

3.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración

1

:1 0 0

: 2

dTCF r

drCF r r T Ts

81

3.4 Evaluando se tiene;2

11 2

1

0 ;4oq r

C C Tsk

3.5 Distribución de temperatura para el alambre

2 21

1

´4

oqT Ts r r

k (i)

4 Cálculos en el plástico4,1 Ecuación diferencial de conducción de calor a través del plástico

0d dT

rdr dr

4.2 Separando e integrando dos veces3

3 4 ; T´=CdT

C Lnr Cdr r

4.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración

1

2

: 3 T

´: 4 -k ´ f

CF r r Ts

dTCF r r h T T

dr

4.4 Evaluando las constantes se tiene:

4 3 1 32 2

1 2

fT TsC Ts C Lnr C

r kLn

r hr

4.5 Reemplazando y simplificando se tiene la siguiente distribución detemperaturas

12 2

1 2

´́ (ii)fT Ts rT Ts Ln

r k rLnr hr

5 En la interface alambre - plástico la cantidad de calor intercambiado

11 1 2 gen

´ ´́ =Q

r r

dT dTk r k

dr dr

6. El calor generado en el alambre es igual al que se conduce a lasuperficie del mismo, igual al que se conduce a través del plástico y esigual al transferido por convección al fluido.

82

1

2 1

1 2

´́ ´́ 1 ;

2f so

p

T Tq r dT dTk

r kpdr dr rLnr hr

7. Reemplazando y despejando, Ts

21 2

1 22po

s fp

kq r rT Ln T

k r hr

8. Calculo de la temperatura de la Inter-fase (Ts)

261,5 10 0,003 0,7 1,825

4 1,8 0,3 14 0,007sT Ln

97,0549 97,1sT C

9. Cálculo de la temperatura en el centro, Tc

6

21,5 1097,1 0,003

4 1897,28 97,3

c

c

T

T C

10. Cálculo de la temperatura superficial, Tp, de la relación (ii)

25 97,1 0,797,1

0,7 1,8 0,30,3 14 0.007

93,92

p

p

T LnLn

T C

PROBLEMA Nº 04

Una placa plana cuyo espesor es 10 cm. genera calor a razón de 30000 3mw ,

cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de ella, una de las carasde la pared esta aislada y la otra esta expuesta al aire con temperatura de25ºC. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el aire y lasuperficie de la placa es h = 50

Kmw

2 , y la conductividad térmica del material

K= mKw3 . Determine:

a) El perfil de temperatura en función de la distancia x.b) La temperatura máxima de la pared.

83

Solución:

1. Diagrama De flujo

Figura 3.6 Pared con superficies una aislada y otra expuesto a un fluido congeneración interna de Calor Uniforme


1. Ecuación diferencial gobernante

0ºº

2

2

K

q

dr

Td

2. Separando variables e integrando 2 veces

º º2º º

1 1 2 ;2

q qdT x C T x C x Cdx K K= - + = - + + ;

Las constantes 1C y 2C evaluadas a la C.F

CF: 1 x=0 0dx

dT

CF: 2 x=L x L x

dTK h T T

dx

3. Los valores de las constantes son:01 C

hThTdx

dTK

LxLx

x)(

2( ) 2 ;

2x Lx L

o ox

q qdTL T L C

dx k k

Reemplazando las relaciones en la condición de frontera ysimplificando

84

222

o oq qK L h L C hT

k k

22

2

21

2 2o o oq L q q L k

C T L Th k k hL

4. El perfil de temperatura (Reemplazando 1C y 2C )

hL

k

L

x

k

qLTT

21

2

22

5. Operando las cantidades en el perfil y simplificando

1.05032

1.011.0

3230000

252

2

x

xx

xT

25000135 xT Distribución de temperatura

6. La maxT estará cuando 0dx

dT

5000(2 ) 0dT

xdx

, estará en, x = 0

7. max max135 5000(0) 135T T

PROBLEMA 5

Dos Grandes placas de acero a 90ºC y 70ºC están separadas por una barra deacero de 0.3 m de largo y 2.5 cm de diámetro. La barra está soldada en cadaplaca. El espacio entre las placas se rellena de aislante que también aisla lacircunferencia de la varilla. Debido al diferencial de voltaje entre ambas, fluyecorriente a través de la barra, y se disipa energía eléctrica a razón de 12 W.Calcule:

a. La temperatura máxima en la barra y la razón de flujo de calor en cadaextremo.

b. Verifique los resultados comparando la razón neta del flujo de calor enambos extremos con la razón total de generación de calor.

Dato: Conductividad del acero Kacero=14.4 W/mºC .

85

Figura 3.7 Barra de acero conectada a placas en sus extremos, con susuperficie aislada y con generación interna de CalorUniforme


Solución:

1. Cálculo del calor generado por unidad de volumen y por unidad detiempo xVqQgen 0

³4

3.0²025.012 0 m

xxqw

³/33086.814870 mwq


0²

² 0 K

q

dx

Td

3. Separando variables e integrando 2 veces:

10 Cx

K

q

dx

dT

210

2

²CxC

K

xqT ……………… ()

4. Condición de frontera

C.F.1. x = 0 T = T1 = 70ºC C2 = T1 = 70ºC

C.F.2. x = L = 0.3 T = T2 = 90ºC

110

2 2

²TLC

K

LqT

86

( ) 02 1

02 11 1

. ²2

2

q LT T q LT TKC CL L K

- - -= = -

Reemplazando C1 y C2 en ()

10120

2

.².

2Tx

K

Lq

L

TTx

K

qT

1120 ²

2Tx

L

TTLxx

K

qT

70

3.0

7090

4.142

3.0²33086.81487

xxx

T

70493029.915²42121.2829 xxT

5. La temperatura máxima se encuentra cuando x = 0.1617 por la condición

0dx

dT 0493029.9154212.28292 2 xdx

dT

1617.0x

701617.04930298.915²1617.042121.2829 máxT

CTmáx º05.144

6. Flujo de calor

dx

dTKq

A

Qx

x

Para X=0.3

3.03.0|

xxx dx

dTKq ……………… (β)

Cmwx

mxmw

m

CC

Cmw

mxmw

dx

dT

x º/4.142

3.0/33086.81487

3.0

º70º90

º/4.14

3.0/33086.81487 33

3.0

m

C

dx

dT

x

º1596.782

3.0

7. Remplazando en (β)

87

m

Cx

Cm

wq xx

º1596.782

º4.14| 3.0

²/0996.11263| 3.0 mwq xx

8. Calculo del flujo de calor

xAqQ xxxx 3.03.0 ||

²²025.04²

0996.11263| 3.0 mxxm

wQ xx

wQ xx 52876.5| 3.0

9. Para X=0

00|

xxx dx

dTKq ……………… (γ)

K

Lq

L

TT

K

xq

dx

dT

x 2

.0120

0

Cmwx

mxmw

m

CC

dx

dT

x º/4.142

3.0³/33086.81487

3.0

º70º90

0

m

C

dx

dT

x

º493020.915

0

10.Reemplazando en (γ)

m

Cx

Cm

wq xx

º493020.915

º4.14| 0

²/099.13183| 0 mwq xx

11.Calculando el Flujo de Calor

AqQ xxxx .|| 00

²025.0.

4.

²099.13183| 0

m

wQ xx

wQ xx 47123.6| 0

12.Flujo de calor neto

88

|||||| 03.0 xxxxx QQQ

|47123.6||52876.5| wwQx

wQx 999.11

13.Comparando el flujo de calor total con el flujo de calor por generación

genx QQ

ww 12999.11

PROBLEMA Nº 06

Un cilindro sólido con generación interna de calor uniforme de 2 cm. dediámetro, sus extremos se encuentran a las temperaturas siguientes en 01 x

CT º4001 y en mx 32 CT º02 su superficie exterior se encuentra aislada, la

conductividad térmica del cilindro es 100 wKw , si su temperatura máxima se

alcanza a mx 8.0 del extremo inicial, determinar:

a) La temperatura máxima.b) La generación interna de calor.c) Los flujos de calor en 0x y mx 3 .d) Realizar un diagrama )(vsT longitud del cilindro.

Solución:


Figura 3.8 Cilindro sólida con generación interna de Calor Uniforme, consuperficie aislada


89

2. Ecuación diferencial gobernante Sistema Unidimensional congeneración de calor

0ºº

2

2

K

q

dx

Td

3. Separando variable e integrando

1

ºº Cx

K

q

dx

dT (2)

4. Separando variables e integrando nuevamente, de ( 2 )º

21 22

oqT x C x C

K (3)

5. Las constantes 1C y 2C se pueden evaluar para las condiciones defrontera.

CF: 1 x1=0 CT º401

CF: 2 x1=3 CT º02

6. Reemplazando los CF se tiene se halla C1 y C2;

CC º4002

º º2

1 2 1

º

1

90 3 400

2 2 100

9133,333 0,015 133,3333

3 200

o o

oo

q qx C x C C

K

qC q

7. Reemplazando 1C y 2C en T Ecuación ( 3 )

2 0.015 133.333 4002(100)

oo

qT x q x

Perfil de Temperatura

8. La temperatura máxima (Tmax), se encuentra cuando mx 8.0 , por la

condición de máximo: 0.8| 0x

dT

dx

8.1 Hallamos:dx

dT de la ecuación 6. se tiene

333.133º00158.0100

º0 q

q

90

357.19047ºm

wq

8.2 max x=0.8T

2

max

19047.57T 0.8 [0.015(19047,57) 133,333]0.8 400

2 100

Cº95.460Tmax

9. Calculo del flujo de calor en 0x y 3x

9.1 00 xx dx

dTKAQ

º0.015 º 133.333

100

dT qx q

dx

2º0.015 º 133.333 ( )

100 4x

q DQ K x q

2º

0.015 º 133.333100 4x

Kq DQ x K q K

9.2 Con x=0

2

0 0

(0.02)100 0.015 19047.57 133.333 100 ; 4.787

4x xQ Q

2

3

100(19047.57) (0.02)100 0.015 19047.57 133.333 100

100 4xQ

16.133xQ

10.Comprobación

0 3 17.947 19047.57 0.02 3 17.954o x x oq V q q q V

11. Datos para la Grafica T(vs)xT 400 460.95 0

X 0 0.5 0.8 1 1.5 2 2.5 3

91

Problema N°7

Un cable eléctrico de 1,4 m de largo y 0,2 cm de diámetro es extendido através de una habitación que se mantiene a 20°C. En el cable se genera calorcomo resultado de la disipación de la energía eléctrica, al medirse latemperatura de la superficie del cable, resulta ser de 240°C, en condiciones deoperación estacionaria. Asimismo al medirse el voltaje y la corriente eléctricaen el cable, resulta ser de 110 V y 3 A, respectivamente. Si se ignora cualquiertransferencia de calor por radiación, determine:

a. El coeficiente de transferencia de calor por convección para latransferencia de calor entre la superficie externa del cable y el aire dela habitación. Si el cable es de cobre de k=401W/mK cual es sutemperatura en el centro.

Diagrama de flujo:

Figura 3.9 Cable eléctrico con generación interna de Calor Uniforme


Solucion.-

1. Ecuación diferencial gobernante:

20

20

qT

kr

2. Separando variables e integrando dos veces, se tiene

0 1

20

1 2

2

4

q r CdT

dx k r

q rT C Lnr C

k

3. Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración

92

0:1

: 2 0 0

SCF r r T T

dTCF r

dr

4. Evaluando las constantes de integración

1

20 0

2

0

4S

C

q rC T

k

5. Reemplazando las constantes de integración se tiene la distribución detemperaturas, y evaluando la temperatura en el centro, se tiene:

2 200

200

( )4

Cuando: 0 ; la temperatura en el centro es:

4

S

C

C S

qT T r r

kr T T

qT T r

k

6. Por balance de energía

20 0 0

0 0 0 0

2 ( )

( )2 2( )

gen K C S f

S fS f

Q Q Q q r L h r L T T

q r q rh T T h

T T

7. Cálculo de la cantidad de calor generado interno por unidad de volumen yunidad de tiempo

0 2 2

30

. 110 3 330

330 330

(0.001 ) 1.4

75030012.01

P V I W V voltaje

P W Wq V volumen

V r L m m

Wqm

8. Cálculo de la temperatura en el centro y el coeficiente de transferencia decalor por convección

2

2

75030012.01240 (0.001)

4240.0467768

75030012.01 0.001170.4865

2(240 20)

C

C

T

T C

Whm C

93

3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS

P.3.7.1 En un reactor nuclear, barras cilíndricas de uranio de 1 cm de diámetro,enfriadas por agua desde fuera, sirven como combustible. El calor segenera uniformemente en las barras (k= 29,5 W/m.°C) a razón de 4x107

W/m3. Si la temperatura de La superficie exterior de las barras es 220 °C,determine la temperatura en su centro.

P3.7..2 Una resistencia eléctrica de alambre de 2 kW y 6 m de largo está hechade acero inoxidable de 0,2 cm de diámetro (k=15,1 W/m.°C) La resistenciade alambre opera en un medio ambiente a 20 °C. con un coeficiente detransferencia de calor de 175 W/m2.°C en la superficie exterior. Determinela temperatura superficial del alambre:

a. Usando una relación aplicable.

b. Planteando la ecuación diferencial apropiada y resolviéndola.

P.3.7.3 Considere una pieza esférica homogénea de material radiactivo deradio ro = 0,04 m que está generando calor a una razón constante de qo =4x107 W/m3. El calor generado se disipa hacia el medio estacionario. Lasuperficie exterior de la esfera se mantiene a una temperatura uniformede 80 °C. y la conductividad térmica de la esfera es k = 15 W/m.°C. Si sesupone una transferencia de calor unidimensional en estado estacionario.

a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para laconducción de calor a través de la esfera.

b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella,resolviendo la ecuación diferencial.

c. Determine la temperatura en el centro de la misma.

P.3.7.4 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a unentorno convectivo con h = 5000 W/m2.°C y Tf = 100 °C. ¿Qué corrienteeléctrica debe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centrosea de 150 °C.?. K = 324 W/m.°C

P3.7.5 Considere un muro blindado para un reactor nuclear. El muro recibe unflujo de rayos gamma de modo que dentro del muro se genera calor deacuerdo con la relación : q = qo e-ax , donde qo es la generación de caloren la cara interna del muro expuesto al flujo de rayos gamma y (a), es unaconstante. Utilizando esta relación para la generación de calor, obténgaseuna expresión para la distribución de temperatura en una pared deespesor (L), donde las temperaturas interior y exterior se mantienen a Ti y

94

To respectivamente. Obténgase también una expresión para latemperatura máxima de la pared. Y el flujo de calor en la superficie.

P3.7.6 Un reactor nuclear de altas temperaturas enfriado por gas consiste enuna pared cilíndrica compuesta, en la cual un elemento de combustible detorio (k=57 W/m.K), se encapsula en grafito (k= 3 W/m.K) y para la cualfluye helio gaseoso por un canal anular de enfriamiento. Considerecondiciones para las que la temperatura del helio es Tf = 600 K y elcoeficiente de convección en la superficie externa del grafito es h = 2000W/m2.K.

Si se genera energía térmica de manera uniforme en el elemento decombustible a una rapidez qo = 108 W/m3. ¿Cuáles son las temperaturasT1 y T2 en las superficies interna y externa respectivamente del elementode combustible?

Figura 3.10 Corte transversal del elemento cilíndrico de un reactor nuclearcon generación interna de Calor Uniforme


P3.7.7 El siguiente sistema esta compuesto por tres planos generadores decalor, un extremo se encuentra aislado perfectamente.

a) Calcular el

Aq en el extremo libre

b) Encontrar las temperaturas interfaciales 4321 ,,, TTTT

95

Figura 3.11 Sistema planos en serie con generación interna de Uniforme


96

IV. SUPERFICIES EXTENDIDAS (ALETAS)

4.1 INTRODUCCION

La transferencia de calor por convección entre una superficie y el fluido que larodea puede aumentarse adicionando a la superficie, fajas delgadas de metalllamadas aletas. Para la transferencia de calor se fabrica, una gran variedad dealetas de diferentes formas geométricas

Cuando en una placa o de un tubo se transfiere calor por convención, lasuperficie (interior o exterior), provista de aletas es generalmente aquella en lacual el fluido de contacto es aquel cuyo coeficiente de transferencia de calor esmenor.

4.2 FUNDAMENTO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR ENSUPERFICIES EXTENDIDAS (ALETAS)

4.2.1 Aletas

Se usan las aletas o superficies extendidas con el fin de incrementar la razónde transferencia de calor de una superficie, aumenta el área total disponiblepara la transferencia de calor.

Las aletas pueden ser de sección transversal rectangular, como tiras que seanexan a lo largo de un tubo, se les llama aletas longitudinales, o bien discosanulares concéntricos alrededor de un tubo, son las aletas circunferenciales.El espesor o el área de la sección transversal de una superficie extendidapueden ser uniformes o variables

Se tienen superficies extendidas, por ejemplo las superficies de enfriamiento delos componentes electrónicos, o en los cilindros de los motores, en los tubosdel condensador de un equipo de refrigeración.

4.2.2 Ecuación Diferencial Gobernante

Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta, se debeprimero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Para talefecto se ha de formular un balance de energía sobre un elemento diferencialapropiado, en la figura Fig. N°2, en el se muestra, una aleta anexada a unasuperficie primaria, así como las coordenadas, nomenclatura necesaria paraderivar la ecuación de energía de una aleta, en estado estable, el calor fluyede una dimensión, sin generación de calor.

97

Figura N° 4.1 Superficie extendida de área variable


Se supone que la temperatura en cualquier sección transversal de la aleta esuniforme, por tanto T(x) es solamente función de x, (coordenada en la direcciónx). Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna la distribución detemperaturas en la aleta, considerar un pequeño elemento de volumen decontrol de espesor (dx), tal como se muestra en la figura N° 4.1

a) Efectuando un balance de energía a este elemento de volumen en estadoestable.

Qx = Qx+dx + dQconv (4.1)

b) De la ley de Fourier

dx

dTKAQx x)( (4.2)

Donde: A(x)= es el área de la sección transversal que varia con x

c) Como la conducción de calor en x+dx se expresa como

dxdx

dQxQQ xdxx (4.3)

dxdx

dTA

dx

dK

dx

dTKAQ xxdxx )()( (4.4)

98

d) La transferencia de calor por convección dQc, se expresa como

)()( TThdSdQ xc (4.5)

e) Sustituyendo las cantidades de flujo de calor en el balance de energía (1) ysimplificando se obtiene

0)()(

TTdx

dS

k

h

dx

dTA

dx

d xx

2

( ) ( )

2( ) ( )

1 10x x

x x

dA dSd T dT hT T

dx A dx dx A K dx

(4.6)

Esta ecuación (6), proporciona una forma general de la ecuación de energíapara condición unidimensional en una superficie extendida. La solución deesta ecuación y con las condiciones de frontera permite determinar ladistribución de temperaturas. para calcular la temperatura en cualquierdistancia, así como la transferencia de calor. (Q); que se transfiere al fluido

4.3 Superficies Extendidas de área de sección transversal Uniforme

En la siguiente figura se presenta una superficie extendida de seccióntransversal uniforme.

Figura Nº 4.2 Aleta recta (perfil rectangular) de Sección TransversalUniforme


La aleta se une a una superficie base de temperatura oTT , en x=o yextiende en un fluido de temperatura Tf.. Cuando la sección transversal

99

de una aleta es uniforme, son constantes el área AA x )( , y el perímetro

P, el área lateral )( xS , está relacionado con el perímetro de la siguiente

forma: ( ) .xS P x=

En consecuencia:

0dA

dx P

dx

dS x )(

Por lo tanto la ecuación (6) se reduce a

02

2

TTKA

hP

dx

Td (4.7)

Para simplificar la forma de esta ecuación, transformamos la variabledependiente definiendo la variable auxiliar temperatura como:

fxx TT )()( (4.8)

Donde: Tf es la temperatura del medio ambiente, es constante

dx

dT

dx

d

Sustituyendo (8) en (7), se obtiene

022

2

mdx

d(4.9)

Donde: KAhPm 2 (4.10)

La ecuación (4.9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden,homogénea, con coeficientes constantes, recibe el nombre de ecuacióndiferencial para aletas en una dimensión de sección transversal uniforme.

La ecuación diferencial (4.9) puede tener las siguientes soluciones:

a. ( ) 1 2mx mx

x C e C e (4.11)

b. ( ) 3 4cosh( ) senh( )x C mx C mx (4.12)

c. ( ) 5 6coshx C m L x C senh m L x (4.13)

100

Las funciones hiperbólicas se definen:

Senh2

xx eex

; cosh

2

xx eex

; tanh

xx

xx

ee

eex

(4.14)

4.3.1 Distribución de Temperatura y Flujo de Calor en aletas de seccióntransversal uniforme

Se puede encontrar la distribución, de temperaturas en la aleta alresolver la ecuación (4.), sometiéndoles a condiciones apropiadas defrontera. En general se conoce la temperatura en la base x = 0 de laaleta, pero hay varias situaciones físicas posibles en el extremo x = L, dela aleta.

Se consideraran en el análisis siguiente, cuatro situaciones diferentes.

o Aletas larga o infinita, (L→ ).o Aleta en el extremo x = L, la perdida de calor es despreciable (adiabática)

0dT

dx .

o Aleta en el extremo x = L, la temperatura es conocida: ( )x L .o Aleta en el extremo x = L, hay transferencia de calor por convención

f

dTK h T T

dx

CASO 1.- Aletas Largas (ó infinitas)

a) Distribución de Temperaturas

En una aleta suficientemente largo se puede suponer razonablemente quela temperatura en el extremo o borde de la aleta es aproximadamente iguala la temperatura (T¥ ) del medio circundante, además se considera que se

conoce la temperatura ( bT ) en la base de la aleta.

La formulación matemática de este tipo de aletas y su solución, se procedede la siguiente forma:

4.1 Ecuación Diferencial

2( ) 2

( )20x

x

dm

dx

101

1. Condiciones de Frontera

( )1: x o f oCF T T en x = o

( )2 : 0 xCF , cuando x

2. Se tiene que: 2 Phm

kA (4.15)

3. Solución de la Ecuación Diferencial

mxmxx eCeC 21)(

Las constantes de integración 1C y 2C se determinan aplicando lascondiciones de frontera. La condición de frontera, 2:CF , requiere que

01 C , aplicando entonces la condición de frontera 1:CF , se obtiene:

oC 2 .

4. La solución o Distribución de Temperatura serámx

o

x

o

x eTT

TT

)()( . (4.16)

b. Determinación del flujo de calor

El flujo de calor, hacia o desde la aleta se puede obtener, ya sea porintegración la transferencia de calor por convención sobre toda lasuperficie de la aleta ó calculando el calor que fluye por conducción através de la base de la aleta

b.1 Transferencia de calor por convención sobre la superficie de la aleta.

( )

x

xx o

Q hP dx= ¥

=

= Qò (4.17)

omxmx

o em

hPdxehPQ 00 ,

KA

hPm

0 hPAKQ (4.18)

b.2 Cálculo de la transferencia de calor por conducción en la base de laaleta.

102

oxmx

ox emKAdx

dKAQ

0

0.Q hPAK= Q

CASO 2.- Aletas con flujo de calor despreciada en el extremo

En la transferencia de calor en una aleta, donde el área del extremo oborde de la aleta es muy pequeña en comparación con el área lateral dealeta. en este caso el calor transferido por el extremo de la aleta esdespreciable. entonces la condición de frontera que caracteriza estasituación en el extremo o borde de la aleta es,

0d

dx

en x=L

La siguiente es la formulación matemática para este caso:

a) Distribución de Temperatura

Ecuación Diferencial2

( ) 2( )2

0xx

dm

dx

para: 0 x L

Condiciones de Frontera1: x o fCF T T o x=o

( )2 : 0xdCF

dxQ

= x=L

KAhPm 2

Solución de la Ecuación Diferencialmxmx

x eCeC 21)(

Reemplazando las Condiciones en la Frontera 2CF y 1CF , se tiene:

1 20 mL mLx L

dmC e mC e

dx

(i)

21 CCo 12 CoC (ii)

103

Resolviendo en forma simultanea (i) y (ii)

mLmL

mL

ee

oeC

1 ymLmL

mL

ee

eooC

2

Sustituyendo 1C y 2C en la ecuación ( 3) y simplificando

mL

mx

mL

mx

ox e

e

e

e22)( 11

Mediante las relaciones de las funciones hiperbólicas se tiene:

[ ]( )( )

( )coshx o

Cosh m L xmL-

Q = Q (4.19)

b) Determinación del Flujo de Calor

De la ecuación de Fourier

oxx

dx

dAKQ

)(

Sustituyendo,dx

d x)( de la ecuación (14) en la ecuación de flujo de calor

y simplificando;

mLmTanhAKQ o

oQ PhKA Tanh mL (4.20)

CASO 3.- Aleta finita con temperatura en el extremo conocido

a) Determinación del perfil de temperatura

Ecuación Diferencial

0)(2)(

x

x mdx

d

Solución de Ecuación Diferencial[ ] [ ]1 2cosh ( ) ( )x C m L x C senh m L xQ = - + -

104

Condiciones de FronteraCF1: 0 x=o

CF2: LQ = Q x=L

Distribución de Temperatura

( ) ( ) ( )( )

/L o

o

senh mx senh m L xsenh mL

é ùQ Q + -Q ë û=Q

¨ (4.21)

b) Flujo de calor( )( )

00

cosh /Lo

mLQ hPKA

senh mL- Q Q

= ´ Q ´ (4.22)

CASO 4.- Aletas con Convención en el extremo

Una condición de frontera físicamente más de una aleta es aquella quese considera que en el borde o extremo de la aleta se transfiere calorpor convención al fluido que la rodea. La formulación matemática ysolución es la siguiente

a) Determinación del Perfil de Temperatura

Ecuación Diferencial

omdx

dx

x

)(2

2

)(2

Solución Ecuación Diferencial[ ] [ ]1 2cosh ( ) ( )x C m L x C senh m L xQ = - + -

Condiciones en la FronteraCF1: ( ) 0x f oT T en x=o

CF2: Ohdx

dK x

x

)()( en x=L

Las constantes de integración C1 y C2 de la solución (b) se determinanaplicando las condiciones de frontera donde se obtienenrespectivamente:

mLsenhCmLCo 21 cosh (i)

105

ohCmKC 12 (ii)

Operando en forma simultanea, i y ii ,se obtiene:

( )2 1hC CKm= ´

mLsenhKmhmL

C o

cosh1

Reemplazando C1 y C2 en (b) y simplificando

( )

0 0

cosh

cosh

x x

hm L x senh m L xT T KmhT T mL senh mLKm

(4.23)

b. Determinación del Flujo de calor

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

cosh

cosho

hsenh mL mLmKQ hPKAhmL senh mLmK

+= ´ Q ´

+(4.24)

4.3.2 Perfil de Temperatura de los tipos de aletas estudiadas

En la figura Nº 4.3. Se representan el perfil de temperatura para los cuatrotipos de aletas mostrando las condiciones limitantes en la punta de dichasaleta

106

Figura N° 4.3 Perfil de temperaturas para aletas de área uniforme, condiferentes condiciones de frontera en el extremo


4.4 Problemas Resueltos

Problema N° 4.1 Aleta longitudinal con extremo aislado (caso 2)

Tres varillas, una hecha de vidrio de 1.09 / ºK w m C= , otra de aluminio puroCmwK º/2282 y una producida de acero CmwK º/573 , todos tienen un

diámetro de 1.25 cm, de 30 cm de longitud, son calentados de su base a partirde 120ºC hasta el extremo final.

Las tres varillas extendidas, son expuestas al aire ambiente (longitudinalmente)a 20ºC, el cual presenta un coeficiente de transferencia conectivo

Cmwh º/0.9 2 .

Encontrar:

107

a. La distribución de temperatura de las varillas si el extremo seencuentra aislado.

b. El flujo de calor desde las varillasSolución.-

1. Diagrama de flujo, de una varilla:

Figura N° 4.4 Varilla de acero circular de perfil longitudinal con superficieexterior expuesto a un fluido de área uniforme, condiferentes condiciones de frontera en el extremo


2. Se tiene una aleta con el extremo aislado, de sección transversal uniforme,la ecuación diferencial, y condiciones de fronteras:

oTTKP

hP

dx

Td

2

2 22

20

dm

dx

CF1: o x = 0

CF2: odx

d

x = L

3. Con:

TT yKA

hPm 2

4. Se Tiene, la solución de la Ecuación Diferencial (Caso 2) )()(cosh 21 xLmsenhCxLmC

5. Para evaluar las constantes de integración y reemplazando en el perfil, ysimplificando se tiene que la distribución de temperatura, es.

[ ]cosh ( )cosh( )o o

m L x T TmL T T

¥

¥

- -Q = =Q -

6. Para determinando el flujo de calor desde la aleta para este caso

Qx

220º 9 / ºfT C h w m C

1 1,25D cm

x

30L cm

0 120ºT C

108

0oQ K A m Tanh mL

7. Calculusa. Determinación del perfil de temperatura de las 3 aletas

Aleta de vidrio,KA

phm 2

AK

hPm

Donde: P= Perímetro = D

A= Área Transversal = 4/2D

Por tanto:

DK

hm

4 1

240.51

1025.109.1

94 m

xx

xm

m = 0.514cm-1

Para la aleta de acero: 107108.0 cmm

Para aleta de aluminio: 103554.0 cmm

b. Reemplazando en el perfil de temperaturas en la aleta de vidrioPara cmx 5.71 1TT

30514.0cosh

7530514.0cosh

20120

201)(

x

T

TTb

TT x

CT º11.221

En forma similar se tiene para las las siguientes distancias:

x = 15 cm T2 = 20,044ºC

x = 22,5 cm T3 = 20,0094ºC

x = 30 cm T4 = 20,00004ºC

En la siguiente tabla se presenta la variación de temperaturapara diferentes distancias para los tres tipos de aletas

109

c. Calculo del flujo de calor desde las aletas( )o oQ KA m Tanh mL= ´ ´ Q ´

Con : -1m 0.5140 m 1.09 / ºvK w m C 228 / ºKal w m C

57 / ºKa w m C2

4

DA

Reemplazando en la Ecuación, el flujo de calor para las aletasson:

o Arleta de vidrio

2 2

2

1.251.09 / º 120 20 º 51,4 0.514 30

4 100

cm mQ w m C C m Tanh

cm

W0.688Q

o Flujo de calor a través de la aleta de acero W4.83Q

o Flujo de calor a través de la aleta de aluminio W7.84Q

Problema Nº 4.2, aleta longitudinal del perfil rectangular, con elextremo convectivo (caso 4)

Para un mejor enfriamiento de la superficie exterior de una nevera desemiconductores, la superficie externa de las paredes laterales de la

110

cámara ha sido construida con aletas verticales de enfriamientofabricado de aluminio, ver la figura. En el plano la cámara es cuadrada.

El ancho de las paredes laterales es b = 800 mm, su altura H = 1000mm; la longitud y el espesor de las aletas son: L= 30 mm y mm3respectivamente, y cada una de las paredes tiene 40 aletas.

La temperatura en la base de la aleta es CTo º30 , la temperatura

ambiente CT f º20 , la conductividad térmica del aluminio

CmwK º/202 , el coeficiente de traspaso de calor de la superficie conaletas al ambiente es Cmwh º/7 2 .

Calcular.

a. La temperatura )( LT en el extremo de las aletas y la cantidad de calor(Q) que desprende las cuatro paredes laterales.

b. La cantidad de calor (Q) que en las mismas condiciones setransmitiría al ambiente si las paredes no tienen aletas.

Al resolver el problema se debe suponer que el coeficiente de traspasode calor de la superficie de los intervalos entre las aletas (superficie lisasin aletas) es igual al coeficiente de traspaso de calor de la superficiecon aletas.

Solución:

1. Figura que muestra es una porción de pared con aletas

Figura N° 4.5 Porción de un lado exterior de la nevera mostrando una aleta deperfil rectangular de área uniforme expuesta a un fluidoexterior


111

2. Se tiene el caso de aletas rectas de sección transversal uniforme.Considerando el cuarto caso de aletas en donde el extremo, laconducción de calor es igual a transferencia por convección.


022

2

mdx

d

KA

hPm 2

4. Solución ecuación diferencialmxmx eCeC 21

5. Condiciones de fronteraCF1: o x = 0

CF2:

hdx

dK x = L

6. Perfil de temperatura.

( )

0 0

cosh

cosh

x x


7. Flujo de calor para este tipo de aleta

mLsenhKm

hmL

mLKmhmLsenh

hPKAQ bo

cosh

cosh

8. Cálculos para hallar la temperatura en el extremo (TL)

Datos

Cmwh º/7 2 CTo º30 CmwK º/202

CT º20 mmH 1000 ?LT

mmL 30 ?tQ mm3

8.1 CTToo º102030

8.2 20 LLL TTT

8.3 Calculo del parámetro (m)

112

KA

hPm

Donde: 20.003 1 0.003A H m

mHP 006.2003.11022

Reemplazando

181369.4202003.0

003.27 mx

xm

.8.4 De la relación del perfil de temperatura

( )

0 0

cosh

cosh

x x


Para LTT en 030.0 Lx metros

Ó sea: 1coshcosh omLLm

(0) 0senh L L senh

01044.1030.081369.4coshcosh xmL

014491030.081369.4 xsenhsenhmL

Reemplazando

14491.081369.4202/701044.1

1

10

20

XX

TL

29.8ºLT C

8.5 Cálculo del flujo de calor por aleta Qa

mLsenhKm

hmL

mLKmhmLsenh

hKPAQ oa

cosh

cosh

Se tiene:

7 2.006 0.003 202 2.917096hKPA x x x

113

Co º10

14491.0)( mLsenh

01044.1)cosh( mL

0071989.081369.42027)( xKm

h

Reemplazando:

14491.00071989.001044.1

01044.10071989.014491.010917096.2

x

xxQa

wQa 3980.4

8.5 Calor transferido por los 4 lados con 40 aletas por lado )( taQ

wxxQta 242.7024403980.4

8.6 Calor transferido por los 4 superficies sin aletas )( saQ

TThAQ oSAsa 4

Donde: SAA = área de pared libre de aletas

SAA = atP AA

tPA = área de la pared = b x H = 1 x 0.8 = 0.8m2

aA = área de aletas= H N = 1 x 0.003 x 40 = 0.12m2 (áreade sección transversal de las 40 aletas)

268.012.08.0 mASA (area sin aletas)

Reemplazando

wxxQSA 4.190)2030(68.074

8.7 Calor total transferido por las 4 paredeswQQQ SAtat 6.8924.1902.702

wQt 6.892

8.8 Cálculo de la cantidad de calor transferido por las 4 paredessin aletas

114

4 oQ hA T T

4 7 1 0.8 30 20 224Q w

Respuesta:

a. CTL º8.29

b. WQt 6.892 (calor transferido con aletas)

c. WQ 224 (calor transferido sin aletas)

PROBLEMA Nº 4.3

Una aleta recta, de sección transversal uniforme A, longitud L, perímetro C, deconductividad térmica K, es mantenida a una temperatura expuesta alambiente. De temperatura 0 cuando x = 0 y L en x = L. El coeficiente detransferencia de calor sobre la superficie es h . Derivar las siguientesexpresiones para el flujo de calor en las dos terminales (positiva x = 0 y x = L)

0 00

cosh cosh QL L

m L m

mL mLQ K A L A

senh mL senh mL

Solución.-

1) Ecuación Diferencial

02

2

TTKA

hP

dx

Td

2) Si TT y KALpm /2

Entonces 022

2

mdx

d

3) Condiciones de frontera

2:

1:

CF

CF 0 0

L L

T TT T

q qq q

¥

¥

= = -= = -

0x

x L

4) La solución de la ecuación diferencialmxmx eCeC 21

5) Reemplazando las condiciones de frontera para evaluar 21 CyC

115

1:CFcon 210 CC

2:CF 1 2mL mL

L C e C e

6). Resolviendo las ecuaciones anteriores en forma simultánea

102 CC

mLmLmLmLmLL eCeeCeCeC 101101

mLmLmLL eeCe 10

Se determina, C1 y C2

0 01 2 0

mL mLL LmL mL mL mL

e eC Ce e e eq q q qq

- -

- -

é ù- -ê ú= = - ê ú- -ë û

7) Reemplazando 21 CyC en 4, se tiene el perfil de temperatura

mxmLmL

mLLmx

mLmL

mLL e

ee

ee

ee

e

0

00

mxmLmL

mLLmxmx

mLmL

mLL e

ee

eee

ee

e

0

00

mxmxmxmLmL

mLL eee

ee

e

0

0

0 0

mx mxmL mxL

mL mL

e ee ee e

qqq q

-- -

-

æ öæ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷= - +ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ç÷ç -è øè ø

Perfil de temperatura

7) También el perfil se puede expresar, en función de las funcioneshiperbólicas, para su determinación se realiza de la siguiente forma

mxmLmL

mxmxmL

L eee

eee

00

mLmLmLmxmxmLmxmLmxL

mxL eeeeeeeeee 0000

116

mLmL

mxmLmxmLmxmxL

ee

eeee

0

( )0Lsenh mx senh m L xsenh mL

q qq

+ -=

…….. Perfil de temperaturas

8) La pérdida de calor en la base de la aleta

0a

x

dQ KAdxq

=

= -

Diferenciando el perfil 0cosh . coshL mx m m L x md

dx senh mL

( )0cosh coshLm mx m L xddx senhmL

q qq é ù- -ë û=

[ ]0

0

coshL

x

m mLddx senh mL

q qq

=

-=

Reemplazando y simplificando en (8)

0 cosh La

mLQ KAmsenh mL

q qæ ö- ÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø

9) Pérdida de calor en la base de la aleta

Lx L

dQ KAdxq

=

= -

Diferenciando el perfil 0cosh . cosh

Lx L

mx m m L x md

dx senh mL

0cosh coshL

x L

mx m L xdm

dx senhmL

117

0coshL

x L

m mLd

dx senh mL

Reemplazando y simplificando en (9)

( )0 coshLL

mLQ KAm

senh mLq q-

=

PROBLEMA Nº 4.4

Un extremo de una barra de acero de 0,3 m de largo está conectado a unapared de T = 204 ºC. El otro extremo está conectado a otra pared que semantiene a T = 93ºC. Se sopla aire de un lado a otro de la barra de modo quese mantenga un coeficiente de transferencia de calor de 217 /W m K en toda susuperficie. Si el diámetro de la barra es de 5 cm. ¿Cuál es la razón neta depérdida de calor? Si la temperatura del aire es 25ºfT C y la conductividad

térmica del material es: 45 / .ºK W m C .

Solución.-

1. Diagrama de la aleta

Figura N° 4.6 Barra cilíndrica conectada a placas de acero a diferentestemperaturas, con superficie exterior expuesta a un medioconvectivo


118

2. Ecuación Diferencial para la superficie extendida.

2.1 Aleta uniforme (sección transversal constante)

2

20f

d TKA hP T T

dx fT T 2 hP

mKA

22

20

dm

dx

………………….. …(1)

2.2 Solución de la ecuación diferencial

1 2mx mxC e C e ………………… …(2)

2.3 Aplicando el caso III para condiciones de frontera con temperaturaen el extremo conocido.

. .1 0C F x 1 = (T1 -- Tf)…………….(3)

. .2C F x L 2 = (T2 – Tf)…………….(4)

2.4 Con las condiciones de frontera:CF:1 1 1 2C C → 2 1 1C C

. . 2C F

2 1 2mL mLC e C e , reemplazando C2

2 1 1 1mL mL mLC e e C e

2.5 Despejando:

2 11 2

mLec

sen h mL

ó 2 1

1

mL

mL mL

ec

e e

2 12 1 2

mLec

senhmL

ó 2 12 1

mL

mL mL

ec

e e

2.6 Reemplazando C1 y C2 en el perfil, se tiene

( )

2 1m L xmx mx m L x

x mL mL

e e e e

e e

119

12

m L x m L xmx mx

x mL mL mL mL

e ee e

e e e e

2 1x

sen hm L xsen hmx

sen hmL sen hmL

……………………(5)

2

1

1

.x

senhmx senh m L x

senhmL

2.5 La transferencia de calor neto

0neto x x LQ Q Q

0neto

x x L

d dQ KA KA

dx dx

…………( )

0 0

0

( cosh ) ( cosh )L L

x

m mL m mLd

dx senhmL senhmL

Reemplazando en (α)

00

0

cosh L

x

KAm mL

QsenhmL

… ……(6)

00 coshcosh LL

x L

m mLm mL md

dx senhmL senhmL

Reemplazando

0 coshLx L

mLQ KAm

senhmL

………….(7)

2.6 Cálculos:

22 0.05

4 4

xDA

, 3 21,963595 10A x m

0 204 25 179 , 93 25 68L

120

4Ph hm

KA KD , 15,497471m m

Reemplazando en, 1 y en 2, se tiene:

0

6845 1,9634 10 3 179 5,4974 2,6976

17980,4545

2,5054xQ W

3 179 68 2,697645 1,9639 10 5,4974 0,86041

2,5054x LQ W

79,57netoQ W

Problema N° 4.5

Una varilla larga pasa a través de la abertura en un horno que tiene unatemperatura del aire de 400ºC y se prensa firmemente en la superficie de unlingote. Termopares empotrados en la varilla a 25 y 120 mm del lingoteregistran temperaturas de 325 y 375ºC, respectivamente ¿Cuál es latemperatura del lingote?

Solución.- 1. Diagrama de flujo

Figura N° 4.7 Varilla larga con termopares colocados a diferentes distanciasde la superficie primaria


2. Tomamos el Caso I: aleta infinitamente larga, donde la solución es dadapor:

3. Donde las condiciones de frontera son:

1 1 1 1 f

2 2 2 2 f

= =T - T

= =T - T

CF x x

CF x x

mx

o

x

o

x eTT

TT

)()(

Ө(x) = Өb ℮-mx … (1)

121

4. Evaluamos en la ecuación (2):

1

1 2

2

-mx-m(x -x ) -m *(0.025-0.12) mb1

-mx2 b

(x ) (325 -400)ºC = = = =

(x ) (375 -400)ºC

e e ee

m = 11,56

6. Evaluando la ecuación (1) con la condición de frontera:

( )-

11 ( - ) . mxbx T T T T eq ¥ ¥= - =

-11.56*0.025325 - 400 ( - 400).bT e=

: Tb = 300ºC

Problema 4.6

Una varilla de estaño de 100 mm de longitud y 5 mm de diámetro se extiendehorizontalmente de un molde a 200C. La varilla esta en un aire ambiental con

= 20C y h = 30W/m2.K. ¿Cuál es la temperatura de la varilla a 25, 50 y100mm del molde?

Solución:

Figura N° 4.8 Varilla horizontal con superficie exterior expuesta a un medioconvectivo


1. Se desea hallar:a. TX1 cuando X=X1

b. TX2 cuando X=X2

c. TL cuando X=L2. Para el desarrollo del problema se hará el siguiente análisis:

122

La ecuación diferencial para una aleta de área constante es :

Para calcular la ecuación, sabemos que para una aleta cilíndrica:

;

valor de k (conductividad térmica) de la varilla de estaño lo ubicamos enel apéndice A (Tabla A1) del Incropera, para lo cual debemos conocer latemperatura promedio:

Tpromedio = 110 ºC k =133 W/m ºK.

Determinación de la distribución de temperaturas para una aleta queen extremo existe transferencia de calor (4to caso):

Haciendo cambio de variables:

Entonces la nueva ecuación diferencial seria:

Integrando 2 veces se obtiene:

Condiciones de frontera:

CF1: x=0 , = b =F2: x= L ,

Evaluando las CFobtenemos el perfil detemperaturas:

123

Realizando los cálculos:

1.

2.

3. b =

4. m L = (13.43) x0.1 = 1.34, al evaluar en la función hiperbólica se tiene:cosh mL = 2.04 y senh mL = 1.78

cosh mL + senh mL = 2.07

5. Reemplazando estos datos en el perfil de temperaturas se obtiene lasiguiente ecuación:

6. Reemplazando se obtiene:

124

4.5. Superficies Extendidas de área variable

4.5.1 Aletas Anulares – Ecuación Diferencial General

Figura N° 4.9 Corte transversal de un tubo con aleta anular de perfilcircunferencial, expuesto a un fluido convectivo


La ecuación diferencial general obtenida (ecuación 1), para aletas de cualquiersección transversal:

01

2

2

dx

ds

kA

h

dx

dT

dx

dA

Adx

d (4.25)

Para el caso de aletas anulares de espesor t y radios r1 y r2 se tiene que:

Área de sección transversal (A) en función del radio

rtA 2 y tdr

dA 2 4.26)

Área lateral (S), en función del radio (r)

. 2 212S r r y t

dr

dS 4 (4.27)

Si se considera el área en el extremo:

2 22 1 22 2S r r r t

125

Reemplazando las relaciones 2 y 3 en 1 y simplificando

021

2

2

kt

h

dr

d

rdr

d

(4.28)

La ecuación (4), obtenida es una ecuación que en términos generalesse denominan ecuación de Bessel, que son de la forma

2 2

2 2

1 0d y dy n ydx x dx x

æ ö÷ç ÷+ + - =ç ÷ç ÷çè ø (4.29)

Donde (n) es un numero natural y (a) es un parámetro, y cuyassoluciones para + a2 y - a2 son respectivamente:y = 1C nJ (ex)+ 2C Yn (ax) (4.30)

y = 1C nI (ax)+ 2C Kn (ax) (4.31)

1C y 2C son las constantes de integración y las funciones Jn, Yn, nI yKn reciben los nombres de funciones de Bessel de orden n y primeraespecie (Jn) de orden n y segundo especie Yn y funciones de Besselmodificada de orden n y primera especie ( nI ) y modificada de orden n ysegunda especie (Kn).

4.5.2 Solución de la Ecuación de Bessel (para aleta anulares)

1. A partir de la ecuación obtenido, se evalúa la distribución de temperaturas yel flujo de calor, con: a = m, donde kt

hm 22 y n = 0

01 2

2

2

mdr

d

rdx

d

Es una ecuación de Bessel modificada de orden cero, cuya solución generales:

mrKCmrIC 0201 (4.32)

0I y 0K son las funciones de Bessel modificadas de orden cero de primera ysegunda especie respectivamente.

2. Las condiciones de contorno más sencillas que nos permiten determinar lasdos constantes son, suponer conocida la temperatura en la base ydespreciable el calor convectado en el extremo de la aleta, estas son:

126

CF:1 1rr 0 0( )fT T (4.33)

CF:2 2rr 0

dr

d (4.34)

3. Las reglas de diferenciación de las funciones de Bessel anteriores son:

0 1

dI ax aI ax

dx y 0 1

dK ax aK ax

dx (4.35)

Donde: I1 y K1 son las funciones de Bessel modificadas de primer orden deprimera y segunda especie respectivamente.

4. Aplicando las condiciones de contorno se obtiene el sistema de ecuaciones 1021010 mrKCmrIC

1 2 2 1 20 IC I mr C K mr

Operando en forma simultanea, las constantes 1C y 2C son:

10212110

2101 mrKmrImrKmrI

mrKC

(4.36)

0 1 22

0 1 1 2 1 2 0 1

I mrC

I mr K mr I mr K mr

(4.37)

5. Reemplazando 1C y 2C en la ecuación la distribución es

10212110

2102100 mrKmrImrKmrI

mrImrKmrKmrI

(4.38)

4.5.3 Calor disipado por la aleta

El flujo de calor disipado por la aleta puede calcularse mediante el cálculo delcalor que fluye por su base

1rra dr

dTKAQ trA 12

127

112 rra dr

dtKrQ

(4.39)

Diferenciando la ecuación (12) con respecto a r y evaluando cuando r = r1,se tiene

mrKCmrIC 0201

1121111mrmKCmrmIC

dr

drr

(4.40)

Por lo tanto el calor que fluye por la base es:

111112012 mrICmrKCtKmrQa (4.41)

Reemplazando 1C y 2C y simplificando se obtiene que el calor disipadocon las aletas, sería:

10212110

21111121012

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrItKmrQa

(4.42)

4.5.4 Determinación de la eficiencia de la aleta a

maxQ

Qaa (4.43)

Donde:

maxQ = es la perdida de calor por la aleta si fuese isoterma

0 ShAQ ; SA = área superficial de la aleta

21

222 rrAS

02

12

2.2 rrhQ (4.44)

Por tanto:

02

12

2

10212110

2111112101

.2

.2

rrh

mrKmrImrKmrI

mrKmrImrKmrItKmr

a

128

21102110

2112112

12

2

1

1.2

mrKmrImrImrK

mrKmrImrImrK

rr

mr

a

(4.45)

4.5.5 Soluciones graficas (para determinar la eficiencia de las aletas casode aletas rectas de perfil rectangular (Caso 2)

La eficiencia de una aleta se define como

:maxQ

Qa

Donde:

maxQ = El calor máximo que transfiere una aleta, se establecería en elcaso hipotético que toda la aleta se mantiene a la temperatura dela base, en cuyo caso se calcularía, mediante:

00max hPLTfThPLQ ,

Sustituyendo la expresión anterior en la definición de la aleta ysimplificando, la eficiencia de la aleta es:.

mL

mL

hPL

mLPhKA tanhtanh

0

0

(4.46)

En la práctica las aletas pierden calor por el extremo, para contabilizaresa perdida de calor Jacob, recomienda utilizar las expresiones deducidaspara una aleta con extremo aislado, pero realizando una corrección a lalongitud de la aleta, que viene dada por:

P

ALLC (4.47)

Donde: CL Longitud corregida.

Entonces se ha de determinar el incremento de longitud de la aleta,teniendo en cuenta que el calor que se pierde por el extremo, seaequivalente al calor que se transfiere por la periferia de la porción de aletaagregada, teniendo en cuenta que esta adición de longitud es pequeña, sepuede afirmar que la temperatura de esta porción, es igual a la

129

temperatura del extremo de la aleta original. En consecuencia se puedeescribir la siguiente equivalencia:

L f L fQ hPL T T hA T T ,

Simplificando,2

*t

P

AL

Con la ayuda de este aproximación, la cuantificación de la eficiencia deuna aleta que pierde calor por convección, es

tanh Am L PAm L P

(4.48)

Demostración gráfica de la aproximación de Jacob

Figura N° 4.10 Corte transversal de una barra longitudinal, para lademostración de la relación de Jacob


Para este tipo de aletaA = H x t , si H=1 Profundidad unitaria tA

P = 2 H + 2 t si H t H=1 P = 2

*2

Lt

P

A

La eficiencia de diversos tipos de aleta se puede determinargráficamente tal como se presentan en las figuras Nº 4.11 (aletas de

L= Longitud aleta

T= espesor aleta

H= profundidadL

L*

Aislado

t

.fT h

.fT h

LT

LT

130

perfil rectangular, triangular y hiperbólico) y Nº 4.12 (caso de aletasanulares).

En dichos gráficos, se tiene que:

LC = Longitud corregida, r2C = Radio corregido, Ap = Área de perfil

Evaluada la eficiencia en la grafica )( , se puede determinar el calortransferido desde la aleta, mediante:

maxQ Q

131

Figura Nº 4.11. Para determinar la eficiencia de aletas de perfilrectangular, triangular, hiperbólica

Fuente: Yunus A. Cengel, Transferencia de Calor y Masa Tercera Edición ,Editorial McGraW Hill, México

1/23/2C

p

hL kA =

132

Figura Nº 4.12. Para determinar la eficiencia en aletas anulares

Fuente: Yunus A. Cengel, Transferencia de Calor y Masa TerceraEdición , Editorial McGraW Hill, México

4.5.6 Eficiencia global de un grupo de aleta ( o )

Ab: área de la base expuesta al fluido

Af: área superficial de unas sola aleta.

At: área total incluyendo el área de la base sin aletas y toda la superficiealeteada, At = Ab + NAf.

N= Número total de aletas.

Se define la eficiencia global de un grupo de aletas como:

133

ft

f

A

NA 110

TTfhAfNTThANqqq bbbfbt

TTNAAhTTANNAAh bfftbffft 1

TThATT

A

NAhA btbf

t

ft 011

Figura N° 4.13 Grafica para determinar la eficiencia de aletas de perfilrectangular y triangular

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, Tercera Edición, Editorial McGraW Hill, México

134

Figura N° 4.14 Gráfica para la evaluación de la eficiencia de aletas anulares ocircunferenciales

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, Tercera Edición, Editorial McGraW Hill, México

135

Tabla N° FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS DE PRIMERA YSEGUNDA ESPECIE

1.10480.88280.21770.32891.81.19190.93090.21900.35331.61.30100.98810.21850.38311.41.44291.05750.21520.41981.21.63611.14450.20790.46581.01.91791.25820.19450.52410.82.37391.41670.17220.59930.63.25871.66270.13680.69740.45.83342.14070.08230.82690.2

0.00001.00000.0

x 0xe I x 1

xe I x 0xe K x 1

xe K x

136

2.0 0.3085 0.2153 0.8416 1.0335

2.2 0.2913 0.2121 0.8056 0.9738

2.4 0.2766 0.2085 0.7740 0.9229

2.6 0.2639 0.2046 0.7459 0.8790

2.8 0.2528 0.2007 0.7206 0.8405

3.0 0.2430 0.1968 0.6978 0.8066

3.2 0.2343 0.1930 0.6770 0.7763

3.4 0.2264 0.1892 0.6579 0.7491

3.6 0.2193 0.1856 0.6404 0.7245

3.8 0.2129 0.1821 0.6243 0.7021

4.0 0.2070 0.1787 0.6093 0.6816

4.2 0.2016 0.1755 0.5953 0.6627

4.4 0.1966 0.1724 0.5823 0.6453

4.6 0.1919 0.1695 0.5701 0.6292

4.8 0.1876 0.1667 0.5586 0.6142

5.0 0.1835 0.1640 0.5478 0.6003

5.2 0.1797 0.1614 0.5376 0.5872

137

Fuente Frank Incropera, Transferencia de calor

0.41080.39160.12130.127810.00.41980.39950.12350.13059.60.42950.40790.12600.13349.20.43990.41680.12850.13658.80.45110.42640.13120.13988.40.46310.43660.13410.14348.00.47620.44760.13720.14737.60.49050.45950.14050.15157.20.50600.47240.14410.15616.80.52320.48650.14790.16116.40.54220.20190.15200.16666.00.55250.51010.15420.16965.80.56330.51880.15650.17285.60.57490.52790.15890.17625.4

138

4.6 Problemas resueltos

Problema N° 4.7

Una aleta anular de aluminio de perfil rectangular se une a un tubo circular quetienen un diámetro externo de 25mm y a una temperatura superficial de 250°C.La aleta es de 1mm de espesor y 10mm de longitud y la temperatura y elcoeficiente de convección asociados con el fluido adyacente son 25°C y 25W/m2K, respectivamente.

a) ¿Cuál es la perdida de calor por la aleta?

b) Si 200 de estas aletas están espaciadas en incrementos de 5mm a lo largode la longitud del tubo. ¿Cuál es la perdida de calor por metro de longitud deltubo?

SOLUCION:

1. Diagrama de la aleta

Figura Nº 4.15 Corte transversal de una aleta anular de perfil rectangular

Fuente: Elaboración propia, (Alberto Emilio Panana Girio)

2. Determinación de la longitud corregida, radio corregido la relación

adimensional de radios. Área de perfil y el parámetro:123

2c

p

hL kAæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø

2 2

2

1

12.5 10 0.5 23 0.0232

1.84 (i)

c

c

tr r mm mm mm mm m

r

r

139

5 2

10.5 0.01052

0.0105 0.001 1.05 10

c

p c

tL L mm m

A L t m x m x m

( )

121

2 23322

5 2

250.0105 0.15

240 1.05 10cp

Wm KhL mkA W x x mmK

-

æ ö÷çæ ö ÷ç÷ç ÷ç= =÷ ÷ç ç÷÷ç ÷è ø ç ÷÷çç ÷è ø(ii)

3. Mediante gráfica N° 4.11 se determina la eficiencia de la aleta, con lasrelaciones (i) y (ii)

97.0

4. Cálculo del calor disipado por la aleta :

WCxmmx

KmWxxQ

rrhxQQ bc

8.122250125.0023.02597.02

2

222

21

2,2max

4. Perdida de calor por las 200 aletas :

mKWQ

mWWQ

CmxxxmxmKm

WWxmQ

rNthNQQ b

/91.2

/3532560

2250125.02001.02001258.12200

21

'

'

12

1'

1'

PROBLEMA Nº 4.8

Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que sedispone de agua caliente a 85ºC, se llegó a la conclusión de que había queaportar 460 Kcal/h.m para mantener la temperatura ambiente en Cº24 . Dadoque en la factoría se dispone de hierro fundido CmhKcalK º/50 del calibre60/66 y de aletas anulares del mismo material y de radio exterior 66mm, con unespesor de 3 mm y consideremos que los coeficientes de película son

21000 8 / . ºy Kcal h m C . Determinar el número de aletas necesario para disiparel calor indicado.

140

Solución

1) Diagrama de flujo

Figura Nº 4.16 Tubo con aleta anular


1 2

2 21 2

85º 24º

50 / º 1000 / 8 / º460 / .

f fT C T C

K Kcal hm C h Kcal hm C h Kcal hm CQ Kcal h m

= =

= = ==

2) Primero se comprobará si es necesario las aletas para esa cantidad decalor afectado.

8033.0

1

5030

33

100003.0

1

º24852

11

2

22

12

11

21

x

Ln

x

C

hrK

rrLn

hr

TT

LQ ff

21 CKC QQQLQ

1

2

1 1 1 1

1 2 2 1

2 2 2 2

2

2 / /

2

C f

K

C f

Q h r L T T

Q LK T T Ln r r

Q h x r L T T

141

whKcalLQ ./25.100

Como mhKcalmh

Kcal./460

.25.100

Si son necesarias las aletas, ya que el tubo sin aleta no puede aportar laenergía calorífica necesaria.

2) Cálculo de la temperatura en la base de la aleta 20 TT

K

rrLn

hr

TT

K

rrLn

TT

hr

TT

LQ ff

22

12

/

2

11

2

11

01

12

01

11

11

Separando 0T

K

rLnr

hrLQTT f 2

/

2

1 12

1101

58,250230

33

100003,02

1

.46001

x

Ln

xxmh

KcalTT f

Por lo tanto: CTT f º42,8258,28558,20

0 82,42ºT C=

4) Cálculo del calor disipado por una aleta

Mediante la figura N° 2.18

4.1 Cálculo de 5.0066,0

033,0/ 32 rr

4.2 Cálculo: 682,068164.0003,050

82066,0

23

x

x

Kt

hr

4.3 Por gráfico la eficiencia (aleta anular)

95.0

142

4.4 Cálculo de 2 2max 2 2 0 2 3 2; 2fQ h a T T a r r

2442,82033,0066,028 22max xQ

59359.9max Q

4.5 hKcalxQQa /1139.959359.995.0max

6) Cálculo del máximo de aletas necesarios para L = 1 metro de tubería,habrá Na (Número de aletas) de espesor mmt 003,0

5.1 Longitud de tubería que ocupan las Na (Aleta )

mNtL aNa .

5.2 Longitud de tubería libre de aletas ( LaL )

aLa tNL 1

5.3 Calor total disipado

460 / . 1 460 /

9.11

100.25 / . 1 .

t ta La

t

ta a

La a

Q Q Q

Q Kcal h m x m Kcal h

Q x N

Q Kcal h m N t

5.4 Reemplazando

aletasN

NN

a

aa

418377,40

003.0125.10011.9460

5.5 Separación entre aletas

mmS

mx

S

39,21

02139,041

003,0411

143

Problema N° 4.8

Unas aletas anulares de aluminio de perfil rectangular están unidas a un tubocircular que tiene un diámetro externo de 50 mm y una temperatura desuperficie externa de 200°C. Las aletas tienen 4 mm de espesor y 15 mm delongitud. El sistema esta en contacto con aire ambiental a una temperatura de20°C y el coeficiente de transferencia por convección es 40 W/m2K. k = 240W/m.K

a) ¿Cuáles son la eficiencia y la efectividad de la aleta?

b) Si hay 125 de estas aletas por metro de longitud de tubo, ¿Cuál es latransferencia de calor por unidad de longitud del tubo?

SOLUCION:

1. Esquema de las aletas

Figura Nº 4.17 Corte transversal de un tubo con aletas anulares


2. Determinación de la longitud corregida, radio corregido la relación

adimensional de radios. Área de perfil y el parámetro:123

2c

p

hL kAæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø

144

( )

( )

2 2

2

1

5 2

1 1/ 223 3 / 225

40 2 0.0422

0.042 1.68 ( )0.025

15 2 0.0172

0.017 0.004 6.8 10

400,017 1.216240 6,8 10

c

c

c

p c

cp

tr r mm mm m

r m ir m

tL L mm mm m

A L t m x m x m

hL xkA

-

-

= + = + =

= =

= + = + =

= = =

æ ö é ù÷ç = =÷ ê úç ÷÷ç ´ ´ê úè ø ë û410-

3. Mediante gráfica N° 4.12 se determina la eficiencia de la aleta, con lasrelaciones (i) y (ii)

97.0

5. La perdida de calor por aleta es:

WCxmmx

KmWxxQ

rrhxQQ bc

50180025.0042.04097.02

2

222

21

2,2max

6. La efectividad de la aleta es:

05.11

180004.0025.0240

50

2,

Cxmxmx

KmW

W

hA

Q

bbc

6. Cálculo de la transferencia de calor por las 125 aletas:

mKWQ

mWQ

CmxxxxKm

WmWxQ

rNthNQQ b

/82.6

/5656250

180025.02004.0125140/50125

21

'

'

2'

1'

Peoblema N° 4.9

Se instalan aletas anulares de aluminio de 2mm de espesor y 15 mm delongitud sobre un tubo de aluminio de 30 mm. de diámetro. Se sabe que laresistencia de contacto termino entre una aleta y el tubo es de 2x10-4 m2K/w .

145

Si la pared del tubo esta a 100ºC y el flujo contiguo esta a 25ºC, con uncoeficiente de conveccion de 75 w/m2K. ¿Cuál es la transferencia de calor deuna sola aleta? ¿Cual será la transferencia de calor si la resistencia decontacto pudiera eliminarse?

Solución.-


Figura Nº 4.18 Corte transversal de un tubo con aletas anulares


2. La determinación del calor transferido, se determina mediante la siguienteexpresión.

fct

wf RR

TTq

,

Donde: WKmm

x

A

RR

b

ctct /06.1

002.0015.02

102 4,

,

Además:)(2

12

1,22

max rrnfhbAfhn

b

qn

b

q

bR

cffff

3. Evaluación de los siguientes parámetros

cr ,2 = mmmmmtr 031.01302/2

mtLLc 016.02/

1,2 / rr c 0.031/0.015=2.07

25102.3 mxtLcAp

20.0)102.3240/75(016.0)/( 2/152/32/12/3 xkAphLc

4. De la grafica N° 4.13 se determina la eficiencia

146

Nf = 0.94

WKmmKmW

Rf /07.3))015.0()031.0)((94.0)(./75(2

1222

5. Para una aleta adiabática con la resistencia de contacto:

WWK

Cqf 2.18

/)07.306.1(

)º25100(

6. Sin la resistencia de contacto Tw = Tb

WWK

C

Rfqf b 4.24

/07.3

º75

PROBLEMA Nº 4.10

El calor es transferido a través de una pared plana de espesor 25.1x , deconductividad térmica 200 / .ºk W m C . El lado izquierdo de la pared estáexpuesto a un fluido CT º1201 con un coeficiente de transferencia de calor

21 450 / ºh W m C . El lado derecho de la pared, también está expuesto a otro

fluido CT º204 con un coeficiente de transferencia de calor 24 25 /h W m k .

Se decide que el intercambio de calor entre ambos fluidos usar aletas (rectas)de perfil rectangular de longitud L = 2.5 cm de espesor w = 0.16 cm yespaciadas 1.25cm sobre sus centros, la conductividad es la misma delmaterial de la pared asumiendo que el flujo es unidimensional, encontrar el flujode transferencia de calor con unidad de área de la superficie primaria de lapared, si esta a) no tiene aleta. b) si se adicionan aletas al lado derecho.

Solución.-

1. Diagrama de Flujo

Figura Nº 4.19 Corte transversal de una pared con aletas y sin aletas


147

2. Para la pared sus aletas por área primaria Ap . El flujo de calor es.

2

41

11

hk

x

h

TTAp

q ff

1H (profundidad unitaria)

2120 202364.9 /

1 0.0125 1450 200 25

q W mAp

3. Si se adicionan aletas al lado derecho, el flujo de calor será:

43

1

41

'

11

hApAtk

x

h

TTAp

q ff

……………………..(3)

3.1 La determinación de la efectividad total de superficie derecha

11'

3t

f

A

A

3.2 La efectividad de cada aleta

mL

mLtanh ; Se determina mediante la gráfica

3.3 Para las condiciones del lado derecho

3125.00016.0200

252025.0

2

x

xx

kW

hLmL

9687.0 (Por gráfica N° 1)

3.4 Cálculo de relación área de aleta fA o área total superficie aleta

más área sin aletas tA

8256.0

25.15.22

16.05.22

2

2

L

WL

A

A

t

f

148

3.5 Cálculo de relación área total tA a área sin aleta Ap

52

L

Ap

At

3.6 Determinación de efectividad total

( )' 1 0.8256 1 0.9687 ' 0.9742h h= - - =

3.7 Reemplazando en la ecuación (3)

259742.05

1

20

0125.0

459

120120

xx

Apq

2/6.9526 mWApq ( Flujo de calor se incremento casi en un 300 %

Nota: Si se agregan aletas al lado izquierdo

3258.10016.0200

4502025.0

x

xmL

6549.0

3258.1

3258.1tanhtanh2

mL

mL

20.8256

2f

t

A L

A L

52

L

A

A

t

f

149

7151.0

6549.018256.0111

¡2

¡2

t

fA

A

2

2/2458

25

1

200

0125.0

4507151.05

120120

mW

xx

Apq

Aplicar aletas al lado derecho solo se incrementa el flujo de calor en eun 4% aproximadamente.

PROBLEMA N° 4.11

Una aleta circular con una sección transversal rectangular de 3,7 cm. Dediámetro externo y 0,3 cm. de espesor, rodea un tubo de 2,5 cm. de diámetro.La aleta está construida de acero inoxidable de K = 14,4 W/m.K. El aire quesopla la aleta produce un coeficiente de Transferencia de Calor de 28,4 w/m2 K.Si las temperaturas de la base de la aleta y el aire están a 260ºC y 38ºC,respectivamente.

Calcule:

a) El perfil de Temperatura para la aletab) La razón de Transferencia de Calor de la aleta

Figura Nº 4.20 Tubo con aletas anulares, expuesto a un fluido convectivo


150

Solución.-

1. Perfil de temperatura para la aletaEcuación de Bessel de Orden Cero.

01

1 22

2

m

dr

d

dr

d

2. Condiciones de frontera

0 0 1. : 1 ;C F ó T T r r

2. : 2 0 0 ;d dT

C F ó r rdr dr

3. Solución de la ecuación de Beseel

1 0 2 0( ) ( )C I mr C K mr

4. Reemplazando las condiciones de frontera, las constantes de integraciónC1 y C2 son.

1 0 1 2 0 1

Con la primera condición de frontera CF:1

( ) ( )o C I mr C K mr

7. De acuerdo a regla de la diferenciación de las funciones de Bessel

1 1

( ) ( )( ) ; ( )o odI x dk x

I x k xdx dx

0 01 1 2 1

( ) ( )( ) , ( )

dI mr dK mrC mI mr C mK mr

dr dr

6. Con la segunda condición de frontera CF: 2

1 1 2 2 1 20 ( ) ( )C mI mr C mK mr

5. Operando en forma simultanea, se tiene

0 1 1 0 1 2 0( ) ( )I mr C K mr C

1 2 1 1 2 2( ) ( ) 0I mr C K mr C

1 2 01

0 1 1 2 1 2 0 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

K mrC

I mr K mr I mr K mr

151

1 2 02

0 1 1 2 1 2 0 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

I mrC

I mr K mr I mr K mr

6. Por tanto la distribución de temperatura será

1 2 0 1 2 0

0 0 1 1 2 1 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

K mr I mr I mr K mr

I mr K mr I mr K mr

7. Cálculos:

12 2 28,436,260

14,4 0.003

h xm m

Ke x

1 2 1

0,31,25 0,0125 ; ( ) 0,6 0,75 0,0075

2 2 2c

t tr cm m L L r r cm m

2 1 1,25 0,75 2 0,02c cr L r cm m

Por Tanto:

1

2

36,260375 0.0125 0,45325

36,260375 0,02 0,7252075c

mr

mr

8. De las Tablas de funciones de Beseel

. De las Tablas de funciones de Beseel

0 0

1 1

0 0

1 1

(0,45325) 1.056205 (0,725207) 1.140426328

(0,45325) 0.23007 (0,725207) 0.384451112

(0,45325) 1.015116 (0,725707) 0.637442017

(0,45325) 1.921373 (0,725707) 1.01126659

I I

I I

K K

K K

9. De la ecuación de perfil de temperatura:

0 0(260 38) 1.01126659 ( ) 0.384451 ( )

1.45835f

I mr K mrT T

0 0153.9419 ( ) 58.5237 ( )fT T l mr K mr- = +

10. La razón de transferencia de calor de la aletamax ;aletaQ Q gráficamente (1)

11. Cálculos de los parámetros

152

1/ 2

3/ 22

1

2 1 2 1

...(1) ......(2)

2

cc

c c c

r hL

r KAp

tr R L L L L r r

40,75 75 10Lc cm x m 22 2 2 10cr cm x m

2 4 20,75 0,3 0,225 10cAp L t cm m

6,11025,1

1022

2

1

2

x

x

r

r c

1/ 2

3/ 2c

hL

KAp

=1/ 2

4 3/ 24

28,4(75 10 ) 0,19229

0,225 10 14,4x

x x

2 4 20,75 0,3 0,225 10cAp L t cm m

De la grafica: η = 0,985

max sup 0

2 2sup 2 1

( )

2 ( )

f

c

Q h A T T

A r r

2 2sup 2 1 2

2 2 2 2 3 2sup

3max

max

2 ( ) 2 (sin )

2 (2 10 ) (1,25 10 ) 1,532 10

28,4 1,532 10 (260 38) 9,656

aleta

A r r r t el radio corregido

A m

Q w

Q Q

0,985 9,656 9,51115aletaQ w

Problema N° 4.12

A un tubo de 40 mm. de diámetro exterior se le adosan aletas anulares dealuminio K = 197 Kcal / h.mºC de 0,5 mm. de espesor y 100 mm. de radioexterior separados entre si a una distancia de 5,5 mm. desde sus centros. Lasaletas son aisladas térmicamente en sus extremos.

La presencia de un fluido exterior implica la existencia de un coeficiente depelícula de 60 Kcal/h.m2.ºC Si existe una diferencia de temperaturas de 50ºCentre las superficies de tubo y el medio exterior, determinar:

153

a) El calor disipado en cada metro de longitud de tubería sin aletas.b) El calor disipado en cada metro de longitud de tubería con aletas.c) La temperatura en el extremo aislado de la aleta.d) El aumento en porcentaje de calor disipado por el hecho de colocar las

aletas.Solución.-


Figura Nº 4.21 Tubo con aletas anulares circunferenciales, expuesta a unfluido convectivo


1. Cálculo de calor disipado por metro de longitud de tubo sin aletas

1 0Q A h q=

1 1 0 0 0

1

2 2 (0,02) 60 1 7,5398

7,5398 50 376,99 / º

Q R Lh

Q kcal h C

2. Calculado Na (Números de alertas)

aletasxx

x

aw

aHNa

aawNaH

182105105,0

1051

)3.....()(

3

3

3. El calor disipado en cada metro de longitud de tubería con aletas

0( )T t fQ A h T T …….(4)

3.1 Calculando n` (eficiencia global)

154

1 (1 )f

t

A Na

A

. ……….(5)

3.2 Cálculo de los parámetros siguiente:

a. (r1/r2) = 0,4

b. 2

2 2 600,05 1,745

197 0,0005

hr

k t

c. Mediante gráfico N|° 2.18 Gráfica para determinar la eficiencia dealetas anulares se tiene que la eficiencia de la aleta es:η = 0,65

d. Calculo del área de la aleta2 2 2 2 2

2 12 ( ) 2 (0,05 0,02 ) 0,01319aletaA r r m

e. Cálculo del área del tubo libre de aletas (Ala)Ala = (L – Na x t) x 2 r1

Ala = (1 – 182 x 0,0005) x 2x(0,02) = 0,1142 m2

f. Cálculo del área total (At)At = Na x Aa + Ala = 0,01319 x 182 +0,1142 0 = 2,51478m2

g. Cálculo de la eficiencia global ( ), incluye el tubo libre aletas conlas aletas

182 0,013191 1 1 1 0,65 0,6658

2,51478

Na Aa

At

3.2 Reemplazando en la ecuación (4), para determinar el calor totaldisipado por la tubería con aletas

( ) 0,6658 2,51478 60 50 5023,73 /t t o fQ A h T T Kcal h

4. Determinación de la temperatura en el extremo aislado (TL)

4.1 La distribución de temperaturas determinado para este tipo de aletas:

1 2 0 1 2 0

0 0 1 1 2 1 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

K mr I mr I mr K mr

I mr K mr I mr K mr

4.2 Datos: To-Tf = 50 °C. r 2 = 0,05 m r1 = 0,02 m

4.3 Cálculo del parámetro (m),

12 60 234,90378

197 0,005

hm m

k t

155

4.4 Cálculo de las funciones de Bessel , los cuales se dan en la siguiente tabla:Con: mr1 = 0,69807 y mr2 = 1,745189

Io(mr1) Io(mr2) I1(mr1) I1(mr2) Ko(mr1) Ko(mr2) K1(mr1) K2(mr2)

1,1304 1,9219 0,3680 1,2488 0,6662 0,1564 1,0698 0,1970

4.5 Reemplazando en la distribución de temperatura:2( )L L fT T cuando r r

1 2 0 2 1 2 0 2

0 0 1 1 2 1 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )L K mr I mr I mr K mr

I mr K mr I mr K mr

2

0 0 1

0

( )

( ) 50

0,1970 0,9219 1,2488 0,1564

50 1,1304 0,1970 1,2488 0,6662

( ) 17,8699

L L f

f

L fL

L L f

T T cuando r r

T T C r r

T T

C

T T C

4.6 Calculo del aumento de calor disipado con el tubo con aletas

1

1

5023,73 376,99% 100 100 1232,58%

376,99TQ Q

de aumentoQ

PROBLEMAS Nº 13

Si desea incremental el paso de calor desde una pared plana al medioambiente que lo rodea, instalado para ello aletas de diferentes tipos sobredicha superficie de la forma que sobresalgan de la superficie de la pared unalongitud de 20 cm, siendo el material utilizado un conductor de k = 40kcal/hmºC y suponiendo en cualquier caso un coeficiente de transmisión decalor sólido - fluido de 17 / ºkcal hm C . Bajo estas condiciones se desea saber:

a) La configuración que será la más eficaz de entre las siguientesa.1 Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e = 1.25 cm

y anchura unitaria.

a.2 Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior.

156

b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando comoreferencia su conductividad térmica para que en las condiciones anteriorestenga la misma efectividad que la encontrada para la alta rectangular

Solución


Figura Nº 4.22 Aleta de perfil triangular instalado en una superficie plana,y expuesta a un fluido convectivo


2. Cálculo de la eficiencia de una aleta recta de perfil rectangularconstante, de espesor t = 1.25 cm y anchura unitaria H = 1 y longitudL = 20cm, con extremo aislado.

( ),

Tanh mL phm

mL KA

2 2P H t H t P H A H x t

21 0.0125 0.0125 2 1 0.0125 2.0250A m P

Pero con H = 1 P = 2 y A = t

2 . 2 2 17 / 2º

40 / º 0.0125

H h h x kcal hm Cm

H xt x K Kt kcal hm C x m

18.2462m m

157

3. Reemplazando : 1.644924Tanh

1. 1

1

tanh 8.2462 0.2 0.928750.563

1.649248.2462 0.2

m m

m m

Nota: 1 Cálculo de Phm

KA

Con 2 1 0.0125 2.025P m

21 0.0125 0.0125A x m

2.025 1768.85 8.29759

0.0125 40

xm

x

1tanh 8.29759 0.2 0.930152230.56049

8.29759 0.2 1.659518

m m

56 %

a.1 Cálculo de la eficiencia de aleta con convección en su extremolibre

0

/ cosh

cosh / h

max s

senhmL h M mLhPKA

mL h M sen mLQa

Q hS

22 1 0.2 2 0.4S H L P S m

Reemplazando

178.29759 0.2 40 cosh 8.29759 0.28.2975917 2.025 9.9125 4017cos 8.29759 0.2 40 s h 8.29759 0.28.29759

17 0.4

senh x x xx x x

h x x en x

x

4.178795 5.672765 / 2.853250.5715

17 0.4

x

x

Nota 2: Cálculo de la Eficiencia mediante gráfica fig 2.17 para aleta recta deperfil rectangular (aislada térmica en su extremo).

158

Parámetro: 20.2 8.2462 1.649 1.65

fL x

Kt

Por gráfica N = 0.56

Nota 3: Cálculo de la Eficiencia para aleta recta con convección en su extremo,su figura 2.18

Cálculos de los parámetros

1) Longitud corregida, 0.01250.2

2 2

tLc L 0.20625Lc m

2) Area del perfil 3 2. 0.20625 0.0125 2.578 10Ap Lc t m m

3) Cálculo del parámetro : 1/ 23/ 2 / .Lc h Ap k

1/ 23/ 2 30.20625 17 / 40 2.578 10 1.20265x x

4) Por gráfico aproximado la eficiencia es: η = 0.57

a.2 Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior segúntabla 3.5 (T.C. F Incropera), para aleta triangular , la Eficienciaes:

1

0

21 2

2aI mL h

x mmL I mL kt

Área de Perfil:1/ 2

222

2

tAf H L

Nota 4: Pasos para determinar la Eficiencia de una aleta triangular

1) Área de Sección Transversal (ver fig ) A x

xA AI

X L ,AI Ht entonces x

HtxA

L

xHt

dAL

2) Área superficial de la aleta : xS

159

22 *2 ,xS bH b x C

Donde *C se determina:*/ 2t C

L x , donde * / 2t X

CL

O sea 2 22 /

12

t s X tb x X

L L

Por tanto:

2

2 12xt

S HxL

Si2

12

tf

L

2 2x

x

dSS Hx f y Hf

dx

3) Reemplazando en la Ec. Diferencial y Simplificando

2

2. 0

x xx

dA dSd dK A h

dx dx dxdx

2

2. 2 0

Htx d Ht dK h Hf

L L dxdx

2

2

1 20

d d hfL

x dx Kt xdx

Si 2hLfn

Kb además si 1L b f

En la Ec. Diferencial para Aleta Triangular:

2 2

2

10

d d n

xdx xdx

………….(i)

Se satisface la condición monodimensional

2xS XH 2

xdS

dx H = 1

160

Por tanto si se reemplaza x x

x

dA dSA

dx dx

2

2. 2 0

Htx d Ht dK h

L L dxdx

2

2

1 20

d d hL

xdx Ktxdx

2 2

2

10 ( )

d d m tii

x dx xdx

Donde : 2hLn m L

kt

4) Siendo la solución de esta Ecuación Diferencial(i) 0 02 2BI n x CK n x

5) Para la Ec. ii la solución es: 0 02 2BI mx CK mx

6) Para calcular las constantes de integración de Aletatriangular B y C se parte de la condición de los extremos deacuerdo con la figura.6.1) Para x = 0 ; C = 0, por cuanto la función de Bessel

modificada ( 0K ) tiende a infinito cuando el argumentotiende a cero, por lo tanto:

0 2BI n x

6.2) Para x = L : T = T0 , que se supone constante 0 y por lo tanto, el valor de B es:

0 2BI n x ;

0

0 2B

I n L

6.3) La distribución de temperaturas queda en la forma:

00

0

. 22

I n xI n L

ó

0

0 0

2

2

I n L

I n L

161

6.4) El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal deanchura unitaria será igual al que penetra porconducción por su base, por lo que:

ax L

dQ KA

dx

1A tH H A t

01

01

d I axaI ax

dx

d k axak ax

dx

1/ 2 1/ 201

0

1/ 2011/ 2

0

01

0

2 22

22

22

22

22

x Lx L

x L

dx I n nx

dx I n L

nx I nx

xI n L

nx I n L

LI n L

Reemplazando en aQ

10

0

22

2 2a

I n LnQ Kt

L I n L

2 2hL hn m L m

kt kt

Cálculo de la Eficiencia

0max

QQ

Q max 02Q h H x d T Tx

22

2

td L

como L t H =1

d L

Reemplazamos

162

10

0

0

22

2 2

2a

I n Lnkt x

L I n L

h L

donde 2hLn

kt

1

0

21

2a

I n Lx

n L I n L ó 2 2hL

nkt

Si : .n m L n L m L L n L mL

Por tanto la Eficiencia también se puede determinar:

1

0

21 2

2aI mL h

x mmL I mL kt

Cálculos

2 2 17 0.23.6878

40 0.0125

hL x xn

kt x

2 2 3.6878 0.2 3.29846n L x

h. Las funciones de Bessel modificada de primera especie de orden cero yorden uno

3.6878 2 1.64925n L x

1 1

0 0

2 3.2985 5.195

2 3.2985 0.258

I n L I

I n L I

Reemplazando

01 5.195

0.5031.64925 6.258

x

i. Se observa que el rendimiento de las aletas rectangulares es superior al dela aleta triangular.

j.a. La Determinación de la Eficiencia mediante gráfico Fig. 217

(Aleta triangular de perfil rectangular

163

*) Cálculo del perímetro

2 172 0.2 1.64940 0.0125

xhL kt x

Por gráfico: 0.5a

b. Material con el que se debe construir la aleta triangulartomando como referencia su conductividad térmica, para queen las condiciones anteriores tenga la misma efectividad quela encontrado para la aleta rectangular, se ha de determinarla conductividad térmica del material

1

0

210.58

2a

I n Lx Si n L N

n L I n L

1

0

210.58

2aI N

N I N

Por lo que se debe tantear la relación.

En valor muy aceptable es N = 1.35 , entonces

2hL Nn

kt L como 2

.hL

N Lkt

2 2

2 2

2 2 17 0.259.69

º0.0125 1.35

hL x x kcalK

hm CtN x

164

4.7 Problemas Propuestos

Problema 4.7.1

El vapor de un sistema de calefacción fluye por tubos cuyo diámetro exterior es de 5cm. y cuyas paredes se mantienen a 180 °C. Al tubo se le sujetan aletas circulares dela aleación de aluminio 2024-T6 (k = 186 W/m.ºC.). de diámetro exterior de 6 cm.espesor constante de 1 mm. El espacio entre las aletas es de 3 mm y por lo tanto setienen 250 aletas por metro de longitud de tubo. El calor se transfiere al airecircundante que está a Tf = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 40W/m2°C. Determine el aumento en la transferencia de calor desde el tubo por metro delongitud, como resultado de la adición de las aletas

Problema 4.7.2

Una aleta anular de perfil rectangular, de acero k= 44 Kcal/h.m.°C ydimensiones, espesor, e = 0.5 mm y longitud L = 15 mm, se coloca en un tubode 20 mm de diámetro exterior. La temperatura en la base de la aleta es To= 90°C, la temperatura del fluido Tf = 20 °C, y el coeficiente de película, h =100Kcal/h.m.°C.

Problema 4.7.3

Se calienta agua sumergiendo tubos de cobre con pared delgada de 50 mm dediámetro en un tanque y haciendo pasar gases calientes de combustión(Tg=750K) a través de los tubos. Para reforzar la transferencia de calor alagua, se insertan en cada tubo cuatro aletas rectas de sección transversaluniforme, para formar una cruz. Las aletas tienen un espesor de 5mm ytambién están fabricadas de cobre (k=400W/m.K). Si la temperatura de lasuperficie del tubo es Ts=350K y el coeficiente de conveccion del lado del gases hg=30W/m2.K. ¿Cuál es la transferencia de calor al agua por metro delongitud del tubo?

Problema 4.7.4

165

La cara superior de una viga de forma (I) de 12 pulgadas semantiene a una temperatura de 500 °F, mientras que la inferior estáa 200 °F. El espesor de la estructura es de 1/2 pulgada y a lo largo dela viga sopla aire a 500 °F se tal suerte que h = 7 Btu/ h.pie2.°F.Suponiendo que la conductividad térmica del acero es constante eigual a 25 Btu/h.pie.°F, determine:

a. La distribución de temperatura desde la cara superior a lainferior.

b. La temperatura a 6 pulgadas del lado mas caliente.c. La cantidad calor transferido por la viga al aire.

Problema 4.7.5

Los dos extremos de una barra de cobre en forma de U de 0.6 cm dediámetro están rígidamente empotrados en una pared vertical, como semuestra en la figura. La temperatura de la pared se mantiene a 93ºC. Lalongitud desarrollada de la barra es de 0.6 m, y está expuesta al aire a38ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección es de 34W/m2K. De conductividad térmica 180 W/m.°C

(a) Calcule la temperatura del punto medio de la barra(b)¿Cuál será la razón de transferencia de Calor de la barra?

Problema 4.7.6

Un calentador de aire consiste en un tubo de acero (k=20 w/m .K), conradios interno y externo de r1 = 13 mm y r2 = 16 mm, respectivamente, yocho aletas longitudinales fabricadas integralmente, cada una deespesor t = 3mm. Las aletas se extienden a lo largo de un tuboconcéntrico, que tiene radio r3 = 40mm y aislado en la superficie externa.Agua a temperatura Ti = 900C, con un coeficiente de transferencia decalor hi = 5000 W/m2.K fluye por el tubo interior. A través de la regiónanular formada por el tubo concéntrico mas grande fluye aire a la

166

temperatura de 25 °C con un coeficiente de transferencia de calor h0 =200W/m2

a. ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de longitud para estesistema,tal como se muestra en la figura?

Problema 4.7.7

Aletas de aluminio de perfil triangular se unen a una pared plana cuyatemperatura superficial es 250ֻºC. El espesor de la base de aleta es 2mm, y su longitud es 6 mm. El sistema está en aire ambiental a unatemperatura de 20ºC, y el coeficiente de convección superficial es 40W/m² . K, de conductividad térmica k = 240 W/m.K.

(a) ¿Cuáles son la eficiencia y efectividades de la aleta?

(b) ¿Cuál es el calor disipado por unidad de ancho por una sola aleta?

167

V. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN FUNCIÓNDE DOS O MÁS VARIABLES

5.1 METODO ANALITICO - Conducción en Régimen Permanente en PlacasRectangulares

5.1.1 Determinación de la Distribución de la Temperatura

La ecuación de conducción del calor con el régimen permanente, encoordenadas rectangulares y en dos dimensiones es:

2 2

2 20

T T

x y

(5.1)

La solución de la ecuación anterior se obtiene, suponiendo que ladistribución de temperatura se puede expresar como el producto de dosfunciones, cada una de las cuales depende solamente de una de lasfronteras a una temperatura determinada independiente, es decir que:

X(x) es únicamente función de x

Y (y) es únicamente función de y

Figura N° 5.1 Placa plana en dos dimensiones, con temperaturas en los bordeiguales

Fuente: Elaboración propia- Ing Alberto Emilio Panana Girio

168

T = X(x) Y (y) (5.2)

Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenandola expresión resultante se tiene:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1X Y X YY X

x y X x Y y

(5.3)

Como cada miembro de esta ecuación depende solo de una variable, losdos miembros tienen que ser iguales a una constante ( 2 )

2 22

2 2

1 1X Y

X x Y y

(5.4)

.Resultando dos ecuaciones diferenciales siguientes:

22

2

22

2

0

0

XX

x

YY

y

(5.5)

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales son:

1 2

3 4

Y =β Senh λy +β Cosh λy

X =

β Sen λx +β Cos λx

(5.6)

Por tanto la distribución de temperatura es:

1 2 3 4T Senh y Cosh y Sen x Cos x (5.7)

Se tiene que (λ) y las (β), son constantes que hay que determinarmediante las condiciones de contorno.

Las siguientes condiciones de contornos párale sistema mostrado son:

x = 0 T = 0 ; x = a T = 0

y = 0 T = 0 ; y = b T = f x(5.8)

La aplicación de las condiciones de contorno conduce a:

2

4

y = 0 T = 0β 0

x = 0 T = 0

β 0

(5.9)

Entonces la ecuación general (5.7) se reduce a:

169

1 3T =β Senh λy ×β Sen λx = β Senh λy Sen λx

(5.10)

Además : 1 3β = β β (5.11)

La aplicación de la primera condición de frontera, conduce:

x = a T=0 0 =βSenh λy Sen λa

(5.12)

Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores de (y), esnecesario que:

- Senλa =0

- Que se satisface

- Y en general por: , 0,1, 2....an

nsiendo n

Para cada valor de (n) se obtiene un valor de (λ) que proporciona unasolución diferente de la ecuación

T = βsenh (λy) sen (λx) (5.13)

La solución general será la suma de todas estas soluciones parciales:

n n0

T= Senh

λ Sen λ x

nn

b

(5.14)

En la que n representa a la constante , para cada una de las soluciones.

Para nn=0λ =0

por lo que el primer sumando de la serie se anula,obteniéndose

n n1

T= Senh

λ Sen λ x

nn

y

(5.15)

La aplicación de la condición y = b ; T = f(x) conduce al calculo de n

n n nn=1

T=f(x) =

β Senh λ b Sen λ x

(5.16)

2λ=0, ,a a

170

n

π nCon:

λ = n =0,1,2,3... 0 a

ax

En una serie infinita de funciones de la forma:

1 2 3 nSenλ x , Sen λ x , Sen λ x ,........, Sen λ x ,

Estas son ortogonales y se cumple cuando

i j

0

Sen

λ x Sen λ x 0 , :a

dx con i j

Y tiene un valor determinado en un instante considerado, por lo tanto si laserie es convergente e integráble y si se multiplica por nSen

λ xse

obtiene:

Por definición de ortogonalidad se hacen cero (0), todas las integrales delsegundo miembro, menos la correspondiente al coeficiente βn por lo que:

n

0n n n

2 0n

0

f(x)Sen

λ x

2β Senh λ b f(x)Sen(λ x)a

Sen

λ xa

a

a

dx

dx

dx

(5.17)

Por la que la expresión de la distribución de la temperatura toma lasiguiente forma:

nn n,

n=1 n 0

,n=1 0

Senh( y)2 Sen( x) f(x)Sen( x)

a Senh( b)

nySenh2 nx nxa Sen f(x)Sen

nba a aSenha

a

x y

a

x y

T dx

T dx

(5.18)

n n n 1 1 1 n n nn=0

T=f(x)=

β Senh λ b Sen λ x =β Senh λ b Sen λ x +....+β S

enh

λ b Sen λ x

a a

2n 1 1 1 n n n n

0 0 0

f(x)Sen

λ x β Senh λ b Sen λ x Sen λ x .... β Senh λ b Sen

λ x ....a

dx dx dx

171

5.1.2 Determinación de la temperatura para un sistema bidimensional (placarectangular o cuadrada), cuando una frontera se encuentra a unatemperatura uniforme diferente a las temperaturas de las otras fronteras

Caso 1: Placa con un borde a temperatura uniforme

En el caso particular Fig.5.2, en que el borde y = b se mantenga atemperatura constante f(x) = To y teniendo en cuenta que:

Figura N° 5.2 Placa plana en dos dimensiones, con temperaturas en bordesiguales y la cuarta a una temperatura diferente


a a

00

0 0

anx nxf(x) Sen T Sen 1 1

a anT

dx dxn

(5.19)

La ecuación anterior se convierte en:

,

n=1 n=1,3,..0 0

ny ny nxSenh Senh SenT1 1T nxa a2 Sen ; 4

nb nbT a T nSenh Senha a

nx y a

n

(5.20)

La figura 5.3. se representa la forma de las Isotermas de una placarectangular aplicada a un borde

172

Figura N° 5.3 Placa plana en dos dimensiones, mostrando las isotermas,conborde inferior caliente


Caso 2: Si el borde caliente es la base inferior y los demás están a T = 0, lasolución se encuentra cambiando (y) por (b-y)

n=1,3,..0

n b-y nxSenh SenT a a4

nbT nSenha

(5.21)

Caso 3: Si el borde caliente es el correspondiente a (x = a) y las demásestán a T = 0 la solución se encuentra cambiando (y) por (x); (x) por(y); (a) por (b); (b) por (a)

n=1,3,..0

nx nySenh SenT b b4

naT nSenhb

(5.22)

Caso 4: Si el borde caliente es correspondiente a (x = 0) y los demás están a(T = 0) la solución se encuentra cambiando en el caso anterior x por(a-x)

n=1,3,..0

n a-x nySenh SenT b b4

naT nSenhb

(5.23)

5.1.2 Evaluación de la tasa de de calor

b1) El calor que atraviesa una superficie se determina a partir la ecuación deFourier, particularizando para dichas superficies e integrando a lo largode ella.

173

b2) Para el caso particular del calor transmitido a través de la superficie x =0, por unidad de longitud perpendicular al plano (x, y) se tiene:

( , )0 0

0

bx y

x x

y

TQ K dy

X

0n=10 0

a

0n=1 0

nySenh2 n nxa f(x)Sen

nba a aSenha

nbCosh 12 nxa f(x) Sen

nba aSenha

b a

X

y

X

KQ dx dy

KQ dx

(5.24)

Problema N° 5.1

Una placa rectangular bidimensional se somete a condiciones de fronterapreestablecidas tal y como se muestra en la figura. Utilizando la expresión de lasolución exacta para la ecuación de calor:

(1, 0,5) 1(1, 0,5)

n=1,3,5..2 1

nySenhT -T 1 12 nxL Sen

nWT -T LSenhL

n

n

a. Calcule la temperatura en el punto medio considerando los cincoprimeros términos de la serie.

b. Estime el error cometido al emplear sólo los tres primeros términos de laserie.

Diagrama de flujo:

174

Figura N° 5.4 Placa plana rectangular (bi-dimensional), con tres bordes atemperaruras iguales, y la superior a otra temperatura


Solución.-

1. De acuerdo a la figura, la placa rectangular tiene por dimensiones W =1m yL = 2m

2. Dividiendo la placa en incrementos de x = 1 m, y = 0,5m, La temperatura delpunto medio de la placa, tendrá por coordenadas, (x=1,y=0,5)T

3. Reemplazando las cantidades en la ecuación, para los cinco primerosnúmeros de la serien = 1,3, 5. Se debe tener en cuenta que al utilizar la ecuación para n= 2,4,6se hace cero

1

(1, 0,5) 1(1, 0,5)

2 1 3 5

(1)0,5Senh1 1 (1)(1) 2Sen

(1)(1)1 2 SenhT -T 2 2(3)0,5 (5)0,5T -T

Senh Senh1 1 1 1(3)(1) (5)(1)2 2Sen Sen(3)(1) (5)(1)3 2 5 2Senh Senh2 2

(1, 0,5) 1(1, 0,5)

2 1

T -T0,4457757

T -T

0,4457757(150 50) 50 94,5757T C

4. Para la pregunta (b)

175

(1, 0,5) 1(1, 0,5)

2 1

1 3

T -T

T -T

(1)0,5Senh1 1 1 1(1)(1) 2Sen

(1)(1)1 2 3Senh2 2

(3)0,5Senh(3)(1) 2Sen

(3)(1)2 Senh2

(1, 0,5) 1(1, 0,5)

2 1

T -T0,440742

T -T

0,440742(150 50) 50 94,0742T C

5. Cálculo del porcentaje de error

94,5757 94,0742% 0,53

94,5757

C Cerror

Nota 1.- De la ecuación, cuando se ha de calcular:

nxSen

L

, el valor de = 180 °

Nota 2.- De la ecuación, cuando se ha de calcular:

nySenh

L

, y nWSenh

L

el valor de = 3,1416

5.2 CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN FUNCIÓNDE DOS O MÁS VARIABLES

5.2.1 CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA (MÉTODONUMÉRICO)

176

Figura N° 5.5 Conducción unidimensional (Método numérico)

Fuente: Elaboración propia – Ing Alberto Emilio Panana Girio

Considerar una placa prismática cuadrangular de área de seccióntransversal al flujo de calor A = Δy.Δz, de longitud (L), tal como demuestra en la figura N° 5.4

Suponer que la placa actúa como elemento calefactor del fluido que lorodea, en el se genera energía, qo ( W/m3), que se distribuye en formauniforme en toda la placa.

Si la conducción de calor es unidimensional, en la dirección de lacoordenada (x), de tal forma que la placa se dividido en celdillas cúbicas,de amplitud en esa dirección Δx, de tal modo que en la placa existenplanos seccionales en el interior, identificados como: 0, 1, y 2: así comolos planos situados en frontera adyacentes al fluido convectivo: a y b.

La placa presenta una conductividad térmica (k), cuyo valor se puedeasumir constante.

a. Nodo interno (0)

La determinación de la ecuación nodal para los nodos internos, seprocederá de la siguiente forma:

a1. Realizando un balance de energía para el placa seccional (0), la cual seencuentra adyacente a los placas seccionales 1 y 2

1 0 2 0

1 0 2 0

0

0

gen

o

Q Q Q

T T T TkA kA q A x

x x

(5.25)

a2. Simplificando la ecuación nodal del nodo (0), será:

2

1 2 02 0oq xT T T

k

(5.26)

177

a3. De la misma forma se procederá para la determinación de la ecuaciónnodal, para los nodos 1 y 2

b. Nodo en frontera convectiva, (a y b )

b1. . Realizando un balance de energía para el placa situado en fronteraconectiva (a), la cual se encuentra adyacente al fluido de temperaturaTf, de coeficiente de película h y al nodo (1):

1

1

0

02

f a a gen

af a o

Q Q Q

T T xhA T T kA q A

x

b2. Simplificando la ecuación nodal del nodo (a), será

2

1

2 22 2 0o

f a

q xh x h xT T T

k k k

(5.27)

b3. De la misma forma se procederá para la determinación de la ecuaciónnodal, para otro nodo situado en frontera convectiva (b)

55..22..22 CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR,RÉGIMEN PERMANENTEEN PLACAS RECTANGULARES

Los métodos numéricos se pueden aplicar a problemas de conducción enrégimen estacionario y a problemas en que aparezcan condiciones de contornoradiactivas o que exista una generación de calor interna qo (W/m3).

El método numérico de diferencias finitas divide al modelo sólido en una seriede nodos, haciendo en cada uno de ellos un balance de energía, se obtieneuna ecuación para el cálculo de la temperatura de cada nodo, también seobtiene una ecuación separada para cada nodo situado en el contorno operiferia del sólido.

El resultado final de la aplicación del método es la obtención de un sistema den ecuaciones correspondientes a los (n) nodos del sistema, que sustituyen alas ecuaciones en derivadas parciales y a las condiciones de contorno aaplicar.

178

Si el número (n) de nodos es pequeño, se puede utilizar técnicas normales deresolución de ecuaciones; si el número aumenta, puede ser ventajoso el utilizarsoluciones aproximadas por métodos iterativos, y si el número de nodos esmuy grande hay que utilizar a programas computacionales.

Para un problema de conducción bidimensional, la técnica de diferencias finitasse aplica como se especifica a continuación.

a) Se divide el sólido en un cierto número de cuadrados o rectángulos de igualtamaño

b) Se supondrá que las características de cada cuadrado o rectángulo, seconcentran en el centro del mismo, como la masa, temperatura, etc.

c) Cada uno de los cuadrados o rectángulos, tiene una longitud Δx, en ladirección x, y Δy en la dirección y.

d) El nodo al que se ha asignado el subíndice (0) se puede encontrar rodeadopor cuatro nodos adyacentes, como se muestra en la Fig.5, de forma quecada nodo esté conectado a los contiguos mediante una línea conductora através de la cual se pueda conducir el calor de un cuadrado a otro

5.2.1.2 Nodos Interiores

a)- Aplicando la ecuación de Fourier al nodo interior (0), con Δx y (corresponde a un rectángulo de profundidad (d), el balance energético, enrégimen estacionario, sin generación de energía térmica es:

Figura. N° 5.6 Nodo interior conductivo, sin generación interna de calor

Fuente: Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Gario

4

01

0i

ii

Q

179

1 0 2 0 3 0 4 0 0Q Q Q Q

La ecuación (5.28) es la ecuación nodal de temperaturas para un nodointerno en una placa rectangular. (bidimensional)

b)- Si es un cuadrado de espesor (d), de acuerdo a la Fig. 5.6, con: Δx = Δy , elbalance energético será:

1 01 1 0

2 2 0

3 3 0

4 4 0

4

0 1 2 3 4 01

T TTQ 0 = -KA

Δyd T T

x

Δx

Q 0 = Kd T T

Q 0 = Kd T T

Q 0 = Kd T T

0 T +T +T +T 4T 0i

ii

K kd

Q

(5.29)

La exactitud que se consigue al sustituir el gradiente de temperaturas, dT/dx,por la diferencias finitas de dos temperaturas, (T1-T0), depende del tamaño decada cuadrado, a menores dimensiones de los cuadrados, mayor exactitud enel gradiente de temperatura.

5.2.2.2 Nodos en contacto con un fluido

A todos los nodos que se encuentran situados en toda la periferia del sólido,hay que hacerles un balance de energía por separado.

Figura. N°5.7 Nodo situado en frontera convectiva


180

Si el sólido esta en contacto con un fluido a Tf, Fig. N° 5.7, con uncoeficiente de transmisión de calor por convección (h), se asigna a cadanodo de este tipo la mitad de la superficie que a cualquier otro nodointerior. El nodo (0) puede intercambiar calor por conducción con tresnodos continuos, y transferir calor por convección al fluido

El balance de energía en el nodo (0) es:

Sustituyendo las aproximaciones de las diferencias finitas para la ley deFourier correspondientes a los tres primeros términos y para la ley deNewton en el último, se obtiene, para un espesor unidad, cuando Δx esdiferente a Δy (placa rectangular):

c f 0

T -T T -TT -T1 0 3 02 0Δx Δxk

Δy +K +k +h Δy T -T =0 (5.30)

Δx 2 Δy 2 Δy

Si Δx = Δy , se simplifica, quedando en la siguiente forma:

2 3 01 f c 0

T +T hΔx

ΔxT T - 2 + h T 0

2 K K

2 3 1 f 0

2hΔx 2hΔx

T +T 2T T - 4+ T 0K K

(5.31)

5.2.2.3 GENERACION DE ENERGIA EN LA PLACA

Si el nudo (0) de la placa, Fig. N° 5.7, existe un foco térmico generador deenergía E, el balance energético en el nodo citado, en un sistemabidimensional con 4 nodos vecinos es:

Sustituyendo cada término del balance térmico y:

i.- Si la red es rectangular, donde: Δx y

1 2 0 3 0 4 0ok

Δy d +K Δx d +k Δy d +k Δx d +q Δx Δy d=0

Δx Δy Δx ΔyoT T T T T T T T

5.32)

2- Si la red es cuadrada: Δx = y

1 0 2 0 3 0 f 0Q +Q +Q +Q =0

1 0 2 0 3 0 4 0Q +Q +Q +Q +E=0

181

2

1 2 3 4 0

2

1 2 3 4

0

T T +T T 4T 0

T T +T TT

4

o

o

xq

K

xq

K

(5.33)

5.2.3 CONDUCCIÓN TRIDIMENSIONAL (MÉTODO NUMÉRICO)

Considerar una cámara cúbica de paredes gruesas y aristas externas 2a, 2b,

2c, la octava parte se representa en la figura N° 5.8

Figura. N°5.8 Nodo interno en un sistema


1) Considerar que la cámara cúbica es la de un horno, conteniendo en sus

paredes resistencias eléctricas calefactoras.

2) Se requiere tres coordinas x, y, z para expresar la distribución de

temperaturas en sus paredes, para tal fin se ha dividido en celdillas

cúbicas de dimensiones x y z de tal forma que sus nodos

extremos coinciden con sus límites.

3) La aplicación de Balance de energía para el nodo interno ( , ,i j k ) ver la

figura Nº 5.9

Se tiene: 0 0Q

182

Figura Nº 5.9 Nodo Interno ( , ,i j k ) de una cámara cúbica (con generación

interna de calor 30 /q W m , en estado estacionario).


4. Sean las celdillas identificadas como puntos nodales: :

Nodo 0 , ,i j k Nodo 4 , 1,i j k

Nodo 1 1, ,i j k Nodo 5 , , 1i j k

Nodo 2 1, ,i j k Nodo 6 , , 1i j k

Nodo 3 , 1,i j k

5. Reemplazando las cantidades de calor en el balance de energía

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 0genQ Q Q Q Q Q Q

1 0 2 0 3 0

4 0 5 0 6 0

0 0

T T T T T Tk y z k y z k x z

x x y

T T T T T Tk x z k x y k x y

y z z

q x y z

(5.34)

6. Simplificando2

1 2 3 4 5 6 0 06 0x

T T T T T T T qk

(5.35)

183

7. Si en la cámara no hay generación interna de calor

1 2 3 4 5 60 6

T T T T T TT

(5.36)

5.2.4 Problemas Resueltos

PROBLEMA Nº 1

Calcule la temperatura en los nodos de la figura adjunta, toda la superficie

exterior está expuesta al entorno convectivo y toda la superficie interior está a

una temperatura constante de 300 ºC.

Figura Nº 5.10 Corte transversal de una chimenea compuesto de dosmateriales en forma cuadrada (sistema bidimensional)en estado estacionario).


Solución.-

1. Por simetría de la cuarta parte de la figura, se tiene:

1 15 2 12 3 8 4 14 6 11

9 10 13 300º

T T T T T T T T T T

T T T C

2. Se ha de determinar la temperatura de los nodos: 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,T T T T T T T

Ecuación para el Nodo 1:

184

2 1 5 1

5 12 11

2 0

2 02

c

A F A

Q Q Q

T TT TYK L h XL T T K XL

X Y

Donde: X Y

2 1 1 5 1

1 2 5

0

2 ....... 1

A F A

A A A F

K T T h X T T K T T

K h X T K T K T h XT


1 2 3 2 6 2

3 2 6 21 22

0

02 2

c

A F A A

Q Q Q Q

T T T TT TY YK L h XL T T K L K XL

X X Y

Donde: X Y

1 2 2 3 2 6 2

1 2 3 6

02 2

2 ....... 22 2

A AF A

A AA A F

K KT T h X T T T T K T T

K KT K h X T T K T h XT


2 3 4 3 7 3

2 3 4 3 7 33

0

02 2

c

A F A A

Q Q Q Q

T T T T T TY YK L h XL T T K L K XL

X X Y

Donde: X Y

2 3 3 4 3 7 3

2 3 4 7

02 2

2 ....... 32 2

A AF A

A AA A F

K KT T h X T T T T K T T

K KT K h X T T K T h XT


3 4 8 4

3 4 8 44 4

0

02 2 2 2

c

A F F A

Q Q Q

T T T TY X Y XK L h L T T h L T T K L

X Y

Donde: X Y , 8 3T T

185

3 4 4 3 4

3 4

02 2

....... 4

A AF

A A F

K KT T h X T T T T

K T K h X T h XT


6 5 1 5 9 5

6 5 6 5 1 5 9 5

2 0

2 2 02 2B A A B

Q Q Q

T T T T T T T TY YK L K L K XL K XL

X X Y Y

Donde: X Y

6 5 6 5 1 5 9 5

1 5 6 9

2 0

2 ....... 5

B A A B

A A B A B B

K T T K T T K T T K T T

K T K K T K K T K T


5 6 2 6 7 6 10 6

5 6 5 6 2 6 7 6

7 6 10 6

0

2 2 2

02

B A A A

B B

Q Q Q Q

T T T T T T T TY Y YK L K L K XL K L

X X Y X

T T T TYK L K XL

X Y

Donde: X Y

5 6 5 6 2 6 7 6 7 6 10 6

2 5 6 7 10

02 2 2 2

2 ....... 62 2

B A A BA B

A B A BA A B B

K K K KT T T T K T T T T T T K T T

K K K KK T T K K T T K T


6 7 3 7 8 7 11 7

6 7 6 7 3 7 8 7

11 7 11 7

0

2 2

02 2

B A A A

A B

Q Q Q Q

T T T T T T T TY YK L K L K XL K YL

X X Y X

T T T TX XK L K L

Y Y

Donde: X Y , 11 6T T

186

6 7 6 7 3 7 8 7 6 7 6 7

3 6 7

02 2 2 2

2 3 0 ....... 7

B A A BA A

A A B A B

K K K KT T T T K T T K T T T T T T

K T K K T K K T

Reemplazando valores a las ecuaciones 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 tenemos:

1 2 521.25 10 10 12.5T T T (1)

1 2 3 65 21.25 5 10 12.5T T T T (2)

2 3 4 75 21.25 5 10 12.5T T T T (3)

3 410 11.25 12.5T T (4)

1 5 610 100 50 12000T T T (5)

2 5 6 710 25 100 25 12000T T T T (6)

3 6 720 50 70 0T T T (7)

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se tiene que las temperaturas

de los nodos son:

1 15 2 12

3 8 4

5 14 6 11

7

253,5477º 249,8672º

236,6211º 211,4410º

287,6715º 284,6335º

270,9157º

T T C T T C

T T C T C

T T C T T C

T C

PROBLEMA Nº 2

Obtenga las ecuaciones en diferencias fintas en estado estacionario para los

modos (m,n), (m+1, n), (m-1, n-1), de la siguiente configuración en la que

x y , la superficie superior esta sometida a un flujo de calor constante q , y

la superficie diagonal esta sometida a una convección con un fluido a

temperatura T y coeficiente de convección, h suponga profundidad unitaria y

generación interna de calor 0q .

187

Figura Nº 5.11 Sistema bidimensional para evaluar la ecuación nodal detemperaturas para los nodos: (m,n), (m+1, n), (m-1, n-1),(sistema bidimensional en estado estacionario).


Solución.-

1) Para el nodo (m,n)1.1 Balance de Energía

1, , 0m m n gen cQ Q Q Q

0

1 ,,

2 21 0

2 2m m n

m n

x yqT Ty x

K q hL T Tx

1.2 Cálculo de L:

2 2 2 2

2 2 2 2

x y x yL

Si x y

2 12

4 2

xL x

2

1 , 0 ,1/ 2 02 2 4m m n m nk x x

T T q q h x T T

1.3 Simplificando y multiplicando por (2/k)

188

2

01 , ,2 1/ 2 0

4m m n m nq xx h

T T q x T Tk k k

20

1 ,2 2

1 1/ 2 1/ 2 04m m n

q xh q x hT x T x T

k k k k

2) Para el nodo (m+1,n)

, 1 2, 1, 1, 1, 0m n m m n m n m n m n genQ Q Q Q Q

, 1, 2, 1, 1, 1 1,01 0

2 2 2m n m n m n m n m n m nT T T T T Ty y y

k k k x q x q xx x y

2

, 1, 2, 1, 1 02

4 2 0m n m n m n m nx

T T T T q x qk k

3) Para el nodo (m+1,n-1)

1, 1, 1 2, 1 1, 1 0m m n m n m n c genQ Q Q Q

1, 1, 1 2, 1 1, 11, 1 0 0

2 2m n m n m n m n

m nT T T Ty x y

k x k y hH T T qy x

2 2 2H x y x

Multiplicando 2/k

2

01, 1, 1 2, 1 1, 1 1, 1

22 2 2 0m n m n m n m n m n

q xhT T T T x T T

k k

20

1, 2, 1 1, 12 2 2

2 2 4 2 0m n m n m nq xh h x

T T x T Tk k k

189

PROBLEMA Nº 3

Ecuación nodal ubicada en una esquina externa con convección y generación

interna de calor de una placa cuadrada

Figura Nº 5.12 Sistema bidimensional para evaluar la ecuación nodal detemperaturas para los nodos: (m,n), situado en unvértice convectivo, con generación interna de calor,(sistema bidimensional en estado estacionario).


1) Balance de Energía ; d = 1

1, , , 1 1 2 0m n m n m n genQ Q Qc Qc Q

, 1 ,1 ,, , 0

,.1. . 1

2 2 2 2 2 2

m n m nm m nf m n f m n

T TT n Tk y x h y x x yT T h T T q

x y

Si el sistema es una placa cuadrada x y

Multiplicando por 2

k

2

1 , 1 , , 02 2 2 04m m n m n f m n

x x xT T T h T h T q

k k

20

, 1 1, ,2 .

2 1 04

fm n m n m n

h x T q xxT T h T

k k k

190

PROBLEMA Nº 4

Hallar la ecuación nodal para nodo situado en una esquina interna con

convección y generación, en un sistema bidimensional., para una placa

rectangular y placa cuadrada

Figura Nº 5.13 Sistema bidimensional para evaluar la ecuación nodal detemperaturas para los nodos: (m,n), situado en unvértice convectivo, interior con generación interna decalor, (sistema bidimensional en estado estacionario).


Solución

1) Balance de energía d = 1

1, , 1, , , 1 , , 1 , 1 2 0m n m n m n m n m n m n m n m n genQ Q Q Q Qc Qc Q

1, , 1, , , 1 , , 1 ,

, , 0

2 2

. . 02 2 2 2 2

m n m n m n m n m n m n m n m n

f m n f m n

T T T T T T T Ty xk y k k x k

x x y y

y x x x xh T T h T T q y

Si el sistema es una placa cuadrada x y , multiplicando por 2

k

2 2

1, 1, , 1 , 1 , , 02 2 6 2 22 4m n m n m n m n m n m n f

x x x xT T T T T h T h T q

k k

2

1, , 1 1, , 1 , 02 2 2 3 .34m n m n m n m n f m n

x h x xT T T T h T T q

k k

191

Problema N° 5

Hallar la ecuación nodal para un nodo en un sistema tridimensional ubicado en

una arista exterior, en el cual existe transferencia por convección y se produce

generación interna de calor.

Figura Nº 5.14 Nodo situado en una arista convectiva exterior de unsistema para evaluar la ecuación nodal de temperaturaspara los nodos: 0, con generación interna de calor, enestado estacionario


Solución.-

1. Balance de energía para el sistema mostrado en la figura

1 0 2 0 3 0 4 0 1 2 0genQ Q Q Q Qc Qc Q

2. Reemplazando las cantidades de calor y simplificando se tiene.

1 0 2 0 3 0 4 0

0 0 0

. . . . .2 2 2 2 2 2

. . . . . 02 2 2 2f

T T T T T T T Ty x y x y xk z k k k z

x z z y

x y x yh z Tf T h z T T q z

3. Ahora : si x y z ,

192

2

1 0 2 0 3 0 4 0 0

2 3

0 0

2 4 4 2 2

. 02 4

f

f

x x x x xk T T k T T k T T k T T h T T

x xh T T q

4. Si multiplicamos todo por 4

.k xobtenemos

2

1 0 2 0 3 0 4 0 0 02 2 2 2 4 4 0fh h x

T T T T T T T T xT xT qk k k

201 2 3 4 0

4 42 2 6 0f

qh h xT T T T T x T x

k k k

PROBLEMA Nº 6

Una varilla de aluminio de 2.5 cm de diámetro y 15 cm de largo sobresale de

una pared que es mantenida a 300ºC. La temperatura ambiente es de 38ºC. El

coeficiente de transferencia de calor es de 38ºC. El coeficiente de transferencia

de calor es de 217 / ºW m C utilizando una técnica numérica de acuerdo con el

resultado

2 2

1 12 0m m mLP x hP x

T T T TkA kA

Obtener valores para las temperaturas a lo largo de la varilla.

Subsecuentemente obtenga el flujo de calor de la pared en x =0. Sugestión: La

conducción de frontera en la junta de la varilla puede expresarse por:

2 2

11 02 2m m

hP x hP xh x h xT T T

k kA k kA

Donde: (m) denota el nodo que se encuentra en la punta de la aleta.

El flujo de calor en la base es: 0 1x m mkA

q T Tx

193

Donde mT en la temperatura de base y 1mT es la temperatura en el primer

incremento.

Solución.-

1. Diagrama

Figura Nº 5.15 Sistema unidimensional con custro nodos nos y dos enlos bordes, con superficie exterior expuesto a un fluidoconvectivo, en estado estacionario


2. La varilla se divide en secciones de incremento x = 3cm por lo tanto se

tiene: 15

53celdillasM

3. Existiendo 6 superficies transversales (1, 2, 3, 4, 5, 6), donde las

superficies externas son: (1 y 6), y las superficies internas son: (2, 3 4, 5)

4. Deducciones de las ecuaciones nodales de los planos 2, 3, 4 y 5

(secciones internas)

4.1 Para un plano seccional interno conducción unidimensional. estacionario,

sin generación interna de calor, tal como se muestra en la figura siguiente,

se plantea el balance de energía para un nodo interno identificado por (m)

194

( 1) ( 1) convecm m m mQ Q Q

1 1,m m m mm

T T T TkA kA hP x T T

x x

2 2

1 12 0m m mhP x hP x

T T T TkA kA

4.2 Ecuación nodal para nodos en fronteras

4.2.1 Para el nodo 1T

1 300ºT C

4.2.2 Nodo 6 (Situado en frontera convectiva)

Balance de Energía

5 6 6 60

con conQ Q Q

5 6

2

x

x

195

5 66 6 0

2

T T hP xkA T T hA T T

x

2 2

6 51 02 2

hP x h x P x h xT h T T

kA k kA k

5. Ecuaciones Nodales

Nodo 1: 1 300ºT C

Nodo 2: con P D2

4

DA

24

4

P D

A DD

2 2

2 1 34 4

2 0h x h x

T T T TkD kD

Reemplazando valores

2 2

2 34 17 0.03 4 17 0.03

2 38 300 0228 0.025 228 0.025

T Tx x

2 320107 300,408 0T T

Nodo 3

2 2

3 2 44 4

2 0h x h x

T T T TkD kD

2 2

3 2 44 17 0.03 4 17 0.03

2 0228 0.025 228 0.025

T T Tx x

3 2 420107 0.408 0T T T

Nodo 4

196

2 2

2 3 5

2 2

4 3 5

4 42 0

4 17 0.03 4 17 0.03 382 0

228 0.025 228 0.025

h x h xT T T T

kD kD

xT T T

x x

4 3 520107 0.408 0T T T

Nodo 5

2 2

5 4 6

2 2

5 4 6

4 42 0

4 17 0 .03 4 17 0 .03 382 0

228 0 .025 228 0 .025

h x h xT T T T

kD kD

xT T T

x x

5 4 620107 0.408 0T T T

Nodo 6

22 2

6 522

1 0h xh x h x x

T h T TkD k k kD

2 2

6 517 2 0.03 17 0.03 17 0.03 2 17 0.03

1 38 0228 0.025 228 228 228 0.025

x x x x x xT x T

x x

6 51.007605 0.289 0T T

Rpta: 2 3 4

5 6

228.049 278.779 272.083

267.89 266.157

T T T

T T

PROBLEMA 7

Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario enuna barra sólida larga de sección transversal cuadrada en la cual se generacalor de manera uniforme con una velocidad de 2

0 0.19 105 / .q x BTU h pie .

La sección transversal de la barra tiene un tamaño de 0.4 pies x 0.4 pies y suconductividad térmica es K = 16 BTU/h.pieºF. Los cuatro lados de la barraestán sujeto a convección con el aire ambiente que esta a 70ºT F , con un

coeficiente de transferencia de calor de 27,9 / ºh BTU hpie F . Mediante elmétodo de diferencias finitas con un tamaño de malla de 0.2x y pies .

Determine:

197

a) Las temperaturas en los nueve nodosb) La velocidad de la pérdida de calor desde la barra a través de una

sección de 1 pie de largo.

Figura Nº 5.16 Sistema bidimensional con fronteras expuesta a fluidosconvectivos


Solución.-

1.- Datos

50 2

0.19 10 16 70ºº.

7,9 0.2º

BTU BTUq x h T F

h pie Fh pie

BTUh x y pies

h pie F

2.- Determinación de las ecuaciones para los nodos mostrados en la figura

Para el nodo 5:

4 5 6 5 2 5 8 5 0genQ Q Q Q Q

4 5 6 5 2 5 8 50 0

T T k y T T T T T Tk y k x k x q x y

x x y x

20

4 5 6 5 2 5 8 5

5 2

2 4 5 6 8

2 4 5 6 8

0

0.19 10 0.24 0

164 47,5 0............................ 1

q xT T T T T T T T

k

x xT T T T T

T T T T T

198

Para el nodo 2:

1 2 3 2 5 2 6 2 0genQ Q Q Q Q

3 2 5 21 22 0 0

2 2 2

T T T TT Ty k y yk k x h x T T q x

x x y

1 2 3 54.1975 2 61.325 0 ................... 2T T T T

Para el nodo 8:

7 8 9 8 5 8 8

5 7 8 9

0

2 4.1975 61.325 0 ................... 3

c genQ Q Q Q Q

T T T T

Para el nodo 6:

5 6 3 6 9 6 6

3 5 6 9

0

2 4.1975 61.325 0 ................... 4

c genQ Q Q Q Q

T T T T

Para el nodo 4:

1 4 7 4 5 4 4

1 4 5 7

0

4.1975 2 61.325 0 ................... 5

c genQ Q Q Q Q

T T T T

Para el nodo 1

2 1 4 1 1 1

1 2 4

0

2.1975 37.575 0 ................... 6

c c genQ Q Q Q Q

T T T

Para el nodo 3:

2 3 6 3 3 3

2 3 6

0

2.1975 37.575 0 ................... 7

c c genQ Q Q Q Q

T T T

Para el nodo 7:

4 7 7 8 7 7

4 7 8

0

2.1975 37.575 0 ................... 8

c c genQ Q Q Q Q

T T T

199

Para el nodo 9:

8 9 9 6 9 9

6 8 9

0

2.1975 37.575 0 ................... 9

c c genQ Q Q Q Q

T T T

Resolviendo

1

2

3

4

304,8482º

316,1644º

304,8482º

316,1644º

T F

T F

T F

T F

5

6

7

8

9

328,0394º

316,1644º

304,8482º

316,1644º

304,8482º

T F

T F

T F

T F

T F

3.- Cálculo del flujo de calor desde la barra hacia el fluido

3 6 9 82 2

Q h y T

y yQ h T T y T T T T

1 1304,8482 70 316,1644 70 304,8482 70

2 2

7,9 0,2 481,0126 ºº

Q h y

BTUQ pie F

h pie F

759,9999BTU

Qh pie

PROBLEMA N° 8

Obtener la ecuación nodal para un nodo situado en la cara interior de un hornoque se encuentra expuesta a los gases calientes cuya T= Tf de coeficiente h,de conductividad térmica k, con generación de energía interna. En donde lasamplitudes para este horno en las direcciones x, y, z son Δx, Δy, Δz; iguales.

Solución:

1. Balance de energía

Q1-0 + Q2-0 + Q3-0 + Q4-0 + Q5-0 + QC-0 + Qgenerado = 0

200

2. Reemplazando la ecuación de Fourier en cada una de las cantidades decalor por conducción, el calor convectivo y generado y simplificando setiene,

2of

1 2 3 4 5q x2h xT 2 xT +T +T +T +2T + + (6 ) 0

k k oh T

kDD D- + =

Figura N° 5.17 Nodo situado en la cara interna de un horno hueco,sistema tridimensional

Fuente: Elaboración propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio

5.2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema N°1

Del libro de transferencia de calor (Holman) tabla 3.2 demostrar la ecuación

nodal para un nodo interior (m; n) situado en un contorno curvo (F).Diagrama

Fuente : J.P.Holman; Transferencia de calor, 8ava Edición

201

Problema N° 2

Determinar la ecuación nodal, para un nodo identificado por (i, j, k), en tresdimensiones, en estado transitorio, con generación de calor interno por unidad devolumen y por unidad de tiempo (qo), situado en un lado de una cámara cúbica o deun horno, de conductividad térmica (k), expuesto a un medio ambiente detemperatura (Tf) y coeficiente de transferencia de calor (h). Las celdillas para unsistema tridimensional x, y, z, son de amplitudes Δx = Δy = Δz, el material tiene unadensidad (ρ) , conductividad térmica (k), y difusividad térmica (α).

Problema N° 3

Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en uncuerpo sólido con una ranura en V cuya sección transversal se da en la figura, lassuperficies superiores de la ranura se mantienen a 32 °F en tanto que la superficieinferior se mantiene a 212 °F. las superficies laterales de la ranura están aisladas.Con Δx = Δy = 1 pie, determine las temperatura de 1 a 11 de la figura.

Fuente: Yenes Cengel, Transferencia de Calo, 2da Edición

Problema N° 4

Obtenga la ecuación en diferencias finitas de estado estacionario para el nodo(m, n) situado en la superficie exterior de un sólido bidimensional (el sólidotiene dimensiones según los ejes x e y; la dimensión según el eje z es unitaria),en el que hay una generación de calor volumétrica de valor qo = W/m3 , paralas siguientes condiciones:

a) La superficie frontera está aislada.

202

b) La superficie frontera está sometida a un flujo de calor entrante de valor

constante,

TEMA VI: CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA

Un proceso de transferencia de calor es transitorio siempre que la temperaturacorrespondiente al interior del sistema varíe a lo largo del tiempo; existenmuchos ejemplos, tales como:

Procesos de fabricación productos, los cuales se tienen que calentaro enfriar para transformarlos en productos adecuados.

Los hornos industriales los que se encienden o apagan de modocíclico, en los cuales se realizan procesos que originan variacionesde temperaturas, tanto en el interior como en sus paredes

Los aceros y otras aleaciones suelen calentarse o enfriarse paramodificar sus propiedades físicas, mediante tratamientos térmicos

Las variaciones de la temperatura en el sólido a estudiar se consiguenponiéndole en contacto con un medio exterior, líquido o gas, se originan laconvección, y según sea el valor del coeficiente de convección del fluido y laconductividad térmica del sólido, se pueden dar los siguientes casos:

a. Condición de resistencia térmica interna despreciableb. Condición de contorno de convecciónc. Condición de contorno isotérmica

6.1 SOLUCIÓN NUMÉRICA A PROBLEMAS DE CONDUCCIÓNUNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN TRANSITORIO

El método numérico aplicado a los problemas de conducción de conducción enrégimen transitorio es semejante a lo realizado para régimen estacionario. Elsólido se divide en un cierto número de celdillas y en el centro de cada una sesitúa un nodo ficticio en el que se supone están concentradas las propiedadestérmicas de las mismas.

Realizando un balance de energía en cada nodo permite hallar una expresiónpara determinar su temperatura, en función de las temperaturas de los nodos

203

vecinos, y de las características térmicas y geométricas del nodo. Se ha detener en cuenta la energía almacenada en cada nodo de la celdilla, en eltiempo considerado, la cual se puede expresar como la variación de la energíainterna del mismo.

6.1.1 NODOS INTERIORES

Considerar un nodo interno (0), según se muestra en la figura N°| 6.1, laecuación correspondiente a la variación de la energía interna del nodo (0)respecto al tiempo, para un problema monodimensional, viene dado por:

20

1 21

0o o oi

UQ Q Q

t

(6.1)

Los términos de conducción de la ecuación anterior pueden aproximarsemediante la expresión de diferencias finitas de la Ecuación de Fourier:

1 0 2 01 2 ;

t t t t

o o

T T T TQ kA Q kA

x x

(6.2)

Los superíndices indican que las temperaturas han de calcularse en el instante(t) es decir, especifican la variación temporal de la temperatura; los subíndicesse refieren a la posición de los nodos y especifican la variación espacial a lolargo del eje x. La variación de la energía interna del nodo (0) en el tiempo Δt,suponiendo constante la densidad ρ, y el calor específico Cp del material sepueden expresar en las forma:

0 0 0 0

0 1 0 2 0 0 01 2

. . . .

:

+ . . .

t t t

t t t t t t t

o o

U T T Tm Cp A x Cp

t t tluego

U T T T T T TQ Q kA kA A x Cp

t x x t

(6.3)

Despejando, 0t tT

0 0 1 2 0 02 2 2

0 0 1 2 0 0

2. . .

1 2

t t t t t t

t t t t t

k t t k tT T T T T F

Cp x x Cp x

T F T T T F

&.4)

204

Figura N° 6.1 Nodo interno (0) en una placa plana, sistema unidimensionaltransitorio


6.1.2 NODOS SITUADOS EN FRONTERAS

Si un nodo se encuentra situado en el contorno o frontera de un cuerpo, elbalance de energía depende de las condiciones de contorno en lasuperficie. Una condicón muy importante es la convección desde lasuperficie a un fluido exterior. Par el estudio considerar un problema monodimensional, en donde el nodo (0), está situado sobre la superficie como semuestra en la figura N° 6.2.

El Balance de energía para este nodo es

20

11

0o o F oi

UQ Q Q

t

(6,5)

1 0 0 00

. . .+h

2

t t t t tt

F

T T T TA x CpkA A T T

x t

(6.6)

Debido a que el intervalo del nodo en la superficie es Ex/2, puesto que elnodo (0) tiene la mitad de la anchura que un nodo interior; los nodosinteriores tienen una anchura igual a Δx; los nodos en la frontera tienen unaanchura Δx/2, despejando la temperatura futura del nodo superficial, setiene:

0 2

0 0 1 0 0 02 1 2 2 ;.

t t t tF

tF

xT F T BiT F F Bi Th x

Bik

(6.7)

205

Figura N° 6.2 Nodo en frontera convectiva de un plana, sistema unidimensionaltransitorio


6.2. CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN SÓLIDO CON RESISTENCIATÉRMICA DESPRECIABLE

Suponer un sólido en el que la energía transferida desde el mismo se eliminapor convección a un fluido, y si considerando que la temperatura de dichosólido varía de forma uniforme, se puede afirmar que la resistencia a laconducción en el sólido es mucho menor que la resistencia a la conduccióndesde la superficie. Esto ocurre cuando el fluido adyacente tiene un coeficientede transferencia de calor por convección es bien bajo. Por lo que se suponeque el número de Biot (Bi) es menor que 0,1

.0,1

h LBi

k

En cualquier problema de este tipo, se ha de calcular primero el número deBiot.

Figura N° 6.3 Sólido con resistencia térmica interna despreciable sistematransitorio


206

Realizando un balance de energía al sistema mostrado en la figura N° 6.3, quese encuentra a T=T(t) en el instante (t), se tiene que la variación de su energíainterna en ese instante es igual a la energía que es transferida al fluido que lerodea en dicho instante:

( ) -- ( ) - -

f

f

h A T t TT TQ V Cp h A T t T

t t V Cp

(6.8)

Esta es una ecuación diferencial de la distribución de temperaturas, la variableindependiente es el tiempo, Siendo V el volumen del sólido y A la superficie decontacto con el fluido.

6.2.1 Distribución de temperaturas

La solución para la temperatura instantánea T(t) es la que corresponde a todoslos puntos del interior del sistema, incluyendo la superficie, puesto que se hasupuesto que la resistencia térmica es despreciable.

Si se define una función, θ = T(t)-Tf, y además conocida la temperatura delsistema To en el instante t = 0, la condición inicial para la ecuación anterior es:θo = To-Tf,

La distribución de temperatura queda de la forma:

2

( ) ( ) ; ; = dt

( ) e e ; ;

f

h At

Bi FoV Cpo o

h A T t TT h A t d h A

t V Cp t V Cp V Cp

hL tt Bi Fo

k L

(6.9)

Ecuación que predice la historia de la relación entre el tiempo y la temperatura.

La temperatura de equilibrio se obtiene cuando la variación de energía internasea cero (0), régimen estacionario.

6.2.2 Cálculo de la cantidad de calor Q(t)

La transferencia de calor instantánea, o flujo térmico, es:

207

( ) ( ) ( ) e Bi Fof oq t h A T t T h A t h A

La cantidad de calor total transferida desde t = 0 hasta t = t, es:

0 0

( ) ( ) e

1-e = 1-e =

t t Bi Foo ft t

Bi FoBi Fo

o f o f

Q t q t dt h A T T dt

V Cph A T T h A T T t

h A Bi Fo

(6.10)

Como:

00

0

( ) 1- e (6.11)

( )Fracción de pérdida de energía

Bi Foo f

Q tQ V Cp T T

Q

Q t

Q

La energía almacenada en el sólido en el intervalo, 0 ÷ t, es igual a la diferenciaentre el calor en t = 0 y el que ha salido hasta t:

alm 0 0Q ( ) e Bi FoQ Q t Q (6.12)

6.3 SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA CONDUCCIÓN TRANSITORIAUNIDIMENSIONAL

A continuación se realizará el estudio, para obtener la solución grafica a laecuación de la conducción de calor en régimen transitorio, en sistemas en losque se produzcan variaciones de sus temperaturas, tanto espaciales comotemporales, para geometrías simples, que suelen encontrarse en determinadasaplicaciones prácticas, como:

1. Una placa infinita de espesor (L), para la cual T = T(x,t)

2. Un cilindro sólido infinitamente largo de radio R, para el que T = T(r,t)

3. Una esfera sólida de radio R, para la cual T = T(r,t)

Las condiciones de contorno para estas geometrías son:

a. La primera condición de contorno específico, que el plano medio dela placa equivale a un aislamiento o plano adiabático, al igual que el ejedel cilindro o el centro de la esfera.

208

b. La segunda condición de contorno dice que el calor se transfieredesde la superficie exterior del sólido a un fluido a la temperatura Tf, conun coeficiente de transferencia de calor h. Esta condición de contorno seexpresa:

( )T

h Tpf Tf kx

La condición de inicial en los tres casos es la misma, se puede partir de unsólido isotermo, temperatura Ti (temperatura inicial), para t = 0, y a partir de eseinstante se introduce el sólido en el fluido que se encuentra a una temperaturaTf, iniciándose el proceso transitorio de transferencia de calor. Los problemasde conducción en régimen transitorio en los que intervienen condiciones decontorno de convección, vienen regidos por los números de Biot y Fourier, lastemperaturas locales son función de la posición a dimensional dentro delsólido, del número de Biot y del número de Fourier.

6.3.1 GRAFICAS PARA LA EVALUACIÓN DE LAS TEMPERATURAS ENFUNCIÓN DEL TIEMPO.

En un problema de convección, cada una de las gráficas que se obtienen, secomponen de dos familias de curvas:

La primera representa la temperatura a dimensional del centro, eje, oplano central (esfera, cilindro, plano), se representa como:

0 0 0

C fCentro C

f

T T

T T

(6.13)

Para determinar una temperatura local que se corresponda con unaposición distinta de la simetría mencionada, se tiene que utilizar lasegunda familia de curvas propuestas, que representa la temperatura adimensional local en función de la temperatura de la línea, planocentral, o centro , según el cado , para placa infinita, cilindro o esfera,es de la forma:

f

C C f

T T

T T

(6.14)

Para determinar el valor correspondiente a una temperatura local sepuede utilizar el producto de las dos ecuaciones anteriores,obteniéndose:

0 0 0 0

f C f fC

C C f f f

T T T T T T

T T T T T T

(6.15)

209

6.3.2 GRAFICA PARA CALCULAR EL CALOR TRANSFERIDO

Una vez conocida la distribución de temperaturas Θ, se calcula el calortransferido desde la superficie, utilizando la ecuación de Fourier evaluada en laintercara (sólido-fluido)

Cada valor Q(t) de transferencia térmica, es la cantidad total de calor que setransfiere desde la superficie hacia el fluido, en el intervalo, 0 ÷ t. El valor de Qoes la energía inicial almacena da que existe en el sólido, en t = = siendo Tf latemperatura de referencia.

La energía almacenada en el sólido en el intervalo de tiempo 0 ÷ t, es ladiferencia:

Q0 – Q(t).

6.4 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓNDE CONTORNO DE CONVECCIÓN

Una situación general que tiene una gran importancia práctica es elenfriamiento o el calentamiento de una placa rodeada por un fluido convectivoTf, la placa se introduce instantáneamente en el fluido en condiciones en lasque la resistencia a la transferencia de calor es muy pequeña, es decir elnúmero de Biot es grande, la superficie del sólido va tomando la temperaturadel medio exterior en forma paulatina, a medida que el efecto térmico setransmite al interior.

Si se considera una placa de espesor, e = 2L, para la que en el tiempo t = 0existe una distribución de temperatura conocida y en la que no existen efectosde borde, se aplica la ecuación diferencial:

2

2

1, fcon T T

x t

, (6.16)

La solución de la ecuación diferencial se puede obtener gráficamente, tal comose especifica a continuación:

La temperatura en el centro se puede determinar en la gráfica deHEISLER, de la Figura N° 4-13 (a), Temperatura en el plano central),dicha temperatura se determina interceptando, los valores calculados delinverso del número de Biot y el número de Fourier:

210

0 02

1̈

.f

f

BiT TtT T Fo

L

(6.17)

La temperatura local se halla con la gráfica de Heisler N° 4-13 (b),interceptando los parámetros: x/L y el número de Biot:

( , ) ( . )

1

.

x t x t f

C C f

xLT T

kT TBi h L

(6.18)

a. La expresión del flujo de calor a dimensional, Q/Qo se conoce comofracción de energía pérdida, y es la pérdida real de energía en el tiempo(t), dividida entre la pérdida total necesaria para alcanzar la temperaturadel medio ambiente.

La pérdida total de calor necesaria para alcanzar la temperatura del medioambiente se halla mediante la relación:

2 ( ) 2o o f o

kQ L A Cp T T L A

(6.19)

La relación de calor a dimensional se determina el la gráfica de la figura N°4.13 c, conocida como gráfica de Gröber, interceptando los parámetros:

Número de Biot y2

22

h tBi Fo

k

, tal como se muestra:

( )2

2max

2

.t

o

h LBi kQh tQ Bi F

k

(6.20)

Nota.- Estas gráficas se pueden utilizar siempre que se mantenga lahipótesis de conducción mono dimensional, y se desprecien los efectos deborde, para valores del número de Fourier, Fo > 1. No se recomienda paravalores del N° Fo < 1, para esos casos se recomienda utilizar la condiciónde contorno isotérmica.

6.5 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN CILINDRO INFINITO CONCONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN

211

Este problema se resuelve análogamente al caso anterior. Si el radio exteriordel cilindro es (R), que se calienta o enfría y que inicialmente para t = 0 en elintervalo (0 )r R tiene una distribución de temperatura conocida de la forma

( ) ó ( )o ff r T T , la ecuación en coordenadas cilíndricas es:

2

2

1 1, fcon T T

r r r t

, se puede resolver gráficamente

a. La temperatura en el centro se puede determinar en la gráfica deHEISLER, de la Figura N° 4-14 (a), (Temperatura en el plano central), dichatemperatura se determina interceptando, los valores calculados del inversodel número de Biot y el número de Fourier:

0 02

1

.f

f

BiT TtT T Fo

R

(6.21)

b. La temperatura local se halla con la gráfica de Heisler N° 4-14 (b),interceptando los parámetros: x/R y el número de Biot:

( , ) ( . )

1

.

r t r t f

C C f

rRT T

kT TBi h R

(6.22)

c. La expresión del flujo de calor a dimensional, Q/Qo se conoce comofracción de energía pérdida, y es la pérdida real de energía en el tiempo (t),dividida entre la pérdida total necesaria para alcanzar la temperatura delmedio ambiente.

d. La pérdida total de calor necesaria para alcanzar la temperatura del medioambiente se halla mediante la relación también es conocida como cantidadde calor máxima:

max ( ) V ( )i iQ m Cp T T Cp T T (6.23)

La relación de calor a dimensional se determina el la gráfica de la figura N°4.14 c, conocida como gráfica de Gröber, interceptando los parámetros:

Número de Biot y2

22

h tBi Fo

k

212

( )2

2max

2

.t

h RBi kQh tQ Bi Fo

k

(6.24)

6.6 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA ESFERA CON CONDICIÓN DECONTORNO DE CONVECCIÓN

Para estudiar la distribución de temperatura en una esfera, de radio exterior R,que se calienta o enfría en un fluido, y que inicialmente para t = 0 en elintervalo (0 )r R tiene una distribución de temperatura conocida de la forma

( ) ó ( )o ff r T T , se parte de la ecuación en coordenadas esféricas:

2

2

2 1, fcon T T

r r r t

(6.25)

Esta ecuación se puede resolver gráficamente

a. La temperatura en el centro se puede determinar en la gráfica deHEISLER, de la Figura N° 4-15(a), (Temperatura en el plano central), dichatemperatura se determina interceptando, los valores calculados del inversodel número de Biot y el número de Fourier:

0 02

1

.f

f

BiT TtT T Fo

R

(6.26)

b. La temperatura local se halla con la gráfica de Heisler N° 4-15 (b),interceptando los parámetros: x/R y el número de Biot:

( , ) ( . )

1

.

r t r t f

C C f

rRT T

kT TBi h R

(6.27)

c. La expresión del flujo de calor a dimensional, Q/Qo se conoce comofracción de energía pérdida, y es la pérdida real de energía en el tiempo (t),dividida entre la pérdida total necesaria para alcanzar la temperatura delmedio ambiente.

213

La pérdida total de calor necesaria para alcanzar la temperatura del medioambiente se halla mediante la relación. También es conocida como cantidadde:

max ( ) V ( )i iQ m Cp T T Cp T T (6.28)

La relación de calor a dimensional se determina el la gráfica de la figura N°4.15 (c), conocida como gráfica de Gröber, interceptando los parámetros:

Número de Biot y2

22

h tBi Fo

k

( )2

2max

2

.t

h RBi kQh tQ Bi Fo

k

(6.30)

6.7 SOLUCIÓN ANALITICA LA CONDUCCIÓN TRANSITORIA

Las temperaturas locales, las temperaturas en el centro de un plano de espesor

(2L), para un cilindro infinito de radio (ro), o de una esfera solida de radio (ro), se

pueden determinar mediante las soluciones analíticas de las ecuaciones

diferenciales gobernantes para estas tres geometrías, en donde Fo > 0,2

6.7.1 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA PLACA INFINITA

CALCULO DE TEMPERATURAS LOCALES, PARA UNA PAREDPLANA- Ecuación Diferencial gobernante

Si se considera una placa de espesor, e = 2L, para la que en eltiempo t = 0 existe una distribución de temperatura conocida y en laque no existen efectos de borde, se aplica la ecuación diferencial:

2

2

1, fcon T T

x t

, (6.32)

- La solución Analítica de la ecuación diferencial, que permite obtenerla Temperatura Local o de la Temperatura de la Superficie, es lasiguiente ecuación:

214

( )21( , )

( , ) 1 1cos . 0,2x t fx t pared

i f

T T xA e LT T- l t-

Q = = l t >-

(6.33)

Donde las constantes A1 y λ1 son funciones sólo del número de Bi yen la Tabla (6.1) se de una lista de sus valores con respecto alnúmero de Bi.

CALCULO DE TEMPERATURAS EN EL CENTRO, PARA UNAPARED PLANA

- De la ecuación anterior (para determinar la temperatura local), se tiene

que: Cos (0) = 1, la temperatura en el centro se halla, mediante laecuación

21(0, )

( , ) 1t f

O t paredi f

T TA e

T T- l t-

Q = =- (6.34)

6.7.2 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN CILINDRO

CALCULO DE TEMPERATURAS LOCALES, PARA UN CILINDRO- Ecuación Diferencial gobernante

Si se considera un cilindro de radio r = r0, para la que en el tiempo t =0 existe una distribución de temperatura conocida y en la que noexisten efectos de borde, se aplica la ecuación diferencial:

2

2

1 1, fcon T T

r r r t

(6.35)

- La solución analítica de la ecuación diferencial, que permite obtenerla Temperatura Local o de la Temperatura de la Superficie, se puedehallar mediante la siguiente ecuación:

21( , )

( , ) 1 0 10

. 0,2r t fr t cilindro

i f

T T rA e J rT T- l t- æ ö÷çQ = = l t >÷ç ÷çè ø-

(6.36)

- Donde las constantes A1 y λ1 son funciones sólo del número de Bi y

en la Tabla (6.1) se de una lista de sus valores con respecto al

número de Bi.

215

-

CALCULO DE TEMPERATURAS EN EL CENTRO, PARA UNCILINDRO

- De la ecuación anterior (para determinar la temperatura local), se tiene

que: J0(0) = 1, la temperatura en el centro se halla, mediante laecuación

21(0, )

( , ) 1t f

O t cilindroi f

T TA e

T T- l t-

Q = =- (6.37)

6.7.3 CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA ESFERA

CALCULO DE TEMPERATURAS LOCALES, PARA UNA ESFERA- Ecuación Diferencial gobernante

Si se considera un cilindro de radio r = r0, para la que en el tiempo t =0 existe una distribución de temperatura conocida y en la que noexisten efectos de borde, se aplica la ecuación diferencial:

2

2

2 1, fcon T T

r r r t

(6.38)

- La solución de la ecuación diferencial, que permite obtener laTemperatura Local o de la Temperatura de la Superficie para unaesfera, se puede hallar mediante la siguiente ecuación:

21

1( , ) 0

( , ) 11

0

. 0,2

.r t f

r t esferai f

rsenT T rA e rT T r

- l t

æ ö÷çl ÷ç ÷ç- è øQ = = t >- l

(6.39)

- Donde las constantes A1 y λ1 son funciones sólo del número de Bi y

en la Tabla (6.1),

CALCULO DE TEMPERATURAS EN EL CENTRO, PARA UNAESFERA

- En el límite de (sen x)/x, es igual a 1, de la ecuación anterior (para

determinar la temperatura local), la temperatura en el centro del

cilindro, se halla mediante la ecuación:

216

21(0, )

( , ) 1t f

O t esferai f

T TA e

T T- l t-

Q = =- (6.40)

- Una vez que se conoce el número de Bi, se puede usar lasrelaciones anteriores para determinar la temperatura encualquier punto en el medio.

- La determinación de las constantes A1 y λ1 suele requeririnterpolación

CALCULO DE TRANSFERENCIA DE CALOR (Qt), PARA PAREDPLANA, CILINDRO Y ESFERA

La determinación de la fracción de la transferencia de calor, paralas tres configuraciones se puede utilizar las siguientesecuaciones:

- Pared Plana

10,

max 1

1tpared

pared

Q senQ

æ ö l÷ç ÷ = - qç ÷ç ÷÷ç lè ø(6.41)

- Cilindro sólido

1 10,

max 1

( )1 2tcilindro

cilindro

Q JQ

æ ö l÷ç ÷ = - qç ÷ç ÷÷ç lè ø(6.42)

- Esfera sólida

1 1 10, 3

max 1

1 3tesfera

esfera

Q Sen CosQ

æ ö l - l l÷ç ÷ = - qç ÷ç ÷÷ç lè ø(6.43)

La cantidad máxima de calor de un cuerpo puede ganar o perder, es

sencillamente el cambio en el contenido de energía del cuerpo

max ( ) ( )p f i p f iQ mC T T VC T T= - = r - (6.44)

6.8. CONDUCCIÓN TRANSITORIA BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL

217

Los problemas de conducción transitoria estudiados se limitan aconfiguraciones especiales como son la placa, el cilindro y la esfera, condiversas situaciones de contorno. Estas formas se han escogido paraasegurarnos de que la temperatura del sólido depende solo de la coordenadaespacial en el tiempo. En ciertas aplicaciones se tiene que considerar laconducción transitoria en función de más de una dimensión espacial.

Bajo ciertas condiciones, la solución de los problemas de conduccióntransitoria en dos o tres dimensiones se puede obtener por superposiciónde las soluciones de problemas unidimensionales.

Aplicando este método de superposición al problema de conduccióntransitoria en una barra larga rectangular, cuya sección transversal tienepor dimensiones, A en la dirección de las x, B en las y, es indefinida en ladirección de las z, la conducción tendrá solo lugar en las direcciones de lasx y las y, por lo que se ha reducido el problema a un caso bidimensional ytransitorio.

Si se calienta la barra de forma que inicialmente la distribución detemperaturas es, T= f(x, y), y en el instante, t=0, la barra entra en contactocon un fluido convector, o con un foco térmico, a una temperatura, TF = 0,(o cualquier otra, constante), con un coeficiente de convección hc constanteen todas las superficies, la ecuación diferencial a resolver es:

2 2

2 2

1T T Tx y ta¶ ¶ ¶+ =¶ ¶ ¶

(6.45)

Con las condiciones de contorno:

Para t = 0; T = f (x, y)

Para, t > 0,, 0, , ,

, 0, , ,

c

c

h TdTen x en x Adx k

h TdTen y en y Bdy k

æ ö÷ç = = = ± ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç = = = ± ÷ç ÷ç ÷çè ø

(6.46)

Se toma el signo (+) en x = 0 y en y = 0, y el signo (-) en, x = A y en y = B.

Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x, y), es tal que sepueda descomponer en forma de producto de otras dos funciones, cadauna de las cuales solo depende de una de las variables espacialesindependientes, la condición inicial puede sustituirse por:

Para t = 0, T = f (x y) = f1 (x) f2 (y)

218

Y si esto es posible, la solución de la ecuación (1), con las condicionesindicadas, se puede expresar como el producto de dos solucionestransitorias unidimensionales.

Si representamos la solución que se busca, T (x,y,t), por el producto:

T = Tx (x, t) Ty (y, t)

Siendo, Tx (x, t) función de x y del tiempo t, y Ty ( y , t ) función de y y del t.

Se observa que la solución del problema de conducción transitoriabidimensional se puede obtener como el producto de las soluciones de dosproblemas unidimensionales, más sencillos, de las ecuaciones anteriores,siempre que la distribución inicial de la temperatura sea susceptible deexpresarse en forma del producto:

T = f (x, y) = f1 (x) f2 (y), para, t = 0

1. Estas ecuaciones para placa finita son idénticas a las que regulan laconducción transitoria de calor en una placa plana infinita. Por tanto, lasolución al problema de conducción transitoria del calor en la barrarectangular se obtiene como el producto de las soluciones para dos placasinfinitas cuya intersección forma la barra en cuestión.

2. En el caso de la barra rectangular calentada inicialmente a una temperaturauniforme, se puede utilizar directamente tanto las soluciones analíticas,como los gráficos de Heysler para la placa plana, que se encuentreinicialmente a una temperatura uniforme. Los números de Biot y de Fourierpara cada una de las dos placas que forman la barra serán distintos, amenos que dicha barra sea de sección trasversal cuadrada.

3. El principio de superposición por producto que se acaba de exponer en laconducción transitoria bidimensional en una barra rectangular se puedehacer extensivo a otros tipos de configuraciones. Así, para unparalelepípedo de dimensiones finitas, la solución se puede obtener comoel producto de las soluciones de tres placas infinitas.

4. Para el cilindro circular como el producto de las soluciones para una placainfinita y para un cilindro circular de longitud infinita.

Este principio de superposición es solo aplicable a aquellos casos en los que ladistribución de temperatura inicial se pueda descomponer en producto devarias funciones, cada una de las cuales solo depende de una de las variablesespaciales independientes.

6.8.1 CILINDRO FINITO

219

Si por ejemplo, se desea determinar la temperatura en el punto P del cilindro delongitud finita que se muestra en la Fig, 6.4, dicho punto vendrá localizado pordos coordenadas (x, r), siendo x una coordenada axial medida desde el centrodel cilindro y r su posición radial.

La condición inicial y las condiciones de contorno son las mismas que seaplican en el caso de gráficos mono dimensionales correspondientes aprocesos transitorios.

Figura N° 6.4 Cilindro de longitud finita

Fuente: Yunus cengel, Transferencia de calor 2da Edición

El cilindro se puede suponer se encuentra inicialmente, t = 0, a unatemperatura uniforme T0; en este instante toda la superficie se pone encontacto con un fluido, que es el medio exterior el cual se encuentra a unatemperatura ambiental constante TF.

El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie delcilindro y el fluido hc, se puede suponer de valor constante.

a. Determinación de la distribución de temperaturas

Por tratarse de un cilindro de longitud finita, la distribución de temperaturasen régimen bidimensional se puede considerar como el producto de lassoluciones unidimensionales correspondientes a un cilindro infinito ya una placa infinita, siempre que la distribución inicial de temperaturas sepuede descomponer en dos factores, cada uno de los cuales depende deuna sola coordenada espacial, es decir:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

, , , ,.p F

F

r x t T r x t TC r P x

T TF -F = = =

F F -(6.47)

Donde los símbolos xPyrC son las temperaturas a dimensionales quecorresponden, respectivamente, al cilindro infinito y a la placa infinita:

220

( ) ( ) ( ) ( )0 0

, ,;

cilindro placa

r t x tC r P x

F F= =

F F(6.48)

La solución para C(r) se obtiene de los gráficos de temperaturascorrespondientes al cilindro, mientras que la solución de P(x) se obtiene de losgráficos de temperaturas correspondientes a la placa plana infinita.

Mediante un procedimiento análogo al citado para el cilindro finito, se puedenobtener soluciones para otras geometrías bi o tridimensionales, como elparalelepípedo representado en la Fig.6.5, intersección de tres placas infinitas.

Figura N° 6.5 Paralelepipedo finito (tres dimensiones)


En las graficas que se representan en las Fig. 6.6 y Fig 6.7, se hace unresumen de las soluciones para sistemas bidimensionales y tridimensionales,mediante gráficos de Heisler ( para sistemas unidimensionales), utilizando lassiguientes relaciones:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

,

,

,

x tS x solido semi

x tP x placa

r tC x cilindro

F= ¥

F

F= ¥

F

F= ¥

F

(6.49)

b. Flujo de calor en sistemas unidimensionales y tridimensionales

Para hallar el calor total, se puede utilizar una expresión debida a Langston, dela forma:

221

( )0p FQ C V T Tr= Q - (6.50)

En la que es la fracción de energía disipada, 0Q

tQ , que se puede aplicar

en la forma:

a) Intersección de placa infinita y cilindro infinito, (SISTEMABIDIMENSIONAL)

( )1.

PLACA CILINDRO PLACA

PLACA CILINDRO PLACA CILINDRO

Q = Q + Q - Q

Q = Q + Q - Q Q(6.51)

b) Intersección de 3 placas infinita (SISTEMA TRIDIMENSIONAL)

() ( ) ()( ) ( ) ()( ) ( )( )1 2 1 3 1 21 1 . 1PLACA PLACA PLACA PLACA PLACA PLACAQ= Q + Q - Q + Q - Q - Q (6.52)

Estas soluciones no son validas cuando la temperatura inicial del cuerpo nosea uniforme, o cuando la temperatura TF del fluido no sea la misma en toda lasuperficie de contacto del sólido.

222

Figura 6.6 Soluciones en forma de producto a los problemas de

Conducción en régimen transitorio utilizando la infotmación facilitadapor los gráficos

Fuente: Yunus Cengel, Transferencia de Calor, 2da. Edición

223

Figura 6.7 Soluciones en forma de producto a los problemas de

Conducción en régimen transitorio utilizando la información facilitadapor los gráficos

Fuente: Yunus Cengel, Transferencia de Calor, 2da. Edición

224

6.9Número de Biot (Bi)

El número de Biot compara los valores relativos de la resistencia a latransferencia de calor por convección en la superficie y la resistenciainterna a la conducción:

h.sNúmero de Biot = Bi =

k(6.53)

6.10 Número de Fourier (Fo)El número de Fourier compara una longitud característica del cuerpo conun valor aproximado de longitud hasta la que penetra la onda detemperatura en un tiempo dado (t)

2 2

αtNúmero de Fourier Fo

s

ρ.Cp.skt

(6.54)

En estos parámetros, (s) indica una dimensión característica del cuerpo;para la placa es la mitad del espesor, mientras que para el cilindro y laesfera es el radio.

6.11 Flujo de calor transitorio en un sólido semi-infinito

Considerar un sólido semi-infinito, tal como se muestra en la figura Nº 6.8,tiene una temperatura inicial Ti, se baja rápidamente la temperatura de lasuperficie a To, manteniendo esta temperatura, se ha de encontrar unaexpresión para la distribución de temperatura en el sólido en función deltiempo, posteriormente esta distribución puede utilizarse para calcular elflujo de calor en una posición cualquiera (x) del sólido en función deltiempo.

Figura N° 6.8 Flujo de calor en régimen transitorio en un sólido

semi-infinito

Fuente: Yunus Cengel, Transferencia de calo, 2da. Edición

225

La ecuación diferencial para la distribución de temperatura T(x,t),cuando las propiedades son constantes, es:

2

2

1 T

α

T

x t(6.55)

Las condiciones de contorno e inicial son:

0

( ,0)

(0, ) >0iT x T

T t T para t

(6.56)

Este es un problema que puede resolverse mediante la transformaciónde Laplace, la solución es:

( , ) 0

0 2

αx t

i

T T xerf

T T t

(6.57)

La función de error de Gauss viene definida por2/ 2 η2 η

2

α πx xtx

erf e dt

(6.58)

Se ha de notar que en esta definición η es una variable muda y laintegral es función de su límite superior. Cuando se introduce ladefinición de la función error en la ecuación (3), la expresión de ladistribución de temperatura se convierte en

2/ 2( , ) 0 η

0

2 ηπ

x xtx t

i

T Te d

T T

(6.59)

El flujo de calor en una posición x puede obtenerse de: x

TQ kA

x

Efectuando la derivada parcial de la ecuación anterior

2 2/ 4

α / 4α

00

2e e

π 2 αt παtx t x ti

i

T TT xT T

x x

(6.60)

El flujo de calor en la superficie (x=0) es: 0

0 παtikA T T

Q

(6.61)

Este flujo de calor en la superficie se determina evaluando el gradientede temperatura en x = 0 con la ecuación (6). En la figura Nº 4.4 serepresenta la distribución de temperatura para un sólido semi-infinito.Los valores de la función error se encuentran en la tabla A.1

226

6.12 Flujo de calor constante en un sólido semi-infinito

Con la distribución de temperaturas inicial, se podría exponerinstantáneamente la superficie a un flujo de calor constante por unidad desuperficie Qo/A. Las condiciones inicial y de contorno de la ecuación 819se transformarían en:

( ,0)

00 > 0

x i

x

T T

Q Tk para t

A x

(6.62)

La solución en este caso es:

20 0

0

2αt/π

-x xexp = 1-erf

4

αt

2

αt

i

Q Q xT T

kA kA

(6.63)

Figura 6.9 Distribución de temperaturas en el sólido semi-infinito

Fuente : J.P. Holman, Transferencia de calor, 8ava. Edición

227

6.13 PROBLEMAS RESUELTOS

P6.13.1.- Una placa de acero de 1 cm de espesor se saca de un horno a 600°C

y se sumerge en un baño de aceite a 30°C. Si se calcula que el coeficiente de

transferencia de calor es de 400Km

W2 , ¿Cuánto tiempo tarda la placa en

enfriarse hasta 100°C?

Datos: 350 ; 7800 ; 450ACEROkgW JK CpmK kgKm

SOLUCIÓN:


Figura 6.10 Plano para determinar el tiempo que tardara en enfriarse


2) Primero se ha de determinar el número de Biot, para ver en que tipo de

condición térmica estamos.

3) Para una placa de ancho (a), altura (H) y espesor (e) y despreciando el

efecto de los bordes, se tiene:

228

2

2 2

400 .0,005. 2 0.04 0.150

hL V a l H lBi L

K A a H

wl mh m KBiwK

mK

4) Se admite la resistencia térmica interna despreciable.

5) Se calcula el número de Fourier:

5

2 2 2

25

3

1.4245 100.5698

0.012 2

501.4245 10

7800 450 .

o

p

t t x tF t

V lA

wK mK mskgC J

kg Km

6) Calculo de la Temperatura:

oFBi

Fi

Ft eTT

TT .

P6.8.2.- Una barra cilíndrica de acero inoxidable 18-8 de 20cm de diámetro, se

calienta a 100°C y a continuación se templa en un baño de aceite a 50°C, en el

que el coeficiente de película esCmh

Kcalh

2500 .

Determine:

a) El tiempo que transcurrirá hasta que el eje del cilindro alcance la

temperatura de 250°C.

b) La temperatura que se alcanzara en r = 0.05m al cabo de ese tiempo.

Datos:

229

Figura 6.11 Cilindro, para evaluar la temperatura en el eje, así como auna distancia radial en función del tiempo


Solución:

1) convecciónconcontornodecondicionK

h2.22

5.22

500

2) Calculo de los parámetros:

45.0

1.022.25.22

1.0500

1

Bi

x

K

hRBi

3) La temperatura en el centro (eje del cilindro)

21.0501000

50250,0,0

Fi

Ft

i

t

TT

TT

4) Mediante la Fig 2.38 a (para calcular las temperaturas en el centro de los

cilindros infinitamente largo de radio r0)

Se obtiene F0=0.60 con

45.0

21.0

1

,0

Bi

i

t

230

Por tanto el tiempo que transcurrirá hasta que el eje del cilindro alcance una

temperatura de 250°C.

seghxR

tR

tF 30min22375.0

01598.0

1.06.06.060.0

22

20

5) Calculo de la temperatura que alcanzara a un radio R=0.05m al cabo de ese

tiempo, mediante la Fig 2.38b

i

tr

, con los parámetros ( 1BiyR

r )

45.05.01.0

05.0 1 BiR

r

CT

CT

T

TT

TT

tR

tR

tR

Ft

FtR

t

tr

220

2205025085.050

85.050250

50

,

,

,

,0

,

,0

,

También:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

, 0, , 0, ,

, 0, 0,

250 50 ; 0.21 ; 0.851000 50

R t t R t t R t

i t i t i t

xq q q q q

q q q q q-= = = =-

Por tanto:

CT

CT

tR

tR

220

575.21950)501000(1785.0

,

,

6.8.3.- Una lámina de cierto material de propiedades térmicas

hm

ChmKcalK

20002.0,2 tiene un espesor de 3cm y se encuentra a

1785.085.021.0,,

xTT

TT

Fi

FtR

i

tR

231

una temperatura de 24°C. En estas condiciones, se introduce en un horno a

400°C. El coeficiente de convección esCmh

Kcalh

260

Determine:

a) El tiempo que tardara el centro geométrico en alcanzar la temperatura de

300°C y la temperatura que se alcanza en ese instante en un plano situado

a 1 cm del plano central.

b) Si el calentamiento continua, el tiempo necesario para que en el plano

situado a 1 cm del plano central se alcancen 350°C.

c) Si existiese un aislamiento perfecto en una de las caras de la lámina, el

tiempo que deberá transcurrir para que en el plano central se alcancen

200°C.

Solución:

Figura 6.11 Plano para determinar el tiempo que tardara en enfriarse,en diferente distancia del centro


2) Tiempo que tardara el centro geométrico en alcanzar la temperatura de

300°C.

- Calculo del número de Biot:

( ) ( ) 60 0.0152 0.45 0.12 2

V Lh h x xABiK

= = = = ñ

Condición de criterios:

232

convecciónpork

h30

2

60

3) En la condición de criterio de convección, la longitud característica es la

mitad del espesor, mediante la grafica de Heisler 4.13a.

Se obtiene:

160 0.015 0.45 ; 2.222

hR xBi BiK

-= = = =

27.040024

400300,0,0

Fi

Ft

i

t

TT

TT

Interceptando en la grafica :1, obtieneseBiconi

t

horast

m

txhmx

L

tF 4

015.0

10256.3 2

24

20

b) Cálculo de la temperatura que se alcanza en ese instante situado a 1 cm del

plano central.

Mediante la figura 2.37b (Heisler), se tiene:

1,1

,1,

1

,

,0

,

,0

,

6.345

6.345400)100(92.092.0400300

400

66.05.1

122.2

:400300

400

TCT

CTT

quetieneseL

xBi

parametroslosconyT

TT

TT

tx

txtR

tR

Ft

Ftx

t

tx

c) Cálculo del tiempo necesario, si el calentamiento continúa para que el plano

situado a 1 cm del plano central se alcancen 350°C.

Temperatura en el plano central en estas condiciones.

233

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

, ,

0, 0, ,

0,

300 400400 0.92

1 0.66 , 0.45 4.131.5345.6

Fx t x t

Ft t R t

t

T Tmediante los parametros

T T T

x Bi en la Fig bL

T C

q

q

-æ ö -÷ -ç ÷ç = =÷ç ÷ç - - =÷÷çè øüïï= = = ýïïþ

= °

Luego mediante la grafica 237a se obtiene Fo con los parámetros

( )0, 1 1 ; 2.22t

i

y Bi Biq

q- - =

145.040024

4006.345,0,0

Fi

Ft

i

t

TT

TT

Po lo tanto: horastm

xthmx

L

tF 7.5

015.0

1021,5

22

24

20

d) Si existe un aislamiento perfecto en una de las caras de la lámina, el tiempo

que deberá transcurrir para que el plano central alcance 200°C.

El desarrollo es similar a los casos anteriores que con el espesor doble

e=6cm, por cuanto el plano aislado se considera como plano adiabático.

- La longitud característica es L*=3cm

- La temperatura en la cara aislada se obtiene a partir de la primera grafica de

Heysler, Fig.4.13b

234

CT

CTTT

TT

quetienese

L

x

centralplanopara

Bi

x

k

hLBi

parametroslosconcalculaseTTT

TT

t

tFt

Ftx

t

tx

tFt

Ftx

t

tx

4.181

4.181400

40020915.0

5.03

5.1

:

11.1

9.02

03.060

:400

400200

,0

,0,0

,

,0

,

*

1

*

,0,0

,

,0

,

Con esta temperatura y la grafica 4.13a de Heysler se obtiene el #Fo por lo

tanto que cabe transcurrir.

horast

m

txhmx

L

tF

obtienese

TT

TT

o

Fi

Ft

i

t

335,173

10283.3

:

58.04024

404.181

2

24

2*

,0,0

6.8.4.- Un cilindro de 10 cm de diámetro y una longitud de 16cm

ChmKcalK 2 y s

mx27105 esta inicialmente a la temperatura

uniforme de 20°C. Se coloca el cilindro en un horno en el que la

temperatura ambiental es de 500°C con unKm

wh 230

Determinar:

a) La temperatura máxima y mínima del cilindro treinta minutos después de

haberlo introducido en el horno.

235

b) El calor absorbido en ese tiempo.

SOLUCIÓN:

1) Considerando Cilindro Finito:

Figura 6.12 Cilindro, para evaluar la temperatura máxima y mínima enfunción del tiempo


a) Tmax=? , Tmin=? Para t=30minutos

b) Qabsorbido t=30minutos

2) la distribución de temperaturas en el cilindro de longitud finita es posible

determinarla, mediante el producto de la solución para una placa infinita y con

cilindro finito, ver la tabla 2.4 (Esquemas y nomenclaturas para las soluciones

por producto de los problemas se conducción transitoria) con las Fig.2.35,2.37

y 2.38 para sistemas bidimensionales)

*En cualquier instante, la temperatura mínima, se localiza en el centro

geométrico del cilindro y la, temperatura máxima, en la circunferencia externa

de cada extremo del cilindro.

*Utilizando las coordenadas del cilindro finito que se muestra en la Fig, se

obtiene:

Temperatura Mínima con x=0 R=0 (Punto P(x,R))

Temperatura Máxima con x=L R=R0 (Punto Q(x, R))

236

3) Cálculo del # Bi:

8.45.0

08.030

x

K

hLBi

4) mmk

wkm

w

k

h 1605.0

30 2

(condición de criterios de convección)

5) La distribución de temperatura para este cilindro finito, se determina con la

intersección de la placa plana infinita de espesor 16 cm, con un cilindro infinito

de diámetro 10 cm.

En la tabla 2.4 para el cilindro finito

byaFiginitoolcilindrounparaC

byaFigmedianteinitaplacaunaparaP

CxP

i

tRR

i

txx

Ri

trxp

38.2),(infarg

37.2,inf

,

,

,,

El proceso térmico, en el calentamiento, en el tiempo “t”, la temperaturaminima , se ha dado se localiza en el centro geométrico del cilindro, y latemperatura máxima, se corresponde con los puntos de la circunferencia de

sus bases.

6) Para la Placa Infinita:

( )

27

0 22

5 10 18000.14

0.08

mx x st sFL ma

-

= = =

208.08.45.0

08.030 1 Bix

K

hLBi

*Mediante la Fig. 4.13a, con 1Bi y 0F se tiene:

237

9.0,0,0

0

Fi

Ft

i

L

TT

TTP

*Mediante la Fig. 4.13b

208.0,)8.4(

137.227.0

.

1,0

,

,0

,0

,,

BiBiyLx

L

xparametroslosybFigcon

P

t

tx

i

t

t

tx

i

LxL

Por tanto:

249.09.027.0 xPL

7) Para el Cilindro Finito:

Los parámetros:

( )

27

0 22

1

5 10 18000.36

0.0530 0.05 3 0.333

0.5

mx x st sFR mhR xBi BiK

a-

-

= = =

= = = ® =

*Mediante la Fig. 4.14a, con 1Bi y se tiene:

47.0,0,00

Fi

Ft

i

t

TT

TTC

en el eje

*Mediante la Fig. 4.14b con Bi-1 y R/R0=1 R= R0

1R/R033.038.2.36.0

.

1,

,

,0

,,

BibFig

C

i

tR

i

tR

t

tR

i

tRR

Por tanto:

238

1692.036.047.0, xCi

tRR

8) Cálculo de temperatura Minima del Cilindro (en el centro geométrico)

minmin

minmin

00min

29750050020423.0

423.0

423.047.090.0

TCxT

TT

TT

xxCP

Fi

F

i

i

9) Cálculo de la temperatura máxima (en la circunferencia de la base)

CT

T

TT

TT

xxCP

Fi

F

RLi

480

042.050020

500

042.01692.0249.0

max

maxmax

max

10) Cálculo de Calor Absorbido en ese tiempo:

)( Fi TTVCQ

*Para la placa con los parámetros Bi2F0 y Bi, en la Fig. 4.13c

52.0L

p Q

QQ

*Para el cilindro, con los parámetros Bi2F0 y Bi, en la Fig. 4.14c

7.0L

cil Q

QQ

Se tiene que

856.0)52.01(7.052.0

)1(

pcilp QQQ

239

Por tanto:

( ),

0.1 0.16

i F

p

Q C V T TK kC D m H mC

r

a rr a

= F -

= ® = = =

KcalQ

J

kcalKJJouleWsegQ

kmHxx

segmx

mkw

xQ

kmHRx

segmx

mkw

xQ

TTVk

Q Fi

34.123

186.4

1327.516516327516327

5002016.005.0105

5.0856.0

50020105

5.0856.0

)(

3227

3227

6.8.5.-Una lata cilíndrica de 5 cm de espesor y 30cm de diámetro contiene un

determinado producto a una temperatura uniforme de 15°C y se calienta

mediante una corriente de aire a 160°C sabiendo que

CmhKcalhCmh

KcalKhm

lataaire 2

220,4,04.0

Determinar:

a) El tiempo necesario para que la temperatura de cualquier punto del

producto sea, por lo menos de 138°C.

b) La temperatura en el centro de la base de la lata en ese instante.

c) El calor absorbido por la lata durante los 36 primeros minutos del

calentamiento.

SOLUCION:


240

Figura 6.13 Cilindro, para evaluar la temperatura en el eje, así como elcalor absorbido


2) Cálculo del tiempo necesario para que la temperatura del centro sea de

138°C, ya que de los demás puntos será superior.

El diámetro del cilindro es bastante mayor que la altura, por la que la

transmisión de calor se realizara principalmente en sentido axial y sería

equivalente al de la transmisión de calor por conducción en régimen transitorio

en una placa de 5 cm de espesor y longitud infinita.

3) Cálculo del # Bi:

8)125.0(125.04

025.020 11 Bix

K

hLBi

a) Cálculo del tiempo necesario para que la placa alcance la temperatura en el

centro T0=138°C, del grafico de Heysler 2.37 para placa infinita, la

temperatura del centro:

1517.016015

1601380

Fi

F

TT

TT

De este gráfico se determina el número de F0 con los parámetros

10 , Bi

TT

TT

Fi

F , este igual a : 160 F

( )

2

0 22

0.0416 0.25 15min

0.025

m x tt hF t horas tL ma= = = ® = =

Que es un valor bastante aproximado

241

b) Cálculo de la temperatura en el centro de base de la aleta para ese instante.

b.1) Conducción Bidimensional:

Placa Infinita:

o

t

t

tL

i

tLLP

,0

,0

,,

1411.01517.093.0

1517.0

193.0

00

,00

0,0

,

xP

TT

TTP

L

xcon

TT

TT

L

F

Fct

F

FL

t

tL

-Cilindro Infinito:

( )

( )( )

( )

2

0 22

0,10

00

0.04 0.25 20 0.150.444 ; 0.7540.15

1.333 ; 0.58t c F

F

m x ht hR xhF BiR Km

T TBi C ejeT T

a

q

q-

= = = = = =

-= = = =-

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

, ,

0 0

,

0

0.58 0.62

R t R t EJER

EJE

EJE R t

EJE

C xq q q

q q q

q q

q q

= = =

= =

Por lo tanto:

3596.062.058.0 xCR

-La temperatura en el centro de la base:

0818.058.01411.00 xxCPL

242

CT

TTTT

TT

TT

X

FFX

F

FXX

14.148

100150818.01600818.0

0818.0

0

00

b.2) Conducción Unidimensional:

CT

T

TT

TT

L

L

F

FL

t

tL

5.139

93.0100138

100

0,0

,

c) Calor absorbido por la lata durante los 36 primeros minutos de

calentamiento:

( )

( )

20

2 30 2

0

( ) ( ) ( )

40.15 0.05 (160 15)

0.04

51.24

p pk k kQ C V T C V T R L T

kcalhm CQ x x m Cm

hQ kcal

r r pa a a

p

= D = = = D = D

°= - °

=

( )

2

0 22

02

0

360.0460 38.4 0.970.025

0.6 , 0.125 0.97 51.24 49.70

m xt h QF CL m Q

Bi F BiQ x kcal

aüïïïï= = = ° ïï =ýïïïï= = ïïþ

= =

6.14 PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema N° 1

En un proceso de fabricación, de cilindros de acero inoxidable, que se

encuentran a 600 K se enfrían en un baño de aceite que se encuentra a la

243

temperatura de 300 K con h = 500 W/m2.K. la longitud del cilindro es de 60 mm

y el diámetro es de 80 mm. Considere un tiempo de 3 minutos en el proceso de

enfriamiento y determine:

a. La temperatura en el centro del cilindro

b, La Temperatura en la mitad de la altura lateral.

Datos: Las propiedades para el acero se pueden tomar los siguientes

valores Tm = 450 K

ρ = 7900 kg/m3, α = 4,19x10-6 m2/s, K = 17,4 W/m,K, Cp = 526 J/kg.K

Problema N° 2

Una esfera de acero con diámetro de 7.6 cm se tiene que endurecer calentándola

primero a una temperatura uniforme de 870°C y luego enfriándola en un baño de

agua a una temperatura de 38°C. Se tienen los datos siguientes:

- Coeficiente de transferencia de calor superficial 2590 / .h W m K .

- Conductividad térmica del acero . 43 / .k W m K

- Calor especifico del acero 628 / .Cp j kg K

- Densidad del acero 37840 /kg m

Calcule:

a. El tiempo transcurrido para enfriar la superficie de la esfera hasta 204 °C.b. El tiempo transcurrido para enfriar su centro hasta 204 °C

Problema N° 3

244

Una esfera de acero con diámetro de 7.6 cm se tiene que endurecer calentándola

primero a una temperatura uniforme de 870°C y luego enfriándola en un baño de

agua a una temperatura de 38°C. Se tienen los datos siguientes:

- Coeficiente de transferencia de calor superficial 2590 / .h W m K .

- Conductividad térmica del acero . 43 / .k W m K

- Calor especifico del acero 628 / .Cp j kg K

- Densidad del acero 37840 /kg m

Calcule:

a. El tiempo transcurrido para enfriar la superficie de la esfera hasta 204 °C.

b. El tiempo transcurrido para enfriar su centro hasta 204 °C

Problema N° 4

Un cilindro de acero con diámetro d = 500 mm se enfría en un

ambiente cuya temperatura es constante Tf = 15 °C. En el momento

inicial la temperatura del cilindro era igual en todas las partes de éste:

Ti = 450 °C. El coeficiente de traspaso de calor por convección en

todos los puntos de la superficie del cilindro durante el proceso de

enfriamiento permanece constante, h = 160 W/m2. °C. La conductividad

térmica, la difusividad térmica y la densidad del acero son,

respectivamente, k = 49 W/m.°C; α = 1,4x10-5 m2/s; ρ = 7850 kg/m3.

Determinar la cantidad de calor que será transferida al ambiente desde

1 m del cilindro durante tres horas una vez comenzado el enfriamiento

y la temperatura en la superficie.

245

TEMA VII TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN.

7.1 DEFINICIÓN.

La convección es el mecanismo mediante el cual se transfiere calor, entre unasuperficie sólida y un fluido en movimiento adyacente a ella.

La transferencia de energía por convección desde una superficie sólida cuyatemperatura es superior a la del fluido que lo rodea, se realiza en varias etapas:

1. El calor fluye por convección desde la superficie sólida hacia laspartículas adyacentes del fluido. La energía así transferida servirá paraincrementar la temperatura y la energía interna de esas partículas defluido.

2. Las partículas se moverán hacia una región de fluido con temperaturamás baja, donde al mezclarse transfieren parte de su energía a otraspartículas del fluido.

3. la energía será almacenada en las partículas del fluido y transportadacomo resultado del movimiento de masas.

Hay dos clases de proceso convectivo:

Convección Natural

Ocurre cuando el movimiento del fluido es causado por medios naturales,como el efecto de flotación, el cual se manifiesta como la subida del fluidocaliente y caída del fluido frío (diferencia de densidades que se presenta enel fluido), como resultado de una diferencia de temperatura.

Convección Forzada

Si el movimiento del fluido se produce por la acción de algún agenteexterno, tal como una bomba hidráulica, un agitador o un ventilador.

246

Pueden ocurrir situaciones donde ambas formas de convección actúensimultáneamente, siendo la convección forzada de mayor interés practico quela convección natural, debido a las aplicaciones industriales.

.

La convección también se clasifica como externa e interna, dependiendo de sise obliga al fluido a fluir sobre una superficie o en un caudal.

Newton (1701), definió: “el calor transferido desde la superficie de un sólido oun fluido en movimiento, es proporcional a la diferencia de temperatura y elárea de transferencia y se expresa:

. .( ) (7.1)C pom s fQ h A T T

Donde:

Qc = calor transferido, w

hprom = coeficiente de transferencia de calor por convección, w/m2.K

A = área de transferencia, m2

Ts, Tf = temperaturas del sólido(s), y del fluido (f), en K

El coeficiente de transferencia de calor por convección h, no es una propiedad,puesto que depende de una variedad de factores, velocidad, densidad,viscosidad, conductividad térmica, calor específico del fluido, de la geometríade la superficie, de la presencia de fuerzas de flotamiento, por lo que hacedifícil llegar a una expresión analítica para el coeficiente de transferencia decalor. Generalmente se recurre a la determinación experimental, empleandociertas técnicas, tales como:

1. El análisis dimensional combinado con experimentos.

2. Soluciones matemáticas exactas de las ecuaciones de capa límite

3. Análisis aproximadas de las ecuaciones de capa límite

4. La analogía entre la transferencia de calor y la transferencia de cantidad demovimiento

5. Análisis numérico.

247

En este capítulo se incidirá en el estudio de convección forzada por el interior yexterior tubos.

El análisis de transferencia de calor para la convección es en general, máscompleja que la conducción de calor, debido a que se debe satisfacer, laconservación de masa y de movimiento, además de cumplirse el principiode conservación de la energía.

7.2 Número de Nusselt

En el estudio de transferencia de calor por convección se ha de determinar larazón de transferencia de calor entre una superficie sólida y un fluidoadyacente, siempre que exista una diferencia de temperaturas, entre ellos.

Considere un fluido que fluye sobre un cuerpo, si la temperatura de lasuperficie Ts y la temperatura del fluido Tf, la temperatura del fluido cercano ala frontera sólida variarán tan como se muestra en la figura N°7.1.

Figura N° 7.1 Distribución de temperatura de un fluido, fluyendo cerca defrontera sólida

Fuente: Alan Chapman: Fundamentos de Transferencia de calor

La razón de transferencia de calor Q

0

0

. (7.2)y y

y

TQ k A

y

248

K= conductividad térmica del fluido (w/m. °C), evaluado en y = 0(interface en la frontera sólido – fluido)

0y

T

y

= gradiente de temperatura en el fluido en y = 0. La coordenada (y),

se mide a lo largo de la normal a la superficie.

Combinando las ecuaciones (1) y (2)

0

0

. .

h 1-

k

s f

y

s f y

Th A T T k A

y

T

yT T

Definiendo una distancia a dimensional, η =(y/Lc), donde Lc, es longitudcaracterística, se obtiene:

0

0

h 1- (7.3)

k

h.Lc 1 Nu= - (7.4)

k

s f

s f

T

T T Lc

T

T T

Si se define una temperatura a dimensional, (θ), la expresión anterior sepuede escribir:

0

-

h.Lc Nu= - (7.5)

k

f

s f

T T

T T

La relación (h.Lc/k), cantidad a dimensional, es conocido como el númerode Nussel, es el gradiente de temperatura sin dimensiones para el fluido,evaluado en la interface pared – fluido.

La relación del número de Nusselt es similar a la del número de Biot, sediferencian en la conductividad térmica, (k), para el número de Nusselt esdel fluido, en cambio en el número de Biot, la conductividad térmica es delsólido.

7.3 Temperatura en bulto (Tb.)

Es la temperatura promedio del fluido en una sección transversal dada deltubo, llamada también temperatura media de mezclado. Esta temperatura variade una sección transversal del tubo a otra, se expresa:

249

energía térmica total a travesando una sección

del tubo en una unidad de tiempo (7.6)

capacidad calorífica del fluido a travesando la

misma sección en una unidad de tiempo

bT

La energía térmica total que cruza una sección transversal del tubo enuna unidad de tiempo es:

02

RC p T v r d r

La capacidad calorífica de un fluido es el producto de su calorespecífico a presión constante y su masa, por lo tanto la capacidadcalorífica de un fluido que cruza una sección transversal de tubo en unaunidad de tiempo es :

02

RCp v rdr

Entonces la temperatura en bulto esta dada por

0

0

2

2

R

b R

CpT v rdrT

Cp v rdr

(7.7)

7.4 Fluidos que circulan por el interior de tuberías en convecciónforzada en régimen laminar

7.4.1 Flujos desarrollados

Caso 1.- Que la tubería esta sometida a un flujo de calor constante

Figura Nº 7.2 Tubería de sección circular, donde se muestra el volumen decontrol para el balance de energía

250


1. Considerar un flujo forzado laminar por el interior de un conducto desección circular de radio R, sometido a un flujo de calor uniforme desdeuna pared a (Tp), Si se toma un volumen de control anular de longitud(dx) y espesor (dr), en la región donde los perfiles de velocidad ytemperatura están completamente desarrollados.

2. Un balance de energía permite determinar la distribución detemperaturas en la forma: “En condiciones estacionarias, el calor netoque se conduce hacia dentro del volumen de control desde lasdirecciones radial y axial, debe ser igual al calor neto que se transfierepor convección alejándolo en la dirección (x). No existe convección en ladirección radial, para este caso en vista que la velocidad es axialpuramente”

pr C vT T rv Tr

r r k x x

(7.8)

3. Debido que para la distribución de velocidades es de tipo parabólico(régimen laminar), se tiene

2 2 2

á 02 2 2á

1 ; 1 2 1m xm x

v r r rv v v

v R R R

(7.9)

2

2

12 1o

T T rr v r

r r x R

(7.10)

7. De la expresión anterior, se tiene que para flujo térmicamentedesarrollado(∂T/∂x) = Cte.

4. Integrando la expresión anterior, se obtiene la distribución detemperaturas:

2 4 31

0 1 02 2

2 4

0 1 22

2 2 ;

α 2 4 α 2 4

1

α 4 16

CT T r r T r rr v C dT v dr

r x R x R r

T r rT v C Ln r C

x R

(7.11)

5. Las constantes de integración se calculan teniendo en cuenta lassiguientes condiciones:

5.1 Para, r = 0; T = Tc, (temperatura en el eje de la tubería, v = 2 v0

Entonces: C1 = 0 y C2 = Tc, por tanto, se tiene:

251

2 4 20

02 2 ; 2 1

α 4 1 6v T r r r

T T c v vx R R

(7.12)

5.2Para, r = R, se determina el coeficiente de transmisión de calor hc

La temperatura de la pared Tp es:2

0 3

α 1 6p

v T rT T c

x

El flujo de calor es Q = cte;

; r Rc p f c

r R p f

Tk

T xk h T T h

x T T

(7.13)

5.3 Esta ecuación permite determinar el coeficiente de transmisión de calorpor convección.

La temperatura media del fluido Tf se puede determinar a partir de laexpresión

R R

p p0 0

2 2 4R0R

0 C2 200

R 2R

0 0 20

20

C

ρC v2πrdr = TρC v2πrdr

2vr2v 1- T rdr

Tvrdr α 4 16rvrdr 2v 1- rdr

7T

48

α

f

f

f

T

T r r

R x RT

R

v R TT

x

(7.14)

La distribución de temperaturas y el coeficiente de convección sepueden se pueden colocar en la forma:

4 2

0

r=R 2 20 0

24 3 1

11 4 4

242

α

|113 7

8

α 48 α

48 ; siendo D = diámetro= 2 R

11

p

f p

cp f

C C

c

T T r r

T T R R

v Rk Tk T kxh

T T r Rv R v RT TT T

x x

kh

D

(7.15)

Entonces para flujo de calor uniforme, el número de Nusselt es:

252

4,3636 ; Nu = 4,3636c

kh

D (7.17)

Este valor se utiliza para el flujo de fluidos en tuberías en régimen laminar sise cumple que el numero de Reynolds, Re < 2.100, además el flujo estácompletamente desarrollados en un tubo circular, de y la longitud L→

Caso 2.- Cuando la tubería está sometida a una temperatura de paredconstante

Esto puede ocurrir por ejemplo cuando fluye vapor condensado sobre lasuperficie exterior de la tubería. A una distancia suficiente del punto en elque empieza el calentamiento corriente abajo, el flujo se vuelve totalmentedesarrollado térmicamente, la forma del perfil de temperatura no cambia, yel número de Russel tiene un valor constante dada por la ecuación:

3.656pa T Cte Nu (7.18)

7.4.2 Flujos no desarrollados

El efecto de entrada del fluido en tuberías se manifiesta cuando laslongitudes turbulentas iniciales sean mucho más cortas que en condicionesde régimen laminar o cuando el intercambio térmico comienza a efectuarsedesde la entrada de la tubería y por lo tanto la capa límite térmica no estátodavía desarrollada. Dentro de las ecuaciones para determinar en estecaso el número de Nusselt y por ende el coeficiente de transferencia decalor, se tienen:

Ecuación de Seider y Tate, con temperatura de pared constante0,14

3

3

1,86 , Re Pr

Gz >10 ; >2:

Pr >0,5

F

p

C

dNu Gz con Gz número de Graetz

L

GzPara

(7.19)

Las propiedades del fluido que conducen al cálculo de Re y Pr se calculan ala temperatura Tf.

En la ecuación se tiene, (L) la longitud de la tubería y (d) el diámetro; elparámetro (ηc), se utiliza para expresar el efecto de la diferencia de

253

temperaturas del fluido Tf y de la pared Tp, sobre las propiedades del fluido.Se aplica en aquellos casos en que la viscosidad del fluido cambiemarcadamente con la temperatura, η =η (T); en muchos casos (ηc) seconsidera la unidad, siendo de interés en los fluido muy viscosos.

Eecuación de Hausen

a. Con temperatura de pared constante, es:

2/3

0,06683,66

η

1 0,04 C

GzNu

Gz

(7.10)

b. Con flujo de calor constante, la ecuación de Hausen es0,023

4,36

η

1 0,0012 C

GzNu

Gz

(7.21)

En ambas ecuaciones las propiedades del fluido, para determinar Re yPr se hallan a la temperatura Tv

Si el flujo turbulento está hidrodinámicamente desarrollado.El coeficiente de rozamiento viene dado por:

64

Red

; Red < 2300 y el número de Nusselt por:

2

3

0,065 Re Pr3,66

1 0,04 Re Pr

d

d

d

d

LNud

L

; Red < 2300 (7.22)

7.5 Flujo turbulento desarrollado por el interior de tuberías

Los estudios realizados sobre el movimiento en tubos de un gran númerode líquidos, gases y vapores, se pueden expresar por las siguientesecuaciones:

7.5.1 Ecuación de Dittus-Boelter

se aplica para tubos lisos:

0,8 0,7 < Pr < 1600,023Re Pr , , ( / ) > 60 y

Re > 10000

n = 0,4 para calentamiento y

n = 0,3 para enfriamiento

nNu para L d

(7.23)

254

7.5.2 Ecuación de Sieder y Tate

Nu = 0,027 Re0, 8 Pr 1/30,14

ηη

f

p

con:L

Re >10000 ; >60d

0,7<Pr<16500

(7.24)

Recomendándose para aquellos casos de transmisión de calor enlos que la viscosidad de los fluidos cambie marcadamente con latemperatura

Para determinar Nu, Re, Pr y ηF hay que conocer las propiedades delfluido a su temperatura media Tf, mientras que ηp se calcula a latemperatura de la pared Tp.

7.5.3 Ecuación de Petukhov

S e utiliza para tubos rugosos

FRe Pr η;

8

ηn

dd

p

NuX

X = 1,07 + 12,7 (Pr2/3 –1)

8 (7.25)

F

p

104<Re< 5.106; 0,5<Pr<200 ; error < 5 + 6%

cuyo campo de validez es: 104<Re< 5.106; 0,5<Pr<2000 ; error 10%

η0< <40

η

n = 0,11 para calentamiento con Tp uniforme

n = 0,20 para enfriamiento con Tp uniforme

n = 0 para flujo de calor uniforme o gases

El valor del coeficiente de rozamiento viene dado para Pr > 0,5 por:

= (0,79 Ln Red – 1,64)-2 ; 104 < Red < 5.106

255

Tomándose las propiedades del fluido a la temperatura media TF, exceptop que lo es a la temperatura de la pared Tp.

7.6 Correlaciones para la convección forzada por el exterior de tuberías

7.6.1 Flujo turbulento paralelo por el exterior de un tubo

Numerosos estudios y experimentaciones en gases, vapores y líquidos,que se mueven por el exterior de un tubo simple, en forma paralela, elnúmero de Nussetl se puede determinar por las siguientes correlaciones:

`0,6 0,3 3 5

0,43 0,3 2

0,26Re Pr ; 10 Re 10

0,86Re Pr ; 10 Re 200(sólo para líquidos normales)

c

c

Nu

Nu

(7.26)

7.6.2 Flujo turbulento paralelo por el exterior de tubos en batería

Cuando fluye un fluido sobre una batería de tubos (como intercambiadoresde calor en contracorriente y en equicorriente), se pueden considerar doscasos:

a. Si se obliga al fluido a circular paralelo y pegado a la pared de lastuberías mediante pantallas, se considera como flujo por el exterior detubos, y se utilizan para determinar el número de Russel, las ecuacionesdadas para un tubo único.

b. Si no existen pantallas y los tubos están contenidos en una carcasa, seconsidera como flujo por el interior de un tubo, (la carcasa), para ladeterminación del número de Reynolds, se usa el diámetro equivalente,y en la formulación en que interviene en el cálculo del número de Russel(Nu).

c. En estas situaciones el número de Re y número de Nu, se calculan enfunción del diámetro hidráulico:

f

. .Re ;

ν kf h c h

v d h dNu (7.27)

Diámetro hidráulico,Sección transversal mojada

4perímetro mojadohd (7.28)

256

d. Para una conducción formada por dos tubos concéntricos, el diámetrohidráulico se determina mediante la relación siguiente:

Figura Nº 7.3 Determinación del diámetro hidráulico en tubos concéntricos


Donde:

d1= diámetro interior del tubo exterior

d2 = diámetro exterior del tubo interior

e. para un conducto tipo intercambiador, formada por varios tubosrodeados por una carcasa exterior, el diámetro hidráulico se determinamediante la relación siguiente:

Figura Nº 7.4 Determinación del diámetro hidráulico en un sistema formadopor una carcasa y tubos


Donde: D, diámetro interior de la carcasa

257

d, diámetro de los tubos.

7.7 Correlaciones para la convección en flujos cruzados

7.7.1 Flujo cruzado en un solo tubo

Cuando se trata de un tubo único, para la circulación de gases y líquidosordinarios, el coeficiente de transferencia térmica medio correspondiente al flujocruzado, se puede calcular mediante las relaciones siguientes:

Nu = C Re n Pr 1/3 (7.29)

En la que los valores de n y C, se obtienen de la Tabla Nº 7.1

Las propiedades del fluido se calcular a una temperatura media, entre la delflujo TF y la de la pared exterior Tp.

Tabla N°7. 1 Constantes para utilizar en la ecuación:

13Pr

n

ff

f

V dh dC

k v

(7.30)

Fuente: J.P. Holman, Transferencia de calor, 8 ava Edición

7.7.2 Flujo cruzado en tubos en batería

La transferencia de calor en la circulación de un fluido sobre una batería detubos, en flujo cruzado, es muy importante por su aplicación al diseño y

258

proyecto de la inmensa mayoría de intercambiadores de calor., en la Fig. N° 7.5el flujo forzado a través de un haz de tubos en batería.

FIGURAS N° 7.5 Disposición de los tubos en los bancos alineados oescalonados (a1, at, y ad) son las áreas de flujos en loslugares indicados y L es la longitud de los tubos.

Fuente: Yunus Cengel, Transferencia de calor, 2 da Edición

a. Primer Método Se utiliza una ecuación parecida a la de un solo tubo, en la que los

valores de C y n dependen de las distancias entre tubos adyacentes.Estos parámetros varían si los tubos están alineados (disposiciónregular), o están al tresbolillo o en quincunce, ambas disposicionestriangulares, ver la fig. Nº 7.5

259

Para el caso de un flujo turbulento sobre baterías de 10 ó más tubos enla dirección del flujo, se utiliza la siguiente ecuación y los valores C y nse determinan de la tabla N°7.2

máx1/3á

2000<Re <40000Re Pr ;

Pr>0,7nm xNu C

(7.31)

Tabla N°7.2 Para evaluar los valores de las constantes C y N

Correlación de Grimson modificada para transferenciade calor en haces de tubos de 10 filas a más

Sn / d

Sp / d

1.25 1.5 2 3

C n C n C n C n

En línea

1.25 0.386 0.592 0.305 0.608 0.111 0.704 0.0703 0.752

1.5 0.407 0.586 0.278 0.62 0.112 0.702 0.0753 0.744

2 0.464 0.57 0.332 0.602 0.254 0.632 0.22 0.648

3 0.322 0.601 0.396 0.584 0.415 0.581 0.317 0.608

Al tresbolillo

0.6 - - - - - - 0.236 0.636

0.9 - - - - 0.495 0.571 0.455 0.581

1 - - 0.552 0.558 - - - -

1.125 - - - - 0.531 0.565 0.575 0.56

1.25 0.575 0.556 0.561 0.554 0.576 0.556 0.579 0.562

1.5 0.501 0.568 0.511 0.562 0.502 0.568 0.542 0.568

2 0.448 0.572 0.462 0.568 0.535 0.556 0.498 0.57

260

3 0.344 0.592 0.395 0.58 0.488 0.562 0.467 0.574

Fuente: J.P. Holman, Transferencia de calor, 8ava Edición

En el caso en que el número de tubos en la dirección del flujo sea menorde 10, en la tabla Nº 3, se indica un factor de corrección, que es elcociente entre el valor (hc) para (n) filas en la dirección del flujo,respecto al valor de hc para 10 filas obtenido a partir de los datostomados de la tabla 7.3:

( ) (10 )ψc N tubos c tubosh h (7.32)

Tabla N° 7.3 Relaciones entre hc para N filas de profundidad y h para 10 filasde profundidad

.

Fuente: J.P. Holman, Transferencia de calor, 8ava Edición

El valor de Remáx se corresponde con la velocidad máxima, y ésta con lasección mínima de paso; de acuerdo con la Fig. N° 7.3, se tiene:Disposición regular

Paso mínimo = (ST - d) => vmáx = f T

T

v S

S d(7.33)

Disposición triangular.

Se toma el menor de los pasos:

261

f T

máx22

v S2 2 => v =

Paso mínimo

2

T

TL y

S d

SS d

(7.34)

Donde: ST = espaciamiento transversal, desde los centro de tubos

SL = espaciamiento longitudinal, desde los centro de tubos

SD = espaciamiento diagonal, en otros textos es SD)

22

2T

D L y

SS S

(7.35)

b. Segundo método

Cuando el número (Nt) de tubo por fila sea superior a 20, se recomiendautilizar la ecuación de Zukauskas, más moderna que la anterior, de la forma:

Para gases, Nud = C* mmáxRe Pr 0,36

Pr

PrF

p

T

T

(7.36)

Para líquidos, Nud = C* Re 0,364

PrPr

PrFT

Tp

m

máx(7.37)

6med

0,7<Pr<500

10<Re <10

C* y m están tabulados, tabla N° 4

262

Para líquidos, las propiedades se toman a TF, excepto los números de Prde la raíz, que lo son a las temperaturas respectivas.

Para gases, las propiedades se toman a la temperatura de película; eltérmino de la raíz que relaciona los números de Pr es aproximadamentela unidad.

Tabla N° 7.4 Valores de C y n para la ecuación de Zukauskas

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de Tranferencia de calor, 2daEdición

Para haces con menos de 20 tubos por fila, N<20, el número de Nudobtenido con la ecuación de Zukauskas se corrige mediante un factor decorrección x que se determina a partir de la Fig. N° 7.6 o de la tabla N°7.5, de tal forma que el factor de corrección es::

263

Figura N° 7.6 Gráfica para determinar el factor de corrección para elnúmero de filas en un banco de tubos, a utilizar en laecuación de Zhukauskas

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de tranferencia de calor, 2daEdición

Tabla N°5 Relación entre h para N filas de profundidad y h para 20filas de profundidad

Fuente: J. Holman, Transferencia de calor, 3era Edición

( ) >20.N NNu x Nu (7.38)

La velocidad que interviene en el cálculo del número de Re es lacorrespondiente a la sección entre los tubos, que depende de lageometría de la batería y de la disposición espacial de los mismos.

7.8 Cálculo de la caída de presión

Una ecuación para determinar la caída de presión en un banco de tubos,de acuerdo a estudios reportados por Jacob, es la siguiente:

264

2max

21

1,

2

Re ,/ 1

S

mDmn

T

P f N U

Cf C

S D

(7.39)

1 2

1 2

, ,

: 1.0, 0.470

1.08, 0.16

: 0.176, 0.34 /

0.43 1.13 /

0.15

m S

S S

L

T

Las propiedades aT excepto

y aT

aT

Banco Alternado C C

n m

Banco Alineado C C S D

n D S

m

Fuente: J.P.Holman, Transferencia de Calor 8 ava Edición

Donde:

f = factor de fricción

N = número de filas de tubos paralelo a dirección del flujo

s

f

μ = viscosidad dinámica a la temperatura

de la pared

μ = viscosidad din

ámica a la temperatura

del fluido

7.9 Problemas Resueltos

Problema Nº 1

En un sistema de acondicionamiento de aire. A menudo se usa el enfriamientodel aire, reduciendo la temperatura del aire para confort del ser humano. Elsistema de acondicionamiento consiste de un banco de tubos, donde el airefluye por el exterior de los tubos y por el interior de estos fluye aguarefrigerante. La figura adjunta ilustra este el arreglo del banco de tubos enforma alternado, cuyos tubos tienen un diámetro, D = 1,59 cm. Las filas detubos en la dirección al flujo es de 4 filas, con espaciamiento longitudinal SL =3,5 cm. y un espaciamiento transversal St = 3,0 cm. La temperatura del aguaque fluye por los tubos, mantiene una temperatura superficial de los tubos Ts =5 °C. El aire presurizado que se alimenta al banco de tubos, lo hace a unavelocidad de V = 5m /s, a una temperatura Tf = 30°C.

a. Determinar el coeficiente de transferencia de calor superficial.

265

b. Encontrar la caída de presión del aire para este arreglo del banco de tubos.

Solución.-


Figura N° 7.7 Banco de tubos de arreglo escalonado


2. Valores de las propiedades del fluido a las temperaturas, de la pared Ts, Tf ytemperatura promedio Tm = (Ts+Tm)/2 = 17,5 °C.

A la temperatura Ts = 5 a.C.:

μs = 17,45 x 10-6 Kg./mS; Pr = 0,717

A la temperatura de entrada del fluido, Tf = 30 °Cμf = 18, 65 x 10-6 kg/ms; ρf = 1,1644 kg/m3; Pr = 0,712

A la temperatura Tm = 17,5 a.C.ν = 14, 87 x 10-6 m2/s; K = 25, 45 x 10-3 w/m°C; Pr = 0,714

3. El espaciamiento diagonal para este banco de tubos de arreglo escalonado

1/ 2 1/ 22 22 2 3,0

3,5 3,8082 2T

D L

SS S cm

4. El área frontal de flujo, de los tubos es: (ST – D) = 3,0 – 1,59 = 1,41 cm.

5. El área de flujo diagonal es: 2(SD – D) = 2(3,808 – 1,59 = 4,436 cm.

6. Como el área frontal es menor que el área de flujo diagonal, es decir:

(ST - D) < 2 (SD – D); entonces la velocidad máxima ocurre en elespaciamiento: (ST – D), y se determina, mediante la expresión:

266

max

3,05 10,638 /

3,0 1,59T

fT

SV V m s

S D

7. El número de Reynolds, basado en esta velocidad, es:

4max6

. 10,638 0,0159Re 1,138 10

14,87 10

V D

v

7.1 Para este número de Reynolds, mediante la tabla Nº 6,5 las constantesC y n para la ecuación 6,54 a usar, con, ST/SL = 3,0/3,5 = 0,857, son:

1/ 51/50,35 / 0,35(0,857) 0,339

0,6T LC S S

n

8. La ecuación de Zhukauskas, para determinar el número de Nusselt, para 20filas es:

20

20

1/ 4 1/ 40,360,36 4Pr 0,712

Re Pr 0,339 1,138 10 0,714Pr 0,717

81,44

fnu

s

u

N C

N

9. El número de Nusselt calculado es para 20 filas de tubos, en la dirección delflujo, como el banco de tubos es de cuatro filas, se ha de hacer lacorrección respectiva, utilizando la figura Nº 6,7, obteniéndose:

44

20

0,88 0,88 81,44 71,66Nu

NuNu

10. Por tanto el coeficiente de transferencia de calor convectivo es.

2 2

0,0254571,66

0,0159

114,7 / . (20,2 /

kh Nu

D

h w m C Btu h pie F

11. Para evaluar la caída de presión a través del banco de tubos, se determinaprimeramente el factor de fricción, para banco de tubos alternados:

-0,164

1,08

0,472f = 1,0+ 1,138 10 0,345

3,0/1,59-1

267

0,14

2

2 2

1 17,45ΔP = 0,345 4 1,1644 10,6382 18,65

ΔP = 90,1N/m (0,013l / )fb pul

Problema Nº 2

Un haz de tubos utiliza una disposición en línea con Sn = SP = 1,9 cm. y 6,33mm de diámetro de tubos. Se emplean 6 filas de tubos que constan de una pilade 50 tubos de altura. La temperatura de la superficie de los tubos se mantieneconstante a 90 a.C. y transversalmente a ellos circula aire atmosférico a 20a.C. siendo 4,5 m/s la velocidad antes que la corriente entre al haz de tubos.Calcúlese el calor total por unidad de longitud transferido en el haz de tubos.Estímese la caída de presión para esta disposición.

Solución.-


Figura N° 7.8 Banco de tubos de arreglo alineado


268

2. Las constantes para utilizar en la ecuación, pueden obtenerse en la tabla Nº6,4, empleando

1/3..Pr

n

ff

f

V Dh DNu C

k v

1,93,00157

0,633p n

S S

D D

C = 0,317; n = 0,608

3. Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película, que a laentrada del haz de tubos:

1

90 2055 328

2 2p f

f

T TT C K

6

3

1,974 10 / .

1,0769 /

0,02836 / .

1007,5 / .

Pr 0,7079

kg m s

kg m

k w m C

Cp j kg C

4. Para calcular la velocidad máxima, debe de determinarse el área de pasomínima. En la Fig. 6.14 se observa que la relación entre el área de pasomínima y el área total frontal es ((Sn-D)/Sn, entonces la velocidad máximaes:

max

max

1,94,5

1,9 0,633

6,748

nf

n

S m cmV V

S D s cm cm

mV

s

5. El número de Reynolds se determina, utilizando esta velocidad máxima

3max

6

1,0769 / 6,748 / 0.00633Re

1,974 10 / .

Re 23302,7412 ( )

V D kg m m s m

kg m s

flujo turbulento

6. Calculo del coeficiente de transferencia de calor,

269

0,6084 1/3

2

.0,317 2,33 10 (0,7075 127,7619

127,7619 0,02836572,4056 / .

0,00633

h DNu

k

h w m C

7. Este sería el coeficiente de transferencia de calor que se obtendría sihubiese 10 filas de tubos en la dirección de la corriente. Puesto que haysolo 6 filas., este valor debe multiplicarse por el factor 0,94, obtenido de latabla 7,5

8. El área total de la superficie para transferencia de calor, por unidad delongitud de los tubos, es

250 6 0,00633 (1) 5,965TA N DL m m

9. Se ha de observar que la temperatura del aire aumenta cuando atraviesa elhaz de tubos. Como buena aproximación, puede utilizarse el valor de lamedia aritmética de Tf, escribiendo el balance energético

1 22 12

f fp p f f

T TQ hA T mC T T

Donde: los subíndices 1 y 2 designan ahora la entrada y la salida del hazde tubos.

10. El flujo másico a la entrada de los 50 tubos es

(50) 1,0769 4,5 50 0,019 4,6037 /f f nm V S kg s

10. Reemplazando en (8)

22

200,94 572,4056 0,119317 90 4,6037 1007,5 20

2f

f

TQ T

Tf2 = 20,96 °C

11. El calor transferido se obtiene entonces del balance de energía

4,6037 1007,5 20,96 20 4452.69864 /Q W

Problema N° 3

270

En la calefacción de locales, normalmente se suele usar un haz de tubos en elque el agua se hace circular en ellos y aire en flujo cruzado sobre ellos (por elexterior). Considere un arreglo escalonado, el diámetro exterior de los tubos es16,4 mm y los espaciamientos longitudinal y transversal: Sl = 34,3 mm y ST =31,3 mm, existen 7 hileras de tubos en la dirección del flujo de aire y 8 tubospor línea. En condiciones de operación típicos la temperatura superficial delcilindro es de 70 a.C., mientras que la temperatura del flujo de aire cruzado y lavelocidad son 15 a.C. y 6 m/s respectivamente.

Calcular:

a. El coeficiente de transferencia de calor del lado del aire.

b. la transferencia de calor por el haz de tubos.

c. Cuál es la caída de presión del laso del aire.

Solución.-

1. Datos: Para el aire

Tf = 15 a.C. : ρ = 1,217 kg/m3; Cp = 1007 j/kg.K; v = 14,82x10.6 m2/s;

k = 0, 0253 W/m.K; Pr = 0,710

Ts = 70 °C : Pr = 0,701

Tm = 43 °C : v = 17,4x 10-6 m2/s, k = 0,0274 W/m-K; Pr = 0,705

2.Diagrama de flujo

271

Figura N° 7.9 Banco de tubos de arreglo alternado (triangular)


3. El espaciamiento diagonal para este banco de tubos de arreglo escalonado

1/ 2 1/ 22 22 2 3,13

3,43 37,72 2T

D L

SS S cm

4. El área frontal de flujo, de los tubos es: (ST – D) = 31,3 – 16,4 = 14,9 mm.

5. El área de flujo diagonal es: 2(SD – D) = 2(37,7 – 16,4) = 42,6 mm.

6. Como el área frontal es menor que el área de flujo diagonal, es decir:

(ST - D) < 2 (SD – D); entonces la velocidad máxima ocurre en elespaciamiento: (ST – D), y se determina, mediante la expresión:

max

31,36 12,6 /

31,3 16,4T

fT

SV V m s

S D

7. El número de Reynolds, basado en esta velocidad, es:

max6 2

. 12,6 / 0,0614Re 13943

14,82 10 /

V D m s m

v m s

7.1 Para este número de Reynolds, mediante la tabla Nº 6,5 las constantesC y n para la ecuación 6,54 a usar, con, ST/SL < 2, por tanto

1/ 51/50,35 / 0,35(0,91) 0,34 0,6T LC S S n

8. Mediante la ecuación de Zhukauskas, sirve para determinar el número deNusselt, para 8 filas es:

20

20

1/ 4 1/ 40,6 0,360,36 Pr 0,710

Re Pr 0,34 13943 0,71Pr 0,701

87,9

fnu

s

u

N C

N

9. El número de Nusselt calculado es para 20 filas de tubos, en la direccióndel flujo, como el banco de tubos es de ocho filas, se ha de hacer lacorrección respectiva, utilizando la figura Nº 6,7, obteniéndose:

272

77

20

0,98 0,98 92,5263 87,9Nu

NuNu

10. Por tanto el coeficiente de transferencia de calor convectivo es.

2

0,025387,9

0,0164

135,6 / .

kh Nu

D

h w m K

11. Calculo de la diferencia de temperatura a la salida, (Ts –Tf,s)

Mediante la relación:

, , e f t T

DNh

V N S Cp

s f s s f iT T T T

12 Reemplazando valores

, ,

( , 164).56.135,6 / 2.

1217 6 8 0,0313,

e

55 e 44,5

f t T

DNh

V N S Cp

s f s s f i

o o W m KC

x X Xs f s

T T T T

T T C

56 135,6 0,0164 49,6

19,4 /mlQ N h T x x

Q KW m

13. Calculo de la caída de presión

0,1462 2

6

1 17,4 10. . max 228,53 /

2 14,82 10

xP f N v N m

x

Problema Nº 4

Un haz de tubos cuadrado consta de 144tubos dispuestos en línea. Los tubostienen un diámetro de 1.5cm y una longitud 1.0m; la distancia entre los centroses 2.0cm. Si las temperaturas de la superficie de los tubos se mantienen a500K y el aire entra al haz de tubos de 1 atm y 300K a una velocidad de 6m/s2.calcúlese:

a. El calor total perdido por los tubos.

273

b. La caída de presión a través del banco de tubos.Solución

Figura N° 7.10 Banco de tubos de arreglo alineado (cuadrado)


Datos:

1 144N tubos

1,5 ; 1 ; 2

50 ; 300 ; v 6 /T L

S f

D cm L S S cm

T k T k m s

1) Cálculo 1/2 1/22 2 2 22 2 2,828D T LS S S cm

2 1.5 0.5TS D

2 2 2.828 1.5 2.65 ; 2DS D Como ST D SD D

2) La velocidad máxima

Tmáx f

T

Sv v

S D

max2

6 24 /2 1.5

m s

3) Cálculo maxR

maxmax 6 2

24 / 0.01513899,6135

25,9 10 /

D m sR

x m s

……. Flujo turbulento

274

4) Para lograr que el Nº Re se determina las constantes C y por la ecuación

de Zukauskas para banco de tubos

1/4r0,36

r

P

Pfn

e rs

Nu CR P

Como: / 1 0,7T LS S

0,27 ; 0,63C n

1/4

0,63 0,3620

0,7080,27 13899,6138 0,689

0,68Nu

20 97,18416Nu 0.98cf

12 20 0.98 97,18416 95,2404Nu fcNu

295,2404 0,03365/ º 213,656 / º

0,015

Nu x k xh W m C W m C

D m

2213,6561 / ºh W m C

5) Balance de energía, permite calcular la Tf2

2 12 1 2

f ff f s

T TQ mCp T T hA T

31,1774 / 6 / 12 0.02 1f f TT Tm N S xL Kg m x m s x x x

1,695436 /m Kg s

6).Cálculo de Área

2144 0.015 1 6,7858TA N DL x x x m

7).Reemplazando en (5)

275

22

3001,695456 1014 / º 300 213,6561 6,7858 500

2f

fT

x J Kg C T x

2 418,65fT K

8).Por tanto el flujo de calor transferido, será

1,695456 1014 418,65 300 203994,6887 /

203,9946 /

Q x J s

Q KJ s

9).Determinación de la caída de presión

0.1421

2fs

máxf

P f

2

1/ 1

mcn

Cf C R

ST D

Para banco de tubos alineado

1

2

0.176

20,34 / 0,34 0,4533

1,5

C

C SL D x

1,13 1.50,43 1,277.5

2

xn

; 0.15m

0.151.2775

0.45330.176 1.3899,6138

21

1.5

f

; 0,483098f

Problema Nº 5

276

Fluye aire a razón de 5pies/s, sobre un intercambiador de calor de flujocruzado, que consta de siete tubos en la dirección del flujo y ocho tubos en ladirección transversal al flujo. La longitud de cada tubo es de 4pies. El diámetroexterior de los tubos es de ¾ de pulgada, la separación longitudinal esSL=1.5pulg. Y la separación transversal ST=1.125pulg. La temperatura del aireque entra en el intercambiador del calor es de 400°F y la temperatura de lasuperficie de los tubos se puede considerar como 200°F. Las propiedades delaire alas siguientes temperaturas son:

Ts= 200°F: Cp = 0.2414Btu/lb.°F; ρ = 0.06013 lb/pie3; µ = 0.05199 lb/h-pie,

v = 0.8647pie2/h; k = 0.01781Btu/h-pie-°F; Pr = 0.705

Tm= 300°F:Cp = 0.2429Btu/lb.°F; ρ = 0.05222 lb/pie3; µ = 0.05757lb/h-pie,


Ts= 400°F: Cp = 0.2450Btu/lb.°F; ρ = 0.04614lb/pie3; µ = 0.06280lb/h-pie,


Suponiendo que el arreglo de los tubos es en línea.

a. ¿calcular la temperatura de salida del aire del banco de tubos?b. La caída de presión a través del banco de tubos.

Solución.-


Figura N° 7.11 Banco de tubos de arreglo alineado (cuadrado)


277

2. Cálculo del coeficiente h

2.1 Determinación de la velocidad máxima

2 2 2 2 1/2max (1.5 1.125 )

1.875; ( ) 2( )

0.75 1.125

TD L T

T

D T D

SS S S

S D

S S D S D

max

1.1255 15 /

1.125 0.75x pies seg

2.2 Cálculo del número de Reynolds

max max

max

/

15 0.75 /123060.946

1.1026 1/ 3600

E

E

R xD

xR

x

2.3 determinación de las constantes C y M, para la ecuación deZukauskas

0.36 1/4( )n ru c r

rs

AN h CR

k

Por tabla para el número de Reynolds determinado, se tiene

C = 0.27; y n = 0.63

0.63 0.36 1/40.7010.27(3060.946) (0.701) ( ) 37.26

0.705

hD

k

2.4 despejando (h)

37.26 0.0199511.89 / .

0.75 /12

xh W h pie F

2.5 corrigiendo el valor de h, será

11.89 0.955 11.3549h x

278

3. Para evaluar la transferencia de calor y la temperatura de salida delfluido se procede:

1 21 2

2

( ) ( )2

0.758 7 4 43.9824

12

f fs f f

T

T TQ hA T mCp T T

A N L x x x x pie

1.1254 0.04614 5 8 4 0.6921

12f t Tm N S

4. Reemplazando2

2

2

2

400111.3545 43.984(200 )

. 3600 2

0.6921 0.2429 ( 400)

283.16

f

f

f

TBTU hQ

h pie F seg

lb BTUQ T

s lb FT F

5. Cálculo de la caída de presión

2 0 . 1 4m a x

21

1( ) ( )

2

( 1 )

st

f

mC

nT

P f N

Cf C R

SD

Para banco de tubos en línea: C1 = 0.176, C2 = 0.34SL/D

2

1.130.43 0.15

1.150.34 ( ) 0.68

0.751.13 0.75

0.45( ) 1018331.125

T

Dn m

S

C

n

0.150.680.176 (3060.946)

0.4403

0.516

f

f

279

2 0.14

2 2

1 0.051990.5160 0.04614 15 ( )

2 0.06280

18.2596 / lg 0.126 / lg

P

P lbf pu lbf pu

7.10. Problemas propuestos

P.7.10.1

Un banco de tubos con arreglo alineados, tiene espaciamiento longitudinal Sl =2,5 cm y espaciamiento transversal 2 cm. de diámetro 1,5 cm. El banco tienecuatro filas de tubos en la dirección del flujo, la temperatura superficial de lostubos se encuentra a 5 a.C. Aire atmosférico fluye por el exterior de los tubos a25a.C., en dirección normal a los tubos, con una velocidad de entrada de 6 m/s.Estimar el coeficiente de transferencia de calor promedio para el banco detubos y la caída de presión a través del banco.

P.7.10.2

En el interior de un haz de tubos se utiliza vapor que condensa a 150 a.C. paracalentar una corriente de CO2, que entra a 3 atm,, 35 °C y 5 m/s. El haz detubos consta de 100 tubos de 1,25 cm de diámetro exterior en disposicióncuadrada en línea con espaciamientos Sn = Sp = 1,875 cm. Los tubos tienenuna longitud de 60 cm. Suponiendo que la temperatura de la pared de os tubosse mantiene constante a 150 °C, Calcúlese el calor total transferido al CO2 y sutemperatura de salida del CO2 del banco de tubos.

P7.10.3 Un haz de tubos en línea consta de tubos de 2,5 cm de diámetro en15 filas de altura y 7 filas de profundidad. Los tubos se mantienen a 90 a.C. ytransversalmente a ellos, se sopla aire atmosférico a 20 a.C. y v = 12 m/s. Ladisposición tiene Sl = 3,75 cm y St = 5,0 cm. Calcúlese el calor por unidad delongitud transferido desde el haz de tubos. Calcúlese también la caída depresión.

P7.10.4

A través de un tubo de 1.2cm de diámetro interno fluye mercurio a unatemperatura de volumen másico de entrada de 90°C a razón de 4535 kg/hr.Este tubo forma parte de un reactor nuclear en el cual se genera caloruniformemente a cualquier razón deseada, ajustando el nivel del flujo deelectrones. Determine la longitud del tubo necesaria para elevar la temperaturadel volumen másico de mercurio a 230°C, sin que se genere vapor de mercurio,

280

y determine el flujo de calor correspondiente. El punto de ebullición de mercurioes de 355°C.

P7.10.5

Se tiene que calentar bióxido de carbono que se encuentra a 1 atmósfera depresión, de 25°C a 75°C, bombeándolo a través de una distribución de tubos auna velocidad de 4 m/s. Los tubos se calientan con vapor condensado a 200°Cdentro de ellos. Los tubos tienen un diámetro externo de 10mm, estándispuestos en línea y tienen una separación longitudinal de 15mm y unaseparación transversal de 17 mm. Si se requieren 13 filas de tubos. ¿Cuál es elcoeficiente promedio de transferencia de calor y cuál es la caída de presión delbióxido de carbono?

P7.10.6

Fluye agua a una velocidad másica de 2.6Kg/seg. A través de una tubería lizade 2 pulgadas de diámetro cedula 40 y es calentada de 20°C a 40°C. La paredinterna del tubo se mantiene a 90°C. Calcular:

a) La longitud de la tubería.b) Cual es la caída de presión que experimenta el agua en la tubería.Datos:

A la temperatura; 30mT C

3

4.18 /

995.7 /

5.42

Cp Kj Kg C

Kg m

r

3

6 2

0.7978 10 / .

0.812 10 /

0.615 /

x Kg m seg

x m seg

k W m C

A la temperatura; 390 ; 0.315 10 / .s sT C x Kg m seg

0 6.0332 lg

5.25i

D cmpara D pu

D cm

CAPITULO VIII INTERCAMBIADORES DE CALOR

8.1 INTRODUCCION

281

Un Intercambiador de calor es un sistema mecánico, construido para transferir

calor entre dos fluidos a diferente temperatura que están separados por una

pared que puede ser metálica.

Cuando la diferencia de temperatura es pequeña se desprecia la transferencia

de calor por radiación y el intercambiador de calor se calcula aplicando las

correlaciones de transferencia de calor por conducción y convección.

Un aspecto importante en la aplicación de los intercambiadores es la

recuperación del calor de procesos o incluso a la recuperación de calor de

fluidos residuales, que en si mismo no tienen valor económico, pero estando a

temperaturas superiores al ambiente, transportan calor, que al recuperarlo,

tiene un valor energético (recuperación de energía) y económico. Además

permite o contribuye a la conservación del medio ambiente, ayuda a que el

ahorro de energía se traduce en un ahorro de combustible, disminución de

masa de contaminantes (dióxido de carbono y otros), emitidos a la atmósfera.

8.2 CLASIFICACION

Los diferentes tipos de intercambiadores de calor con sus características

constructivas y funcionalidad, se pueden hacer diferentes clasificaciones:

8.2.1 Según el proceso de transferencia de calor, se puede distinguir: Recuperadores o transferencia directa.

Regeneradores o de almacenamiento

Lecho fluidizado.

Contacto directo.

Con combustión o generadores de calor (hornos y calderas)

8.2.2 Segun las características constructivas

Tubular: doble tubo, carcasa y tubos.

Placas: paralelas, espiral.

282

Compactos: tubos – aletas, placas – aletas.

8.2.3 Según la disposición de los fluidos. Paralelo.

Contracorriente.

Cruzado.

8.2.4 Dependiendo de su función Intercambiador.

Calentador y enfriador.

Refrigerador.

Evaporador y condensador.

Generador de vapor

a) Los intercambiadores que por su construcción son de flujo concéntrico y

por el sentido en que se mueven los flujos denominados de flujo paralelo yde flujo en contracorriente. Figura Nº 8.1

En el intercambiador de calor de flujos paralelos, el flujo másico más

caliente intercambia calor con el flujo másico más frió a la entrada del

intercambiador. Al comienzo, la transferencia de calor es mejor ya que la

diferencia de temperatura es máxima, pero a lo largo del intercambiador

esa diferencia disminuye con rapidez y las temperaturas de las dos

corrientes se aproximan asintoticamente y con gran lentitud. En el flujo

paralelo en equicorriente, la temperatura final del fluido más frió nunca

puede llegar a ser igual a la temperatura de salida del fluido más caliente

En el intercambiador en contracorriente, el flujo a mayor temperatura

del fluido caliente intercambia calor con la parte más caliente del fluido

frió, y lo más fría del fluido caliente con la más fría del fluido frió. Esto

permite establecer una diferencia de temperatura más constante a lo

283

largo del intercambiador. En el flujo en contracorriente la temperatura

final del fluido más frió (que es lo que se calienta) puede superar la

temperatura de salida del fluido mas caliente (que se enfría), puesto que

existe un gradiente de temperatura favorable a todo lo largo del

intercambiador de calor.

Figura N° 8.1 Intercambiador simple de tubos concéntricosFuente : Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3era

Edición

b) Los intercambiadores de calor de flujos cruzados

En este caso el fluido exterior es un gas (generalmente aire), mientras que

el fluido interior puede ser un fluido cualquiera gas o liquido, que se mueven

en forma perpendicular entre si, estos intercambiadores de calor pueden

ser: tubulares con o sin aletas (placas), los fluidos pueden ser mezclados y

sin mezclar.

En la figura N°8.2 se presentan estos tipos de intercambiadores de calor

284

Figura N° 8.2 Intercambiador de flujo cruzadoFuente : Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3era

Edición

c. Intercambiador de tubos y carcasa, 1-2 (corrientes paralelas y encontracorriente)

. Se tiene intercambiadores de calor de carcasa y tubos, se utiliza

para la transferencia de calor entre líquidos, uno de los fluidos circula

por el interior de los tubos y el otro por el exterior. La carcasa

envuelve el conjunto de tubos. Los deflectores (BAFFLES), cumplen

la función de desviar el flujo exterior con objeto de generar un

proceso de mezcla que genera turbulencia para aumentar la

transferencia de calor. El flujo de un intercambiador (1-2) es

generalmente en contracorriente y parcialmente en corrientes

paralelas. Ver figura. Nº 8.3

En los intercambiadores de paso múltiple, se pueden utilizar

velocidades mas elevadas, tubos más cortos y resolver fácilmente el

problema de las expansiones y dilataciones. Disminuye la sección

libre para el flujo, con el cual aumenta la velocidad, dando lugar a un

incremento del coeficiente de transmisión de calor por convección.

285

Figura N° 8.3 Intercambiador de carcasa y tubos (1-2)Fuente : Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3era

Edición

Las desventajas son:

- El intercambiador es más complicado.

- Aumentan las perdidas por ficción debido a la mayor velocidad y a la

multiplicación de las perdidas de carga en la entrada o la salida.

- El intercambiador (1-2) posee una importante limitación ya que debido al

paso del flujo en corrientes paralelas, el intercambiador no permite que

la temperatura de uno de los fluidos a la salida sea muy próxima a la

temperatura del otros fluido a la entrada, lo que se traduce en que la

recuperación de calor de un intercambiador (1-2) es necesariamente

mala.

8.3 DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS

En la figura Nº 8.4 se presenta la distribución de temperatura de varios

intercambiadores típicos: de flujo paralelo, contracorriente y de un paso

por la carcasa y dos pasos por los tubos, condensador de un paso de

tubos, vaporizadores de un paso de tubos.

286

Figura N° 8.4 Distribución de trmperaturas en :a. Condensadores de un solo paso en los tubosb. Vaporizadores de un solo paso de tubosc. Intercambiador de flujos de calor en equicorrientes

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3eraEdición

FIGURA Nº 8.5 Distribución de temperaturas en intercambiador de calorde tubos y carcasa (1-2)

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3eraEdición

287

8.4 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

El coeficiente total de transferencia de calor U es un factor que para una

configuración geométrica dada, el valor del calor total transferida, hay que

multiplicarlo por el área del intercambio y por la diferencia total de

temperaturas.

totalQ U A T (8.1)

Una de las primeras cuestiones a realizar en el análisis térmico de un

intercambiador de calor de carcasa y tubos consiste en evaluar el

coeficiente de transferencia térmica global entre las dos corrientes fluidas,

tal como

3

1

1 11 1i

i c F

UAL

Rih A kA h A

(8.2)

En el caso de un intercambiador de calor formado por dos tubos

concéntricos, Fig. Nº (8.1) el área de la superficie de intercambio térmico

es:

: 2

: 2i i

e e

Interior A r LArea

Exterior A L

(8.3)

De tal forma que:

1

11 1

2

e

i

i i Fe e

UAr

nr

hc A kL h A

(8.4)

Si el coeficiente de transferencia térmica global viene referido a la

superficie exterior Ae el calor de Ue será:

1

11

2

ee

ee i

ci i Fe

Ur

A nA r

h A kL h

(8.5)

288

Mientras que si viene referido a la superficie interior Ai será:

1

ln1

2

ie

ii i

ci e Fe

Ur

Ar A

h kL A h

(8.6)

8.5 FACTOR DE SUCIEDAD (Rd)Con frecuencia resulta imposible predecir el coeficiente de transferencia de

calor global de un intercambiador de calor al cabo de un cierto tiempo de

funcionamiento, teniendo solo en cuenta el análisis térmico; durante el

funcionamiento con la mayoría de los líquidos y con algunos gases, se van

produciendo gradualmente unas películas de suciedad sobre la superficie

en la que se realiza la transferencia térmica, que pueden ser de óxidos,

incrustaciones calizas procedentes de la caldera, lodos, carbonilla u otros

precipitados, Figura Nº 8.6; el efecto que esta suciedad origina, se conoce

con el nombre de incrustaciones, y provoca un aumento de la resistencia

térmica del sistema

Si se realizan ensayos de rendimiento en un intercambiador limpio y se

repiten después de que el aparato haya estado en servicio durante algún

tiempo, se puede determinar la resistencia térmica del depósito (o factor de

incrustación) RSuc mediante la relación:

FIGURA Nº 8.6 Transmisión de calor entre la cámara de combustión y el agua de

una caldera con incrustaciones

Fuente: Alan Chapman, Fundamentos de Transferencia de calor, 3era Edición

289

1 1 11Sucio Func Limpio Fun

Func LimpioSucio

Limpio

R R R UU U R

U

(8.7)

8.6 CALCULO DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNINTERCAMBIADOR DE CALOR.

2 11 2

2

1

( ) ( )1

C PC C C

T TQ m C T T UA UA LMTD

Tn

T

(8.8)

En la que la expresión, 2 1

2

1

1

T TT

nT

se denomina temperatura media

logarítmica ó (LMTD), ( Logarithmic mean temperature difference).

8.7 INTERCANBIADOR DE CALOR CON (U) variable, (varia linealmentecon ∆t)

Cuando el coeficiente global de transmisión de calor U, varíe mucho de uno

a otro extremo del intercambiador, no es posible representarle por este valor;

si se admite que U varía linealmente con la diferencia de temperaturas ∆T se

puede poner:

U a b T (8.9)

...)(

)()()( 2

TdATba

Td

TUdA

TdTbaU

Q

TT

dq

Td

2

1)1

1(

1... T

TTba

Tn

aA

290

1 2 2 1

1 2

2 1

1

(Diferencia media logatrimica cruzada)

U T U TDMLC

U Tn

U T

DMLC

(8.10)

1 2 2 1

1 2

2 1

1

U T U TQ A

U Tn

U T

(8.11)

Suponiendo de modo general, que el intercambiador completo se haya

dividido en (n) elementos parciales:

1 2 2 31 1

... (1 2)n

Q Q Q Q i

(8.12)

8.8 Intercambiadores de calor en donde las diferencias de temperatura delos fluidos en los extremos son iguales

Si las capacidades caloríficas de los fluidos son iguales, las diferencias de

temperaturas en contracorriente resultan iguales y ∆T = ∆T1 = ∆T2 por lo

que para salvar la indeterminación 0/0 en el valor de la (LMTD), hay que

aplicar la regla del L’Hopital.

2 12 1 1

2

1

2

0 1

0 11

LHopital

T T xQ UA T x T UA T

T nxnT

UA T

(8.13)

Si la diferencia de temperaturas ∆T1 no es mayor que un 50% de ∆T2, es

decir:

2 121 2 12 2

C FC F

T TTT T T

(8.14)

La diferencia de temperaturas media aritmética no difiere de la (LMTD) es

más de 1% y se puede utilizar en lugar de ella para simplificar los cálculos.

291

8.9FACTOR DE CORRECIÓN DE LA DIFERENCIA MEDIA LOGARITMICADE TEMPERATURAS (LMTD)

Cuando se tiene intercambiadores muy complejos, como los montajes en

carcasas, y tubos, con varios pasos de tubos por la carcasa o varias carcasas,

y en el caso de intercambiadores de flujo cruzado, la deducción analítica de

una expresión para la diferencia media de temperaturas resulta muy compleja.

En los Intercambiadores de calor de tubos y carcasa es mas complicados, la

determinación de ∆T, aunque el procedimiento es el mismo que para el

intercambiador (1-1) en contracorriente.

La expresión que proporciona el calor transmitido en el intercambiador (1-2) es:

1 2 2 1

1 2

2 1

( ) ( )( )

1

C F C F

C F

C F

T T T TQ UAF UAF LMTD

T Tn

T T

(8.15)

En la que la temperatura media logarítmica verdadera es ∆T=F(LMTD) La

expresión anterior se simplifica utilizando las siguientes relaciones a

dimensionales:

Coeficiente de efectividad, 2 1

1 1

F f

C f

T Tp

T T

(8.16)

Relación de capacidades térmicas,

1 2

2 1

1F pF C CF

C pC C F F

m C T TCR

m C C T T

(8.17)

Estas relaciones se ha representado en la figuras que se dan en el Anexo N°. ,

estas se utilizan para hallar el factor de corrección de temperaturas para

intercambiadores de tubos y carcas y de flujo cruzadio.

292

8.10 EFECTIVIDAD Y NUMERO DE UNIDADES DE TRANSMISION

El calor intercambiado entre los dos fluidos se determina por la aplicaciónsimultánea de las tres siguientes ecuaciones.

( ) ( )total f p f f s f e c p c ce csQ UA T Q m C T T Q m C T T (8.18)

En estas expresiones, aún conociendo U y A, y dos temperaturas: las deentrada de fluido caliente y la de salida del fluido frió, o de la entrada delfluido caliente y entrada del fluido frió, todavía nos quedan dostemperaturas por conocer. El sistema lo debemos resolver por iteración,partiendo de un valor aproximado de una de las temperaturas, calculando Qy aplicando la ecuación (8.18), a continuación resolver el sistema, hasta quela solución satisfaga simultáneamente a las tres ecuaciones. Este método,además de artificioso y lento, se complica cuando tenemos que aplicar lafunción F (P, R), con el agravante de que esta última introduce los errorescomentados anteriormente.

Para resolver este problema Nusselt desarrollo el método que lleva pornombre Número de Unidades de Transmisión (NTU). Este método fueperfeccionándose después por Kays y London. Consiste en determinar elintercambio de calor por cada grado de diferencia de temperatura, quesegún la expresión (18) es el producto UA.

El calor trasmitido por cado grado de aumento de temperatura, a uno (odesde uno) de los dos fluidos lo determinan los productos mcCpc o mfCpf.Como estos productos y el UA tienen las mismas unidades, el producto UAse puede hacer a dimensional dividiendo por mCp. Así obtenemos unnúmero que expresa la capacidad de transmisión de calor del cambiador. ElNTU se define como el cociente entre UA y el producto mCp de menorvalor.

min( )p

UANTU

mC (8.19)

Las definiciones de capacidad, CR y de la efectividad se generalizan de lasiguiente forma:

Coeficiente de capacidad,min

max

( )

( )p

Rp

mCC

mC (8.20)

293

Efectividad,

,fs fef pf c pc

ce fe

T Tm C m C

T T

(8.21)

,cc csf pf c pc

cc fe

T Tm C m C

T T

(8.22)

La efectividad es el cociente entre el calor realmente intercambiado yel máximo que podría transmitirse en un cambiador encontracorrientes de área infinita. En estos tres parámetros (NTU, CR, )no intervienen conceptos nuevos.

En los anexos N° se dan las gráficas para determinar la eficienciade los diferentes tipos de intercambiadores de calor

8.11 Problemas resueltos

Problema Nº 1

Aceite caliente (Cp = 2 200 j/Kg. °C) se va a enfriar por medio de agua (Cp = 4180 j/kg. °C) en un intercambiador de calor de dos pasos por el casco y 12pasos por los tubos. Estos son de pared delgada y están hechos de cobre conun diámetro de 1,8 cm. La longitud de cada paso de los tubos en elintercambiador es de 3 m y el coeficiente de transferencia de calor total es de340 W/m2°C. Por los tubos fluye agua a una razón total de 0,1 Kg./s y por elcasco fluye el aceite a razón de 0, 2 Kg./s. El agua y el aceite entran a lastemperaturas de 18 .C. y 160 .C. respectivamente. Determine la velocidad detransferencia de calor en el intercambiador y las temperaturas de salida de lascorrientes del agua y del aceite.

Diagrama de flujo

294

FIGURA Nº 8.7 Intercambiador de calor de carcasa y tubos de fluidoa agua y aceite


Solución.-

1. Para determinar el flujo de calor y las temperaturas de salidas de losfluidos, se aplicara el método de la eficiencia – número de unidades detransferencia (e – NTU – Rc)

2. Cálculo de la razón de capacidades térmicas de los fluidos, paraidentificar cual es el mínimo y el máximo

Fluido caliente, el aceite:

C C max

kg j j Wm Cp = 0,2 ×2200 = 440 =440 = C

s kg.°C s.°C °C

Fluido frío, el agua:

F F min

kg j j Wm Cp = 0,1 ×4180 = 418 = 418 =C

s kg.°C s.°C °C

3. Siendo el fluido frío el de menor capacidad térmica, la eficiencia sedetermina, mediante la gráfica Nº 13-26, (d), con los parámetros NTU yRc.

2 1

1 1

min

min

max

-F F

C F

U ANTU

T T C

CT TRc

C

4. Cálculos de los parámetro:

Área de transferencia de calor20,018 3 12 20357A DLNp m m m

Cálculo de NTU y Rc2

2340 2,0357 418. 1,655 0,95418 440

W Wm

m C CNTU RcW W

C C

5. Por el grafico la eficiencia es: ε = 0,616. Reemplazando en (3)

295

2

2

2 1F F F

-180,61 104,62

160 18El flujo de calor:

Q=C T -T 418 104,62 18 36207,16 36,20716

FF

TT C

WF W KW

F

7. la temperatura de salida del fluido caliente se determina del balance deenergía:

2 1

36207,16160 77,711

440C C

C

Q WT T C C

WCC

Problema Nº 2

Determinar el área de intercambio térmico que se necesita para que unintercambiador de calor construido con un tubo de 25 mm. De diámetroexterior, enfríe 6,93 Kg. /s de una solución de alcohol etílico al 95 %, Cp = 3810j/kg.K, desde 65,6 .C. hasta 39,4 .C., utilizando 6,3 Kg./s de agua a 10 .C. Sesupondrá que el coeficiente global de transferencia térmica basado en el áreaexterior del tubo es de 568 w/m. °C. En el problema se realizará en lossiguientes supuestos:

a. Carcasa y tubo con flujo en equicorrienteb. Carcasa y tubo con flujo en contracorrientec. Intercambiador en contracorriente con dos pasos en la carcasa y 4

pasos en los tubos de 72 tubos en cada paso, circulando el alcohol porla carcasa y el agua por los tubos.

d. Flujo cruzado, con un paso de tubos y otro de carcasa, siendo conmezcla de fluido en la carcasa.

Solución.-

a. Intercambiador de calor de carcasa y tubo con flujo en equicorriente

1. Diagrama de flujo del intercambiador de calor; en el se tiene que elagua = f (fluido frío), y el alcohol etílico = c (fluido caliente)

296

FIGURA Nº 8.7 Intercambiador de calor de tubos concéntricos, para fluidos aguay alcohol etílico en corrientes paralelos


2. Datos: U = 568 w/m. °C; Do = 25,4 mm.; Cp.= 3810 j/Kg.K (alcoholetílico);

Cpf = 4186 j/kg.K (agua)

3. Balance de energía, considerando que no hay pérdidas de calor

1 2 2 1

2

2

. .

6,93 / 3810 / . 65,6 39,4 691766 / 691,766

691766 / 6,3 4186 10

36,23

C C C C F F F F

F

F

Q m Cp T T m Cp T T

Q kg s j kg C C j s KW

Q j s T

T C

4. Cálculo de la diferencia media logarítmica de temperatura (ΔTML)

1 1

2 2

12 1

2 2

1 1

39,4 36,23 65,6 10

39,4 36,23

65,6 10

18,3

C F

MLC F

ML

T T TT TT

T T T TLn LnT

T C

5. De la ecuación de diseño, para la transferencia de calor

2

2

691766( / ). . 66,55

. 568( / . ) 18,3

66,55. . 834

0,0254

MLML

Q j sQ U A T A m

U T w m C C

A mA D L L m

D m

b. Intercambiador de calor de carcasa y tubo con flujo en contracorriente


297

FIGURA Nº 8.8 Intercambiador de calor de tubos concéntricos, para fluidos agua

y alcohol etílico en contracorriente


2. Cálculo de la diferencia media logarítmica de temperatura (ΔTML)

1 2

2 1

12 1

2 2

1

39,4 10 65,6 36,23

39,4 10

65,6 36,23

0 , las diferencias de temperaturas en los terminales son

0 iguales , por lo aparentemente ser

ίaC F

MLC F

ML

T T TT TT

T T T TLn LnT

T

indeterminado

3. Puede ocurrir que las capacidades caloríficas de los fluidos son iguales,las diferencias de temperaturas en contracorriente resultan iguales, ΔT=ΔT1 = ΔT2, por que se ha de aplicar la regla de L´Hôtipal.

1 2

2 12 1 1 2

2

1

ôpital( 1)0

L´H0

( ) 65,6 36,23 29,37

ML

ML

ML C F

Q UA T

T T T xT T x T x T T

T Ln xLnT

T T T C

4. De la ecuación de diseño, para la transferencia de calor2

2

691766( / ). . 41,47

. 568( / . ) 29,37

41,47. . 519,69

0,0254

MLML

Q j sQ U A T A m

U T w m C C

A mA D L L m

D m

c. Intercambiador de calor de carcasa y tubos, dos pasos por la carcasa ycuatro pasos por los tubos (2-4)


298

FIGURA Nº 8.9 Intercambiador de calor de carcasa y tubos, para fluidos agua y

alcohol etílico


5. De los cálculos realizados, en (b), se tiene:

Q = 691766 kg/s; Tc2 = 36, 37 °C ; ΔTML = 29,37 °C

4. Cálculo del factor de corrección de temperatura (FT), se determina porgráfico, para intercambiador de calor (2-4), interceptando (P y R)

2 1

1 1

1 2

2 1

razón de efectividad, = 0,97

razón de capacidad

36,23 10= 0,47

65,6 10

65,6 39,4= 0,9988 ~ 1.00

36,23 10

T

F F

C F

C CF F F

C C C F F

PF P R

R

T TP

T T

T TC m CpR

C m Cp T T

5. De la ecuación de diseño

2

2

691766. . .

Δ

. .

Δ 568( / . ) 0.97 29,37

42,75

T MLT ML

Q wQ U A F T A

U F T w m C C

A m

6. Cálculo de la longitud de tubos

242,75

4 72 4 72 0,0254

1.86

A mL

D m

L m

299

d. Intercambiador de flujo cruzado con un paso de tubos y un paso por lacarcasa, siendo con mezcla de fluido por la carcasa

.

FIGURA Nº 8.9 Intercambiador de calor de de flujo cruzado, para fluidos agua y

alcohol etílico

Fuente : Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio

1. Para el intercambiador de flujo cruzado, se tiene:

Q = 691766 kg/s; Tc2 = 36.37 °C ; ΔTML = 29.37 °C

2. Cálculo del factor de corrección de temperatura (FT), se determina porgráfico, para intercambiador de calor de flujo cruzado, con un fluidomezclado, por la carcasa (luido caliente) y el otro fluido sin mezclar(fluido frío), FT(P,R)

2 1

1 1

1 2

2 1

razón de efectividad, = 0,875

razón de capacidad

36,23 10= 0,47

65,6 10

65,6 39,4= 0,9988 ~ 1.00

36,23 10

T

F F

C F

C CF F F

C C C F F

PF P R

R

T TP

T T

T TC m CpR

C m Cp T T

3. De la ecuación de diseño

2

2

691766. . .

Δ

. .

Δ 568( / . ) 0,875 29,37

47,39

T MLT ML

Q wQ U A F T A

U F T w m C C

A m

Problema Nº 3

En una planta textil se va a usar el agua de desecho del teñido (Cp = 4 290j/kg. °C) que está a 75 .C. para precalentar agua fresca (Cp = 4 180 j/kg. °C) a

300

15 °C, con el mismo gasto de masa., en un intercambiador de calor de tubodoble y a contraflujo. El área superficial de transferencia de calor delintercambiador es de 1,65 m2 y coeficiente de transferencia de calor total es de625 W/m2. °C. Si la velocidad de la transferencia de calor en el intercambiadores de 35 KW, determine la temperatura de salida y el gasto de masa de cadacorriente de fluido

FIGURA Nº 8.10 Intercambiador de calor de tubos concéntricos de flujo acontracorriente


Solución.-

1. Datos: Área = 1,65 m2; U = 625 W/m2. °C ; Q = 35 000 W

2. De acuerdo al método de la Diferencia media logarítmica, se ha dedeterminar:

2.1 Del Balance de energía, se tiene.

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2

2 1

C C C C F F F F

C F C F

ML

C F

C F

Q m Cp T T m Cp T T

T T T TQ U A T U A

T TLn

T T

2.2 Como ambos fluidos tienen el mismo flujo másico

2 2 11

FC C F F

C

CpT T T T

Cp

2.3 El procedimiento para calcular las temperaturas de salidas de losfluidos , aplicando el método de la diferencia media logarítmica detemperaturas, el mediante el ensayo y error, es el siguiente:

Primero se supone un valor de la temperatura de salida del fluido fríoTF2

Se determina la temperatura de salida del fluido caliente TC2 Se halla la diferencia media logarítmica

301

Luego mediante la ecuación de diseño se halla el calor transferido, sino es igual al flujo de calor dado se procede a realizar otrassuposiciones, hasta encontrar un valor cercano.

2.4 Ejemplo de calculo para una primera suposición, el resto de cálculosefectuados se muestran el la tabla siguiente

Asumiendo que TF2 = 45 °C; 1 1

2

75 1545

2 2C F

F

T TT C

2

4180.

75 45 15 45,804295

.

C

j

kg CT C C C

j

kg C

75 45 45,80 1530,4002

75 45

45,80 15

MLT C

Ln

22

625 1,65 30,4002 31350,235.ML

WQ U A T m C W

m C

Como no se alcanza el valor del calor transferido, se produce a realizar

otras suposiciones, los cálculos realizados se muestran en la siguientetabla:

De los resultados, se puede adoptar que las temperaturas de salida delos fluido, son:

TC2 = 49, 3 °C y TF2 = 41, 4 °C

Por tanto el flujo másico (mF = mC) de los fluidos será:

2 1

2 1

35013. ( ) 0,31

( ) 4180(41,4 15)F F F F FF F F

Q kgQ m Cp T T m

Cp T T s

Problema Nº 4

302

En un intercambiador de calor con flujo en contracorriente, por el que circulan5 Kg. de agua por minuto, y 8 Kg. de aceite por minuto, el agua entra a 20 °C ysale a 40 °C, mientras que el aceite entra a 90 °C. El calor específico del aguaes Cpagua = 1 Kcal./kg. °C, el calor específico del aceite obedece a la siguienterelación, Cpaceite = 0,8+0,002Taceite, con Taceite = °C.

Determinar:

a. La temperatura de salida del aceite

b. La eficiencia del intercambiador de calor

c. Si el coeficiente global (U), para el rango de temperaturas delintercambiador, viene

Dado por:2

10,

min. .aceite

aceite agua

TKcalU con T en C

m C T T

¿Calcular el valor del área de intercambio térmico?

Solución.-

1. Diagrama de flujo del intercambiador de calor



2. Cálculo de la temperatura de salida del aceite, mediante un balance deenergía

1 2 2 1. ( ) . ( ) . . , ( )ac ac C C ag ag F F ac agQ m Cp T T m Cp T T U A T T T T

3. Realizando un balance diferencial, se tiene:

303

. . . ( )ac ac ac ag ag ag ac agdQ m Cp dT m Cp dT U dA T T

4. Reemplazando el valor de Cp del aceite

(0,8 0,002 ) .ac ac ag ag agdQ m T dT m Cp dT

5. Integrando la expresión:

2

2 1 1 2

1

20,0020,8 . .

2

C

C

T

ac ag ag F F ag ag F F

T

Tm T m Cp T T m Cp T T

6. Reemplazando valore y luego simplificando la expresión se tiene:

2

2

2 2

2 2

2

0,002 0,002 908 0,8 0,8 90 5 1 40 20

2 2

0,8 0,001 67,6 0

CC

C C

TT

T T

7. Resolviendo, la ecuación (6), de segundo grado

2

2

22 0,8 0,8 4(0,001)( 67,6)4

2 2(0,001)

77,07

C

C

b b acT

a

T C

8. Cálculo de la eficiencia del intercambiador de calor

La potencia calorífica real intercambiado, es la absorbida por el agua

, 5 1 (40 20) 100 / minreal agua ag ag agQ m Cp T Kcal

La velocidad máxima posible de transferencia de calor para elagua( ,max aguaQ ) , es cuando, Tf2 = Tc1

1 1,

,

( ) 5 1 90 20min .

350 / min

max agua ag ag C F

max agua

kg KcalQ m Cp T T C

kg C

Q Kcal

304

La velocidad máxima posible de transferencia de calor para el aceite( ,max aceiteQ ) es cuando: Tc2 = Tf1

1 1

1 1max,

2 2

max,

max,

0,8 0,002

90 208 0,8 90 0,002 0,8 20

min 2 2

509,6min

C C

aceite ac ac ac ac ac acF F

acaceite

aceite

Q m Cp dT m T dT

kgQ

KcalQ

La eficiencia del intercambiador,

1 1

minmax min

,

1000,2857 28,7%

350

real real

C F

Q QC m Cp

Q C T T

Otra forma de determinar la eficiencia , es tal como sigue:

Determinación de la capacidad calorífica mínima Cmin

min

max

5 1 5min . min.

90 77,07 8 0,8 0,002

min 2 .

7,736min.

ag ag ag

ac ac ac

ac

kg Kcal KcalC m Cp C

kg C C

kg KcalC m Cp

kg C

KcalC C

C

Cálculo de la ΔTML

1 2

2 1

22 1

2 1

1

90 40 50 50 57,07

77,07 20 57,07 5057,07

53,45

C F

MLC F

ML

T T T CT TT

T T T T C LnLn T

T C

De la ecuación de diseño

. . 100 . 53,45 . 1,87min min.

. 1,870,374

min 5

ML

Kcal KcalQ U A T U A C U A

CU A

NTUC

305

La ecuación para determinar la eficiencia , para un intercambiador decalor a contracorriente, es:

min

max

max

51 0,374 17,736

50,374 11

7,736min

max

1 10,2857 28,57%

511

7,736

min

CNTU

C

CNTU

CC

C

e e

ee

También se puede determinar mediante la siguiente relación, temiendoen cuenta que la capacidad calorífica min. corresponde al fluido frío

2 1 2 1

1 1 1 1min

( ) ( ) 40 200,2857 28,57 %

( ) ( ) 90 20F F F F F

C F C F

C T T T T

C T T T T

9. Cálculo del área de intercambio térmico

Del balance de energía

. . ( )

10(0,8 0,002 ) ( ) ( ) 10

(0,8 0,002 ) , integrando

10

ac ac ac ac ag

acac ac ac ac ag ac ag ac

ac ag

ac ac ac

ac

Q m Cp dT UdA T T

Tm T dT UdA T T dA T T T dA

T T

m T dTdA

T

1 1

1 22

2

2

(0,8 0,002 )0,8 0,002

10 10

900,8 0,8 0,002 90 77,07

77,07

0,11988

C

C

T Cac ac acac C CT

ac C

TT dT mA m Ln T T

T T

A Ln

A m

10.También se puede determinar, de la siguiente forma:

2

2

2

10 10(90 77,07)15,6

(90 77,07) (40 20) .min.

1,87 min.1,87 0,11987min. 15,6

.min.

aceite

aceite agua

T KcalU

T T m C

KcalKcal CU A A m

C Kcalm C

306

Problema Nº5

Se dispone de dos tuberías de acero concéntricos, de diámetros interiores 50mm y 100 mm y espesor 5 mm. Por la tubería interior circula amoniaco líquido,que penetra a la temperatura de 20.C. y velocidad de 3 m/s, mientras que porel extremo opuesto del espacio anular penetra agua a 80 .C. y velocidad 1,5m/s. La longitud de las tuberías es de 100 m. y la conductividad térmica delacero de 40 w/m.°C. Se supondrá no existen pérdidas térmicas.

Datos:

Para el NH3:ρ = 580 kg/m3; Cp = 5 KJ/Kg.°C; k = 0,50 w/mK; ν = 0,34x10-6 m2/s;

Pr = 2

Para el agua:ρ = 985 kg/m3; Cp = 4,186 Kj/kg.°C; k = 0,66 w/mK; ν = 0,484x10-6 m2/s;Pr=3

Con estos datos determinar:

a. Los coeficientes de convección correspondientes.b. El coeficiente global de transmisión de calor referido a la sección

exterior del tubo interior.c. La temperatura de salida de los dos fluidos.d. El calor intercambiado.

Solución.-



307


2. Cálculo del coeficiente de transmisión por convección del amoniaco(fluido frío), que fluye por el interior del tubo interior. Este fluido sufrecalentamientoDiámetro interior del tubo interior, D1= 50 mm

Flujo másico del amoniaco 2

3

0,05ρ 3 580 3,4165 12300

4amon

mm kg kg kgm vA

s m s h

Determinación del número de Reynolds ( para el flujo del amoniaco)

12

6

3 0,05.Re 441176 ( )

0,34 10

mmV D s flujo turbulentomvs

Cálculo del número de Nusselt, para luego hallar el coeficiente porconvección por el lado del amoniaco (hi), para esto se hará uso de laecuación de Dittus-Boelter, este fluido sufre calentamiento

0,8

0,8 0,4 1

21

0,023Re Pr ; 3 ( )

4 ( )

0,023 441176 2 995

995 0,59950

0,05 .

n

amon

amon

Nu n para enfriamiento

n para calentamiento

hi DNu

k

Nu k whi

D m K

3. Cálculo del coeficiente de transmisión por convección del agua (fluidocaliente), que fluye por el anulo. Este fluido sufre enfriamiento

3.1 Se debe usar el diámetro hidráulico (DH)

2 23 2

3 23 2

44 100 60 40H

D DD D D mm

D D

3.2 Cálculo del numero de Reynolds

26

1,5 0,040.Re 125000 ( )

0,48 10

H

mmV D s flujo turbulento

mvs

308

3.3 Cálculo del número de Nusselt, para luego hallar el coeficiente porconvección por el lado del agua (ho), para esto se hará uso de laecuación de Dittus-Boelter, este fluido sufre enfriamiento

0,8

0,8 0,3

2

0,023Re Pr ; 3 ( )

4 ( )

0,023 125000 3 382,3

382,3 0,666307,75

0,04 .

n

H

agua

agua

H

Nu n para enfriamiento

n para calentamiento

ho DNu

k

Nu k who

D m K

4. El coeficiente de transmisión de calor global (U), referido a la seccióntransversal exterior del tubo interior, se determina mediante la relación

3 2

2 2 2

1 1

2

1 130 0,03 30 11

25 9950 40 25 6307,75

2400.

NH H O

Uor r r

LnLnr h k r h

wUo

m K

5. Cálculos de las temperaturas de salida de los fluidos

5.1 Determinación de las razones de capacidad térmica, para el amoniaco yel agua

Para el amoniaco:

3 3. 12300 5 61500 17,08

. . .NH NH

kg Kj Kj KjC m Cp

h kg C h C s C

Para el agua:

309

2 2 2 2 23 2

2 3

2

2 2

Cálculo del flujo másico del agua

0,1 0,06. . . 1,5 985

4 4

7,4267 26736

. 26736 4,184 11918 31,088. . .

H O

H O

H O H O

D D m m kgm Qv v A v

s mkg kg

ms h

kg Kj Kj KjC m Cp

h kg C h C s C

De las razones de capacidad térmicas calculadas, se tiene:

2

NH3 min F

H O max C

KjC = C =17,08 = C (fluido frío)

s.°CKj

C = C =31,08 = C (fluido caliente)s.°C

5.2 Cálculo de la superficie de intercambio térmico, basado el el radioexterior del tubo interior

2 22A =2 2 0,03 100 18,85r L m m m

5.3 El número de unidades de transferencia de calor (NTU), es:

2

22

min

18,85 2400. . 2,648617,08

.

wmAU m CNTU

KjCs C

5.4 Cálculo de la razón de capacidades caloríficas (RC)min

max

17,080,5494

31,088C

CR

C

5.5 La eficiencia del intercambiador de calor se puede determinar mediantela gráfica Nº interceptando los valores de NTU y Rc, o mediante lasiguiente ecuación (intercambiador de calor con flujos acontracorriente)

min

max

min

max

C 17,03NTU 1 2.6486 1C 31,088

17,03C 2,6486 1NTU 131,088Cmin

max

1 e 1 e0,8361

17,03C 1 e1 e31,088C

5.5 Las temperaturas de salida de los fluidos serán :

2 1 1 1

min

max

80 (80 20) 0,8361 0,5494 52,5C C C F

CT T T T C

C

310

2 1 1 1

min 20 (80 20) 0,8361 1 70,17F F C FF

CT T T T C

C

6. El calor intercambiado se puede determinar, mediante:

1 1

1 2

2 1

2 1

2

1

2

1

min

80 71,17 9,83

52,5 20 32,5

C F

C F

C F

T TQ UA C T T

TLn

T

T T T

T T T

Reemplazando valores se tiene :9,83 32,5

2400 18,85 2 857,669,832.32,5

wQ m Kw

m K Ln

El flujo de calor se puede determinar mediante la otra ecuación

0,8361 17,08 80 20 856,8.

KjQ Kw

s C

Problema N° 6

Un intercambiador de calor de un solo paso en flujo cruzado usa gases deescape calientes (mezclados) para calentar agua (sin mezclar) de 30 a 80ºC aun flujo de 3 Kg./s. Los gases de escape, que tienen propiedades termo físicassimilares a las del aire, entran y salen del intercambiador a 225 y 100ºC,respectivamente. Si el coeficiente global de transferencia de calor es200W/m2*K, estime el área de la superficie que se requiere.

Solución:


311

FIGURA Nº 8.13 Intercambiador de calor de flujos cruzados


2. Cálculo del área de transferencia

A = Q / U T FT

3. Determinación de la razón de capacidad (R) y la razón de efectividad(P)

(80-30) (225-30)0.26 ; R= = 2.5(225-30) (80-30)

P = =

4. Mediante la grafica para flujo cruzado, con fluidos sin mezclar sedetermina el factor de corrección de temperaturas

FT = 0.92

5. El flujo de calor es::

6. La diferencia media logarítmica de temperaturas

ML(225-80) - (100-30)T 103(225-80)

(100-30)

CLn

D = = °

7. Reemplazamos estos datos en la ecuación (2):

A = Q / U T FT = 627.600/(200*0.92*103)= 33.1 m2

8.12 Problemas propuestos

PROLEMA N°1

1.- Se dispone de un intercambiador de dos pasos por la coraza y cuatro pasospor los tubos, para enfriar 5kg/s de amoniaco liquido a 70°C, de calor especificoCp = 4620J/Kg.K, por medio de 8kg/s de agua a 15°C. (Cp = 4186J/Kg.K). Si elárea de transferencia de calor es de 40m2 y el coeficiente global detransferencia de calor esperado es de 2000W/m2.K, cuando el amoniaco estasobre el lado de la coraza. Determine:

Q = m*Cp*T = 3kg/s*4184J/Kg*ºK*(80-30) =627.600W

312

a. El calor transferido.b. La eficiencia del intercambiador.

PROBLEMA N°2

Se va a calentar aceite de motor (Cp = 2 100 j/kg. °C) de 20 a.C. hasta 60a.C., a razón de 0,3 Kg./s, en un tubo de cobre de pared delgada y de 2 cm dediámetro, por medio de vapor de agua en condensación que se encuentraafuera a una temperatura de 130 a.C. (hfg = 2 174 Kj/kg.). Para un coeficientede transferencia de calor total de 650 W/m2. °C, determine la velocidad de latransferencia de calor y la longitud requerida del tubo para lograrlo.

PROBLEMA N°3

Cierto intercambiador de calor de tubos concéntricos, tiene un área desuperficie exterior total de 17.5m2. Se requiere para utilizarlo en el enfriamientode aceite cuya temperatura es de 200°C, con una razón de flujo de masa de10000Kg/h y con un calor específico de 1900J/Kg.K. Se dispone de agua arazón de flujo de 3000Kg/h y con temperatura de 20°C, de calor especifico Cp= 4181.8J/Kg.K, como agente congelante. Si el coeficiente de transferencia decalor total es 300W/m2.K basado en el área externa, calcular la transferencia decalor intercambiado, si se opera:

a. En forma de flujo paralelo.b. En forma de flujo a contracorriente.

PROBLEMA N°4

Vapor saturado a 0.14 bar se condensa en un intercambiador de calor decoraza y tubos con un paso por la coraza y dos pasos por los tubos queconsisten en 130 tubos de bronce, cada uno con una longitud por paso de 2 m.

Los tubos tienen diámetro interior y exterior de 13.4 mm y 15.9 mm,respectivamente. El agua de enfriamiento entra en los tubos a 20ºC con unavelocidad media de 1.25 m/s.

El coeficiente de transferencia de calor para la condensación en las superficiesexteriores de los tubos es 13,500 W/m2 ºK.

a. Determine el coeficiente global de transferencia de calor (U), latemperatura de salida del agua de enfriamiento (Tc) y el flujo decondensación de vapor ( h).

b. Con todas las demás condiciones iguales, pero teniendo en cuenta los

cambios en el coeficiente global. Grafique la temperatura de salida del

313

agua de enfriamiento (Tc) y el flujo de condensación de vapor ( h) como

función del flujo de agua para 10≤ c ≤30kg/s.

Problema N°5

Aceite caliente ( CKgJC p 2200 ) se va a enfriar por medio de agua

( CKgJC p 4180 ) en un intercambiador de calor de dos pasos de coraza y 12

pasos por los tubos. Estos son de pared delgada y están hechos de cobre con

un diámetro de 1.8 cm, la longitud de cada paso de los tubos en el

intercambiador es de 3 m y el coeficiente de transferencia de calor total es de

340Cm

W2 . Por los tubos fluye el agua a una razón total de 0.1Kg/s y por la

coraza fluye aceite a razón de 0.2Kg/s. El agua y el aceite entran a las

temperaturas de 18°C y 160°C respectivamente.

Determine:

a) La razón de transferencia de calor en el intercambiador.

b) Las temperaturas de salida de las corrientes de agua y del aceite.

314

IX. REFERENCIALES

1. YUNUS A. ÇENGEL, YUNUS A, Transferencia de calor, Impreso en

México: Editorial McGraw Hill. Segunda edición, 2004.

2. CHAPMAN ALAN J, Fundamentals de Heat Transfer, Printed in

the United States of America: Editorial Macmillan Publishing

Company, Cuarta Edición, 1974.

3. HOLMAN J.P, Transferencia de calor. España: Editorial McGraw –

Hill / Interamericana de S. A. U. Octava Edición, 1998.

4. KERN DONALD Q, Procesos de transferencia de calor, México:

Editorial Continental. S.A, Edición Décimo Novena, 1986.

5. KREITH FRANK, Bohn Mark S., Principios de Transferencia de

Calor, Impreso en México: Editorial Thomson Learning, Sexta

edición, 2001

6. LIENHARD JOHN H, Heat transfer, Massachetts U.S.A.

Published by Phlogiston Press, Cambridge,. Third Edition. 2002.

7. MANRIQUE VALADEZ JOSÉ ANGEL, Transferencia de calor.

Impreso en México: Editorial Oxford University Press, Segunda

edición., 2002.

8. MILLS ANTHONY F, Transferencia de calor, Impreso en

Colombia: Editorial McGraw – Hill / Irwin, 1994.

9. NOVELLA E. COSTA. Ingeniería Química, 4. Transmisión de

Calor Impreso en España: Editorial Alambra S.A. Primera Edición.

1986

315

10.OCÓN GARCÍA JOAQUÍN, TOJO BARREIRO GABRIEL.

Problemas de Ingeniería Química, Madrid, España: Tomo I

Editorial Aguilar S. A. 1963.

11. SPIGEL MURRIA R,.. Fórmulas y tablas de Matemática Aplicada.

España: Editorial McGraw – Hill / Interamericana, Segunda

Edición, 2005

12.WELTY J.R. WICKS C.E, WILSON R.E, Fundamentos de

transferencia de momento, calor y masa, Impreso en México:

Editorial Limusa S. A. Primera Edición, 1982

13. INCROPERA FRANK P Y DEWITT DAVID P, Fundamentos de

Transferencia de Calor, Impreso en México: Editorial Pearson,

Cuarta Edición, 1996

14. KAYS W.M Y LONDON J, Compact Heat Exchangers, Nueva

York Ed. McGraw-Hill, 3a Edición, 1984

INTERNET

15. http://es.wikipedia.org/wiki/intercambiador_de_calor.

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16. http://www.ellaboratorio.sevif.org. Generalidades del

intercambiador de placas. 30/0372005.

17. http://www.scielo.org.ve/cielo.php?pid=S0378-

18442001000900003&script=sci_artt... Efecto en la

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316

hidrodinámica y transferencia de calor del desfasamiento entre

placas de un intercambiador de calor de placas onduladas.

30/03/2005.

18. http://www.scielo.cl/scielo.php?pid=S=718-

07642004000400007&script=sci_arttext. Evaluación de

intercambiador de calor compacto de tubos aleteados.

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19. http://www.itsimo.edu.mx/metalmecanica/tema1intercambiadores

decalorudemavarra.pdf

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enfriamiento.html.

http://www.scielo.cl/scielo.php

http://www.itsimo.edu.mx/metalmecanica/tema1intercambiadores

317

APENDICE

318

NOMENCLATURA

Sistema

Símbolo Cantidad Internacional de

Unidades

______________________________________________________________________-

A Área de transferencia de calor m2

Ac Área de sección transversal de la aleta m2

Amin Área mínima de flujo libre m2

Af Área total de transferencia de calor del lado del aire m2

Cp calor específico a presión constante j/kg°K

C Capacidad térmica j/°K

d Diámetro del tubo m

Dh diámetro hidráulico m

dA Área de la superficie del lado del aire en un elemento infinitesimal m

dQ Flujo de calor total en un elemento W

f factor de fricción de Darcy

g aceleración de gravedad m/s2

gc factor de conversión de dimensiones 1 kg.m/N.s2

G gasto másico kg/m2.s

h coeficiente de transferencia de calor W/m2.°K

hD coeficiente de transferencia de masa

hW coeficiente de transferencia de calor bajo condiciones de superficiehúmeda

i Entalpía del aire húmedo por unidad de masa de aire seco J/kg

ifg Calor latente de vaporización j/kt

j Factor de Colburn

k Conductividad térmica W/m.°K

319

l longitud de la aleta ( distancia media entre las placas) m

L longitud de la matriz del intercambiador de calor m

Lf altura de las aletas mm

m velocidad de flujo de masa kg

M peso molecular g/gmol

N número de placas

P Perímetro de la aleta m

q flujo de calor por unidad de área y unidad de tiempo W/m2

qo calor generado por unidad de volumen W/m3

Q cantidad de calor W

r radio, rh radio hidráulico, ri radio interior, ro radio

exterior. m

R Resistencia térmica, Rc resistencia térmica por convección

Rk resistencia por conducción, Rr resistencia térmica por

Radiación K/W

t espesor de aletas mm

T Temperatura °K, °C

U Coeficiente global de transferencia de calor W/m2°K

Letras griegas

α Difusividad térmica = k/ρc m2/s

β’ Volumen entre placas/Área de transferencia de calor m-1

espesor m

Eficiencia de la aleta

diferencia de valores

µ Viscosidad dinámica N.s/m2

ν viscosidad cinemática= µ/ρ m2/s

320

ρ densidad kg/m3

φ Factor de escala

Números adimensionales

Bi Número de Biot = hL/k o hr/k

Fo Número de Fourier = αt/L2 o αt/r2

Gz Número de Graetz = (π/4) Re Pr (D/L)

Gr Número de Grashof = βgL3T/v2

Nu Número de Nusselt promedio = hD/k

Pr Número de Prandtl = cpµ/k

Re Número de Reynolds = vρD/µ

St Número de Stanton = h/ρvcp o Un/Re Pr

321

ANEXOS

322

FIGURA N° 8.14 Diagrama del factor de corrección F para intercambiadoresde calor comunes de casco y tubos y de flujo cruzado(tomado de Bowman, Mueller y Tagle, Ref.2)

323

Fuente: Cengel Yunus A, Transferencia de calor, Tercera Edición, 2004

324

FIGURA N° 8.15 EFECTIVIDAD PARA LOS INTERCAMBIADORES DECALOR (TOMADO DE KAYS Y LONDON, Ref. 5)

326

Fuente: Cengel Yunus A, Transferencia de calor, tercera Edición, 2004

327

Figura N° 8.16 Para un NTU y una relación de capacidades C dados, elintercambiador de calor a contraflujo tiene la efectividad másalta y el de flujo paralelo, la más baja


Figura N° 8.17 La relación para la efectividad se reduce a :

= máx = 1 – exp(-NTU), para todos los intercambiadores decalor, cuando la relación de capacidades C = 0


328

Tabla Nº 6 Factores de resistencia por ensuciamiento normales

Tipo de fluido Requiv (m2.K/W)

Agua de mar por debajo de 325 K 0,0009

Agua de mar por encima de 325 K 0,0003

Agua de alimentación de calderas por encima de 325 K 0,0005

Agua de río 0,001-0,004

Agua condensada en un ciclo cerrado 0,0005

Agua de torre de refrigeración tratada 0,001 – 0,002

Gasóleo ligero 0,0020

Gasóleo pesado 0,0030

Asfalto 0,0050

Gasolina 0,0010

Queroseno 0,0010

Soluciones cáusticas 0,0020

Fluido hidráulico 0,0010

Sales fundidas 0,0005

Aceite para temple 0,0007

Gases de escape de un motor 0,0100

Aceite combustible 0,0050

Aceite para transformadores 0,0010

Aceite vegetales 0,0030

Vapores de alcohol 0,0001

Vapor, cojinete sin aceite 0,0005

Vapor, con aceite 0,0010

Vapores refrigerantes, con aceite 0,0020

Aire comprimido 0,0010

Líquido refrigerante 0,0010

Fuente: Kreith Frank, Bohn Mark S, Principios de transferencia de calor SextaEdición, 2001

330

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE INGENIERIA QUIMICA

Bellavista, 07 de Diciembre del2009

Señor:

Ing. OSCAR CHAMPA HENRIQUEZ

DIRECTOR DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE LA FIQ

Presente.-

De mi mayor consideración:

Me es grato dirigirme a usted, para saludarlo muy cordialmente y a lavez presentarle el Informe Trimestral Nº 01 (Octubre, Noviembre, Diciembre) demi Proyecto de Investigación titulado “TEXTO UNIVERSITARIO:TRANSFERENCIA DE CALOR”; que fue desarrollado de acuerdo alCronograma de Actividades presentado en el Proyecto.

Con la seguridad de contar con su atención al presente quedo de usted,

Atentamente,

331

________________________________

Ing. Alberto Emilio Panana Girio

Investigador responsable

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE INGENIERIA QUIMICA

Bellavista, 11 de Diciembre del2007

Señor:

Lic. SANTOS RODRIGUEZ CHUQUIMANGO

DIRECTOR DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE LA FIQ

332

Presente.-

De mi mayor consideración:

Me es grato dirigirme a usted, para saludarlo muy cordialmente y a lavez presentarle el Informe Trimestral Nº 01 (Octubre, Noviembre, Diciembre) demi Proyecto de Investigación titulado “Diseño de un intercambiador de calorcompacto de placas con aletas para fluidos gas - gas”; que fuedesarrollado de acuerdo al Cronograma de Actividades presentado en elProyecto.

Con la seguridad de contar con su atención al presente quedo de usted,

Atentamente,

________________________________

Ing. Alberto Emilio Panana Girio

Investigador responsable

333

Qa = *

Qmáx

Qmax = h*

A *(TO -TF)

TL = 45.9°C = 0.52Qa =12,07Kcal/hqa = 3850.8

Kcal/hm2

Deducciones y demostraciones - Transferencia de Calor

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