Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.

.

Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del

intervalo,  .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la

representación gráfica de f en el

intervalo[a,b]. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado   y derivable en el intervalo abierto  .

1. Si   es creciente en 

2. Si   es decreciente en 

3. Si   es constante en 

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con

x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.

Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para

todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La

siguiente, es la gráfica de dicha función:

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 + (1 / x2) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)

(x2 + 1)] / x3

Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 > 0 y

f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .

Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, −

1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo 4

Trace la gráfica de la funcion definida por

f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1

Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los

extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme

analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra

a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se

determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x =

3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf),

y es decreciente en el

intervalo [1,3]. 

Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando

primero la derivada de f:

F(x) = 3x2 − 12x + 9

Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:

3x2 − 12x + 9 = 0

3(x − 3)(x − 1) = 0

x = 3x = 1

Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en

estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:

Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.

Ejemplo 5

Sea

Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine

los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas

gráficamente.

Solucion Al diferenciar f se tiene

Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son

-1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:

La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ −

7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente

gráfica 

DemostraciónCreciente

Supongamos que   y sean x1 < x2 dos puntos arbitrarios del intervalo. Por

el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x1 < c < x2, y

Como f'(c) > 0 y

x2 − x1 > 0, sabemos que

f(x_2)-f(x_1)>0

de donde se deduce que f(x1) < f(x2). Así pues, f es creciente en el intervalo.

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Máximos y mínimosMáximos

Si f y f' son derivables en a,   a   es un máximo relativo o local   si se cumple:

1.   f'(a) = 0

2.   f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a,   a   es un mínimo relativo o local   si se cumple:

1.   f'(a) = 0

2.   f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x 3   − 3x + 2

1.   Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x 2   − 3 = 0

x = −1   x = 1.

2.   Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en

ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0   Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0   Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6   Máximo

f'' (1) = 6   Mínimo

3.   Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1) 3   − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1) 3   − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4)   Mínimo(1, 0)

Ejercicios

Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) =   x   3   + a x 2   + b x   + c tenga

un   máximo   para   x =−4, un   mínimo , para   x =0 y tome el valor 1 para   x =1.

f(x) = x 3   + a x 2   + b x   + c   f ′(x) = 3x 2   + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c   a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b   8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b   b = 0

a = 6   b = 0   c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x   3   + b x   2   +

c x   + d tenga un máximo   en (0, 4) y un   mínimo   en (2, 0).

f(x) = a x   3   +b x   2   +c x   +df′(x) = 3ax   2   + 2bx + c

f(0) = 4   d = 4

f(2) = 0   8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0   c = 0

f′(2) =0   12a + 4b + c = 0

a = 1   b = −3   c = 0   d = 4

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que

la curva pase por el origen de coordenadas.

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx   2   + x tenga extremos en

los puntos x 1 = 1 y x 2   = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos

tienen la función en 1 y en 2?

 

 

Concavidad y puntos de inflexiónLa segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

 

Definición  de concavidad

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A,

, si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada   la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A. 

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el

intervalo   y cóncava hacia abajo en el intervalo   

 

Teorema 5

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia arriba sobre .

Demostración:

Si y como , entonces se tiene que es creciente

sobre por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,

se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .

   

Teorema 6

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia abajo sobre .

Demostración:

De la hipótesis: , y como , se obtiene que es

decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad, la

gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .

 

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación

 

Si   entonces  , y,   

Luego,   si   y,   si  . 

Como  , entonces   es creciente en los intervalos  ,

pues en ellos   es positiva. Además   es decreciente en el intervalo   pues

en el   es negativa. 

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo   y cóncava hacia

abajo en el intervalo  . 

La representación gráfica de la función   es la siguiente: 

Representación gráfica de la función

Observe que es creciente en y y decreciente en .

Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

 

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos y cóncava hacia

abajo en el intervalo .

Damos ahora la definición de punto de inflexión

 

  Definición

Se dice que es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si

existe un intervalo tal que , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba

sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

 

Ejemplos:

1.

El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación ,

pues es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava

hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para .

Gráficamente se tiene:

2.

Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que por lo que

Resolvamos las desigualdades

 

Como   si   entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos. 

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo   pues en

él  . 

Luego los puntos   y   son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión. 

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. 

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

Teorema 7

Si es un punto de inflexión de la gráfica de f y si existe,

entonces

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplo: 

Considere la función f con ecuación  . 

La segunda derivada de f es  . 

Note que   si  , y,   si   

Luego, f es cóncava hacia arriba para  , y cóncava hacia abajo para   

Se tiene entonces que   es un punto de inflexión. 

Evaluando la segunda derivada de f en   resulta que   con lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior. 

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

 

Teorema 8

Si:

i.

f es una función continua sobre un intervalo I,

ii.

es un punto interior de I tal que , ó existe, y

iii.

Si existe un intervalo con , tal que:

1. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

2. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

3. cuando y cuando , o

bien, cuando y cuando entonces

no es un punto de inflexión de la gráfica de f.

Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por

, y por .

 

Ejemplos:

1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial.

La segunda derivada de f es , que es igual a cero si y solo

si ó .

Así

Observemos la solución de las desigualdades , y por medio de la siguiente tabla:

2. Como   para   y   para   entonce

s   es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8. 

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como   

para   y   para  , entonces   es un punto de inflexión. 

3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con 

Como se tiene que   nunca se hace cero y que   no

existe. 

 

Además   es mayor que cero para  , por lo que f siempre es

cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto   no es punto de inflexión.