DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Def.: la derivada de órden n de la función f se define como sigue : f = (f (x) ) con n , entendiendo por f la función sin derivar .(n) n 1)Ð Ð!Ñw

− Así : f (x) =(f '(x) )' = f ''(x) ; f (x) = (f''(x) )' = f '''(x) ;etc..Ð#Ñ Ð$Ñ

Æ Æ Derivada de 2 orden. Derivada de 3 orden.o er

Observación : f '(x) = ; f ''(x) = ; f '''(x) = ; etc.(usando notación de Leibnitz )dy d y d ydx dx dx

# $

# $

Ejemplos :1) Si y = x 16x , entonces y ' = 8x 16"

#$4

y '' = 24x#

y ''' = 48x y = 48iv

y = y = ........=y = 0 ( para todo n 5)v vi n  Esta función tiene derivadas (continuas) de todo órden : se dice que es de clase (_ ÑV_

2)Si y = x = x = x = .....È Ê œ Ê Êdy d y d ydx dx 4 dx2 x

" " "#

È "#

# $

# $

32

DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS :REGLA DE LA CADENA.

TEOREMA.

Si y = f(u) es una función derivable de la variable u y u =g(x) es una función derivable de lavariable x , entonces y = f ( g(x) ) es una función derivable de x y además :

= (1)dy dydx du dx

du

En otros términos : (f o g )' (x) = f ' ( g(x)) g '(x) (2)

DEMOSTRACION.(*)Si la variable x experimenta un incremento x , las variables y y u experimentan incrementos?? ?y y u ,respectivamente :

? ? ? ?u = g(x+ x ) g(x) ; y = f ( u + u ) f (u) , entonces :

dy y y y y dydx x u x u x u x du dxx 0 x 0 x 0 x 0 u 0 x 0

u u u du = = = = = .lim lim lim lim lim lim? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

Ä Ä Ä Ä Ä Ä

Æ Æ ( x 0 u 0 )? ?Ä Ê Ä

(*)esta es una demostración "parcial" del teorema válida siempre que u 0 .? Á

EJEMPLOSI a)Considerando la fórmula (2) , y = (x +1) es la composición de f(x)= x con g(x) = x +1 ,# ") ") #

f '(x) = 18x ; g '(x) =2x ,"(

entonces : y ' = (fog)(x) = f '(g(x)) g '(x) = 18 (g(x)) (2x) =18(x +1) 2x =36x(x +1) ‘w"( # "( #

Observe : (x +1) = 18 (x +1) (2x)’ “# ") # "('

Æ Æ derivada de la BASE!Æ derivada de la potencia!

b) y = sen (x+x ) = (f o g)(x) siendo f (x) = sen x y g(x) = x+x ; f '(x) =cos x y# #

g '(x) = 1+2xEntonces y ' = f ' ( g(x)) g '(x) = cos (g(x)) (1+2x) = cos (x+x ) (1+2x)Š ‹#

Observe: (sen (x+x ) ) = cos (x+x ) (1+2x ) = (1+2x) cos (x+x )ddx

# # #Š ‹ Š ‹ Æ Æ derivada del argumento de la función seno Æ derivada de la función seno

II Si y =sen u y si u= x , entonces usando la fórmula (1) :#

#$

dy dydx du dx

du = = ( cos u )(2x) = 2x cos (x )#

Nótese : (sen (x ) ) = ( cos (x )) (2x) = 2x cos (x )ddx

# # #

III a)Si y = 1+x ,podemos escribir y = (1+x ) y sin explicitar la composición de funciones ,È # # "#

derivamos : y ' = (1+x ) (1+x ) ' = (1+x ) (2x) = = " "# #

# " # # " "# #

#

2x x2 1+x 1+xÈ È 2

Æ Æ

derivada

de una potencia

ÚÛÜ

œ ./<3@+.+ ./6+ ,+=/

b)f(x) = f ' (x) = ' = É ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰$"$

#$

#2 x x x x4+x 4+x 4+x 4+x (4+x)

1) (4+x) 2 x) 1 " # # " #$ $

" Ð Ð Ö

..............................Æ Æ Æ derivada de la base que es un cuociente!Æ derivada de una potencia! f '(x) = = .¾ x

2 x x) ( x) x)" % ' #$ Ð% # Ð%ˆ ‰ #

$# # %

$ $

c)Hallar H '(0) si H (x) = .x+1x +x+1È #

Primero determinamos H '(x) usando la regla del cuociente y la regla de la cadena cuandocorresponda :

H ' (x) = H '(0) = = .1 x +x+1 (x+1) (x +x+1) x+1) 1( x +x+1 ) 1

ÈÈ

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