Mximos y mnimos

MximosSi f y f' son derivables en a,aes unmximo relativo o localsi se cumple:1.f'(a) = 02.f''(a) < 0MnimosSi f y f' son derivables en a,aes unmnimo relativo o localsi se cumple:1.f'(a) = 02.f''(a) > 0Clculo de los mximos y mnimos relativosf(x) = x3 3x + 21.Hallamos la derivada primera y calculamos sus races.f'(x) = 3x2 3 = 0x = 1x = 1.2.Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:f''(x) > 0Tenemos un mnimo.f''(x) < 0Tenemos un mximo.f''(x) = 6xf''(1) = 6Mximof'' (1) = 6Mnimo3.Calculamos la imagen (en la funcin) de los extremos relativos.f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0Mximo(1, 4)Mnimo(1, 0)

Ejercicios

ProblemasDeterminar a, b y c para que la funcin f(x) =x3+ ax2+ bx+ c tenga unmximoparax=4, unmnimo, parax=0 y tome el valor 1 parax=1.f(x) =x3+ ax2+ bx+ cf(x) = 3x2+ 2ax + b1 = 1 + a + b + ca + b + c = 00 = 48 8a +b8a b = 480 = 0 0 + bb = 0a = 6b = 0c = 6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la funcin f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d tenga unmximoen (0, 4) y unmnimoen (2, 0).f(x) = ax3+bx2+cx+df(x) = 3ax2+ 2bx + cf(0) = 4d = 4f(2) = 08a + 4b + 2c = 0f(0) = 0c = 0f(2) =012a + 4b + c = 0a = 1b = 3c = 0d = 4

Dada la funcin:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, 1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Hallar a y b para qu la funcin: f(x) = a ln x + bx2+ x tenga extremos en los puntos x1= 1 y x2= 2. Para esos valores de a y b, qu tipo de extremos tienen la funcin en 1 y en 2?

Calcula el valor de laderivadaen x = 2.

Hallar laderivadadeen x = 3.

Derivadas inmediatasDerivada de una constante

Derivada de x

Derivada de funcin afn

Derivada de una potencia

Derivada de una raz

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de suma

Derivada de de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Derivadas exponenciales y logartmicasDerivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivadas trigonomtricasDerivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivadas trigonomtricas inversasDerivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada la funcin potencial-exponencial

Regla de la cadena

Frmula de derivada implcita

Laderivada de xes igual a1. Es decir, la derivada de la funcin identidad es igual a la unidad.

Derivada de una potencia de base x

Derivada de una raz de radicando x

Derivadas exponenciales y logartmicasDerivada de la funcin exponencial de exponente x

Derivada del logaritmo de x

Derivadas trigonomtricasDerivada del seno de x

Derivada del coseno de x

Derivada de la tangente de x

Derivada de la cotangente de x

Derivada de la secante de x

Derivada de la cosecante de x

Derivadas trigonomtricas inversasDerivada del arcoseno de x

Derivada del arcocoseno de x

Derivada del arcotangente de x

Derivada del arcocotangente de x

Derivada del arcosecante de x

Derivada del arcocosecante de x

Laderivada de una potencia o funcin potencial,es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la funcin identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.f(x) = xkf'(x)= k xk1

Ejemplos

Derivada de una raz

Laderivada de la raz ensimade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raz ensima de la funcin radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raz cuadradaLaderivada de la raz cuadradade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raz.

Ejemplos

Derivada de un cociente

Laderivada del cocientede dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una funcin

Ejemplos

Derivada de un producto

Laderivada del productode dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una funcinLaderivadadel producto de unaconstante por una funcines igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de la funcin exponencial

Laderivada de la funcin exponencialea igual a la misma funcin por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la funcin exponencial de base eLaderivada de la funcin exponencial de base eea igual a la misma funcin por la derivada del exponente.

Ejemplos

Derivadas logartmicas

Laderivada de un logaritmoen base a es igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin, y por el logaritmo en base a de e.

Como, tambin se puede expresar as:

Derivada de un logaritmo neperianoLaderivada del logaritmo neperianoes igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin.

En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el clculo.

Ejemplos

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Derivacin logartmica

Con determinadas funciones, especialmente para lafuncin potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de laderivacin logartmica, ya que facilitan bastante el clculo......

Ejemplos....

Aplicamosla definicin de logaritmo:

Derivada del seno

Laderivada del senode una funcin es igual al coseno de la funcin por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada del cosenoLaderivada del cosenode una funcin es igual a menos el seno de la funcin por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de la tangente

Laderivada de la funcin tangentees igual al cuadrado de la secante de la funcin por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de la cotangente

Laderivada de la funcin cotangentees igual a menos el cuadrado de la cosecante de la funcin por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de la secante

Laderivada de la secantede una funcin es igual a la secante de la funcin por la tangente de la funcin, y por la derivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de la cosecante

Laderivada de la cosecantede una funcin es igual a menos la cosecante de la funcin por la cotangente de la funcin, y por la derivada de la funcin.

Ejemplo

Derivada del arcoseno

Laderivada del arcosenode una funcin es igual a la derivada de la funcin dividida por la raz cuadrada de uno menos el cuadrado de la funcin.

Ejemplos

Derivada del arcocoseno

Laderivada del arcocosenode una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por la raz cuadrada de uno menos el cuadrado de la funcin.

Ejemplos

Derivada del arcocotangente

Laderivada del arcotangentede una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por uno ms el cuadrado de la funcin.

Derivada del arcosecante

Laderivada del arcosecantede una funcin es igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin multiplicada por la raz cuadrada del cuadrado de la funcin menos 1.

Derivada del arcocosecante

Laderivada del arcocosecantede una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por la funcin multiplicada por la raz cuadrada del cuadrado de la funcin menos 1.

Regla de la cadena

Laregla de la cadenaes la frmula resultante de laderivada de la composicin de funciones.

Ejemplos

Derivada de la funcin inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir. Entonces

Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc sen x

Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc tg x

Derivada primera, segunda, ..., ensima

Al derivar la derivada de una funcin,derivada primera, obtenemos una nueva funcin que se llamaderivada segunda, f''(x).Si volvemos a derivar obtenemos laderivada tercera, f'''(x).Si derivamos otra vez obtenemos lacuarta derivada f'vy as sucesivamente.Ejemplos

Derivada ensimaEn algunos casos, podemos encontrar una frmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta frmula recibe el nombre dederivada ensima, f'n(x).

Ejemplos

Derivacin implcita

Para hallar la derivada en forma implcita noes necesario despejar y. Bastaderivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivacin y teniendo presente que:x'=1.En general y'1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos

Cuando las funciones son ms complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el clculo:

Ejemplos

Diferencial de una funcin

Si f(x) es una funcin derivable, ladiferencial de una funcincorrespondiente al incremento h de la variable independiente, es el productof'(x) h.Ladiferencial de una funcinse representa por dy.

Interpretacin geomtrica

Ladiferencial en un puntorepresenta el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamosla definicin de logaritmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.

Si el lugar dese halla. Cules son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

Derivabilidad

Si una funcin esderivableen un puntox = a, entonces escontinuaparax = a.El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

EjemplosEstudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La funcin no es continua, por tanto tampoco es derivable.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La funcin es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

f(x) = x2en x = 0.La funcin es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

En x = 0 la funcin es continua y derivable.

Dada la funcin:

Para qu valores deaes derivable?

Estudiar para qu valores de a y b la funcin es continua y derivable:

Determinar los valores de a y b para quien la siguiente funcin sea derivable en todos sus puntos:

Para qu una funcin derivable tiene que ser continua En este caso la funcin no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la funcin.Por tanto, no existen a y b para los cuales la funcin sea derivable.

Estudiar para qu valores de a y b la funcin es continua y derivable:

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin definida por:

La funcin no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las frmulas de derivadas trigonmetricas inmediatas.

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.Recta tangente

PendienteLapendientedela recta tangentea una curva en un punto es laderivadade la funcin en dicho punto.

Ecuacin de la recta tangenteLarecta tangentea a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

ProblemasCalcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 3x2 9x + 5 es paralela al eje OX.y'= 3x2 6x 9; x2 2x 3 = 0 (simplificando por 3)x1= 3y1= 22x2= 1y2= 10A(3, 22)B(1, 10)

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,2). Hallar el punto de tangencia.Sea el punto de tangencia (a, f(a))f' (x)= 3x2f' (a)= 3a23a2=3a = 1Las ecuaciones de la rectas tangentes son:a = 1f(a)=1y 1 = 3(x 1)y = 3x2a = 1f(a)=1y + 1= 3(x + 1)y = 3x + 2El punto (0, 2) pertenece a la recta y = 3x2.Por tanto el punto de tangencia ser(1, 1).

Encontrar los puntos de la curva f(x) = x4+ 7x3+ 13x2+ x +1, para los cuales la tangente forma un ngulo de 45 con OX.m = 1f'(x) = 4x3+ 21x2+ 26x +14x3+ 21x2+ 26x +1 = 1x = 0x = 2x z= 13/4P(0, 4)Q(2, 4)R(13/4, 1621/256)

Dada la funcin f(x) = tg x, hallar el ngulo que forma la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) en el origen, con el eje de abscisas.f(x) = 1 + tg x f(0) = 1 = my = x = arc tg 1 =45

Hallar los coeficientes de la ecuacin y = ax2+ bx + c, sabiendo que su grfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este ltimo punto su tangente tiene de pendiente 3.Pasa por (0, 3)3 = cPasa por (2, 1)1= 4a + 2b + cy'= 2ax + b3 = 4a + bResolviendo el sistema se obtiene:a = 2b = 5c = 3

La grfica de la funcin y = ax2+ bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numrico de a, b y c.Pasa por (2, 3)3 = 4a + 2b + cPasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +cy'= 2ax + b1 = 2a + bResolviendo el sistema se obtiene:a = 3b = 5c =1

Dada la funcin f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y 2 son paralelas al ejes de abscisas.f(1) = 2a + b c + d = 2f(2) = 38a + 4b + 2c + d = 3f(1) = 03a + 2b + c = 0f(2) = 012a 4b + c = 0a = 2 /9b = 1 /3c = 4/3d = 31/9Recta normal

PendienteLapendientede larecta normala una curva en un punto es laopuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre s.

Lapendientede larecta normales laopuesta de la inversa de la derivadade la funcin en dicho punto.

Ecuacin de la recta normalLarecta normala a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

EjemplosCalcular la ecuacin de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = /8.

Hallar la ecuacin de la recta tangente y normal a la parbola y = x2+ x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.Sea el punto de tangencia (a, b)m = 1f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1a = 0Punto de tangencia:(0, 1)Recta tangente:y 1 = xy = x +1Recta normal:m= 1P(0, 1)y 1 = xy = x + 1Crecimiento y decrecimiento

CrecimientoSi f es derivable en a:

DecrecimientoSi f es derivable en a:

Clculo de los intervalos de crecimiento y decrecimientoEstudiar los intervalos de crecimiento y decrecimientode:f(x) = x3 3x + 2Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:1.Derivar la funcin.f '(x) = 3x232.Obtener las races de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.3x23 = 0x = -1x = 13.Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4.Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.Si f'(x) > 0 es creciente.Si f'(x) < 0 es decreciente.Del intervalo (, 1) tomamos x = -2, por ejemplo.f ' (-2) = 3(-2)23 > 0Del intervalo (1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.f ' (0) = 3(0)23 < 0Del intervalo ( 1, ) tomamos x = 2, por ejemplo.f ' (2) = 3(2)23 > 0

5.Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:De crecimiento:(, 1)(1, )De decrecimiento:(1,1)

Ejercicios

Elteorema de Rolledice que:Sifes una funcincontinuaen [a, b] yderivableen (a, b), tal quef(a) = f(b), hay algn puntoc(a, b)en el quef'(c) = 0.

Lainterpretacin grfica del teorema de Rollenos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.Ejemplos1.Es aplicable elteorema de Rollea la funcin f(x) = |x 1| en el intervalo [0, 2]?

La funcin es continua en [0, 2].No es aplicable elteorema de Rolleporque la solucin no es derivable en el punto x = 1.

2.Estudiar si la funcin f(x) = x x3satisface las condiciones delteorema de Rolleen los intervalos [1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.f(x) es una funcin continua en los intervalos [1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (1, 0) y (0, 1) por ser una funcin polinmica.Adems se cumple que:f(1) = f(0) = f(1) = 0Por tanto es aplicable elteorema de Rolle.

3.Satisface la funcin f(x) = 1 x las condiciones delteorema de Rolleen el intervalo [1, 1]?La funcin es continua en el intervalo [1, 1] y derivable en (1, 1) por ser una funcin polinmica.No cumpleteorema de Rolleporque f(1) f(1).

4.Probar que la ecuacin 1 + 2x + 3x2+ 4x3= 0 tiene una nica solucin.Vamos a demostrarlo por reduccin al absurdo.Si la funcin tuviera dos races distintas x1y x2, siendo x1< x2, tendramos que:f(x1) = f(x2) = 0Y como la funcin es continua y derivable por ser una funcin polinmica, podemos aplicar elteorema del Rolle, que dira que existe un c(x1, x2) tal que f' (c) = 0.f' (x) = 2 + 6x + 12x2f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).Pero f' (x) 0, no admite soluciones reales porque eldiscrimnantees negativo: = 9 24 < 0.Como la derivada no se anula en ningn valor est en contradiccin con elteorema de Rolle, por lo que la hiptesis de que existen dos races es falsa.

5.Cuntas races tiene la ecuacin x3+ 6x2+ 15x 25 = 0?La funcin f(x) = x3+ 6x2+ 15x 25 es continua y derivable enTeorema de Bolzano.f(0) = 25f(2) = 37Por tanto la ecuacin tiene al menos una solucin en el intervalo (0, 2).Teorema de Rolle.f' (x) = 3x2+ 12x +15Dado que la derivada no se anula, ya que sudiscriminantees negativo, la funcin es estrictamente creciente y posee una nica raz.

6.Demostrar que la ecuacin 2x3 6x + 1 = 0 una nica solucin real en el intervalo (0, 1).La funcin f(x) = 2x3 6x + 1 es continua y derivable enTeorema de Bolzano.f(0) = 1f(1) = 3Por tanto la ecuacin tiene al menos una solucin en el intervalo (0, 1).Teorema de Rolle.f' (x) = 6x2- 66x2- 6 = 06(x 1) (x + 1) = 0La derivada se anula en x = 1 y x = 1, por tanto no puede haber dos races en el intervalo (0, 1).Teorema del valor medio

Elteorema del valor medio o de Lagrangedice que:Sea f es una funcin continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c(a, b) tal que:

La interpretacin geomtrica delteorema del valor medionos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.Elteorema de Rollees un caso particular delteorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).Ejemplos1.Se puede aplicar elteorema de Lagrangea f(x) = 4x2 5x + 1 en [0, 2]?f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (1, 2) por tanto se puede aplicar elteorema del valor medio:

2.Se puede aplicar elteorema de Lagrangea f(x) = 1/ x2en [0, 2]?La funcin no es continua en [1, 2] ya que no definida en x = 0.

3.En el segmento de la parbola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parbola de ecuacin y = x2+ bx + c.

Por ser la funcin polinmica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

4.Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 x2+ 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). Qu teorema garantiza la existencia de dicho punto?Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por los dos puntos.

Por ser y = x3 x2+ 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar elteorema del valor medio:

5.Determinar a y b para que la funcin

cumpla las hiptesis delteorema de Lagrangeen el intervalo [2, 6].En primer lugar se debe cumplir que la funcin sea continua en [2, 6].

En segundo lugar se debe cumplir que la funcin sea derivable en (2, 6).

Teorema de Cauchy

Elteorema de Cauchyoteorema del valor medio generalizadodice que:Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c(a, b) tal que:

Regla de L'Hpital

Si, en donde f y g son derivables en unentornodeay existe, este lmite coincide con.

Laregla de L'Hpitalse aplica directamente en las indeterminaciones:

Ejemplos

Sicomparamos infinitosobservamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el lmite es 0.

Indeterminacin infinito menos infinitoEn la indeterminacininfinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a comn denominador.

Indeterminacin cero por infinitoLa indeterminacin cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

IndeterminacionesEn las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

Ejercicios

Aplicando laspropiedades de los logaritmosen el segundo miembro tenemos:

Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange. Regla de L'Hpital

1.Estudiar si se verifica elteorema de Rolleen el intervalo [0, 3] de la funcin:

En primer lugar comprobamos que la funcin es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la funcin es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la funcin no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.Es aplicable el teorema de Rolle a la funcin f(x) = ln (5 x2) en el intervalo [2, 2]?En primer lugar calculamos el dominio de la funcin.

La funcin es continua en el intervalo [2, 2] y derivable en (2, 2), porque los intervalos estn contenidos en.Adems se cumple que f(2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuacin x7+ 3x + 3 = 0 tiene una nica solucin real.La funcin f(x) = x7+ 3x + 3 es continua y derivable enTeorema de Bolzano.f(1) = 1f(0) = 3Por tanto la ecuacin tiene al menos una solucin en el intervalo (1, 0).Teorema de Rolle.f' (x) = 7x6+ 3Como la derivada no se anula en ningn valor est en contradiccin con elteorema de Rolle, por tanto slo tiene una raz real.

4.Se puede aplicar elteorema de Lagrangea f(x) = x3en [1, 2]?f(x) es continua en [1, 2] y derivable en (1, 2) por tanto se puede aplicar elteorema del valor medio:

5.Comprobar si se cumplen las hiptesis delteorema de Cauchypara las funciones f(x) = x3y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2].Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinmicas.Y adems g(0) g(2).

c[0, 2]g'(0)0Se puede aplicar elteorema de Cauchy.

Resolver los siguientes lmites1.

2.

Sicomparamos infinitosobservamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el lmite es 0.

3.

4.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Aplicando laspropiedades de los logaritmosen el segundo miembro tenemos:

12.