Derivada de Funciones Trascendentes

7/17/2019 Derivada de Funciones Trascendentes

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Cálculo diferencial

Unidad 3. Derivación

Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las

funciones o demostrando las expresiones que mencionan.

1. Calcula las siguientes derivadas:

a.

2

2

1

1

d x

dx x

−+

.

dy

dx =

1

2 [ x2−1

x2+1 ]

−1

2 [ 2 x ( x2+1 )−2 x ( x2−1)

( x2+1)2 ]=1

2 [ x2+1

x2−1 ]

1

2 [ 4 x

( x2+1)2 ]

( x2

+1)3

¿( x2−1 )¿

√ ¿

¿2 x¿

b.

2

4sen

9

d x

dx x

+ ÷ −

.

dydx =cos[

x+4 x

2−9 ][ x

2

−9−2 x ( x+4)( x2−9)2 ]

=−cos [ x+4 x

2−9 ][ x

2

+8 x+9( x2−9)2 ]

c.

( )( )( )2ln sen 1

d x

dx+

.

MARÍA GUADALUPE REYES CRUZ





x

x x

x

sin(¿¿ 2)+12 x cos

(¿¿ 2)¿

sin(¿¿ 2)+1 [2 x ]=¿

cos(¿¿ 2)¿

dy

dx =¿

d.

( )2 3ln

1

1 x xd

dx x

+

+÷

÷+ .

dy

dx =

[ 2 x

x2+1

+3 x2] (√ x+1 )−[ ln ( x2+1 )+ x

3 ][ ( x+1)−1

2

2 ]

(√ x+1 )2

¿[3 x

4

+3 x2

+2 x ](√ x+1 x

2+1 )−[ ln ( x2+1 )+ x

3

2√ x+1 ](√ x+1 )2

¿3 x

4+3 x2+2 x

√ x+1( x2+1 ) −

ln ( x2+1)+ x3

√ x+1 ( x+1)

e.

( )( )2

3 4 2cos

x xd x e e x

dx

+

.

dy

dx =3 x

2e4 x+4 x

3e4 x+2 x e

4 xcos ( x2)−2 x e

4 xsin ( x2 )






( x2 )cos ( x2 )−sin¿

¿ x2

e4 x(3+4)+2 x e

4 x¿

2. Demuestre dados

, x y ∈ ¡

se tiene que:

senh( ) senh cosh cosh senh x y x y x y+ = +.

¿2

2 [ e x+ y−e

−( x+ y)

2 ]=2e x+ y−2e

− x− y

4 =

2e x

e y−2e

− xe− y+0

2

¿2e

xe

y−2e− x

e− y+e

− xe

y−e− x

e y+e

xe− y−e

xe− y

4

¿ e

xe

y+e x

e y−e

− xe− y−e

− xe− y+e

− xe

y−e− x

e y+e

xe− y−e

xe− y

4

e

e x (e y−e

− y )+e− x (¿¿ y−e

− y )4

¿ e

x (e y+e− y )−e

− x (e− y+e y )

4 +¿

ee

(¿¿ x+e− x)

2

(e y−e− y )

2

(¿¿ x−e− x )

2

(e y+e

− y)2

+¿

¿¿

¿senhx coshy+coshx senhy

3. Demuestre que dados

, x y ∈¡

con2

x k y π

+ ≠

y

k ∈¢ se tiene que:






( ) tan tan

tan1 tan tan

x y x y

x y

++ =

−.

tan ( x+ y )= sen ( x+ y )cos ( x+ y )

= senx cosy+seny cosxcosx cosy−senx seny

senx cosy+seny cosx

cosx cosy

cosx cosy−senx seny

cosx cosy

¿ tanx+ tany

1−tanx tany

. Calcular los siguientes l!mites:

a.

2

4

3

2 3

12 5 6

8 3i

6l m x

x x x

x x x→

+ − +− − +

.

−6 x2+5 x+12+ x− x+ x

3

x3

+8−3 x2

−6 x

=¿ lim x→ 4

−6 x2+6 x+12− x + x

3

x3

+8−3 x2

−6 xlim

x →4

¿

¿ lim x →4

(3 x+3 ) (−2 x+4 )+ x( x2−1)

( x+2) ( x2−2 x+4 )−3 x ( x+2)=lim

x →4

−6 ( x+1 ) ( x−2 )+ x ( x+1)( x−1)

( x+2 ) ( x2−2 x+4 )−3 x ( x+2)






x−1

¿ x−4

(¿)¿

( x+2 ) ¿( x+1)( x−3)( x−4)

¿( x+1)( x2−7 x+12)

( x+2) ( x2−5 x+4 ) =lim

x →4

¿

lim x→ 4

¿

¿ 5

18

b.

2 3 4

2 41 3

6 13 7

20 31 3 7lim x

x x x x

x x x x→

− + − − +− + + +

.

lim x→ 1

(−7 x2+13 x−6)+( x4− x

3)

x2 ( x2+7 x−8 )+(11 x

2−31 x+20)=lim

x →1

(−7 x+6 ) ( x−1 )+ x3 ( x−1)

x2 ( x+8 ) ( x−1 )+(11 x−20) ( x−1 )

lim x→ 1

( x−1 ) ( x3

−7 x+6)( x−1 ) [ x2 ( x+8)+(11 x−20)]

=lim x →1

( x3

− x+6−6 x ) x

3+8 x2+11 x−20

lim x→ 1

x ( x+1 ) ( x−1 )−6 ( x−1 )

( x−1 )( x2+9 x+20) =lim

x →1

( x−1 ) [ x2+ x−6 ]( x−1 )( x+4 )( x+5)

=lim x →1

( x+3)( x−2)

( x+4)( x+5)

¿ (1+3)(1−2)(1+4)(1+5)

=−2

15

". Dada la funci#n

3( ) 4 f x x x= − definida sobre el intervalo

[ ]2,2− $allar el valor

( )2, 2c ∈ − que satisface

'( ) 0 f c =.

f ´ ( x )=3 x2−4






f ´ (c )=3 c2−4

c=± √ 4 /3

c1=2√ 33

c2=−2√ 3

3

%. Demuestre que para cuales quiera

, x y ∈¡

se cumple:

sen sen 2sen cos2 2

x y x y x y

+ − + = ÷ ÷

.

.

senx=sen( x

2+

y

2−

y

2 +

x

2 )=sen( x2 + y

2 )cos( x

2−

y

2 )+sen( x

2−

y

2 )cos( x

2+

y

2 )

seny=sen( x

2+

y

2+

y

2−

x

2 )=sen( x

2+

y

2 )cos(− x

2 +

y

2 )+sen(− x

2 +

y

2 )cos( x2 + y

2 )

&sando

sen (− x )=−senx y cos (− y )=cosy

'enemos:

senx+seny=sen( x

2+

y

2 )cos( x

2−

y

2 )+sen( x

2−

y

2 )cos( x

2+

y

2 )+sen( x

2+

y

2 )cos(− x

2 +

y

2 )−sen( x

2−

¿2sen

( x+ y

2

)cos

( x− y

2

)






(. Dada la funci#n

2( ) 4 f x x x= − definida en

[ ]1,5

$allar

( ),c a b∈ que satisface la

relaci#n

( )(5) (1) '( ) 5 1 f f f c− = −

.

f ´ ( x )=2 x−4

f ´ ( x=5)−f ´ ( x=1)=6−(−2 )=8

f ´ ( x=4)=4

4 c=8

c=2

). Demostrar las siguientes identidades:

1 cos 1 coscos sen

2 2 2 2y

x x x x+ − = = ÷ ÷

cosx=cos( x

2+

x

2 )=cos x

2cos

x

2−sen

x

2 sen

x

2=cos

2 x

2−sen

2 x

2

¿cos2 x

2+cos2

x

2−1=2cos

2 x

2−1

*or lo tanto






cosx+12

+1=cos2 x

2

cos x2=

√1+cosx

2

senx=sen x

2 cos

x

2+sen

x

2cos

x

2=2sen

x

2 cos

x

2=2 sen

x

2 √1+cosx

2

sen2 x=4 sen

2 x

2

(

1+cosx

2

)1−cos

2 x=2 sen

2 x

2(1+cosx )

(1−cosx ) (1+cosx )=2sen2 x

2(1+cosx )

1−cosx

2 =sen

2 x

2

sen x

2=√1−cosx

2

*ara todo

0,2

x π ∈

.


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