Derivada ParcialEnmatemtica, unaderivada parcialde unafuncinde diversas variables, es suderivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial.La derivada parcial de una funcinfrespecto a la variablexse representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Dondees la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.Cuando una magnitudes funcin de diversasvariables(,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresin que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha funcinen un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.Analticamente elgradientede una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que se elija. Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variacin en la funcin. Considera el volumenVde uncono, este depende de la alturahdel cono y su radiorde acuerdo con la frmula

Las derivadas parciales deVrespecto aryhson:

Otro ejemplo, dada la funcintal que:

la derivada parcial derespecto dees:

mientras que con respecto dees:

Definicin formalComo las derivadas en una variable, las derivadas parciales estn definidas como ellmite. DondeUes un subconjunto abierto deRnyf:URuna funcin. Definimos derivada parcial defen el puntoa= (a1,...,an) Ucon respecto a lai-sima variablexicomo:

O visto respecto a la derivada direccional:

dondees el vector unitario del eje respecto al que se deriva ().Incluso si todas las derivadas parciales existen en el puntoa, la funcin no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existenalrededordeay son continuas, entonces la funcin no slo es continua sino ademsdiferenciablecerca dea. En este caso,fes una funcin C1.NotacinPara el siguiente ejemplo,fser una funcin dexey.Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

TermodinmicaEntermodinmicay otras reas de la fsica se emplea la siguiente notacin:

Que significa quey entonces:

Esta notacin se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como funcin de diferentes variables por lo que en general:

Ya que la forma precisa de las funcionesyes diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.Derivadas parciales de orden superiorA su vez, la derivada parcialpuede verse como otra funcin definida enUy derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos afuna funcin C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadasparciales) pueden ser intercambiadas por elteorema de Clairauttambin conocido como teorema deSchwarz.

EnR2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

Derivada parcial de una funcin de varias variables. Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definicin obvia si la comparamos con laderivada de una funcin de una variable) Para la derivada dez"respecto dex" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada dez"respecto dey" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la funcin: : Para ello recordemos que la derivada de la funcinz =eues:z=u.eu, siendouen nuestro caso:x2+y2, entoncesla derivada deurespectoxes 2x(con layconstante), mientras que laderivada deurespectoyes 2y(con laxconstante). As tenemos:

Otras formas de expresar laderivada de la funcinz = f(x,y)con respecto axson:

mientras que para expresar laderivada de la funcinz = f(x,y)con respecto ay:

Esta definicin de derivada se extiende a funciones de tres o ms variables, por ejemplo, para una funcin de tres variablesw = f(x,y,z)sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.Diferencial de una funcin de varias variables.Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y), se define la diferencial de esta funcin como:

Geomtricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".Como ejemplo, expresemos la diferencial de la funcin: , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un puntoP(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor dexpora, y el valor deyporb. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el puntoP(1, 2)se calculan sustituyendox=1, y=2. Para la funcinlas derivadas en el puntoP(1, 2)son:

y la diferencial en ese punto:

Derivadas parciales de segundo orden. Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y).En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer "derivada segunda dezrespecto dexdos veces","derivada segunda dezrespecto dex-y", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:Se trata dederivar respecto dexla derivada.Se trata dederivar respecto axla derivada.Se trata dederivar respecto a yla derivada.Se trata dederivar respecto a yla derivada. Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la funcin:

Las derivadasson llamadas "derivadas mixtas", obsrvese en el ejemplo cmo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.

Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.Sea un puntoP(a, b)en el que la funcinz = f(x, y)se encuentre definida.El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadasexistan en una cierta bola del punto P,y que la derivada segunda defcon respecto axysea continua en este punto, para que tengamos:

es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola".En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotrossiempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas. A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas dez=f(x,y)como una matriz22 :

En este caso los elementos que se encuentren en posicin simtrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simtricas. Para el caso de una funcin de tres variablesw = f(x, y, z), el nmero de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podramos expresar as:

coincidiendo cada pareja situada en posicin simtrica (respecto de la diagonal principal).

Diferencial segunda de una funcinz = f(x,y).Seaz = f(x,y)una funcin de dos variables. Entonces la diferencial segunda dez,d2z, es la diferencial de la diferencial, esto es,d(dz), la cual se puede expresar as:

queteniendoen cuenta la igualdad (en general) de las derivadas mixtas, puede expresarse:

En nuestro ejemplo tendramos:

* Podemos hallar la diferencial dez = f(x,y)en un punto especfico, digmos P(a,b), sin ms que sustituir lasxpora, y lasyporb. Hallemos, para la funcinzde nuestro ejemplo, la diferencial dezen el punto P(1,2):

Extremos de una funcinz = f(x,y)(mtodo de ladiferencial segunda).Sea una funcinz = f(x, y), sea un puntoPo(a,b)que es un extremo local de la funcin (en la imagen un "mnimo local"), entonces: Si para los puntos P(x,y) de un entorno dePose tiene: f(x,y) f(a,b) < 0,el punto esmximof(x,y) f(a,b) > 0 ,el punto esmnimo.*Condiciones necesarias: Fijndonos en el grfico adjunto, es fcil observar que para quePosea extremo tambin lo ha de ser para las secciones transversales a los ejes X e Y, (imaginad que en la superficie de la grfica adjunta realizamos cortes de cuchillo transversales a los ejes X e Y), entonces se debe cumplir:{1}Si ahora expresamos los dos primeros trminos del desarrollo de Taylor def(x,y)en un entorno del puntoPo(a,b), y teniendo en cuenta que las dos derivadas primeras se anulan en este punto, tenemos:

siendoh = x a,k = y b,por otra parte las derivadas segundas def(x,y)se expresan en un punto intermedio, pero como el tipo de funciones que utilizamos son tales que sus derivadas segundas no varan mucho de un punto a otro prximo podemos cambiar este punto porel punto vecinoPo(a,b).Entonces se tiene:

Adems si consideramos ah = (x-a)ser una cantidad muy pequea, lo podemos sustituir pordx, de la misma manera podemos sustituirk = (y-b)pordy. Entonces:

que teniendo en cuenta la expresin de ladiferencial segunda def, podemos asegurarque lo que haydentro del corchete es la diferencial de la funcinz = f(x,y).Entonces el signo def(x,y) f(a,b)es el mismo que el ded2zen el puntoPo(a, b). Ahora bien,la expresin de la diferencial de la funcinz = f(x,y) en el puntoPo(a,b):

corresponde con lo que en lgebra se llamaforma cuadrtica,cuyo comportamiento es el siguiente:

Por lo tanto, podremos hacer el estudio de mximos y mnimos locales de la forma:

Ejemplo. Hallemos los extremos locales (mximos y mnimos) de la funcin de dos variables:z= f(x, y) = 2 x3+ 2 y3 x2 y2 2 xy Para ello, en primer lugar determinamos aquellos puntos que cumplen la doble condicin necesaria para ser extremo local{1}:

o lo que es lo mismo:

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, y su solucin nos indica los dos puntos posibles de ser extremos locales:

Ahora para determinar si estos puntos son mximos o mnimos, primeramente hallamos las derivadas segundas de la funcin:

ahora expresamosd2zpara cada punto de arriba.I)Para el punto (0,0):

Por lo que la funcinz=f(x,y)presenta en el punto(0,0)uncasi-maximo. Tngase en cuenta quedxpuede ser igual a-dy, y por tanto d2zpuede hacerse 0.II)Para el punto(2/3, 2/3):

Por lo tanto la funcinz=f(x,y)presenta en el punto (2/3, 2/3) presenta un mnimo cuyo valor esz=-(16/27).10B.7 Estudio de mximos y mnimos mediante el Hessiano.Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los mximos y mnimos locales de una funcin denvariables, es la utilizacin delHessiano. Sea una funcin denvariables,, se llamaHessianode esta funcin al determinante:

O ms concretamente se habla del "Hessiano de la funcinfen el punto":

en el que cada derivada segunda defest realizada en el punto P. A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido",1. Entonces, de forma general, la manera de operar es la siguiente:A) En primer lugar, hallamos los puntos que cumplen la condicin necesaria de extremo (sus derivadas primeras son todas nulas), resolviendo el sistema:

B) Para cada uno de estos puntos P que cumplen la condicin necesaria hallamos el hessiano y el hessiano reducido,. Entonces, lo que puede decirse de P est expresado en la siguiente tabla:

en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda indeterminado y habra que utilizar el mtodo de la diferencial visto en la cuestin anterior.Para el caso de una funcin de dos variablesz = f(x,y), estoshessianosse reducen a los siguientes:

Para el ejemplo anterior de la funcinz= f(x, y) = 2 x3+ 2 y3 x2 y2 2 xy, podemos operar as: Primeramente hallaramos los puntos que cumplen la condicin necesaria de extremo, de la misma manera que se ha visto antes. Estos dos puntos son:. Y a continuacin hacemos el estudio de loshessianospara cada uno de estos dos puntos.a)Para el punto(2/3, 2/3):

Se trata del caso 1-b) de la tabla de arriba, lo cual nos indica que en este punto la funcin tiene un mnimo local.b) Para el punto (0,0):

que se trata de un caso indeterminado, por lo que no podemos asegurar nada respecto del punto (0,0) mediante este mtodo.

Derivada DireccionalDefinicin generalLa derivada direccional de unafuncin escalar:

en la direccin del vector:

es lafuncindefinida por ellmite:

Si la funcin es diferenciable, puede ser escrita en trmino de sugradiente

donde "" denota elproducto escalaro producto punto entre vectores. En cualquier punto, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se est moviendo a una velocidad y direccin dada poren dicho punto.

Definicin solo en la direccin de un vectorAlgunos autores definen la derivada direccional con respecto al vectordespus de la normalizacin, ignorando as su magnitud. En este caso:

Si la funcin es diferenciable, entonces

Esta definicin tiene algunas desventajas: su aplicabilidad est limitada a un vector denormadefinida y no nula. Adems es incompatible con la notacin empleada en otras ramas de la matemtica, fsica e ingeniera por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento depor unidad de distancia.

Restriccin al vector unitarioAlgunos autores restringen la definicin de la derivada direccional con respecto a unvector unitario. Con esta restriccin, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.DemostracinEl caso ms sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supngase que existe unafuncin diferenciable. La derivada direccional segn la direccin de un vector unitarioes:

El primero de estos lmites puede calcularse mediante el cambiolo cual lleva, por ser diferenciable la funcin1f, a:

Procediendo anlogamente para el otro lmite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con elproducto escalardel gradiente por el vector:

Notaciones alternasLa derivada direccional puede ser denotada mediante los smbolos:

dondees la parametrizacin de una curva para la cuales tangente y la cual determina su magnitud.PropiedadesMuchas de las propiedades conocidas de lasderivadasse mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funcionesydefinidas en lavecindadde un punto, donde son diferenciables:Regla de la suma:

Regla del factor constante:

dondees cualquier constante.Regla del producto(ofrmula de Leibniz):

Regla de la cadena: Sies diferenciable en el puntoyes diferenciable en, entonces:

Campos vectorialesEl concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones deen, del tipo:

En este caso la derivada direccional de modo idntico a como se haca con funciones de una variable:

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales segn todas las direcciones no implica necesariamente que una funcin sea diferenciable. Si la funcin es diferenciable resulta que la aplicacin:

Es lineal y se cumple adems es expresable en trminos deljacobiano:

Gradiente de un campo escalar

Seaf:UR3Run campo escalar, y seanf/x,f/y,f/zlas derivadas parciales def(es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes). Entonces, el gradiente defes:grad(f)=(f/x,f/y,f/z)Observemos que el gradiente defes un vector, aunquefsea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que: El gradiente apunta en la direccin en la que la derivada direccional de la funcinfes mxima, y su mdulo en un punto es el valor de sta derivada direccional en ese punto. Se anula en los puntos de inflexin de la funcinf. El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.Ejemplo f(x,y,z)=x2yz3zgrad(f)=(2xyz3,x2,3z2x) f(x,y,z)=xsin(y)e5zgrad(f)=(sinye5z,xcosye5z,xsiny5e5z) f(x,y,z)=x2+y2+z2grad(f)=(xx2+y2+z2,yx2+y2+z2,zx2+y2+z2)Divergencia de un campo vectorialSeaF:UR3R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, la divergencia deFes:div(F)=/xF1+/yF2+/zF3Ejemplo F(x,y,z)=(x3y,2zsinx,cosz)div(F)=/x(x3y)+/y(2zsinx)+/z(cosz)=3x2u+0sinz F(x,y,z)=(2xy,ysinz+y2+z,cosz)div(F)=/x(2xy)+/y(ysinz+y2+z)+/z(cosz)==2y+sinz+2ysinzLa divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar.

Rotacional de un campo vectorial

SeaF:UR3R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, el rotacional deFes:rot(F)=(F3/yF2/z,F1/zF3/x,F2/xF1/y)EjemploF(x,y,z)=(4xey,xlnz,y)rot(F)=((y)/y(xlnz)/z,(4xey)/z(y)/x,(xlnz)/x(4xey)/(y)=(1xz,00,lnz4xey)Propiedades del gradiente, divergencia y rotacionalSifes un campo escalar yFun campo vectorial, entonces siempre se cumple que1. rot(grad(f))=02. div(rot(F))=03. rot(fF)=grad(f)F+frot(f)4. div(fF)=fdiv(F)+grad(f)Fdondees el producto escalar yel producto vectorial.