Derivadas de datos irregularmente espaciados

Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de tres puntos adyacentes.

Estos polinomios no requieren que los puntos estén igualmente espaciados. Si se deriva analíticamente el polinomio se obtiene lo siguiente:

f ' ( x )=f ( xi−1 )2 x−x i−x i+1

( xi−1−x i )(x i−1−x i+1)+ f (x i )

2 x−x i−1−xi+1(x i−x i−1 )(x i−x i+1)

+ f ( xi+1 )2 x−x i−1−x1

(x i+1−x i−1 )(x i+1−xi)

Donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada.

La ecuación sirve para estimar la derivada en cualquier punto dentro de un intervalo determinado por los tres puntos.

Los puntos no tienen que estar igualmente espaciados y, la estimación de la derivada tiene la misma exactitud que la diferencia centrada.

→Ejemplos:

1) Como se muestra en la figura siguiente, un gradiente de temperatura puede medirse abajo del suelo. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse mediante la ley de Fourier,

q ( z=0 )=−kρC dTdz |.z=0

Donde q = flujo de calor (W/m2), k = coeficiente de difusividad térmica en el suelo (3.5× 10-7 m2/s), ρ = densidad del suelo (1 800 kg/m3) y C = calor específico del

Temperatura contra la profundidad bajo el suelo.

suelo (840 J/(kg · ºC)). Observe que un valor positivo del flujo indica que el calor se transfiere del aire al suelo. Utilice diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la interfaz suelo-aire.

Sol.

Formula:

f ' ( x )=f ( xi−1 )2 x−x i−x i+1

( xi−1−x i )(x i−1−x i+1)+ f (x i )

2 x−x i−1−xi+1(x i−x i−1 )(x i−x i+1)

+ f ( xi+1 )2 x−x i−1−x1

(x i+1−x i−1 )(x i+1−xi)

Datos:f (x i−1 )=13.5f (x i )=12f (x i+1 )=10x i=1.25x i+1=3.75x = 0x i−1=0

Sustitución de los datos en la fórmula de diferenciación numérica:

f ' ( x )=13.5 2(0)−1.25−3.75(0−1.25 )(0−3.75)

+122(0)−0−3.75

(1.25−0 )(1.25−3.75)+10

2 (0 )−0−1.25(3.75−0 )(3.75−1.25)

f ' ( x )=−1.333333333 °Ccm

Sustitución de los datos del flujo de calor en la interfaz suelo-aire (1 W = 1 J/s).

q ( z=0 )=−(3.5×10−7 ) (1800 ) (840 ) ¿(100))

Q = 70.559 W/m2

2) Dada la siguiente tabla

x f(x)0,45 0,968480,52 0,906400,62 0,802270,67 0,742780,74 0,650420,78 0,592600,84 0,498500,89 0,41296

Determinar la primera derivada en x = 0.7

Se procede de la siguiente manera: se seleccionan los tres puntos más cercanos al valor que necesitamos evaluar, los cuales son el punto inmediatamente anterior y los dos inmediatamente siguientes {0.67, 0.74, 0.78} ya que nos dan un intervalo más corto (0.11) Para nuestro caso, serían:

0,67 0,742780,74 0,650420,78 0,59260

Formula:

f ' ( x )=f ( xi−1 )2 x−x i−x i+1

( xi−1−x i )(x i−1−x i+1)+ f (x i )

2 x−x i−1−xi+1(x i−x i−1 )(x i−x i+1)

+ f ( xi+1 )2 x−x i−1−x1

(x i+1−x i−1 )(x i+1−xi)

Datos:f (x i−1 )=.74278f (x i )=.65042f (x i+1 )=.5926x i=.74x i+1=.78x i−1=.67x=.7

Sustitución de los datos en la fórmula de diferenciación numérica:

f ' ( .7 )=.74278 2 (.7 )−.74−.78( .67−.74 )( .67−.78)

+ .650422 (.7 )−.67−.78

( .74−.67 )(.74−.78)+.59260

2 ( .7 )−.67− .74( .78−.67 )(.78−.74)

f ' ( .7 )=−1.30804

Derivadas e integrales para datos con errores

Además de tener espaciados irregulares, otro problema en la diferenciación de datos empíricos es que generalmente se presentan errores de medición. Una desventaja de la diferenciación numérica es que tiende a amplificar los errores de los datos. La figura a muestra datos uniformes sin errores, que al diferenciarse numéricamente producen un resultado adecuado (c). En cambio, la figura b usa los mismos datos, pero con algunos puntos ligeramente por arriba y otros por abajo. Esta pequeña modificación es apenas notoria en la figura b. Sin embargo, el efecto resultante en la figura d es significativo, ya que el proceso de diferenciación amplifica los errores.

Ilustración de cómo los pequeños errores en los datos se amplifican mediante la diferenciación numérica: a) Datos sin errorb) Datos modificados ligeramentec) Resultado de la diferenciación numérica que se obtiene de la curva a) d) La diferenciación resultante de la curva b) que manifiesta un aumento en la variabilidad. En cambio, la operación inversa de integración [moviéndose de d) a b) y tomando el área bajo d)] tiende a suavizar o atenuar los errores en los datos.