Derivadas parciales

Cálculo III

JhonWillingtonBernal V.

13.3 Derivadasparciales

13.4Diferenciales

Cálculo IIIDerivadas parciales

Jhon Willington Bernal V.

3 de febrero de 2016

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

De�nición:

Si z = f(x, y), las primeras derivadas parciales f con

respecto a x y a y son las funciones fx y fy de�nidas

por

fx(x, y) = lım∆x→0

f (x + ∆x, y)− f(x, y)

∆x

fy(x, y) = lım∆y→0

f (x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejemplo:

Dada f(x, y) = xex2y, hallar fxy fy, y

evaluar cada una en el punto (1, ln 2)

∂

∂xf(x, y) = fx(x, y) = zx =

∂z

∂x

∂z

∂x|(a,b)= fx (a, b)

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejemplo:

Hallar las pendientes en las direcciones

de x y de y de la super�cie dada por

f(x, y) = −x2

2− y2 +

25

8

en el punto(

12, 1, 2

)

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales de

f(x, y, z) = z sin (xy2 + 2z) con respecto

a x, y y z.

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales de segundo

orden de f(x, y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2, ydeterminar el valor de fxy(−1, 2)

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejercicio 64:

Calcular las derivadas parciales de

primer orden con respecto a x, y y z.

G (x, y, z) =1√

1− x2 − y2 − z2

∂

∂xG (x, y, z) =

x

(−x2 − y2 − z2 + 1)3/2

Cálculo III



13.4Diferenciales

Derivadas parciales

Ejercicio 106:

Mostrar que la función satisface la

ecuación del calor∂z

∂t= c2 ∂

2z

∂x2

z = e−t sinx

c

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

De�nición:

Si z = f(x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x y

en y, entonces las diferenciales de las variablesindependientes x y y son

dx = ∆x y dy = ∆yy la diferencial total de la variable independiente zes

dz =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

Ejemplo:

Hallar la diferencial total de cada función

z = 2x sin y − 3x2y2

w = x2 + y2 + z2

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

De�nición de diferenciabilidad:

Una función f dada por z = f(x, y) es diferenciableen (x0, y0) si ∆z puede expresarse en la forma

∆z = fx (x0, y0) ∆x + fy (x0, y0) ∆y + ε1∆x + ε2∆y

donde ε1y ε2 → 0 cuando (∆x,∆y)→ (0, 0) . Lafunción f es diferenciable en una región R si es

diferenciable en todo punto de R

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

Ejemplo:

Mostrar que la función dada por

f(x, y) = x2 + 3y es diferenciable en todo

el punto del plano.

Incremento de z es

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y)

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

Uso de la diferencial como una aproximación:

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en

z =√

4− x2 − y2 cuando (x, y) se desplaza en el

punto (1, 1) al punto (1,01, 0,97). Comparar esta

aproximación con el cambio exacto en z.∆z ≈ dz = 0,0141∆z = 0,0137

Cálculo III



13.4Diferenciales

Diferenciales

Teorema

Si una función de x y y es diferenciable en (x0, y0) ,entonces es continua en (x0, y0)

Ejemplo:

Mostrar que fx(0, 0) y fy(0, 0) existen, pero f no es

diferenciable en (0, 0) donde f esta de�nida como:

f(x, y) =

−3xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

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