Archivo: Clase30

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

1

Clase # 30. Fecha: 30/05/2000

Continuación Unidad III:

Derivada.

Objetivo # 1:

- Introducción.

- Concepto de derivada.

- Función diferenciable.

- Ejemplos.

Contenido.

1. Introducción.

Muy a menudo necesitamos hacer comparaciones entre dos cantidades numéricas,

por ejemplo, el costo de algún producto en el mercado, de acuerdo a su marca,

contra otra marca del mismo producto. Concretamente podemos comparar el precio

de la mayonesa Kraft contra el precio de la mayonesa Mavesa. Este criterio de

comparación lo usamos de acuerdo a una regla matemática muy antigua, usamos

proporciones.

Una proporción es la razón o cociente entre dos cantidades comparadas. Por

ejemplo, al comparar el peso de un boxeador peso completo con 80 kilogramos de

peso contra el peso de un boxeador de peso medio de 40 kilogramos de peso,

decimos que el peso completo es el doble o 2 veces del peso del boxeador de peso

medio. Estas cifras la conseguimos dividiendo el peso del boxeador de peso

completo entre el peso del boxeador de peso medio:

24

8

40

80==

Kg

Kg

Aquí la comparación hecha fue: el peso completo respecto al peso medio.

Pero, a veces queremos comparar al revés, es decir, comparar el peso medio

respecto al peso completo, de esta forma nuestra cifra de comparación queda como

2

1

8

4

80

40==

Kg

Kg

Y decimos que el peso del boxeador de peso medio es la mitad o un medio del peso

del boxeador de peso completo.

Archivo: Clase30

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

2

Ahora, nuestro ejemplo es un ejemplo momentáneo ya que en el transcurso del

tiempo los pesos de los boxeadores pueden cambiar, si tuviéramos una función que

relacionara los pesos de los boxeadores en el tiempo podríamos obtener esas

proporciones en cualquier instante, aún en el futuro, en forma determinística, ó

probable.

Aunque parezca clara la idea, vamos a seguir ejemplificando.

Pensemos en el gasto de una persona durante el tiempo. Aquí se quiere medir: el

gasto en bolívares de una persona respecto a la cantidad de horas o minutos o

segundos en que los gasta. Imaginemos a una persona en un casino y la forma en

que introduce monedas en una máquina tragamonedas, de la siguiente manera, se

contabilizado que cada 5 minutos la persona introduce 25 monedas en la máquina,

luego comparando el número de monedas respecto al tiempo queda que

55

25=

Podemos afirmar que cada 1 minuto que pasa la persona introduce 5 monedas, o lo

que es lo mismo: el gasto de la persona es 5 veces superior al tiempo que tarda en

hacerlo. Esto nos da la idea de la velocidad con que gasta su dinero.

Queremos conceptualizar esta idea de comparación en una forma mucho más

general entre cantidades distintas que de una forma u otra estén relacionadas por

medio de una función.

2. Concepto de Derivada.

Definición: Sea f una función continua en el punto .ax = La cantidad definida

por medio de la siguiente expresión

ax

afxf

−

− )()(

Se denomina tasa de variación media. Si tomamos el límite de esa expresión cuando

x se aproxima al valor a entonces obtenemos un valor numérico, cuando existe,

ax

afxfLim

ax −

−

→

)()(

A este límite lo llamamos derivada de la función f en el punto ax = y lo

denotamos por

ax

afxfLimaf

ax −

−=

→

)()()('

Lo que acabamos de definir, es precisamente la idea que desarrollamos en la

introducción. Tenemos dos variables relacionadas por medio de una función, es

Archivo: Clase30

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

3

decir la variable y depende de la variable x por medio de la función f de la siguiente

forma )(xfy = . Por lo tanto, podemos comparar los valores de la variable )(xfy =

con respecto a los valores de la variable .x Los valores de

ax

afxf

−

− )()(

Corresponden a la idea de proporción media y los valores de la derivada corresponden a

las proporciones instantáneas.

3. Función diferenciable.

Definición: decimos que una función f es diferenciable en un punto ax = si existe

).(' af

Definición: decimos que una función es diferenciable en un intervalo si es

diferenciable en cada punto del mismo.

Definición: decimos que una función es diferenciable si es diferenciable en cada punto

de su dominio.

4. Ejemplos.

4.1 Encuentre la derivada de la función 53)( += xxf en el punto .2=x

Solución: Usando la definición de derivada tenemos que

2

63

2

1153

2

)52.3()53(

2

)2()(

2222 −

−=

−

−+=

−

+−+=

−

−

→→→→ x

xLim

x

xLim

x

xLim

x

fxfLim

xxxx

.32

)2(3

2=

−

−=

→ x

xLimx

Es decir, .3)2(' =f

4.2 Encuentre la derivada de la función 53)( += xxf en el punto .ax =

Solución: Usando la definición de derivada tenemos que

ax

axLim

ax

axLim

ax

axLim

ax

afxfLim

axaxaxax −

−=

−

−=

−

+−+=

−

−

→→→→

)(333)5.3()53()()(

Calculando este límite nos damos cuenta que .3)(' =af

Archivo: Clase30

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

4

4.3 Encuentre la derivada de la función xxxf 6)( 2−= en el punto .ax =

Solución: Vamos a usar la definición de derivada. Para este fin construimos

primero la tasa de cambio promedio

ax

axax

ax

axaxax

ax

axax

ax

aaxx

ax

afxf

−

−+−=

−

−−+−=

−

−−−=

−

−−−=

−

−

)6)(()(6))((

)(6)6(6)()( 2222

Ahora, tomamos límite cuando x se aproxima al valor a.

62)6()6)(()()(

−=−+=

−

−+−=

−

−

→→→

aaxLimax

axaxLim

ax

afxfLim

axaxax

En consecuencia el valor de la derivada es .62)(' −= aaf