desarrollo de expanciones de angulos multiples

UNIDAD EDUCATIVA TECNICO SALESIANO

Desarrollo de Expansiones de Ángulos Múltiples

e-mail: [email protected]

Nombre:

Christian Marcelo Sinchi Zenteno

Abstract:En el trabajo realizado se va a demostrar la solucion de las expancionestrigonometricas planteadas por el docente atravez de el programa llamado lyx enel cual se tendra que demostrar la comprovacion numerica y grafica. Para notener inconvenientes es preferible cambiar todo a funcion de senos y cosenos yaque facilitaria la realizacion de los ejercicios planteados por el docente.

Objetivo:un claro objetivo al efectuar los ejercicios planteados por el docente esaumentar nuestros conocimientos en el uso de distintos programas con elfin de exponer de mejor forma la trigonometria.

1.PRIMER EJERCICIO

a) Demostración Analitica

co s 2 A = 1 2 + cos2A 2 co s 2 A = co s 2 A - se n 2 A co s 2 A = co s 2 A - ( 1-co s 2 A ) co s 2 A = co s 2 A -1+ co s 2 A co s 2 A = 2 co s 2 A -1 2 co s 2 A = 1+cos2A co s 2 A = 1 2 + cos2A 2

b) Demostración Gráfica

Figure 1:grafica 1

Figure 2:grafica 2

c) Demostración Numérica

A = π 6 co s 2 ( π 6 ) = 1 2 + cos ( ( 2* π 6 ) 2 ) 3 4 = 1 2 + 1 4 3 4 = 3 4

2.SEGUNDO EJERCICIO

a)Demostración Analítica

co s 3 A = 3 4 cosA + 1 4 cos3A co s 3 A = cos (2A+A) co s 3 A = cos2A cosA - sen2A sen A co s 3 A = ( co s 2 A - se n 2 A ) cosA - 2senA cosA senA co s 3 A = co s 3 A - se n 2 A cosA - 2 se n 2 A cosA co s 3 A = co s 3 A - (1- co s 2 A ) cosA - 2 (1- co s 2 A ) cos A co s 3 A = co s 3 A - cosA + co s 3 A - 2cosA + 2 co s 3 A co s 3 A = 4 co s 3 A - 3cosA 4 co s 3 A = cos3A + 3cosA co s 3 A = 3cosA+cos3A 4


Figure 4:grafica 4


A = 2π co s 3 (2π) = (3/4) cos (2π) + 1/4 cos (3*2π) 1 = (3/4 + 1/4) = 3+1 4 = 4 4 = 1 1 = 1

3.TERCER EJERCICIO


co s 4 A = 3 8 + 1 2 cos2A + 1 8 cos4A co s 4 A = cos 4A cos4A = cos (2A + 2A) cos4A = cos2A co s 2 A - se n 2 A sen2A

cos4A = (2cos2A - 1) cos2A - (2senA cosA) (2senA cosA) cos4A = 2co s 2 A cos2A - cos2A - ( 4se n 2 A co s 2 A ) cos4A = 2co s 2 A ( 2co s 2 A ( 2co s 2 A - 1) - cos2A - 4se n 2 co s 2 A cos4A = 4co s 4 A - 2co s 2 A - cos2A - 4 (1 - co s 2 A ) co s 2 A cos4A = 4co s 4 A - 2co s 2 A - cos2A - (1 - 4co s 2 A ) co s 2 A cos4A = 4co s 4 A - 2co s 2 A - cos2A - 4co s 2 A co s 4 A cos (4A) = 8co s 4 A - 6 ( 1 2 + 1 2 cos2A) - cos2A cos (4A) = 8co s 4 A - 6 2 - 6 2 cos2A -cos2A cos (4A) = 8co s 4 A - 3 - 3cos2A - cos2A cos (4A) = 8co s 4 A - 4cos2A - 3 8co s 4 A = Acos2A + 3 = cos4A co s 4 A = 3 8 + 1 2 cos2A + 1 8 cos(4A)


Figure 5:grafica 5

Figure 6:grafica 6

c)Demostración nNumérica

co s 4 (0) = 3 8 + 1 2 (cos2 (0) + 1 8 cos (4*0)) 0 = 0 + 0 0 = 0

4.CUARTO EJERCICIO


co s 5 A = 5 8 cosA + 5 16 cos3A + 1 16 cos5A .cos5A = cos (2A + 3A) cos5A = cos2A cos3A - sinA sin3A cos5A = 4co s 3 A - 3cosA co s 2 A - si n 2 A - 3sinA - 4si n 3 A 2sinA cosA cos5A = 4co s 3 A - 3cosA co s 2 A - (1 - co s 2 A ) - 6si n 2 A cosA -

8si n 4 A cosA cos5A = 4co s 3 A - 3cosA co s 2 A - 1 + co s 2 A - 6 (1 - co s 2 A ) cosA - 8

(1 - co s 2 A ) (1 - co s 2 A ) cosA cos5A = 16co s 5 A + 12co s 3 A + 9cosA 16co s 5 A = 1 2 3 A + 9cosA - cos5A

co s 5 A = 5 8 cosA + 5 16 cos3A + 1 16 cos5A


Figure 8:grafica 8

c) Demostración Númerica

A = 0 co s 5 (0) = 5/8 cos (0) + 5/16 cos 3(0) + 1/16 cos 5(0) 1=1

5.QUINTO EJERCICIO

a)Demostración Analitica

co s 6 A = 5 16 + 15 32 cos2A + 3 16 cos4A + 1 32 cos6A cos6A = cos (3A + 3A) cos6A = cos3A cos3A - sin3A sin3A cos6A = ( 4co s 3 A - 3cosA) ( 4co s 3 A - 3cosA) - (3sinA - 4si n 3 A )

(3sinA - 4si n 3 A )

cos6A = 16co s 6 A - 12co s 4 A - 12co s 4 A + 9co s 2 A - 9 ( 1 - co s 2 A )+ 12 (1 - co s 2 A ) (1 - co s 2 A ) -12(1 - co s 2 A ) (1 - co s 2 A )

cos6A = 32co s 6 A + 24co s 4 A - 30co s 2 A + 19 32co s 6 A = cos6A + 24co s 4 A - 30co s 2 A + 19 co s 6 A = cos6A+24co s 4 A-30co s 2 A+19 32 co s 6 A = 5 16 + 15 32 cos2A + 3 16 cos4A + 1 32 cos6A


Figure 9:grafica 9

Figure 10:grafica 10


A = 0 co s 6 (0) = 5/16 + 15/32 cos 2 (0) + 3/16 cos 4 (0) - 1/32 cos 6 (0) 1 = 1

6.SEXTO EJERCICIO

a)Demostación Analítica

se n 2 A = 1 2 - cos2A 2 co s 2 A =cos(A+A) co s 2 A =cosA cosA-senA senA co s 2 A = co s 2 A-se n 2 A co s 2 A =1- se n 2 A - se n 2 A co s 2 A =1-2 se n 2 A 2 se n 2 A =1-cos2A se n 2 A = 1-cos2A 2 se n 2 A = 1 2 - cos2A 2


A = π 3 se n 2 (π/3) = 1/2 - 1/2 cos (2 - π/3) 3 4 = 1 2 + 1 4 3 4 = 3 4

7.SEPTIMO EJERCICIO


se n 3 A = 3 4 senA - 1 4 sen3A se n 3 A= sen3A sen3A= sen (2A + A) sen3A= sen2A cos2A + senA cos2A sen3A= 2senA cosA cosA + senA ( co s 2 A - se n 2 A ) sen3A= 2senA co s 2 A + senA co s 2 A - se n 3 A sen3A= 2senA (1- se n 2 A ) + senA (1- se n 2 A ) - se n 3 A

sen3A= 2senA - 2 se n 3 A + senA - se n 3 A - se n 3 A sen3A= 3senA - 4 se n 3 A 4 se n 3 A = 3senA - sen3A se n 3 A = 3 4 senA - 1 4 sen3A


Figure 13:grafico 13



se n 3 (0) = 3 4 sen (0) - 1 4 sen 3 (0) 0 = 0 - 0 0 = 0

8.OCTAVO EJERCICIO


se n 4 A = 3 8 - 1 2 cos2A + 1 8 cos4A cos4A = cos(2A + 2A) cos4A = cos2A cos2A - sin2A sin2A cos4A = ( co s 2 A - si n 2 A ) ( co s 2 A - si n 2 A ) - (2sinA cosA) (2sinA

cosA) cos4A = ( 1 - si n 2 A - si n 2 A ) ( 4si n 2 A ( si n 2 A ) cos4A = (1 - si n 2 A - si n 2 A ) ( 4si n 2 A * si n 4 A ) cos4A = 1 - si n 2 A - 4si n 4 A - si n 4 A cos4A = - (- 1 + co s 2 A ) - 4si n 4 A - si n 4 A 8si n 4 A = 1 - cos2A + cos4A + 2 8si n 4 A = 3 - cos2A + cos4A se n 4 A = 3 8 - 1 2 cos2A + 1 8 cos4A


A = 1 si n 4 A (1) = 3/8 - 1/2 cos 2 (1) + 1/8 cos 4 (1) 0 = 0

9.NOVENO EJERCICIO


se n 5 A = 5 8 senA - 5 16 sen3A + 1 16 sen5A sin5A = sin (2A + 3A) sin5A = sin2A cos3A + sin2A cos3A sin5A = 3sinA - 4si n 2 A co s 2 A - si n 2 A + 2sinA cosA

( 4co s 3 A 5cosA) sin5A = 3sinA - 4si n 2 A + 4si n 4 A - si n 2 A + 2sin 4A (1 - si n 2 A ) (1 -

si n 2 A ) - 2sin A 3co s 2 A sin5A = 5sinA - 5si n 2 A + 4si n 4 A - 2si n 3 A + 8si n 5 A 8si n 5 A = 5sinA - 5si n 2 A + 4si n 4 A - 2si n 3 A + sin 5A


Figure 17:

grafica 17



A = 0

si n 5 (0) = 5/8 sin(0) - 5/16 sin 3 (0) + 1/16 sin 5 (0) 0 = 0

10.DECIMO EJERCICIO

a)Demostración Anlítica

se n 6 A = 5 16 - 15 32 cos2A + 3 16 cos4A - 1 32 cos6A cos6A = cos (3A +3A) cos6A = cos3A cos3A - sin3A sin3A cos6A = ( 4co s 3 A - 3cosA) ( 4co s 3 A - 3cosA) - (3sinA 4si n 3 A ) (3sin

A - 4si n 3 A ) cos6A = 16co s 6 A - 12co s 4 A - 12co s 4 A + 9co s 2 A - 9(1 - co s 2 A ) +

12(1 - co s 2 A ) (1- co s 2 A ) (1 - co s 2 A ) + 16(1 - co s 2 A ) (1 - co s 2 A )(1 - co s 2 A )

cos6A = 32cosA + 24co s 4 A - 30co s 2 A + 19 30co s 6 A = cos6A + 24co s 4 A - 30co s 2 A + 19 si n 6 A = 5 16 - 15 32 cos2A + 3 16 cos4A - 1 32 cos6A



Figure 20:grafica 20e


A = 0 si n 6 A (0) = 5/16 - 15/32 cos 2 (0) + 3/16 cos (0) - 1/32 cos 6 (0) 0 = 0

CONCLUCIONES

1. El trabajo consto de la parte analitica, ademas de una comprobacion grafica ynumerica.

2. En la parte grafica las graficas eran exactamente iguales ya que el procesofue realizado exitosamente.

3. Utilizamos seno y coseno para realizar la correcta comprobacion de losejercicios.

4. Al realizar este trabajo observamos que en la comprovacion grafica seobserva simetria.

5. Para la parte analitica se necesitan muchas formulas trigonometricas paraterminar con exito el ejercicio.

6. The objective of this work is to achieve equality in each exercise proposed.

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