Problemas resueltos El rango

4.1 Calcule el rango de los conjuntos a) 12,6,7,3,15,10,18,5 y b) 9,3,8,8,9,8,9,18.

SOLUCIN

En ambos casos, rango = nmero mayor - nmero menor = 18 - 3 = 15. Sin embargo, al considerar el orden de los conjuntos: ) 3,5,6,7,10,12,15,18 b) 3,8,8,8,9,9,9,18 hay mucho ms variacin o dispersin en ) que en b). De hecho, b) consta principalmen-te de ochos y nueves.

Puesto que el rango no indica la diferencia entre los conjuntos, no es una buena medida de dispersin, en este caso. Por lo general, cuando se presentan valores extremos, el rango es una mala medida de dispersin.

Se consigue una mejora eliminando los valores extremos, 3 y 18. Entonces, para el conjunto ) el rango es (15 - 5) = 10, mientras que para el conjunto b) el rango es (9 - 8) = 1, lo que muestra claramente que a) tiene una mayor dispersin que b). Sin embargo, el rango no se define de esta manera. El rango semiintercuartilar y el rango percentilar 10-90 permiten mejorar el rango eliminando los casos extremos.

4.2 Encuentre el rango de estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ, mostra-das en la tabla 2-1.

SOLUCIN

Existen dos formas de definir el rango para datos agrupados.

Primer mtodo

Rango = marca de clase de la clase ms alta - marca de clase de la clase ms baja = 73-61 = 12pulg

Segundo mtodo

Rango = frontera superior de la clase ms alta - frontera inferior de la clase ms baja = 74.5 -59.5 = 15 pulg

El primer mtodo tiende a eliminar los casos extremos en cierto grado.

Problemas resueltos 95

La desviacin media

4.3 Calcule la desviacin media de los conjuntos de nmeros del problema 4.1.

SOLUCIN

a) La media aritmtica es

- _ 12 + 6 + 7 + 3 + 1 5 + 10+18 + 5 _ 76 x - - - y - 9 - 5

DM

La desviacin media es

N

[12 - 9.5| + |6 - 9.5| + 7 - 9.5| + |3 - 9.5| + |15 - 9.5| + |10 - 9.5| + |18 - 9.5| + |5 - 9.5| 8

2.5 + 3.5 + 2.5 + 6.5 + 5.5 + 0.5 + 8.5 + 4.5 34 = = 4.25

b) ? 9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9+18 = 72 = 9

D M = E l * - * ! N

|9 - 9| + |3 - 9| + [8 - 9| + |8 - 9| + |9 - 9| + |8 - 9| + |9 - 9] + [18 - 9[ 8

0 + 6 + l + l + 0 + l + 0 + 9 ^ 2 2 5

La desviacin media indica que el conjunto b) muestra menor dispersin que el conjunto a), como debe ser.

4.4 Cul es la desviacin media de las estaturas de los 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ (vase la tabla 3-2 del problema 3.20)?

SOLUCIN

Del problema 3.20, X = 67.45 pulg. El procedimiento se ordena como en la tabla 4-1. Tambin se puede plantear un mtodo de codificacin para calcular la desviacin media (vase el problema 4.47).

Tabla 4-1

Estatura (pulg) Marca de clase (X) I X - X I = IX-67.451 Frecuencia ( / ) / I X - X I

60-62 61 6.45 5 32.25 63-65 64 3.45 18 62.10 66-68 67 0.45 42 18.90 69-71 70 2.55 27 68.85 72-74 73 5.55 8 44.40

yv = E / = i o o f\X - X\ = 226.50

Y) / I X - XI 226.50 ^ , DM = J ' . . = . = 2.26pulg N 100

4.5 Determine el porcentaje de estudiantes del problema 4.4 cuya e s u c m o a c a d rango a) X DM, b) X 2DM, c) X 3DM.

U l O 4 U La desviacin estndar y otras medidas de dispersin

SOLUCIN

a) El rango entre 65.19 y 69.71 pulg es X DM = 67.45 2.26. Este rango incluye a todos los individuos de la tercera clase + $(65.5 _ 65.19) de los estudiantes de la segunda clase + j(69.71 - 68.5) de los estudiantes de la cuarta clase (como el tamao del intervalo de clase es de 3 pulg, la frontera superior de la segunda clase es de 65.5 pulg y la frontera inferior de la cuarta clase es de 68.5 pulg). El nmero de estudian-tes en el rango X DM es:

42+ ^ ( 1 8 ) + ^ - ( 2 7 ) = 42+ 1.86+ 10.89 = 54.75 o 55

que es 55% del total. b) El rango entre 62.93 y 71.97 pulg es_X 2DM = 67.45 2(2.26) = 67.45 + 4,52. El

nmero de estudiantes en el rango X 2DM es

18 - ( 6 2 - 9 3 3 - 6 2 - 5 ) ( 1 8 ) + 4 2 + 2 7 + ( 7 1 - 9 7 3 - 7 1 - 5 ) ( 8 ) = 85.67 u 86

que es 86% del total. c) El rango entre 60.67 y 74.23 pulg es_ X 3DM = 67.45 3(2.26) = 67.45 6.78. El

nmero de estudiantes en el rango X 3DM es

5 \ / 74 5 - 74 23 \

- j (5) + 18 + 42 + 27 + 3 j (8) = 97.33 o 97

que es 97% del total.

El rango semiintercuartilar 4.6 Calcule el rango semiintercuartilar para la distribucin de estaturas de los estu-

diantes de la universidad XYZ (vase la tabla 4-1 del problema 4.4).

SOLUCIN

Los cuartiles inferior y superior son g, = 65.5 + (3) = 65.64 pulg y g 3 = 68.5 + $(3) = 69.61 pulg, respectivamente, y el rango semiintercuartilar (o desviacin cuartilar) es Q = h(Qj - gi) - 2(69.61 - 65.64) = 1.98 pulg. Obsrvese que 50% de los casos estn entre g, y g 3 (es decir, 50 estudiantes miden entre 65.64 y 69.61 pulg).

Se puede considerar a \{QX + g 3) = 67.63 pulg como una medida de tendencia central (es decir, una estatura promedio). Sucede que 50% de las estaturas caen en el rango 67.63 1.98 pulg.

4.7 Encuentre el rango semiintercuartilar para los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (vase la tabla 2-5 del problema 2.3).

SOLUCIN

Del problema 3.44, g, = $268.25 y g 3 = $290.75. Por lo tanto, el rango semiintercuartilar Q = Qw (g 3 - gi) = ($290.75 - $268.25) = $11.25. Ya que $(g, + g 3) = $279.50, se puede concluir que 50% de los empleados reciben salarios en el rango de $279.50 $11.25.

El rango percentilar 10-90 4.8 Cul es el rango percentilar 10-90 de las estaturas de los estudiantes de la univer-

sidad XYZ (vase la tabla 2-1)?

SOLUCIN

Aqu, ^ , 0 = 62.5 + ft(3) = 63.33 pulg y P90 = 68.5 + i ( 3 ) = 71.27 pulg. Por lo tanto, el rango percentilar 10-90 es P 9 0 - Pw = 71.27 - 63.33 = 7.94 pulg. Dado que l(Pm + Pm) = 67.30 pulg y 2CP90 _ ^10) = 3.97 pulg, es posible concluir que la estatura de 80% de los estudiantes cae en el rango 67.30 3.97 pulg.

Problemas resueltos

La desviacin estndar 4.9 Busque la desviacin estndar para cada uno de los conjuntos de nmeros del

problema 4.1.

SOLUCIN

r_ZX _ 12 + 6 + 7 + 3+15 + 10+18 + 5 _ 76 X ~ N ~ 8 ~~ 8 _ 9 5

N

(12 - 9.5)2 + (6 - 9.5)2 + (7 - 9.5)2 + (3 - 9.5)2 + (15 - 9.5)2 + (10 - 9.5)2 + (18 - 9.5)2 + (5 - 9.5)2

\/23.75 = 4.87

? _ 9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9 + 18 72

N

(9 - 9) 2 + (3 - 9) 2 + (8 - 9) 2 + (8 - 9) 2 + (9 - 9) 2 + (8 - 9) 2 + (9 - 9) 2 + (18 - 9) 2

= %/5 = 3.87 Tales resultados deben compararse con los resultados del problema 4.3. Se podr

apreciar que la desviacin estndar indica que el conjunto b) muestra menor dispersin que el conjunto a). Sin embargo, el efecto est enmascarado por el hecho de que los valores extremos afectan a la desviacin estndar mucho ms que a la desviacin media. Esto es de esperarse, ya que las desviaciones se elevan al cuadrado al calcular la desvia-cin estndar.

4.10 Las desviaciones estndar de los dos conjuntos de datos del problema 4.1 se obtu-vieron por medio de Minitab, cuyos resultados se muestran a continuacin. Com-pare las respuestas con las obtenidas en el problema 4.9.

MTB > p r i n t e l s e t l

12 6 7 3 15 10 18 5 MTB > p r i n t c2 s e t 2

9 3 8 8 9 8 9 18 MTB > s t a n d a r d d e v i a t i o n e l

C o l u m n S t a n d a r d D e v i a t i o n

S t a n d a r d d e v i a t i o n o f s e t l = 5 . 2 1 MTB > s t a n d a r d d e v i a t i o n c2

C o l u m n S t a n d a r d D e v i a t i o n

S t a n d a r d d e v i a t i o n o f s e t 2 = 4 .14

SOLUCIN

El programa Minitab utiliza la frmula

E(x-x)2 N - 1

Z-r _ . C - La desviacin estndar y oirs medidas de dispersin

por consiguiente, las desviaciones estndar no son iguales en los problemas 4.9 y 4.10. Las respuestas del problema 4 .10 se pueden obtener a partir de las respuestas del problema 4.9, si multiplica por V A / / ( V - 1). Puesto que N = 8 en ambos conjuntos VN/(N^ 1 ) = 1.069045, y para el conjunto 1: (1.069045)(4.87) = 5.21, la desviacin estndar dada por Minitab. De forma similar, (1.069045)(3.87) = 4.14, la desviacin es-tndar dada por Minitab para el conjunto 2.

4.11 Encuentre la desviacin estndar de las estaturas de los 100 estudiantes de la uni-versidad XYZ (vase la tabla 2-1).

SOLUCIN

De los problemas 3.15, 3.20 o 3.22, X= 67.45 pulg. El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 4-2.

Tabla 4-2

Estatura (pulg) Marca de clase (X) X-X=X-67.45 ( X - X ) 2 Frecuencia ( / ) X-X)2

60-62 61 - 6 . 4 5 41.6025 5 208.0125

63-65 64 - 3 . 4 5 11.9025 18 214.2450

66-68 67 - 0 . 4 5 0.2025 42 8.5050

69-71 70 2.55 6.5025 27 175.5675

72-74 73 5.55 30.8025 8 246.4200

N == yj / = oo Ef(x-x)1 = 852.7500

Clculo de la desviacin estndar para datos agrupados

4.12 a) Pruebe que

= . / E * 2 (Hx N

b) Utilice la frmula del inciso a) para calcular la desviacin estndar del con-junto de 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

SOLUCIN

) Por definicin,

Entonces s> = ^ X ~ = ^ ~ 2 * X + X 1 ) = T,X2 -2XJ2X + NX* N N N

= ^ ! _ 2 X ^ + X 2 = ^ - - 2 X 2 + X 2 = ^ - X 2 N N N N

Problemas resueltos

Obsrvese que en las sumas anteriores se utiliz la forma abreviada, con X en lugar de Xjy Z en lugar de 2jL|.

Otro mtodo

s2 = (X - X)2 - X2 - 2XX + X2 = X2- 2XX + X2 = X2- 2XX + X2 = X2 - X1

yi^Z*2^ (12)2 + (6)2 + (7)2 + (3)2 + (15)2 + (10)2 + (18)2 + (5)2 _ 912 N 8 8

^ _ E ^ _ ' 2 + 6 + 7 + 3 + 15+ 10+ 18 + 5 76 n c X-~~- 8 - Y ' 9 5

Por lo tanto = JX2 - X2 = V i 14 - 90.25 = ^23.75 = 4.87

Este mtodo debe compararse con el del problema 4.9a).

4.13 Modifique la frmula del problema 4.12a) para permitir frecuencias correspon-dientes a los diversos valores de X.

SOLUCIN

La modificacin adecuada es

Igual que en el problema 4.12a), esto puede establecerse iniciando con

f(x - x)2

Entonces s

N

f(x - xf = E /(x z - 2xx + X2) = E fx2 - 2xz fx + x 2 E / N N N

= TJx^_2XTJx + x2=^^--2x2 + x2 = ^J^-x2 N N N N

= E / y 2 (EJX\2 N \ N J

Efx2 (Yjxy N \ N )

Vase que en las sumas anteriores se utiliz la forma abreviada, con X y/en lugar de Xj yfi, X en lugar de y X ^ i / = N.

4.14 Con la frmula del problema 4.13, calcule la desviacin estndar para los datos de la tabla 4-2 del problema 4.11.

SOLUCIN

El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 4-3, donde X = CEjXYS' = como se obtuvo en el problema 3.15. Obsrvese que este mtodo, al igual que d dd problema 4.11, implica muchos clculos tediosos. El problema 4.17 murara CMO d mtodo de codificacin simplifica los clculos de forma importante.

O r l A O 4 Lo desviacin estndar y otras medidas de dispersin

Tabla 4-3

Estatura (pulg) Marca de clase (X) X2 Frecuencia ( / ) fX1

60-62 61 3 721 5 18 605 63-65 64 4 096 18 73 728 66-68 67 4 489 42 188 538 69-71 70 4 900 27 132 300 72-74 73 5 329 8 42 632

N = y j / = oo y j fX2 = 455 803

4.15 S i / = X - A son las desviaciones de X, respecto de una constante arbitraria A, demuestre que

SOLUCIN

Dado que d = X-A, X = A+ dy X = A +d (vase el problema 3.18), entonces

X-X = {A + d)-(A + d) = d-d

usando el resultado del problema 4.13 y reemplazando X y X por dyd, respectivamente.

Otro mtodo

j 2 = {x - x)2 = {d - d)2 = d2 -idd + 31

= 72-2? + ? = T2-d^ = ^f- (Z^y

cuyo resultado contina tomando la raz cuadrada positiva.

4.16 Pruebe que si cada marca de clase X en una distribucin de frecuencias que tiene intervalos de clase c del mismo tamao se codifica con un valor correspondiente u, de acuerdo con la relacin X = A + cu, donde A es una marca de clase dada, enton-ces la desviacin estndar podra escribirse como

Ifu2 (Ifu) N N

; V 2 - u 2

SOLUCIN

Se deduce del problema 4.15, ya que d = X - A = cu. Por lo tanto, ya que c es una constante

Problemas resueltos 101

Otro mtodo

Tambin se puede probar el resultado de manera directa sin utilizar el problema 4.15. Si X = A + cu, X = A + cuy X - X= c{u-u), entonces:

s2 = (X - Xf = c2(u - f = c2(u2 - 2u + 2) = c2{u2 - 2a2 + 2) = c2{u2 - 2

4.17 Calcule la desviacin estndar de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (vase la tabla 2-1) usando a) la frmula obtenida en el problema 4.15 y b) el mtodo de codificacin del problema 4.16.

SOLUCIN

En las tablas 4-4 y 4-5, A se eligi arbitrariamente como la marca de clase 67. Obsrvese que en la tabla 4-4 las desviaciones d = X-A son mltiplos del tamao del intervalo de clase c = 3. Este factor se elimin de la tabla 4-5. Como resultado, los clculos en la tabla 4-5 estn muy simplificados (comprelos con los de los problemas 4.11 y 4.14). Por ello, debe utilizarse el mtodo de codificacin siempre que sea posible.

a) Vase la tabla 4-4

Tabla 4-4

Marca de clase (X) d = X-A Frecuencia ( / ) M fd2

61 - 6 5 -30 180 64 -3 18 -54 162

A 67 0 42 0 0 70 3 27 81 243 73 6 8 48 288

N = / = 100 / = 45 fd2 = 873

b) Vase la tabla 4-5

Tabla 4-5

Marca de clase (X) X-A

u = c

Frecuencia ( / ) fu

61 -2 5 -10 20 64 - 1 18 -18 18

A-+61 0 42 0 0 70 1 27 27 27 73 2 8 16 32

N = / = 100 y f>? = 97 -

E / 2 fT.fi* N N

= 3 97_ 100 (oo) 3^0.9475 = 2.92 i

desviacin estndar y otras medidas de dispersin

Tabla 4-9

K + l / / ( " + ! ) / ( + 1 ) 2

-5 4 - ? n 100 -4 9 -36 144 -3 16 -48 144 -2 28 -56 112 - 1 45 -45 45

0 66 0 0 1 85 85 85 2 72 144 288 3 54 162 486 4 38 152 608 5 27 135 675 6 18 108 648 7 11 77 539 8 5 40 320 9 2 18 162

N = / = 480 = 716 / ( u + l ) 2 = 4 356

4.22 Para la segunda distribucin de frecuencias del problema 2.8 indique a) la media, b) la desviacin estndar, c) la desviacin estndar utilizando la correccin de Sheppard y d) la desviacin estndar de los datos no agrupados.

SOLUCIN

El procedimiento se muestra en la tabla 4-10.

Tabla 4-10

X u / fu fu1

122 -3 3 -9 27 131 -2 5 -10 20 140 - 1 9 -9 9

-149 0 12 0 0 158 1 5 5 5 167 2 4 8 16 176 3 2 6 18

N = / = 40 E fu = -9 E M = 95

X = A + c = A + c^-^-= 149 + 9^-1^) = 147.01b

c) Varianza corregida = s2-c2 2= 188.27-9712= 181.52. Desviacin estndar corre-gida = 13.5 Ib.

Problemas resueltos 105

d) Para obtener la desviacin estndar, a partir de los pesos de los estudiantes dados en el problema, es conveniente primero restar un nmero adecuado, por ejemplo A = 150 Ib, de cada peso y despus usar el mtodo del problema 4.15. Las desviaciones d = X-A = X-\5Qst presentan en la siguiente tabla:

-12 14 0 -18 -6 -25 -1 7 -4 8 -10 -3 -14 -2 2 -6 18 -24 -12 26 13 -31 4 15 -4 23 -8 -3 -15 3 -10 -15 11 -5 -15 -8 0 6 -5 -22

de donde se encuentra que X = -128 y Xa"2 = 7 052. Entonces

s x ^ = jlL(Mt =jmJim)2 =V666 =12.9 Ib y N { N ) \ 40 y 4o j

Por lo tanto, la correccin de Sheppard proporcion una mejora en este caso.

Relaciones empricas entre medidas de dispersin

4.23 Para la distribucin de las estaturas de los estudiantes en la universidad XYZ, discuta la validez de las frmulas empricas a) desviacin media = i (desviacin estndar) y b) rango semiintercuartilar = i (desviacin estndar).

SOLUCIN

) De los problemas 4.4 y 4.11, desviacin media + desviacin estndar = 2.26/2.92 = 0.77, que es cercano a f.

b) De los problemas 4.6 y 4.11, rango semiintercuartilar + desviacin estndar = 1.98/ 2.92 = 0.68, que es cercano a 1.

Por lo tanto, las frmulas empricas son vlidas en este caso. Obsrvese que en lo anterior no se utiliz la desviacin estndar con la correccin de

Sheppard para el agrupamiento, ya que no se realiz la correccin correspondiente para la desviacin media o el rango semiintercuartilar.

Propiedades de la desviacin estndar 4.24 Determine el porcentaje de los C I para los estudiantes del problema 4.19 que caen

dentro de los rangos a) Xs,b) X 2s y c) X 3s.

SOLUCIN

a) El rango de los CI de 85.5 a 106.4 es X s = 95.97 10.47. El nmero de CI en el rango X s es

88 - 85.5 \ / 106.4-104 (45) + 66 + 85 + 72 + 54 + ^ 1 0 6 4 ^ 1 0 4 ^ ( 3 8 ) = 339

'76 - 75.0

El porcentaje de CI en el rango X s es 339/480 = 70.6%. b) El rango de los CI de 75.0 a 116.9 es X 2s = 95.97 2(10.47). El numen de C

el rango X 2s es

/116.9- l l \ ^ _ - i (9) + 16 + 28 + 45 + 66 + 85 + 72 + 54 + 38 - 2^ - 18 - (

El porcentaje de CI en el rango X 2s es 451/480 = 94.0%.

T l A O A La desviacin estndar y otras medidas de dispersin

c) El rango de los CI de 64.6 a 127.4 es X 3s = 95.97 3(10.47). El nmero de CI en el rango X 3s es

4 8 0 - ( 1 2 8 - 1 2 7 - 4 ) ( 2 ) = 4 7 9 . 7 o 480

El porcentaje de CI en el rango X 3s es 479.7/480 = 99.9%, que prcticamente es 100%.

Los porcentajes de los incisos a), b) y c) coinciden con lo esperado en una distribu-cin normal: 68.27%, 95.45% y 99.73%, respectivamente.

Obsrvese que no se utiliz la correccin de Sheppard para la desviacin estndar. Si se utiliza, los resultados en este caso coinciden con los anteriores. Ntese adems que los resultados pueden obtenerse tambin con la tabla 4-11 del problema 4.32.

4.25 Dados los conjuntos 2,5, 8,11,14 y 2, 8, 14, calcule a) la media de cada uno, b) la varianza de cada uno, c) la media de los conjuntos combinados y d) la varianza de los conjuntos combinados.

SOLUCIN

a) Media del primer conjunto = \{2 + 5 + 8 + 11 + 14) = 8. Media del segundo conjunto = i(2 + 8 + 14) = 8.

b) Varianza del primer conjunto = s] = i [(2 - 8)2 + (5 - 8)2 + (8 - 8)2 + (11 - 8)2 + (14 -8)2] = 18. Varianza del segundo conjunto = s\= J[(2 - 8)2 + (8 - 8)2 + (14 - 8)2] = 24.

c) La media de los conjuntos combinados es:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 2 + 8+14 5 + 1 " 8

d) La varianza de los conjuntos combinados es:

= (2 - 8)2 + (5 - 8) 2 + (8 - 8) 2 + (11 - 8) 2 + (14 - 8) 2 + (2 - 8) 2 + (8 - 8) 2 + (14 - 8) 2 = J Q 2 5 + 3

Otro mtodo (por frmula)

2 _N{s2 + N2s = (5)(18) + (3)(24) = N\ + N2 5 + 3

4.26 Resuelva el problema 4.25, con los conjuntos 2, 5, 8, 11, 14 y 10, 16, 22.

SOLUCIN

Aquilas medias de los dos conjuntos son 8 y 16, respectivamente, mientras que las varianzas son iguales que las de los conjuntos del problema anterior, es decir, s]= 18 y s\ = 24.

. , u . 2 + 5 + 8 + 11 + 14+10+16 + 22 Media de los conjuntos combinados = 5 + 3 =

2 _ ( 2 - l l ) 2 + (5 - l l ) 2 + ( 8 - l l ) 2 + (11 - l l ) 2 + (14 - l l ) 2 + (10 - l l ) 2 + (16- l l ) 2 + (22 - l l ) 2

5 + 3 = 35.25

Obsrvese que la frmula

2^NiSi + N2s S Ni + N2

que da el valor 20.25, no es aplicable en este caso, ya que las medias de los dos conjuntos no son iguales.

Problemas resueltos 107

4.27 a) Compruebe que w 2 + pw + q, donde p y q son constantes dadas, es un mnimo si y slo si w - -\p.

b) Usando el inciso a), pruebe que

o brevemente = N N

es un mnimo si y slo si a = X.

SOLUCIN

a) Se tiene w2 +pw + q=(w+Jp)2 + q-\p2. Dado que (q-\p2) es una constante, el valor de la expresin es mnimo (es decir, es un mnimo) si y slo si w+jp=0 (es decir, w=-jp).

b ) Z(X-af ^Z(X2-2aX + a2) = ZX2-2aj:x + Na2 _ j 2 ^ X | E * 2

N N N N N

Comparando esta ltima expresin con (w2 + pw + q), el resultado es

*L1 q-^x N N Por lo tanto, la expresin es un mnimo cuando a = - i p = (}JQIN = X, usando el resultado del inciso a).

Dispersin absoluta y relativa: coeficiente de variacin

4.28 Un fabricante produce dos tipos de dispositivos para televisiones, A y B, los cuales tienen una duracin media de XA = 1 495 horas y XB - 1 875 horas, respectivamen-te, as como desviaciones estndar de sA = 280 horas y sB - 310 horas. Cul dispo-sitivo posee ) la mayor dispersin absoluta y b) la mayor dispersin relativa?

SOLUCIN

a) La dispersin absoluta de A es s = 280 horas y la de B es sB = 310 horas. Por lo tanto, el dispositivo B tiene la mayor dispersin absoluta.

b) Los coeficientes de variacin son

A = i - = = 18.7% B = - = = 16.5% XA 1496 XB 1875

Por lo tanto, el dispositivo A cuenta con la mayor variacin o dispersin relativa.

4.29 Cul es el coeficiente de variacin V para los datos a) del problema 4.14 y b) del problema 4.18 ? Utilice las desviaciones no corregidas y las corregidas para encon-trar el resultado.

SOLUCIN

\ A \ (nocorregida) 2.92 . a) Vino corregida) = = = 0.0433 = 4.3% 6 X 67.45

V(corregida)= ^ c o r r f g ' d a ) = 2J1. = 0,0413 = 4 , 1 % p 0 r e l problema4.21) 6 X 67.45

,N 1// -A x -s(no corregida) 15.60 b) V(no corregida) = =^-2- = = 0.196= 19.6^

' B X 79.77 V(corregida) = s ( C 0 T T l g d a ) = ^ = 0.192 = 19.2* por d prote i4JZt

6 X 79.77

- ^VIUIO 4 Lo desviacin estndar y otras medidas de dispersin

4.30 a) Defina una medida de dispersin relativa que pueda utilizarse para un conjun-to de datos cuyos cuartiles son conocidos.

b) Ilustre el clculo de la medida definida en el inciso a), usando los datos del problema 4.6.

SOLUCIN

a) Si se conocen Qx y g 3 de un conjunto de datos, entonces J ( 2 I + Q->) es una medida de tendencia central o promedio de los datos, mientras que Q = \(Q3 - Qi), el rango semiintercuartilar, es una medida de dispersin de los datos. Por tanto, una medida de dispersin relativa se puede definir como:

k(Q3-Q Qi-Qx r (1

el cual se llama el coeficiente de variacin cuartilar o coeficiente de dispersin rela-tiva cuartilar.

b) VQ = *LZ*L = 6 9 6 1 1 6 5 6 4 = JL = 0.0293 = 2.90/c Q Qi + Qi 69.61 +65.64 135.25

Variable estandarizada: medidas estndar 4.31 Un estudiante obtuvo una calificacin de 84 en un examen final de matemticas, cuya

calificacin media fue 76 y cuya desviacin estndar fue 10. En el examen final de fsica, donde la media fue 82 y la desviacin estndar 16, el mismo estudiante obtu-vo una calificacin de 90. En qu materia tuvo una posicin relativa mayor?

SOLUCIN

La variable estandarizada z = (X - X)ls mide la desviacin de X respecto de la media X en trminos de la desviacin estndar s. Para matemticas, z = (84 - 76)/10 = 0.8; para fsica. z = (90 - 82)/16 = 0.5. Por lo tanto, el estudiante obtuvo una calificacin a 0.8 de una desviacin estndar sobre la media de matemticas, pero slo 0.5 de una desviacin es-tndar sobre la media en fsica. As, su posicin relativa fue ms alta en matemticas.

La variable z = (X - X)ls con frecuencia se utiliza en pruebas acadmicas, donde se conoce como una medida estndar.

4.32 ) Convierta los CI del problema 4.19 en medidas estndar y b) construya una grfica de frecuencias relativas contra medida estndar.

SOLUCIN

a) El procedimiento para la conversin de los datos en medidas estndar puede ordenar-se como en la tabla 4-11.

Frecuencia relativa (%)

FIGURA 4-2

Problemas complementarios 109

Tabla 4-11. X = 96.0, s = 10.5

CI(X) X-X X - X

s Frecuencia ( / ) Frecuencia relativa

(/)/JV(%)

66 -30.0 -2.86 0 0.0 70 -26.0 -2.48 4 0.8 74 -22.0 -2.10 9 1.9 78 -18.0 -1.71 16 3.3 82 -14.0 -1.33 28 5.8 86 -10.0 -0.95 45 9.4 90 -6.0 -0.57 66 13.8 94 -2.0 -0.19 85 17.7 98 2.0 0.19 72 15.0

102 6.0 0.57 54 11.2 106 10.0 0.95 38 7.9 110 14.0 1.33 27 5.6 114 18.0 1.71 18 3.8 118 22.0 2.10 11 2.3 122 26.0 2.48 5 1.0 126 30.0 2.86 2 0.4 130 34.0 3.24 0 0.0

480 100

En la tabla, para su uso en el inciso b), se agregaron las marcas de clase de los CI 66 y 130, cuya frecuencia es cero. Adems, no se utiliz la correccin de Sheppard para la desviacin estndar; las medidas corregidas para este problema seran prcti-camente las mismas (con la precisin indicada) a las que se muestran en la tabla 4-11.

b) La grfica de frecuencias relativas contra medidas z (polgono de frecuencias relati-vas) se muestra en la figura 4-2. El eje horizontal se mide en unidades de desviacin estndar s. Ntese que la distribucin es moderadamente asimtrica y que est un poco sesgada hacia la derecha.