UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UNA SUPERFICIE A PARTIR DE SU ECUACIÓN CARTESIANA.

07112011

Cortes Morales Francisco Javier

Garduño León Shirley

González Sosa Emmanuel

González Gómez Antonio Uriel

Mani Alberto

Pérez Arellano Alberto Aarón

Pérez Soto José Noé

Rojo Rodea Emmanuel

Rangel Rangel Joana A.

Vázquez Dávalos Leonardo

Introducción:

Durante el curso de geometría analítica se ha estudiado detalladamente la parte vectorial

de los conocimientos preliminares para el estudio del cálculo vectorial, y del cálculo en el

espacio.

En el segundo tema del temario de geometría analítica llamado: Curvas en el plano polar,

se vio que era muy ventajoso discutir la ecuación de una curva antes de trazar la gráfica

correspondiente. Así mismo resultara en este tema estudiar la curva antes de trazar su

gráfica.

En el tema número IV en el que se estudió “La recta y el plano en el espacio” analizamos

un tipo de superficie: el plano. Que la representábamos por la siguiente ecuación.

Ax + By + Cz + D = 0

En este subtema nos interesa identificar a través de las ecuaciones cartesianas de una

superficie cuádrica identificar sus características.

Para esto ocuparemos nuestros conocimientos adquiridos a lo largo del curso de los temas

anteriores y definiremos nuevos conceptos tales como superficie, superficie cuádrica, etc.

Para este tema ya se conocen tres tipos de superficie:

Esfera (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z – z0)2 = r2

Plano Ax + By + Cz + D = 0

Cilindro: x2 + y2 = a2

En esta investigación se analizan las superficies cuádricas.

Investigación:

Definición:

Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas

satisfacen una ecuación de la forma:

F(x,y,z) = 0 tal que(x,y,z) pertenecen al conjunto de los números reales

La definición establece que si una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 representa un lugar

geométrico es una superficie, y recíprocamente si una superficie puede representarse

analíticamente tal representación es una sola ecuación de la forma F(x,y,z) = 0.

Como se mencionó en la introducción… “En el segundo tema era muy ventajoso discutir la

ecuación de una curva antes de trazar la gráfica correspondiente.” En este tema será igual

si no es que hasta más ventajoso discutir la curva antes de construirla, debido a que estas

a diferencia de las del tema dos son en el espacio.

Nuestro análisis lo restringiremos a los cinco siguientes puntos.

1. Intersecciones con los ejes coordenados.

2. Trazas sobre los planos coordenados.

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

5. Extensión de la superficie.

Definición

Las pruebas para determinar simetría de una superficie a partir de su ecuación pueden

obtenerse por los mismos métodos empleados para deducir las pruebas análogas para las

curvas planas.

Analicemos la siguiente tabla.

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a un plano de simetría ϕ si el simétrico de cada

punto de la superficie, respecto al plano ϕ, es también un punto de la superficie

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando las variables x,y,z son remplazadas por

La superficie es simétrica con respecto al

–x,y,z Plano yz

x,-y,z Plano xz

x,y,-z Plano xy

-x,-y,z Eje z

-x,y,-z Eje y

x,-y,-z Eje x

-x,-y,-z Origen

Los tres teoremas siguientes constituyen un resumen de estos resultados

1. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de una de las

variables, la superficie es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del

cual se mide la variable, y recíprocamente.

2. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando e les cambia el signo a dos de

sus variables, la superficie es simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del

cual se mide la variable cuyo signo no se cambió, y recíprocamente.

3. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando sus tres variables cambian de

signo, la superficie se simétrica con respecto al origen y recíprocamente.

Superficies cuádricas:

Como se ha mencionado en la introducción de antemano ya se conocían tres tipos de

superficies

Esfera (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z – z0)2 = r2

Plano Ax + By + Cz + D = 0

Cilindro: x2 + y2 = a2

El Cuarto tipo de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son los

análogos tridimensionales de las secciones conicas.

Las Superficies Cuádricas en el espacio es una ecuación de segundo grado en tres variables. La forma general es:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz +Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0. La ecuación de una superficie cuadrica: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico, y paraboloide hiperbólico

Por lo menos dos de los seis coeficientes A, B, C, D, E, y F es diferente de 0

Es ventajoso analizar las siguientes expresiones:

I. Mz2 + Ny2 + Pz2 = R

II. Mx2 + Ny2 =Sz

Las superficies del tipo I. Tienen un centro de simetría, el origen, y por esto se llaman

cuádricas con centro.

Las superficies del tipo II. No tienen centro de simetría y se llaman por lo tanto, cuádricas

sin centro.

Con la ayuda de una tabla podremos analizar de manera más eficaz nuestras superficies.

Podremos por ejemplo, con la ayuda de la tabla, que, si uno o más coeficientes son cero,

el lugar geométrico, si existe. Las podremos encontrar entre las siguientes superficies:

cilindro y cono rectos, y a ciertas formas degeneradas que constan d de dos planos

diferentes, dos planos coincidentes, o un solo plano, dos planos que se cortan, una sola

recta, y un punto.

Si ningún coeficiente es cero, las tablas muestran que el lugar geométrico, si existe.

A la intersección de una superficie con un plano se le llama traza de la superficie en el

plano. Para visualizar la superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en algunos

planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuadricas son cónicas.

Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie la

presentamos en la siguiente tabla. Además agregamos la tabla que nos ayuda a identificar

la superficie, con las ecuaciones del tipo I y tipo II.

Tabla I

Tabla II

Tabla III

Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en su forma

canónica o estándar. Después, se determina varas trazas en los planos coordenados o en

planos pararlos a los planos coordenados.

Ejemplo: Trazado de una superficie cuádrica

Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 – 3y

2 + 12z

2 + 12 = 0

1. Primero dividimos entre 12

2. Se pasa a su forma canónica o estándar

Con las tablas de las páginas anteriores podemos concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie convienes hallar las trazas en planos coordenados. Traza xy ( z = 0) = Hipérbola Traza xz ( y = 0) = No Hay traza Traza yx ( z = 0) = Hipérbola

Ejemplo: Trazado de una superficie cuádrica no centrada en el origen

Clasificar y dibujar la superficie dada por x2 + 2y

2 + z

2 – 4x + 4y – 2z + 3 = 0

Solución: Al completar el cuadrado de cada variable se obtiene:

(x2 – 4x + ) + 2(y

2 + 2y + ) + (z

2 – 2z + ) = - 3

(x2 – 4x + 4) + 2(y

2 + 2y + 1 ) + (z

2 – 2z + 1 ) = -3 + 4 + 2 + 1

(x – 2)2

+ 2(y + 1)2 + (z - 1)

2 = 4

En esta ecuación se puede ver que la superficie cuádrica es un elipsoide centrado en el punto (2, -1, -1).

Ejercicios

La siguiente ecuación representa una superficie cuádrica. Identifíquela y ubique su centro de simetría: x2 - 4y2 - 2z2 +16y - 4z -21 = 0.

Sí S = { (x, y, z) Î IR3/ 9y2 - x2 = 9} . ¿Qué lugar geométrico representa S?. Indique un gráfico aproximado de S.

Identificar y bosquejar la superficie dada por la ecuación: 4x2 + y2 + z2 - 8x = 0.

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto (2,-1,3) es dos veces su

distancia al plano XY, corresponde a una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de esta

superficie, identificarla y situar su centro de simetría.

Conclusiones:

Las superficies cuádricas tienen bastantes aplicaciones en la vida cotidiana y mas, en la

ingeniería y en la arquitectura.

La Catedral de St. Mary construida en el año 1970, en San Francisco, Estados Unidos,

diseñada por Paul A. Ryan y John Lee, con los ingenieros consultores Pier Luigi Nervi de la

Universidad de Roma y Pietro Bellaschi MIT, Estados Unidos. Su cima es una cúpula en

forma de paraboloide hiperbólico de 60,46 m3 sostenida por cuatro pilares.

El Restaurant Los Manantiales en Xochimilco aquí en nuestra Ciudad de México, está

diseñado por el hispano mexicano Félix Candela (1910-1997), está formado por ocho

partes iguales de paraboloides hiperbólicos. Félix Candela, uno de los más grandes

diseñadores de estructuras de concreto armado, probaba sus realizaciones haciendo subir

sobre ellas a todo el personal de la construcción.

La forma, el volumen y la estructura hiperboloide son generados por dos elipses, uno a

nivel de la fundación y el otro en un plano horizontal imaginario justo por encima de los

450 metros de altura. El endurecimiento causado por la rotación entre las dos elipses

formas que caracterizan la "cintura" de la torre, y una densificación de los materiales. Esto

significa que la estructura reticular, que en la parte inferior de la torre es porosa y

espaciosa, se vuelve más densa a nivel de la cintura. El mismo "adelgaza" la cintura, como

una soga retorcida, más arriba de la torre de la red se abre de nuevo, acentuado aquí por

la disminución de la columna estructural de los tubos.

Apéndice

Clasificación de las Cuádricas

det A00 0

= 3

det A > 0 Elipsoide Real

det A < 0 Elipsoide Imaginario

det A = 0 Cono Imaginario

= 1

det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico

det A < 0 Hiperboloide Elíptico

det A = 0 Cono Real

det A00 = 0

det

A0

J > 0 Paraboloide Elíptico

J < 0 Paraboloide Hiperbólico

det A

= 0

J >

0

K' 0 , signo K' = signo I Cilindro

elíptico imaginario

K' 0 , signo K' signo I Cilindro

elíptico real

K' = 0 Par de planos imaginarios

secantes

J <

0

K' 0 Cilindro hiperbólico

K' = 0 Par de planos reales secantes

J =

0

I 0

K' 0 Cilindro Parabólico

K' = 0, J' > 0 Par de planos imaginarios

paralelos distintos

K' = 0, J' < 0 Par de planos reales

paralelos distintos

K' = 0, J' = 0 Par de planos

coincidentes

Respuestas a los ejercicios propuestos.

La siguiente ecuación representa una superficie cuádrica. Identifíquela y ubique su centro de simetría: x2 - 4y2 - 2z2 +16y - 4z -21 = 0.

Respuesta:

Se trata de un hiperboloide de dos hojas con su centro de simetría en el punto (0,2,-1).

Sí S = { (x, y, z) Î IR3/ 9y2 - x2 = 9} . ¿Qué lugar geométrico representa S? Indique un gráfico aproximado de S.

Respuesta:

Se trata de un cilindro hiperbólico.

Respuesta:

Arreglamos la ecuación con el fin de completar cuadrados de binomios.

4x2 - 8x +y2 + z2 = 0

4(x2 - 2x) + y2 + z2 = 0

4(x-1)2 -4 + y2 + z2 = 0

4(x-1)2 + y2 + z2 = 4, dividiendo por 4 queda

Se trata de un elipsoide

Respuesta:

Del enunciado se puede plantear la siguiente ecuación:

Elevando al cuadrado esta ecuación queda de la forma

(x-2)2 + (y+1)2 + (z-3)2 = 4z2

(x-2)2 + (y+1)2 + (z-3)2 - 4z2 = 0

(x-2)2 + (y+1)2 + z2 - 6z + 9 - 4z2 = 0

(x-2)2 + (y+1)2 + -3(z2 +2z -3) = 0

(x-2)2 + (y+1)2 + -3(z+1)2 +12 = 0

(x-2)2 + (y+1)2 + -3(z+1)2 = -12

dividiendo por -12, se tiene

Se trata de un hiperboloide de dos hojas, con centro de simetría en (2,-1,-1).

Bibliografía:

RON, LARSON. CÁLCULO. NOVENA EDICIÓN, MCGRAW-HILL INTERAMERICANA. CHINA 2009

CHARLES, LEHMANN. GEOMETRIA ANALÍTICA. HISPANO AMERICANA. MÉXICO 1965.

JERROLD E. MARSDEN EDICIÓN: 5ª. PEARSON ADDISON-WESLEY. ESPAÑA 2009

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/index.html

http://es.scribd.com/doc/29598351/Superficies-cuadricas

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Cilindros_y_superficies_cuadr%C3%A1ticas

http://www.fortunecity.es/imaginapoder/apunte/454/superf2web.htm