3

DETERMINANTES

3.1 Introducción

En numerosas aplicaciones del Álgebra lineal a la Geometría y al Análisisel concepto de determinante desempeña un papel importante. Este capítulo estudialas propiedades fundamentales de los determinantes y algunas de sus aplicaciones.

En el Volumen 1 se introdujeron los determinantes de segundo y tercer ordencomo una notación útil para expresar ciertas fórmulas en forma compacta. Re-cordemos que el determinante de segundo orden se definió mediante la fórmula

(3.1) Ia11

a121 = alla22 - a12a21'

A pesar del parecido de la:2~o::iones, el determinante Ia11 a12

/ (escrito cona21 a22

dos barras verticales) es conceptualmente distinto de la matriz [a11a

12J (cona21 a22

dos corchetes). El determinante es un número asignado a la matriz y que secalcula con la fórmula (3.1). Para acentuar esta conexión también escribimos

Ia11 a121 = det [a11 a12J.a21 a22 a21 a22

Los determinantes de tercer orden se definieron en el Volumen 1 en funciónde determinantes de segundo orden mediante la fórmula

[

a11 a12 a13]det a21 a22 a23 = a11 I :::

a31 a32 a33

(3.2)

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88 Determinantes

Este capítulo considera el caso más general, el determinante de una matriz cua-drada de orden n para cualquier entero n 2': 1. Nuestro punto de vista consiste entratar el determinante como una función que asigna a cada matriz cuadrada Aun número llamado determinante de A y que se indica por det A. Se puede definiresa función por medio de una fórmula que generaliza (3.1) y (3.2). Tal fórmulaes una suma que contiene n! productos de elementos de A. Para valores grandesde n esa fórmula es de difícil manejo y se usa poco en la práctica. Es preferibleestudiar los determinantes desde otro punto de vista que ponga de manifiesto conmayor claridad sus propiedades esenciales. Tales propiedades, importantes enlas aplicaciones, se tomarán como axiomas para definir una función determinante.En principio, nuestro plan constará de tres partes: 1) Justificar-la elección de losaxiomas. 2) Deducir otras propiedades de los determinantes a partir de los axio-mas. 3) Demostrar que existe una función y sólo una que satisfaga a talesaxiomas.

3.2 Justificaciónde la elección de los axiomas para una función determinante

En el Volumen 1 se demostró que el producto mixto de tres vectoresAl , A2 , A3 en E3 puede expresarse como el determinante de una matriz cuyasfilas son los vectores dados. Así tenemos

donde Al = (a11, a12, a13)' A2 = (a21, a22, a23)' i Y A3 = (a31, a32, a33)'Si las filas son linealmente independientes el producto mixto no es nulo;

el valor absoluto del producto es igual al volumen del paralelepípedo determinadopor los ~res vectores Al , A2 , A3 • Si las filas son linealmente dependientes el pro-ducto mixto es nulo. En tal caso Al , A2 , A3 son coplanarios y el paralelepípedodegenera en una figura plana de volumen nulo.

Algunas de las propiedades del producto mixto justifican la elección de losaxiomas para una función determinante en el caso n-dimensional. Para estableceres~s propiedades en f~~ma apta para la generalización, consideramos el productomIxt~, como una función de los tres vectores fila Al , A2 , A3• Designamos estafunción por d; así pues,

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Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante 89

Centremos nuestra atención en las propiedades siguientes:a) Homogeneidad en cada fila. Por ejemplo, la homogeneidad en la primera

fila establece que

b) Aditividad en cada fila. Por ejemplo, la aditividad en la segunda filaSignifica que

para todo vector C.e) El producto mixto es nulo si dos de las filas son iguales.d) Normalización:

d(i,j, k) = 1, donde i = (1,0, O), j = (0,1, O), k = (0,0,1)

Cada una de esas propiedades puede comprobarse fácilmente a partir de laspropiedades de los productos escalar y vectorial. Algunas son sugeridas por larelación geométrica entre el producto mixto y el volumen del paralelepípedo de-terminado por los vectores geométricos Al, A2 , Aa. El significado geométricode la propiedad aditiva b) en un caso particular es de especial interés. Si toma-mos e = Al en b) el segundo término del segundo miembro es cero en virtudde e), y la relación b) se transforma en

(3.3)

Volumen = d(A,. A,. AJ Volumen = d(A,.A, + A"A,,)

FIGURA 3.1Interpretación geométrica de la propiedad d(A, A" Al) = d(A" A, + .A" Al)' Los dos

paralelepípedos tienen volúmenes iguales.

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90 Determinantes

Esta propiedad se pone de manifiesto en la figura 3.1 que representa un paralele-pípedo determinado por Al' A2 ,Aa, Y otro determinado por Al, Al + A2 ,Aa.La igualdad (3.3) establece que esos dos paralelepípedos tienen volúmenes iguales.Geométricamente ello es evidente ya que los paralelepípedos tienen alturas igualesy bases de igual área.

3.3 Conjunto de axiomas que definen una función determinante

Las propiedades del producto mixto mencionadas en la sección anteriorpueden generalizarse con facilidad y utilizarse como axiomas para determinantesde orden n. Si A = (ai¡) es una matriz n X n con elementos reales o complejos',designemos sus filas por Al , ... ,An • Así, la fila i-ésima de A es un vector en Endado por

Consideremos el determinante como una función de las n filas Al , ... ,An y de-signemos su valor por d(Al, ... , An) o por det A.

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE UNA FUNCIÓN DETERMINANTE. Una función convalores reales o complejos d, definida para cada n componentes ordenadas delos vectores Al, ... , An en En, se denomina función determinante de orden nsi satisface los siguientes axiomas cualesquiera que sean los vectores Al, ... , An

y e en En:AXIOMA 1. HOMOGENEIDAD EN CADA FILA. Si se multiplica la k-ésima fila

Ak por un escalar t, el determinante queda también multiplicado por t:

d( ... , tAk, ••• ) = t d( ... , Ak, ••• ).

AXIOMA 2. ADITIVIDAD EN CADA FILA. Para cada valor de k tenemos

AXIOMA 3. EL DETERMINANTE SE ANULA SI DOS FILAS CUALESQUIERA SONIGUALES:

d(Al. , ... , An) = O si Ai = Al (para ciertos i y j tales que i =1=j.)

AXIOMA 4. EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ IDENTIDAD ES IGUAL Al:

d(1l , ... , In) = 1, siendo 1k el k-ésimo vector coordenado unidad .

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Conjuntos de axiomas que definen una función determinante 91

Los dos primeros axiomas establecen que el determinante de una matriz esuna función lineal de cada una de sus filas. Con frecuencia esto se expresa di-ciendo que el determinante es una función multilineal de sus filas. Aplicandoreiteradamente la linealidad a la primera fila podemos escribir

siendo t, , ... , tp escalares y C1 , ••• , Cp vectores cualesquiera de En.A veces se utiliza una versión particular del axioma 3:

AXIOMA 3'. EL DETERMINANTE SE ANULA SI DOS FILAS CONSECUTIVAS SONIGUALES:

si Ak = Ak+1 para un cierto k = 1, 2, ... , n - 1 .

Se demuestra más adelante que para un n dado existe una y sólo una funciónd que satisface los axiomas 1, 2, 3' Y 4. El teorema que sigue da únicamente laspropiedades de los determinantes deducidas a partir de los axiomas 1, 2, Y 3'.Una de esas propiedades es el axioma 3. Se observará que el axioma 4 no seutiliza en la demostración de este teorema. Tal observación será de utilidad másadelante cuando demostremos la unicidad de la función determinante.

TEOREMA 3.1. Una función determinante que satisfaga los axiomas 1, 2, Y3' tiene además las siguientes propiedades:

a) El determinante se anula si alguna fila es o:

si Ak = O para algún k.

b) El determinante cambia de signo si se intercambian dos filas consecutivas:

d( ... , Ak, Ak+1' ••• ) = -d( ... , Ak+1' Ak, ••• ).

e) El determinante cambia de signo si dos filas cualesquiera Ai y A¡ coni =1= j se intercambian.

d) El determinante se anula si son iguales dos filas cualesquiera:

si Ai = A¡ para un par i, ¡, con i =Pj .

e) El determinante se anula si sus filas son linealmente dependientes.

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92 Determinantes

Demostración. Para demostrar a) tomemos simplemente t = O en el axio-ma 1. Para demostrar b), sea B una matriz que tenga las mismas filas que Aexcepto las filas k y k + 1. Sean las filas B, y Bk+l iguales a Ak + Ak+l' Enton-ces según el axioma 3' der R = O . Así podemos escribir

Aplicando la propiedad aditiva a las filas k y k + 1 podemos escribir esa igualdaden la forma:

d( ... , Ak, Ak, ... ) + d( ... , Ak, Ak+1, ... ) + d( , Ak+!> Ak, )

+ d( , Ak+1, Ak+!> ) = O.

Los términos primero y cuarto son nulos en virtud del axioma 3'. Luego el segundo y tercer términos son opuestos, lo que demuestra b),

Para demostrar e) podemos suponer que i < ;. Se pueden intercambiar lasfilas A y A¡ efectuando un número impar de transposiciones de filas consecutivas.Primero transponemos la fila A¡ sucesivamente con las filas A¡-l , A¡-2 , ... , Ai •

Esto exige ; - i transposiciones. Luego la fila Ai la transponemos sucesivamentecon las filas Ai+1 , Ai+2 , ••• , A¡-l . Esto supone; - i - 1 transposiciones. Cadatransposición o intercambio de filas consecutivas invierte el signo del determi-nante. El número total de cambios de signo es pues (;-i)+(j-i-1)=2(j-i)-1que es un número impar, lo que demuestra c).

Para demostrar d), sea B la matriz obtenida invirtiendo en A las filas A¡y A¡. Puesto que Ai = A¡, se tiene B = A Y por tanto det B = det A. Pero,según e) det B = - det A . Por consiguiente det A = O.

Para demostrar e) supongamos que existen los escalares 01 , ••• , en , no todosnulos, tales que L~=1 ckAk = O. Entonces toda fila Ak con ci. =1=O puede expre-sarse como combinación lineal de otras filas. Para mayor sencillez, supongamosque Al es combinación lineal de las otras, por ejemplo Al = L~=2t~k' En virtudde la linealidad de la primera fila tenemos

Pero cada término d(Ak , A2 , ... , An) de la última suma es cero ya que Ak esigual por lo menos a una de las filas A2 , ••• , An• Luego toda la suma es cero.Si la fila Ai es una combinación lineal de las otras filas, razonamos en formaanáloga, utilizando la linealidad en la fila i. Esto demuestra e).

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Cálculo de determinantes 93

3.4 Cálculo de determinantes

Al llegar aquí puede ser instructivo calcular algunos determinantes, utilizan-do tan sólo los axiomas y las propiedades del teorema 3.1, suponiendo siempreque las funciones determinantes existen. En cada uno de los ejemplos que siguenno aplicamos el axioma 4 hasta ei final del cálculo.

EJEMPLO 1. Determinante de una matriz 2 X 2. Queremos demostrar que

Escribamos los vectores fila como combinaciones lineales de los vectores coorde-nados unitarios i = (1, O) Yj = (O, 1) :

Utilizando la linealidad en la primera fila tenemos

Utilizándola nuevamente en la segunda fila se obtiene

d(i, A2) = d(i, a21i + a22j) = a21d(i, i) + a22d(i,j) = a22d(i,j),

puesto que d (i, i) =O. Del mismo modo encontramos

Por tanto obtenemos

Pero d (i,j) = 1 según el axioma 4, con lo que d(A1, A2) = a11a22- a12a21comose afirmó.

Este razonamiento demuestra que si una función determinante existe paralas matrices 2 X 2, debe tener necesariamente la forma (3.4). Recíprocamente,es fácil comprobar que esa fórmula define, efectivamente, una función determi-nante de orden 2. Por consiguiente hemos demostrado que existe una y sólo unafunción determinante de orden 2.

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94 Determinantes

EJEMPLO 2. Determinante de una matriz diagonal. Una matriz cuadradade la forma

A=

se denomina matriz diagonal. Cada elemento aij no perteneciente a la diagonalprincipal, (i =1= j) es cero. Vamos a demostrar que la determinante de A es igualal producto de los elementos pertenecientes a la diagonal

(3.5)

La fila k de A es el producto de un escalar por el k-ésimo vector coordenadounidad, Ak = akk h.Aplicando repetidamente la propiedad de homogeneidad llegamos a

Esta fórmula puede escribirse en la forma

det A = an ... ann det 1,

en donde 1 es la matriz identidad. El axioma 4 nos dice que det 1 = 1, con lo queobtenemos (3.5).

EJEMPLO 3. Determinante de una matriz triangular superior. Una matrizcuadrada de la forma

"n "12 "In

O "22 "2n

u=

se llama matriz triangular superior. Todos los elementos situados por debajo de

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Cálculo de determinantes 95

la diagonal principal son nulos. Vamos a demostrar que el determinante de unatal matriz es igual al producto de los elementos de la diagonal principal,

det U = UnU22 ••• Unn •

Demostramos primero que det U = O si algún elemento u« de la diagonalprincipal es U¡¡ = O. Si el último elemento de esa diagonal u"" es cero, la últimafila es O y det V = O en virtud del teorema 3.1 a). Supongamos, ahora, que seanulo algún elemento U¡¡ (no precisamente el Unn). Sea por ejemplo U2.2 = O. Enton-ces cada uno de los n - 1 vectores fila V2 , ••• , Un tienen sus dos primeros comoponentes nulos. Por tanto esos vectores generan un subespacio cuya dimensiónes por lo menos n - 2. De ahí que esas n - 1 filas (y por tanto todas las filas) seanlinealmente dependientes. Según el teorema 3.1 e), det U = O. Del mismo modose demuestra que det U = O, si es cero cualquier elemento de la diagonal prin-cipal.

Vamos a demostrar ahora el caso general. Escribamos la primera fila VI comouna suma de dos vectores-fila,

siendo VI = [Ull , O, ... , O] Y VI = [O, U12 , ••• , U1n]. En virtud de la linea-lidad en la primera fila tenemos

det U = det(VI, U2, ••• , Un) + det(V{, U2, ••• , Un).

Pero det(V~, U2 , ••• , Un) = O ya que éste es el determinante de una matriztriangular superior con un elemento nulo en la diagonal principal. Luego tenemos

(3.6) det U = det (VI' U2, ••• , U~).

Tratemos ahora el vector-fila V2 en forma análoga, expresándolo como una suma,

siendo

V2 = [O,U22, O,... , O] y V~ = [O, O, U23' ••• , u2n] •

Hagamos esto en el segundo miembro de (3.6) y apliquemos la linealidad en lasegunda fila con lo que obtenemos

(3.7) det U = det (VI' V2, U3, ••• , Un),

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96 Determinantes

ya que det(V, , V~ , U3 , ••• , Un) = O. Repitiendo el razonamiento para cada unade las filas que siguen en el segundo miembro de (3.7) obtenernos finalmente

donde (V, , V2 , ••• , Vn) es una matriz diagonal con los mismos elementos que Uen la diagonal principal. Por consiguiente, según el ejemplo 2, tenernos

det U = UnU22'" Unn,

corno deseábamos demostrar.EJEMPLO 4. Cálculo por el método de Gauss-lordan. El método de elimi-

nación de Gauss- Jardan para resolver sistemas de ecuaciones lineales es tambiénuno de los mejores métodos para el cálculo de determinantes. Recordemos queel método consiste en la aplicación de tres tipos de operaciones a las filas de lamatriz:

1) Transposición de dos filas.2) Multiplicación de todos los elementos de una fila por un escalar no nulo.3) Adición a una fila del producto de otra por un escalar.

Efectuando una y otra vez esas operaciones de manera sistemática podernos trans-formar cualquier matriz cuadrada A en una matriz triangular superior U cuyodeterminante sabernos ya calcular. Es fácil determinar la relación entre det Ay det U. Cada vez que se realiza la operación 1) el determinante cambia de signo.Cada vez que se efectúa 2) con un escalar e =f'= O, el determinante se multiplicapor c. Si se efectúa 3) el determinante no varía. Por consiguiente, si la operación 1)se efectúa p veces y si Cl , ••• , cq son los factores escalares que se utilizan enla operación 2), se tiene

(3.8)

Observemos nuevamente que esta fórmula es consecuencia tan sólo de los tresprimeros axiomas. Su demostración no depende del axioma 4.

3.5 El teorema de unicidad

En el ejemplo 3 de la sección anterior se demostró que los axiomas 1, 2, Y 3implican la fórmula det U = UnUzz ••• Unn det l. Combinando ésta con (3.8) vemosque para toda matriz A,nxn, existe un escalar e (que depende de A) tal que

(3.9)

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Ejercicios 97

Además, esta fórmula es consecuencia únicamente de los axiomas 1, 2 Y 3. A partirde este resultado fácilmente podemos demostrar que no puede existir más deuna función determinante.

TEOREMA 3.2. TEOREMA DE UNICIDAD PARA LOS DETERMINANTES. Sea duna función que satisfaga los cuatro axiomas que caracterizan una función deter-minante de orden n, y sea f otra función que satisfaga los axiomas 1, 2 Y 3. En-tonces, elegido un sistema cualquiera de vectores Al , ... , A" del espacio n-di-mensional tenemos

(3.10)

En particular, si f satisface también el axioma 4 --tenemos f(A 1 , ••• , An) == d(A1 , ••• , A,,).

Demostración. Sea g(AI, .oo, An)=f(A1, oo., An)- d(A" .oo, An)j(11' oo., In).Demostraremos que g(A1, oo., An)=O cualesquiera que sean Al' oo., An. Puesto qued y f satisfacen ambas los axiomas 1, 2 Y 3 lo mismo le ocurre a g. Luego g tam-bién satisface la ecuación (3.9) ya que ésa se dedujo a partir de los tres primerosaxiomas exclusivamente. Podemos escribir por tanto

(3.11)

en donde e es un escalar que depende de A. Tomando A = 1 en la definiciónde g y teniendo en cuenta que d satisface el axioma 4 encontramos

Por consiguiente, la ecuación (3.11) se convierte en g(A1, ••• ,An) = O. Estocompleta la demostración.

3.6 EjerciciosEn este conjunto de ejercicios debe suponerse la existencia de una función determinante.

Los determinantes de orden 3 pueden calcularse con la fórmula (3.2).1. Calcular cada uno de los determinantes siguientes.

a) 4 -4, b)

3

5

-1

oO

4

8

7

2

a 1 O

2

2

O 2

e) 2

O

a

a

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98 Determinantes

2. Si det r: ~ ~]II 1 1

a) l: ':].= 1, calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes:

y

3y

Y + 1

3. a) Demostrar que a b e = (b - a)(e - a)(e - b).

a2 b2 e2

b) Hallar las correspondientes fórmulas para los determinantes

a b e y a2 b2 e2

a3 b3 e3 a3 b3 e3

4. Calcular los determinantes de cada una de las siguientes matrices transformando cadauna de ellas en una matriz triangular superior.

[;-1

_:J [; ;} [~ ;}-1 -1 b e b ea) -1 -1 '

b)b2 e2

e)b2 e2

-1 a3 b3 e3 d3 b4 e4 d4

a O O 0--1 -1 -1

4 a 2 O O-1 -1

d) O 3 a 3 O e)-1 -1 -1

O O 2 a 4-1 -1

O O O a-1 -1 -1

5. Una matriz triangular inferior A = (a,¡) es una matriz cuadrada que tiene nulos todoslos elementos situados por encima de la diagonal principal; esto es, a., = O siempre quej < j. Demostrar que el determinante de una tal matriz es igual al producto de loselementos de la diagonal principal: det A = ana'2 .•• ann•

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Producto de determinantes. 99

6. Sean t, /" g" g, cuatro funciones derivables en un intervalo (a, b). Se define

para cada x de (a, b). Demostrar que

7. Establecer y demostrar una generalización del ejercicio 6 para el determinante

fl(X) f2(X) fa(x)

F(x) = gl (x) g2(X) ga(x)

h1(x) h2(x) ha (x)

8. a) Si F() /f1(X) f2(X) 1, demostrar que F'(x) = Ifl(X) f2(X) l.x = f{(x) f;(x) /{'(x) f2N(X) .

b) Establecer y demostrar un resultado análogo para determinantes 3 X 3, suponiendola validez de la ecuación (3.2).

9. Sean U y V dos matrices triangulares superiores nX n.a) Demostrar que U + V y UV son matrices triangulares superiores.b) Demostrar que det (UV) = (det U)(det V).e) Si det U~O demostrar que existe una matriz triangular superior U-' tal que UU-'=l,y deducir que det (U-') = l/det U.

10. Calcular det A, det (A -'), Y A -1 para la siguiente matriz triangular superior:

3.7 Producto de determinantes

En esta sección utilizamos el teorema de unicidad para demostrar que eldeterminante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto desus determinantes,

det (AB) = (det A)(det B),

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100 Determinantes

Recordemos que el producto AB de dos matrices A = (aij) y B = (bij) es lamatriz C = (Cij) cuyo elemento ij viene dado por la fórmula

(3.12) "ei; =I aikbk1 •

k=l

El producto está definido únicamente si el número de columnas del factor de laizquierda A es igual al número de filas del factor de la derecha B. Esto ocurresi A y B son matrices cuadradas del mismo orden.

En la demostración de la fórmula para el producto se hace uso de unasencilla relación que existe entre las filas de AB y las de A. La establecemos comoun lema. Como de costumbre, designamos con Ai la fila i de la matriz A.

LEMA 3.3. Si A es una matriz m x.n y B una matriz n x p, se tiene

(AB)i = AiB.

Esto es, la fila i del producto AB es igual al producto de la fila Ai por B.

Demostración. Designemos con BJ la columna j de B y sea C = AB. En-tonces la suma (3.12) puede considerarse como el producto escalar de la fila ide A por la columna j de B,

Por tanto la fila i, Ci, es la matriz fila

Pero ésta es también el resultado de la multiplicación de la matriz fila Ai por B,ya que

Por consiguiente C¡ = AB, lo que demuestra el lema

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Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular 101

TEOREMA 3.4. FÓRMULA PARA MULTIPLICAR DETERMINANTES. Para dos ma-trices n X n cualesquiera A y B tenemos

det (AB) = (det A)(det B).

Demostración. Puesto que (AB)i = A;B, tenemos que demostrar que

Volviendo a utilizar el lema también tenemos B, = (lB)i = LB, donde 1 es lamatriz identidad n X n. Por consiguiente d(Bl, ... , Bn) = d(llB , ... ,1nB), y te-nemos que demostrar que

Mantengamos B fija e introduzcamos una función f definida por la fórmula

La igualdad que deseamos demostrar establece que

(3.13)

Es ahora asunto fácil comprobar que f satisface los axiomas 1, 2 Y 3 relativos auna función determinante, con lo que, en virtud del teorema de unicidad, laigualdad (3.13) es válida para cualquier matriz A. Esto completa la demostración.

En las dos seccciones que siguen se exponen aplicaciones de la fórmula delproducto.

3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular

Recordemos que una matriz cuadrada A se llama no singular si tiene unainversa B por la izquierda tal que BA = I. Si existe una inversa por la izquierdaes única y es también inversa por la derecha, AB = l. Designemos la inversa porA-l. La relación entre det A y det A-l es la que podía esperarse.

TEOREMA 3.5. Si una matriz A es no singular, entonces det A =1= O Y tenemos

(3.14) detA-1= _1_.det A

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102 Determinantes

Demostración. Según la fórmula del producto tenemos

(det A)(det A-l) = det (AA-l) = det 1 = l.

Luego det A =1= O Y (3.14) es cierta.

El teorema 3.5 demuestra que la no anulación de det A es una condición neocesaria para que A sea no singular. Más adelante demostraremos que esa con-dición es también suficiente. Esto es, si det A =1= O existe A-l.

3.9 Determinantes e independencia de vectores

Del teorema 3.5 puede deducirse un sencillo criterio para averiguar la inde-pendencia de vectores.

TEOREMA 3.6. Un conjunto de n vectores Al, ... , An de un espacio n-di-mensional es linealmente independiente si y sólo si d(Al , ••• , An) =1= O.

Demostración. Ya demostramos en el teorema 3.2 e) que la dependencialineal implica d(Al, ••• , An) = O. Para demostrar el recíproco, se supone queAl , ... , A•• son linealmente independientes y se prueba que d(Al , ••. , An) =1= O.

Designemos con Vn el espacio lineal de las n-pIas de escalares. Puesto queAl , ... , A•• son n elementos independientes en un espacio n-dimensional, forma-rán una base para Vn• Según el teorema 2.12 existe una transformación linealT: Vn ~ Vn que aplica esos n vectores en los vectores coordenadas unidad,

T(Ak) = Ik para k = 1, 2, ... , n,

Existe pues una matriz B, n X n, tal que

A,.B = Ik para k = 1, 2, ... , n.

Pero según el lema 3.3 tenemos AkB = (ABh, siendo A la matriz con las filasAl' ... ',A••. Luego AB = 1, así que A es no singular y det A =1= O.

J.tO Determinante de una matriz diagonal en bloques

Una matriz cuadrada e de la forma

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Determinante de una matriz diagonal en bloques 103

en la que A y B son matrices cuadradas y cada O representa una matriz de ceros,se denomina matriz diagonal en bloques con dos bloques A y B. Como ejemplosea la matriz 5 X 5.

-1 O O O 0-O O O O

c= O O 2 3

O O 4 5 6

O O 7 8 9

Los bloques diagonales son en este caso

B~[ 2 :lA = [~ ~] y 5

8

El teorema que sigue demuestra que el determinante de una matriz diagonalen bloques es igual al producto de los determinantes de sus bloques diagonales.

TEOREMA 3.7. Para dos matrices cuadradas cualesquiera A y B se tiene

(3.15) det [~ ~] = (det A)( det B) .

Demostración. . Supongamos que A es n X n y B es m X m. Observemos quela matriz diagonal en bloques dada, puede expresarse como un producto de laforma

[A O] = [A O][ln 0JO B O r; O Bdonde In e L« son matrices identidad de órdenes n y m respectivamente. Por con-siguiente, según la fórmula del producto para determinantes tenemos

(3.16) [A O] [A O] [In O]det = det det •O B O r; O B

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104 Determinantes

Consideremos ahora el determinante det [A 0J como una función de n filas° 1m

de A. Esto es posible debido al bloque de ceros del ángulo superior derecho.Resulta fácil comprobar que esta función satisface los cuatro axiomas de unafunción determinante de orden n. Por consiguiente, en virtud del teorema deunicidad, debe ser

0] = detA.1m

[In 0]Análogamente se demuestra que det ° B = det B. Luego (3.16) implica(3.15).

3.11 Ejercicios

1. Para cada una de las proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar unademostración o poner un contraejemplo.

a) det (A + B) = det A + det B.b) det {(A + B)2} = {det (A + B)}2e) det {(A + B)2} = det (A2 + 2AB + B2)d) det f (A + B)2} = det (A2 + B2) .

2. a) Extender el teorema 3.7 a matrices con tres bloques diagonales:

[A 00]

det O B O = (det A)(det B)(det C).

O O e

b) Establecer y demostrar una generalización del teorema para matrices con un númerocualquiera de bloques diagonales.

3 Sea A = [~ O ::] B = [: ; ;0' :l].nemostrar que det A = det [: :]

. :;;:' ::y que det B = det [: ;l

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Fórmulas para desarrollar determinantes 105

4. Establecer y demostrar una generalización del ejercicio 3 para matrices n Xn.

5. Sea A = [: : ~ ~] .Demostrar que det A = det [a bJ det [g h].efgh cd zw

x y z w

6. Establecer y demostrar una generalización del ejercicio 5 para matrices n x n de la forma

donde B, e, D son matrices cuadradas y O es una matriz de ceros.7. Aplicar el teorema 3.6 para determinar si los siguientes conjuntos de vectores son lineal-

mente dependientes o independientes.

a) Al = (1, -1, O), A2 = (O, 1, -1), As = (2,3, -1).b) Al = (1, -1,2,1), A2 = (-1,2, -1, O), As = (3, -1,1, O), A4 = (1, O,0,1).e) Al = (1, O,O,0,1), A2 = (1, 1, O,O,O), As = (1, 0,1, 0,1), A4 = (1, 1, 0,1,1),

A6 = (O, 1, O, 1, O).

3.12 Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores

No hemos demostrado todavía la existencia de una función determinante,excepto en el caso 2 X 2. En esta sección utilizamos la linealidad y el teorema deunicidad para demostrar que, si existen determinantes, pueden calcularse medianteuna fórmula que expresa cualquier determinante de orden n como una combi-nación lineal de determinantes de orden n-l. La igualdad (3.2) de la sección 3.1es un ejemplo de esa fórmula en el caso 3 X 3. La fórmula general sugerirá unmétodo para demostrar por inducción la existencia de funciones determinantes.

Toda fila de una matriz A, n X n, puede expresarse como una combinaciónlineal de los n vectores coordenados unidad 11 , ••• , In. Por ejemplo, la primerafila Al puede escribirse como sigue:

n

Al =!al¡!l'1=1

Puesto que los determinantes son lineales respecto a la primera fila tenemos

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106 Determinantes

Por consiguiente para calcular det A basta calcular d(I¡ , A2 , ••• , An) para cadavector coordenado unidad J¡.

Utilicemos la notación A~¡ para representar la matriz obtenida de A reempla-zando la primera fila Al por el vector unitario J¡. Por ejemplo, si n = 3 existentres matrices de ese tipo:

[1 O 0j

A~1 = a21 a22 a23 ,

a31 a32 a3[O 1 0j

A~2 = a21 a22 a23 ,

a31 a32 a3

O

Observemos que det A~¡= di]¡ , A2 , ••• , An). La igualdad (3.17) puede ahoraescribirse en la forma

(3.18)n

det A = ~a1i det A~i'j~1

Esta es una fórmula de desarrollo; y en ella se expresa el determinante de Acomo una combinación lineal de los elementos de su primera fila.

El razonamiento utilizado para deducir (3.18) puede aplicarse a la fila k enlugar de hacerlo con la primera. El resultado es una fórmula de desarrollo enfunción de los elementos de la fila k.

TEOREMA 3.8. DESARROLLO POR COFACTORES. Sea A'k¡ la matriz obtenidade la matriz A al sustituir la fila k de Ak por el vector coordenado unidad J¡.Se obtiene entonces la fórmula de desarrollo

(3.19)n

det A = ~ aki det A~ij~1

que expresa el determinante de A como combinación lineal de los elementos dela fila k. El número det A~i se llama coiactor o adjunto del elemento ak¡.

En el teorema que sigue demostraremos que cada cofactor es, salvo el signo,igual al determinante de una matriz de orden n - 1 . Esas matrices se llamanmenores.

DEFINICIÓN. Dada una matriz cuadrada A de orden n ;::2, la matriz cua-drada de orden n-1 obtenida suprimiendo la fila k y la columnaj de A se llamamenor k,j de A y se designa por Ak¡ .

ETEMPLO. Una matriz A = (ak¡) de orden 3 tiene nueve menores. Tres deellas son

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Fórmulas para desarrollar determinantes 107

La igualdad (3.2) expresa el determinante de una matriz 3 X 3 como unacombinación lineal de los determinantes de esas tres menores. La fórmula puedeescribirse como sigue:

det A = an det Au - a12 det Al2 + a13 det A13•

El siguiente teorema extiende esa fórmula al caso n X n para cualquier n ~ 2.

TEOREMA 3.9. DESARROLLO POR LAS MENORES CORRESPONDIENTES A LA FILA

k. Para cualquier matriz A, nv;n, n ~ 2,el cojactor de ak;está relacionado conla menor Ak; por la fórmula

(3.20)

Por consiguiente, el desarrollo del det A en función de los elementos de la fila kviene dado por la fórmula

(3.21)n

det A = 1(-1)k+iaki det Aki.i=l

Demostración. Consideremos primero el caso particular k = i = 1 . La ma-triz A'l1 tiene la forma

100 O

A~l =

Aplicando las operaciones elementales del tipo (3) a las filas, podemos convertiren ceros todos los elementos situados debajo del 1 en la primera columna, dejandoinvariables los demás elementos. Por ejemplo, si multipltcamos la primera fila deA;l por -~'l y sumamos el resultado a la segunda fila, la nueva segunda fila será(O, a22 , a23 , ••• , a2f1l). Por medio de una sucesión de esas operaciones elementales

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108 Determinantes

con las filas obtenemos una nueva matriz que designaremos con A~l y que tienela forma

1 OO a22O a32

A~l =

O an2

O

Puesto que las operaciones con las filas del tipo (3) no modifican el determinantetenemos

(3.22)

Pero A~l es un matriz diagonal en bloques, así que, en virtud del teorema 3.7,tenemos

det A~l = det An,

siendo An la menor 1,1 de A,

Por consiguiente det A~l = det All, 10 que demuestra (3.20) para k = j = 1.Consideremos seguidamente el caso particular k = 1, j cualquiera, y demos-

tremos que

(3.23)

Una vez demostrada (3.23) la fórmula (3.20) más general resulta inmediatamente,debido a que la matriz A~i puede transformarse en una matriz de la forma Bi

imediante k-l intercambios sucesivos de filas adyacentes. El: determinante cam-bia de signo en cada transposición, así que

(3.24)

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Fórmulas para desarrollar determinantes 109

siendo B una matriz n X n cuya primera fila es J; y cuya menor 1,i, Bl;, es Ak; .Según (3.23), tenemos

con lo que (3.24) nos da

Por lo tanto si demostramos (3.23) también demostramos (3.20).Vamos ahora a demostrar (3.23). La matriz A~j tiene la forma

o 1 o

Mediante operaciones elementales con las filas del tipo (3) introduzcamos unacolumna de ceros debajo del 1 y la transformamos en

o O 1 O Oa21 a2,j-l O a2,i+l a2n

A~i =

Como antes, el determinante no varía, así que det A~j = det A~i' La matriz menorAl; tiene la forma

Consideremos seguidamente el det Afj como una función de las n - 1 filas de A1í ,

pongamos det Afj = !(Al;) • La función! satisface los tres primeros axiomas de

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110 Determinantes

una función determinante de orden n - 1 . Por consiguiente, según el teorema deunicidad podemos escribir

(3.25) f(A1i) =f(J) det A1i ,

en donde 1 es la matriz identidad de orden n-l. En consecuencia, para demos-trar (3.23) debemos demostrar que f(J) = (_1)i-1• Por definición f(n es-el deter-minante de la matriz

o ... O 1 O O

1 O O O O

.~.. .

. .c= O 1 O O O ~ Fila j

O O O 1 O

.~.. .

. .O O O O ... 1

iColumna j

Los elementos situados en las líneas oblicuas son todos iguales a 1. Los res-tantes elementos no escritos son todos O. Intercambiando la primera fila de Csucesivamente con las filas 2,3, ... .i llegamos a la matriz identidad 1 de ordenn X n después de j - 1 transposiciones. El determinante cambia de signo en cadatransposición, así que det C = (_1)i-1 • Luego f(/) = (_1)i-1', lo que demues-tra (3.23) y por tanto (3.20).

3.13 Existencia de la función determinante

En esta sección utilizamos la inducción respecto de n, que es el orden de lamatriz, para demostrar la existencia de las funciones determinantes de cualquierorden. Para n = 2 ya hemos demostrado que existe una función determinante. Parael caso n= 1 aceptamos por definición que det [aH] = all .

Suponiendo que existe una función determinante de orden n - 1, parece ló-gico que una función determinante de orden n fuera una de las fórmulas dedesarrollo del teorema 3.9, por ejemplo, el desarrollo mediante las menores de laprimera fila. No obstante, resulta más sencillo comprobar los axiomas si utilizamosuna fórmula análoga expresada en función de las menores de la primera columna.

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Existencia de la función determinante 111

TEOREMA 3.10. Supongamos la existencia de determinantes de orden n-l.Para una matriz n X n cualquiera A = (aik), sea f la función definida por la

(3.26) "¡(Al' ... , A,,) =!( -1)H1a11 det A11•;=1

Entonces f satisface los cuatro axiomas de una función determinante de orden n,Por consiguiente, por inducción, los determinantes de orden n existen para todo n.

Demostración. Consideremos cada término de la suma (3.26) como unafunción de las filas de A y escribamos

Si comprobamos que cada i¡ satisface los axiomas 1 y 2 también f los satisfará.Multipliquemos la primera fila de A por un escalar t. Tal multiplicación no

afecta a la menor An puesto que ésta no incluye la primera fila. El coeficientea11 está multiplicado por t, así que tenemos

Si j > 1 la primera fila de cada menor Ah queda multiplicada por t y el coeficienteah no queda afectado, por lo que otra vez tenemos

Por lo tanto, cada f¡ es homogénea en la primera fila.Si se multiplica por t la fila k de A, siendo k > 1, la menor Akl no se modi-

fica pero ah queda multiplicado por t, por lo que fk es homogénea en la fila k.Si j "# k, el coeficiente ah no se afecta pero alguna fila de A¡l queda multiplicadapor t. Luego toda f¡ es homogénea en la fila k.

Un razonamiento parecido demuestra que cada f¡ es aditiva respecto a cual-quier fila, por lo cual f satisface los axiomas 1 y 2. Seguidamente demostramosque f satisface el axioma 3', la versión particular del axioma 3. Del teorema 3.1,se deduce entonces que f satisface el axioma 3.

Para comprobar que f satisface el axioma 3', supongamos que sean igualesdos filas consecutivas de A, sean Ak = Ak+ 1 • Entonces, excepto las menores Ak1y Ak+l,~ , cada menor A¡l tiene dos filas iguales de modo que det Ai1 = O . Por lotanto la suma (3.26) consta tan sólo de los dos términos correspondientes aj=kyj=k+l,

(3.27)

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112 Determinantes

Pero-As, = Ak+l.l s a« = ak+1.1 ya que Ak = Ak+1' Por consiguiente, los dostérminos de (3.27) difieren tan sólo en el signo, por lo que I(A1, ••• ,A,,)=O.Así pues, I satisface el axioma 3'.

Por último, comprobamos que I satisface el axioma 4. Cuando A = 1 tene-mos an = 1 Y ah = O para j > 1. Asimismo, An es la matriz identidad deorden n-l , por lo cual cada término de (3.26) es cero salvo el primero, quees igual al. Luego I(JI , •.• ,1,,) = 1 por lo que I satisface el axioma 4.'

En la demostración anterior podría haberse muy bien utilizado una función Idefinida en función de las menores Ajk de la columna k en lugar de las menoresA;l de la primera columna. En efecto, si ponemos

(3.28)"f(Al, ••• ,A,,) = !(-l)i+kaikdetAik,

;~l

exactamente el mismo tipo de demostración hace ver que esa I satisface los cua--tro axiomas de una función determinante. Puesto que las funciones determinantesson únicas, las fórmulas de desarrollo (3.28) y las de (3.21) son todas igualesa detA.

Las fórmulas (3.28) no sólo establecen la existencia de las funciones deter-minantes sino que también ponen de manifiesto un nuevo aspecto de la teoría delos determinantes - una conexión entre las propiedades relativas a filas y laspropiedades relativas a columnas. Tal conexión se expone en la sección siguiente.

3.14 Determinante de una matriz transpuesta

Asociada a cada matriz A se considera otra matriz llamada transpuesta de Ay designada por A t. Las filas de A t son las columnas de A. Por ejemplo, si

entonces Al = [~ :1.- 3 6

Una definición formal puede darse así:

DEFINICIÓN DE TRANSPUESTA. La transpuesta de una matriz, m X n,A = (aij);'j:'l es la matriz, n X m, Al cuyo elemento i,j es au .

Si bien la transposición puede aplicarse a cualquier matriz rectangular nosreferiremos en primer lugar a las matrices cuadradas. A continuación demostramosque la transposición de una matriz cuadrada no modifica su determinante.

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La matriz cojactor 113

TEOREMA 3.11. Para toda matriz A, n X n, tenemos

det A = det At.

Demostración. Se demuestra por inducción en n. Para n = 1 Y n = 2 elresultado se comprueba inmediatamente. Supongamos, entonces, que el teorema escierto para matrices de orden n-1 . Sean A = (aij) y B1J = At = (bij) . Desarro-llando det A por sus menores correspondientes a la primera columna y det B porsus menores relativos a la primera fila tenemos

n

det A = L(-1)Hla;1 det A;I,;=1

n

det B = L (-1)H1b1; det BH•;~1

Pero por la definición de transpuesta tenemos bu = ah Y Bl; = (Aj1)t. Puesto quehemos supuesto que el teorema es cierto para matrices de orden n- 1 tenemosdet B¡¡ = det Ah' Luego las sumas anteriores coinciden término a término, conlo que det A = det B .

3.15 La matriz cofactor

El teorema 3.5 puso de manifiesto que si A es no síngular.det A =1=O. El teore-ma siguiente demuestra el recíproco. Esto es, si det A =1=O, existe A-l. Además,da una fórmula para expresar A -1 en función de una matriz formada con loscofactores de los elementos de A.

En el teorema 3.9 se demostró que el cofactor de a.¡ es igual a (_1)H} det Aij,

siendo Aij la menor i,j de A. Designemos ese cofactor por cof ai¡ • Así pues, pordefinición,

cof aij = (-1)i+; det Aij.

DEFINICION DE MATRIZ COFACTOR. La matriz cuyo elemento i,j es cof ai¡ sellama la matriz cojactor de A (*) Y se designa por cof A. Así pues, tenemos

El teorema que sigue demuestra que el producto de A por la transpuesta desu matriz cofactor es, salvo un factor escalar, la matriz identidad l.

(.) En la literatura sobre matrices, especialmente en los tratados clásicos, la transpuestade la matriz cofactor se llama adjunta de A. No obstante, la nomenclatura actual reserva lapalabra adjunta para otra cosa completamente distinta, que se discutirá en la sección 5.8.

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J 14 Determinantes

TEOREMA 3.12. Para cualquier matriz A, n x:n, con n ;::2 tenemos

(3.29) A (cof A)I = (det A)I.

En particular, si del A =1=O existe la inversa de A y viene dada por

A-1 = _l_(cofA)t.det A

Demostración. Utilizando el teorema 3.9 expresamos det A en función desus cofactores relativos a la fila k por la fórmula

-,(3.30)

n

det A =!akj cof akj •j~l

Mantengamos fija k y apliquemos esta relación a una nueva matriz B cuya fila ies igual a la fila k de A para alguna i ~ k, Ycuyas filas restantes son las mismasque las de A . Entonces det B = O debido a que las filas i y k de B son iguales.Expresando det B en función de sus cofactores relativos a la fila i tenemos

(3.31)n

det B =! b., cof b., = O.j=l

Pero ya que la fila i de B es igual a la fila k de A tenemos

y cof bij = cof aij _ para cualquier [,

Luego (3.31) establece que

(3.32)n

!akj cof aij = Oj~l

si k ~ i.

Las igualdades (3.30) y (3.32) pueden escribirse conjuntamente así:

(3.33) ~ {det A¿akj cof aij = Oj~l

si i = ksi i ~ k.

Pero la suma que aparece en el primer miembro de (3.33) es el elemento k,idel producto A(cof A)t . Por consiguiente (3.33) implica (3.29) .

Como corolario directo de los teoremas 3.5 y 3.12 tenemos la siguiente con.dición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea no singular.

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Regla de Cramer 115

TEOREMA 3.13. Una matriz cuadrada A es no singular si y sólo si det A =1=O .

U 6 Regla de Cramer

El teorema 3.12 puede también utilizarse para resolver un sistema de ecua-ciones lineales con matriz no singular. Las fórmulas que se obtienen constituyenla llamada regla de Cramer, en memoria del matemático suizo Gabriel Cramer(1704-1752).

TEOREMA 3.14. REGLA DE CRAMER. Si un sistema de n ecuaciones linealescon n incógnitas Xl , ••• , Xn ,

(3.34)n

Iaiix; = bi;=1

(i = 1, 2, . . . , n)

tiene la matriz de los coeficientes A = (a¡¡)no singular, existe una solución únicapara el sistema dada por las fórmulas

1 nx; =d-- 2)k cof akJ, para j = 1,2, ... , n.

et A 10=1

Demostración. El sistema se puede poner en forma matricial

AX=B,

en donde X y B son matrices columna, X = [J , B = []J . Pues '0 que A

es no singular existe una solución única X dada por

(3.35) x = A-lB = _1_ (cof AlB.det A

Las fórmulas (3.34) se obtienen igualando los componentes en (3.35).

Debe observarse que la fórmula para x¡ en (3.34) se puede expresar comocociente de dos determinantes,

det e;x·=--

, det A '

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116 Determinantes

en donde C¡ es la matriz obtenida de A al reemplazar la columna i de A por lamatriz columna B.

3.17 Ejercicios

1. Determinar la matriz cofactor de cada una de las matrices siguientes:

1 2

O S-1 -2

3 2

2. Determinar la inversa de cada una de las matrices no singulares del ejercicio 1.3. Hallar todos los valores del escalar A para los que la matriz Al - A es singular, si A

es igual a

b) [~ -~ -~], e) [;~ =: I:J.2 -2 O -8 2-S

4. Si A es una matriz n Xn con n ~ 2, demostrar cada una de las propiedades de su ma-triz cofactor:a) cof(A') = (COfA)'. b) (cofA)'A = (detA)I.e) A(cofA)' = (cofA)'A (A es permutable con la transpuesta de su matriz cofactor).

5. Resolver mediante la regla de Cramer cada uno de los sistemas que siguen:

a) x + 2y + 3z = 8,b) x + y + 2z = O,

2x - y + 4z = 7,3x - y - z = 3,

-y + z = l.2x + 5y + 3z = 4.

6. a) Justificar que cada una de las ecuaciones que siguen es la ecuación cartesiana deuna recta, en el plano xy, que pasa por los puntos (Xl, y,) Y (X2, Y2) •

[

X - Xl Y - YI]det = O'X2 - Xl Y2 - YI ' [

X Y 1]det Xl Y1 1 =0.

X2 Y2 1

b) Establecer y demostrar relaciones análogas, en el espacio de tres dimensiones, paraun plano que pasa por tres puntos.c) Establecer y demostrar relaciones análogas en el plano xy para una circunferenciaque pasa por tres puntos no alineados.

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Ejercicios 117

7. Dadas n2 funciones t,/ cada una derivable en un intervalo (a, b), definir F(x) == det [f,¡(x)] para cada x en (a, 8). Demostrar que la derivada F'(x) es una suma den determinantes,

nF' (x) = 1:det Ai(x) ,

i=l

donde A.(x) es la matriz que se obtiene derivando las funciones de la fila i de [f,/(x)] •8. Una matriz nxn de funciones de la forma W(x) = [U¡<'-I)(X)], en la que cada fila

después de la primera es la derivada de la fila anterior, se llama matriz wronskiana enrecuerdo del matemático polaco J. M. H. Wronski (1778-1853).Demostrar que la derivadadel determinante de W(x) es el determinante de la matriz obtenida derivando cada unode los elementos de la última fila de W(x).

[Indicación: Utilizar el ejercicio 7.]

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