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Introducci´ on Mec´ anica cu´ antica Campos Cu´ anticos Diagramas de Feynman e interacciones entre part´ ıculas James P. Edwards Universidad Michoacana de San Nicol´ as de Hidalgo ifm.umich.mx/∼jedwards 5ta Escuela de F´ ısica Para J´ ovenes Quer´ etaro Mayo 2018 James P. Edwards Diagramas de Feynman e interacciones entre part´ ıculas
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IntroduccionMecanica cuanticaCampos Cuanticos
Diagramas de Feynman e interacciones entre partıculas
James P. EdwardsUniversidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo
ifm.umich.mx/∼jedwards
5ta Escuela de Fısica Para JovenesQueretaroMayo 2018
James P. Edwards Diagramas de Feynman e interacciones entre partıculas
IntroduccionMecanica cuanticaCampos Cuanticos
Outline
1 Introduccion
2 Mecanica cuantica
3 Campos Cuanticos
James P. Edwards Diagramas de Feynman e interacciones entre partıculas
IntroduccionMecanica cuanticaCampos Cuanticos
Introduccion...
..a mi!Soy un profesor en la Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo, Morelia, enel estado Michoacan. Nacı en Iglaterra, en un pueblo pequeno llamado Warwick y yatengo un ano y medio en Mexico.
(a) Mi pais, Reino Unido (b) Mi viaje a Mexico
Estudie en las universidades de Cambridge y Durham, Inglaterra, en colaboracion concolegas en Bologna, Italia. Luego trabaje en la universidad de Bath, una ciudadromana, con colaboradores iranıs ubicados en Korea del sur antes de que llegara aMexico. Estoy colaborando con colegas nuevos aquı, incluidas personas mexicanas,argentinas, pakistanıes y mas.
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Introduccion...
..a mi!Soy un profesor en la Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo, Morelia, enel estado Michoacan. Nacı en Inglaterra, en un pueblo pequeno llamado Warwick y yatengo un ano y medio en Mexico.
(c) El castillo medieval de Warwick (d) La UMSNH, Morelia
Estudie en las universidades de Cambridge y Durham, Inglaterra, en colaboracion concolegas en Bologna, Italia. Luego trabaje en la universidad de Bath, una ciudadromana, con colaboradores iranıs ubicados en Korea del sur antes de que llegara aMexico. Estoy colaborando con colegas nuevos aquı, incluidas personas mexicanas,argentinas, pakistanıes y mas..
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Introduccion II
La mecanica clasica tiene una descipcion bien conocida, la cual tiene sus raices en losdescubrimientos de Galileo Galielei (1590) y desarrollos de los 1680s de Isaac Newton.
(e) El “experimento” de Galileo de latorre inclinada de Pisa
(f) Un joven Isaac Newtonen Inglaterra
Las leyes de la mecanica clasica tratan de movimiento con y sin fuerzas aplicadas y sepueden incorporar colisiones y interacciones con campos electromagneticos, etc.
La mecanica clasica es suficiente para procesos de energas bajas, por ejemplo entreobjetos macrascopicos, y la mayorıa de los calculos necesarios para llegar a la luna!
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Las leyes de Movimiento de Newton
La primera ley: Todo cuerpo persevera en su estado de movimiento uniforme a noser que sea obligado a cambiarlo por fuerzas impresas sobre el.La segunda ley: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motrizimpresa y ocurre segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.La tercera ley: Con toda accion ocurre siempre una reaccion igual y contraria: lasacciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.
Podemos escribir la primera y la segunda ley ası:
m× a = FAplicada
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Colisiones e interacciones
Es util introducir la idea del momento lineal de una masa, definido por p = mv,donde v es su velocidad. La ecuacion de Newton que vimos arriba se reescribe como
dp
dt= FAplicada,
entonces una fuerza actua para provocar un cambio de momento lineal.
Para un sistema cerrado, sin aplicacion de una fuerza externa los cambios de momentolineal de todos los componentes del sistema deben sumar a cero:∑
masas
∆p = 0 , o∑masas
p = constante.
Esta relacion se llama la conservacion de momento lineal y es una de las relacionesmas importantes en la fısica clasica.
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Conservacion de momento I
Consideremos dos ejemplos de la aplicacion de las leyes de Newton.
1 Una masa de 5kg con velocidad 3ms−1 pega a una otra masa de 2kg viendo convelocidad 4ms−1 en la direccion contraria. Despues de la colision la masa de 5kgtiene velocidad 1ms−1 en la misma direccion.
v1inicial = 3ms−1 v2
inicial = 4ms−1
5kg 2kg
v1final = 1ms−1 v2
final
5kg 2kg
El momento lineal antes de la colision a la derecha erap→ = 5× 3− 2× 4 = 7kgms−1. Se permanece invariante, entonces hay quecumplir la ecuacion
7 = 5× 1− 2× v2final =⇒ v2
final =5− 7
2= −1ms−1.
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Conservacion de momento II
Consideremos dos ejemplos de la aplicacion de las leyes de Newton.2 Una masa rebota de una pared, con una colision 100% elastica. Podemos describir
su movimiento al aplicar la conservacion de momento lineal en las direccionesperpendicular y paralelo de la pared:
p‖inicial − p
‖final = 0 y p⊥inicial − (p⊥final + ppared) = 0
v⊥inicial
v‖inicial v
‖final
v⊥final
vparedNo hay ningun cambio de la masa, y la condicion elastica significa que
p⊥final = −p⊥inicial, entonces resolvemos las eccuaciones para llegar a
v‖final = v
‖inicial y ppared = 2p⊥inicial
Entonces la pared rebota por la colision tambien, con una velocidad dada por
2mv⊥inicial = Mparedvpared =⇒ vpared =2m
Mparedv⊥inicial.... (M � m).
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Conservacion de momento II
Consideremos dos ejemplos de la aplicacion de las leyes de Newton.2 Una masa rebota de una pared, con una colision 100% elastica. Podemos describir
su movimiento al aplicar la conservacion de momento lineal en las direccionesperpendicular y paralelo de la pared:
p‖inicial − p
‖final = 0 y p⊥inicial − (p⊥final + ppared) = 0
v⊥inicial
v‖inicial v
‖final
v⊥final
vparedNo hay ningun cambio de la masa, y la condicion elastica significa que
p⊥final = −p⊥inicial, entonces resolvemos las eccuaciones para llegar a
v‖final = v
‖inicial y ppared = 2p⊥inicial
Entonces la pared rebota por la colision tambien, con una velocidad dada por
2mv⊥inicial = Mparedvpared =⇒ vpared =2m
Mparedv⊥inicial.... (M � m).
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Conservacion de la energıa
Como la conservacion del momento lineal, tambien se cumple la ley de la conservacionde energıa:
En un sistema cerrado, la energıa total permanece invariante con el tiempo:∑comp
E = constante
Para masas ideales sin interacciones entre ellos o otras cosas, la energıa de cada objetosole depende de su movimiento. La energıa cinetica de una masa m es igual a
EC =1
2mv2 =
p2
2mdonde v es su velocidad y p es su momento total.
La energıa se generaliza al incluir energıa gravitacional e interaccioneselectromagneticas. Por ejemplo, una masa de 3kg se tira con velocidad 10ms−1 haciaarriba. Su altura maxima ocurre cuando su energıa cinetica se haya convertido enenergıa gravitacional:
mgh =1
2mv2 =⇒ 3× 9,8× h =
1
2× 3× 102
entonces h = 1002×9,8
≈ 5,1m.James P. Edwards Diagramas de Feynman e interacciones entre partıculas
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La Mecanica cuantica
La mecanica cuantica trata del compartimiento de partıculas en una escala atomica. Seaplica para procesos e interacciones fundamentales de la fısica. Fue desarrollado porfısic@s bien conocid@s – como Heisenberg (aleman), Bohr (danes), de Broglie(frances), Schrodinger (aleman), Dirac, (ingles), Planck (aleman), Pauli, (austriaco),Einstein (aleman), Curie (polaca), Born (aleman) entre otros – entre 1900 y 1930,
Un descubrimiento significativo fue lo de dualidad onda partıcula:
Los objetos (ya sean partıculas fundamentales, atomos o moleculas mascomplicadas) se aparecen como partıculas localizadas en unos experimentosmientras pueden exhibir comportamientos tıpicos de ondas en otros.
Su longitud de onda tiene que ver con su momento por la formula de de Broglie
λ =h
p
donde h ≈ 6,626× 10−34Js es la constante de Planck (medida de la escala cuantica).
Por ejemplo – un electron de m = 9,1× 10−31kg y velocidad v = 1× 106ms−1 tienelongitud de onda λ ≈ 7× 10−7m mientras yo tengo una al orden 1,5× 10−36m!
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La dualidad onda partıcula
¿Si las partıculas tienen compartimiento como ondas, como podemos definir su posiciony momento si no existen en un punto fijo o preciso?
Introducimos la idea de la funcion de onda asociada con la partıcula. Toma el papel deuna distribucion de probabilidad, la cual lleva informacion sobre la posicion masprobable en donde vayamos a observar la partıcula durante un experimento:
P(x) = |Ψ(x)|2 y x =
∫x |Ψ(x)|2 dx1dx2dx3
La evolucion de la funcion de onda es dada por la ecuacion de Schrodinger:
ih
2π
∂Ψ(x, t)
∂t= − h2
2(2π)2
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x, t)Ψ(x, t)
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La formulacion de Feynman
Entonces en vez de calcular la posicion exacta de una partıcula, nos interesa mascalcular la probabilidad de encontrarla en un punto y al tiempo T , despues de haberlaobservado en el punto x.
Feynman (Estados Unidos) ha mostrado que uno puede calcular esa amplitud deprobabilidad tratando la partıcula cuantica como si fuera una partıcula clasica perotomando en cuenta todas las trayectorias posibles entre los puntos x y y:
K(y, x;T ) ≈∑C
exp
[2πi
hS[C]
]Aquı S[C] es una probabilidad asociada a cada trayecotoria llamada la accion.
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Los campos cuanticos
Una cuestion natural es como la mecanica cuantica puede extender a la cuantizacion decampos electromagneticos e incorporar la relatividad especial de Einstein.
Se requiere reemplazar la idea de trayectorias de partıculas con sus fuciones de onda –una partıcula se vuelve una exitacion localizada de dicha funcion de onda.
La teorıa involucra interacciones entre diferentes campos o entre el campo de unapartıcula y un campo electromagnetico, como lo desarrollaron Feynman, Jordan(aleman), Dirac, Tomonaga (Japones) y Schwinger (EE.UU) entre 1925 y 1940.
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Excitaciones e interacciones
Un comportamiento interesante de campos cuanticos proviene de excitaciones querepresentan la creacion de partıculas nuevas. Dichas excitaciones producen aun masinteracciones nuevas porque pueden participar como si fueran partıculas “originales”.
Nos interesan interacciones entre partıculas externas – las que estan localizadas yseparadas a un tiempo T → −∞ y se encuentran de nueva separadas y localizadas enel futuro cuando T → +∞:
Interacciones
p1
p2
p3
p4
T −→ −∞ T −→ +∞
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Diagramas de Feynman
Podemos representar una interaccion entre partıculas por un diagrama – se llama undiagrama de Feynman. Por ejemplo, dos electrones que interactuaranelectromagneticamente por intercambio de fotonoes se verıan ası:
Cada diagrama es asociada con una expresion matematica, que representa laprobabilidad de dicho proceso.
Generalizando el resultado de la mecanica cuantica (la suma sobre todas lastrayectorias) Feynman dio una representacion de la probabilidad observar un proceso:
Hay que sumar sobre todas las fluctuaciones o configuraciones de los camposcompatibles con el proceso – es decir todas las interacciones posibiles!
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Diagramas mas complicados!
Feynman dijo que debemos sumar todas las posibilidades. Vamos a explorar unejemplo. Primero, podemos anadir interacciones con lazos compuestos de fotones:
=
+ + +...
Vamos seguiendo con procesos aun mas complicados – lazos de partıculas virtuales:
+ + + + +...
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Diagramas mas complicados!
Feynman dijo que debemos sumar todas las posibilidades. Vamos a explorar unejemplo. Primero, podemos anadir interacciones con lazos compuestos de fotones:
= + + +...
Vamos seguiendo con procesos aun mas complicados – lazos de partıculas virtuales:
+ + + + +...
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Diagramas mas complicados!
Feynman dijo que debemos sumar todas las posibilidades. Vamos a explorar unejemplo. Primero, podemos anadir interacciones con lazos compuestos de fotones:
= + + +...
Vamos seguiendo con procesos aun mas complicados – lazos de partıculas virtuales:
+ + + + +...
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Un ejemplo
¿Que les parece un diagrama tan complicado......?
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Conclusion
El viaje desde la mecanica clasica hasta la teorıa de los campos cuanticos toma uncamino interesante y – a veces – complicado. Pero hemos encontrado sorpresas en elcompartimiento de partıculas y sus interacciones, la creacion de partıculas virtuales ysumas infinitas de procesos que pueden pasar.
Las leyes de Newton significan que la mecanica clasica es determinista.
En la mecanica cuantica, hay que sumar sobre trayectorias posibles entre el puntoinicial y final para encontrar solo una probabilidad de la transicion de la patıcula.
Fluctuaciones de campos pueden crear excitaciones que toman la interpretacion departıculas virtuales que se involucran en interacciones.
La probabilidad de proceso requiere calcular infinitas contribuciones de cualquierconfiguraciones e interacciones del campo permitidas.
El desarrollo de la teorıa involucro fısicos de muchos paises en el mundo, y siguecreciendo y aplicandose en muchos areas de la ciencia – en la Astronomıa (CarlosFrenk), la Quimica (Tessy Goerne), y la Fısica nuclear (Miguel Alcubierre) entre otros.
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Conclusion
El viaje desde la mecanica clasica hasta la teorıa de los campos cuanticos toma uncamino interesante y – a veces – complicado. Pero hemos encontrado sorpresas en elcompartimiento de partıculas y sus interacciones, la creacion de partıculas virtuales ysumas infinitas de procesos que pueden pasar.
Las leyes de Newton significan que la mecanica clasica es determinista.
En la mecanica cuantica, hay que sumar sobre trayectorias posibles entre el puntoinicial y final para encontrar solo una probabilidad de la transicion de la patıcula.
Fluctuaciones de campos pueden crear excitaciones que toman la interpretacion departıculas virtuales que se involucran en interacciones.
La probabilidad de proceso requiere calcular infinitas contribuciones de cualquierconfiguraciones e interacciones del campo permitidas.
El desarrollo de la teorıa involucro fısicos de muchos paises en el mundo, y siguecreciendo y aplicandose en muchos areas de la ciencia – en la Astronomıa (CarlosFrenk), la Quimica (Tessy Goerne), y la Fısica nuclear (Miguel Alcubierre) entre otros.
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Oportunidades para estudiar en el extranjero
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Consejo y informacion de International Student: www.internationalstudent.com
Intercambio estudantil EF: www.ef.com.mx
Estudiar y vivir en otro pais (Global Graduates) globalgraduates.com
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Informacion y apoyo de Go Abroad: www.goabroad.com
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