Universidad Nacional Abiert a Vicerrect orado Acadmico Subprograma de Diseo Acadmico rea de Mat emt ica Didct ica del lgebra Lineal y la Probabilidad Julio Mosquera Audy Salcedo Caracas,j unio 2008 ndice Present acin...................................................................................................... 3 Mdulo 1........................................................................................................... 5 Unidad 1...................................................................................................... 7 Leccin 1 ................................................................................................. 9 Leccin 2 ................................................................................................. 21 Unidad 2...................................................................................................... 36 Leccin 3 ................................................................................................. 38 Leccin 4 ................................................................................................. 53 Unidad 3...................................................................................................... 71 Leccin 5 ................................................................................................. 73 Leccin 6 ................................................................................................. 80 Leccin 7 ................................................................................................. 88 Mdulo 2........................................................................................................... 111 Unidad 4...................................................................................................... 112 Leccin 8 ................................................................................................. 113 Leccin 9 ................................................................................................. 124 Unidad 5...................................................................................................... 137 Leccin 10............................................................................................... 138 Leccin 11............................................................................................... 149 Unidad 6...................................................................................................... 162 Leccin 12............................................................................................... 163 Leccin 13............................................................................................... 173 Leccin 14............................................................................................... 186 3 Present acin Est ecurso,Didct icadellgebraLinealylaProbabilidad( cod.765) ,eselsegundodeuna secuenciadecursosdedicaalest udiodeasunt osrelacionadosconlaproblemt icadela enseanza,aprendizaj ey evaluacinenmat emt icasenelmbit odelaeducacinsuperior. Laenseanzahaest adohist ricament eligadaalaact ividadmat emt ica,podemosdecir quelasmat emt icassecaract erizanporsuest recharelacinconlaenseanza.Losms import ant est rat adosdemat emt icas,desdelosant iguoscomolosNueveLibrosdelas Mat emt icashast alosmsmodernosart culosenrevist asdefront era,fueronescrit ospara comunicarresult adosmat emt icosdemaneraqueseancomprensibleporot ros,demanera queellect orolect oralosent ienda,losescudrieyverifiqueporsupropiacuent ala veracidaddelosresult adosreport ados.Enpocaspalabras,sonescrit osparaensear.Loas mat emt icosymat emt icasmsinfluyent essonaquellasquehancreado escuelas , algunosdeellosinclusonohanescrit osusideasmsimport ant es,sinoquelashan compart idooralment econsusdiscpulosocolegas.Porot rapart e,ellugar nat ural de t rabaj odelosmat emt icossonlasuniversidades.Lamayoradelosmat emt icosy mat emt icasdesarrollansucarreraprofesionalcomoinvest igadoresligadosalaenseanza universit aria.Esmuyreducidoelnmerodemat emt icosquesedesenvuelve profesionalment efueradelasuniversidadesot ot alment edesconect adodelaenseanza universit aria.I nclusoaquellosquet rabaj aneninst it ut osdeinvest igacin,comoelI nst it ut o VenezolanodeI nvest igacionesCient ficas( I VI C) ,enalgnmoment orealizanlabores docent es.Enconclusin,laact ividadmat emt icaprofesionalest deunaformauot r a ligadaaladocencia.Reconociendoest arealidad,losprofesoresdelreadeMat emt icade laUniversidadnacionalAbiert a(UNA) consideraronconvenient equeelfut uromat emt ico recibiera unaciert a formacinenelcampodeladidct icadelas mat emt icas.Enpart icular sedecidiofrecerdoscursodedidct ica,unadelclculoyot rasdellgebralinealyla probabilidad, y una prct ica docent e.Losmat emt icosinvest igadoressehanint eresadoporest udiarproblemasdelaenseanza y el aprendizaj e de l as mat emt icas. Como sealamos arriba, la didct ica no le es ext raa a losmat emt icos.Porej emplo,mat emt icosdelat alladeFreudent hal,enHolanda,Moore, enEst ados Unidos,ydeGuzmn,en Espaa,seocuparonde reflexionar sobreproblemasd elaenseanzayaprendizaj edelasmat emt icasypropusieronmanerasderesolverlos. Freudent hal desarroll la fenomenologa didct ica, Moore es conocido por el mt odo Moore y deGuzmanhizoimport ant escont ribucionesenelcampodelaresolucindeproblemas.La fenomenologadidct ica,lacualdioorigenalamat emt icarealist a,surgecomouna respuest aencont radelas mat emt icasmodernas .Freudent hal,adiferenciademuchos mat emt icos,seoponaalenfoqueest ruct uralist apropuest oporelgrupoBourbakiyPiagetent reot ros.Elenfoquedelasmat emt icasrealist asesunodelosmsinfluyent eshoyen daen laenseanzade lasmat emt icasenlaeducacinsecundaria.DeGuzmnt ambin le dio especial nfasis a la import ancia de la visualizacin en el aprendizaj e de las mat emt icas a nivel universit ario.Tenemos que los mat emt icos invest igadores, por muy dest acados que seanensureadeespecialidad,sehandedicadoalaenseanzanosloenlauniversidad. Not ableeselcasodelosmat emt icosdelaex- UninSovit ica.Mat emt icossovit icosde lat alladeKolmogorovyGelfandescribieronmat erialesdedivulgacinyeducat ivospara j venes,algunosdeellosinclusodict abanconferenciassabat inasdemat emt icasen escuelassecundarias.FamosassonlasLeccionesPopularesdeMat emt icas,lascualesse encuent rant odavaenespaol publicadasporlaedit orialMI RdeMosc.ElCent roNacional para el Mej oramient o de la Enseanza de la Ciencia ( CENAMEC)puso en prct ica en nuest ro paselProyect oGelfand,conmat erialelaboradoproest emat emt icoruso,dirigidoa 4Didctica del lgebra y la Probabilidad est udiant esdesecundaria.Porot rolado,encont ramoslaposicindeGuyBrousseauquien sost ienequeslolosmat emt icost ienenlaformacinadecuadaenest adisciplinapara hacerdidct icadelasmat emt icas.Esdecir,queparaest udiardidct icadelas mat emt icasyhacerinvest igacineducacionalenest areaesnecesariot eneruna formacin mat emt ica previa.Comosunombre loindica,est ecursoseocupa delest udiodeladidct icadellgebralineal ylaprobabilidad.Elcursoest divididoendosmdulos,elprimerodedicadoaladidct ica dellgebralinealyelsegundoaladidct icadelaprobabilidad.Ambosmdulost ienela mismaest ruct ura.Cadaunoest compuest odet resunidadesysiet elecciones.Las unidades 1,2, 4y5est nconst it uidaspordos leccionesrespect ivament e, mient rasque las unidades 3 y 6 est n formadas por t res unidades respect ivament e.Algunosdelost emast rat adosenest ecursocoincidencont emasyaest udiadosenelcurso deDidct icadelClculo.Trat amosdenoserrepet it ivosydemsbienprofundizarensu est udio.Enpart icular,enest ecursolededicamosespecialat encinaldiseodeunidades didct icas. Comoyasealamoslaunidadmnimadeorganizacindeloscont enidossonlaslecciones. El cont enidode la leccinest diseadoparaqueseaasimilable en cuat ro horasde t rabaj o, nonecesariament econt inuas,alasemana. Larealizacindet odaslasact ividadesincluidas en cada leccin le exigir de un t iempo adi cional de est udio. Paraest udiarelcont enidodeest ecursoyrealizarlasact ividadesust ednecesit art ener accesoavariasherramient as,t ecnologasymat eriales.Primeroquet odo,ust eddeber t ener uncuadernode t rabaj oespecialment eparaest e curso. Ladidct icadellgebralineal, aligualqueest aramadelasmat emt icasnoesundeport edeespect adores.Las mat emt icasysudidct icanoseaprendenviendoaot roshacercosasoleyendosobrelo queot roshanhecho.Paraaprenderserequierequeust edseinvolucredemanera disciplinadaycondedicacinaest udiar,esosignificareflexionarsobreloscont enidos, ident ificarlasideasprincipales,realizarlasact ividadespropuest as,responderalaaut o-evaluacin,plant earsepregunt as,compart irconot rosenpersonaoporlavavirt ualy disearobj et osdeaprendizaj equeseincorporenalasunidadesdidct icasporust ed elaboradas.Segundo,debelocalizarenelCent rodeDocument acindesuCent roLocalel CD con el emulador del ClassPad 300. El programa Casio Acadmico nos don copias de esa aplicacin para ser usadas por nuest ros est udiant es, ust ed podr copiar ese CD para inst alar laaplicacinen unacomput adoraen laqueust edpueda t rabaj ar.Tercero, es necesarioque ust edpuedat eneraccesocon ciert afrecuencia aunacomput adoraconconexina int ernet . Algunasdelasact ividadesincluidasenest e cursorequieren queust edrealicbsquedas en int ernet yexploreel usodealgunasaplicacionesgeneralesyespecficasquesont ilespara laenseanzayelaprendizaj edellgebralineal.Cuart o,necesit art eneraccesoadoso mslibrosdelgebraLineal,incluyendoelt ext odelaUNA,pararealizaralgunasdelas act ividadespropuest asyrevisarcont enidosdeest amat eriaparareflexionarsobresu enseanza y aprendizaj e a part ir de t ext os escrit os. Julio Mosquera Mdulo 1 Obj et ivo del Mdulo: Estudiar elementos terico-prcticos de las Didcticas del lgebra Lineal dentro del marco de la Educacin Matemtica. 6 I nt roduccin Comoyasealamosenlapresent acinelcont enidodeest ecursoest organizadoendos mdulos.ElMdulo 1 incluyecont enidosobredidct icadel lgebraLineal. Est e mduloest divididoent resunidades.Laprimeraunidadest dedicadaalainvest igacinendidct ica dellgebraLineal.Dichaunidadest divididaendoslecciones,laprimeraincluye cont enidos sobre los marcos t ericos usados por los invest igadores y la segunda incluye una revisindelainvest igacinenelcampodeladidct icadellgebraLineal.Lasegunda unidadest dedicadaaasunt osmsprct icosquet ienequeverconlainclusindela hist oriayelusodet ecnologasenlaenseanzadellgebraLineal. Est aunidadt ambin est divididaendoslecciones.Porlt imo,laUnidad3t rat aelt emadeldiseodeunidades didct icas.Est aunidadest compuest adet reslecciones.Enlaprimeradeest aslecciones present amosunasideasgeneralesacercadelasunidadesdidct icas,enlasegunda ent ramosenmat eriadeldiseodeobj et ivoseducacionalesyendet allesacercade est rat egias de aprendizaj e, y en la lt ima leccin ent ramos en mat eria de la evolucin de las unidadesdidct icas con especialnfasisen laevolucinde losaprendizaj es logradospor los est udiant es. Unidad 1 Obj et ivo 1: Estudiar diversas aproximaciones tericas e investigaciones en didctica del lgebra Lineal. 8 I nt roduccin Est aprimeraunidaddelMdulo1est dedicadaalapresent acindet emassobrela invest igacinendidct icadel lgebraLineal. El cont enidode est a unidadest dist ribuido en doslecciones.EnlaLeccin1present amosunasconsideracionesacercadeladidct ica comodisciplina,comoramadelapedagoga.Enpart icularconsideramosladidct icadelas mat emt icascomoramadelapedagogadelascienciasmat emt icas.Port ant o, explicaremosprimerocomoconcebimoslapedagogadelascienciasmat emt icasyluego pasaremosaunadiscusinsobreladidct icadelasmat emt icas; porlt imo,ent ramosen elt emadeladidct icadellgebralinealcomoprembuloalcont enidodelasegunda leccin. EnlaLeccin2present amosunarevisinde la invest igacinenelcampode la didct icadel lgebraLineal.Unavezest udiadoelcont enidodeest aunidad,ust edest armej or preparadoparacomprenderladiversidadenest ecampoascomolasprincipalescorrient es enquesehadesarrolladolainvest igacin.Esperamost ambinqueust edseint eresepor profundizarenest ecampomsadelant eporsupropiacuent a.Talvez,lleguust eda realizarunainvest igaci nindependient esobrealgnproblemaenpart icularenla enseanza, aprendizaj e y evolucin del lgebra Lineal.Elcont enidodeest aunidadesprincipalment edet ipot erico.Pensamosquelat eorayla prct icanosepuedenseparar,yqueningunadeberaprivilegiarsesobrelaot ra.Port ant o, consideramosest aformacint ericainicialdesumaimport anciaparaelest udiodelrest o del mat erial incluido en est a unidad, as como para su prct ica act ual o fut ura en el aula.De igualmaneraconsideramosquesuprct icat ant ocomoest udiant eact ualment eycomo fut uromat emt icoinvest igadoryprofesordemat emt icaslellevarareformularsela t eora.Essloenlaprct ica,ambascomoest udiant edemat emt icasycomoprofesorde alguna rama de est a disciplina, que se puede valorar la t eora. Leccin 1 Didct ica de las Mat emt icas Comosealamosenlaint roduccinaest aunidad,laLeccin1est dedicadaala present acindeunasideasgeneralesacercadelapedagogadelascienciasmat emt icasy deladidct icadelasmat emt icascomounaramadelamisma.Ladidct icadellgebra lineal es pues considerada como una part e de est a lt ima. Dedicamos una buena part e de la leccin el est udio de t res met odologas especficas a las didct icas de las mat emt icas. Pedagoga de las ciencias mat emt icas Laideadedesarrollarunapedagogamat emt icaodelascienciasmat emt icasnoesdel t odonovedosa.Gazt elu(1913) esbozalgunoselement osdedichapedagoga,dedicadaen especiallaformacinmat emt icadelosfut urosingenierosenEspaa.Tambinsehan realizadot rabaj osqueapunt analdesarrollode unadidct icade las mat emt icasdesde una perspect ivaibero- americana( porej emplo: Mosquera,1988) .Adems,noesnuevoel int ent odedesarrollarunapedagogal at inoamericanaoquerespondaalassit uaciones part icularesdenuest rospases,ent remuchosot rospodemosmencionarlost rabaj osde Sant iago Rocca ( 1957) , Ander - Egg (1979)y Freire ( 2000, 2005/ 1962, 2005/ 1992) . Se t rat a msbienderescat arlaimport anci adelapedagogacomoguayfundament oparalas act ividadesdeenseanza,aprendizaj eyevaluacindelasmat emt icasenlaescuelay fueradeella.Enest asnot asseesbozanalgunasideasacercadeunapedagogadelas ciencias mat emt icas y su pert inencia. Esciert oqueennuest ropassehaescrit omuchosobreeducacin,perohemost eorizado muypocosobrelaenseanza,elaprendizaj eylaevaluacin.Cont amosconunaescasa produccinnacionaloriginalenest amat eria.Engeneral,noshemoslimit adoauna adopcincasiciegadet eorasext ranj erasdelaenseanzaydelaprendizaj e.Casosmuy not ablesrecient esonlaadopcindelconst ruct ivismo,odeunaamalgamade const ruct ivismos,comobaset ericadelareformacurriculardelasdosprimeraset apasde laEducacinBsica,yelmt ododeproyect ocomomet odologaparaorganizarelt rabaj o escolar. EnVenezuela,sehahabladodedidct icadelasmat emt icasparareferirnosala disciplinaqueseencargadelainvest igacinydesarrollocent radaenlaenseanzadelas mat emt icas en laescuela.Enun nmerodeescuelasdeeducacindealgunasdenuest ras universidadeshayct edrasconesenombre.Msrecient ement eseint roduj olaexpresin met odologadelaenseanzadelamat emt icaparareferirseaest ecampo.Tambin sehausadoennuest ropaslaexpresinenseanzadelamat emt ica.Tenemos programasdepost gradoident ificadosconeset rmino,unaasociacinprofesionalysu revist aoficialllevanesemismonombre.Porot rolado,enelmundoanglosaj nsuele hablarsedeeducacinmatemt icaparareferirsealcampodiferenciadodeproduccinde saberesqueseocupadeasunt osrelacionadosconlaenseanza,aprendizaj eyevaluacin delasmat emt icasenlaescuela.Est et rminoseasumiennuest ropasdemanera acrt ica, incluso se asumi como t rmino oficial de la asociacin profesional que agrupa a los invest igadoresyprofesoresdemat emt icas.Porlt imo,t enemoselcasodelosmexicanos quieneshanpromovidoelusodelaexpresinmat emt icaeducat ivaparadist inguirsede losanglosaj ones.Enresumen,sehanusadodiversast erminologasparareferirsealcampo odisciplinadedicadaalainvest igacinydesarrolloenlaenseanza,aprendizaj ey evaluacinen mat emt icas. Hayquienesproponenlaadopcindelaexpresinanglosaj ona educacinmat emt ica,porqueelt rminodidct icaesengeneralasociadoaunasimple 10Didctica del lgebra y la Probabilidad coleccindet cnicasdeenseanza.Todavanosehallegadoaunconsensoalrespect o. Tampocosehadadounadiscusinent relosmi embrosdelacomunidaddeeducadores mat emt icossobreest easunt o.Enmuchospasesdelcont inent esehaadopt adola expresineducacinmat emt ica.Part icularment epiensoqueesmsconvenient eusarla expresinpedagogadelascienciasmat emt icas.Noset rat adeunanuevat erminologa. Comodij ealcomienzo,set rat aderescat ar,recuperarelpensamient opedaggicoparael campodelaeducacinenmat emt icas. Laexpresinpropuest aest compuest adedos t rminos,primeroPEDAGOG AysegundoCI ENCI ASMATEMTI CAS.Acont inuacin present o algunas argument aciones sobr e cada uno de est os element os.Lo sealado ant eriorment e nos lleva a asumir que hablar de la enseanza, del aprendizaj e y delaevaluacinenmat emt icasslot ienesent idodent rodelmarcodeunproyect o pedaggico.Delocont rarioest aramoscayendodent rodeunmerodidact ismo.Como sealaPauloFreire( 1997) ,noexist enproyect ospedaggicosneut ros, t odoproyect o pedaggicoespolt icoyseencuent raempapadodeideologa.Elasunt oessaberafavorde quydequin,cont raquycont raquinsehacelapolt icadelaquelaeducacinj ams prescinde( p.52) .Lapsicologizacindelaeducacin,enespeciallacent radaenel const ruct ivismo,nosocult aest easpect opolt icoeideolgicodelosproyect ospedaggicos. Yoopt oporunaeducacinparat odos,compromet idademaneramuypart icularconlos sect oresdelasociedadformadosporaquellos,comodiceFreir e,quesimplement e sobreviven.Laapropiacindelasmat emt icasyeldesarrollodelpensamient omat emt ico porpart edeest ossect oresdelasociedadesfundament alparasalirdeesasit uacinde slosobrevivir.Porot ro lado,t enemosque laevaluacinj uega unpapelmuy import ant een det erminar quienes sobreviven en la escuela.Ennuest ropassedebat imuypocoacercadesidebemoshablardemat emt icao mat emt icas en los t iempos de la mat emt ica moderna. Dada la influencia de est a lt ima se impusoelusodelt rminoensingular.Laasignat uraenlaescuelapasallamarse Mat emt ica. A pesar de est a influencia no se lleg a lograr una unificacin de la disciplina en laescuela.Tampocoseest andarizelusodelt rmino.Porej emplo,haydepart ament osde mat emt ica y cursos de mat emt icas.I ncluso en nuest ro campo hay aut ores quehablan de didct icadelasmat emt icasmient rasqueot roshablandedidct icadelamat emt ica. Encont ramost ambinelusodelasexpresionesmat emt icaspurasyaplicadas,t alesel casodeundepart ament oquellevaesenombreenunareconocidauniversidadvenezolana. Paraevit arest aproliferacindet erminologay est arat onoconlosdesarrollosrecient esen elcampodelasmat emt icasadopt olaexpresincienciasmat emt icas.Muchasvecespor razones de brevedad usar simplement e el t rmino mat emt icas. Desdelaperspect ivadelascienciasmat emt icas,laat encinsefij aeneldesarroll odel pensamient omat emt ico.Est osignificaquesesuperaladivisint radicionaldelas mat emt icasengeomet ra,arit mt ica,lgebrayt rigonomet raquehaprevalecidoenlas mat emt icasescolares.Siguiendolasargument acionesdeSt een( 1998) ,consideroel sist emat ot aldelasmat emt icasformadoporideasent relasqueencont ramosest ruct uras mat emt icasespecficascomoNmeros,Algorit mos,Razones,Formas,FuncionesyDat os;at ribut os t ales como:lineal, peridico, simt rico, cont inuo, aleat orio, mximo, aproximado y uniforme; accionescomorepresent ar,cont rolar,demost rar,descubrir,aplicar,const ruirun modelo, experiment ar, clasificar, visualizar y calcular; abst racciones como smbolos, infinit o, opt imizacin,lgica,equivalencia,cambio,semej anzayrecursin; act it udescomo pregunt arse,quererdecir,bellezayrealidad; comport amient oscomomovimient o,caos, resonancia,it eracin,est abilidad,convergencia,bifurcacinyoscilacin; ydicot omascomo Discret ovs.Cont inuo,Finit ovs.I nfinit o,Algort micovs.Exist encial,Est ocst icovs. Det erminist a y Exact o vs. Aproximado ( St een, 1998, pp. 9- 10) . Lacomplej adiversidaddelascienciasmat emt icasesenfat izadaenest eenfoque,deella surgen ideaspara laconst ruccindeuncurrculot ej idoconvarios hilos conduct ores.Como Universidad Nacional Abierta11 sealant eriorment e,est oshilosconduct oresnoselimit analat radicionaldivisindelas mat emt icasenramas.Esimport ant esealarquedent rodeest aperspect ivat ambinse superalavisindelasmat emt icasdeunaooniveldet erminadocomopreparacinpara las mat emt icas que se est udiarn en el ao o nivel siguient e.Parat erminar,lapropuest adeunapedagogadelascienciasmat emt icaspermit iradarle formaaladisciplinayevit arafalsasdicot omas,comolaint roducidaporDAmorequien divideladidct icaendost olet esdenominadosAyBrespect ivament e.Est et ipode dicot omascont ribuyeafoment arlaseparacinent rel at eoraylaprct icapedaggica,lo cualesinsost enibleeinacept able.Ennuest rapropuest anosacercamosmsbienala definicindelapedagogadelascienciasmat emt icascomosoport eparaunacienciadel diseo que incluye a la didct ica y la met odologa de la enseanza.Didct ica de las mat emt icas Ladidct icadelasmat emt icasseocupadeest udiarelprocesodidct ico.Elproceso didct icoest formadoport rescomponent esylasrelacionesent reellos,est osson: 1)el cont enidodelaenseanza,2)laenseanzay3) elest udio( Danilov,1960) .Cuando hablamosdecont enidodelaenseanzanosreferimosalcursooasignat ura,alconj unt ode conocimient osorganizadosparalaenseanza,paraquelosest udiant eslopuedanasimilar mediant eelest udioact ivo.Porej emplo,cuandonosreferimosallgebralinealenel cont ext o del proceso didct ico, se t rat a del conocimient o seleccionado para ser enseado en cursosdeest aramadelasmat emt icas.Laenseanza,labordelprofesor,consist edela exposicindelaasignat ura,laorganizacindelasact ividadesdeaprendizaj eenlas unidadesdidct icas,ent rat ardeformarenlosest udiant eselhbit oderazonar mat emt icament e,endirigirelest udioindividualdelosest udiant esyenevaluarlos aprendizaj es logradospor losest os.Nosreferimost ant oa laenseanzaque serealizaenel aulaenpresenciadelosest udiant escomoalaqueserealizaadist anciapormediode mat erialesinst ruccionalesimpresosodist ribuidosporlaweb.Porult imo,elest udiose refierealavariedaddeact ividadesquedebenrealizarlosest udiant esparaasimilarel cont enido.Ent endemoselest udiocomoelcomponent edelprocesodidct icoqueconect a la enseanzaconelaprendizaj e.Enot raspalabras,elprofesorenseaelcont enido especificado en un curso det erminado, si los est udiant es est udian asimilarn los cont enidos;de lo cont rario no aprendern. No import a cuant o esfuerzo haga un profesor por ensear un cont enidodado,silosest udiant esnoest udiannuncaaprendern.Est acaract erizacindel est udio cobra an ms relevancia en el cont ext o de la educacin a dist ancia.Part iendodelaconsideracinant erior,t enemosqueladidct icaseocupadeest udiar problemasrelacionadosconlaenseanza,elcont enidodelaenseanzayelest udio;disearsolucionesparaesosproblemasyevaluarsubondad.Enelcasoquenosocupaen est ecursoset rat aent oncesdeproblemasquet ienequeverconlaenseanzadellgebra lineal, los cont enidos de lgebra lineal que se ensean y el est udi o del lgebra lineal.Porot rolado,asumimosqueladidct icadelasmat emt icaseunacienciadeldiseo.Es decirnosequedaenelest udiodelosproblemas,sinoquebuscasolucionesylasevala. Unavezident ificadoslosproblemassediseanint ervencionespararesolverlosyseevala suefect o,t alcomosehaceenlaingenierayenot rascienciasdeldiseo.Paralograrest e fin,enladidct icadelasmat emt icassehandesarrollado,adapt adooadopt ado met odologasespecficas,t alescomo: a)elexperiment odidct ico,b) laingenieradidct ica y c)el est udio de la leccin.Est asmet odologasfuerondesarrolladasdent rodediferent est radicioneseneducacin mat emt ica.Elexperiment odidct icofuedesarrolladooriginalment eenlaUninSovit ica, baj olainfluenciadelasescuelaspsicolgicasyeducacionalessovit icas.Post eriorment e, unaversindelexperiment odidct icofuedesarrolladaenlosEst adosUnidos, part icularment eporlosinvest igadoresdelaUniversidaddeGeorgia.Laingeniera 12Didctica del lgebra y la Probabilidad didct icaes unacreacindelaescueladidct icafrancesa.Ylaleccininvest igacines una met odologa desarrollada en Japn.Experiment o didct ico Elexperiment odidct icofuedesarrolladoporpsiclogosypedagogossovit icos.Est a met odologafue descubiert a poreducadoresmat emt icosest adounidensescomo result adosdelast raduccionest rabaj osdeinvest igacinsovit icosdeeducacin mat emt ica,comopart edelt rabaj odelGrupodeEst udiodelaMat emt icaEscolar ,elcual funcionabaenlaUniversidaddeChicago.Mst arde,unaadapt acindeest amet odologa fuehechaporlosconst ruct ivist asdelaUniversidaddeGeorgia,Est adosUnidos,ent relos que se dest aca Leslie St effe.El primer t rabaj o en espaol sobre el experiment o didct ico fue present adoporMosquera(1989) enlaI I I ReuninCent roamericanaydelCaribede FormacindeProfesoreseI nvest igacinenMat emt icaEducat ivaqueserealizenSan Jos, Cost a Rica. Laprohibicin,en1936,delat eorayprct icadelapsicomet raenlaUninSovit icat uvo unimpact ot remendoenlamet odologadeinvest igacinenelcampodelapsicologadela educacin( BogoyavlenskyyMemchinskaya,1973) .Lospsiclogosdelaeducacin comenzaronamodi ficarsuespaciodeproblemas.Ent oncescomenzaronaest udiarlas t ransformacionescognoscit ivasqueseproducenlosest udiant esbaj olainf luenciadel sist ema educat ivo. En especial, ( ) fuenecesarioaclararcmolosmt odosdeenseanzayelcont enidodelas nociones det erminan lascaract erst icas psicolgicasdelaprendizaj e,ycualesel significadodelaact ividaddelospropiosalumnosdurant eelaprendizaj e( ) ( Bogoyavlensky y Memchinskaya, 1973, p. 125)Sobre est e aspect o, Zankov ( 1973)seala que Lasimpleobservacinaunqueesencialpara est ablecerlosaspect os t picosde laenseanzanopodaproporcionarmat erialparavalor arlaeficaciadecada mt odo.Aest epropsit oseusunexperiment odeenseanza,enformade leccionesespecialesrealizadasencondicionesescolaresnormales,ydet areas experiment ales realizadas por un nmero rest ringido de alumnos.( p. 272)Est e cambio de act it ud se puede resumir en la afirmacin: los procesos ment ales no se slo semanifiest andurant e laact ividad, sinoqueseformandurant e laact ividad.Est aidea se l e at ribuyeaRubinst ein( BogoyavlenskyyMemchinskaya,1973) .As,hacesuent rada definit iva la t eora de la act ividad en la psicologa sovit ica.Lospsiclogosdelaeducacinempezaronadedicarseaest udiareldesarrollocognoscit ivo delniobaj olainfluenciadelaeducacinylaenseanza.Est olesllevaldesarrollodeun nuevot ipodeexperiment onat ural,elexperiment odeenseanza(Bogoyavlenskyy Memchinskaya,1973) .Durant elarealizacindeest et ipodeexperiemnt o: lospropios psiclogosenseabanyformaban nociones,habilidadesohbit os,acoplandoenel cursode losexperiment oselest udioylaaccin ( BogoyavlenskyyMemchinskaya,1973,p.127) . Lospsiclogosdelaeducacinsovit icost ambinest udiaronelt rabaj odedocent es ident ificadoscomoexpert osenlaenseanzadeasignat urasespecficas( Fleshner,1973) . Adems,combinabanensusest udioslaenseanzaexperiment alconexperiment os individuales ( Krut et sky, 1973) .Rubinst ein(1967) ensucrt icaalexperiment ot radicionalenpsicologa,proponela int roduccinde variacionesmet dicas,quevienenasercomounacombinacinent rele experiment oylaobservacin,ascomoot rosmt odosauxiliares ( p.56) .Enpart icular, Rubinst einhacereferenciaalexperiment onat ural ,elcual fuediseadoporLasurski.Precisament e,enexperiment onat uralsecombinanlaexperiment alidadconlanat uralidad Universidad Nacional Abierta13 delascondicionesenlasqueserealizaelest udio.Enest et ipodeexperiment o,primeroel invest igadorindagasobrelaact ividadaest udiarylosrasgosqueleint eresaest udiar, post eriorment eseobservanlosprocesosaest udiarencondicionesnat urales,sinla int ervencindelinvest igador.Lasurskiresalt abalanecesidaddeevit arlainfluenciadirect a delinvest igadorsobrelospart ici pant esylasit uacincomounaformadegarant izarla nat uralidad del experiment o ( Rubinst ein, 1967) . Rubinst ein( 1967) desarrollunavariant edelexperiment onat uraldeLasurski.Enest a variant esesuponequeelniosedesarrollabaj olainfluenciadelaeducacinyla enseanzaenlaescuela.Port ant o,noesposiblepensarenelmant enimient ode sit uacionesfuer adet odainfluencia.Adems,seconsideraquelainfluenciaej ercidaenlos est udiant es por medio de la accin pedaggica es nat ural.Por t ant o, Est udiamosalniomient ras leenseamos.No renunciamosalexperiment oa favordelaobservacindelprocesopedaggico,sinoqueut ilizamoslos element os de la influencia pedaggica en el experiment o y est udiamos al nio enlasleccionesexperiment ales .Enellasnonosesforzamosporfij aren primer lugar el est adio o el nivel en el cual se halla el nio, sino en ayudarle a progresardesde esenivelalsiguient e superior.Eneseprogresoreconocemos luego las leyes de la psique infant il.( Rubinst ein, 1967, p. 57)I ngeniera didct ica Laingenieradidct icasurgienelcampodeladidct icadelasmat emt icasfrancesa.La ingeniera didct ica surgi a principios de los aos 80, Como seala Douady ( 1996) :Enest econt ext oelt rminoingenieradidct icadesignaunconj unt ode secuenciasdeclaseconcebidas,organizadasyart iculadasenelt iempode formacoherent eporunmaest ro-ingenieroparaefect uarunproyect ode aprendizaj edeuncont enidomat emt icodadaparaungrupoconcret ode est udiant es. [ ]( p. 241)Laingenieradidct icaescaract erizadaporDouadycomoelmot ordeladidct icadelas mat emt icas.ParaArt igue( 1996) ,laingenieradidct icaesunesquemaexperiment albasadoen realizacionesdidct icasenelaula,est oes,enlaconcepcin,realizacin,observaciny evaluacin.Enlaingenieradidct icasedist inguent radicionalment edosniveles: (1) micro-ingenieray( 2)macro- ingeniera.Ot racaract erst icadeest amet odologadeinvest igacin essuint ersenlavalidezint erna,fundadaenlaconfront acinent reelanlisisaprioriya post eriori .Lasprincipalesdiferenciasent relaingenieradidct icayot rasmet odologasde invest igacineneducacinmat emt icanoseencuent ranensusobj et ivos,sinoensu funcionamient o met odolgico. Art igue (1996) ident ifica cuat ro fases de la ingeniera didct ica:1.Anlisisprevio.Elt rabaj oenest afaseseapoyaenuncuadrot ericodidct ico generalyenconocimient osdidct icosyaadquiridoseneldominioest udiado. Tambin se apoya en una serie de anlisis:-Epist emolgico de los cont enidos propuest os para la enseanza,-De la enseanza habit ual y de sus efect os,-Delasconcepcionesdelosalumnos,delasdificult adesyobst culosquemarcan su evolucin, -Del campo de rest ricciones en el cual va a sit uarse la realizacin didct ica,14Didctica del lgebra y la Probabilidad -( ) ,t enerencuent alosobj et ivosespecficosdelainvest igacin( Art igue,1996, p. 198)Est os anlisis pueden hacerse en t res dimensiones, las cuales son:-la dimensin epist emolgica asociadas a las caract erst icas del saber en j uego;-ladimensincognit ivaasociadaalascaract erst icascognit ivasdelpblicoalque est dirigido la enseanza;-ladimensindidct icaasociadaalascaract erst icasdelfuncionamient odel sist ema de enseanza.( Art igue, 1996, p. 200) 2.Concepcinyanlisisaprioridelassit uacionesdidct icasdelaingeniera. Elinvest igadort omaladecisindeact uarsobreunnmerodet erminadode variables,lascualessuponepert inent esparaelproblemaest udiado,delsist emano fij adasporlasrest ricciones.Encont ramosdost iposdeest asvariables: micro-didct icas( olocales) ymacro- didct ica( oglobales) .SegnArt igue(1996) ,hayuna t endenciaaconsiderarprimerovariablesmacro- didct icas,t alescomo: usode t ecnologaoeldiseoderecursosadecuadosparaelest udio,yluegosepasaalas variableslocales; elplanodelprocesodeenseanzaconsiderandolasalt ernat ivas locales.Elhechoquelasvariablesmacro- didct icasseanconsideradasdeant emano alasvariablesmicro- didct icas,nosignificaqueseanindependient esdeest as lt imas. Elobj et ivodelanlisisapriories,pues,det erminardequformapermit enlas opcionesefect uadascont rolarloscomport amient osdelosalumnosyesent idode esoscomport amient os (Art igue,1999,p.205).Est eanlisiscont empladospart es:( a)descript iva y ( b)predict iva.Tradicionalment e, en est e anlisis a priori:-Sedescribenlaopcionesefect uadasalnivellocal( remit indolas,event ualment e, a las opciones globales) , y las caract erst ica de las sit uaciones a- didct icas, -Seanaliza elpesoque lainversinenest a sit uacinpuede t enerparaelalumno, part icularment e en funcin de la accin, de la opcin, de la decisin, del cont rol y delavalidacindequeldispone,unavezoperadaladevolucin,enun funcionamient o casi aislado del profesor,-Seprevnloscamposdecomport amient osposiblesyseprocuramost rardeque forma el anlisis efect uado permit e cont rolar el sent ido de esos campos y asumir, enpart icular,quel oscomport amient osesperados,siint ervinieran,result aran clarament edelaaplicacindelconocimient oest ablecidoporelaprendizaj e.( Art igue, 1996, p. 205)Tradicionalment e,elprofesorest pocopresent eenelanlisisapriori.Est e t rat amient odel profesorsej ust ificaporrazoneshist ricas.Ladidct icadelasmat emt icasenFranciase desarrollbaj olainfluenciadelconst ruct ivismodelaescueladeGinebra,lideradapor Piaget . Est a se caract eriza por el rescat e de la import ancia del est udiant e.Pero, est e rescat e significlamarginacindelprofesor,t ant oalniveldelamodeli zacincomodela t eorizacin.Resalt aArt igue( 1996) queelprofesorj uegaunpapelmarginalenladidct ica delasmat emt icasfrancesa.Anms,enlosfenmenosdidct icosenqueest n implicadossonconsideradoscomoruidosrelat ivosalfuncionamient o.Dealgunamanera,el cont rat odidct icopermit elaent radadelprofesordelprofesorenelsist emadidct icocomo act or. 3.Experiment acin.Est afasenonecesit amuchaexplicacin,yaqueserefiereala puest a en prct ica de las act ividades planificadas.Universidad Nacional Abierta15 4.Anlisisapost erioriydeevaluacin.Seapoyaenelconj unt odelosdat os recogidosdurant elaexperiment acin: observacionesdelassesionesdeenseanza, incluyendot ambinproduccionesdelosest udi ant esdent royfueradelaula.Con frecuencia,est osdat ossoncomplement adoscondat osobt enidospormediode met odologasext ernas; t alescomo: cuest ionarios,pruebasindividualesogrupales, et c.Esoport unorecordarqueenlaconfront acindelosresult adosdelanlisisa prioriydelanlisisapost erioriesquesefundament alavalidacindelashipt esis consideradasenlainvest igacin. Est avalidacinint ernanot ienequeverconla validacinest adst icat picadelosest udiosquesebasanenlacomparacindeun grupo cont rol con un grupo experiment al.La ingeniera didct ica se ocupa de dos problemas import ant es: ( a)la reproducibilidad y ( b) la obsolescencia.Act ividad 1.1 Compare y cont rast e el experiment o didct ico y la ingeniera didct ica. Leccin de est udio Lamet odologaleccindeest udiofuecreadaenJapnydescubiert aporinvest igadoresde lospasesoccident alesdurant eeldesarrollodelThirdI nt ernat ionalMat emt icsandScience St udy( TI MSS) .EnChinaseusaunamet odologaquet ienemuchoselement osencomn conlaleccindeest udio( Mart onyMaiFing,2003) .Est amet odologafuedivulgada ampliament eenOccident epormediodellibrodeSt igleryHibert (1999) .Laexpresin st udyLesson fueacuadaporMakot oYoshidaapart irdelt rminoj aponsj ugyou kenkyuu. Sobre est e asunt o Cat herin Lewis coment a lo siguient e:Kenkyuuj ugyousignificaresearchlesson( ost udylesson) ,yserefierealas leccionesquelosprofesoresplanifican,observanydiscut enconj unt ament e. Jogyoukenkyuuusandolasmismasdospalabrasant erioresperoenorden invert idosignificalessonresearch( olessonst udy) ,yserefierealprocesode mej oramient oinst ruccionaldelcuallaresearchlessoneslapiezafundament al.( p. 2, cit ado en Mart on y Mai Fing, 2003)Hast a aqu t enemos ent onces que, segn Lewis, la met odologa es la leccin de est udio y las leccionesdeinvest igacin son lasleccionesdiseadasporlosprofesor es yformansu ncleo cent ral.Ent relospasesoccident ales,part icularment eenlosEst adosUnidosnumerosos educadoreshanmost radounespecial int ersporest amet odologa.Porej emplo,el prest igiosoTeachersCollege,delaUniversidaddeColumbia,hacreadoelLessonSt udy ResearchGroupdedicadoalainvest igacinydesar rollousandolamet odologadelest udio de la leccin.Lasleccionesdeinvest igacint ienencincocaract erst icascomunes: ( 1) sonobservadaspor ot rosprofesores,( 2)sonplanificadaspor losprofesores cooperat ivament e, usualment eest e procesot omaunt iempoconsiderable,(3) secent ranenunobj et ivoeducacionalpart icular, ( 4) sonregist radasydocument adasy( 5) sondiscut idasporlosprofesoresinvolucrados ( adapt ado por Mart on y Mai Fing, 2003 de Lewis ( 2000)y Lewis y Tsuchida ( 1998) ) .Laleccindeest udiopuedeserconsideradacomounprocesodedesarrolloprofesional dondeungrupodeprofesoresseinvolucranparaexaminarsuprct ica,conelobj et ivode serms efect ivos.Adems, laleccindeest udioesun int ent ode mej orarelaprendizaj een losest udiant es.Laprct icaesexaminadaenelcont ext odeldesarrollocooperat ivodeun pequeonmerodeleccionesinvest igacin.Est edesarrollocooperat ivoincluyela planificacin, la enseanza, la observacin y la crt ica de las lecciones.Para darle direccin y propsit oasut rabaj olosprofesoresseleccionanunobj et ivoypregunt asdeinvest igacin 16Didctica del lgebra y la Probabilidad relacionadas.Est aspregunt asdeinvest igacinsirvenparaguiarel t rabaj odelosprofesores en t odas las lecciones invest igacin.Unodelosprincipal essupuest osenlosquesebasalaleccindeest udioesqueellugar ms efect ivo para mej orar la enseanza es el cont ext o de una leccin en el aula.Se plant ea t enercomopunt odepart ida laleccin,deest a manera sepiensaqueelproblemadecmo aplicarlosresult adosdelainvest igacinalauladesaparece.Lasmej orassurgendent rode la misma aula, en primer lugar ( St iegler y Hibert , 2003) .Losprofesoresque seembarcanen unaleccin deest udio,conj unt ament eelaboranunplan det alladoparalaleccin.Est eplanserusadoporunodelosprofesoresensuaula,los ot ros miembros del grupo observan el desarrollo de la leccin. Luego el grupo se rene para discut ir lasobservacionessobrela leccin.Con frecuencia, elgruporevisalaleccinyluego unsegundoprofesorimplement ast aensuclase,yelgrupot ambinobservaest anueva puest aenprct icadelaleccin.Elgrupodereunirot ravezparadiscut irlasclases observadas.Comopasofinal,elprofesorproduceunreport edeaquelloquehanaprendido de su leccin invest igacin, poniendo nfasis especial en su pregunt a de invest igacin.La leccin de est udio es un proceso de cambio desde la base, opuest o al modelo de cambios impuest osdesdearriba.Lapuest aenprct icadeunest udiodelaleccinrequiereprimero quet odolaformacindeunGrupodeEst udiodelaLeccin(GEL) ,formadoporunnmero decincoasiet eprofesores.ElGELserenet resacuat rovecesporsemana.Elobj et ivode est asreunionesesdesarrollarymej orarunaleccinexperiment almodelo.Losprofesores set omanunaoent eroendesarrollarvariasleccionesde45minut os.LosGELnoest n relacionadosconprocesosdeevaluacindeldesempeodelosprofesoresnicon recompensassalariales.Est osgrupossonbast ant epopularesyt enidosenalt aest imaent re losprofesoresj aponeses.Veamosacont inuacin,endet alle,elprocesodelaleccinde est udio:1.Definir el problema y el obj et ivo de aprendizaj e.El GEL ident ifica un obj et ivo de aprendizaj egeneraloespecficoparasert rat adoenunaleccinenunaula,lacual serenseadaporunodelosmiembrosdelGELyobservadaporelrest odesus miembros.2.I nvest igaryplanificarlaleccin.LosmiembrosdelGELrevisaninvest igaciones report adasenart culosderevist asylibr osrelevant esparaelproblemapropuest o.Laleccinesdesarrolladaconbast ant edet alle.Seescogesiempreunprobl emapara iniciarcadaleccin.Est eproblemaesdiscut idocondet enimient oydiseado, adapt adooescogidodemanerat alqueest ensint onaconlasexperienciase int ersesdelosest udiant esquerecibirnest aleccin.Esdiseadalamanera precisa como el profesor present ar el problemaa los est udiant es.El GEL resuelve el problema,desarrollant odaslassolucionesposibles,sepiensaenlasposibles respuest as,pensamient osypreocupacionesquesurgiranenlosest udiant esal t rabaj arenelproblema,ycmoelprofesorresponderaael las.Lospreparat ivosde laleccinincluyenelusodelpizarrnylamaneracmoelprofesorcerrarcada leccin.UnavezqueelGELcomplet aeldiseodelest udiodeleccinparael problema det ect ado, st e es present ado a t odos los profesores de la escuela. Con las observacionesdeloscolegas,losmiembrosdelGELpreparanlaversindelest udio de la leccin que ser implement ado.3.Ensearlaleccin.Eldaant erior,enJapnacost umbranhacerloenlanoche ant erior,alapuest aenprct icadelaleccin,losprofesorespreparant odoslos mat erialesnecesariosyensayanlaleccin.Eldadelaleccin,losprofesoresdel GELasist enparaobservarasucolega,paseanport odaelaulaobservando minuciosament elasreaccionesdelosest udiant es.Lasclasesdelosot rosprofesores sonmient ras t ant oat endidaspordosest udiant escomomonit oressinsupervi sinde Universidad Nacional Abierta17 ningnadult o.Algunasveces,ademsdelaobservacininsit u,segrabael desarrollo de la leccin.4.Evaluar,reflexionaryrevisar .Losmiembrosdelgruposuelenquedarsedespus det erminadalaj ornadapararef lexionaryevaluarlaleccin.Primeroint ervieneel profesorqueenselaleccin,luegoint ervienecadamiembrodelgrupo,discut en sobrelaspart esdelaleccinquesalieronbienylasqueno,basndosesiempreen susobservacionessobreelt rabaj odelosest udiant es.Elcent rodelaat encinesla leccin,noelprofesor.Elprincipalobj et ivodelGELesdisearunamej orlecciny t odos est n compromet idos con ese obj et ivo.5.Ensearlaleccinrevisada.Laleccin revisadaesenseadaot ravez,a ungrupo diferent edeest udiant es,confrecuenciaporunmiembrodiferent edelGEL.Est a segundavezt odoslosprofesoresdelaescuelasoninvit adosaobservarlaleccin. Est eevent oesint eresant eyhast adramt ico,porqueenescuelasgrandesmuchas veces hay en el aula ms profesores que est udiant es.6.Evaluar, reflexionar y compart ir los result ados. El paso siguient e es la discusin delaleccincont odoslosprofesoresdelaescuela,algunasvecesinvit anaalgn expert odeot rainst it ucin.Enest areuninsonrecogidast odaslasobservaciones, losmiembrosdelGELregist rant odoest eprocesoenunlibroescrit oporellos mismosparasercompart idoconot rosprofesores.Est elibroesalmacenadoenla saladerecursosdelaescuela,algunosdeest oslibroslleganaserpublicadospara serusadosent odoelpas.Algunasvecessucedequeprofesoresdeot rasescuelas soninvit adosaobservarleccionesenlaescuela,enunaespeciadeferiadela leccin , est e moment o es considerado como una ocasi n fest iva para los profesores. Las lecciones modelo son discut idas en conferencias nacionales de profesores y guan lasaccionesdel osprofesoresent odoelpas(t odaest ainformacinfuet omadade Morgan, 2001, disponible en as1.seat t leschools.org/ alt _ed/ lesson_st udy.ht m) .St igleryHibert (1999,cit adoenMart onyMaiFing,2003) ident ificaronochopasosenel diseodeunaleccindeest udio.Encont ramosalgunasdiferenciasent reesospasosylos descrit os ant eriorment e propuest os por Morgan ( 2001) . Primero,Al igual como sucedi con el experiment o didct ico sovit ico, en Occident e se desarroll una nueva met odologa que surge del est udio de la leccin.Est a nueva met odologa es la leccin de aprendizaj e propuest a por Mart on (2002)en Noruega.Act ividad 1.2 1.Compare y cont rast e el experiment o didct ico con la leccin de est udio. 2.Compare y cont rast e la ingeniera didct ica con la leccin de est udio. 3.Elaboreunat abladondeident ifiqueloselement oscomunesent reest ast res met odologas.Enest aseccinest udiamosladidct icacomoprocesoehicimosnfasisensucarct erde cienciadeldiseo.Dedicamosespecialat encinat resmet odologascaract erst icasdela didct icadelasmat emt icas: a) elexperiment odidct ico,b) laingenieradidct icayc) el est udiodelaleccin.Est asmet odologashansidousadasporeducadoresmat emt icosde manerapart icularparaindagarsobreproblemaspropiosdeladidct icadelasmat emt icas y el diseo de soluciones a esos problemas.Didct ica del lgebra lineal Ladidct icadellgebraLinealesunadelasramasmsj venesdeladidct icadelas mat emt icas.Aunqueaisladament esehabanpublicadot rabaj osdeinvest igacinsobre t emasdeenseanzayaprendizaj edellgebraLineal,noessinoenladcadade1990que 18Didctica del lgebra y la Probabilidad comienzaaest udiarseest alt imademanerasi st emt ica.Podemosdist inguirdosgrandes corrient es en esos comienzos. Por un lado, el movimient o de reforma curricular que se inici enlosEst adosUnidosmot orizadoporelLinearAlgebraCurriculumGroup(Grupodel CurrculoenlgebraLineal) .Porelot rolado,encont ramoslasinvest igacionesiniciadaspor J. Dorier en Francia dent ro del campo de la didct ica de las mat emt icas francesa. Est os dos movimient osnoagot an,comoveremosmsadelant e,t odoloquesehahechoendidct ica dellgebraLineal.Msrecient ement e,seinicialainvest igacinendidct icadellgebra Linealdent rodelalneadeinvest igacindeldenominadopensamient omat emt ico avanzado, la cual fue fundada por Dubinsky. Ust ed ya t uvo la oport unidad de est udiar sobre est alneaenelcursodeDidct icadelClculo. Enlaleccinquesigueveremosunbuen nmero de casos de invest igaciones en didct ica del lgebra lineal.Amaneradeconclusin,part imosdeunapresent acindelapedagogadelasciencias mat emt icasydist inguimosaladidct icadelasmat emt icascomounadesusramas. Seguidopasamosaconsideraraladidct icadellgebralinealcomo uncasopart icularde la didct icadelasmat emt icas.Ladidct icadellgebralinealseocuparaent oncesde est udiarelprocesodidct icoreferidoalaeducacinencont enidosdeest aramadelas mat emt icas. Referencias ANDER-EGG, Ezequiel(1979) .Hacia una pedagoga aut ogest ionaria. Caracas: El Cid.BEDOYA M., Jos I .(2001) : Epist emologa y pedagoga. Bogot : Ecoe. BOGOYALENSKY, D. N. y MENCHI SKAYA, N. A.( 1973) .La psicologa del aprendizaj e desde 1900 a 1960.En M. CECCHI NI(comp.) ,Psicologa y pedagoga ( pp. 119- 188) .Madrid: Akal. COBB, Paul y STEFFE, Leslie P.(1983) .The const ruct ivistresearcher as t eacher and model builder.Journal for Research in Mat hemat ics Educat ion, 14, 83- 94. DANI LOV, M. A. (1968) . El proceso de enseanza en la escuela.( L. ABOLLADO VARGAS, Trad.) . Mxico:Grij albo. ( Original 1960)DAVI DOV, V.(1988) .La enseanza escolar y el desarrollo psquico ( M. SHUARE, Trad.) Mosc: Progreso.( original 1986)ENGELHARDT, P. 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Aut o- Evaluacin 1 1.I ndique cules son lo component es del proceso didct ico. . 2.Explique en qu consist e el experiment o didct ico.3.Elabore un breve ensayo donde describa la ingeniera didct ica.4.Describa el est udio de la leccin o leccin de est udio.5.Cul es el cent ro de at encin de la perspect iva de las ciencias mat emt icas? 6.Elabore una list a de las ideas ident ificadas por St een como element os import ant es de las mat emt icas.7.Cul el principal obj et ivo que se busca con la int roduccin de la expresin pedagoga de las ciencias mat emt icas? 8.Cul es el obj et o de est udio de la didct ica de las mat emt icas? Leccin 2 I nvest igacin en Didct ica del lgebra Lineal Comosealamosaliniciodeest aUnidad,laLeccin2est dedicadaaunarevisindela invest igacinendidct icadellgebraLineal.Nopret endemosser exhaust ivosenest a revisin.Loimport ant eesqueust edseformeunavisingeneraldelosprincipales problemasquesehaninvest igado,delasmet odologasut ilizadasydelosprincipales result ados report ados.Primeros pasos en la invest igacin Elprimert rabaj oquehemosident ificadoenelcampodelaeducacinmat emt icasobrela enseanzayaprendizaj edellgebralinealeslat esisdedoct oradodeHarel( 1985) , present adaant elaUniversidadBen- GurionenI srael.Port ant o,consideramosaest eaut or comoelpioneroenest amat eria.Esainvest igacint enaqueverconlaenseanzadel lgebralinealenlaescuelasecundaria(High-schoolenI srael) .Mst ardeesemismoaut or seocupdelaenseanzadeest aramadelasmat emt icasaniveluniversit ario( Harel, 1989, 1997, 1999) . Enelprimerode est ost rabaj os,Harel(1989) sebasaenelprincipiode las incorporaciones1 mlt iples propuest o por Z. P. Dienes a principios de los aos de 1960.Est eprincipiohabasidout ilizadoexclusivament eenelcasoderepresent acionesconcret as deconcept osdelasmat emt icaselement ales,hast aqueHarel( 1989) lousent emasde lgebralinealaniveluniver sit ario.Enest elt imocasoseplant eacomoproblemaquelas incorporacionesusadasfrecuent ement eenesenivelnosonconcret assinoabst ract as.Por ej emplo,lamayorade loslibrosdet ext odelgebralinealrevisadospor Harel( 1989) usan incorporacionesalgebraicasenlugardeincorporacionesgeomt ricasyprest anpoca at encinalafamiliarizacinde los est udiant esconlas incorporacionesusadas.Harel ( 1989) seplant e lapregunt asiguient e: Unnfasisen la incorporacinen unsist emageomt rico familiarllevaalosest udiant esaunamej orcomprensindelconcept odeespaciovect orial queunnfasisenunaincorporacinenunavariedaddesist emasalgebr aicosno familiares? (p.49) .Est esist emageomt ricofamiliaresunaincorporacinsemi - conret a.Paraqueeseprocesodeincorporacinfuncioneserequierequelasit uacinusadasea familiar y comprendida complet ament e por los est udiant es (Harel, 1989) .Enest eest udiopart iciparonset ent aydosest udiant esdelsegundosemest reuniversit ario enuncursodelgebralinealparaest udiant esinscrit osenunprogramadet ecnologaen una universidadenI srael.Losest udiant es fueronasignadosaleat oriament eadosgrupos, A yBrespect ivament e,det reint ayseismiembroscadauno.Ambosgruposrecibieronclases deunmismoprofesor,elcualusprincipalment eelsist emaRnparailust rarideas abst ract asenseadasenclase,sinhacerreferenciaalaint erpret acingeomt ricadeesas ideas (Harel, 1989) .Ambos grupos recibieron dos horas de clase adicionales semanalment e de recit acin2,elgrupoArecibiclasesext rasconunavariedaddeincorporacionesdelas ideasabst ract asquefueront rat adasenlasclasesant eriores.Mient rasqueelgrupoB recibiel t rat amient oregulardelgrupoAslodurant eunahorayenlaot rahoraseledio 1 Traducimos como incorporacin el trmino ingls embodiment el cual significa que un objeto (fsico o mental) es tomado por otro porque se asume que tiene sus mismas propiedades.Por ejemplo, los bloques de Dienes son una incorporacin del sistema de numeracin posicional. 2 En Israel el modo de enseanza por recitacin consiste en una sesin dedicada exclusivamente a la formulacin de preguntas por parte del profesor, ste escoge a un alumno para que responda y una vez que ste lo hace el profesor comenta si la respuesta es o no correcta. 22Didctica del lgebra y la Probabilidad unt rat amient oespecialmost randocomolasideasdeespaciovect orialpuedenser incorporadasgeomt ricament e(Harel,1989) .Despusdecuat rosemanasdet rat amient o selesadminist runamismapruebaaambosgrupos,st acont enaproblemassencillos sobreespaciosvect orialesquepodaserresuelt osaplicandodirect ament eladefinicinde espaciovect orial.Ningunodelosproblemasenlaprueba,except odeunavariant edeuno deellos,fuediscut idopreviament eenclase(Harel,1989) .Tresvariablesenlasrespuest as delosest udiant esfueronconsideradas: ( a)Descripcin( a.1.geomt rica,a.2.algebraica, a.3.ot ras) ,( b) Respuest afinal( b.1.Correct a,b.2.I ncorrect ayb.3.enblanco) y( c) Just ificacin ( c.1. Correct a, c.2. I ncorrect a, c.3. en blanco)(Harel , 1989) .Losresult adosobt enidossoport anlahipt esisacercadelefect osuperiordelas incorporacionesgeomt ricasfamiliarescomparadoconlasincorporacionesalgebraicasno familiares.Porot rolado,elbaj onmeroderespuest ascorrect asde losest udiant esen uno delosproblemasconsist emasalgebraicoscuyoselement ossoncoleccionesdenmeroso funciones es unamuest rade lodifcilqueresult aparalosest udiant es t rabaj ar conest e t ipo deincorporaciones.Algunosest udiant esenelgrupoAprefirieronusarelmodogeomt rico, al que no fueron expuest os durant e el est udio, y est udiant es del grupo B prefirieron el modo algebraicoaunquef ueronexpuest osalgeomt rico.Harel(1989) at ribuyelasdiferencias ent reeldesempeoenlapruebadeambosgruposalosdiferent esenfoquesdeenseanza aquefueronexpuest oscadagrupo,ybasaest aconclusinenladist incinquehace Vinner ( 1983)ent reconcept oimagenyconcept odefinicin.Sobreest osconcept osvolveremos msadelant e.Porlt imo,Harel( 1989) concluyequeelprocesodeincorporacines esencialparaconst ruir unconcept oimagendeseadodeconcept osabst ract os ( p. 57)yque dichoprocesorequieret omarenconsideracinlafamiliaridaddelosest udiant esconesas incorporacionesyelmododerepresent acin.Adems,lasincorporacionesgeomt ricas familiaresparecieranserunacont ribucinsignificat ivaalaformacindelconcept oimagen, mient ras que aquellos modelos mat emt icos cuyos element os son una coleccin de nmeros o funciones deben ser t rat ados con precaucin.Pocosaosdespusdelapublicacindelt rabaj odedoct oradodeHarel( 1985) ,Jean- Luc Dorier(1990) present sut esisdedoct orado,enFr ancia,dondereport unainvest igacin hechadesdeelenfoquepredominant eenladidct icafrancesadelasmat emt icas,liderada por Brousseau y Chevallard, sobre la enseanza de los primeros concept os del lgebra lineal aniveluniversit ario.Lost rabaj osdeHarelpublicadoshast aesemoment oeranconocidos porDoriercomoloevidenciasuinclusinenlalist adereferenciasbibliogrficasenot ro t rabaj o donde report a part e de su t esis de doct orado ( Dorier, 1991) .Dorier(1991) formulaloquepodramosll amarunprogramadeinvest igacinydesarrollo, enelmarcodeladidct icafrancesa,cuyosobj et ivossondesarrollaringenierasdidct icas localescuyoagrupamient olleveaunenfoquegeneraldelaenseanzadellgebralineal.Supunt odepart ida,siguiendolat radicindidct icafrancesa,esunanlisishist rico-epist emolgico de la gnesis de los concept os element ales del lgebra lineal que se ensean aniveluniversit arioenFranciayseproponedesarrollaruningenieradidct icaparasu enseanza.Laconsideracindeest osdosasunt oshacequesupropuest aincorporela invest igacin y el desarrollo curricular.Product odelanlisishist rico,Dorier( 1991)ident ificacuat roet apasgeneralesenel desarrollodelosconcept oselement alesdellgebralineal,lascualesson: (1) losnexos ent reelest udiodelossist emaslinealesylaemergenciadelosprimerosconcept os ( combinacinlineal,dependenciaeindependencialineal,generadores,rango,dimensin, et c.) ,( 2) lagnesisdelosconcept osderangoydimensinquesonenefect oaspect osde unmismoconcept oquenospareceserfundament alenelcampodellgebralineal element al,( 3)laevolucingradualdesdeunosresult adosdispersoshast aunat eora unificaday(4) laaparicindelosprimerosenfoquesaxiomt icosydesupredominiot ardo ( Dorier, 1991) . Universidad Nacional Abierta23 Desdeelpunt odevist ahist rico,laresolucinyelest udiodelossist emasdeecuaciones linealesj ugunpapelpart icularment eimport ant eenlagnesisdelosconcept os element alesdellgebra lineal.Adems,elanlisisdidct icoyepist emolgico nosconducea pensarenqueunbuenconocimient odelos sist emaslinealesesunaadquisicinimport ant e paraelaprendizaj edellgebralineal( Dorier,1991) .Elanlisishist riconospermit e explicit arlaslimit acionesdet ipoepist emolgico,mient rasqueelanlisispost eriorpermit e encont rarnosconlasrest r iccionesdet ipocognoscit ivo.Dorier( 1991) seproponeun proyect odidct icodelargaduracinqueseconst ruyesobrelabasedeuncuerpode ingenierasdidct icaslocales,unconj unt ocoherent edeingenierasqueabarcanvarios t emas de lgebra lineal.Harel ( 1989)y Dorier ( 1991)fueron los primeros en invest igar sobre algunos aspect os de la enseanzayelaprendizaj edellgebralineal.Elprimerosebasaenunaperspect iva cognoscit iva,desarrollaenelcampodelaeducacinmat emt ica,propuest aporDienes.El segundoseapoyaenelenfoquedeladidct icafrancesadelasmat emt icas,enpart icular la ingeniera didct ica ( ver Leccin 1) . La invest igacin sobre el aprendizaj e y enseanza del lgebralinealsehacont inuadodesarrollandoenambasdirecciones.Ot rareaenquese han producido t rabaj os int eresant es es en la del diseo curricular.Act ividad 2.1 Elaboreunalist adeloprobl emasinvest igadoenest aprimeraet apadeladidct icadel lgebra lineal. I nvest igacin sobre el conocimient o a ensearSeinici,durant elalt imadcadadelsiglopasado,enlosEst adosUnidosunmovimient o dereformade laenseanzadellgebralineal a niveluniversit ario siguiendo en ciert aforma esfuerzospreviosporreformarlaenseanzadelclculodiferencialeint egralenesemismo nivel.Losmat emt icosint eresadosenllevaradelant eesareformaseagruparonenuna organizacindenominadaLinearAlgebraCurrculoSt udyGroup( LACSG) .Enagost ode 1990,elLACSGrealizunt allernacionalparadiscut irasunt osrelacionadosconlos problemasdelaenseanzayaprendizaj edellgebralineal.Aest et allerasist ieron principalment emat emt icosyrepresent ant esdeot rasprofesionesdondesehaceusodel lgebra lineal. Unodelosproduct osdeeset allerfueun conj unt ode recomendacionespara mej orarelcurrculodeest amat eria.Est eacont ecimient oocurreencercadelosaosen queaparecenlosprimerot rabaj osdeinvest igacineducat ivasobreellgebralineal,por ej emploHarel(1985,1989) yDorier( 1990) .Unosaosdespus,elLACSG,conj unt ament e conlaMat hemat icalAssociat ionofAmerica( MAA) ,publicunlibro( Carlsonyot ros( a) , 1997) donderecopilanunaseriedet rabaj ossobrelaenseanzayaprendizaj edellgebra linealagrupadosencincocat egoras: (1) elpapeldellgebralineal,(2) ellgebralineal vist aporlasdisciplinasclient e,( 3)laenseanzadellgebralineal,( 4)exposicindel lgebralinealy(5) aplicacionesdellgebralineal.Paralosefect osdenuest rainvest igacin nos int eresa pasar revist a a los art culos incluidos en la t ercera cat egora.Elprimerart culo( Carlson,1997) sirvedeint roduccinalconj unt odeart culosagrupados baj oelsubt t ulodeenseanzadellgebralineal.Est eart culoescomplement adoporun t rabaj odelLACSG( Carlsonyot ros( b) ,1997) dondesepresent anlasrecomendaciones ant esmencionadasyelprogramadeest udiodet alladoparaelpri mercursodelgebra lineal universit ario basado en esas recomendaciones.Carlson(1997) comienzallamandolaat encinsobreladificult adqueencuent ranlos est udiant esparaapropiarsedeconcept osdellgebralinealcomosubespacio,conj unt o generadoreindependencialineal.Cuandolosest udiant est ienenqueaprenderest os concept osseconfundenydesorient an. Comosiunadensanieblaloscubrieraynopueden verdondeest nohaciadondevan ( Carlson,1997,p.39) .Lamayoranolograsalirdela 24Didctica del lgebra y la Probabilidad niebla,ent oncessurgelapregunt a: Porqusonest osconcept ost andifcilesparalos est udiant es?Carlsonident ificalasrazonessiguient es: 1) ellgebralinealseenseamuy t emprano, 2)est os son concept os, no se t rat a de algorit mos comput acionales, 3)algorit mos diferent essonrequeridosparat rabaj arconest asideasencont ext osdiferent esy4) est os concept ossonint roducidossinconexinsubst ancialconexperienciaspreviasdelos est udiant es y sin ej emplos y aplicaciones significat ivas.Acomprensindelasideascent ralesdellgebralinealrequierendet rabaj oduro, persist encia y at encin de part e del est udiant e, sin import ar cual sea el t rabaj o del profesor.Nohaymaneradeeliminarcomplet ament elaniebla,perosepuedehacerunesfuerzopor mit igarla. El t rabaj o del LACSG apunt a precisament e en esa direccin.Uno de los product os deeset rabaj oesunapropuest adeunprimercursodelgebralinealaniveluniversit ario. Est ecursoest cent radoenlamat ricesomat rizorient ado,elcualt rat aconRnenlugarde espaciosvect orial esabst ract os( Carlson,1997) .Elplandeest ecursosugiereenfat izaruna int erpret acingeomt ricadeRn,aut ovalores,aut ovect oresyort ogonalidad. Est enfasises consideradoimport ant eporquepermit eest ableceral gunasconexionesconlasexperiencias previasdelosest udiant esconlageomet ra.Ot racaract erst icadeest ecursoesproponer quelaenseanzadelosconcept osprocedadeloconcret o,yapart irdenumerososcasos prct icosyej emplosparadesarrollarlosconcept osgeneralesprincipalesylat eora correspondient e( Carlsonyot ros( b) ,1997) .Adems,seleprest aespecialat encinalas necesidadesrequeridasdepart edeot rasdisciplinasoprofesiones,comoporej emplo economaeingeniera.Losest udiant esdeest ascarrerasengeneralnoest nmuy int eresados o mot ivados para t omar un curso de lgebra lineal abst ract a.Carlson (1997)enfoca el problema de la enseanza y el aprendizaj e del lgebra lineal desde laperspect ivadeunmat emt ico.lsepregunt a: Cmoaprendemosnosot roslos mat emt icos?,yrespondequet odocomienzaconunest muloinicial,unart culoouna conversacin,luegot rabaj amosconej emplos,hacemosconj et uras,resolvemosproblemas, hacemosdemost racionesy,finalment e,noscomunicamosconnuest roscolegas,t ant opor escrit ocomooralment e( Carlson,1997) .Est eenfoquelepareceensint onaconla perspect iva const ruct ivist a del aprendizaj e y la ms convenient e para guiar la enseanza del lgebralineal.Segnest eaut or,losest udiant espuedenaprenderaaprendermat emt icas delamaneraant esdescrit a,peronecesit anqueselesenseeexplcit ament e.Elprofesor t ienequeest imularalosest udiant esparaqueasumanlaresponsabilidaddesupropio aprendizaj e,esdecir,quet rabaj enduroydeformaefect iva.Deest amaneraseconsidera queaquelloquelosest udiant eshacendespusdecadaclase,elt rabaj oindependient econ el mat erial t rat ado en la clase es de suma import ancia, t al vez ms import ant e que la propia clase( Carlson,1997) .Lamaneradeest imularydirigirenladireccindelasdirect ricesdel cursoelt rabaj odelest udiant eseproponelaresolucindeproblemascomoest rat egia.Desdeest aperspect ivalosproblemaspropuest osj ueganunpapelfundament alenel aprendizaj e. Carlson(1997) cierrasuart culoconcincorecomendacionesparalosprofesoresdelgebra lineal: 1) laprct icaenfocadaesimport ant eparaelaprendizaj e,2) elt emorimpideel aprendizaj e,peroelaprendizaj epuedevenceralt emor,3)laprct icarequierede mot ivacin,yelxit oyelest muloparcialsonbuenosmot ivadores,4) laeleganciaenla present acindelprofesornonecesariament eayudaaest udiant eaaprender.Finalment e concluyeque: ( i)aquellosest udiant esquedeseanaprendermat emt icas,pueden aprenderlasconmuchot rabaj oduroyenfoque,( ii) losmat emt icosquecomoyoquieren convert irse en profesores ms efect ivos, pueden hacerlo con mucho t rabaj o duro y enfoque ( Carlson, 1997, p. 50) . Comomencionamosmsarriba,enunt allerrealizadoen1990,elLACSGelaborunaserie derecomendacionesparamej orarlaenseanzadellgebralinealenlauniversidad.Est as Universidad Nacional Abierta25 recomendacionessonlassiguient es: ( 1) Elprogramaylapresent acindelprimercursode lgebra linealdeberespondera las necesidadesdelasdisciplinasdonde st ase usa,(2)los depart ament osdemat emt icasenlasuniversidadesdeberanconsiderarhacersuprimer cursodelgebralinealuncursoorient adohacialasmat rices,( 3) losprofesoresdeben considerarlasnecesidadeseint eresesdelosest udiant escomoaprendices,( 4)debe est imularsequelosprofesoresusenlast ecnologasenelprimercursodelgebralinealy ( 5) porlomenosunsegundocursoent eorademat rices/ lgebralinealdeberat eneruna alt apri oridadent odocurrculodemat emt icas ( Carlsonyot ros( b) ,1997) .Losmiembros del LACSG consideran que el primer curso de lgebra lineal debe ser el ms t il de t odos los cursosdemat emt icasquet omenlosest udiant esenlauniversidad.Escapadelmbit ode est ainvest igacinpresent arlosdet allesdelprogramadeest udiodelprimercursode lgebralinealuniversit ariopropuest oporelLACSG.Algunospunt osresalt ant esdeesa propuest a fueron mencionados en los prrafos ant eriores.Ademsdelaresolucindeproblemas,ot raest rat egiadeenseanzaquehasido experiment adaencursosdelgebralinealeselusodeproyect os( Cowen,1997,Day, 1997) .Laspropuest asenest adireccinvandesdelaproposicindeunproyect oespecfico hast a el uso de unacoleccin de proyect os para ser desarrollados durant e t odo el semest re.Cowen( 1997) report aunaexperienciapersonalconlaasignacindeunproyect oque consist e en det erminar si un conj unt o de diez punt os dados en el espacio t ridimensional que est nenunmismoplanoseencuent ransobreunacircunferencia.Est eproblemasurgien elcont ext odelaindust riaaut omot riz,especficament eenlafabricacindeciert aspiezas paravehculosporpart edeunrobot .Set rat aenpart iculardelafabricacindeunt ubo parallenarelt anquedelagasolina,elcualt ieneformadeuncilindro.Set rat ade cont rolar lacalidaddelaspiezasfabricadasporelrobot .Paraellosemarcandiezpunt ossobreuna delasbocasdelt uboyseverificasiest nsobreunacircunf erencia.Delocont rario t enemosqueelt ubopresent aunadeformacinyt endramosquei nt roduciraj ust esenel robot . Se supone que los est udiant es han sido expuest os al algorit mo de ort ogonalizacin de Gram-Schmidt ylaaplicacindellgebralinealalaregresindemnimoscuadrados.La realizacindeest eproyect oobligaalosest udiant esaint egrart picosvist osendiversos moment osdurant eelcursoyalgunost rat adosencursosprevios( Cowen,1991) .Los est udiant est enandossemanasparat rabaj arenest eproyect oyelprofesorlesest imul para que lo realicen en pequeos grupos.Day( 1997) relat asusexperienciasylasreaccionesdelosest udiant esasusint ent osde ensearellgebralinealdemanerasdiferent esalat radicional.Enloscursost r adicionales deest amat eriasecubremuypocolaspropiedadesdelasmat rices,aparent ement elos concept osqueenellosseenseannosonasimiladoscomplet ament eporlosest udiant esy sucomprensingeomt ricadelosconcept osbsicosdellgebralinealescasinula.Adems,est oscursosnoat iendenadecuadament elasnecesidadesdeot rascarrerascomo ingenierayeconomaencuant oat picosdellgebralinealysusaplicaciones.Considerandoest asdeficienciasylasrecomendacionesdelLACSG,Day(1997) sepropuso comenzar a ensear su curso de lgebra lineal de manera diferent e.Supropuest aest cent radaenlaenseanzadelasmat ricesyrecurrealaint erpret acin geomt ricadealgunosconcept osprincipalesdellgebralineal.Encuant oalapedagoga int roducelosproyect osconcomput adorasyelt rabaj oenparej asparadesarrollarlos.Sin embargo,lat eorasigueocupandounlugarimport ant eenest apropuest aaunqueselimit e prct icament e a Rn. Port er( 1997) int roducelaelaboracindeensayosescrit oscomounaest rat egiapara promoverelest udiodelat eoraenuncursodelgebralinealcent radoenlasaplicaciones.Elusodeest aest rat egiaconest efinesmot ivadoporlafrecuent equej aquealos est udiant esselesdificult alacomprensindeconcept ost ericos.Losensayosescrit os fueron int roducidosparaest imularelest udiodela t eoraporpart edeungrupodecuarent a 26Didctica del lgebra y la Probabilidad est udiant esenuncursodelgebralinealcent radoenlasaplicaciones.Losest udiant es t uvieron que escribir ensayos, enparej as, sobre los t emas t rat ados en el libro del curso.En est elibroseledabamuypocacobert uraalat eoraporelnfasisqueleponaalas aplicaciones. AligualqueDay( 1997) ,Port er( 1997) propone uncursodesdelaperspect iva sealadaporelLACSGperoconelcuidadodenosacrificarlaeleganciaylapot enciadela t eoradellgebralineal.Segnelaut orlosest udiant espart icipant eslograronunprogreso subst ancialenlacomprensindelost picost rat ados; sinembargo,nodej abandemost rar confusionesensusensayos( Port er,1997) .Losensayosfueroncorregidosporelprofesory revisados por los compaeros de clase.La reaccin de los est udiant es hacia est e proceso de revisinfuevariada,aunosledesagrad,aot roslepareciint eresant eyunost ercer osla vieroncomoirrelevant e.Port er( 1997) concluydeest aexperienciaenelusodet rabaj os escrit osenl aclasedelgebralinealque: ( 1) last areasescrit aslograronquelos est udiant es consideran seriament e la t eora en un curso cent rado en las aplicaciones, ( 2) las t areas t ienenqueseralt ament eest ruct uradacomoseaposibledadoquelosest udiant es no est nfamiliarizadosconest et ipodeasignacionesy(3) debeincluirseenelcursola enseanzadelamecnicadelaescrit urat cnicao,comomnimo,pedirlealosest udiant es que lean algn mat erial sobre la escrit ura cient fica.Lost rabaj osdescrit oshast aahoranosproveendeinformacinanecdt icasobre experiencias de mat emt icos t rat ando de cambiar sus prct icas de enseanza y el cont enido desuscursosdelgebralinealaniveluniversit ariobaj olainfluenciadelas recomendacionesdelLACSG.Conj unt ament econest osart culosfueronpublicadost res t rabaj os( Dubinsky,1997,Harel,1997,Vinner,1997) conunaorient acindiferent e.A diferenciadelosant eriores,enest ost rabaj osset rat adeplant earunapropuest a pedaggicaqueformapart edeunprogramadeinvest igacinydesarrollomsamplio,y fueron escrit os por educadores mat emt icos.Act ividad 2.2 Haga un resumen del cont enido de est a seccin de la leccin.I nvest igacin sobre el est udio Dubinsky( 1997) crit icadesdedosflancoslapropuest adelLACSG,porunladono leparece delt odoadecuadoqueelprimercursodelgebralinealuniversit arioest cent radoenlas mat rices,enpart icularlaat encinalclculoconmat rices.Crit icaademsquesepret ende ident ificar abst ract o con poco prct ico, y el enfoque cent rado en las mat rices como t il.A lo ant erior agrega que la propuest a t al cual como es present ado porel LACSG no promueve en losest udiant esunaverdaderaapreciacindelpapeldelageomet raenellgebralineal.Segundo, opina que t odos los t rabaj os present ados por los miembros del grupo son report es delsent idocomndelosaut oresydondesepresent anmerosregist rosanecdt icos.Dubinsky( 1997) concluyesuscrt icas llamandolaat encinsobre lanecesidadde invest igar sobrecmoesellgebralinealrealment eusadaenot rasdisciplinasysuscursos respect ivos.Proponeunenfoquealt ernat ivobasadoenunaversinpart iculardel const ruct ivismo.st aesunint erpret acindelconst ruct ivismodePiaget yt ienecomobase fundament alunavisinpart iculardelconocimient omat emt ico,elcualesconsiderado como ( ) unat endenciaindividualaresponder ,enuncont ext osocial,aunasit uacin problemapercibidamediant elaconst ruccin,re- const ruccinyorganizacin,en sument e,acciones,procesos,obj et osyesquemasmat emt icosconloscuales t rat a con la sit uacin.( Dubinsky, 1997)Est adeclaracingeneralsehaceespecficaparaunconcept omat emt icoenpart icular,en est ecasodellgebralineal,mediant eunprocesodenominadodescomposicingent ica. Est e se realiza mediant e la descripcin de mecanismos para la const ruccin de conocimient o Universidad Nacional Abierta27 mat emt icoylaaplicacindeesosmecanismosparadescribirinst anciasespecficasde const ruccinquepuedenhacerseparacomprenderunt picodet erminadodemat emt icas ( Dubinsky,1997) .Unadescomposicingent ica,port ant o,esgeneradaapart irdeun anlisis t erico, al cual le sigue una evaluacin cont inua y la revisin de st a.La evaluacin buscavalorarlamaneraenquedichadescomposicinfuncionacomounadescripcinde cmounconcept oespecficopuedeaprenderse. Enot raspalabras,ant esdeconsi derarlas est rat egiaspedaggicas,esnecesarioanalizarepist emolgicament eaquellosconcept osque losest udiant esencuent ranespeci alment edifcilesdeaprender.Enest epunt oencont ramos ciert asimilit udconelt rabaj odeDorier(1991)discut idoalcomi enzodeest aseccin.Se requierellevaradelant einvest igacionesparadet erminarlasconst ruccionesment ales especficasqueelest udiant et endraquehacerparallegaracomprenderunconcept o det erminado.Unavezquet enemosest ainformacinprocedemosadesarrollarest rat egias pedaggicasquenospermit anllevaralosest udiant esarealizaresasconst ruccionesy ut ilizarlas en la resolucin de problemas ( Dorier, 1997) .En el ncleo del programa de invest igacin y desarrollo de Dubinsky ( 1997)se encuent ra su concepcin de un mecanismo para const ruir el conocimient o mat emt ico, t alcomo se seal ant eriorment e.Tomandocomopunt odepart idalaideadePiaget , conocerunacosaes t ransformarla ( Dubi nsky,1997,p.95) ,sepost ulaqueelconocimient oest formadopor dost iposdecomponent es: aquelloqueest ransformado,llamadoobj et o,ylas t ransformacionesqueelsuj et oaplicaalobj et olascualessondedost iposaccinyproceso. ParaDubinsky( 1997) ,unaaccinesunat ransformacinque esunareacci naunest mulo elcualespercibidoporelest udiant ecomoext erno.Enlamedidaenqueelsuj et o experiment aunnmerodeveceslasmismasinst ancias,omuysimilares,est asson repet iblesparaloella.Cuandosellegaaest epunt osedicequeest amosant eun esquemadeaccin. Est eesquema comienzaa convert irseen unobj et ocuandoelindividuo reflexionasobreelesquema.Unavezqueest areflexinocurre,elindividuoconsiderael esquema de accin como una part e de si mismo y comienza a est ablecercont rol sobre st e.Dichoprocesodeconst ruccinapart irdeunaaccinesdenominadocomoint eriorizacin.Consideremosahoralasit uacinenlaqueelindividuoreflexionasobreoperaciones aplicadasaunprocesopart icular,sehaceconscient edelpr ocesocomounat ot alidad,cae encuent aquelast ransformacionespuedenact uarsobrest eyescapazdeconst ruirt ales t ransformaciones.SegnDubinsky( 1997) ,ent onceselindividuoest arapensandoenese procesocomounobj et oydenominaaest eprocesodeconst ruccincomoencapsulacin.Todoest emecanismodeconst ruccindelconocimient odescrit ohast aest epunt osepuede represent ar como se muest ra en la Figura 1. Figura 1.Const ruccin de obj et os y procesos ( Dubinsky, 1997, p. 98)28Didctica del lgebra y la Probabilidad Todoslosconcept ost rat adosenelcursodelgebralinealt ienenqueseranalizadosen t rminosdelat eoraaccin/ proceso/ obj et o,ent rabaj ospost erioresst apasaraser denominadat eoraAPOE( siglasenespaol,DubinskyyMcDonald,2001) ,sobreest et ema volveremosmsadelant e.Acont inuacinseprocedeadisearunainst ruccinquepermit a alprofesorguiaralosest udiant esenlaconst ruccindelasacciones,procesosyobj et os apropiadosysuusoenlaresolucindeproblemas.Dubinsky( 1997) descomponeest e procesoent resfases,enlaprimerafasenuest rasideasacercadecmolosest udiant es aprendenlgebralinealdependecasiexclusivament edenuest rat eoraydenuest ro conocimient odelasmat emt icas. Lasegundafaseconsist eendisear yllevaralaprct ica unasecuenciainst ruccionalbasadaenlosresult adosobt enidosenlaprimerafase.Enla t ercerafasepasamosaobservaralosest udiant est alcomoexperiment anlaenseanza,se analizanesasexperienciasent rminosdelosresult adost ericosyest oslt imosson aj ust ados de manera t al que sean consist ent es con los dat os. El product o que obt enemos de pasarporest eprocesoesunnuevoconj unt odedescomposicionesgent icasparalos concept os del lgebra lineal, las cuales sern ut il izadas en un segundo proceso pasando ot ra vezporlasmismasfasesant essealadas.Det odoest oresult aquecont emosconun conj unt odedescomposicionesgent icasdelosconcept osdellgebralinealqueson derivadosde( a) unasnt esisdenuest rat eora, ( b) nuest roconocimient odelas mat emt icasy( c)nuest roanlisisdelasobservacionesdelosest udiant esensuint ent ode darlesent idoaest osconcept os( Dubinsky,1997) .Sealaest eaut orque en laprct icaest e procesonoocurrealpiedelalet racomofuedescrit oarriba.Porqueunanlisist ericode t odoslost picosincluidosenunprimercursodelgebralinealant esdecomenzara ensearlonoesprct icoyquizsnodeseable,secomienzamsbienporunpequeo nmerodelosconcept osmsimpor t ant esyseprocedeainicialaenseanzayla observacin.Lafasederevisinnospermit eint roduciraj ust esenlasdescomposiciones gent icashechasenlaprimerafaseyademsnosayudaaagregargradualment enuevos t picos ( Dubinsky, 1997) .Ot roaspect o import ant ede lapropuest adeDubinsky ( 1997) eselusode lascomput adoras enlaclasedelgebralineal.Desdesuperspect ivalat ecnologadebeserusadaparaalgo msqueunaherramient adecalcular.Msbienset rat adequelosest udiant esconst ruyan implement acionesdeconcept osmat emt icos,mediant elaprogramacin,enla comput adora.Sebuscaqueseest ablezcanconexionesent relaconst ruccinparla comput adora,expresadaenunlenguaj edeprogramacin,ylaconst ruccindeprocesoy obj et os,enelsent idodelat eoraAPOE.ParaDubinsky( 1997) losest udiant espodran aprender una buena cant idad de mat emt icas usando est e mt odo.Lapropuest adelLACSGparaunprimercursodelgebralinealaniveluniversit ariobusca promoveruncambioenlaenseanzademanerat alquelosest udiant eslogrenuna comprensinslidade losprincipalest picosdeesar amadelasmat emt icas.Harel(1997) seproponeelaborarunaseriedeindicadoresparaesacomprensin,sealarfact ores esencialesparaconst ruirlayunconj unt odesugerenciasparalaenseanzadet picosde lgebralineal.Supropuest adebasaenlasideasdeconcept oimagenyconcept odefinicin propuest as por Vinner (1985)en el cont ext o de la const ruccin del concept o de funcin.Un concept odefinicinesunadefinicinverbal,lacualespresent adadeformaescrit aenel librodet ext ooporelprofesorenlaclase,yquedescribesinambigedadeselconcept o.Mient rasqueunconcept oimagenesunesquemament al,nonecesariament edelt ipo descrit oporDubinsky( 1997) ,unaredqueconsist ededosaspect os: ( 1) aquelloqueha sido asociado con el obj et o en la ment e del individuo y ( b)lo que la persona puede hacer en relacinconelconcept o(Harel,1997) .Unavezaclaradosest asideas,t enemosqueHarel ( 1997)propone cinco indicadores par a un efect ivo concept o imagen: ( 1)concept o definicin versusconcept oimagen,( 2) recordar,( 3) comunicarideas,( 4) pensarent rminos generalesy( 5) conect arideas.Veamosbrevement eaqueserefierencadaunodeest os indicadores.Desdeest aperspect ivadecimosqueunest udiant ecomprendeunconcept osi Universidad Nacional Abierta29 poseeunconcept oimagenefect ivo.Siendoelindicadormsimport ant eparala comprensindeunconcept olahabilidadpararesolverproblemasrelacionadosconese concept o.Recordaresalgomsquememorizar.Losest udiant esuelen,segnHarel ( 1997) ,basarsuaprendizaj edelasmat emt icasendefinicionest rat andode memorizrselasalpiedelalet ra.Esdecir,seesfuerzanporaprenderseelconcept o definicin.Sinembargo,enlaausenciadeunconcept oimagenquelesirvadesust ent oal concept odefinicin.Est osest udiant esnosoncapacesderet enerelconcept odefinicin correspondient eporunlargoperododet iempo.Porelcont rario,cuandolosest udiant es const ruyenunconcept oimagenadecuado,noslomemorizarunconcept odefinicin,son capacesdeleer yescribiracercadelconcept oylocomunicanaot ros sinsent irlanecesidad dereferirsealadefinicinformaloalconcept odefinicincadavezqueelt rminoquelo denominaesmencionado( Harel,1997) .Elhechodequelosconcept osest ndefinidosen t rminosgeneralesnogarant izaquelosest udiant esseancapacesdepensarenlos concept osent rminosgenerales.Losest udiant est iendenacont inuarrazonandocon imgenesdeobj et osconcret os,anmuchot iempodespusquefueranexpuest osalos respect ivosconcept osdefiniciones.Enest eindicador,pensarent rminosgenerales,se cont emplaademsquecomprenderimplicaconocerelporquynosloelcmo(Harel, 1997) .Laviabilidaddeunconcept oimagenaument aenlamedidaenqueseconect acon ot rosconcept osmat emt icos.Enelcasodellgebralinealencont ramosuncampo especialment ericoenconexionesent reellosyconconcept osdeot rasramasdelas mat emt icasascomodeot rasdisciplinas.Est ohacedellgebralinealunt ema part icularment e int eresant e.A manera de resumen, t enemos que para desarrollar concept os imagenefect ivos,losest udiant esdebenaprendernosloamemorizarconcept os definicionessinoquet ienenqueconst ruirconcept osimagenquelepermit anrecordarlo aprendido, pensar en t rminos generales y conect ar ideas mat emt icas ( Harel, 1997) .Una vez est ablecidos los indicadores, Harel(1997) ident ifica t resfact ores enla const ruccin de concept os imagen efect ivos, est os fact ores son:1.Dedicacin del t iempo apropiado al curso de lgebra lineal.2.Formacinpreviaypreparacindelest udiant eenloquerespect aal cont enido ( obj et os, lenguaj e e ideas que son nicas para el lgebra lineal) . 3.Formacin previa y preparacin del est udiant e en relacin con el concept o de demost racin.(Harel, 1997, p. 112)Sost ieneHarel( 1997) queesnecesarioexpandirelt iempodedicadoalaenseanzade t emasdellgebralinealyrecomiendaquesehagaincluyendot picosdeest aramadelas mat emt icasenlaeducacinsecundaria.Elbeneficiodeexponerlosest udiant esaest os t picosvamsalldeaprenderahaceroperacionesconmaricesycalculardet erminant es, msbiense t rat aradeest ablecerlasbasesparalaconst ruccindeconcept osimagenricos yefect ivossobrelast ransformacioneslineales,conj unt ogenerador,espaciovect oriale independencia lineal.Lograr est e propsit o requiere t ransformar el currculo de mat emt icas paralaeducacinsecundaria,t engamosencuent aqueest eaut orserefierealcasodelos Est adosUnidos.SugiereHarel( 1997) quet alreformaserealiceendosmbit os.Primero, queciert ost picost radicionalesdesecundariaseanenseadosdesdelaperspect ivadel lgebralineal,porej emplolossist emasdeecuaciones.Segundo,quesedisminuyael t iempodedicadoalaenseanzadelclculoyseledeespacioat picosdelgebralineal propiament edichos.Esoport unoresalt arqueenlosEst adosUnidosalgunosest udiant es t oman cursos de clculo en la escuela secundaria ( High School) .Basndoseensuspropiasinvest igaciones,Harel( 1997) proponeunprograma,det res fases,paralaenseanzadellgebralinealenlaescuelasecundaria.Enlaprimerafasese t rabaj aconespaciosGeomt ricosdesegment osdirigidos,enest econt ext oseint roducen losconcept osbsicosdellgebralineal,t alescomodependencia,independencia, 30Didctica del lgebra y la Probabilidad combinacinlineal,baseydimensin.Enlasegundafaseest osconcept ossonest udiados j unt oalosespaciosalgebraicosR1,R2yR3,loscualessonconst ruidosapoyndoseenla ideadevect orcoordenado.Yporlt imo,enlat ercerafase,t odosest osconcept osson definidosnuevament eenRn,conlaint roduccindelast ransformacioneslinealesysu represent acinmat ricialenR2yR3.Harel( 1997) cierrasudiscusinsobreaspect os pedaggicoshaciendoreferenciaaldenominadoprincipiodenecesidad,enelcual fundament esupropuest a.Est eprincipioest ablecequelosest udiant esparaaprendert iene queverlanecesidaddeaquelloquequeremosqueaprendan,aqu necesidad significa necesidadint elect ual,enelsent idoopuest odenecesidadeconmicaosocial.Porej emplo, uncasodeviolacindeest eprincipioseraderivarladefinicindeespaciovect orialapart ir de las propiedades de Rn que cumple los axiomas de espacio vect orial ( Harel, 1997) .Ellt imodelost rabaj os,enellibrodelLACSG,queconsideremosaqueseldeVinner ( 1997) .Est eaut orsealaquelasolucindelosproblemasdet ect adosenelaprendizaj ey laenseanzadellgebralinealvamsalldelaelaboracindenuevoslibrosdet ext oyde reformarelcurrculo.Serequiereprest arat encinalosprocesosdepensamient odelos est udiant es.Ladiscusinent ornoalapropuest adelLACSGysupropioenfoquelosbasa Vinner ( 1997)en la dist incin, hecha por Richard Skemp, en ent re la comprensin relacional ylacomprensininst rument al.Vinner(1997)opinaquelapropuest adelLACSGcorreel riesgodeserdominadaporelenfoqueprocediment al,endet riment odelenfoque concept ual,est elt imopromot ordelacomprensininst rument al.Est eenfoque procediment alesademsreforzadoporlasexigenciasdelasdisciplinasclient e,aquellas querequierendellgebralinealpararesolverciert osproblemas,dondeseponenfasisen elusodellenguaj edest amsqueenlaredconcept ual,enot raspalabras,seenfat izael aprendizaj edeprocedimient osenlugardeconcept os.Porot rolado,ciert osdesarrollos propiosdelaeducacinmat emt ica,loqueArt in( cit adoporVinner,1997,p.158) denominaent usiasmoconeldescubrimient odelisomorfismoent relast ransformaciones lineales de un espacion- dimensional y las mat ricesnxn, mot ivaron el abandono del enfoque geomt ricoenlaenseanzadellgebralinealyquesepusieraunnfasiscasiexclusivoen el enfoque cent rado en las mat rices.Vinner( 1997) int roduceunadist incinadicional,ent reconduct asverdaderament e concept ualesypseudo- concept uales.Teniendoencuent aquelasconduct asenelcont ext o delaeducacinmat emt icaresult anconfrecuenciadeprocesosdepensamient o,port ant o sehablademodoverdaderament econcept ualdepensamient oymodopseudo- concept ual depensamient o.Elproblemaconelsegundodeest osesqueconmuchafrecuencialas conduct aspseudoconcept ualesparecenconfundirseconfrecuenciaconunaconduct a realment econcept ual.Aest oleagregaVinner( 1997) lasconcepcioneserrneas.st aes elresult adodeunmodoconcept ualdepensamient odeber aconsiderarsecomouna conduct asignifica,mient rasquelaconduct apseudo- concept ualesunaconduct asin sent ido.Vinner( 1997) present aunosej emplosconcret osdecmosuperarest as dificult adesypromovereldesarrollodelacomprensinrelacional.Tomarencuent acomo punt odepart idalocognit ivoylashabilidadescognit ivasdelosest udiant es.Serequiere t ambindeinvest igacinsobreelfuncionamient odelas escenas descrit asencada ej emplo.Porlt imo,Vinner( 1997) llamalaat encinsobrelaimposibilidaddet odoslos t emaspropuest osenloscursosdelgebralineal,aniveluniversit ario,demaneraque promuevaeldesarrollodelacomprensininst rument al.Enest epunt ocoincideconunode losfact oresdist inguidosporHarel( 1997) ,t iempodedicadoalaenseanza,comolimit ant e para la comprensin del lgebra lineal.Diversost rabaj osdeinvest igacin,comolosreseadosant eriorment e,sealanquealgunos concept osdelgebralinealresult andifcilesparalosest udiant es,unodeest oseselde espaciovect orial.Okt a,TriguerosyNopVargas(2006) sepropusieronest udiarla comprensindeungrupodeest udiant esdelos espaciosvect orialesdesde laperspect ivade Universidad Nacional Abierta31 lat eoraAPOE( APOS,siglaseningls) ,verporej emploDubinsky( 1997) . Est os invest igadores desarrollaron una descomposicin gent ica del concept o de espacio vect orial.Segnsuanlisist erico,laconst ruccindelesquemaespaciovect orialdepart edel est udiant erequierelacoordinacindeot roscuat roesquemas: axioma,operacinbinaria, funcinyconj unt o.Seesperaquecomoresult adodet rabaj arconej emplosespecficos especialment eseleccionado,losest udiant esint eriorizaranlasdiferent espropiedadesdela est ruct uraymst ardelaencapsularanparaconst it uirunobj et oquedenominamosespacio vect orial.Unavezhechaladescomposicingent icasepasalafasedeevaluacinenla prct ica.Enest eest udiopart iciparonseisest udiant esdeingenieraquet omaronuncurso deunsemest redelgebralinealaloscualesselesent revist .Est aent revist aconsist ide 17pregunt asacercadelosconcept osdeespacioysubespaciovect orial.Enest et rabaj o, Okt a,TriguerosyNopVargas(2006) report ansolament elosresult adosobt enidoscondos deesaspregunt as.Losresult adosmuest ranqueengenerallosest udiant esnohan encapsuladoelconcept odeoperacinbinariaynosehanformadoesquemasricosdeest e concept o.Adems,losest udiant essuelenint erpret arlosaxiomaslimit ndosealcampode losnmerosrealesysecorrespondenconlaimagenvisualquet ienendelasoperaciones conlosnmerosreales.Ot radificult adident ificadat ienequeverconelusodelas variables.Est olt imoseloat ribuyenalasexperienciasquegeneralment elosest udiant es t ienenenlaclasedemat emt icasdondeseenfat izalamanipulacinsinsent ido, procediment alment ecomodiranVinner( 1997)ySoylu( 2007) ,desmbolossinsignificado enlaclasedelgebra.Est aexperiencialimit alasoport unidadesparaint eriorizarlos diferent espapelesquelasvariablesj ueganendiferent esproblemasodent rodelmismo problema. Act ividad 2.3 Hagaunalist adelosproblemasinvest igadosenrelacinconelest udio,component edel proceso didct ico.I nvest igacin sobre la enseanza Delost rabaj osrevisadossobrelainvest igacindelaprendizaj eylaenseanzadellgebra lineal,slocuat rot rat andirect ament ealgnaspect odelosprofesoresysuformacin ( Meagheryot ros,2006,Gonzlez,HernndezyHernndez,2007,Soylu,2007yUicaby Okt a,2006) .Elprimerodeest ost rabaj osesunreport emuybrevesobreresult ados preliminaresdeunaexperienciadediseocurricularenunprogramadeformacinde profesores de mat emt ica para la escuela secundaria.Meagher y ot ros (2006)disearon un cursodelgebraLinealyuncursodeAprendizaj edellgebraLineal,loscualeslos profesoresenformacint ienenquet omarsimult neament e.Amboscursosfueron diseadossobrelabasedelat eoraAPOE.Losresult adosparcialesdeest ainvest igacin soport anlaafirmacinquelosest udiant essebeneficiandeest udiarenparalelocont enidos lgebralinealysobrecmoaprendemoslosconcept oscent ralesdeest aramadelas mat emt icas.Elreport edondesepresent aest ainvest igacinesmuybreve,locualnonos permit e coment ar en profundidad sobre el mismo.Elsegundot rabaj ot enacomoproblemacent ralindagaracercadelaproximidaddela evaluacinqueseempleaencursosdelgebralineal,enlaFacult addeI ngenieradela Universidad del Zuli a, al enfoque const ruct ivist a.En est a invest igacin de t ipo cualit at ivo los dat osfueronrecogidoslaobservacindirect ayext erna,laaplicacindeuncuest ionarioa los est udiant es cursant es de la asignat ura y ot ro cuest ionario administ rado a los respect ivos profesores.Gonzlez,HernndezyHernndez(2007)encont raronmuchasfort alezasenlas prct icaspedaggicasde losprofesoresyen la acept acinde losest udiant esaprct icasde evaluacinconst ruct ivist a,lascualesfacilit aranlaimplement acindeunaevaluacin sist emt icaenelcursodelgebraLineal,enlaFacult addeI ngeniera,desdeest a perspect iva.Sinembargo,encont raronquelasprct icasact ualesest nalej adasdela 32Didctica del lgebra y