Diez años tras las huellas de Escher - Revista...

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Diez años tras las huellas de Escher

Jacinto Eloy Puig


Jacinto Eloy Puig

70 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 17, 2014

Jacinto Eloy PuigPh. D. Profesor del curso Escher Geometría y Arte del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los [email protected]

Sólo quienes intentan lo absurdo alcanzan lo imposible. M.C. Escher

Con motivo de la celebración del 50 aniversario de la carrera de Matemáticas se presentó durante 15 días una exposición con el mismo título de este artículo, en el edificio Lleras de la Universi-dad de los Andes. Las palabras en el acto de apertura estuvieron a cargo del rector, Pablo Navas Sanz de Santamaría, quien reco-rrió la exposición en compañía de la señora Linda González, con-sejera de Cultura y Prensa de la Embajada de los Estados Unidos, y de otros invitados.

Durante diez años hemos recopilado obras elaboradas por los estudiantes del curso del ciclo básico uniandino Escher, Geometría y Arte, una excursión por el fantástico mundo de arte matemático creado por el genial diseñador holandés. Cada semestre, a los estudiantes se les plantea, como trabajo final del curso, la elaboración de un diseño gráfico inspirado en la obra de Escher. De un semestre a otro la temática varía, de modo que en el transcurso de diez años hemos recorrido varias de las múltiples facetas imaginativas de este insuperable autor.


Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 71

MAURITS CORNELIS ESCHER

La última obra creada por Escher fue un magnífico rosetón cí-clico de tres pétalos que nombró Serpientes (Snakes). Lo más asombroso de este grabado es que sus tres pétalos son idén-ticos. Con su inigualable maestría y precisión, en Serpientes, Escher trabajó solo un tercio del rosetón y logró una composi-ción tan perfecta, que en el rosetón no logramos visualizar las zonas de unión, a pesar de que en el grabado, tres serpientes se entrelazan en un entramado de anillos con radios decrecientes hacia el centro y hacia el borde de un círculo, en una alusión al disco hiperbólico de Henri Poincaré. El estilo es muy de Escher, que continuamente nos sorprende con sus juegos de formas. En el momento de realizar esta obra ya estaba muy enfermo; no obstante, su perfeccionismo estaba intacto.

Según sus biógrafos, de niño no sintió apego a las matemáticas. Lo atestiguan sus bajas calificaciones. Su interés era el dibujo. No satisfizo el deseo de su padre, ingeniero civil, que pensaba que su hijo debía ser arquitecto. Se decidió por el diseño gráfico, y aunque su técnica de grabado en madera era excelente, sus diseños iniciales no llamaban la atención de su maestro.

Escher, de origen holandés, se radicó muchos años en Italia, país que le atraía por la naturaleza de su costa mediterránea y los diseños de sus construcciones. Recorría muchos parajes y poblados para hacer bocetos, que posteriormente incluía en sus obras.

El arte matemático de Escher, al parecer, surge de una de sus obsesiones: cubrir el plano con figuras. En su visita al palacio de La Alhambra descubrió en los mosaicos nazaríes, la pista para concebir los mosaicos que lo han inmortalizado. Luego desple-garía su creatividad figurativa en grado superlativo, perfeccio-naría su técnica para construir mosaicos con figuras a partir de transformaciones geométricas en mosaicos de polígonos. Uno de los primeros fue seguramente Reptiles, que construyó a partir del mosaico de hexágonos regulares. Este mosaico es recurren-te en varios de sus trabajos.

A partir de este hallazgo cambió radicalmente su producción ar-tística: comenzó a interesarse por lo que entendía como curiosi-dades de las matemáticas, y sobre todo de la geometría. De este modo produjo obras inspiradas en temas puramente matemáti-cos, tales como las curvas cónicas y las espirales, la geometría sobre una esfera, la reflexión, la traslación y la rotación como movimientos de figuras planas, polígonos y mosaicos regulares, semirregulares e irregulares, las transformaciones topológicas y las figuras topológicamente equivalentes, las superficies de una sola cara, como la banda o cinta de Möbius, la geometría pro-yectiva, el disco hiperbólico de Henri Poincaré, los objetos impo-sibles, poliedros regulares, semirregulares, estrellados y figuras tridimensionales. Con todo este arsenal de conceptos matemá-ticos creó un universo fantástico que dejaba desconcertados a sus colegas artistas. Capturar el infinito en sus diseños gráficos fue otra de sus grandes obsesiones. Su obra, definitivamente, es más reconocida en el ámbito científico.

Snakes (1969), M.C. Escher. Se publica con autorización del M.C. Escher Foundation. Tótem, de Carlos Pardo


FRISOS ROSETONES Y PAPEL DE COLGADURA

El tema de frisos, rosetones y papel de colgadura marcó el ini-cio de las tareas de diseño planteadas a los estudiantes. Estos objetos ornamentales tienen como sustento geométrico los movi-mientos rígidos: traslación, rotación y reflexión. La tarea se plan-teó para realizarla con ayuda del programa Java Kali. Los papeles de colgadura son diseños que abarcan una superficie plana. Hay diecisiete tipos, de acuerdo con sus propiedades geométricas, y, a diferencia de los mosaicos, en el papel de colgadura se admiten los espacios en blanco, por lo que hay más libertad en el diseño. El papel de colgadura más rico en detalles, que se muestra a continuación, fue elaborado con el programa Java Kali.

La tarea actual consiste en elaborar los tres diseños (friso, ro-setón y papel de colgadura) sobre un mismo tema. Todos los trabajos deben presentarse en el formato que se muestra.

Los frisos y los rosetones se han usado como elementos deco-rativos en todas las culturas, desde la más remota antigüedad hasta nuestros días. Friso de prueba, elaborado con el progra-ma Gimp1 y el filtro Math-Map2. Este recurso se introdujo para realizar trabajos sobre el efecto Droste, pero al manipular los parámetros se pueden obtener frisos y papel de colgadura.

MOSAICOS

Un trabajo obligado del curso, desde sus inicios, es la elabora-ción de mosaicos escherianos. En los primeros años, estos mo-saicos se construyeron aplicando las mismas técnicas de Escher que aparecen en el texto guía, el libro titulado La geometría en el arte y el diseño, del profesor Rafael Mariño [1]. Matemática-mente hablando, a un mosaico con baldosas congruentes, se le llama teselado. La mayoría de los mosaicos de Escher, son teselados.

Como ya se dijo, una de las obsesiones primarias de Escher fue cubrir el plano con figuras. Después de algunos ensayos de contraposición de figuras descubrió, mediante la observación y el estudio detallado de los mosaicos nazaríes, las técnicas que permiten construir mosaicos con figuras, transformando los la-dos de teselados poligonales.

El mosaico Fauna silvestre está elaborado con una técnica simi-lar a la empleada por Escher en la obra 8 cabezas, donde hay un intento de cubrir el plano con figuras, pero todavía no pode-mos apreciar una verdadera técnica geométrica para lograrlo; es pura ingeniosidad.

El mosaico titulado Arlequines ya permite reconocer una técnica geométrica en su construcción. Se hace uso de la traslación y la

1 Gimp: software libre para edición de imagen digital.

2 MathMap: plug-in para procesamiento de imágenes que se instala sobre Gimp.

Libélulas, de Liliana Vásquez

Friso de prueba, de Juan Gabriel Sutachán

Fauna silvestre

Arlequines, de Patricia Correa


reflexión a partir de la deformación de los lados de un mosaico conformado por polígonos. Es, efectivamente, el modo en que Escher construyó sus mosaicos con figuras. Si observamos los detalles, notaremos ligeras incongruencias en la figuras, aspec-to que no le resta valor al trabajo realizado.

Uno de nuestros propósitos principales ha sido apuntalar el cur-so con tecnología digital. En la actualidad, para la realización de las tareas empleamos ocho diferentes programas de acceso libre en la red. Los mosaicos son construidos con el programa Tess, que permite hacer las deformaciones de los teselados po-ligonales hasta lograr un mosaico con figuras, proceso que re-quiere mucha imaginación y perseverancia. Tenemos magníficos mosaicos creados por los estudiantes con este programa.

El inicio del proceso de elaboración es la elección de una de las llamadas pavimentaciones de Heesch. Son teselados de polígo-nos: cuadriláteros, triángulos, hexágonos. Una vez seleccionada la pavimentación, se pasa a la elaboración del mosaico con fi-guras, haciendo deformaciones de los lados del polígono con las herramientas del programa. El próximo paso es la decoración interior, que es realmente donde se pone a prueba la creatividad del estudiante. El paso final es la aplicación del color, que even-tualmente pudiera incluir luz y sombra, aunque en la mayoría de los casos se emplean colores planos.

Romeo y Julieta es el título del mosaico presentado por la estu-diante Grace Bayer, y representa el encuentro, en la cripta de los Capuletos, de estos emblemáticos personajes del dramaturgo inglés William Shakespeare. Romeo da por hecho que Julieta ha muerto, se inclina hacia ella escéptico, y dos lágrimas brotan de sus ojos. Julieta yace inerte, sin corresponder al beso de su amado; su rostro es frío; sus párpados están cerrados; pero Julieta está viva: en su mejilla hay un corazón palpitante. Es, sin duda, un gran trabajo el de la estudiante autora de este mosai-co, lleno de sensibilidad e imaginación artística. La línea de los perfiles es perfecta.

En el mosaico titulado Dragones chinos, Ana María Rivera nos muestra una manada de dragones que se desplazan en tropel. La cálida atmósfera que emana de estos míticos seres se logra con la paleta de colores empleada. El mosaico es rico en deta-lles, logrados con finas líneas, colmillos afilados; una línea del-gada destaca los labios. Pequeños cuernos, escamas, las fauces abiertas y unos ojillos penetrantes completan la expresión feroz que se asocia a estas bestias.

Según el horóscopo chino, el dragón simboliza el poder y la ri-queza. Es el signo del emperador de China. Encantador y brillan-te, el mosaico despide vitalidad, fuerza, y atrae con magnetismo y extravagancia.

En el mosaico Colibríes, María Gabriela Peña Silva, la autora, nos muestra estas inquietas avecillas ataviadas con un plumaje

Romeo y Julieta, de Grace Bayer

Dragones chinos, de Ana María Rivera

Colibríes, de Maria Gabriela Peña Silva


que las hace parecer mariposas. Se puede notar, sin embargo, la presencia de los ángulos de 120 grados del mosaico original.La gama de colores utilizada y las posiciones cambiantes de los colibríes de igual color le infunden gran movilidad al mosaico. El minucioso trabajo con el color deja la impresión de que las pequeñas aves están realmente revoleteando frente a nosotros.

El mosaico Tenis tiene un contorno grueso extremadamente simple. Debe haberse obtenido de las deformaciones de un mo-saico de rectángulos sin coincidencia de vértices. Lo que hace interesante este mosaico es el minucioso trabajo interior, con líneas delgadas que le dan sentido escheriano a la simple trama de líneas gruesas.

En la elaboración del zapato, al autor, Carlos Augusto Pacheco, no se le escapó ningún detalle: costuras, suela, ojales, cordones, lengua, puntera, la marca en el talón, casi imperceptible, y como toque final, la media y un fragmento de piel. En la paleta de co-lores resalta la combinación de los primarios, azul y rojo, con los secundarios, verde y violeta. El gris de la media y la suela blanca les dan más realce a los vivos colores del popular calzado.

En el mosaico Caribe, Daniel Alejandro Ortiz, conserva el mo-saico original de hexágonos regulares. El trabajo del autor se concentra en el interior. El mosaico Conchas y estrella de mar, de Escher, fue elaborado con esta técnica, con la gran diferencia de que en el mosaico de Escher, la decoración es tan perfecta que nos resulta imposible descubrir el mosaico de pentágonos irregulares que le sirvió de punto de partida, dicho mosaico de pentágono es el dual del mosaico semirregular de configura-ción 33434 y que está conformado por cuadrados y triángulos equiláteros.

Lo que más se destaca, en el mosaico Caribe, son los tríos de gaviotas con los colores del trópico, los pelícanos, aparentemen-te tranquilos, mantienen sus ojos en estado de alerta, para dar la señal de aviso que motiva a alzar el vuelo. El perfil de un abori-gen evoca la convivencia entre el hombre y las aves.

Una observación más aguda del mosaico nos permite suponer que los hexágonos inicialmente estaban divididos en tres rom-bos congruentes, lo que da la sensación de policromados cubos que emergen del plano.

Depredadores es el mosaico más elaborado de todos los entre-gados por los estudiantes. Probablemente el punto de partida fue un mosaico de triángulos convertidos en aves con enormes alas, dotadas de un atemorizador pico, fuertes garras y ojos de gran alcance visual. Carlos Pardo, estudiante de lenguajes, nos sorprende con este minucioso trabajo; pero como si esto fuera poco, debajo nos encontramos un feroz depredador mamífero, corpulento y con afilados colmillos. Los colores son una antici-pación de lo que pudimos ver años más tarde en la fantástica fauna de la película Avatar.

Tenis, de Carlos Augusto Pacheco

Caribe, de Daniel Alejandro Ortiz


Efecto droste, de Juan Camilo Romero

EFECTO DROSTE

Este efecto toma su nombre de una marca de chocolates holan-dés, que se vale de una ilustración autoalusiva. La imagen, donde aparece el estudiante Juan Camilo Romero, es portadora de esta propiedad. En la obra Galería de grabados, Escher logra un efecto Droste que permanece oculto. El grabado está autografiado en el centro, en el llamado punto ciego. Durante mucho tiempo fue su obra más enigmática, pues Escher afirmó que allí todo se hacía tan pequeño, que continuar le resultaba imposible. En años pos-teriores a su desaparición física, en 1972, con el desarrollo de las técnicas computacionales, un equipo de investigadores de la Uni-versidad de Leiden logró digitalizar el cuadro, y para asombro del grupo, las líneas de Escher coincidían con mucha precisión con las transformaciones elípticas de una figura definida en un plano complejo Z, con imagen en un plano complejo W. Una animación del cuadro digitalizado confirmó que en el punto ciego estaba oculto el efecto Droste, donde se reproduce hasta el infinito el grabado original, en una trayectoria espiral.

DISCO HIPERBÓLICO

El disco hiperbólico de Henri Poincaré es representativo de una geometría no euclidiana, en la que todo el plano de Euclides se ha concentrado en un disco de radio finito. En este disco se construyen los teselados hiperbólicos. Escher concibió la serie de grabados “Límites circulares” basándose en el mosaico de trián-gulos propuesto por el ilustre matemático. En Límite circular iii pueden observarse perfectamente las líneas de un teselado hi-perbólico. Sin duda, Límite circular iv, también conocido como Ángeles y demonios, es el más representativo de esta serie.

A los estudiantes se les plantea la tarea de transformar un mo-saico del plano euclidiano en disco hiperbólico.

Pez con aves, de autoría del estudiante Daniel Eustorgio Gutié-rrez, fue el más logrado. En el mosaico inicial que sirve de fondo

Depredadores, de Carlos Pardo

Pez con aves, de Daniel Eustorgio Gutiérrez


al disco hay un pez de tonos grises; se destacan sus ojos, cola y aletas. En contraste, en tonalidades azules hay un flamenco; al final de la diminuta cabeza, el autor destaca un pico, color naranja; las patas del ave están al final de la cola. La escena se completa con una ronda de pequeños periquitos de color verde intenso. Si observamos detenidamente el disco, notaremos la presencia de todos los elementos antes descritos.

DISTORSIONES ESFÉRICAS

La geometría sobre una esfera fue motivo de las agudas obser-vaciones de Escher. En varias de sus obras aparecen las esferas. El trabajo que se muestra se inspira en el grabado Balcony, en el que se hace una distorsión esférica de la fachada de un edificio. La condición que debe cumplir el trabajo es que las líneas de la fachada deformada conserven su continuidad, de modo tal que el espectador acepte como auténtica la foto.

En la foto realizada por Daniel Rojas Coy, podemos reconocer la fachada posterior del edificio W, con el efecto de una perfecta distorsión esférica, en la que se aprecia la continuidad de las líneas verticales y horizontales.

METAMORFOSIS

Las metamorfosis abordan el tema de las transformaciones topológicas equivalentes. En la serie de grabados con esta te-mática, Escher muestra sorprendentes transiciones. El inicio es un fragmento de mosaico de figuras geométricas que se van transformando en equivalentes topológicos que dan lugar a las metamorfosis de las figuras representadas. En este trabajo Del-fines, realizado por un equipo de estudiantes, liderado por Na-talia Pacheco, la dirección de nado de los peces sugiere que la metamorfosis se realiza en sentido inverso.

ESPEJOS Y REFLEJOS

Un tema frecuente en Escher es el reflejo, o la reflexión como mo-vimiento geométrico. El espejo mágico es una de las obras donde el espejo es el protagonista principal. La foto El fantasma del parque está inspirada en el grabado de Escher titulado Charco, pero además aquí el charco es mágico. En la foto Remedios de la Bella se ha generado una atmósfera con cierta dósis de erotismo, lo que incita al expectador a tratar de reconocer la modelo que está reflejada en el espejo al fondo de la escena, rodeado de una penumbra rojiza, que contrasta con la intensa luz blanca que des-taca la suave falda, la mano con pulsera de oro, la pierna y el za-pato rojo, en primer plano. La tina vacía augura el probable inicio del ritual del baño, del mítico personaje de Cien años de soledad.

ARTE DE LO IMPOSIBLE

Los objetos imposibles son construcciones básicamente geomé-tricas, aparentemente tridimensionales, que se dibujan en un

Distorsiones esféricas, de Daniel Rojas Coy

Delfines, de Natalia Pacheco

El fantasma del parque, de Andrés Ñungo

Remedios la Bella, de Andrea Ortiz


plano, con anomalías, a veces imperceptibles, que conducen a la imposibilidad de construir el objeto material. Hay obras de Escher con este tipo de construcciones, por ejemplo, Cascada y Ascendente descendente. En la primera aparece el triángulo de Penrose, y en la segunda, la escalera de Penrose.

Aquí la tarea no es hacer un dibujo con un objeto imposible, sino hacer una composición fotográfica que contenga un absurdo, el referente son las fotografías de Erik Johansson.

PERSPECTIVAS

Este tipo de trabajo se basa en el grabado de Escher Otro mun-do, una forma muy peculiar de tratar el tema de la perspectiva: una habitación con tres ventanales que nos muestran tres vi-sones de la realidad exterior. Para hacer esta composición, el estudiante debe encontrar locaciones que le permitan tomar tres tipos de fotos para posteriormente insertarlas en la edificación construida por Escher. Es particularmente complicada la toma desde un punto de mira inferior, por la forma del ventanal donde debe ser insertada la foto. Aquí la estudiante María Paula Sán-chez ha logrado el objetivo planteado en la tarea.

ARTE FRACTAL

El estudio de los fractales es el tema de cierre del curso. Escher no conoció la geometría fractal, que vio la luz a inicios de la década de los ochenta del pasado siglo.

Sin embargo, el arte matemático de Escher, resulta muy próximo al arte fractal, dado que las semejanzas y congruencias con las que trabajó Escher son dos conceptos muy allegados a la au-tosimilitud, propiedad clave de los objetos fractales. La imagen del pavo real fue elaborada con varios fragmentos de fractales.

POLIEDROS Y ORIGAMIS

Para Escher, los poliedros son la consumación de la perfección, a juzgar por la composición del grabado Orden y caos, donde el poliedro estrellado, ubicado en el centro, es sin duda el símbolo del orden. Los origamis modulares, en principio, contienen implí-citamente esa característica de los poliedros que se estructuran con caras poligonales que se acomodan armónicamente, para dar lugar a sólidos de indiscutible valor estético.

Los poliedros aparecen en varias obras de Escher, quien de hecho realizó algunas esculturas en madera, en las que recrea estos objetos geométricos. Los poliedros es el tema anterior al estudio de los fractales, que cierra el curso. Aquí lo hemos puesto al final, dado que el trabajo más reciente realizado por los estudiantes del cbu es la escultura modular Compass points, que se erigió como monumento conmemorativo del 50 aniver-sario de la carrera de Matemáticas de la Universidad de los Andes.

Arte de lo imposible por Carlos Aguilera

Perspectivas por María Paula Sánchez


Es el trabajo de mayor envergadura planteado a los estudiantes, por la complejidad de la tarea. La misma se realizó en un equipo grupal liderado por un estudiante. Fue un proyecto de varias etapas que contó con la aprobación y asesoría de la gerencia del campus de la Universidad de los Andes.

El motivo de la presencia de la funcionaria de la Embajada de los Estados Unidos en esta conmemoración fue la inauguración de dicha escultura, diseño original de George W. Hart, profesor e investigador de Stony Brook University, en New York.

El año 2006 fue declarado en Colombia Año de las Competen-cias Matemáticas por el Ministerio de Educación Nacional (men), que lanzó una convocatoria para presentar experiencias que contribuyan a la construcción de competencias matemáticas. Ese año nuestro incipiente experimento fue seleccionado como experiencia significativa de la educación superior. A partir del año 2007 los trabajos finales de los estudiantes del curso se han presentado en el centro interactivo Maloka, lo que ha con-tribuido notablemente al aumento de la calidad de los trabajos presentados, que se evalúan por una terna de expertos presidida por la profesora Raquel Rodríguez. Gracias a su gestión se logró nuestra presencia en Maloka.

En estos diez años hemos llevado las exposiciones a dos congre-sos de la Sociedad Colombiana de Matemáticas y a dos edicio-nes del evento Expociencia Expotecnología, en Corferias. Inter-nacionalmente, las obras del curso participaron en un evento de diseño en la Universidad de Palermo (Buenos Aires, Argentina), fueron exposición central en el congreso del 50 aniversario de la Conferencia Interamericana de Educación Matemática (ciaem) en la Universidad Federal de Pernambuco (ciudad de Recife, Brasil) y en el icme-12 (Congreso Internacional de Educación Matemá-tica), celebrado en la cuidad de Seúl, capital de la República de Corea del Sur. Con la exposición presentada por la Universidad de los Andes en ese evento, Colombia fue el único país lati-noamericano presente en el gran salón de exposiciones sobre manualidades y arte matemático. •

Origamis de varios autores


Fotografía de archivo de la Facultad de Ciencias

REFERENCIAS

[1] Mariño R. La geometría en el arte y el diseño. Bogotá: Univer-

sidad Nacional de Colombia; 2004.

[2] Locher JL, Veldhuysen WF. The magic of M. C. Escher. London:

Thames and Hudson Ltd; 2006.

[3] Ernst B. The magic mirror of M. C. Escher. Norfolk: Tarquin

Publications; 1985.

OBRAS DE ESCHER REFERIDAS

Eight heads, madera (1922)Desarrollo I lithograph (1937) (versión inicial de Reptiles)Shells and starfish, colored ink, colored pencil, watercolor (1941)Reptiles, lithograph (1943)Balcony, lithograph (1945)Magic mirror, lithograph (1946)Another world (Other world), lithograph (1947)Stars, lithograph (1948)Puddle, woodcut (1952)Liberation, lithograph (1955)Print gallery, lithograph (1956)Belvedere, lithograph (1958)Circle limit iv (1960)Waterfall (Cascada), lithograph (1961)Metamorphosis iii, madera (1967-1968)Snakes, madera (1969)

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