Diferenciales e integral indefinida · PDF fileEl estudiante: • Aplicará los...

Diferenciales eintegral indefinida

El estudiante:

• Aplicará los conceptos dediferenciale integral indefi-nida, mediante la soluciónde problemas relacionadoscon las ciencias naturales,laseconómico-administrati-vas y sociales; tras conocerlasreglasdediferenciacióneintegracióninmediata;mos-trandouna actitudanalíticayparticipativa.

INTRODUCCIÓN

Endiversoscamposdeestudio,comoeneldelafísica,economía,administra-ciónydelascienciassociales,serequiererealizarlaestimacióndeunadiferencia,obien,interpretarunfenómenocomoresultadoinversoaladerivación.Enestaunidadseabordaelconceptodediferencial,elcualpermitehallarunaaproxima-cióndeunadiferenciarequerida,recuperando,además,elconceptodederivada.

Asimismo,sepresentalaintegracióncomolaoperacióninversadeladerivación.Seestudia,además,elconceptodeantiderivadaysemuestranlostressignificadosdelaconstantedeintegración,dandoaconocerlasreglasdeintegracióninmedia-tayelmétodoparaintegrarexpresionesquecontienen a u2 2− ; u a2 2± .Lostemasaquítratadostienenunsinfíndeaplicaciones;lasquerefiereestaunidadserelacionanconerrorescometidosenmediciones,leyesdelmovimiento,costoto-tal,ingresototalyutilidadtotal.

11DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA

Nombredelalumno:

Grupo: Númerodelista: Aciertos:

I.Desarrollaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresul-tadocorrecto:

1. Elresultadode5 3 1 4 5 2 6 10+ −( ) + ( )( ) − ÷ + =

a) –5 b) –25 c) 10 d) 5

2. Encuentralimx

xx→

−−1

3 11

a) 0 b) 1 c) 3 d) Noexiste3. Sif(x)=x2+3x–5,entonceselvalordef (-2)es:

a) –7 b) –15 c) 5 d) –2

4. Laecuacióndelarectaquepasaporelpunto(3,–1)ytienependiente2es:

a) 2x–y–7=0 b) 2x+y+7=0 c) x+2y–7=0 d) x–2y+7=0

5. Elmovimientodeunapartículaestádescritomediantelafunciónd(t)=3t–1,dondeteseltiempoensegundosyd(t)ladistanciaenmetrosrecorridaporlapartículaeneltiempot.¿Cuáleslavelocidadinstantáneadelapartícula?

a) tm/s b) 1m/s c) 2m/s d) 3m/s

6. ¿Cuáleslafunciónquerepresentalasiguientegráfica?

a) y=(x –1)2 b) y=x2–1 c) y=x+1 d) y=–x+1

7. Laderivadade y x x= −3 2 2

a) y x

x= −

−

3 4 2

3 2 2 b) y x

x= −

−3 2

3 2

2

2 c) y x= −3 3 2 2 d) y

x= −

−4

23 2

12 UNIDAD I

II. Respondelassiguientespreguntas:

1. ¿Quéeselincrementodeunavariable?

2. ¿Cómoselee∆x?

3. ¿Quéesunafunción?

4. ¿Quéeslapendientedeunarecta?

5. ¿Cómosedefineladerivadadeunafunción?

6. Siconoceslafuncióny=f(x)quedeterminaunacurva,¿cómoencuentraslaecuacióndelarectatangentealacurvaenunodesuspuntos?

III. Enlassiguientesrelacionesmostradasgráficamente,identificaeldominioyelrecorrido;además,señalalagráficaquecorrespondeaunafunción.


1.1 LA DIFERENCIAL

Enáreasendondesemodelauna situaciónmediante una función, como sonmedicina,mecánica,economía, física, sociología, entreotras,haymomentosqueserequiereestimarunadiferenciaentredosvaloresdelafunción.Algunasveces,estadiferenciadebedetermi-narse pormedio del incremento de la fun-ción,mismoque aprendiste a calcular en elsemestreanterior;perohayocasionesenquesepermitedarunaaproximacióndetalincre-mento,entoncesseaplicaladiferencial.

Acércatealconceptodeladiferencial.

I. Investigaenvariasfuentesbibliográficaselconceptodediferencialdeunafunción;posterior-mente,enclase,compartelainformaciónobtenidacontuscompañeros.

II. EnelcursodeMatemáticasVestudiastequeelincrementodex secalculópormediodelaex-presión∆x=x2―x1,asimismo,elincrementodeycon∆y=y2―y1.Apartirdeestoyconbaseentusconocimientospreviosacercadefunciones,organízatecontuscompañerosyenbinasre-suelvanlosiguiente:

1. Construyanenelplanolagráficade y ex

= 4

Cuando se encienden fuegos artificiales, sevisualizalaexplosiónunossegundosantesdeoírla. ¿Quédiferenciahayentre lavelocidaddelaluzyladelsonido?

Un globo lleno de he-lio quedará suspendido enel airemientras que el gasdentroyelequipounidoaél,pesenmenosqueelaireenelqueestáflotando.¿Enquémomento el globo al-canzalamáximaaltura?

AActividad

14 UNIDAD I

2. DeterminenlospuntosP(x1,y1)yQ(x2,y2)tomandocomox1=3yx2=6yremárquenlosso-

brelacurva y ex

= 4 ,tambiénlocalicenenelmismoplanoelpuntoR(x2,y1).

3. Encuentrenlaecuacióndelarectatangente(ytan)alacurva y ex

= 4 enelpuntoP(x1,y1)ytrá-cenlaenelmismoplano.

4. DeterminenymarquenelpuntoS(x,ytan)sobrelarectatangenteantesencontradaenx=6.

5. Calculen∆x2―x1y∆y=y2―y1,asítambiénlalongitudy―y1.

6. Unavezdesarrolladoslospuntosanteriores,analicenyrespondanalassiguientespreguntas:

a) ¿Cómoeslalongitud∆y2=y1respectoay―y1? b) ¿Quésucedeconestaslongitudesamedidaquex2=x=6seacercaalvalorx1=3?

7. Enplenaria,conelapoyodetuprofesor,comparensusrespuestas.

Definiciones de∆xyf '(x)∆x

Essabidoqueladerivadadelafuncióny=f(x)serepresentaporlanotacióndydx

f x= ( )'

endondecaberecalcarquelaexpresión dydxeselsímboloquerepresentaellímitedelcociente

∆∆

yxcuando∆xtiendeacero,másnolafracciónconnumeradordyydenominadordx.

Lasnotacionesy'=f'(x)fue-ron introducidas por La-grange, mientras que las

formasdy

dx

df

dx, se deben a

Leibniz, quien las utilizópara simbolizar el paso del

límitede∆

∆

y

xa

dy

dxcambian-

do∆pord.


Noobstante,alabordarelcursodecálculointegralsehacenecesariodarunsignificadoporse-paradotantodedycomodedx.

Sif ‘(x)esladerivadadelafuncióny =f(x) paraunvalorparticulardex,y∆xesunincrementodex,ladiferencialdey =f(x)serepresentaporelsímbolody=d f(x)ysedefinepor:

d f x d y f x xdydx

x( ) ( )= = =' ∆ ∆

Notaqueladiferencialdependededosvariables,dex pordependerf‘(x)deella,yde∆x.

Ahora,siy=f(x)=x,entoncesf‘(x)=1;siestasexpresionessonsustituidasenlaexpresiónanterior,tenemossi:

dy=f ‘(x)∆xentoncesdy=(1)∆x.

Perody=dx

Obien,dx=∆x

Esdecir,cuandox eslavariableindependiente,ladiferencialdex esdx, yesidénticaa∆x.

Deestaforma,laexpresiónquedefineladiferencialpuedeengeneralescribirsecomo:

Dy=f‘(x)dx

Yseenunciacomo:

Ladiferencialdeunafunciónesigualalproductodesuderivadaporladiferencialdelavaria-bleindependiente.

• dyseleediferencial de y • dxseleediferencial de x

Interpretación gráfica dedy

Losdiferencialesdyydxseinterpretangeométricamente.

Observalassiguientesfiguras:

16 UNIDAD I

Encadaunadeéstaspuedespercibirlosiguiente:

Figuraa. Setienelacurvadelafuncióny=f(x)ysuincrementoserepresentaalpasardelva-lorx=aax=a+hpor:

∆y f a h f a= +( ) − ( )

Figurab. EstátrazadalatangentealacurvaenelpuntoP(a,f(a)),conpendientef‘(a).Puedespercibirqueelincrementodelatangente∆yalpasardelvalorx=aax=a+h,seaproximaalincrementodelafunción,esdecir:

f a yx

y f a x' '( ) ≈ ⇔ ≈ ( )∆∆

∆ ∆

Figurac. Elincrementodelavariableindependientesedesignapordxyelincrementodelaordenadade la tangentepor dy, puedes advertir que la diferencialdy RS= es unaaproximacióndelincremento∆y RQ= .Así,setieneladefinición:

∆y dy f a dx≈ = ( )'

Yparaunvalorarbitrariamenteelegidodelavariableindependientex,setiene:

dy dx= ( )f ' x

Nótese:∆yrepresentaelcambioenlaalturadelacurvay=f(x)ydyrepresentalavariaciónenyalolargodelarectatangente,cuandoxvaríaenunvalordx=∆x.


Incrementoydiferencial

I. Dadalafuncióny=f(x),elvalordex yelincremento∆xpuedendeterminardx,∆y,y∆y―dy apartirdeloexpuestoanteriormente.Enequiposdetrabajodecuatrointegrantescomomáxi-mo,completenlastablas,segúnseindica,yadjuntenalamismasuprocedimiento.

1. Siy=x2.

x ∆x dx ∆y dy ∆y―dy2 12 0.52 0.12 0.01

Procedimiento:

1. Siy=5x2.

x ∆x dx ∆y dy ∆y―dy2 12 0.52 0.12 0.01

Procedimiento:

2. Siy=x4―3x2+5x+4.

x ∆x dx ∆y dy ∆y―dy2 -12 -0.52 -0.12 -0.01

Procedimiento:

II. Elprofesorelegiráelequipoqueexpondrálasolucióndelastablas.

AActividad

18 UNIDAD I

Reglas de la diferenciación

Como ya lo has estudiado, la derivada de una función se calculamediante el cociente de

Newton dydx x

f x x f xx

=→

+( ) − ( )

lim

∆

∆∆0

;obien,parafacilitaresteprocedimientoenfun-

cionescomplejasseaplicanreglasdederivaciónsegúnlaestructuradecadafunción.

Recordandofórmulas.

I. Revisatusnotasdelsemestreanteriorreferentealasfórmulasparaderivarfuncionesalgebraicasycompletalasiguientetabla:

Se enuncia: Fórmula:

Laderivadadelafunciónconstanteesigualacero.ddx

c = 0

Laderivadadelafunciónidentidadesigualauno.

d

dxc x c =

Laderivadadelapotenciadeunavariablerespectoasímismadeexponenteconstanteesigualalproductodelexponenteporlavariableelevadaalexponentedisminuidoenunaunidad.

d

dxc xn c n xn = −1

Laderivadadelproductodeunaconstanteyunafunciónesigualalproductodelaconstanteyladerivadadelafunción.

ddx

c u cddx

u ( ) ( )= ⋅

Laderivadadelapotenciadeunafuncióndeexponentecons-tanteesigualalproductodelexponenteylafunciónelevadaalexponentedisminuidoenunaunidad,yestoporladerivadadelafunción(Regladelacadena).

ddx

c cnddx

u n u n u( ) ( ) ( )= ⋅-1

Laderivadadelasumaalgebraicadedosfuncionesesigualalasumaalgebraicadelasderivadasdedichasfunciones.

ddx

uv uddx

v vddx

u = +( ) ( ) ( ) ( )

AActividad


Se enuncia: Fórmula:Laderivadadeuncocientedefuncionesesigualalproductodeldenominadoryladerivadadelnumerador,menoselpro-ductodelnumeradoryladerivadadeldenominador,tododi-vididoporelcuadradodeldenominador.

II. Tambiénrecuperaelformularioquehicisteparaderivarfuncionestrascendentes,comparatusfórmulasconlasqueacontinuaciónseenlistanyredactaunformularionuevamente,ahoraconlascaracterísticasqueespecifiquetuprofesor.

Funciones Simples Compuestas

Logarítmicas

ddx

xx

ln = 1

ddx

x ea x a

log log= 1

d

dxu u

d

dxu ln( ) ( )= ⋅1

ddx

uddx

ua

a e

ulog log( ) ( )= ⋅

Exponenciales

ddx

e ex x=

d

dxa a ax x= ln

d

dxe e

d

dxuu u= ( )

ddx

au au addx

u= ( )ln

ddx

uv vuv ddx

u uv nuddx

v= −+

+

( ) ( )1 1

potencial exponencial

20 UNIDAD I

Funciones Simples Compuestas

Trigonométricas

d

dxsenx x = cos

d

dxx senx cos = −

d

dxx x tan sec= 2

d

dxx x cot csc= − 2

d

dxx x x sec sec tan=

d

dxx x x csc csc cot= −

d

dxsen u u

d

dxu ( ) ( ) ( )= ⋅cos

d

dxu u

d

dxu tan sec( ) ( )= ⋅2

ddx

u uddx

u tan sec( ) ( )= ⋅2

ddx

u uddx

u cot csc( ) ( )= − ⋅2

ddx

u u uddx

u sec sec tan( ) ( )= ⋅

ddx

u u u ddx

u csc csc cot( ) ( )= − ⋅

Trigonométricas inversas

ddx

sen x ddx

arcsenxx

ddx

x ddx

xx

ddx

−

−

= =

= =

−

−−

12

12

1

11

1cos arccos

tann arctan

cot cot

sec

−

−

−

= =

= =

+

−+

12

12

1

11

11

x ddx

xx

ddx

x ddx

arc xx

ddx

x == =

=

−

= −−

−

ddx

arc xx x

ddx

xx x

ddx

arc x

sec

csc csc

1

11

1

2

12

ddx

arcsenuu

ddx

u

ddx

uu

ddx

u

ddx

u

= ( )

= ( )

=

−

−−

⋅

⋅

1

11

1

2

2arccos

arctan 111

11

1

1

2

2

2

+

−+

−

⋅

⋅

⋅⋅

( )

= ( )

=

uddx

u

ddx

arc uu

ddx

u

ddx

arc uu u

dd

cot

secxx

u

u u

ddx

uddx

arc u

( )

( )= −−⋅

⋅csc1

12

Habiendorecordadolasfórmulasparaderivarfuncionesysabiendoquelaformadeexpresarladiferencialdeunafunciónesapartirdelproductodeladerivadaporladiferencialdelavaria-bleindependiente,seformulanlasreglasparahallarlasdiferenciales,consólomultiplicarcadaunadelasfórmulasanteriorespordx,comosemuestraacontinuación.

1.d (c)=09. d u

duu

ln( ) =

2.d(x)=dx 10.d(au x)=aulna du3.d(xn)=nxn―1dx 11.d(eu)=eu du4.d(cu)=c du 12.d(uv)=vuv -1du+uvlnu dv5.d(un)=nun―1du 13.d(senu)=cosu du

Laoperaciónparahallardi-ferencialessellamadiferen-ciación.


6.d(u+v+w)=du + dv+dw 14.d(cosu)=―senu du7.d(uv)=u dv+v du 15.d(tanu)=sec2u du,etc.

8. duv

vdu udvv

=−2

16.d(arcsenu)=du

u1 2−,etc.

Así,tenemosqueparaencontrarladiferencialdeunafunción,sehallaladerivadayéstasemul-tiplicapordx.Observalosejemplos:

1. Hallaladiferencialde:

y xx x

= +− −

32 3 12

Derivada:

dydx

x x x x

x x

x x x

=− −( )( ) − +( ) −( )

− −( )=

− − −

2 3 1 1 3 4 3

2 3 1

2 3 1 4

2

2 2

2

22

2 2

2 2

2 2

2

9 9

2 3 1

2 3 1 4 9 9

2 3 1

2 12

+ −( )− −( )

= − − − − +

− −( )= − −

x

x x

x x x x

x x

x x ++

− −( )8

2 3 12 2x x

x

xn

n− = 1

Diferencial:

dy x x

x xdx= − − +

− −( )2 12 8

2 3 1

2

2 2


y x x= +( ) = +( )ln ln /1 13 3 2

Derivada:

dydx x

x

x

=+

+

= +

( )( )

( )

( )1

132 1 1

32 1

3 21 2

//

x xmn m n= /

22 UNIDAD I

Diferencial:

dyx

dx=+( )

32 1


y x= ( )−sen 1 32

Derivada:

dydx x

x

xx

=−

=−

( )1

1 2 36

61 4

22

2

6

arcsen sensen

x xx

x= ≠ =−1 1 csc

Diferencial:

dy xx

dx=−6

1 4

2

6

Enbinas,realicenlossiguientesejercicios.

Compruebenensulibretadeapuntesqueladiferencialdadaescorrecta,hallenpreviamenteladerivadayanotenelresultadoenelrecuadrocorrespondiente.

Función Derivada Diferencial

y x x= + −3 5 62 dy x dx= +( )6 5

y x x x= −( ) − +1 2 22dy x x

x xdx= − +

− +2 4 3

2 2

2

2

y xx

= −+

11

dyx x

dx=+( ) −

1

1 12

y xx

= + 53 dy x x

xdx= − −2 153 2

6

y e x= ( )tan 2 dy x e dxx= ( ) ( )2 22 2sec tan

y x= +52 1 dy dxx= ( ) +2 5 52 1ln

y x x= +( ) +2 1 2 1 dy x x dxx= +( ) + +( ) +2 2 1 1 12 1 ln


y x= ln cos dy xx

dx= − tan2

Sehamencionadoqueladiferencialpuedeaplicarseparaencontrarunaaproximacióndecier-tosvalores,estimarelaumentoodisminucióndeunalongitud,unáreaounvolumen,obien,determinarelerrorcometidoalcambiarunvalorporotroenunamedición.Pero,¿cómoseaplica?Acontinuaciónobtendráslarespuesta:

La diferencial como aproximación del incremento

Paradeterminarenunafunciónlavariaciónquehayenlavariabledependientey,cuandolava-riableindependientexcambiadeunvaloraotro,hasaplicadoelincremento∆y.Ahorapodrásaplicartambiénladiferencialdy,trasadvertirqueladiferencialesunaaproximacióndelincre-mentoypuedesersustituidoelcálculode∆ypordy.

Veamos:

Observaotravezlafiguraquemuestralainterpretacióngeométricadeladi-ferencial,enellapuedesdeducirconclaridadque ∆y RQ= y dy RS= sonaproximadamenteigualescuando dx PR= esmuypequeña.Cuandoesne-cesarioencontrarunvaloraproximadodel incrementodeunafuncióncon-viene,enlamayoríadeloscasos,determinarladiferencialcorrespondienteyestimarsuvalor.

Adviertequealpasarx ax +dx, f (x)=y pasaaproximadamenteaf(x)+f‘(x)dx=y+dy,locualimplicaquelafórmulaquepuedeutilizar-separaaproximarvaloresdeunafunciónes:

f x dx f x f x dx+ ≈ +( ) ( ) ( )'

Obien,puederepresentarseestafórmulacomo f x +dx dy( ) +≈ y .

Paralafuncióny=x2,unaformadeexplicarestaaproximacióndeladiferencialrespectoalin-crementoesmedianteelusodecuadradosyrectángulos,comosemuestraacontinuación:

24 UNIDAD I

Acontinuaciónrevisaremosalgunosejemplosenlosquepodráspercibirloútilqueesaplicarladiferencialalestimarunaumentoodisminucióndeunafunción,osimplementehacerunaaproximación.

1. Alcalentarunaláminacircularmetálicade1mdediámetro,ésteaumenta1.2cm.¿Cuán-toseincrementaaproximadamentesuárea?

SoluciónLafórmulaparacalculareláreaAdeuncírculodediámetrodes:

A d= 14

2π

ElaumentoensuáreasetieneaproximadamenteapartirdelcálculodeladiferencialdA,dondedd=1.2cmyd=100cm.

dA d d d

dA

=

=

= =( ) ( )12

12

100 1 2 188 49

188 49 2

π π . .

. cm

Donde:∆ ∆

∆ ∆

y x x x

x x x

xdx dx

= +( ) −

= +

= +

2 2

2

2

2

2

Aquí:∆ ∆

∆

y x x xdx dydx

dx dy

y dy

≈ = = =

≈

2 2


2. Compararelvolumenexactoconelvolumenaproximadodeunacáscaraesféricade250mmdediámetroexteriory1mmdeespesor.

SoluciónLa fórmula para calcular el volumenV de una esfera de radio r, o bien, diámetro d es:

V r d= =43

16

3 3π π

Esclaroqueelvolumenexactodelacáscaraes∆V=―194,782.93mm3(diferenciaentredosesferasmacizasdediámetrosde250mmy248mmrespectivamente),yunvaloraproximadode∆VesdV,cuyovalorsedeterminacomosigue:

LaderivadadeVrespectoaldiámetroes:dVd d

d= 12

2π

entonces,ladiferenciales:dV d d d= ⋅12

2π

sustituyendo d =250mmydd=248mm–250mm=–2mm,setiene:

dV

dV

= −

= −

( ) ( )12

250 2

196349 54

2

3

π

mm mm

mm.

Luego,elvaloraproximadodelvolumendelacáscaraesféricaes196,250mm3(desprécieseelsignonegativo,puessóloindicaquedVdisminuyeamedidaquedaumenta).

Alcompararlosdosresultadosseapreciaquelaaproximaciónesaceptable,pues,

∆V dV− = − − − = −( )194782 93 196349 54 1566 613 3. . .mm mm mm3

Estosedebeaquedd espequeñoencomparacióncond.

3. Determinarpormediodeincrementosydiferencialesencuántoaumentaeláreadeuncuadradode2mdelado,cuandoésteseincrementaen1mmycompararestosresulta-dospormediodeunadiferencia.

SoluciónSeconsidera:áreaA=x2,x=2ydx=0.001Elincremento∆Acuandoxcambiade2ma2.001mes:

∆

∆

A

A m

= ( ) − ( ) = =

=

2 001 2 2 2 4 004001 4 0 004001

0 004001 2. . - .

.

26 UNIDAD I

YladiferencialdA es:dA x d x

dA

= = ==

⋅ ( ) ( )2 2 2 0 001 0 004

0 004 2

. .

. m

Alcompararestosresultadospormediodeunadiferenciasetiene:

∆∆

A dA

A dA

− = − = ×− = ×

4 004001 4 004 1 10

1 10

06

06 2

. . -

- m

Conestadiferencia,seapreciaquelaaproximaciónesaceptable.

4. Alcalentarunaplacacuadradametálicade15cmdelongitud,suladoaumentó0.04cm. ¿Cuáleselaumentoensuárea? ¿Cuál es el aumento en su área aproximadamente? ¿Es aceptable la aproximación?

¿Porqué?

SoluciónSeconsidera:áreaA=x2,x=15ydx=0.04Elaumentoeneláreaeselincremento∆Acuandoxcambiade15ma15.04cm,cuyocálculoes:

∆

∆

A

A

= ( ) − ( ) = − =

=

15 04 2 15 2 226 2016 225 1 2016

1 2016 2. . .

. cmYladiferencialdA eselaumentoeneláreaaproximadamente:

dA x d x

dA

= = ==

⋅ ( ) ( )2 2 15 0 04 1 2

1 2 2

. .

. cmEstaaproximaciónesaceptable,yaquealefectuarladiferenciaentreestosresultadossetiene:

∆∆

A dA

A dA

− = − = ×− = ×

4 004001 4 004 1 10

1 10

06

06 2

. . -

- m

Conestadiferencia,seapreciaquelaaproximaciónesaceptable.

Enalgunoscasosestasvariacionessemidenenporcentajes,paraesteejemplocomo0.04es0.2666%de15y1.2es0.5333%de(15)2=225;porlotanto,seconcluyequesielladodelapla-caseincrementaen0.266%,eláreaaumentaráaproximadamente0.5333%.

5. Sialenfriarseunaplacacuadradametálicade20cmdelado,éstedisminuye0.03%,¿enquéporcentajedisminuyesuárea?

Solución0.03%de20es:

0 03 20100

0 006.

.( )( ) =

Seconsidera:áreaA=x2,x=20ydx=–0.006


Así,dA x d x= ⋅ = − = −( ) ( )2 2 20 0 006 0 24. .

Elresultado0.24de400es:0 24 100

4000 06

..( )( ) =

Estoindicaqueeláreadisminuye0.06%.

6. Determinarunvaloraproximadodetan 46°pormediodediferenciales.

SoluciónSeespecificalafuncióny=tanxysehallasudiferencialdy=sec2x dxysedescompone46°,demaneraquex=45°ydx=1°.

Apartirdequetan45º=1,sec45º= 2y1180

0 0175º .= =π rad rad,seobtiene:

y=tan(45º) y dy=(sec45º)2(0.0175)

y=1 dy

dy

= ( ) ( )= ( )( )=

2 0 0175

2 0 01750 0350

2.

..

Así, Fórmula: f x dx y dy+( ) ≈ + Sustitución: tan46º=tan(45º+1)≈1+0.035 Aproximación: tan46º≈1.035

Sibuscaselresultadodetan46°enlastablastrigonométricasoenlacalculadoracientíficaen-contrarásquetan46°=1.0355.

7. Estimarelvalordecos59°.

SoluciónSeespecificalafuncióny=cosxysehallasudiferencialdy=senx dy.

Sedescompone59°demaneraquex=60°ydx=–1°.Luego,setiene:

Fórmula: f (x+dx)≈f (x)+f'(x)dx Sustitución: cos59º=cos(60º―1º)≈cos60º+sen(60º)(―1º)

cos º59 12

13

1 12

13

≈ +

−( ) = −

Aproximación: 25 1 5 01. .≈

28 UNIDAD I

8. Estimarelvalorde 25 1. .

SoluciónSeespecificalafunción f x x( ) = ysehallasudiferenciald f x

xd x( ) = 1

2.

Sedescompone25.1demaneraquex=25ydx=0.1.Luego,setiene:

Fórmula: f x dx f x f x dx+( ) ≈ ( ) + ( )'

Sustitución: 25 1 25 0 1 5 12 25

0 1 5 0 01. . . .= + ≈ + ( ) = +

Aproximación: 2 25 1 5 01. .≈

Esteresultadoapareceenlacalculadoracomo tan46°=1.0355.

1. Alcalentarunaláminacircularmetálicade50cmdediámetro,ésteaumenta2cm.¿Cuántosein-crementasuáreaaproximadamente?

2. Calculaelvolumenaproximadodeunacáscaraesféricade15cmderadioexteriory0.05cmdeespesor.

3. Encuentraelvaloraproximadodelvolumendeunacáscaraesféricade200mmdediámetroex-teriory1mmdeespesor.

4. Determinacuántoaumentaaproximadamenteeláreadeuncuadradode1mdelado,cuandoésteaumenta5mm.

5. Alcalentarunaplacacuadradametálicade25cmdelongitud,suladoaumentó0.5cm.¿Cuántoseincrementósuárea?¿Cuántoaumentóaproximadamentesuárea?¿Esaceptablelaaproximación?

6. Seenfríaunaplacacuadradametálicade60cmdelado,disminuyendoéste0.02%.¿Cuáleselpor-centajequedisminuyesuárea?

7. Usadiferencialesparadeterminarunvaloraproximadodea)sen32°,b)cos59°,c)tan44°.

8. Estimaelvalorde(a) 16 1. ,(b) 174 ,(c) 1 0205 , .

9. Laparedlateraldeundepósitocilíndricode1mdediámetroy1.5mdealturadeberevestirseconunacapadeconcretode3cmdeespesor.¿Cuálesaproximadamentelacantidaddeconcre-toenkilómetrosqueserequiere?

10. Siunaviadorvuelaalrededordelmundoaunaalturade3.2kmsobreelEcuador,¿cuántoskiló-metrosmásrecorrequeunapersonaquehacesuviajealolargodelEcuador?


11. Calculaaproximadamenteelcambioenlasuperficietotaldeunconocircularrecto,sielradiode1mpermanececonstanteysualturade1.5mcambiaa2m.

Errores pequeños

Otraaplicaciónde ladiferencial,comoyasemencionó,sedacuandosenecesitaestimarelerrorcometidoenunamedición.

Atualrededoresnecesariodeterminarmedicionesfísicas,enocasioneshadeconsiderarseelvalor exactoqueeselvalormedidoocalculado,perohayvecesquesepresentaunmargendeerrorenlamedida,yentoncessetieneunvalor aproximado.

Ladiferenciaentreelvaloraproximadoyelvalorexactodeunamedida(incremento)eselerrorcometidoendichamedida,llamadaerrorabsoluto,yunaaproximacióndeéstepuededetermi-narseporladiferencial;talcomosemuestra:

Silafuncióny=f(x)representaunamedidafísica,sudiferencialdy=d f(x)esunaaproxima-ción del error absolutodedichamedida.

Paraestimarsilaaproximacióndelerrorabsolutoesaceptableono,éstesecomparaconelva-lorexacto,comoseindicaenlasiguientedefinición.

Elerror relativoeslarazónentrelaaproximacióndelerrorabsolutoyelvalorexacto,así:

dyy

df xf x

= =( )( )

errorrelativo

Seconsideraqueelerrorabsolutoesaceptablesielerrorrelativoespequeño.

Elerrorrelativopuedeexpresarseenporcentaje,paraellobastarámultiplicarlopor100;esdecir:

dyy

100( ) =errorrelativoexpresadoenporcentaje.

Enlossiguientesejemplospodráscomprenderlaimportanciadeaplicarladiferencial,apartirdeconocerelerrorcometidoenunamedición.

1. Hallarlaaproximacióndelerrorabsolutocometidoalcalculareláreadelpisodeuncuartocuadradoquemidedelado3.2±0.1myquesedeseaalfombrar.

30 UNIDAD I

SoluciónSeconsidera:áreaA=x2,x=3.2ydx=0.1

ElvaloraproximadodelerrorabsolutoeneláreaesladiferencialdA,

dA x dx

dA

= = ( )( ) =

=

2 2 3 2 0 1 0 64

0 64 2. . .

. m

2. Hallarelvalorexactoyloserroresabsolutoyrelativoobtenidosalcalculareláreadeuncírculo,sialmedirsudiámetrosehallaquees4.1cm,conunmáximoerrorde0.05cm.Aplicarlafórmulaparadeterminareláreaapartirdeldiámetro.Estimarsielmargendeerroresaceptable.

Solución LafórmulaparacalculareláreaAdeuncírculodediámetrod es:

A d= 14

2π

ElvalorexactodeAsetienecuandod=4.1;entonces,

Valor exacto:A = ( ) =14

4 1 13 1952π . .

Elerrorabsolutoconqueseobtiene A eselincremento∆Acuandodcambiade4.1cma4.15cm,esdecir:

Errorabsoluto:∆A = ( ) − ( ) = − =14

4 15 2 14

4 1 2 13 519 13 195 0 324π π. . . . .

UnvaloraproximadodelerrorabsolutoeneláreaesladiferencialdA:

dA d d= ⋅ = ( )( ) =12

12

4 1 0 05 0 321π πd . . .

Luego,elerrorrelativoes:

Error relativo:dAA

= =0 32113 195

0 024..

. ,obien,2.4%

Comoelresultadodelerrorrelativoespequeño,seestimaqueelerrorcometidoesaceptable.

1. Hallaelvalorexactoyloserroresabsolutoyrelativoobtenidosalcalcularelvolumendeuncubode20cmdearista,conunmáximoerrorenlamedidadeéstade0.02cm.

2. Calculaelerrorabsolutoyrelativocometidoenelcálculodelvolumendeunaesfera,sisudiáme-tromide12.5±0.1mm.

Enlapráctica,elvalorexac-tosedesconoce,porloquesetomacomotalelmedidoocalculado.


3. Sidecimosque 0 80. es0 9 0 81. .= .¿Cuáleslaaproximacióndelerrorabsoluto?,¿cuáleselerrorrelativo?

4. Lavelocidadadquiridaporunobjetoquecaelibrementeunadistanciade100mapartirdelre-poso,estádadaporv h= 64 4. m/s.Calculaelerrorenvdebidoaunerrorde0.5malmedirlaaltura.

5. Determinaencuántoaumentaeláreadeuncuadradode2mdelado,mientrasésteaumentaenunmilímetro.Calculaelerrorabsoluto,unaaproximacióndeésteyelerrorrelativo.

1.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA

Desdetuprimeracercamientoalasmatemáticas,hasresueltooperacionesdetalmodoquealsepararlasdedosendos,enelordenquelasfuisteestudiando,setie-nenoperacionesmutuamenteinversas;portanto,setienen:

• Sumayresta. • Multiplicaciónydivisión. • Elevaraunapotenciayextraerraíz.

Tambiénhashalladofuncionesinversas,como:

y x x

y x x a

y x

y

ay

= = ±

= =

=

+ −2 4 4es ;

es

es

;log

cos

x x arc x= =−cos cos1 .

Enelcursoanteriorseestudiócómopuedeobtenerselafunciónderivada,apartirdeunafun-ciónderivable.Estaoperaciónderivadaseexpresapor:

ddx

f fx x ( ) ( )= '

Ahora,surgelapregunta¿hayunaoperacióninversaaladerivada?;esdecir,dadaunafunciónf(x),¿existeotrafunciónF(x),talqueF ’(x)=f(x)?

Obien,puestoqueencálculointegralsehanempleadoyadiferenciales,estainterrogantepuedeplantearsecomo:¿hayunaoperacióninversaaladiferencial?.Esdecir,dadaunafunciónf(x),¿existeotrafunciónF(x),talqueF ’(x)dx=f(x)dx?

Veamos:

Sif(x)=2x,entoncespuedeserF(x)=x2.Sif(x)=3x2,entoncespuedeserF(x)=x3+1.

¿Hayunaimagenmásfami-liarqueunamanzana?Pero verla caer a lamismavelocidadqueunaplumaenelvacíonoloestanto.GalileoGalileifueelprime-roenenunciarestaley:“Todos los cuerpos en elvacío caen con la mismavelocidad”.Siseconocelavelocidaddecaídapuedecalcularseeles-paciorecorrido.El proceso que permitepasarde lavelocidad(deri-vada)alespacioodesplaza-miento (función primitiva)sellamaintegración.

32 UNIDAD I

Sif(x)=4x2,entoncespuedeserF x x x( ) = + −43

12

53 2 .

Asítambién,

Sif(x)dx=2x dx,entoncespuedeserF(x) = x2.Sif(x)dx=3x2dx,entoncespuedeserF(x)=x3+1.Sif(x)dx=(4x2+x)dx,entoncespuedeserF x x x( ) = + −4

312

53 2 .

¿Antiderivada?

I. Organizadosenbinasyhaciendousodesuformulariodederivadasydiferenciales,completenlalíneaydenrespuestaalaspreguntas.

1. 1 esladerivadade , y 1dx esladiferencialde

2. 2x esladerivadade , y 2x dx esladiferencialde

3. 3x2 esladerivadade , y 3x2dx esladiferencialde

4. 3x2+2x esladerivadade , y (3x2+2x)dx esladiferencialde

5. −2x esladerivadade , y −

2x

dx esladiferencialde

6. −1

2 x esladerivadade , y −

1

2 xdx esladiferencialde

7.1x esladerivadade , y

1

xdx esladiferencialde

8. ex esladerivadade , y ex dx esladiferencialde

9. ―cosx esladerivadade , y ―cosx dx esladiferencialde10.sec2x esladerivadade , y sec2xdx esladiferencialde

11.¿Encontrastemásdeunarespuestaparaalgunadeestaspreguntas?

12.¿Cuáltienemásrespuestas?

13.¿Cuáltienemenosrespuestas?

14.Tienenrespuestaparalascuestiones:¿hayunaoperacióninversaaladerivada?,¿hayunaoperacióninversaaladiferencial?

15.Previainvestigación,¿quénombrerecibedichaoperacióninversa?

AActividad


II. Enplenaria,conelapoyodetuprofesor,verifiquensusrespuestas.

Conlaactividadantesrealizada,esevidentequesíhayunaoperacióninversaaladerivada;ésteeselcon-tenidodeltema.

Antiderivadas

Consideraquetieneslaecuación:

F ’(x)=f(x)

Asítambién,

F‘(x)=x=f(x)

Apartirdeesto,¿cuáleslafunciónF(x)?,esdecir,¿quéfunciónF(x)cumplequesude-rivadaseax?

Comoyasabes,siderivaslafunciónF(x)=x2,obtienesF‘(x)=2x,así,dividiendopor2,

setieneF‘(x)=xapartirdeF x x( ) =2

2.

Aunafunciónquecumpleconestascaracterísticasselellamaunaantiderivada opri-mitiva delafunciónf(x)=x.

Sedefinequesif(x)yF(x)sondosfuncionesrealesdefinidasenunmismodominio.LafunciónF(x)esunafunciónantiderivadaoprimitiva def(x),osimplementeunaantideri-vadaoprimitiva def(x),siF(x)tieneporderivadaaf(x).

Estoes,

SiF‘(x)=f(x),entoncesF(x)sedenominaunaantiderivada oprimitiva def(x).

Estadefiniciónpuededarsetambiénapartirdediferenciales,dadoquef(x)yF(x)sondosfun-cionesrealesdefinidasenunmismodominio.LafunciónF(x)esunafunciónantiderivadaoprimitiva def(x),osimplementeunaantiderivadaoprimitiva def(x),siF(x)tienepordiferen-cialaf(x)dx.

Entonces,

SiF‘(x)dx=f(x)dx,entoncesF(x)sedenominaunaantiderivada oprimitiva def(x).

34 UNIDAD I

LaoperaciónquepermiteobtenerunaantiderivadaoprimitivaF(x),apartirdeunafun-ciónf(x),recibeelnombredeintegración;unaantiderivadaoprimitivatambiénsede-nominaIntegral.

UnafunciónesintegrablesiexisteF(x)yF x F x dx f x dx( ) ( ) ( )= ∫ = ∫' denotarácualquierantiderivadadef(x).

Enlanotación:

f x dx ( )∫

∫eselsignodeIntegralyselee:“integralde”.

f(x)sedenominaintegrando.

Ladiferencialdx,indicaquexeslavariabledeintegración.

Puedesconsiderarque:

“Laderivaciónylaintegraciónsonoperacionesinversas”.

Asícomo:

“Ladiferenciaciónylaintegraciónsonoperacionesinversas”.

Encadaunodelossiguientesejemplos,sedalaantiderivada oprimitivaF(x),sudiferencialF‘(x)dxcorrespondienteyelplanteamientoconelsímbolodeintegral.

Primitiva Diferencial Integral1.F(x)=x3 F'(x)dx=3x2dx ∫3x2dx=x3

2.F(x)=senx F'(x)dx=cosx dx ∫cosx dx=senx

3.F(x)=arctanx F dx dxxx ' ( ) = +1 2

dxx1 2 +∫

Completalatabladeterminandoladiferencialdecadaunadelasprimitivasqueseindicanyex-presaelplanteamientoconelsímbolodeintegral.

Primitiva Diferencial Integral1.F(x)=x2.F(x)x4

3.F(x)=tanx4.F(x)=arcsenx

Elsignodeintegra-ción∫(Sdesuma)fuepropuestoporLeibniz.


Primitiva Diferencial Integral5.F(x)=ex

6.F (x)=lnx

Constante de integración

Deloanterior,sedesprendequeunafunciónpuedetenervariasantiderivadasoprimitivas.Enlasiguientetablasemuestranalgunasprimitivasdelafunciónf(x)=2x,ademássecompruebaqueF‘(x)dx=f(x)dx,locualesrepresentadoasuvezpormediodelsímbolodelaintegral.

PrimitivaF(x)

DiferencialF'(x)dx=2x dx

Integral∫f(x)dx=F(x)

F(x)=x2 F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2

F(x)=x2+1 F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2+1F(x)=x2+5 F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2+5F(x)=x2+12 F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2+12F(x)=x2―3 F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2―3F(x)=x2―10 F'(x)dx=2x dx ∫2xdx=x2―10

F(x)=x2+ F'(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2+

Engeneral,dadoquecesunnúmerorealcualquiera,lafunciónF(x)=x2+cesunaprimiti-vaparaf(x)=2x.

Luego,sesigueque:

F(x)=x2+c F(x)dx=2x dx ∫2x dx=x2+c

Laconstantearbitrariac sedenominaconstante de integración.

Encuentracincoprimitivasparacadafunciónqueseindicayescríbelasenlatablaverticalmente.

1.f(x)=3x2 2.f(x)=5x4 3.f(x)=2e x4. f x

x( ) =

15. f x x( ) =

36 UNIDAD I

Determinación de la constante de integración por medio de condiciones iniciales

Cuandoseconoceelvalordelaintegralparaalgúnvalorparticulardelavariable,esposiblede-terminarelvalordelaconstantedeintegraciónc delaexpresióndiferencialaintegrar.

Acontinuaciónsemuestranalgunosejemplos:

1. Sepidehallarlafuncióncuyaprimeraderivadasea3x2ytengaelvalorde12cuandox=2.

Solución:Deacuerdoconlascondicionesdelproblemadeberáencontrarselaintegraldeladiferencial3x2dx.

Así,setienelaexpresión:

∫3x2dx=x3+c

Apartirdeestoyconlosvaloresotorgadosseplanteaque:

12=x3+c

dedonde:12 2

12 84

3= ( ) += −=

ccc

Porlotanto,lafunciónbuscadaes:

x3+4

2. SepidehallarunaprimitivaF(x)def(x)=2x,cuyagráficapasaporelpuntoP(1,3).Sipasaporelorigen,¿quéprimitivaseobtiene?

Solución:

Deacuerdoconlascondicionesdelproblema,lasprimitivasdef(x)sondelaforma:F(x)=x2+c.

ComolaprimitivapasaporP(1,3),setienex=1yF(x)=3.

Apartirdeloanterior: 3 13 1

3 12

2= ( ) += += −=

cc

cc


Porlotanto,laprimitivabuscadaes:

F(x)=x2+2

Sipasaporelorigen,c=0ylaprimitivaesF(x)=x2

3. Sepidehallarlafunciónlinealquerepresentaunarectacuyapendientees2ypasaporelpuntoP(0,4).

SoluciónComoladerivadadelafunciónlinealessupendiente,setiene:

F‘(x)=2

Dedonde:

f(x)=2x+c

PorpasarporelpuntoP(0,4),resulta4=c.

Porlotanto,lafunciónbuscadaes:

F(x)=2x+4

Losproblemasplanteadoshastaesteapartadocontienenfuncionesconuntérminocuyain-tegralesinmediata,quesepuedeencontrarporsimpleinspección;másadelanteaplicaráslasreglasdeintegraciónenproblemasdeestetipo.

Resuelvelossiguientesproblemasapartirdelascondicionesinicialesdadas.

Hallar:

1. Lafuncióncuyaprimeraderivadasea5ytengaelvalorde8cuandox=1.

2. Lafuncióncuyaprimeraderivadasea1ytengaelvalorde3cuandox=2.

3. Lafuncióncuyaprimeraderivadasea2xytengaelvalorde10cuandox=3.

4. Lafuncióncuyaprimeraderivadasea2xytengaelvalorde8cuandox=4.

5. Lafuncióncuyaprimeraderivadasea3x2ytengaelvalorde11cuandox=2.

38 UNIDAD I

6. Lafunciónintegralde3x2quetengaelvalorde200cuandox=6.

7. HallarunaprimitivaF(x)def(x)=xcuyagráficapasaporelpuntoP(2,3).¿Ysipasaporelorigen?

8. Hallarlafunciónlinealquerepresentaunarectacuyapendientees12ypasaporelpuntoP(0,4).

Significado geométrico de la constante de integración

Laconstantedeintegracióntienetressignificados:elsignificadoanalítico,antesabordado;elsignificadogeométrico,elcualsemuestraenestemomento;yelsignificadofísico,queseestu-diaráposteriormente.

Gráficamente,laIntegralesunafamiliadefuncionesdependientedelaconstantedeintegra-cióncuyasgráficasseobtienenportranslacióndeunaprimitivadada.

Observayanalizalossiguientesejemplos.

1.

Enelejemplo(figura)semuestraunafunciónconstantef(x)=k,cuyaintegralesF(x)=kx+c.

Sic(constantedeintegración)tomadiferentesvalores,obtenemosunafunciónprimitivase-gúnelvalorasignadoac:

c 0 –1 –2 1 2F(x)=kx+c F(x)=kx F(x)=kx―1 F(x)=kx―2 F(x)=kx+1 F(x)=kx+2

Cadaunadeestasfuncionesrepresentaunarectaquecortaalejey en0,―1,―2,1,2(quesonlosvaloresdadosac),ytodastienenlamismaderivada;esdecir,lamismapendiente.


Todaslasrectaspuedenobtenersetrasladandocualquieradeellasalolargodelejey,yaqueelvalordecnoafectalapendientedelarecta.

2.

Ahorasemuestralafunciónlinealf(x)=2x,cuyaintegralesF(x)=x2+c.

Siconferimosacnuevamentediferentesvalores,obtenemoslafunciónprimitivacorrespon-diente:

c 0 –1 –4 1 3F(x)=x2+c F(x)=x2 F(x)=x2―1 F(x)=x2―4 F(x)=x2+1 F(x)=x2+3

Cadaunadeestasfuncionesrepresentaunaparábolaquecortaalejey en0,–1,–4,1,3sonlosvaloresasignadosac,ytodastienenlamismaderivada;esdecir,lamismapendienteparaelmismovalordex.

Todasestasparábolaspuedenobtenersetrasladandocualquieradeellasalolargodelejey,yaqueelvalordecnoafectalapendientedelacurva.

Graficay=F(x)+e

Enequiposdetrabajo,máximodecuatrointegrantes,realicenlosiguiente:

1. Determinenlaecuaciónenlaformay=F(x)+c,deochoposiblescurvas,cuyapendientedelarectatangenteencadaunodesuspuntosseaxycalculenelvalordelapendientedelarec-tatangenteencadaunadelascurvasparax=1.Conlosresultadosobtenidoscompletenlasi-guientetabla:

AActividad

40 UNIDAD I

Ecuación de la curva Pendiente enx=1

2. Conbaseenlosresultadosobtenidosrespondanlassiguientespreguntas:

a) ¿Quéecuaciónrepresentalafamiliadecurvascuyapendientedelarectatangenteencadaunodesuspuntosesx?

b) ¿Quélugargeométricorepresentanestascurvas?

c) ¿Quélugargeométricorepresentalapendiente?

d) ¿Cómoeselvalordelapendientedelarectatangentedelascurvasenx=1?

¿Porqué?

e) ¿Cuál será el valor de la pendiente de la recta tangente de las curvas en x = 2?

¿Y,enx=―1?

3. Enelplanocartesianodelaizquierdarepresentenlasgráficasdelascurvascuyasecuacionesse-ñalaronenlatablaanterior;yenelotroplano,lagráficadelafunciónf(x)=x,querepresentalapendiente.Indiquenenlalíneapunteadalaoperaciónquesesiguealpasardeunagráficaaotra,segúnladireccióndelaflecha.


4. Enunacetatocopienunadelascurvasquegraficaron,acontinuacióndeslicenelacetatovertical-mentesobreelplanodondeconstruyerondichascurvas,haciendocoincidirlacurvamarcadaenelacetatoconcadaunadelascurvastrazadasenelplano.¿Esposiblehacerlo?

¿Porqué?

5. Monitoreadoslosequiposporsuprofesor,unodeellosdeberáexponersusresultadosfrentealgrupo.

Significado físico de la constante de integración

Físicamentesedasignificadoalaconstantedeintegraciónenproblemasdemovimientouni-formementeacelerado,movimientodeunproyectil,caídalibre,entreotros.

Elsiguienteejemploilustratalsignificado.

1. Hallalasleyesquerigenelmovimientodeunpuntoquesedesplazaenlínearectaconaceleraciónconstante.

Solución:Conbaseenlosconocimientosdecálculoyfísicasetienequelaaceleraciónaesconstanteysedeterminaapartirdederivarlavelocidadv;esdecir,

dvdt

= a

Dedonde:

dv=a dt

Integrandosetiene:

v=a t+c

Paradeterminarc, sesuponeav comolavelocidadinicialv0,asísetienev=v0cuandot=0.

Entonces:v cc v0

0

0= +=

Luegosetieneunaleyquedeterminalavelocidad:

v=a t+v0

42 UNIDAD I

Tambiénsetienequelavelocidadvsedeterminaapartirdederivarladistancias;esdecir,

dsdt

v=

Obien:

dsdt

at v= + 0

Dedonde:

ds=(at+v0)dt

Integrandosetiene:

s a t v t c= + +12

20

Paradeterminarc, sesuponeas comoladistanciainicials0;deestaforma,s=s0cuandot=0.

Entonces:

s0=0+0+cc=s0

Luegosetieneunaleyquedeterminaladistancia:

s a t v t s= + +12

20 0

Alsustituira=g,v0=0,s0=0,s=henestaexpresiónyenv=at+v0,seobtienenlasleyesdelmovimientodeuncuerpoquecaeenelvacíopartiendodelreposo:

v=g ty h g t= 12

2

Apartirdeestasecuacionessededucetambiénque:

v gh= 2

Resuelvelosproblemasplanteadosapartirdelconceptodeantiderivada.

1. Untrenpartedeunaestacióndeferrocarrilconunaaceleraciónde0.02+0.005tm/s2.¿Quédis-tanciarecorreráen30segundos?

2. Unmóvilpartedelorigendecoordenadas,despuésdetsegundoslascomponentesdesuveloci-dadsonx=t2yy=6t.


a) Hallalaposicióndelmóvildespuésde3segundosydespuésdetsegundos. b) Hallaladistanciarecorridaencadaunadelastrayectorias.3. Selanzaunapiedradesdeelsuelohaciaarribaconunavelocidadinicialde19.6m/s.Hallar:

a) eltiempoenelquealcanzalaalturamáxima, b) laalturamáxima, c) eltiempoenelqueregresaalsuelo, d) lavelocidadconlaquellegaalsuelo,

4. Verificaquesiv=gtyh gt=12

2,entoncesv gh= 2 .

La integral indefinida y las reglas para la integración inmediata de diferenciales alge-braicas, exponenciales y trigonométricas

Confundamentoenloestudiado,podemosseñalarquesiconocemosunaprimitivaF(x)delafunciónf(x),seobtienenotrasprimitivasdef(x)sumandoaF(x)unnúmerorealcualquiera.

Enefecto,

∫f(x)dx=F(x)+c

Apartirdeloanterior,sic desconocidoeindefinido,laexpresiónF(x)+csedenomina integral indefinida.Estopuedeinterpretarsecomosigue:

ElconjuntodelasprimitivasdeunafunciónsellamaIntegral Indefinida.

Laintegralindefinidacumpleciertasreglasopropiedades,lascualessonconsecuenciainme-diatadeladerivación.

Enelcálculodiferencialexisteunareglageneralparaobtenerladerivadayladiferencialdeunafuncióndada;enelcálculointegralnosetieneunareglageneralcomotal,queintegrelaex-presióndiferencialdada.Enestoscasosseutilizantablasdeintegralesinmediatasenlasquesecomparalaexpresióndiferencialaintegrarconalgúntipodeintegralquemuestralatabla;sicoincidenseconocelaintegral,sino,serecurreaalgúnotrométodoquepermitareducirladi-ferencialaunadelasformasregistradasenlastablas.

Porahorasóloseestudiarántalesreglasdeintegraciónylasformasdelastablasdeintegralesinmediatas,segúnseaeltipodefunciónaintegrar.Losmétodosdeintegraciónalosquesehahechomenciónseabordaránmásadelante.

Sondoslasreglasdelaintegraciónqueasuvezsirvenparareducirexpresionesdiferencialesaintegralesinmediatas:

Enlapráctica, laconstantec se sobrentiende y puedeno escribirse, además porabusodel lenguajeelnom-bre de integral indefinidapuedeindicartantoelcon-junto de primitivas comounadeellas.Esasíqueunaprimitiva o antiderivadapuede denominarse Inte-gralIndefinida.

44 UNIDAD I

I. Integral del producto de un número por una función

Se enuncia: Fórmula:Laintegraldelproductodeunnúmeroporunafunciónesigualalnúmeroporlaintegraldelafunción. ∫k f(x)dx=k∫f(x)dx

Estapropiedadpermitedejarlasconstantesdentroofueradelsignodeintegración,segúncon-venga.

Observalosejemplos:

1. 7 7 7 373

2 23 3

x dx x dx x x c∫ = ∫ = = +

2. 5 5 5 e dx e dxx x e cx∫ = ∫ = +

3. 4 43 3 4x dx x dx x c∫ = ∫ = +

II. Integral de la suma algebraica

Se enuncia: Fórmula:Laintegraldeunasumaalgebraicadefuncionesesigualalamismasumaalgebraicadelasintegralesdedichasfunciones. f g xdx f x dx g x dx± = ±( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

Observalosejemplos:

1. 3 2 1 3 22 2 3 2 x x dx x dx xdx dx x x x c+( )−∫ = +∫ −∫ ∫ + +−

2. senx dx senx dx dx x x c−∫ = +∫ ∫ = − + +( )1 cos

3. e x dx e dx x dx sen xx x e cx+( )∫ = +∫ ∫ = + +cos cos

Enalgunasocasiones,cuandoseaplicanestasdospropiedades,esconvenientedescomponerelintegrandoalmáximo:

xx

dxx

dx x x c− = −

= − +∫ ∫1 1 1 ln

2 2 1 13 2

22x x x

xdx x

xdx x x x c− + = − +

= − + +∫ ∫ ln


Tipo de funciónFormas

Simple CompuestaPotencial

n≠―1 x dxxn

cnn

∫ =+

++1

1u u dx

un

cnn

( ) ( )⋅ =

++∫

+

'1

1

Logarítmico1x

dx x c∫ = +lnuu

dx u c'

ln∫ = +

Exponenciale dx e cx x∫ = +

a dxa

acx

x

∫ = +ln

e u dx e cu u⋅ = +∫ '

a u dxa

acu

u

⋅ = +∫ 'ln

Seno cosxdx x c= +∫ sen cos 'u u dx u c( ) ( )⋅ = +∫ sen

Coseno senxdx x c∫ = +cos sen u u dx u c( ) ( )⋅ = − +∫ ' cos

Tangente

sec2 xdx tgx c∫ = +

1 2+ = +( )∫ tg x dx tgx c1

2cos xdx tgx c∫ = +

sec '2 u u dx tg u c( ) ⋅ = +∫1 2+ ⋅ = +( )( ) ( )∫ tg u u dx tg u c'

12cos

'u

u dx tg u c( )

⋅ = +∫

Cotangente

csc cot2 x dx x c∫ = − +

1 2+ = − +( )∫ cot cotx dx x c1

2sen xdx x c∫ = − +cot

csc ' cot2 u u dx u c( ) ⋅ = − +∫1 2+ ⋅ = − +( )( )∫ cot ' cot 'u u dx u x c

12sen u

u dx u c( )

⋅ = − +∫ ' cot '

Acontinuación,seresuelvenintegralesutilizandolatabladeintegralesinmediatas.

1. x dx x c x c x c44 1 5

5

4 1 515∫ =

++ = + = +

+

xx

nn

− = 1

2. 14 1 3

134

44 1 3

3xdx x dx x c x c

xc∫ ∫= =

− ++ =

−+ = +−

− + −

x xmn m n= /

3. x dx x c x c23

23

1 35

23

1

35∫ =

++ = +

+

mn

mn

nn

m nn

+ = + = +1

4. 132

1 12

2 23

23

32

1 12

12x

dx x dx x c x cx

cx

c∫ ∫= =− +

+ =−

+ = − + = − +− + −

23

1 23

33

53

+ = + =

5. xdx x dx x c x c x c313

13

1 43 43

13

1

34

34∫ ∫= =

++ = + = +

+

uab

ba

u=

Tabladeintegralesinmediatas.

46 UNIDAD I

6. x dxx

c x c−( ) =−( ) + = −( ) +∫ 1

13

13

123

3

7. 2 1 11

212 20

2

x x x dxx x

c+( ) + −( ) =+ −( )

+∫8. sen sen sen5

66

616

x x dx x c x ccos∫ = + = +

dudx

u

dudx

dx u dx

du u dx

=

=

=

'

'

'9.

cos cos

cos cos

3 2

2 3

1

13

x dx x x dx

x x x dx x

sen

sen sen sen

∫ ∫∫

= −( )= − = − xx c+

10.3 3 1 3x

dxx

dx x c∫ ∫= = +ln

11. 2 2 1 2 1e dx e cx x+ +∫ = +

12. − = − = +∫ ∫tg senx dx xx

dx x ccos

ln cos

13. 5 5 5sen x dx x c∫ = − +cos

14.7 7 7 72

2 2

cossec sec

xdx x dx x dx x c∫ ∫ ∫= = = + tg

15. sec sec sec sec4 2 2 2 2 21 13

x dx x x dx x tg x x dx tg x tg tg ∫ ∫ ∫= +( ) = +( ) = + 33x c+

I. Apartirdelasreglasdeintegraciónylatabladeintegralesinmediatasantesmostrada,redactatupropioformulario.Puedescambiarenlasformascompuestas,laexpresióndiferencialu'dxporsuexpresiónequivalentedu.

II. Conbaseentuformulariodeintegralesinmediatas,calculalaintegralindefinidaqueseindica.

1. x dx6∫ =

2. 3 4x dx∫ =

3. x dx−∫ =5

4.1

2xdx∫ =

5.10

5xdx∫ =

6. − =∫12

4xdx

7. x dx5

3∫ =


8. x dx−

∫ =3

7

9.1

11xdx∫ =

10.5

6xdx∫ =

11. 62 95

8 9x

x xdx+ − =

∫

12. xx x

dx1

23 85

135

21+ + =

∫

13. x dx+ =( )∫ 2 2

14. x dx+ =( )∫ 3 5

15. 3 12 3x dx+ =( )∫

16. 4 4 1 7x dx− =( )∫ 17. 6 5 3 5 22 10

x x x dx+ + + =( )( )∫ 18. sen 3x x dxcos∫ =

19. − =∫ cos4 x x dxsen

20. sen 3x dx∫ =

21. 3 15

2

3

xx x

dx+

+ +=∫

22. xx

dx2

3 5+=∫

23. cot x dx∫ =

24. xe dxx 2

∫ =

25. e e dxx xcos∫ =

26.8

2sen xdx∫ =

27.cos ln x

xdx∫ =

28. 3 92 3x x dxcos + =( )∫

48 UNIDAD I

29.x

xdx

2

34 5+=∫

30. tg 2x dx∫ =

III. Resuelvelossiguientesproblemas.

1. HallarlaecuacióndelacurvaquepasaporelpuntoP(3,5)yquetienependiente4x2–2encadapunto(x,y).

2. HallarlaecuacióndelacurvaquepasaporelpuntoP(2,3)yquetienependiente3x2–x+1encadapunto(x,y).

3.Selanzaunapiedradesdeelbordedeunedificio,a36.5mdealtura,conunavelocidadinicialde30m/s.

a) ¿Aloscuántossegundosalcanzasumáximaaltura? b) ¿Cuálessualturamáxima? c) ¿Aloscuántossegundostocaelsuelo? d) ¿Conquévelocidadllegaalsuelo?

4. Uncoheteselanzahaciaarribadesdeelsueloyregresaalmismodespuésde8s. a) ¿Conquévelocidadfuelanzado? b) ¿Cuálfuesualturamáxima?

Integración por sustitución trigonométrica de expresiones que contienen a u2 2− ;

u a2 2±

Hayocasionesenqueelintegrandocontieneexpresionesdelasformas: a u2 2− y u a2 2± paralosquenoesposibleaplicarlastablasdeintegracióninmediata,esasíquelaestrategiaparaintegrartalesexpresionesesempleandotresclasesprincipalesdesustitucionestrigonométricasefectuandolasustitucióncomoacontinuaciónseindica:

Si a u2 2− ocurreenunintegrando,hágaselasustituciónu=asenθ

Si a u2 2+ ocurreenunintegrando,hágaselasustituciónu=atgθ

Si u a2 2− ocurreenunintegrando,hágaselasustituciónu=asecθ

Apartirdeestassustituciones,elsignodelradicaldesapareceencadacaso.


Efectivamente:

a a sen a sen a2 2 2 21− = − =θ θ θcos

a a tg a tg a2 2 2 21+ = + =θ θ θsec

a a a a tg2 2 2 2 1sec secθ θ θ− −= =

Comopodráspercatarte,losradicales a u2 2− , a u2 2+ y u a2 2− serelacionanconuntrián-gulorectángulo,concretamentesonlasformasparacalcularsusladosapartirdelteoremadePitágoras.Deestaformapuedeconstruirseuntriánguloyasignarlelaexpresiónquecorrespon-daacadaladoapartirdecadaradical.Lafuncióntrigonométricaquehadesustituirseenelra-dicalsederivadeltriánguloasíconstruido.

Lasiguientetablatemuestraelradicalconlaconstruccióndeltriángulocorrespondienteyes-pecificalasustitucióntrigonométricaadecuada.

a u2 2−a u2 2−

u=senq a u a2 2− = cosθ

a u2 2+ a u2 2+ u=atgq a u a2 2+ = secθ

u a2 2−u a2 2−

u=asecq u a a tg2 2− = θ

Losejemplossiguientesmuestranelcálculodeintegralesquecontienenensuintegrandoalgu-nadeestasformas.

1. x

xdx

36 2−=∫

Solución:

Delaformadelradicalquetieneesteintegrando,resulta

Del Teorema de Pitágorassetiene:

a b c

a c b

b c a

a a b

2 2 2

2 2

2 2

2 2

+ =

=

=

=

−

−

+

50 UNIDAD I

Radical Triángulo Sustitución Trigonométrica

36 2− x36 2− x

x=6senθ

Dedonde:dx=6cosθdθ

36 2 6− =x cosθ

Luego,sesustituyenlosvalorescorrespondientesenlaintegral,obteniendo:

xx

dx sen d

sen d

36

6 66

6

6

2−=

== −

∫ ∫

∫

( )( )

θ θ θθ

θ θ

coscos

cosθθ + c

Ahoraelresultadodebeexpresarseentérminosdelavariablex.

Asaberdeltriánguloconstruido,cos-

θ =36

6

2x

Porlotanto:x

xdx x c

xx

dx x c

366 36

6

3636

2

2

2

2

−= − −

+

−= − − +

∫

∫

2. dx

x x

2 24 +=∫

Solución:

Delaformadelradicaldeesteintegrando,setiene:

Radical Triángulo Sustitución Trigonométrica

4 2+ x

4 2+ x

x=2tgθ

Dedonde:dx=2sec2θdθ

4 2 2+ =x sec θ


Despuéssesustituyenlosvalorescorrespondientesenlaintegral,obteniendo:

dxx x

dtg

dtg

2 2

2

2

2

42

4 2

14

14

+=

= =

∫ ∫

∫

( )

secsec

sec

θ θθ θ

θ θθ

cos cosθ θθ

θ θ θ

θ

dsen

sen d

sen

22

1

14

14 1

∫ ∫=

=−

( )

( )

−

−

+ += −c csen1

4 θ


Asaberdeltriánguloconstruido, sen θ xx

=+4 2

Porlotanto,

dxx x x

x

c

dxx x

xx

c

2 2

2

2 2

2

4

1

44

4

44

+= −

+

+

+= − + +

∫

∫

3. dx

x x 2 9−=∫

Solución:

Delaformadelradicaldeesteintegrando,setiene:

Radical Triángulo Sustitución trigonométrica

x 2 9− x 2 9−

x=3secθ

Dedonde:dx=3secθtgθdθ

x tg2 9 3− = θ

Luego,sesustituyenlosvalorescorrespondientesenlaintegral,obteniendo:

dxx x

tg dtg

d

c

2 933 3

1313

−=

=

= +

∫ ∫

∫

( )

secsec

θ θ θθ θ

θ

θ

52 UNIDAD I


Asaberdeltriánguloconstruido, cos θ x

= 3

Así θ x

= −

cos 1 3

Porlotanto:dx

x x

x c

21

913

3−

= +∫ −

cos

I. Redactatutabladeintegraciónporsustitucióntrigonométricayanexaéstaatuformulariodein-tegralesinmediatas.

II. Utilizaelformulariodeintegralesquehasidoconstruyendoycalculalaintegralporsustitución

trigonométricaqueseindica.

1.x

xdx

3

24 −=∫

2.dx

x

16 2 32+( )

=∫ u u u u u3

2 12= =⋅

3.dx

x x

2 29−=∫

4. 16 9 2 32

6−( )

=∫x

xdx

5.x

x xdx

2

22 −=∫

6.dx

x

4 2 32−( )

=∫

7.dx

x x

4 2 32−( )

=∫

8.dx

x x

2 24 −=∫

9.dx

x 2 36−=∫

10.dx

x x

25 2−=∫

11.x

xdx

4 2+=∫ (usardosmétodos)


12.du

a u2 2 32−( )

=∫

Aplicaciones en administración y economía: costo total, ingreso total, y utilidad total

Enelámbitomacroeconómico,unacompañíanecesitaestimarcuántasunidadesdeunproduc-todebenproduciryelprecioalquelovaavenderparaalcanzarlamáximaeficiencia:elcostomarginalmínimo,elingresomáximoylautilidadmáxima.Todosestosfactoressepuedende-terminarmedianteelusodefuncionesmatemáticasdecosto,ingresoyutilidad,lascualessepuedenobtenerporderivaciónointegración,segúnseaelcaso.

Lassiguientesfuncionessonlosmodelosusadoseneconomía.

I. Paravendermásunidadesdeunproductosupreciodebesermenor,estefenómenoserepresentaporlaecuación de demanda:

P=a∙Q+b

Donde:

P:eselpreciodelproducto.a:pendientedelaecuacióndedemanda(relaciónentreelpreciodelproductoysudemanda).Q:cantidaddeproductosobtenidos.b:preciodeventaparacerounidadesydemandanula(preciofijo).

II. Apartirdelaecuacióndedemanda,ysabiendoqueelingresototal Iequivalealproduc-todelpreciodeventaylacantidaddeunidadesvendidas(I=P∙Q)),seobtienelafun-ción de ingreso total:

I=(a∙Q+b)∙QI=aQ2+bQ

III. ElmayoringresoIMposibledeunproductoenunmercadodefinidopodráexpresarsemediantelafuncióndeingresomarginal, queseobtienederivandolafuncióndeingre-soseigualandoacerotalderivada.Así,lafunción de ingreso marginal es:

IM=2aQ+bParaobtenerelmáximoingreso,sedebebajarelpreciodelproductoconlocualseincremen-tanlasunidadesvendidas,esdecir,hastaque2aQ+b=0.

IV. Laquemásseajustaalaeconomíadeescalayquemuestracómovaríaelcostodecier-toproducto,segúnsuescaladeproducción,eslafunción de costo total C:

54 UNIDAD I

C=CaQ3+CbQ

2+CcQ+Cd

Donde:

Cd:costodeproducircerounidades(costofijo).Ca,Cb,Cc,Cd:costosdediferentesunidadesproducidas.

V. LaproductividadóptimasepuedeobtenermedianteelconceptodecostomarginalMC, seobtienederivandolafuncióndecosto.Asílafunción de costo marginal es:

CM=3CaQ2+2CbQ+Cc

VI. Elcostounitariodeunproductosegúnlacantidaddeunidadesproducidaslodeterminaelcosto medioCMe,determinadoporelcocientedelcostototalylacantidaddeuni-dadesproducidas(CMe=C/Q).Así,

CMe=(CaQ3+CbQ

2+CcQ+C d)/Q

VII. LafuncióndeutilidadU totalseobtienedeterminandoladiferenciaentreelingresoto-talyelcostototal;porlotanto:

U=I–C

VIII. LaderivadadelafunciónutilidadtotalserálafuncióndeutilidadmarginalUM,lacualproporcionaunabuenaaproximacióndelagananciaopérdidarealresultantedelaven-tadelasunidadesQ+1,cuandosehanvendidoQunidades.

Conbaseenlasfuncionesexpuestas,yconsiderandoquelaintegracióneslaoperacióninver-sadeladerivación,sededuceque:

• Integrandolafunciónquerepresentaelcostomarginal,seobtienelafunciónquerepresentaelcostototal.

• Integrandolafunciónquerepresentaelingresomarginal,seobtienelafunciónquerepre-sentaelingresototal.

• Integrandolafunciónquerepresentalautilidadmarginal,seobtienelafunciónquerepresentalautilidadtotal.

Lossiguientesejemplosmuestranestaaplicación.

1. Unasubsidiariadeunacompañíaelectrónicafabricaunacalculadoradebolsillo.Lageren-ciadeterminóqueelcostomarginaldiariodeproduccióndeestascalculadoras(endóla-res)estádadoporCM=0.0003x2–0.16x+40,conuncostofijode3,000dólares.


a) ¿Cuáleslafunciónquedeterminaelcostototal? b) ¿Cuáleselcostomediodeproducciónen200calculadoras?

Solución:

a) Lafuncióndecostototalestádadaporlaintegraldelafuncióndecostomarginal.Así,

0 0003 0 16 40 0 0001 0 08 402 3 2. . . .x x dx x x x c− +( ) = − + +∫ycomoelcostofijoesc =3,000setienequelafuncióndecostototales:

C=0.0001x3―0.08x2+40x+3000

b) Ahora,paracalcularelcostomedioseevalúalafuncióndecostototalenx=200,ysedivideporélmismo,obteniendo:

CMeCMeCM

= ( ) − ( ) + ( ) +=

0 0001 200 0 08 200 40 200 3000 2008600 200

3 2. . //

ee dólares= 43

2. Supóngasequelafuncióndeingresomarginal(endólares)relacionadaconlacantidaddemandadaxdeunciertosistemadesonidoestádadaporIM=–0.04x+400yelcos-tototaldeproduccióndelmodelo2009esC=100x+200,000.

a) ¿Cuáleslafunciónquedeterminaelingresototal? b) ¿Cuáleslaecuacióndedemanda? c) ¿Cuáleslafunciónquedeterminalautilidadtotal? d) ¿Cuáleslafunciónquedeterminalautilidadmarginal? e) CalcularUM(2,000)einterpretarelresultado.Solución:

a) Lafuncióndeingresototalestádadaporlaintegraldelafuncióndeingresomargi-nal.Así:

I=–0.02x2+400x

b) PuestoqueP IQ

= ,laecuacióndedemandaes:

P=–0.02x+400

c) SisabemosqueU=I–C,entonces:U x x x

x x

= − +( ) − +( )= − + −

0 02 400 100 200000

0 02 300 200000

2

2

.

.U

56 UNIDAD I

d) Derivandolafuncióndeutilidadtotalobtenemoslafuncióndeutilidadmarginal:

UM=–0.04x+300

e) Evaluandoestafunciónparax=2,000,seobtiene:UM 2000 0 04 2000 300

220( ) = − ( ) +

=.

Esteresultadoindicaquelagananciarealobtenidaporlaventade2001sistemasdesonidoesde220dólaresaproximadamente.

I. Encuentralafuncióndecostototal,segúnlafuncióndecostomarginaldada.

1. CM=0.02x2+5x;elcostofijoesde$15.

2. CM=x2–100x+2,500;elcostofijoesde$5,000.

3. CM=x2;15unidadescuestan$1,500.

4. CM=–0.033x2+25;5unidadescuestan$250.

5. LafuncióndeutilidadmarginalporlaventadexcientosdeartículosdeunamarcaesUM=4–5x+2x2,ycuandoningúnartículosevendeesde–$50.¿Cuáleslafunciónquedeterminalautilidadtotal?

6. Unaempresafabricarefrescode3litros.Lagerenciadeterminóqueelcostomarginaldiariodeproduccióndeestosrefrescos(enpesos)estádadopor:CM=0.0006x2–0.4x+10,conuncostofijode$5,000.

a) ¿Cuáleslafunciónquedeterminaelcostototal? b) ¿Cuáleselcostomediodeproducciónen100refrescos?

7. Supóngasequelafuncióndeingresomarginal(endólares),relacionadaconlacantidadde-mandadaxdeunsistemadeciertoproducto,estádadaporIM=–0.02x+300yelcostoto-taldeproduccióndeunaciertamarcaes:

C=0.000003x3–0.04x2+200x+10,000. a) ¿Cuáleslafunciónquedeterminaelingresototal? b) ¿Cuáleslaecuacióndedemanda? c) ¿Cuáleslafunciónquedeterminalautilidadtotal? d) ¿Cuáleslafunciónquedeterminalautilidadmarginal? e) CalcularUM(5000)einterpretarelresultado.


I. Definelossiguientesconceptos:

Diferencial:

Antiderivada:

II. Calculalasdiferencialesdelassiguientesfunciones:

1. y=x2+2x+5

2. y x= +2 1

3. y=4e3x

4. y x= +( )ln 2 1

5. y x= −( )ln 1 2sen

III. Completalatablahorizontalmente,segúnlafunciónqueseindica.

x ∆x dx ∆y dy ∆y―dyy=4x2+5x–9 1 0.002y = 5x2 + 3x 2 0.03y=2x2–3 3 0.005

yx

x=

+ 11 0.0001

IV. Encuentralaaproximacióndelerrorabsolutocometidoalcalculareláreadeuncuartocuadradoquemidedelado4±0.05mysedeseaalfombrar.

V. Encuentraelvalorexactoyloserroresabsolutoyrelativoobtenidosalcalcularelvolu-mendeuntambodeaguaenformacilíndrica,sitieneunaalturade1mysuradiomide35±0.3cm.

58 UNIDAD I

VI. Encuentraunaantiderivadaparalafunciónqueseindica.

1. f(x)=2x2–x+6

2. f xx x

( ) = −1 22

3. f x xx

( ) = + 53

4. f x x x( ) = − −5 2

5. f(x)=(x―5)2

6. f(x)=(x―1)(3x―4)

7. f x x xx

( ) = − +2 2 62

VII. Determinalaprimitivaatendiendoalascondicionesinicialesqueseindican.

1. f(x)=3x2–6x+1 F(2)=5

2. f(x)=cosx F π2

1

=

VIII. Calculalaintegralqueseindica.

1. 4 5 12x x dx− +( )∫ 2. x dx2 2

1+( )∫ 3. 7 1

22

34x x

xdx− +

∫

4. sen22

x dx∫

IX. Sesabequeunárbolcrecedetalformaquedespuésdetañossualturah(t)cambiaara-zóndeh’(t)=0.2t+t1/2pies/año.Sielárboltenía1mdealturacuandoseplantó,¿cuálserálaalturadespuésde9años?

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