DIFUSIÓN

DIFUSIÓNCuando una distribución de partículas

es inyectada en una región del espacio donde hay campos magnéticos, campos de radiación y campos de materia,las partículas sufrirán diversos tipos de pérdidas modificando su distribución.

Las partículas, además, se difundirán en el mediocon una cierta escala temporal típica dada por:

R

DR2

0 »t

),,( trENN !=

),( rEDD !=

vD l31=

Coeficiente de difusión

Distancia que recorre

Camino libre medio de las partículas (depende de las características del medio)

l

cv @12 scm][ -=D

DIFUSIÓNEstudiando la composición química de los rayos cósmicos es posible hacer inferencias sobre el valor medio del coeficiente de difusión en la Galaxia (Guinzburg & Syrovatskii 1964):

Estudios más recientes (Berezinskii et al. 1990) indican:

1229 scm1015.0 -´-»D

Dependencia del coeficiente de difusióncon la energía

Se difunden más rápido los más energéticos

1230291312

122928109

scm1010)eV1010(scm1010)eV1010(-

-

-»-

-»-

DD

Si el medio es uniforme

En general, se supone que esta relación viene dada por una ley de potencias µEDED 0)( =

)(EDD =

DIFUSIÓNLa evolución de una población de partículas relativistas está determinada por la ecuación de difusión, cuya forma más general es:

Ø Razón de pérdida de energía de las partículasdebida a los distintos procesos involucrados

Ø Escala temporal de escape de las partículas

Ø Inyección de partículas nuevas con energías en al instante Término “fuente”.

Ecuación diferencial de derivadas parciales de tipo inhomogéneo.Puede resolverse utilizando el método de la función de Green.

),,(

)(

dd)(

)(),,(

trEQQ

ETT

tEEbb

EDDtrEnn

!

!

=

=

==

==

[ ] QTnbn

EnD

tn

=+¶¶

+Ñ- 2

dd

Donde:

E r!t

Describe la difusión espacial de partículas con coeficiente de difusión D: El transporte difusivo es multidireccional.

Mide pérdidas de partículas por difusión espacial.

ECUACION DE DIFUSIÓN EN DOS DIMENSIONESAntes de discutir la solución general de la ecuación de difusión, presentamosuna deducción sencilla de la ecuación en dos dimensiones.

Las pérdidas radiativas sufridas por las partículas relativistas modifican suespectro.

Para establecer cómo:Se considera un espacio de 2 dimensionesØ Una dimensión espacial

(se adopta el eje de las abcisas)Ø Energía

(se adopta el eje de las ordenadas)

f Flujo de partículas a través de superficies en este espacio.

Las partículas se mueven en la dirección:Ø x: por difusión espacialØ y: por ganancia o pérdida de energía

Ecuación de difusión en dos dimensiones (cont.)

xEtxEndN dd),,(=

Razón de cambio en la densidad de partículas en el elemento :

Tasa de producción de partículas relativistaspor unidad de volumen en el espacio E-x.

Número de partículas entre x y x+dx con energías entre E y E+dE

xE dd

[ ][ ]

xEtxEQxtxdEEtxE

EtxxEtxExEtxEnt

EEE

xxx

dd),,(d),,(),,(

d),d,(),,(dd),,(

d

d

++-+

+-=¶¶

+

+

ff

ff

),,( txEQ

Realizando expansión de Taylor y simplificando la notación:

QExt

n Ex +¶¶

-¶¶

-=¶¶ ff

Flujo de partículas a través del intervalo de energía dE en el punto x del espacioxf

Flujo de partículas a través del intervalo de dx que tiene energía E en algún tiempo en el intervalo dt. Ef

xf

por definición

Flujo de partículas a través del intervalo de energía dE en el punto x del espacio

D

)(dd EbtE= Tasa de pérdida de energía de partículas con energía E

QEx

nD

tn E +

¶¶

-¶¶

=¶¶ f

2

2

xn

Dx ¶¶

-=fCoeficiente de difusión

Ef Flujo de partículas a través del intervalo de dx que tiene energía E en algún tiempo en el intervalo dt.

)()(dd)( EnEbtEEnE ==f

[ ] )()()(2 EQEnEbE

nDtn

+¶¶

-Ñ=¶¶ Ecuación de difusión

de las partículas

Número de partículas que pasan con energía E por unidad de tiempo

Ecuación de difusión en dos dimensiones (cont.)

Ecuación de difusiónGeneralizando

a tres dimensiones y agregando un término que tenga en cuenta el escape de las partículas, se obtiene la ecuación de difusión:

Si el medio sufre movimientos convectivos con una velocidad macroscópica ,entonces puede completarse la ecuación con un término de convección:

[ ] ),,(dd 2 trEQ

Tnbn

EnD

tn !

=+¶¶

+Ñ-

v

[ ] )()()(2 EQEnEbE

nDtn

+¶¶

-Ñ=¶¶

[ ] ),,(dd 2 trEQv

Tnbn

EnD

tn !!!

=Ñ×++¶¶

+Ñ-

Consideremos una solución de estado estacionario para una distribución uniforme de fuentes que inyectan electrones relativistas con un espectro: pEKEQ -=)(

Como no hay difusión ni dependencia temporal, la ecuación de difusión resulta:

[ ] )()()( EQEnEbE

=¶¶

[ ] òò = EEQEnEb d)()()(d [ ] òò¥

-¥

=E

p

E

EEKEnEb d)()(d

11)()(

)1(1

-=

+-=-

--¥+-

pEK

pEKEnEb

p

E

p

¥®® EEN para0)(

)()1()(

)1(

EbpEKEn

p

--=

--

Solución de la ecuación de difusión[ ] ),,(

dd 2 trEQv

Tnbn

EnD

tn !!!

=Ñ×++¶¶

+Ñ-

Para pérdidas que van como

como las pérdidas sincrotrónicas:

A partir de:)1()( +-µ pEEN

segeV

G106.6

34 2

24

mag2

Tsincr

gwgs ÷øö

çèæ´-»-=÷

øö

çèæ - BcdtdE

2

dd)( EAtEEb -==

)()1()(

)1(

EbpEKEn

p

--=

-- El espectro de electrones

se hace más blandorespecto de la

inyección, incrementándose en 1

la potencia de E

Solución de la ecuación de difusión

Para estudiar soluciones no estacionarias debemos conocer cómo varía la inyección de partículas.

Supongamos que hay una inyección continua durante un tiempo t0:

Espectro de inyección

y que las pérdidas de energía son del tipo

0

0

si0)(si)(

ttEQttEKEQ p

>=<= -

Resolviendo:

( )[ ]

1si)1(

1si11)1(

0

)1(

01

)1(

>-

£---+-

-+-

AEtpAEK

AEtAEtpAEK

p

pp

)(En

[ ] )()()( EQEnEbEt

n+

¶¶

-=¶¶

Solución de la ecuación de difusión[ ] ),,(

dd 2 trEQv

Tnbn

EnD

tn !!!

=Ñ×++¶¶

+Ñ- 2

dd)( EAtEEb -==

2

dd)( EAtEEb -==

Para estudiar soluciones no estacionarias debemos conocer cómo varía la inyección de partículas.

Si tenemos una inyección instantánea en t=0:

Espectro de inyección )()( tEKEQ p d-=

Resolviendo:

( ) 21)( -- -= pp AEtEKEn

[ ] )()()(dd EQEnEb

Etn

+¶¶

-=

Para p=2, el espectro no modifica su forma, Sólo va cambiando la energía máxima de las partículas.

Solución de la ecuación de difusión[ ] ),,(

dd 2 trEQv

Tnbn

EnD

tn !!!

=Ñ×++¶¶

+Ñ-

Solución de la ecuación de difusiónLa función de Green de la ecuación de difusión sin término convectivo satisface:

l

Valores iniciales000 ,, trE !

La solución de esta ecuación se encuentra fácilmente si se cambia a nuevas variables (Syrovatskii 1959): yt-=¢ tt

ò=ºE

E EbEEE

0 )(d),( 0tt

[ ] )()()(dd

0002 ttrrEE

TGbG

EGD

tG

---=+¶¶

+Ñ- ddd !!

),,;,,( 000 trEtrEGG !!=

EEbEDEE

E

Ed)()(),(

00 ò=º ll

)(4)(

exp)4()(

1),,( 0

20

23 tdl

tpl

--úû

ùêë

é ---= ttrr

TEbtrEG

!!!

La solución general de la ecuación de difusión para una distribución fuente arbitraria es:

),,;,,(),,(ddd),,( 0000000003 trEtrEGtrEQtErtrEn

t !!!!!ò òò¥

¥- ¥-

¥

¥-=

xxfxxGxu ¢¢¢= òW

3d)(),()( !!!!

[ ] ),,(dd 2 trEQ

Tnbn

EnD

tn !

=+¶¶

+Ñ-

Solución de la ecuación de difusión (cont.)La función de Green para un procesos estacionario(donde la intensidad de las fuentes no dependen del tiempo):

Si el proceso es no-estacionario pero es homogéneo en el espacio:ò=ºE

E EbEEE

0 )(d),( 0tt

0si,4)(

exp)4()(

1

),,;,,(d),;,(

20

23

000000

>úû

ùêë

é ---=

= ò ¥-t

lt

plrr

TEb

trEtrEGtrErEGt

!!

!!!!

);()(d)( max EEGEQEENE

E¢¢¢= ò

)(exp)(

1),;,( 000 tdt

--úûù

êëé-= ttTEb

tEtEG

Si el proceso es estacionario y homogéneo en el espacio:

úû

ùêë

颢

¢-= ò

0

)()(d

exp)(

1);( 0

E

E ETEbE

EbEEG

Volviendo a…MECANISMO DE FERMILuego, el espectro de rayos cósmicos en forma integralque emerja de la fuente luego de n cruces será:

)1(cte)( -G-=> EEJ

G-= EEJ cte)(Y en forma diferencial :

Para una onda de choque fuerte: 4=x 2=G

12-+

=Gxx

El hecho que el espectro observado sea

Se explica a través de los efectos de difusión de las partículas en el medio interestelar.

7.2cte)( -= EEJ

LEY DE POTENCIAS

¿Cuál es la energía máximaque pueden alcanzar las partículas?

Para realizar esta estimación, se igualan las ganancias de energía de las partículascon las pérdidas radiativas que sufren las mismas.

ciclot

( )( )cmG300eV

g BzEr =

Siempre que Emax sea tal queel giroradio de las partículas de esa energía sea menor que el tamaño de la región de aceleración de la fuente.

La tasa de aceleración es:( )

cicloacel

1t

EEdtdE

Er

D==

Donde es el tiempo que le toma a una partícula que está siendo acelerada ir de la región pre-shock a la post-shock para luego regresar a la misma.Depende del coeficiente de difusión del medio.

Se supone que este coeficiente depende de la energía

dEEDD µ= )(

ENERGÍA MÁXIMA

1ciclo

sacel

134 --

» tcVr

xx

)()( d+G-µ EEJ

Coeficiente de difusiónLa determinación de la evolución de una población de partículas relativistasrequiere, en general, el conocimiento del coeficiente de difusión.

Es usual suponer que en el medio interestelar este coeficiente esuna ley de potencia de la energía, pero puede variar significativamente en diversos medios.

En ausencia de cualquier otra información, se suele adoptar el coeficiente de difusión mínimo, conocido como coeficiente de difusión de Bohm:

Las partículas que se difunden son observadas cuando interactúan con “blancos” lejanos a la fuente, y dan lugar a radiación en RX o gammasegún el proceso que se desarrolle.

En algunos casos, la difusión compite con la convección en el transporte de las partículas (por ejemplo en regiones donde hay vientos fuertes). En tales casos, el término convectivo no puede despreciarse.

crD g31

=cv @

( )( )cmG300eV

g BzEr =

El coeficiente de difusión a lo largo del campo magnéticoes un cierto número de veces el valor del coeficiente de difusión mínimo, conocido como coeficiente de difusión de Bohm:

grcrD gBohm 31

=

El coeficiente de difusión paralelo a es:

Donde es el giroradiode la partícula.

Un shock se denomina paralelo si la normal al frente del choquees paralela a la dirección del campo magnético.Para valores típicos de y se tiene:

SI)en (105.1 24

acel

BcedtdE -´»

cV 1.0s =

B!

Bohm|| DD z=

10=V

El coeficiente de difusión perpendicular es: 2

||

1 V+»^

DD SI)en (04.0 2

acel

BcedtdE

»

Coeficiente de difusión

¿Cuál es la energía máximaque pueden alcanzar las partículas? (cont.)

Las ondas de choque de los remanentes de supernova permanecen fuertescomo para acelerar partículas durante ~103 años.Las energías máximas que se logran considerando B~10-5 G y pérdidas sincrotrón son:

eV1014SNmax ZE ´» Para shocks paralelos.

Para un shock oblicuo, con un ángulo entre la normal al shock y el campo magnético, el coeficiente de difusión es:

q

El valor de la energía máxima estará comprendido entre los valores correspondientes al caso paralelo y al perpendicular.

)(sen)(cos 22|| qq ^^ += DDD

eV1016SNmax ZE ´» Para shocks perpendiculares.

Efectos adicionales a tener en cuenta en diversas situaciones astrofísicas:

1) Modificación del shock por efecto de la presión de los rayos cósmicosque están siendo acelerados, lo que lleva a situaciones no-lineales.

2) Ondas de choque relativistas. En este caso, el índice adiabático del gas es 4/3 en vez de 5/3, lo que lleva a

Si se tienen en cuenta efectos anisotrópicos, en casos relativistas se tiene:

7=x Se tienen espectros con 5.1»G

0.25.1 £G£

Discusión general de las Funciones de GreenConsideramos un operador diferencial tal que:

Supongamos que se ha fijado una región y se han impuesto condiciones de contorno adecuadas.

se dice hermítico si:

vu,

L

Funciones arbitrarias que satisfacen las condiciones de contorno

)()( xuxuL!! l=

W

L xxuLxvxxvLxu 3*3* d)()(d)()( !!!!òò WW

=

Supongamos que es hermítico y consideremos dos autofunciones diferentes con sus autovalores:

Conjugando la segunda ecuación y restando:

L

)()()()(xuxuLxuxuL

jjj

iii!!

!!

ll

==

xxuxuxxuLxu

xxuxuxxuLxu

jijji

ijiij

3*3*

3*3*

d)()(d)()(

d)()(d)()(!!!!

!!!!

òòòòWW

WW

=

=

l

l

( ) 0d)()( 3** =- òW xxuxu ijji!!ll

Discusión general de las Funciones de Green (cont.)Considerando los casos vemos que:

1) Los autovalores de un operador hermítico diferencial son reales2) Las autofunciones de un operador hermítico diferencial,

correspondientes a autovalores distintos, son ortogonales:

)(xu !)()( xucxu n

nn

!! å=

jiji ¹= ,

consideramos la ecuación no-homogénea:

Desarrollamos y en serie de autofunciones de :

)()()( xfxuxuL!!!

=-l

0d)()( 3* =òW xxuxu ji!!

ll -=

n

nn

fuc .

)(xf ! L)()( xudxf n

nn

!! å=)()()( xudxuc n

nnnn

nn

!! åå =-ll

0)]()()([ =--å xudxuc nnnnn

n!!ll

nn dfu =.

xxfxuxufuu

xu nn n

n

n n

nn ¢¢¢-

=-

= òååW

3* d)()()(.)(llll

!!

Discusión general de las Funciones de Green (cont.)

Podemos escribir

donde es la Función de Green.

Esta función está determinada por un operador diferencial hermítico, una regióny condiciones de contorno adecuadas.

Ø Buscamos ahora la ecuación diferencial que se satisface con

Si

Por lo tanto, es la solución de:

)()( 0xxxf!!!

-= d

W

xxfxxGxu ¢¢¢= òW

3d)(),()( !!!!

å -¢

=¢n n

nn xuxuxxG

ll)()(),(

* !!!!

),( xxG ¢!!

),(d)(),()( 03

0 xxGxxxxxGxu!!!!!!!

=¢-¢¢= òW

d

),( xxG ¢!! ),(),(),( xxxxGxxGL ¢=¢-¢!!!!!! dl

Significado de la función de Green:es la solución del problema para una “fuente” puntual unidad

Se cumple que : significa quela respuesta en a una perturbación unidad en es la misma que la respuesta en a una perturbación puntual en

)()( xxxf ¢-=!!! d

*)],([),( xxGxxG ¢=¢ !!!!

x!

x!

x¢! x¢

!

)()()( xfxuxuL!!!

=-l