RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA 27 de septiembre de 2010

UJCM – INGENIERIA CIVIL 2010 – II - DINAMICA 1

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE

ING. CIVIL

RESOLUCION DE PRIMERA PRACTICA DE DINAMICA

CURSO : DINAMICA

ALUMNOS : ARPASI HUAMAN LITERSON

FLORES COPACATI, ANTONIO

MALDONADO VERA, JOSE AUGUSTO

CORDOVA, JEFFESON JORGE

CICLO : IV

DOCENTE : Ing. ALBERTO FLORES

MOQUEGUA - PERU

2010

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1. Resolver la siguiente expresión ( 𝑹𝑿 → (𝑺 + 𝑻

→ → ) + ( 𝑻 𝑿 → (𝑹 + 𝑺

→ → ) + ( 𝑺 𝑿 → (𝑻 + 𝑹

→ →)

RESOLUCION:

( 𝑹 𝑿 → (𝑺 + 𝑻

→ → ) + ( 𝑻 𝑿 → (𝑹 + 𝑺

→ → ) + ( 𝑺 𝑿 → (𝑻 + 𝑹

→ →)

i j k k i j j k i

l ll s

m o p

=elmi eljk Ri Sj Tk + ellok ellij Tk Ri Sj +espj eski Sj Tk Ri

=(ʆmj ʆik Ri Sj Tk - ʆmk ʆij Ri Sj Tk)+( ʆoi ʆkj Tk Ri Sj - ʆoj ʆki Tk Ri Sj)

+ (ʆpk ʆji Sj Tk Ri - ʆpi ʆjk Sj Tk Ri)

Contracciones:

m=j m=k o=i o=j p=k p=i

i=K i=j k=j k=i j=i j=k

=(ʆjj ʆkk RK Sj Tk - ʆkk ʆjj Rj Sj Tj)+( ʆii ʆjj Tj Ri Sj - ʆjj ʆii Ti Ri Sj)

+( ʆkk ʆii Si Tk Ri - ʆii ʆkk Sk Tk Ri)

Rk Sj Tk - Rj Sj Tk+ Tj Ri Sj - Ti Ri Sj+ Si Tk Ri - Sk Tk Ri

(TXR)XS-(RXS)XT+(SXT)XR-(TXR)XS+(RXS)XT-(SXT)XR =0

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2. Expresar en coordenadas cilíndricas elípticas (u, v, z) la ecuación de transmisión de calor por

conducción 𝝏𝑼

𝝏𝒕= 𝒌𝛁𝟐𝐔

𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒉𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝒗

𝒚 = 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒉𝒖.𝒔𝒆𝒏𝒉𝒗

𝒛 = 𝒛

RESOLUCION:

𝐮𝟏 = 𝐮

𝒖𝟐 = 𝒗

𝒖𝟑 = 𝒛

Factor de Escala:

𝒉𝟏 = 𝒂√(𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖)

𝒉𝟐 = 𝒂√(𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖)

𝒉𝟑 = 𝟏

Jacobiana:

[−𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯 𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯 𝟎−𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏]

𝐃𝐄𝐓 = −𝐚𝟐(𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 − 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒗.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖) ≠ 𝟎

U=𝒂𝒄𝒐𝒔𝒉𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝒗 + 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒉𝒖.𝒔𝒆𝒏𝒉𝒗 +𝒛

𝛁𝟐𝐔 =𝟏

𝐡𝟏𝐡𝟐 𝐡𝟑

((𝛛

𝛛𝐮(

𝐡𝟐 𝐡𝟑

𝐡𝟏 )

𝛛𝐅

𝛛𝐮) + (

𝛛

𝛛𝐯(

𝐡𝟏 𝐡𝟑

𝐡𝟐 )

𝛛𝐅

𝛛𝐯 ) + (

𝛛

𝛛𝐳(

𝐡𝟏 𝐡𝟐

𝐡𝟑 )

𝛛𝐅

𝛛𝐳 ))

𝛁𝟐𝐔 =𝟏

𝒂𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖((

𝛛

𝛛𝐮 𝛛𝐅

𝛛𝐮) + (

𝛛

𝛛𝐯 𝛛𝐅

𝛛𝐯 )

+ (𝛛

𝛛𝐳(𝒂𝟐(𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒗.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 ))

𝛛𝐅

𝛛𝐳 ))

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𝛁𝟐𝐔 =𝟏

𝒂𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖((

𝛛

𝛛𝐮 (𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮 + 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮)

+ (𝛛

𝛛𝐯 (𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯 + 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮. 𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯)

+𝛛

𝛛𝐳(𝒂𝟐(𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒗.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 ))

𝛁𝟐𝐔 =𝟏

𝒂𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖(( (𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮 + 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮)

+ ( (𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯 + 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮. 𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯))

𝛁𝟐𝐔 = (𝟐𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯. 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮 + 𝟐𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮)

𝒂𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖

𝝏𝑼

𝝏𝒕= 𝒌𝛁𝟐𝐔

𝝏𝑼

𝝏𝒕= (

(𝟐𝐚𝐜𝐨𝐬𝐡𝐯.𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮+𝟐𝐚𝐬𝐞𝐧𝐡𝐯.𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮) 𝐊

𝒂𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒖.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒗+ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒗.𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 )

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3. En el sistema de coordenadas esféricas evaluar 𝛁. 𝑭→ 𝒚 𝛁 𝒙 𝑭→

𝑭𝒓 = −𝟑𝟎𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓 𝑭𝜽 = −𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝑭𝝓 = 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒔𝒆𝒏𝝓

F= −𝟑𝟎𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓 − 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒔𝝓 + 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒔𝒆𝒏𝝓

a) Hallar 𝛁. 𝑭→

RESOLUCION:

𝟏

𝐫𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛉(

𝛛

𝛛𝐫((𝐫𝟐𝐬𝐞𝐧𝛉 (−𝟑𝟎𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓) ) + (

𝛛

𝛛𝜽 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽(−𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒔𝝓 ))

+ (𝛛

𝛛𝝓( 𝒓 ( 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝒔𝒆𝒏𝝓 ))

𝟏

𝐫𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛉(

𝛛

𝛛𝐫(−𝟑𝟎𝐚𝐫𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓 + (

𝛛

𝛛𝜽 (−𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒔𝝓 ))

+ (𝛛

𝛛𝝓( ( 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒏𝝓 ))

𝟏

𝐫𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛉( (−𝟗𝟎𝐚𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓 + (𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝝓(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 )

+ ( ( 𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝓 ))

𝟏

𝐫𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛉( (−𝟗𝟎𝐚𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓 + (𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝝓)((𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝟏)

𝟏

𝐫𝟐𝐬𝐞𝐧𝛉( (−𝟗𝟎𝐚𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓 + (𝟏𝟓 𝒂𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝓)((𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽))

( (−𝟗𝟎𝐚𝒔𝒆𝒏𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓 + (𝟑𝟎 𝒂𝒄𝒐𝒔𝝓)𝒔𝒆𝒏𝜽)

𝛁. 𝑭→ = - 60𝐚𝒔𝒆𝒏𝛉 𝐜𝐨𝐬𝝓

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b) Hallar 𝛁𝒙𝑭→

RESOLUCION:

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4. Hallar una expresión equivalente a:

RESOLUCION:

(U X V). (V X W) X (U X W)

i j j k i k

l m n

l

= elij elmn emjk enik Ui² Vj² Wk²

= (ʆim ʆjn emjk enik Ui² Vj² Wk² - ʆin ʆjm emjk enik Ui² Vj² Wk²)

Contracciones: i=m j=n i=n j=m

= (ʆmm ʆnn emnk enmk Um² Vn² Wk² - ʆnn ʆmm emmk ennk Un² Vm² Wk²)

emnk enmk Um² Vn² Wk²

(U .V X W) ² = (W.U x V)2

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5. Evaluar la laplaciano de:

RESOLUCION

Ahora la laplaciano

)

)

)

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6. Demostrar que el producto escalar es invariante ante una rotación de ejes

RESOLUCION:

(𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎

−𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

) (𝑨𝒙

𝑨𝒚

𝑨𝒛

) = (

𝑨′𝒙

𝑨′𝒚

𝑨′𝒛

)

𝑨′𝒙 = 𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑨𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽

𝑨′𝒚 = −𝑨𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑨𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝑨′𝒛 = 𝑨𝒛

𝑩′𝒙 = 𝑩𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑩𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽

𝑩′𝒚 = −𝑩𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑩𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝑩′𝒛 = 𝑩𝒛

A´.B´= (𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑨𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽)( 𝑩𝒙 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑩𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽) + (−𝑨𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑨𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜽)( −𝑩𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜽

+𝑩𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜽) + 𝑩𝒛 .𝑨𝒛

A´.B´= (𝑨𝒙𝑩𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + (𝑨𝒙𝑩𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝑨𝒚𝑩𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝑩𝒛 .𝑨𝒛

A´.B´= (𝑨𝒙𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛𝑩𝒛)………(1)

EN CARTESIANO:

A=(𝑨𝒙 + 𝑨𝒚 + 𝑨𝒛

B= (𝑩𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑩𝒛)

A.B= (𝑨𝒙𝑩𝒙 + 𝑨𝒚𝑩𝒚 + 𝑨𝒛𝑩𝒛) = (𝑨𝒙𝑩𝒙 + 𝑨𝒚𝑩𝒚 + 𝑨𝒛𝑩𝒛)……….(2)

IGUALAMOS:

A.B= A´.B´

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