Dinamica de Cohetes

Luis A. Aguilar

28 de febrero de 2007

1. Introduccion

En esta seccion estudiaremos en detalle ladinamica del movimiento de cohetes. En gene-ral, un vehıculo avanza impulsado por la fuerzade reaccion que resulta del mismo ejerciendo unafuerza sobre su entorno: un automovil ejerce unafuerza sobre el pavimento a traves de sus llan-tas, un avion ejerce una fuerza sobre el aire que

lo rodea a traves de sus turbinas y alas, etc. Encambio, un cohete que se mueve en el espacio notiene un medio sobre el cual ejercer fuerza al-guna. El cohete se mueve como resultado de lafuerza de reaccion que resulta de expeler partede su masa en direccion opuesta a su movimien-to. Ası pues, el movimiento de un cohete implicanecesariamente un cambio de su masa.

2. La ecuacion de movimiento

Empezaremos encontrando la ecuacion de mo-vimiento de un cohete que se mueve librementeen el espacio1. Esta sera una derivacion sencillabasada en la comparacion del sistema a dos inter-valos de tiempo diferentes y haciendo uso de laconservacion del momento lineal. Posteriormenteharemos una derivacion mas general que incluyefuerzas externas.

2.1. Cohete sin fuerza externa

Sea un cohete que se mueve libremente. Altiempo t tiene una masa m+dm y se mueve convelocidad v con respecto a un observador exter-no inercial. Un instante dt despues, el cohete semueve a una velocidad v+dv, habiendo expelidouna masa dm de gases a una velocidad −ve conrespecto a si mismo (ver figura 1).

1Es decir, sin estar sujeto a fuerzas externas

1

2 2 LA ECUACION DE MOVIMIENTO

Figura 1: Un cohete libre de fuerzas externas.

El observador inercial vera la masa dm de ga-ses moverse a una velocidad v−ve. Los momentoslineales pi y pf al tiempo t y t + dt, son:

pi = (m + dm) v = mv + dmv

pf = m (v + dv) + dm (v − ve)= mv + mdv + dm v − dm ve

Como no hay fuerzas externas, la 2a ley deNewton dice que el momento lineal se conserva :

mv + dm v = mv + mdv + dm v − dm ve

Notese que los dos terminos del momento ini-cial son cancelados por terminos que aparecen enel momento final:

m dv = dmve (1)

El ultimo paso es dividir entre dt para obte-ner2:

mv = vem (2)

Esta es la ecuacion fundamental que describeel movimiento de un cohete en movimiento libre.Notese que la perdida de masa del cohete impli-ca m > 0, porque una dm positiva en la ecuacion (1), representa una perdida para el cohete.El termino de la derecha se le denomina empuje,tiene unidades de fuerza y es el responsable de

2El sımbolo “ ˙ ” indica derivacion temporal

que el cohete se acelere. Es claro que para incre-mentar el empuje es necesario aumentar la tasade cambio de masa y/o usar algun combustibleque produzca una velocidad de emision de gasesmuy alta.

Ejemplo 1: Solucion del movimientoSupongamos que un cohete se mueve libremente

consumiendo su combustible a una tasa fija y arro-jando los gases que resultan a una velocidad cons-tante ve. La masa inicial del combustible es mc y lamasa util es mo. ¿Cual es su velocidad y la distanciarecorrida como funcion del tiempo?

Solucion:La ecuacion (2) puede ser escrita como:

dv

dt= ve

1m

dm

dt(3)

La masa del cohete como funcion del tiempo estadada por,

m(t) = mo + mc (1− t/tf ),

donde hemos incluido el hecho de que la tasa de con-sumo de combustible es constante. Esta expresion esvalida para 0 < t < tf , donde tf es el tiempo en elque se agota el combustible.

Es claro que la tasa de perdida de masa es m =(mc/tf ), por lo que la ecuacion (3) puede ser escrita:

dv

dt=

vemc

tf

1m

Aquı nos conviene definir un tiempo adimensionalτ ≡ t/tf , la ecuacion anterior queda entonces:

dv

dτ= vemc

1m

Integrando esta ecuacion,∫ v(τ)

vo

dv′ = vemc

∫ τ

0

dτ ′

mo + mc(1− τ ′)

donde vo es la velocidad inicial del cohete.

2.1 Cohete sin fuerza externa 3

Efectuando las integrales, obtenemos,

β(τ) = βo + ln[

(mi/mc)(mi/mc)− τ

](4)

donde hemos introducido la velocidad adimensionalβ ≡ v/ve, y mi ≡ mo + mc es la masa inicial delcohete3.

Nos conviene introducir fc ≡ mc/mi, la fraccioninicial de combustible. En este caso la solucion quedafinalmente4,

β(τ) = βo − ln(1− fcτ) (5)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1!

0.5

1

1.5

2

"#" o

Figura 2: Incremento en la velocidad adimensionalde un cohete libre como funcion del tiempo adimen-sional. Las curvas corresponden a soluciones confracciones de masa fc = 0.1, 0.3, . . . , 0.9, yendo dela curva inferior a la superior.

La figura (2) muestra varias soluciones. Es claroque para lograr cambios de velocidad significativos esnecesario que la mayorıa de la masa inicial del coheteeste en forma de combustible.

El ultimo paso es encontrar la distancia recorridapor el cohete. Esta puede encontrase de la siguientemanera:

dx = v(t)dt = veβ(τ) tfdτ

3Esta solucion es valida solo para τ < 1.4Notese que el argumento del logaritmo es menor a

uno, por lo que el segundo termino de la solucion es po-sitivo.

Definiendo una distancia adimensional ζ ≡x/(vetf ), e integrando la ecuacion anterior, obtene-mos: ∫ ζ

0

dζ ′ =∫ τ

0

β(τ ′)dτ ′,

lo cual nos da (τ < 1):

ζ(τ) = (βo + 1)τ +(

1− fc

fc

)ln(1− fcτ) (6)

La figura (3) muestra las soluciones correspondien-tes a los casos mostrados en la figura (2), para el casoen que el cohete parte del reposo. Vemos que ha me-dida que la masa util disminuye (fc → 1), aumentala distancia adimensional recorrida por el cohete, sinembargo, debemos tener cuidado pues el factor deconversion entre ζ y x varıa con la tasa de consumode masa y la velocidad de escape.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1!

0.10.20.30.40.50.60.70.8

"

Figura 3: Distancia adimensional recorrida por uncohete libre que parte del reposo, como funcion deltiempo adimensional. Las curvas corresponden a lasmismos casos presentados en la figura anterior y enel mismo orden.

Para ver cual es realmente el comportamiento delas soluciones debemos regresar a las variables de ve-locidad y distancia originales del problema: v, x y t.La conversion entre estas variables y sus contrapartesadimensionales esta dada por:

t = tfτ, v = veβ, x = vetfζ.

4 2 LA ECUACION DE MOVIMIENTO

Segun hemos visto, tf = mc/m. Aquı debemos es-coger los parametros que usaremos para definir demanera unica el problema: tf es una consecuencia dela tasa de consumo de combustible, por lo que no esbuena eleccion.

Los parametros que definen el problema son la ve-locidad de escape ve que caracteriza el combustible,la tasa de consumo de combustible normalizada a lacantidad inicial µ ≡ m/mc que caracteriza al motor,y la fraccion inicial de masa en forma de combustiblefc, que nos da la fraccion de masa util en el cohete(1− fc).

Expresando todo en terminos de estos parametrosobtenemos,

tf = 1/µ, t = (1/µ)τ, v = veβ, x = (ve/µ)ζ

La solucion final es entonces:

v(t) ={

vo − ve ln(1− fcµ t), para 0 < t < 1/µvo − ve ln(1− fc), para t ≥ 1/µ

x(t) =

(vo + ve)t + ve

µfc(1− fcµt)

× ln(1− fcµ t), 0 < t < 1/µ

x(1/µ) + v(1/µ)×(t− 1/µ), t ≥ 1/µ

La figura (4) muestra las soluciones para el incre-mento en la velocidad como funcion del tiempo. Semuestran dos conjuntos de soluciones: las curvas ver-des corresponden al caso en que la masa util es de un20 % (fc = 0.8), mientras que las curvas anaranjadascorresponden a una masa util de un 5 % (fc = 0.95)de la masa inicial.

Hay varios resultados que es importante resaltar:• El incremento total en la velocidad se escala di-

rectamente con la velocidad ve de escape de los gases.• El incremento total en la velocidad depende de

la fraccion inicial de combustible, o si se prefiere, dela masa util. Entre mayor (menor) es la cantidad decombustible (carga util), mayor es el incremento enla velocidad.• La tasa de consumo de combustible no afecta el

cambio total de la velocidad, pero si la aceleracion y,por tanto, el tiempo en el que se alcanza el cambiofinal en la velocidad.

0 1 2 3 4t

00.51

1.52

2.53

!v!ve

Figura 4: Incremento en la velocidad de un cohetelibre como funcion del tiempo. Las curvas verdes sonpara el caso en que la masa util es un 20% de lamasa inicial. Las curvas anaranjadas corresponden aun 5%. Cada conjunto de curvas de un mismo colorcorresponde a diferentes tasas de consumo de com-bustible, desde µ = 0.1 (curva inferior) a 0.9 (curvasuperior) en incrementos de 0.2.

2.2. Cohete sujeto a fuerzas externas

Encontraremos ahora la ecuacion de movi-miento de un cohete que se mueve sujeto a fuer-zas externas. Podemos encontrar esta ecuacionusando el metodo empleado en la seccion ante-rior, en la que comparamos la situacion del co-hete a dos tiempos distintos. Sin embargo, aquiemplearemos directamente la 2a ley de Newton yno estaremos restringidos a movimiento en unadimension.

Sea un cohete que se mueve sujeto a fuerzasexternas. Sea v la velocidad del cohete con res-pecto al suelo, vg la velocidad de los gases expe-lidos al tiempo t con respecto al cohete y m lamasa de este.

El cambio temporal del momento lineal del co-hete pc con respecto al suelo es,

dpc

dt=

d

dt(mv) = mv + mv

5

Figura 5: Cohete sujeto a una fuerza externa.

El cambio que corresponde a los gases es:

dpg

dt= −(v + vg)m,

donde hemos usado el hecho de que la velocidadde los gases con respecto al suelo es v+vg y el sig-no negativo aparece porque lo que es una perdidade masa para el cohete, representa una gananciapara los gases eyectados. Tambien hacemos no-tar que en esta expresion no hemos consideradoel termino (v + vg) m, ya que cada parcela degas que es expelida a una cierta velocidad cuyocambio subsecuente ya no afecta el movimientodel cohete.

La 2a ley de Newton nos dice que el cambioen el momento lineal total del sistema es igual ala fuerza externa total F:

F =d

dt(pc + pg)

= mv + mv − (v + vg)m= mv − vgm

La ecuacion de movimiento del cohete sujetoa fuerzas externas es entonces:

mv = vem + F (7)

Esta ecuacion es identica a la que encontra-mos para el cohete libre (ecuacion 2), solo queahora aparece la fuerza total externa aplicada alcohete. En este caso, el movimiento del coheteesta determinado por la suma del empuje y laresultante de las fuerzas externas.

3. La ecuacion de Tsiolkovski

Regresando a la ecuacion (1), esta puede serescrita como

dv = ve(dm/m), (8)

cuya solucion es,

∆v = ve ln(mi/mf ) (9)

∆v es el cambio total en la velocidad del co-hete al pasar de una masa inicial mi a una masafinal mf , necesariamente menor5. Esta ecuacionfue derivada por vez primera por el ruso Kons-tantin Tsiolkovski (1857–1935) y, por tanto, llevasu nombre6.

La ecuacion de Tsiolkovski nos dice que elcambio en velocidad varıa con el logaritmo delcociente de la masa final a la masa inicial7 (verfigura 6). Esto implica que cambios grandes develocidad requieren que la mayor parte de la ma-sa inicial del cohete sea combustible. La unica

5Al realizar la integral del lado derecho, recordemosque una perdida de masa implica dm > 0 (ver discusiondespues de la ecuacion 2) por lo que es necesario invertirlos lımites de la integral.

6Recientemente se ha descubierto que el ingles WilliamMoore la menciona en 1813.

7De hecho, la solucion obtenida en el ejemplo de elmovimiento del cohete libre (ecuacion 4) es igual a estaecuacion, basta con multiplicar por mc tanto el numera-dor como el denominador del argumento del logaritmo enaquella ecuacion.

6 3 LA ECUACION DE TSIOLKOVSKI

0 20 40 60 80 100m i!m f

0

1

2

3

4

!v!ve

Figura 6: La ecuacion de Tsiolkovski: cambio en lavelocidad de un cohete como funcion del cambio enla masa del mismo.

manera de aumentar la masa util8 del cohete da-do un cambio dv fijo, es usar un combustible queresulte en una velocidad de eyeccion ve lo masgrande posible.

Es importante senalar que la ecuacion deTsiolkovski no dice nada sobre el tiempo: esuna condicion que relaciona cambios en veloci-dad con cambios en masa. Por ejemplo, si se re-quiere un cambio en velocidad igual a 3 veces lamagnitud de la velocidad de escape de los ga-ses, se necesita un cambio en masa que resulteen (mf/mi) = e3 ∼ 20. Sin embargo, como laecuacion de Tsiolkovski no impone condicionessobre el tiempo necesario para realizar la manio-bra de cambio de velocidad, la aceleracion puedeser muy pequena.

Ejemplo 2: Cohetes de varias estapasPara alcanzar una orbita baja, como la que emplea

el transbordador espacial (a una altura de 200 a 300km), se requiere una velocidad de ∆v ∼ 10 km/s. Elkeroseno, un combustible muy usado para impulsarcohetes, produce una velocidad de salida de gases deve ∼ 5 km/s. La ecuacion de Tsiolkovski nos dice

8es decir la masa de la carga util: (1− fc).

Figura 7: A diferencia de un cohete de una etapa(izquierda), un cohete de dos etapas descarta partede su masa (derecha).

que en este caso, el cociente de la masa final a lainicial es de e−2 = 0.135, esto implica que la masautil, una vez que hemos descontado la masa de lostanques de combustible, el motor del cohete y losmecanismos de navegacion y control, sera de solo un5%, o menor, de la masa total inicial. Esta es unasituacion poco satisfactoria y es deseable encontraralguna alternativa que permita obtener una mayorcarga util.

En este ejemplo exploraremos las ventajas de usarun cohete de etapas, es decir, un cohete formado porvarios cohetes, montados uno encima de los otros, quese van descartando una vez que han sido usados, conlo que no es necesario que etapas subsecuentes tenganque acarrear el peso muerto de la etapa anterior. Porsimplicidad consideraremos un cohete de dos etapasy despreciaremos la accion de la gravedad (figura 7).

Para lograr un cambio ∆v de velocidad con un co-hete de una etapa, la ecuacion de Tsiolkovski no diceque el conciente de masa final a masa inicial es:

mf/mi = e−∆v/ve

7

Supongamos ahora que usamos un cohete de dos eta-pas, disenado de tal manera que cada etapa propor-ciona la mitad del cambio en velocidad deseado:

m(i)f /m

(i)i = e−∆v/2ve =

√e−∆v/ve =

√mf/mi,

donde el superındice en parentesis indica que se re-fiere a la i–esima etapa y las masas sin superındice serefieren al caso del cohete de una etapa.

La cantidad que nos interesa es la razon de ma-sa final de la segunda etapa a la masa inicial de laprimera etapa:

m(2)f

m(1)i

=m

(2)f

m(2)i

m(1)f

m(1)i

,

donde hemos usado el hecho de que la masa inicial dela segunda etapa es igual a la masa final de la primera:m

(2)i = m

(1)f . Usando el resultado que encontramos

para los cocientes de masa de cada etapa, es claro queobtenemos exactamente el mismo cociente de masasque en el caso de una sola etapa. ¿Cual es entoncesla ventaja de usar un cohete de varias etapas?

La respuesta esta en un termino que hemos despre-ciado en el calculo simplificado que hicimos. La masafinal no es igual a la masa util, pues hemos ignoradola masa del vehıculo mv que incluye los tanques decombustible, motores y demas mecanismos que sir-ven para impulsar y controlar al cohete y no formanparte de la masa util mo:

mf = mo + mv, mi = mo + mv + mc

Es claro que con la inclusion de mv no se cumpleque la masa final de la primera etapa sea igual a lamasa inicial de la segunda etapa, pues al descartar laprimera etapa, su masa vehicular es eliminada:

m(1)f = m(1)

o + m(1)v , m

(2)i = m(1)

o

m(1)v representa un lastre que un cohete de etapas

elimina, y le permite por tanto, impulsar una cargautil mayor.

Examinemos esto en detalle: definamos el cocientede masa util y de masa vehicular, a la masa totalinicial de cada etapa, como:

f (i)o ≡ m(i)

o /m(i)i , f (i)

v ≡ m(i)v /m

(i)i

En el caso de un cohete de una sola etapa, se tieneque:

mf

mi=

mo + mv

mi= fo + fv = e−∆v/ve

Lo cual implica que la fraccion de masa util esta dadapor:

fo(∆v/ve, fv) = e−∆v/ve − fv (10)

En el caso del cohete de dos etapas, el parametroque nos interesa es el cociente de la masa util final ala masa inicial del cohete:

Fo ≡m

(2)o

m(1)i

=m

(2)o

m(2)i

m(1)o

m(1)i

= f (2)o f (1)

o ,

donde hemos usado el hecho de que la masa util dela primera etapa es la masa inicial de la segunda.

Como la ecuacion (10) es valida para cada etapa,se tiene entonces que,

f (2)o f (1)

o =[e−∆v/2ve − f (2)

v

] [e−∆v/2ve − f (1)

v

]donde hemos incorporado el hecho de que cada etapaproduce un cambio de velocidad ∆v/2.

Un poco de algebra nos da:

f (2)o f (1)

o = e−∆v/ve−(f (1)v + f (2)

v ) e−∆v/2ve +f (1)v f (2)

v

Para simplificar esta expresion, supondremos que lafraccion de masa vehicular de las dos etapas es identi-ca (f (1)

v = f(2)v ≡ Fv):

f (2)o f (1)

o = e−∆v/ve − 2Fv e−∆v/2ve + F 2v

Luego entonces, la expresion equivalente a la ecua-cion (10), para el cohete de dos etapas es:

Fo(∆v/ve, Fv) = e−∆v/ve − 2Fv e−∆v/2ve + F 2v (11)

Notamos que en el caso en que la masa vehıcular tien-de a cero, las ecuaciones (10) y (11) coinciden y nosdan la ecuacion de Tsiolkovski.

La figura (8) muestra la fraccion de masa util paraun cohete de una etapa y otro de dos etapas, queproducen un cambio de velocidad igual a ∆v/ve = 2.Notamos que no solo la fraccion de masa util es mayor

8 3 LA ECUACION DE TSIOLKOVSKI

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35fv

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

fo ,Fo

Figura 8: Fraccion de masa util para un cohete deuna etapa (lınea verde) y uno de dos etapas (lıneaanaranjada), que producen un cambio de velocidad∆v/ve = 2.

para el cohete de dos etapas para una fraccion demasa vehicular dada, sino que la fraccion vehıcularpuede ser mayor.

Cuando tomamos en cuenta la masa vehicular delcohete, es claro que usar dos etapas incrementa lacarga util. Esto no debe extranarnos, ya que al des-cartar la etapa que ya ha sido usada se evita el tenerque acarrear esta masa.

En este ejemplo nosotros hemos usado un cohetede dos etapas en el que cada etapa produce el mismocambio en velocidad y en el que la fraccion vehicu-lar de cada etapa es identica. Variando la fraccion decambio en velocidad producido por cada etapa es po-sible aumentar la carga util. Supongamos que el cam-bio en velocidad de la primera etapa es ∆v1 = η∆vo,y por consiguiente el cambio en velocidad produci-do por la segunda etapa es ∆v1 = (1 − η)∆vo. Laecuacion (11) queda entonces:

Fo(η, ∆v/ve, Fv) =[e−η∆v/ve − Fv

]×[

e−(1−η)∆v/ve − Fv

](12)

La figura (9) muestra esta funcion. En este caso ve-mos que la masa util se maximiza cuando cada etapacontribuye de igual manera al cambio en velocidad

00.1

0.2

0.3fv 0.2

0.4

0.6

0.8

!

0

0.05

0.1Fo

00.1

0.2

0.3fv

Figura 9: Fraccion de masa util de un cohete de dosetapas en el que la primera etapa produce un cambiode velocidad η∆v y la segunda etapa (1− η)∆v.

(η = 1/2). Sin embargo, hay otros parametros quepodemos cambiar en un cohete de dos etapas quepueden aumentar la carga util. De hecho, una estrate-gia que puede ser empleada es el uso de combustiblesdiferentes para cada etapa. En general, los combusti-bles que mayor ve producen deben emplearse en lasetapas finales, ya que entonces la fraccion de masa decombustible de estas etapas disminuira, combustibleque debe ser impulsado por las etapas anteriores.

Otro hecho que no hemos tomado en cuenta esque la fraccion de masa vehicular sera distinta pa-ra cada etapa. La razon es que primera etapa debeacarrear como masa util a toda la segunda etapa, loque requiere una estructura mas robusta que la dela segunda etapa. El peso de una estructura escalacomo el volumen, o su tamano al cubo: peso ∝ l3,mientras que su capacidad de carga se escala como laseccion recta de sus elementos: carga ∝ l2. Por tan-to, es de esperarse que la fraccion vehicular se escalecomo peso/carga ∝ l3/2. Esto nos dice que a mayortamano, menor capacidad de carga (relativa). Es poresto que una hormiga puede cargar facilmente a otrahormiga, mientras que un elefante no puede cargar aotro elefante.

9

En el caso de cohete de varias etapas, la maximi-zacion de la carga util es un problema dificil de op-timizacion en el que intervienen muchos parametros.En general se resuelve etapa por etapa, empezandocon la ultima etapa y continuando hacia la primera.

4. El impulso especıfico

La ecuacion de Tsiolkovski es el precio ineludi-ble que debe pagar un cohete para impulsarse enel vacıo. El cohete no solo debe proporcionarsela energıa necesaria para acelerar, sino tambiensu propio momento lineal, expeliendo parte desu masa. De la forma de esta ecuacion es cla-ro que un parametro de gran importancia es lavelocidad de escape de los gases producidos porel quemado del combustible. Este parametro de-pende en gran medida del combustible empleadoy en menor grado del diseno del motor.

Existe un parametro equivalente a ve que esmuy usado en la Astronautica llamado Impul-so Especıfico (Isp). Para ver que significa esteparametro, volvamos a la ecuacion (2) que nosdice que el empuje Fe es igual a,

Fe = ve m

Este empuje aplicado durante un cierto tiempoproduce un impulso, o cambio de momento li-neal, igual a:

I =∫

Fe dt

El impulso especıfico se define como el impulsoque se obtiene por unidad de peso consumido decombustible:

Isp ≡dI

d(mgo)=

vem dt

mgo dt=

ve

go,

donde mgo es el peso del combustible, go es elvalor de la aceleracion de la gravedad en la su-perficie de la Tierra y hemos usado la definicionde impulso y empuje.

Visto de esta manera, el impulso especıfico esalgo ası como el “octanaje” del combustible usa-do como propulsor: el cambio producido en elmomento lineal del cohete por unidad de pesode combustible empleado. El impulso especıficose expresa en segundos y, de hecho, otra mane-ra de entender este concepto es que es igual altiempo que durarıa el combustible si pudieramosmantener un empuje constante e igual al pesoinicial del combustible.

Es importante entender que el impulso es-pecıfico es una medida de la eficiencia propulso-ra y no de la eficiencia energetica. Entre mayores el impulso especıfico, menos es el combustibleque es necesario emplear para lograr un cambiodado en momento lineal. Sin embargo, como ve-remos mas adelante, por lo general, los combus-tibles con mayor impulso especıfico son tambienlos que menor energıa producen (por unidad depeso).

De la derivacion que hemos hecho, es claro queel impulso especıfico es equivalente a la velocidadde escape de los gases ve. De hecho, un inconve-niente con la definicion tradicional del impulsoespecıfico es que es el impulso por unidad de pe-so del combustible y se entiende que es el pesomedido en la superficie terrestre. Aunque estadefinicion es conveniente para el caso de cohetesque parten de la superficie de nuestro planeta,este no es el caso cuando se trata de lanzamien-tos desde otros planetas o satelites, o cuando serealizan maniobras en el espacio. Por esto a ve-ces se emplea el impulso especıfico definido comoel impulso por unidad de masa de combustibleempleado. Pero de lo que hemos visto, esto esexactamente la velocidad ve.

La tabla 1 presenta los valores de ve, Is y ladensidad energetica de algunos combustibles em-pleados como propulsores de cohetes.

10 6 PROBLEMAS PROPUESTOS

Tabla 1Sistema de propulsion ve Is E/m

(m/s) (s) MJ/kgCombustible solido 1,000 100 3.0Combustible lıquido 5,000 500 9.7Ion Drive 30,000 3,000 430Tripropulsor 5,320 542Transbordador espacial 453 4.5 9.7

5. Energıa

En la seccion 4 enfatizamos que la ecuacionde Tsiolkovski resulta de la conservacion de mo-mento lineal. Examinaremos ahora la cuestionenergetica. El incremento en la energıa especıfi-ca del cohete, es decir, su energıa cinetica9 porunidad de masa, esta dado por:

dE = d (12v2) = v dv = v ve

(dm

m

), (13)

donde en el ultimo paso usamos la ecuacion (8).Esta expresion puede ser escrita como:

dE =12(dm/m) [(v2

e + v2)− (v − ve)2] (14)

Esto nos dice que la ganancia en energıa delcohete es la diferencia de dos terminos: la energıacontribuida por el combustible y la que se llevala parcela dm de combustible al ser expelida.

La energıa especıfica ganada por el cohete porunidad de tiempo, o potencia especıfica P, seobtiene de la ecuacion (13):

P ≡ dEdt

= v ve

(m

m

)(15)

Una potencia dada puede ser lograda con unpropulsor que resulte en una velocidad de esca-pe elevada, o con una tasa de variacion de masa

9Supondremos en esta seccion que el cohete se muevelibremente y, por tanto, su unica energıa es cinetica.

grande. El primer camino requiere tiempos deencendido de motor largos, pero con bajo con-sumo de propulsor; esta es la opcion usada porsondas en viajes interplanetarios, o por satelitespara hacer correciones a sus orbitas. La segundaopcion solo requiere que los motores esten en-cendidos poco tiempo, pero requiere una grancantidad de propulsor; como esta opcion produ-ce aceleraciones mayores, este es el camino usadopor los cohetes que lanzan cargas utiles al espa-cio desde la superficie de la Tierra.

6. Problemas propuestos

1. Se tiene un cohete de dos etapas que semueve libremente. La primera etapa tieneuna masa de combustible de 120, 000 kg yuna masa vehicular de 9, 000 kg. La segun-da etapa tiene una masa de combustible de30, 000 kg y una masa vehicular de 3, 000 kg.El impulso especıfico del combustible usadoen la primera etapa es de 260 s y el de lasegunda etapa es de 320 s.

Encontrar el cambio en velocidad producidopor cada etapa y el cambio total, en funcionde la masa util final mo. Graficar el resulta-do y de ahi determinar para que masa utillas contribuciones de cada etapa son iguales.

2. ¿Como debe variar la tasa logarıtmica dequemado de combustible en un cohete queasciende verticalmente, si deseamos que lacarga util experimente una aceleracion cons-tante e igual a α veces la aceleracion de lagravedad? (tomar la aceleracion de la gra-vedad go constante).