DINAMICA+SEMANA+14 (2)

La cinemtica de cuerpos rgidos describe las relaciones entre los movimientos lineales y angulares de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas y momentos asociados. Un sistema de transmisin es un buen ejemplo de una aplicacin de la cinemtica del cuerpo rgido en el que las relaciones entre los movimientos de entrada y salida requieren un anlisis preciso.

Universidad de Ingeniera &

Tecnologa UTEC

DINAMICA

CAPITULO 16:

CINEMATICA PLANA DE

UN CUERPO RIGIDO

Helard Alvarez Sanchez

[email protected]

Samuel Charca

[email protected]

CAPITULO 16: CINEMATICA PLANA DE UN

CUERPO RIGIDO

Objetivos:

a) Clasificar los diversos tipos del movimiento plano de un cuerpo

rgido.

b) Investigar la traslacin y el movimiento angular con respecto a

un eje fijo de un cuerpo rgido.

Contenido de clase:

Movimiento plano de un

cuerpo rgido tanto en

traslacin como en

rotacin.

Rotacin alrededor de un

eje fijo.

Por ejemplo, en el diseo de

engranajes, levas, enlaces y en

las mquinas o mecanismos, la

rotacin del cuerpo es un aspecto

importante en el anlisis de

movimiento.

Se debe de considerar el tamao.

16.1 Movimiento plano de un cuerpo rgido

Traslacion: se produce cuando todos los segmentos de lnea

en el cuerpo se mantiene paralela a su direccin original

durante el movimiento. Cuando todos los puntos se mueven

a lo largo de lneas rectas, el movimiento se llama

traslacin rectilnea. Cuando las trayectorias de

movimiento son lneas curvas, el movimiento se llama

traslacin curvilnea.

16.1 Movimiento plano de un cuerpo rgido

La posicion de dos puntos A y B en un

cuerpo en traslacion pueden ser

relacionados por: rB = rA + rB/A

donde rA y rB son los vectores

absolutos de posicion definido en el

sistema fijo x-y de cordenadas, y rB/A

es el vector relativo de posicion entre

B y A.

Nota, todos los puntos en un cuerpo rigido sugeto a la

traslacion tiene la misma velocidad y aceleracion.

La velocidad en B es vB = vA+ drB/A/dt

Ahora drB/A/dt = 0 donde rB/A es constante. Tambien, vB = vA, y

por logica, aB = aA.

16.2 Traslacin

El cambio en la posicin angular, d, se llama el desplazamiento angular, con unidades de

cualquiera de radianes o revoluciones. Ellos

estn relacionados por 1 revol. = (2) radianes

Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo,

cualquier punto P en el cuerpo viaja a lo largo

de una trayectoria circular. La posicin angular

de P se define por .

Velocidad angular, , es obtenido derivando

con respecto al tiempo el desplazamiento:

= d/dt (rad/s) +

Similarmente, la aceleracion angular es

= d2/dt2 = d/dt or = (d/d) + rad/s2

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo

Si la aceleracin angular del cuerpo es

constante, = C, las ecuaciones para la

velocidad angular y la aceleracin pueden

integrarse para producir el conjunto de

ecuaciones algebraicas siguientes:

= 0 + C t

= 0 + 0 t + 0.5 C t2

2 = (0)2 + 2C ( 0)

0 y 0 son los valores iniciales de la posicin angular y la velocidad angular del

cuerpo.

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo

La magnitud de la velocidad del punto P

es igual a r. La direccion de la

velocidad es tangente a la trayectoria

circular P.

En la formulacin de vectores, , la

magnitud y la direccin de v pueden

determinarse apartir del producto

vectorial de y rp . Aqui rp es un vector de cualquier punto en el eje de rotacion

P.

v = rp = r La direccion de v se determina por la

regla de la mano derecha.

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Velocidad del punto P

La aceleracin de P puede expresarse en

funcin de su componente normal (an) y

tangencial (at).

En forma escalar, estos son: at = r y an = 2 r.

El componente tangencial de la aceleracin.

Representa el cambio con respecto al tiempo

de la magnitud de la velocidad. Es tangente a

la trayectoria del movimiento.

La componente normal, an, representa el

cambio con respecto al tiempo de la direccin

de la velocidad. Su direccin siempre es hacia

el centro de la trayectoria circular.

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P

Usando la formulacion vectorial, la

aceleracion de P puede obtenerse derivando la

velociad.

a = dv/dt = d/dt rP + drP/dt

= rP + ( rP)

Se puede demostrar que esta ecuacin se

reduce a:

a = r 2r = at + an

La magnitud de la aceleracion es a = (at)2 + (an)

2

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P

Establecer una convencin de signos a lo largo del eje de rotacin.

Alternativamente, la forma vectorial de las ecuaciones puede ser usado (con i, j, k componentes).

v = rP = r a = at + an = rP + ( rP) = r

2r

Si es constante, use las ecuaciones de aceleracion constante.

Si se conoce una relacin entre dos o mas variables (, , , or t), las otras variables se pueden determinar a partir de las ecuaciones: = d/dt = d/dt d = d

Para determinar el movimiento de un punto, las ecuaciones escalares

v = r, at = r, an = 2r , y a = (at)

2 + (an)2 pueden ser usadas.

16.3 Rotacin alrededor de un eje fijo Procedimiento para analisis

Problemas de aplicacin 1

Solucion:


Dado: Partiendo del reposo el engranaje A

da una aceleracion constante, A = 4.5 ad/s2.

La cuerda se enrolla en la polea D, la cual

est slidamente unida al engrane B.

Encontra: La velocidad del cilindro C y

la distancia que recorre en 3 segundos.

1) La aceleracin angular del engranaje B (y la polea D)

puede estar relacionada con A.

2) La aceleracion del cilindro C puede ser determinado

usando las ecuaciones de movimiento de un punto de un

cuerpo de rotacion desde (at)D y el P es lo mismo que ac.

3) La velocidad y distancia de C pueden ser encontradas

usando las ecuaciones de aceleracion constante.

Plan:


at = ArA = BrB (4.5)(75) = B(225) B = 1.5 rad/s2

Solucion:

Dado que el engranaje B y la polea D giran juntos, D = B

= 1.5 rad/s2

1) El engranaje A y B tendr la misma velocidad y el componente

tangencial de la aceleracin en el punto donde se engranan. Asi,

2) Suponiendo que el cable que est conectado a la polea D es

inextensible y no resbala, la velocidad y la aceleracin de

cilindro C ser la misma que la velocidad y el componente

tangencial de la aceleracin a lo largo de la polea D:

aC = (at)D = D rD = (1.5)(0.125) = 0.1875 m/s2

Problemas de aplicacin 2 (continuacion)

3) Desde A es constante, D y aC ser constante. La ecuacin

para la aceleracin constante movimiento rectilneo se

puede utilizar para determinar la velocidad y el

desplazamiento del cilindro C cuando t = 3 s (s0= v0 = 0):

vc = v0 + aC t = 0 + 0.1875 (3) = 0.563 m/s

sc = s0 + v0 t + (0.5) aC t2

= 0 + 0 + (0.5) 0.1875 (3)2 = 0.844 m

Problemas de aplicacin 2 (continuacion)

Problemas de aplicacin 3 En la figura se muestra el mecanismo elevador del cristal de la

ventanilla de un automvil. Aqu la manija hace girar la pequea

rueda dentada C, que a su vez hace girar el engrane S, con lo

cual gira la palanca fija AB que eleva el bastidor D donde

descansa el cristal. El cristal se desliza libremente en el bastidor.

Si se gira la manija a 0.5 rad/s, determine la rapidez de los

puntos A y E y la rapidez Vw del cristal en el instante =30.

Ecuacin de coordenadas de posicin. Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de

posicin s, la cual se mide con respecto a un origen fijo y est dirigida a lo largo de la trayectoria de movimiento en lnea recta del punto P.

Con las dimensiones del cuerpo, relacione s con , s= f (), por medio de geometra y/o trigonometra.

Mida con respecto a una lnea de referencia fija la posicin angular de una lnea situada en el cuerpo.

Derivadas con respecto al tiempo. Considere la primera derivada de s= f (), con respecto al tiempo para

obtener una relacin entre v y .

16.4 Anlisis del movimiento absoluto Procedimiento para analisis

En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del clculo cuando se consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuacin de coordenadas de posicin.

Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una relacin entre a y .

Dado: La manivela AB rota con una velocidad angular

constante de = 150 rad/s .

Encontrar: La velocidad del punto P cuando = 30.

Plan: Defina x como una funcion de y derive con respecto al tiempo.


Problemas de aplicacin 5 (continuacin)

Problemas de aplicacin 5 (continuacin)

vP = -0.2 sin + (0.5)[(0.75)2

(0.2sin )2]-0.5(-2)(0.2sin )(0.2cos )

vP = -0.2 sin [0.5(0.2)2 sin2 ] / (0.75)2 (0.2 sin )2

At = 30, = 150 rad/s and vP = -18.5 ft/s = 18.5 ft/s

xP = 0.2 cos + (0.75)2 (0.2 sin )2 Solucion:

16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad

Cuando un cuerpo se somete a movimiento plano general, se

somete a una combinacin de traslacin y rotacin.


La velocidad B es: (drB/dt) = (drA/dt) + (drB/A/dt) o

vB = vA + vB/A

Puesto que el cuerpo gira alrededor de A,

vB/A = drB/A/dt = rB/A

Por ejemplo, el punto A en el enlace AB

debe moverse a lo largo de un recorrido

horizontal, mientras que el punto B se

mueve en una trayectoria circular.

Las direcciones de vA y vB son

conocidas, ya que siempre son

tangentes a sus trayectorias.

Cuando se utiliza la ecuacin de la velocidad relativa, los

puntos A y B del cuerpo tienen un movimiento conocido. A

menudo, estos puntos son conexiones de pines en los vnculos.

vB = vA + rB/A


Adems, el punto B en el centro de la rueda se mueve a lo

largo de una trayectoria horizontal. Por lo tanto, vB tiene una

direccin conocida, por ejemplo, paralela a la superficie.

vB = vA + rB/A


Cuando una rueda de rueda sin

deslizarse, el punto A se selecciona a menudo para estar en el

punto de contacto con el suelo.

Puesto que no hay deslizamiento, el punto A tiene velocidad

cero.

3. Escriba las ecuaciones escalares de los componentes x e y

de estas representaciones. Resuelva las incgnitas.

1. Establecer un sistema de cordenada fijo y dibujar un

diagrama cinemtico para el cuerpo, establecer la magnitud

y direccin del vector de velocidad relativa vB/A.

Analisis escalar:

2. Escriba la ecuacion vB = vA + vB/A. En el diagrama

cinematico, representar los vectores mostrando sus

magnitudes y direcciones debajo de cada trmino.

La ecuacin de velocidad relativa se puede aplicar utilizando un

anlisis vectorial cartesiana o escribiendo x escalares y

ecuaciones componente y directamente.

16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de anlisis

Analisis vectorial:

3. Si la solucin se obtiene una respuesta negativa, el sentido

de la direccin del vector es opuesta a la supuesta.

2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y

sustituirlos en vB = vA + w rB/A. Evaluar el producto

vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos

ecuaciones escalares.

1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el

diagrama cinemtico del cuerpo, mostrando los vectores vA,

vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido

de la direccin puede ser asumida.

16.5 Anlisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de anlisis

Problemas de aplicacin

16.6 Centro instantneo de rotacion (CIR)

Analisis vectorial:

3. Si la solucin se obtiene una respuesta negativa, el sentido

de la direccin del vector es opuesta a la supuesta.

2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y

sustituirlos en vB = vA + w rB/A. Evaluar el producto

vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos

ecuaciones escalares.

1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el

diagrama cinemtico del cuerpo, mostrando los vectores vA,

vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido

de la direccin puede ser asumida.


Solucion: Dado que D corre a al derecha, causa que la barra

AB rote alrededor de A en sentido horario. El CIR para BD

esta ubicado en la interseccion de la linea dibujada

perpendicular a la velocidad vB y vD. Notar que vB es

perpendicular a la barra AB. Por lo tanto el CIR esta

localizado a lo largo de la extension de la barra AB.



vD es conocida, la velocidad angular

de la barra BD puede encontrarse

vD = BD rD/IC .

BD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s

AB = vB/rB/A = (rB/IC)BD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s

Barra AB esta sujeta a rotacion en A.

rB/IC = 0.4 tan 45 = 0.4 m

rD/IC = 0.4/cos 45 = 0.566 m




Solucin 10

VA=.r A/O =(1)(6)=6 pulg/s

VB=VA = 6 pulg/s

La barra AB para este instante no rota dado que el CIR no existe, por lo tanto todos sus puntos tiene la misma velocidad de la barra y la barra esta conectado al deslizador en el punto B


Solucin 12

Resumen:

En este capitulo se ha podido clasificar dos tipos del movimiento plano de un cuerpo rgido, la traslacin y el movimiento angular con respecto a un eje fijo de un cuerpo rgido

BIBLIOGRAFIA

1. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall, 12th Edition (2010)

2. F.P. Beer, E.R. Johnston Jr,J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Mechanics of Materials, McGraw Hill, 6th Edition (2012)

3. J.L. Meriam, L.G. Kraige, Engineering Mechanics, Dynamics Vol 2, JohnWiley & Sons, 5th Edition (2002)

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