Diofanto, la Aritmtica y algunas Ecuaciones Diofnticas Poco se conoce sobre la vida de Diofanto. Las investigaciones ms creibles lo situan hacia la segunda mitad del siglo III, siendo contemporneo de Pappo.Es clsico el epitafio en la Antologa de Metrodoro. El mismo, con las debidas reservas, nos lleva a calcular una edad de 84 aos.De l ha llegado hasta nosotros Sobre los nmeros poligonales (o NumerisMultangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los nmeros fraccionarios y naturalmente la Arithmetica"Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto.Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio geomtrico, descubre toda su existencia. Dios le permiti ser nio durante 1/6 de su vida;luego de 1/2 sus mejillas se cubrieron de barba; despus de 1/7 se encendi la llama del matrimonio, del que, a los cinco aos, tuvo un hijo; pero este nio, desgraciado aunque amado apasionadamente, muri apenas lleg a la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cul vivi cuatro aos ms mitigando su dolor con investigaciones sobre la ciencia de los nmeros"

"Como s, muy honorable Dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los nmeros, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. Es posible que parezcan ms difciles de lo que son por ser desconocidas an y que los principiantes duden de conseguir alcanzarlas, pero las comprenders fcilmente gracias a tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo unido a la enseanza conduce rpidamente al conocimiento [...]"

Diofanto contina en el prefacio presentando las normas indispensables para leer la obra.

Diofanto, Fermat y la Arithmetica han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de las matemticas. Todo empez cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica, escribi al lado del problema 8 del Libro II:Cubumautem in duos cubos, autquadratoquadratum in duosquadratoquadratos, et generaliternullam in infinitum ultra quadratumpotestatem in duoseiusdemnominis fas estdividerecuiusdemostrationemmirabilem sane detexi. Hancmarginisexiguitas non caperet

Es decir, que la ecuacin x n + y n = z nno tiene soluciones enteras para n > 2.En el caso n = 2 una solucin es(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conoca desde la Grecia clsica.En general pueden obtenerse estas ternas, denominadas pitagricas, a partir de la expresinx = 2n + 1y = 2n 2 + 2nz = 2n 2 + 2n + 1 para n = 1, 2, 3, ...En Euclides. Elementos X 28 Lema I aparece la expresin general de estas ternas: x = a 2 - b 2y = 2abz = a 2 + b 2

Sin embargo, la demostracin de esta proposicin ha sido, hasta hace poco, el problema ms famoso, al menos ms popular, de las matemticas y a su resolucin se haya unido el nombre de grandes matemticos.Al mismo Fermat se le atribuye una demostracin para el caso n = 4 y a Euler una para n = 3. Dirichlet (1805-1859) y Legendre (1752-1833) tambin intevinieron y probaron la proposicin para n = 5Y muchos otros como SophieGermain, Lam, Kummer, GerdFaltings (que por sus aportaciones recibi en 1986 una medalla Fields) pero esta columna es demasiado estrecha para contenerlos a todos. Por fin, en 1995 el ingls Andrew Wiles lo logr (despus de algunos sustos).

"No hay otro problema que pueda justificar lo mismo para m. Fue la ilusin de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentar resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos sern muy difciles y tendr una sensacin de realizacin otra vez, pero no hay ningn problema matemtico que me pueda cautivar como lo hizo Fermat [...]" Puedes leer la historia sobre este apasionante teorema en El enigma de Fermat de Simon Singh (Planeta)El 17 de julio de 2000, la Vanguardia Digital public una entrevista con Wiles a la que puedes ir desde aqu

La Arithmeticafu un tratado de 13 libros del que slo se conocen los seis primeros. Fu encontrada en Venecia por Johann Mller (Regiomontanus, matemtico y astrnomo alemn) hacia 1464 y la primera traduccin latina pertenece a Wilhelm Holzmann (1532-1576) DiophantiAlexandriniRerumlibri sex, Basilea, 1575. En 1621 aparece la edicin de Bachet de Mziriac con el siguiente ttulo: DiophantiAlexandriniArithmeticorumlibri sex; et de Numerismultangulisliberunus. Nunc primungraece et latinieditiatqueabsolutissimiscommentariisillustrati, Paris 1621 (que contine adems del texto griego y la traduccin latina aclaraciones y notas).En el grfico puede verse una edicin realizada por Fermat hijo (sobre la traduccin de Bachet) que incluye impresas las anotaciones de su padre. La Arithmetica no es propiamente un texto de lgebra sino una coleccin de problemas (150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la poca; Diofanto presenta en todos ellos una solucin nica y no establece distincin entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningn orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los mtodos de resolucinArithmetica Libro I Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.Arithmetica Libro II Consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el ms famoso, di lugar al llamado "teorema de Fermat"II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados"Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendr 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este ciadrado tendr cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los tminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los nmeros es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado" Diofanto resuelve la ecuacin x 2 + x 2 = 16 haciendo y 2 = 16 - a 2 que identifica con una expresin de la forma (ka - 4) 2 y haciendo k = 2 obtiene y 2 = 16 - a 2 = (2a - 4) 2e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5 Arithmetica Libro III Consta de 21 problemas. El ms famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometra para solucionarlo.III. 19 Encontrar cuatro nmeros tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.Arithmetica Libro IV Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a nmeros cbicos. Como lo griegos no conocan las frmula de la ecuacin cbica, la sagaz eleccin de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solucin aceptable. Y como muestra un botnIV. 1 Descomponer un nmero dado en dos cubos cuya suma de races sea dada"Si el nmero es 370 y la suma de las races 10, supongamos que la raz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las races. Por tanto, la raz del otro cubo ser 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdr 30 cuadrados de aritmo ms 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del nmero dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raz del primer cubo tendr entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos sern 343 y 27" Con la notacin actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones x 3 + y 3 = 370 x + y = 10 Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 - aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuacin y desarrollando tendremos: (a + 5) 3 + (5 - a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370 y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.Arithmetica Libro V La mayora de los problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el libro) son problemas de segundo y tercer grado. En el ltimo, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominaramos de "mezclas"V. 30 Una persona se embarc con sus sirvientes, quienes le encargaron que les fuera til. Mezcl garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5, y pag por todo un nmero cuadrado que, aumentado en el nmero de unidades que se te indicar, 60, har que tengas otro cuadrado cuya raz es el nmero total de garrafas. Averigua cuntas haba de 8 y cuntas de 5 dracmas"Arithmetica Libro VI. Dedicado a resolver tringulos rectngulos de lados racionales; consta de 24 problemas.

En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones son tambin enteras se denominan ecuaciones diofnticas. Las ms sencillas son las ecuaciones lineales con dos incgnitas de la forma Ax Bx = CEjemplo Hemos comprado libros de una oferta por 86 el volumen y en otra oferta libros a 76 volumen pagando en total 1176 . Deseamos saber cutos libros se han comprado de cada ofertaSi x es el nmero de libros del primer lote e y del segundo podemos plantear la ecuacin68 x + 76 y = 1176

La condicin necesaria para que este tipo de ecuaciones admita solucin es que C sea divisible por el m.c.d(A,B), en nuestro caso m.c.d(68, 76) = m.c.d(68, 76) = 4

con lo que la ecuacin inicial quedar de la forma 17 x + 19 y = 294 y los coeficientes de x e y, 17 y 19, son primos entre s.Veremos a continuacin que este tipo de ecuaciones de la forma ax by = c admite siempre soluciones enteras. Por ejemplo, despejando ax y dando a y los valores 0, 1, 2, ..., a - 1, resultan los a nmerosyax = c + by

0c

1c + b

2c + 2b

...... ...

kc + kb

...... ...

hc + hb

...... ...

a - 1c + b (a - 1)

En donde nos hemos ajustado al caso ax - by = c.

Al dividir cada uno de los a nmeros de la segunda columna por a, para obtener x, obtendremos siempre restos distintos. En efecto. Supongamos que para los valores k y h diesen el mismo resto. Entonces los nmeros c + kb y c + hbsern congruentes mdulo a, es decir

Teniendo en cuenta el Teorema Fundamental de las Congruencias(La condicin necesaria y suficiente para que dos nmeros sean congruentes mdulo m es que su diferencia sea un mtiplo de m) resultar que la diferencia de los nmeros c + kb y c + hb debe ser un mltiplo de a, es decir y como a y b son primos entre s debera ser la diferencia k - h un mltiplo de a, pero eso no es posible pues h y k son distintos y menores que a. Apliquemos dicho razonamiento al problema y tendremos y17 x = 294 - 19yx = (294 - 19y)/17

017x = 294x = 294/17

117x = 294 - 19 = 275x = 275/17

217x = 294 - 38 = 292x = 291/17

317x = 294 - 57 = 237x = 237/17

417x = 294 - 76 = 218x = 218/17

...... ...... ...

Puede comprobarse que para los valores5, 6, 7, 8, 9 y 10 no se obtiene solucin entera, pero ...

1117x = 294 - 209 = 85x = 85/17 = 5

Luego se han comprado x = 5 libros de 68 e y = 11 libros de 76. Ya vemos la laboriosidad de este mtodo, pero el gran Euler propuso el prctico y elegante que ahora se expone.Consideramos el coeficiente ms pequeo de x e y, en nuestro caso 17, el coeficiente de x. Despejamos x, efectuamos el cociente y asociando tendremos:

y como x debe ser entera, para y = 11 resulta y se obtiene x = 17 - 11 - 1 = 5