DIOP_U1_A3
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Universidad Abierta y a Distancia de México Materia: Investigación de Operaciones Unidad: 1 Actividad: 3. Solución a problemas por los métodos: gráfico y simplex. Fecha: 07/02/15 Introducción: Esta actividad consta de 4 ejercicios que te llevarán a la aplicación del procedimiento de resolución de problemas de Programación lineal. Existen dos procedimientos básicos para la solución que son el Método gráfico y el Método simplex, que ya aprendiste durante la unidad 1. Propósito: Esta actividad tiene la finalidad de que apliques tus conocimientos con respecto al uso de procedimientos de resolución de problemas de Programación lineal por los dos métodos aprendidos hasta el momento: el Método gráfico y el Método simplex. Lo anterior, será resolviendo los siguientes ejercicios, donde a partir de un modelo de programación lineal podrás aplicar ambos métodos y presentar una solución. Instrucciones: I) Lee cada ejercicio escrito al final de la actividad y resuelva según el método indicado. Para los ejercicios a resolver por el Método gráfico: 1. Grafica la región factible y marca con un círculo las soluciones factibles en los vértices (FEV). 2. En cada solución FEV identifica el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisface. 3. En cada solución FEV, utiliza este par de ecuaciones de fronteras de restricción para obtener la solución algebraica de los valores de X1 y X2 en vértice. 4. En cada solución FEV, identifica sus soluciones FEV adyacentes. 5. En cada par de soluciones FEV adyacentes, identifica, en su ecuación, la frontera de restricción común.
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Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
Materia: Investigacin de OperacionesUnidad: 1Actividad: 3. Solucin a problemas por los mtodos: grfico y simplex.Fecha: 07/02/15Introduccin: Esta actividad consta de 4 ejercicios que te llevarn a la aplicacin del procedimiento de resolucin de problemas de Programacin lineal. Existen dos procedimientos bsicos para la solucin que son el Mtodo grfico y el Mtodo simplex, que ya aprendiste durante la unidad 1.
Propsito: Esta actividad tiene la finalidad de que apliques tus conocimientos con respecto al uso de procedimientos de resolucin de problemas de Programacin lineal por los dos mtodos aprendidos hasta el momento: el Mtodo grfico y el Mtodo simplex. Lo anterior, ser resolviendo los siguientes ejercicios, donde a partir de un modelo de programacin lineal podrs aplicar ambos mtodos y presentar una solucin.
Instrucciones: I) Lee cada ejercicio escrito al final de la actividad y resuelva segn el mtodo indicado.
Para los ejercicios a resolver por el Mtodo grfico:
1. Grafica la regin factible y marca con un crculo las soluciones factibles en los vrtices (FEV). 2. En cada solucin FEV identifica el par de ecuaciones de fronteras de restriccin que satisface. 3. En cada solucin FEV, utiliza este par de ecuaciones de fronteras de restriccin para obtener la solucin algebraica de los valores de X1 y X2 en vrtice. 4. En cada solucin FEV, identifica sus soluciones FEV adyacentes. 5. En cada par de soluciones FEV adyacentes, identifica, en su ecuacin, la frontera de restriccin comn. 6. Escribe la solucin del ejercicio.
Ejercicio 1:
Resolver por el Mtodo grfico:
Supn que X1 son muebles de madera y X2 son muebles de metal que se van a producir. Sea el modelo lineal:
Maximizar Z = 5X1 + 4X2 = Funcin Objetivo
Sujeto a: 3X1 + 4X2 10
-4X1 + 3X2 6 Frontera de restriccin 3X1 + 1X2 7
y
X1, X2 0 NO negatividad
Restriccin 1
3X1 + 4X2 103X1 + 4X2 =10
3X1 + 0 =10X1 =10/3 == X1= 3.3
0 + 4X2 =10
X2=10/4 === X2= 2.5
Restriccin 2
-4X1 + 3X2 6 -4X1 + 3X2 = 6
-4X1 + 0 = 6 X1 =- 6 / 4 === X1= -1.5
0 + 3X2 = 6 X2 = 6/3 == X2 = 2
Restriccin 3
3X1 + 1X2 7 3X1 + 1X2 =7
3X1 + 0= 7 X1 =7/3 == X1=2.3
0 + 1X2 =7 X2 = 7 / 1 == X2=7
Punto ptimo B intersecta con restricciones 1 y 2
4( 3X1 + 4X2 = 10 ) => 12x1 + 16X2=403( -4X1 + 3X2 = 6 ) =>-12X1 + 9X2 =18--------------------------0 + 25X2 = 58 X2=58/25 X2 =2.3Mtodo por sustitucin 3X1 +4( 2.3) = 10 3X1 +9.2=10
3X1 =10 -9.2 X1=0.8/3 X1 =0.26
Punto ptimo C intersecta con restricciones 1 y 3
3X1 + 4X2 =10 ) -3X1 +4X2=10-1( 3X1 + 1X2 =7) 3X1 -X2=-7--------------------0 + 3X2=3 X2 = 3/5 X2= 1 Mtodo por sustitucin3X1 + 1 = 7 3X1 =7-1 3X1= 6 X1=6/3 X1=2
X2
21
31
9
8
7Regin factible
6
5
4B
3A
C
2
1D
0
123456789x1
1
A) Z = 5X1 + 4X2 5(-1.5)+ 4(2) -7.5 + 8 = 0.5
B) Z = 5X1 + 4X2 5(0.26)+ 4(2.3) 1.3 + 9.2 = 10.5
C) Z = 5X1 + 4X2 5(2)+ 4(1) 10 + 4= 14
D) Z = 5X1 + 4X2 5(2.3) + 4(7) 11.5 + 28 = 39.5 Valor mar alto de Z
Ejercicio 2:
Resuelve por el Mtodo grfico. Sea el modelo lineal: Maximizar Z = X1 + 2X2 Funcin Objetivo
Sujeto a: X1 2
X2 2 Fronteras de Restriccin X1 + X2 3
y
X1, X2 0 No negatividad
Restriccin 1
X1 2X1 + 0 = 2X1 = 2
Restriccin 2 X2 2
0 + X2 = 2
X2 = 2
Restriccin 3
X1 + X2 3 X1 + X2 =3
X1 = 3 X2 = 3
Punto ptimo B intersecta con restricciones 2 y 3- X2 =2 -X2=-2X1 + X2 =3 X1+ X2=3 X1=1
1 + X2 =3 X2 =3-1 X2= 2
Punto ptimo C intersecta con restricciones 1 y 3-X1 = 2 -X1 - 0 =-2 X1 + X2 =3 X1 + X2=3 X2=1
X1 + 1=3 X1= 3-1 X1=2
X2
11
9
8
7Regin factible
6
531
4B
3A
C
21
2C
1D
0
123456789x1
A. Z = X1 + 2X2 = 0 +2(2) = 4
B. Z = X1 + 2X2 = 1 +2(2)= 5
C. Z = X1 + 2X2 = 2 +2(1)= 4 D. Z = X1 + 2X2 = 2 +2(0)= 2
Para los ejercicios a resolver por el Mtodo simplex:
1. Convierte el modelo de la forma original a la forma estndar. 2. Crea la tabla simplex y compltala con la forma estndar. 3. Define la columna pivote o columna de entrada. 4. Determina la variable de salida. 5. Completa la tabla simplex con la iteracin uno. 6. Si no hay solucin, realiza la siguiente iteracin hasta encontrar la solucin factible.
Ejercicio 3:
Resolver por el mtodo simplex. Sea el modelo lineal: Maximizar Z = -X1 + X2 + X3
Sujeto a: X1 + 2X2 - X3 20 -2X1 + 4X2 + 2X3 60 2X1 + 3X2 + X3 50 y
X1, X2, X3 0 No negatividad
Igualamos FO a cero.Z-X1 + X2 + X3 = 0
X1 + 2X2 - X3 20 -2X1 + 4X2 + 2X3 60 2X1 + 3X2 + X3 50
Uso de la variable de Holgura para transformar las inecuaciones en ecuaciones.
Z+X1 - X2 - X3 = 0 Ecuacin de Objetividad
X1 + 2X2 - X3 + X4 = 20 -2X1 + 4X2 + 2X3 + X5 = 60 2X1 + 3X2 + X3 +X6 = 50
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
11-1-10000
012110020
0-24201060
023100150
1. Identificando la columna pivote. cul de los nmeros es ms negativo?-
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
11-1-10000
012-110020
0-24201060
023100150
2. Columna X2 es la columna pivote. 3. El siguiente paso es definir la lnea pivote; dividiendo las restricciones del valor de la columna de solucin entre el coeficiente respectivo de la columna pivote y el valor numrico menor ser la fila pivote. 4. El elemento pivote es el nmero 25. Convertir el elemento pivote en 1 dividiendo toda la fila 2 entre 2.
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
z11-1-10000
X4012-11002020/2 = 10
X50-2420106060/4 = 15
X602310015050/3 = 16.66
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
BasezX1X2X3X4X5X6Solucin
z11-1-10000
X401/22/2-1/21/20020/2
X50-24201060
X6023100150
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
BasezX1X2X3X4X5X6Solucin
z11-1-10000
X400.51-0.50.50010
X50-24201060
X6023100150
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
BasezX1X2X3X4X5X6Solucin
z11.50-1.50.50010
X400.51-0.50.50010
X50-404-21020
X600.502.5-1.50120
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
BasezX1X2X3X4X5X6Solucin
z1000-0.250.375017.5
X400100.250.125012.5
X50-101-0.50.2505
X60300-0.25-0.62517.5
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
BasezX1X2X3X4X5X6Solucin
z101000.5030
X4004010.5050
X50-12100.5030
X603100-0.5120
Solucin ptima Z=30, X3=30
Ejercicio 4:
Resolver por el mtodo simplex. Sea el modelo lineal:
Maximizar Z = 2X1 - X2 + X3Sujeto a: 3X1 + X2 + X3 6
X1 - X2 + 2X3 1
X1 + X2 - X3 2
y
X1, X2, X3 0
Igualamos FO a cero.Z - 2X1 + X2 - X3 =0
3X1 + X2 + X3 6
X1 - X2 + 2X3 1
X1 + X2 - X3 2
Uso de la variable de Holgura para transformar las inecuaciones en ecuaciones.
Z -2X1 + X2 - X3 = 0 Ecuacin de Objetividad
2X1 + X2 - X3 = 0 3X1 + X2 - X3 + X4 = 6 X1 - X2 + 2X3 + X5 = 1 X1 + X2 + X3 +X6 = 2
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
Z1-21-10000
X4031110062
X501-1201011
X6011-100122
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
Z10-130202
X4004-51-3030.75
X501-120101
X6002-30-1110.5
Transformacin de las ecuaciones en una tabla de matricial.
zX1X2X3X4X5X6Solucin
Z1001.501.50.52.5
X400011-1-21
X50100.500.50.51.5
X60011.50-0.50.50.5
Solucion ptima:X1=1.5, X2=0.5, X3=0 y Z=2.5
