Discret As

Analizamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias discretas. De ellas merecen especial mención la distribución binomial y de Poisson, por su frecuente presencia en situaciones reales.

La incorporación de otros ejemplos, se hace con el fin de que el lector pueda tener en este manual una fuente de referencia para el conocimiento básico sobre ellas. Tal es el caso de las distribuciones de Bernouilli, uniforme, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica y multinomial.

DISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLI

Como tal denominamos a una experiencia que sólo puede tomar dos estados, mutuamente exclusivos, que denominamos ÉXITO y FRACASO.

Asociamos : 1 a éxito , con una cierta probabilidad p 0 a fracaso , con probabilidad q (= 1 - p)

La ley de probabilidad es :

X 0 1 con E(X) = p Pr. 1-p p y V(X) = p.(1-p) = p.q

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Así denominamos a la repetición de una experiencia de Bernouilli n veces. Por ello, una experiencia binomial, queda definida por los parámetros: n nº de repeticiones de la experiencia p probabilidad de éxito en una realización

Se suele representar : B(n,p)

VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL X = nº de ocurrencias de ÉXITO en las n realizaciones de la prueba. Tomará por tanto los valores : X = 0 , 1 , 2 , ..... , n

LEY DE PROBABILIDAD BINOMIAL La probabilidad asociada a cada valor se demuestra que es :

f k X knk

p p con k nk n k( ) Pr( ) . .( ) , , , ... ,= = =⎛ ⎞

⎠⎟ − =−1 0 1 2

⎝⎜

Esperanza matemática y Varianza : E X n p V X n p p n p q D X n p q( ) . ( ) . .( ) . . ( ) . .= = − = =1

Moda : Menor valor entero positivo (0, 1, 2, ... , n) tal que : n.p - q ≤ Mo ≤ n.p + q

Coeficiente de asimetría :

Asq pn p q

=−. .

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA (de Pascal)

Consideremos la variable aleatoria definida como : número de pruebas necesarias para lograr k éxitos

Dicha variable toma los valores : X = k , k+1 , k+2 , ... con probabilidades :

f n X nnk

p pk n( ) Pr( ) . .( )= = = k−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −1

11

Esperanza matemática y Varianza :

E Xk qp

V Xk qp

( ).

( ).

= = 2

Distribuciones discretas - 113

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Es un caso particular de la de Pascal para k = 1 .Es decir, la variable X representa el número de pruebas necesarias para obtener el primer éxito.

f n X n p q nn( ) Pr( ) . , , , ...= = = =−1 1 2 3

Esperanza matemática y Varianza :

E Xqp

V Xqp

( ) ( )= = 2

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL (o polinomial)

Es una generalización de la distribución binomial al supuesto de existencia de k situaciones excluyentes (en lugar de dos como ocurre en la binomial).

Si estas situaciones S1 , S2 , ... , Sk , tienen probabilidades p1 , p2 , ... , pk (con : p1 + p2 + ... + pk = 1) y realizamos n pruebas, la situación S1 podrá presentarse X1 veces (de 0 a n), la situación S2 podrá presentarse X2 veces (de 0 a n), etc...

Se define así una variable aleatoria k-dimensional : (X1 , X2 , ... , Xk) con : Xi = xi = 0, 1, 2, ... , n y x1 + x2 , ... + xk = n

con probabilidad :

( )Pr , , ... ,!

!. !. ... . !. . . ... .X x X x X x

nx x x

p p pk kk

x xk

xk1 1 2 2

1 21 2

1 2= = = =

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Tratamos una nueva variante de la distribución binomial. La distribución hipergeométrica corresponde a extracciones de elementos sin reemplazamiento (en la binomial eran experiencias independientes o extracciones con reemplazamiento).

Coincide con la binomial en el resto de consideraciones; es decir, tratamos dos situaciones excluyentes (éxito y fracaso) que se analizan en n pruebas.

Como quiera que la extracción se realiza sin devolución, la probabilidad de éxito cambiará en cada prueba.

Partiendo de N elementos y siendo p la probabilidad de éxito en la primera extracción, los N elementos se distribuyen en N.p éxitos y N.q fracasos.

Variable hipergeométrica = X = Número de éxitos en n extracciones = 0, 1, 2, ... , n. con probabilidades :

( )Pr

..

.

X k

N pk

N qn k

Nn

= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Esperanza matemática : E X n p( ) .= Moda : será el mayor de los valores que verifiquen

N p n N q nN

MoN p n N p n

N. . . . . .− − −

+≤ ≤

+ + ++

12

12

Varianza : V X n p qN nN

( ) . . .=−−1

Asimetría :

Asq p

N nN

n p qN nN

=−

−+−−

( ).

. . .

22

1

Observando la varianza, es fácil advertir que cuando N crece indefinidamente, el cociente N nN−−1

tiende a la unidad.

Por ello, cuando N → ∞ , la distribución hipergeométrica tiende hacia una binomial.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME (discreta)

La variable aleatoria discreta X se dice que tiene una distribución uniforme, si puede tomar los n valores x1 , x2 , ..., xn , con probabilidad :

Pr(X = xi) = 1/n para todo i

114 - Distribuciones discretas

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Existe un amplio número de modelos experimentales que se ajustan a la denominada DISTRIBUCIÓN DE POISSON : - Aparición de un suceso en un periodo de tiempo. - Aparición de un suceso en un cierto espacio (distancia, superficie o volumen) - Producción de elementos defectuosos en un proceso de fabricación , etc. ... Su distribución o LEY DE PROBABILIDAD es :


f k X k ek

para kk

( ) Pr( ) .!

, , , ...= = = =−α α0 1 2

El valor α caracteriza a la distribución, representando el promedio de ocurrencias. Suele representarse la distribución de Poisson por P(α).

Esperanza matemática y Varianza : E X V X D X( ) ( ) ( )= =α α = α

Moda : Valor (o valores) entero positivo (0, 1, 2, ... ) tal que : α - 1 ≤ Mo ≤ α

Coeficiente de asimetría :

As =1α

APROXIMACIÓN ENTRE ALGUNAS DISTRIBUCIONES B(n,p) P(α) N(μ,σ) Esperanza matemática n.p α μ

Desviación típica

σ n p q. . α

En condiciones extremas (valores elevados de n o α , valores muy pequeños de p , ... ), podremos aproximar una distribución por otra, sin más que observar que :

B(n,p) ≈ P(α) con α = n.p B(n,p) ≈ N(μ,σ) con μ = n.p y σ= n p q. . P(α) ≈ N(μ,σ) con μ = α y σ= α


EJERCICIOS RESUELTOS

1 Una caja contiene dos bolas blancas y ocho negras, procediendo a realizar extracciones sucesivas de una bola con devolución. Analice la variable aleatoria "número de bolas blancas que se obtienen en siete extracciones", comparando los resultados con los teóricamente establecidos. Calcule la esperanza matemática, varianza y moda de la distribución de dicha variable.

Se describe una experiencia binomial con n = 7 y p = 2/10 = 0'20 (probabilidad de obtener una bola blanca). Los valores de la variable definida son : X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Sus probabilidades p(x) las obtenemos de la tabla binomial.

k = x p(x) p(x).x p(x).x2 F(x) n = 7 0 0'20972 0'00000 0'00000 0'20972 1 0'36700 0'36700 0'36700 0'57672 2 0'27525 0'55050 1'10100 0'85197 3 0'11469 0'34407 1'03221 0'96666 4 0'02867 0'11468 0'45872 0'99533 5 0'00430 0'02150 0'10750 0'99963 6 0'00036 0'00216 0'01296 0'99999 7 0'00001 0'00007 0'00049 1'00000 1'00000 1'39998 3'07988

Las columnas p(x).x y p(x).x2 permiten obtener la esperanza matemática y la varianza de la distribución.

Cálculos directos Aplicación de la expresión teórica

E(x) = Σ p(x).x = 1'39998 ≈ 1'4 E(x) = n.p = 7 . 0'2 = 1'4

V(x) = Σ p(x).x2 = 3,07988 - 1'42 ≈ 3'08 - 1'42 =1'12 V(x) = n.p.q = 7 . 0'2 . 0'8 = 1'12 Moda = 1 (p máxima = 0'36700) Moda = 1 primer valor comprendido entre :

n.p - q = 7 . 0'2 - 0'8 = 0'6 n.p + q = 7 . 0'2 + 0'8 = 2'2

Resultados que concuerdan con lo establecido para la distribución binomial.

Se ha construido adicionalmente la función de distribución F(x) = Pr(X ≤ x).

2 Utilizando las tablas de la distribución binomial B(6,0'15) calcular las probabilidades : a) Pr(X = 2) b) Pr(X > 0) c) Para la distribución B(6,0'85), calcule Pr(X ≤ 3) d) Calcule la esperanza matemática, varianza, moda y asimetría de la distribución B(6, 0'15).

La tabla proporciona las probabilidades individuales para n = 6 y p = 0'15 :

0'85 n k 0'15 k 6 0 0'37715 6 1 0'39933 5 a) Pr(X = 2) = 0'17618 2 0'17618 4 b) Considerado el suceso contrario (no ser mayor que 0) 3 0'04145 3 Pr(X > 0) = 1 - 0'37715 = 0'62285 4 0'00549 2 5 0'00039 1 6 0'00001 0

c) Para probabilidades superiores a 0'5, seleccionamos la columna de probabilidad 1-p (en este caso 1-0'85 = 0'15).

El valor k de la probabilidad a calcular es el correspondiente a n-k, razón por la que se acostumbra a fijar la columna de la derecha con valores de k reordenados de mayor a menor.

Con esto : Pr(X ≤ 3) = 0'00001 + 0'00039 + 0'00549 + 0'04145 = 0'04734

d) E(x) = n.p = 6 . 0'15 = 0'9

V(x) = n.p.q = 6 . 0'15 . 0'85 = 0'765

Moda = 1 primer valor comprendido entre : n.p - q = 6 . 0'15 - 0'85 = 0'05 n.p + q = 6 . 0'15 + 0'85 = 1'75

Asq pn p q

=−

=−

=. .

' ''

'0 85 015

0 7650 8 (asimétrica positiva o a la derecha)

3 El 45% de los alumnos de un Centro suspendieron la asignatura de Matemáticas. Si seleccionamos un grupo de 11 alumnos, calcule la probabilidad de que hayan suspendido Matemáticas : a) a lo sumo 4 alumnos b) más de la mitad de ellos.

Nos encontramos ante una distribución binomial con n = 11 y p = 0'45 (probabilidad de suspender). Seleccionada la tabla correspondiente a estos valores encontramos :

n k 0'45 11 0 0'00139 1 0'01254 a) a lo sumo 4 (0 , 1 , 2 , 3 o 4 ) : 2 0'05129 Pr(X ≤ 4) = 0'00139 + ... + 0'20602 = 0'39714 3 0'12590 4 0'20602 b) más de la mitad (11/2 = 5'5) (6 , 7 , ... , 11) : 5 0'23598 Pr(X ≥ 6) = 0'19308 + ... + 0'00015 = 0'36688 6 0'19308 7 0'11284 8 0'04616 9 0'01259 10 0'00206 11 0'00015

4 En la sección de Pediatría de un Centro Hospitalario fueron atendidos 200 niños durante el último mes. Sabiendo que 130 de ellos presentaron afecciones gripales, y que se seleccionaron al azar 9 historiales clínicos, calcule la probabilidad de que : a) todos padeciesen gripe b) alguno hubiera padecido gripe.

La experiencia a observar es padecer o no gripe en un grupo de 9 niños. Se trata por tanto de una distribución binomial en la que n = 9 y p = 130/200 = 0'65 (probabilidad de padecer gripe).

Dado que la probabilidad 0'65 no figura en la tabla, seleccionamos la columna correspondiente a 1 - 0'65 = 0'35 :

0'65 n k 0'35 k 9 0 0'02071 9 1 0'10037 8 Creando la columna de la derecha (valores k invertidos) : 2 0'21619 7 3 0'27162 6 a) todos padecieron gripe (los 9) : 4 0'21939 5 Pr(X = 9) = 0'02071 5 0'11813 4 6 0'04241 3 b) alguno padeció gripe (lo contrario es ninguno) : 7 0'00979 2 Pr (X > 0) = 1 - Pr(X = 0) = 1 - 0'00008 = 0'99992 8 0'00132 1 9 0'00008 0

5 De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Seleccionados 5 de ellos, calcule la probabilidad de que padezcan tal alteración : a) 3 de ellos b) al menos uno. Procediendo a revisar el historial de ellos de forma aleatoria, cuál es la probabilidad de que : c) el primero con alteración cerebral se encuentre en la 8ª consulta de historiales. d) el tercero con alteración cerebral se encuentre en la 10ª consulta de historiales.

La proporción de esquizofrénicos con alteración cerebral es : p = 12/50 = 0'24.


En este caso, la distribución binomial asociada B(5, 0'24) no se encuentra tabulada, debiendo proceder al cálculo numérico de las probabilidades :

a) ( ) 07985'076'0.24'0.!2!.3

!524'01.24'0.35

= 3)=Pr(X 2323 ==−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b) 74645'025355'0176'0.24'0.05

-1=0)=Pr(X-1=1)Pr(X 50 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥

Los apartados c) y d) corresponden a una distribución de Pascal (o binomial negativa) :

c) con n = 8 y k = 1 (es el caso especial de distribución geométrica) : Pr( X = 8) = 0 24 0 76 0 035158 1' . ' '− =

d) con n = 10 y k = 3 :

07288'076'0.24'0.!7!.2

!976'0.24'0.29

76'0.24'0.1-31-10

= 10)=Pr(X 73733103 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

6 Utilizando las tablas de la distribución de Poisson P(3'6) calcular las probabilidades : a) Pr(X = 4) b) Pr(1 ≤ X < 4) c) Para la distribución P(0'85), calcule Pr(X ≤ 1) d) Calcule la esperanza matemática, varianza, moda y asimetría de la distribución P(3'6).

La tabla proporciona las probabilidades individuales para el promedio α = 3'6 :

Valores de k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

3'6 0'02732 0'09837 0'17706 0'21247 0'19122 0'13768 0'08261 0'04248 0'01912 0'00765 0'00275 0'00090 0'00027 0'00007 0'00002 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000

a) Pr(X = 4) = 0'19122 b) Pr(1 ≤ X < 4) = Pr(X = 1) + Pr(X = 2) + Pr(X = 3) = 0'09837 + 0'17706 + 0'21247 = 0'48790 c) La distribución de Poisson de promedio α = 0'85 no se encuentra tabulada. Procederemos al cálculo numérico de la probabilidad

pedida :


Pr( X1) = Pr(X = 0) +Pr( X = 1) = e e e-0'85 -0'85 -0'85. '!

. '!

. ( ' ) '0 850

0 851

1 0 85 0 790720 1

+ = + =

d) E(x) = α = 3'6

V(x) = α = 3'6

Moda = 3 primer valor comprendido entre : α - 1 = 3'6 - 1 = 2'6 α = 3'6

As = = =1 1

3 60 527

α '' (asimétrica positiva o a la derecha)

7 Por término medio faltan cada día 2 alumnos a la primera hora de clase en 1º C. Calcular la probabilidad de que un cierto día : a) falten 3 alumnos de 1º C a la primera b) algún alumno falte. c) indique el número más probable de alumnos que pueden faltar a clase

En el período de tiempo establecido (un día), la experiencia establecida se repite con un promedio de 2 ocurrencias. Se trata de una distribución de Poisson de parámetro α = 2.

a) Pr(X=3) = 0'18045 (obtenido directamente de las tablas de la distribución de Poisson)

b) Pr(X>0) = 1 - Pr(X=0) = 1 - 0'13534 = 0'86466 (utilizando el suceso contrario)

c) El valor más probable es la moda. Siendo : α -1 = 1 y α = 2 , encontramos 2 modas ( 1 y 2 ), luego lo más probable es que falte uno o dos alumnos.

8 De los aspirantes presentados a una prueba de selección el 0'5% fue seleccionado para un puesto de trabajo.

a) De un grupo de 6 aspirantes, calcule la probabilidad de que a lo sumo 1 haya obtenido empleo. b) De un grupo de 1000 aspirantes, calcule la probabilidad de que fuesen seleccionados menos de 9. c) De un grupo de 25000 aspirantes, determine la probabilidad de que el número de seleccionados esté comprendido entre 120 y 132.

Todos los apartados hacen referencia a una distribución binomial con probabilidad p = 0'005 (ser seleccionado), siendo variable el número n de experiencias (6, 1000 y 25000).

a) B(6,0'005) Pr(X≤1) = Pr(X=0) + Pr(X=1) = + = 60 995'0.005'0.06⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 51 995'0.005'0.16⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 0'97037 + 0'02926 = 0'99963

b) B(1000,0'005) No disponiendo de valores binomiales tabulados para n = 1000, la obtención de Pr(X<9) sería muy compleja de calcular. Aproximamos dicha distribución, en primer lugar, a una distribución de Poisson :

B(n,p) ≈ P(α=n.p) = P(5) Consultando las tablas de la distribución de Poisson (para α=5) obtenemos : Pr(X<9) = 0'00674 + 0'03369 + 0'08422 + 0'14037 + 0'17547 + 0'17547 + + 0'14622 + 0'10444 + 0'06528 = 0'93190

c) B(25000,0'005) Las mismas razones anteriores nos obligan a la búsqueda de una aproximación a través de otra distribución. 1º.- B(n,p) ≈ P(α=n.p) = P(25000 . 0'005) = P(125)

Al no estar tabulada y ser casi imposibles de realizar los cálculos necesarios desechamos esta aproximación. 2º.- B(n,p) ≈ N(n.p , n p q. . ) = N(125 , 11'15)

Determinamos la probabilidad pedida : Pr(120 < X < 132)

Tipificamos los valores : z z=−

= − ≈ − =−

= ≈120 125

11 150 4484 0 45 132 125

11 150 6278 0 63

'' '

'' '

Consultando las tablas de la distribución N(0,1) (empleamos aquí la que proporciona áreas a la izquierda de z) : Pr(120 < X < 132) = Pr(-0'45 < z < 0'63) = 0'73565 - 0'32636 = 0'40929

9 Sabiendo que el promedio de accidentes anuales en nuestra región es de 225, calcule la probabilidad de que el próximo año se presenten más de 242 accidentes.

El elevado valor del promedio (α=225) nos conduce a aproximar la distribución de Poisson descrita por una normal.

P(α) ≈ N(α , α ) = N(225 , 15)

Determinamos la probabilidad pedida : Pr(X > 242)

Tipificamos el valor X=242 : z = −= ≈

242 22515

1 13333 1 13' '

Consultando las tablas de la distribución N(0,1) (empleamos ahora la que proporciona áreas de 0 a z) : Pr(X > 242) = Pr(z > 1'13) = 0'5 - 0'37076 = 0'12924

10 De los mosquetones producidos en una fábrica, el 15% son defectuosos. Elegidos al azar 6 mosquetones, calcular : a) la probabilidad de que menos de 4 estén defectuosos b) la probabilidad de que haya más de 3 y menos de 6 mosquetones defectuosos. c) la probabilidad de que los 6 estén en perfecto estado. d) ¿ cuál es el número más probable de mosquetones defectuosos ?

a) B(6,0’15) Pr(X < 4) = Pr(X = 0,1,2,3) = 0’37715 + 0’39933 + 0’17618 + 0’04145 = 0’99411

b) B(6,0’15) Pr(3 < X < 6) = Pr(X = 4,5) = 0’00549 + 0’00039 = 0’00588

c) B(6,0’85) Pr(X = 6) = 0’37715

d) El más probable (mayor probabilidad) es la moda de la distribución de los mosquetones defectuosos ( B(6,0’15) ) : Moda = 1 dado qu es el primer valor comprendido entre : n.p - q = 6 . 0'15 - 0'85 = 0'05 n.p + q = 6 . 0'15 + 0'85 = 1'75 Lo más probable es la existencia de un mosquetón defectuoso entre los 6 seleccionados.


11 Se dispone de un cuestionario de 5 items, cada uno de los cuales tiene dos opciones, verdadero y falso. Suponemos que se contesta al azar cada uno de los items. Si administramos 3000 cuestionarios, calcular: a) ¿ Cuántos cuestionarios pueden tener al menos dos items correctos ?. b) ¿ Cuántos pueden tener más de 3 items correctos ?. c) ¿ Cuántos tendrán todos los items incorrectos ?.

a) B(5,0’5) Pr(X ≥ 2) = Pr(X = 2,3,4,5) = 0’81250 Número de cuestionarios = 3000 x 0’81250 = 2438

b) B(5,0’5) Pr(X > 3) = Pr(X = 4,5) = 0’15625 + 0’03125 = 0’18750 Número de cuestionarios = 3000 x 0’18750 = 562’5 ≈ 563

c) B(5,0’5) Pr(X = 5) = 0’03125 Número de cuestionarios = 3000 x 0’03125 = 94

12 Según un estudio de CHOP & ERA, el 35% de la población de estudiantes universitarios es partidario de la supresión de los festejos taurinos que tengan por consecuencia la muerte del animal. Si elegimos al azar una muestra de 60 estudiantes, a) ¿ Cuál será la probabilidad de que haya más de 40 que se muestren partidarios de la supresión ?. b) ¿ Cuál será la probabilidad de que haya menos de 30 que se muestren en contra de la supresión ?.

a) B(60 , 0’35) ⇒ P(21) ⇒ N(21 , 3’69) Pr(X > 40) = 0

b) B(60 , 0’65) ⇒ P(39) ⇒ N(39 , 3’69) Pr(X < 30) = 0’00734

13 El profesor de una asignatura tiene por costumbre preguntar en el examen un tema escogido al azar de un total de 100 de los que consta el temario. Sus doscientos (200) alumnos deciden estudiar sólo la mitad del temario. Si sólo aprueban aquellos alumnos que han estudiado el tema del examen, a) ¿ Cuál es la probabilidad de que aprueben más de 50 y menos de 100 ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que aprueben más de 100 ?. c) ¿ Cuál es la probabilidad de que suspendan más de 100 ?.

a) B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07) Pr(50 < X < 100) = 0’5 - 0 = 0’5

b) B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07) Pr(X > 100) = 0’5 (la mitad)

c) B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07) Pr(X > 100) = 0’5 (como el apartado anterior)

14 Un sujeto responde al azar a una prueba de elección múltiple de 16 preguntas, con 5 alternativas cada una, de la que sólo una es correcta. Averigüe : a) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte 4 preguntas ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte menos de 4 preguntas ?.


c) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte más de 2 y menos de 7 preguntas ?.

a) B(16 , 0’2) Pr(X = 4) = 0’20011

b) B(16 , 0’2) Pr(X < 4) = Pr(X = 0,1,2,3) = 0’59814

c) B(16 , 0’2) Pr(2 < X < 7) = Pr(X = 3,4,5,6) = 0’62150

15 La probabilidad de que un alumno de Psicología de primer curso de la UNED posea deficiencias físicas que aconsejan la realización de un examen especial es 0’002. Si esta probabilidad se mantiene constante de año en año y en un determinado curso académico hay matriculados 500 alumnos, a) ¿ Cuál es la probabilidad de que ningún alumno requiera examen especial ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que lo requieran 2 alumnos ?. c) ¿ Cuál es la probabilidad de que lo requieran más de 3 ?.

a) B(500 , 0’002) Pr(X = 0) = 0’3675


5000 0 002 0 9980 500⎛ ⎞

⎝⎜

⎠⎟. ' . '

b) B(500 , 0’002) Pr(X = 2) = 0’1841 5002 0 002 0 9982 498⎛ ⎞

⎠⎟. ' . '

⎝⎜

c) B(500 , 0’002) Pr(X > 3) = Pr(X=4,5,6, ... , 500) = 1 - Pr(X=0,1,2,3) = 1 - (0’3675 + 0’3682 + 0’1841 + 0’0613) = = 1 - 0’9811 = 0’0189

16 Un aficionado a la lotería compra anualmente 1400 boletos de la ONCE, manteniendo esta costumbre durante 50 años ininterrumpidos. Sabiendo que la probabilidad de que un boleto determinado coincida con el premio “gordo” es de 1/100.000, calcular : a) La probabilidad de que a nuestro aficionado no le toque nunca el “gordo”. b) La probabilidad de que le toque al menos una vez. c) La probabilidad de que le toque una sola vez.

n=1400 x 50 = 70000 p=1/100000=0’00001 B(70000,0’00001) Aproximamos por Poisson con λ = n.p = 70000 x 0’00001 = 0’7

a) Pr(X=0) = 0’49659

b) 1 - Pr(X=0) = 1 - 0’4965 = 0’50341

c) Pr(X=1) = 0’34761

17 En un experimento de percepción auditiva, la detección de una señal sobre un fondo de ruido tiene una distribución binomial con media 3 y varianza 2’1. Calcular : a) La probabilidad de detección de la señal. b) Si la señal se presenta 5 veces, representar gráficamente la función de probabilidad de esta distribución. c) Si el experimento termina con la quinta detección correcta, la probabilidad de que se necesiten menos de 7

ensayos.

a) E(X) = n.p = 3 V(X) = n.p.q = 2’1 = 3.q ⇒ q = 2’1 / 3 = 0’7 ⇒ p = 1 - q = 0’3

b) B(5, 0’3) Consultando las tablas obtenemos su ley de probabilidad : P(X=0) = 0’16807 P(X=1) = 0’36015 P(X=2) = 0’30870 P(X=3) = 0’13230 P(X=4) = 0’02835 P(X=5) = 0’00243

Gráficamente :

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0 1 2 3 4 5

c) Binomial negativa : Pr (N<7) = Pr (N=5 o N=6)

5 15 1 0 3 0 7

6 15 1 0 3 0 7 0 00243 0 008505 0 01095 0 5 1−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + =. ' . ' . ' . ' ' ' '

18 Una variable toma valores enteros X tales que: 120 < X ≤ 180 , siendo todos ellos equiprobables. Determine el tipo de variable aleatoria definida y calcule : a) la probabilidad de que tome el valor 164. b) Pr(X > 151) y Pr(134 ≤ X < 149).

Se trata de una variable uniforme (todos los valores son equiprobables (igual probabilidad) ).

Para determinar la probabilidad de cada valor de una variable uniforme, sólo necesitamos saber el número total de valores. En este caso, la variable toma los valores : 121, 122, 123, ... , 179, 180 ; es decir, 60 valores (180 - 120).

La probabilidad común a todos ellos es : p = 1 / 60. a) Pr(X=164) = 1 / 60 b) Pr(X > 151) = 29 / 60 (ya que hay 29 valores (180-151) c) Pr(134 ≤ X < 149) = 15 / 60 (ya que hay 15 valores (del 134 al 148 hay 148-133 valores)

19 Al lanzar un dado, con sus caras numeradas del 1 al 6, en 12 ocasiones, calcule la probabilidad : a) de que aparezca cada número 2 veces b) de que en tres ocasiones salga un 5 y en cuatro ocasiones sea múltiplo de 3.

a) Existen 6 situaciones (del 1 al 6) con probabilidades 1/6 en todos los casos. El 1 aparecerá 2 veces, el 2 otras 2

veces, etc...

Se trata de una distribución multinomial, con lo cuál, la probabilidad pedida es :

( )Pr , , ... ,!

!. !. ... . !. . . ... .X x X x X x

nx x x

p p pk kk

x xk

xk1 1 2 2

1 21 2

1 2= = = =

( )Pr , , ... ,!

!. !. !. !. !. !. . . . . . ' 00344X X X1 2 6

2 2 2 2 2 2

2 2 212

2 2 2 2 2 216

16

16

16

16

16

0= = = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

b) Existen 3 situaciones (el 5, múltiplo de 3 (3 o 6) y el resto (1, 2 y 4)) con probabilidades respectivas 1/6, 2/6 y

3/6. La primera situación aparecerá 3 veces, la 2ª 4 veces y la tercera 5 veces (el resto de las tiradas).

Volvemos a encontrarnos con una distribución multinomial, con lo cuál, la probabilidad pedida es :

( )Pr , ,!

!. !. !. . . ' 0495X X X1 2 3

3 4 5

3 4 512

3 4 516

26

36

0= = = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

20 Para realizar un sorteo disponemos de una caja que tiene bolas numeradas del 580 al 800. Al tomar una de las bolas al azar, determine el tipo de variable aleatoria definida y calcule la probabilidad de que : a) sea superior a 720 b) sea un número capicúa.

Nos encontramos ante una distribución uniforme con valores : 580 ≤ X ≤ 800 (ya que la probabilidad de sacar cualquier bola es constante).

Como existen 221 bolas (800-579), la probabilidad de sacar una cualquiera es : 1 / 221.

a) Existiendo 80 números superiores a 720 (800-720), la probabilidad es igual a 80 / 221.

b) Los números capicúas de tres cifras son de la forma ABA luego, conocidas las dos primeras cifras, queda

determinado dicho número. En nuestro caso, los posibles números AB son : 58, 59, 60, ... , 78 y 79 , que representan un total de 22 números (79-57). Así la probabilidad pedida es 22 / 221.


21 De una urna que contiene 2 bolas blancas (B), 5 negras (N) y 1 roja (R), realizamos 6 extracciones de una bola (sustituyendo la bola extraída a la urna, antes de realizar la siguiente experiencia). Calcule la probabilidad : a) de obtener 3 veces bola negra, 2 veces roja y una vez blanca. b) de obtener bola blanca en 4 ocasiones.

a) Existen 3 situaciones (negra, roja y blanca) con probabilidades respectivas 5/8, 1/8 y 2/8.

La primera situación (N) aparecerá 3 veces, la 2ª (R) 2 veces y la tercera (B) 1 vez.

Se trata de una distribución multinomial, con lo cuál, la probabilidad pedida es :

( )Pr , , ... ,!

!. !. ... . !. . . ... .X x

nx x x

p p pk kX x X xk

x xk

xk

1 21 2

1 2= =1 1 2 2= =

( )Pr , ,!

!. !. !. . . ' 0572N R B= = = =⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =3 2 1

63 2 1

58

18

28

03 2 1

b)

A la vista del apartado anterior podría pensarse en un nuevo ejemplo de distribución multinomial.

Dado que sólo consideramos dos situaciones, ser blanca o no serlo, el problema corresponde a una distribución binomial.

Como quiera que una distribución binomial es un caso particular de una multinomial para sólo dos situaciones, lo comprobaremos con este ejemplo.

Multinomial : Blanca (B) con probabilidad 2/8, 4 veces y, el resto (N o R) con probabilidad 6/8, 2 veces.

( )Pr ,!

!. !. . ' 032B N o R= = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =4 2

64 2

28

68

04 2

96

Binomial : Blanca (B) con probabilidad 2/8 en 4 de las 6 ocasiones.

( )Pr . .!

!. !. . ' 032B = =

⎛ ⎞


96⎝⎜⎠⎟4

64

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

28

128

64 2

28

68

04 2 4 2

22 Un profesor confecciona un ejercicio de 10 preguntas seleccionándolas al azar de una carpeta que contiene 6 preguntas del primer trimestre, 16 del segundo y 8 del tercero. a) Calcule la probabilidad de que el examen contenga exactamente 3 preguntas del trimestre 1º. b) ¿ Cuál es el número más probable de preguntas del primer trimestre que contendrá el ejercicio ?.

Aunque nada se indica en el enunciado, parece evidente que el profesor selecciona preguntas sin reemplazamiento (es lógico evitar la aparición de preguntas repetidas).

Las preguntas hacen referencia a ser o no del trimestre primero, por lo que se trata de una distribución hipergeométrica.

En ella : N = Nº total de preguntas = 30 N.p = Nº de preguntas del trimestre 1º = 6 (p = 6 / 30 = 0'2) N.q = Nº de preguntas que no son del trimestre 1º = 24 (q = 0'8)

a) ( )Pr

..

.

X k

N pk

N qn k

Nn

= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )Pr. !

!. !.

!!. !

!!. !

.'X = =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= = =3

63

247

3010

63 3

247 17

3010 20

20 34610430045015

0 2304

b) El valor más probable es la moda. Calculamos para ello :

N p n N q nN

. . . .− − −'

+=

− − −+

= =2532

0 781251

2610 24 10 1

30 2

N p n N p nN

. . . .+ + +'

+=

+ + ++

= =7732

2 406251

2610 6 10 1

30 2

Luego, como 0'78125 ≤ Mo ≤ 2'40625

Mo = máximo(1 , 2) = 2

Es decir, lo más probable es que el examen contenga dos preguntas del primer trimestre.

23 Siendo una variable que sólo admite dos valores (éxito y fracaso) con los parámetros que se especifican en cada caso, donde n=nº de ensayos, p=probabilidad de éxito, q = probabilidad de fracaso y X=nº de éxitos, determine, utilizando sólo las tablas de la curva normal cuando sea necesario y desarrollando todos los cálculos, las probabilidades que aparecen en la tabla..

n p q Probabilidad a) 8 0'5 --- P(X=2) b) 8 --- 0'5 P(2≤X≤3) c) 100 0'5 --- P(40<X) d) 1000 0'002 --- P(X=3)

Nos encontramos ante una variable aleatoria X, distribuida binomialmente : B(n,p)

En ella : Pr( ) . .X knk p qk n k= =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ −

a) B(8 , 0'5)

Pr( ) . ' . '!

! . !. ' . ' 'X = =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = = =−2

82 0 5 0 5

82 6

0 5 28 0 00390625 01093752 8 2 8

La tabla nos habría proporcionado directamente el valor : 0'10938

b) B(8 , 0'5)

Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) . ' . ' Pr( )!

! . !. '

Pr( ) . ' ' ' '

2 3 2 3 283

0 5 0 5 28

3 50 5

2 56 0 00390625 0109375 0 21875 0 328125

3 8 3 8≤ ≤ = = + = = = +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = = +

= = + = + =

−X X X X X

X

=

La tabla nos habría proporcionado directamente el valor : 0'10938 + 0'21875 = 0'32813

c) B(100 , 0'5) Pr((40<X) = Pr(X = 41, 42, 43, ..., 100)

El elevado número de probabilidades a calcular y la imposibilidad de realizarlas, aconsejan aproximar por otra distribución. Si aproximamos por una Poisson (de promedio n.p = 100 . 0'5 = 50) continuaríamos con el mismo problema. Aproximaremos por una distribución normal :

B n p N n p n p q N( , ) ( . , . . ) ( , )≈ = = =μ σ 50 5

Tipificando el valor 40 : zx

=−

=−

= −μ

σ40 50

52

Pr(X > 40) = Pr(z > -2) = 1 - 0'02276 = 0'97724

Hemos consultado la tabla N(0,1). Restamos de la unidad porque esta tabla proporciona áreas a la izquierda.

d) B(1000 , 0'002) Pr(X=3)

Se trata de calcular sólo una probabilidad pero las operaciones son imposibles de realizar. Aproximando por Poisson, el promedio sería : n.p = 1000 . 0'002 = 2. Así, en una distribución P(2), obtenemos :

Pr( ) .!

' . 'X e= = = =−323

0135335286

018044723

La tabla de Poisson nos habría proporcionado directamente el valor : 0'18045


Finalizamos con un ejemplo que pretende diferenciar la distribución binomial y las derivadas de ella (binomial negativa, geométrica, multinomial, hipergeométrica).

24 Disponemos de una caja que contiene : 5 triángulos (T), 3 círculos (C) y 2 rectángulos (R).

Realizando extracciones de figuras con reemplazamiento : a) Calcule la probabilidad de que, al realizar 8 extracciones, se obtenga en 4 ocasiones un círculo. b) Calcule la probabilidad de que se necesiten 8 extracciones para obtener 4 círculos. c) Calcule la probabilidad de que aparezca el primer círculo en la 8ª extracción. d) Calcule la probabilidad de que, al realizar 8 extracciones, aparezcan 3 triángulos, 3 círculos y 2

rectángulos.

Realizando extracciones de figuras sin reemplazamiento : e) Calcule la probabilidad de que, al realizar 6 extracciones, se obtenga en 2 ocasiones un círculo.

a) BINOMIAL :

Experiencias independientes o extracciones con reposición. Sólo se tratan dos situaciones excluyentes (Círculo o No círculo).

Siendo la probabilidad de obtener un círculo p = 3 / 10 = 0'3, se trata de una B(8 , 0'3).

Pr(X = 4) = 0'13614 (obtenido de la tabla I)

b) BINOMIAL NEGATIVA :

Experiencias independientes o extracciones con reposición. Sólo se tratan dos situaciones excluyentes (Círculo o No círculo). La variable (pregunta) es el número de experiencias necesarias para verificar un suceso.

Siendo la probabilidad de obtener un círculo p = 3 / 10 = 0'3 , la probabilidad pedida es :

Pr(X = 8) = 8 14 1

0 3 0 74 8 4−−

⎛ ⎞

⎝⎜

⎠⎟ −. ' . ' = 0'0681

c) GEOMÉTRICA :

Como en el caso de la binomial negativa, pero "la variable (pregunta) es el número de experiencias necesarias para que aparezca por primera vez un cierto suceso".

Siendo la probabilidad de obtener un círculo p = 3 / 10 = 0'3 , la probabilidad pedida es :

Pr(X = 8) = 0'3 . 0'78-1 = 0'04247

d) MULTINOMIAL :

Experiencias independientes o extracciones con reposición. Se tratan más de dos situaciones excluyentes (T , C o R).

Siendo las probabilidades : Pr(T) = 5 / 10 = 0'5 Pr(C) = 3 / 10 = 0'3 Pr(R) = 2 / 10 = 0'2

la probabilidad pedida es :

Pr(T=3 , C=3 , R=2) = 83 3 2

0 5 0 3 0 23 3!! . ! . !

. ' . ' . ' 2 = 0'0756

e) HIPERGEOMÉTRICA:

Extracciones sin reposición. Sólo se tratan dos situaciones excluyentes (Círculo o No círculo).

Siendo la probabilidad de obtener un círculo p = 3 / 10 = 0'3 :

Pr(X = 2) =

32

74

106

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

. = 0'5



EJERCICIOS PROPUESTOS

1 De las distribuciones binomiales siguientes, calcule las probabilidades indicadas a su derecha, así como su esperanza matemática, varianza, moda y asimetría :

B(12 , 0'35) Pr (X ≤ 3) Pr (X ≥ 8) Pr (2 < X ≤ 7) B(9 , 0'8) Pr (X > 6) Pr (2 < X < 6) Pr (X < 4)

2 De las siguientes distribuciones de Poisson, calcule las probabilidades indicadas a su derecha, así como su esperanza matemática, varianza, moda y asimetría :

P(2'5) Pr (X < 17) Pr (X ≥ 8) Pr (3 ≤ X ≤ 5) P(4'4) Pr (1 < X ≤ 6) Pr (2 < X < 6) Pr (X ≥ 4)

3 En las últimas elecciones andaluzas la abstención fue del 33%. En una familia con 6 miembros con derecho a voto, calcule la probabilidad de que : a) alguno se hubiese abstenido b) al menos dos se hayan abstenido

4 Las técnicas empleadas en un Centro Sanitario permiten afirmar que se produce mejoría en el 80% de los enfermos cirróticos. Aplicada dicha técnica o tratamiento a 8 enfermos, calcular la probabilidad de que : a) mejoren sólo 5 de ellos b) no mejoren a lo sumo 2.

5 Un profesor realiza un examen tipo test con doce preguntas, teniendo cuatro respuestas de las que sólo una es correcta. Si un alumno no preparó el examen y responde al azar a las preguntas, calcule la probabilidad de que : a) conteste al menos 5 y menos de 9 preguntas correctamente b) conteste bien al menos 2 preguntas. c) Si responde correlativamente a las cuestiones, calcule la probabilidad de que el segundo acierto se produzca en la novena pregunta.

6 Una ciudad tiene por término medio cinco muertes por accidente de tráfico al mes. ¿ Cuál es la probabilidad de que un cierto mes se supere este promedio ?:

7 En un centímetro cúbico de agua se encuentran 3 bacterias de cierto tipo por término medio. Calcular la probabilidad de que una muestra de 2 cm3 de agua : a) no esté contaminada b) contenga más de 10 bacterias de ese tipo.

8 Una urna contiene 7 bolas blancas y 3 negras, realizando de ella sucesivas extracciones de una bola, con devolución a la urna una vez se ha observado su color. a) En 6 extracciones, calcule la probabilidad de obtener al menos dos bolas negras. b) Calcule la probabilidad de que sea preciso realizar 3 extracciones para obtener la primera bola negra. c) Calcule la probabilidad de que sean precisas 8 extracciones para obtener 3 bolas negras.

9 a)

b)

Cada página de una cierta revista contiene 3 faltas de ortografía por término medio. Tomada una página al azar, calcular la probabilidad de que contenga menos de 5 faltas ortográficas.

Sabiendo que la publicación tiene 300 páginas (¡ se trata de una edición especial !), calcule la probabilidad de que contenga entre 800 y 850 faltas de ortografía.

10

Una experiencia consiste en extraer una bola de la urna anterior observando su color (volviendo a colocar la bola en la urna). Si repetimos la experiencia en 15 ocasiones,

a) Calcular la probabilidad de obtener bola blanca al menos en 4 ocasiones. b) Determinar la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria "número de bolas blancas obtenidas en las 15 extracciones". c) Si realizamos la experiencia 1000 veces, determinar la probabilidad de que el número de bolas blancas obtenidas esté comprendido entre 385 y 431.

11 a) Entre las 10 y las 11 de la mañana se recibe un promedio de 18 llamadas telefónicas en una empresa. Calcular la

probabilidad de que llamen a lo sumo 2 veces entre las diez y media y las once menos cuarto de un cierto día. b) Sabiendo que en un mes se reciben 400 llamadas por término medio, calcule la probabilidad de que en un cierto mes llamen entre 350 y 400 ocasiones.

12 Lanzamos una moneda 10 veces.

a) Calcular la probabilidad de obtener al menos 4 caras. b) Determinar la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria "número de caras obtenidas en los 10 lanzamientos". c) Si lanzamos la moneda 400 veces, determinar la probabilidad de que el número de caras obtenidas esté comprendido entre 190 y 227.

13 Una variable aleatoria binomial tiene como esperanza matemática 30 y varianza 12. ¿ De qué distribución estamos hablando

?.

14

Sabiendo que sólo aprueba el 20% de los alumnos de COU analizamos un grupo de 20. Calcular la probabilidad de que : a) sólo aprueben 6. b) a lo sumo apruebe uno. c) apruebe alguno, siendo 5 el máximo de aprobados.

15

En un cierto tramo de carretera se produce un promedio de 6’4 accidentes mortales al año. Determine la probabilidad de que en el 2º trimestre del presente año se produzcan : a) dos accidentes mortales. b) entre 1 y 3 accidentes mortales (ambos inclusive).

16 Seleccionado un grupo de alumnos de COU, resultó que el 65% fumaban. Si la esperanza matemática del número de fumadores es igual a 11’7 : a) ¿ Cuántos alumnos integraban dicho grupo ?. b) Calcule la probabilidad de que fumen al menos 13 y menos de 16 alumnos. c) Si el grupo estuviese integrado por los 6800 alumnos de COU de la provincia y en él se mantiene la misma proporción

de fumadores, calcule la probabilidad de que fumen más de 4500 alumnos.



SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 0'34666 0'02551 0'82320 E(X) = 4'2 V(X) = 2'73 Mo = 4 As = 0'182 0'73820 0'08533 0'00306 E(X) = 7'2 V(X) = 1'44 Mo = 7 As = - 0'5

2 1 0'00425 0'41416 E(X) = 2'5 V(X) = 2'5 Mo = 2 As = 0'632 0'77735 0'53478 0'64055 E(X) = 4'4 V(X) = 4'4 Mo = 4 As = 0'477

3 B(6,0'33) : a) 0'90954 b) 0'6422

4 B(8,0'8) : a) 0'14680 b) 0'79691

5 B(12,0'25) : a) 0'15725 b) 0'84161 c) Binomial negativa (n=9 ; k=2) : 0'06674

6 P(5) : 0'38404

7 P(6) : a) 0'00248 b) 0'04261

8 a) B(6,0'3) : 0'57982 b) Binomial negativa (n=3 ; k=1) (Geométrica) : 0'147 c) Binomial negativa (n=8 ; k=3) : 0'09530

9 a) P(3) : 0'81526 b) P(900) ≈ N(900,30) : 0'04702

10 a) B(15,0'4) : 0'90950 b) E(X) = 6 ; V(X) = 3'6 c) B(1000,0'4) ≈ N(400,15’49) : 0'81123

11 a) P(4'5) : 0'17358 b) P(400) ≈ N(400,20) : 0'49376

12 a) B(10,0'5) : 0'82811 b) E(X) = 5 ; V(X) = 2'5 c) B(400,0'5) ≈ N(200,10) 0'83787

13 B(50 , 0’6)

14 a) 0’1091 b) 0’06918 c) 0’79268

15 a) 0’2584 b) 0’7193

16 a) 18 b) 0’33138 c) 0’02118

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