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diseño asistido por computador

Modelado sólido

departamento de ingeniería de sistemas

y automática

diseño asistido por computador 2

SUPERFICIES

SÓLIDOS

ALÁMBRICOS

barridos instanciación y parametrización descomposición espacial CSG B-Rep

poliédricas libres MODELADORES

GEOMÉTRICOS


modelado geométrico

>  MODELADO SÓLIDO >  REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS >  MODELADORES DE SÓLIDOS

  Barridos   Instanciación y parametrización   Descomposición espacial   CSG   B-Rep

índice


conceptos básicos del CAD

>  Geometric Modeling M.E. Mortenson John Wiley & Sons. 1997.

>  Geometric & Solid Modeling. An Introduction C.M. Hoffmann Morgan Kaufmann Publishers, Inc. 1989.

bibliografía


  modelado sólido





Objeto sólido

>  un conjunto de líneas y/o curvas 2D no describe necesariamente un área cerrada >  una colección de planos y/o superficies 3D no encierra necesariamente un volumen >  necesidad de distinguir entre interior, exterior y superficie de un objeto




Propiedades deseables de un modelador de sólidos

>  Debe poder establecer los límites o fronteras (boundary) del objeto de cara a definir el interior y exterior del mismo >  El modelo debe contener una cantidad de información finita >  La frontera del objeto debe estar siempre en contacto con su interior




Modelo sólido de un objeto

>  Resuelve las limitaciones de modelos alámbricos >  Representación completa de un objeto >  Geometría 3D implícita >  Conjunto de puntos

Objeto sólido: Conjunto de puntos en el espacio Euclídeo 3D Modelador sólido: Capaz de codificar el conjunto de puntos infinito en un modelo compatible para el almacenamiento en un ordenador


  representación de sólidos


MODELOS CONSTRUCTIVOS • modelo = combinación de primitivas básicas • primitiva = instancia de un sólido básico bien definido • CSG (Geometría de Construcción de Sólidos)

MODELOS DE ENUMERACIÓN ESPACIAL • descomposición del modelo en células • célula = estructura geométrica y topológica simple

MODELOS DE REPRESENTACIÓN DE FRONTERAS • definición del modelo en base a sus fronteras • Modelo jerárquico (caras – aristas – vértices) • B-Rep (Boundary-Representation)


  modelado sólido mediante barridos


Traslación (extrusión) >  sobre cualquier dirección o vector




Rotación (revolución) >  sobre cualquier dirección o vector




Problema >  dominio limitado

Barrido generalizado >  barrido de cualquier contorno o área sobre cualquier trayectoria libre




Extensiones al barrido generalizado >  variaciones de parámetros

•  del punto de contacto •  de la orientación •  del contorno del área

>  características: •  modelador potente y versátil •  valores de defecto •  dominio amplio •  problema: objetos sin utilidad




Problemas del barrido generalizado >  intersecciones consigo mismo

>  áreas como resultado

>  no hay formulación simple del resultado




Aplicaciones de los barridos >  mecanizados

•  efectos del corte •  generación de trayectorias •  cálculo de velocidades

>  ensamblajes •  simulación de interferencias

>  otros •  distancias de seguridad


  modelado sólido mediante instanciación y parametrización


Instanciación >  escalado en cualquiera de los ejes

instancia (escalado diferencial)

primitiva

instancias (escalado uniforme)




Parametrización >  variación de dimensiones clave

a

b

c

d

r2 r1 r1=t

r2=2t

t




Plantillas iniciales >  semiespacios o medioespacios

Problemas >  dominio restringido por el número de plantillas >  valores de defecto al visualizar >  posibilidad de datos no coherentes: validación de formas

Aplicaciones >  tecnología de grupos (CAM): clases o familias de piezas con variación de parámetros


  modelado sólido mediante descomposición espacial


Descomposición espacial >  representación alternativa >  limitaciones >  aplicaciones especiales (elementos finitos, GIS…)

>  clasificación: •  descomposición celular •  enumeración de la ocupación espacial •  octrees




Descomposición celular




Descomposición espacial >  células disjuntas con caras, aristas y/o vértices comunes >  no hay necesidad de ordenarse con la rejilla >  las células no pueden tener huecos internos,aunque si los objetos creados >  a mayor diversidad de células, mayor dominio de objetos >  útil para elementos finitos >  operaciones lógicas costosas (descomposición)




Enumeración de la ocupación espacial >  sencillo >  las células (voxels) son cubos localizados en una rejilla >  se marcan los cubos ocupados (1), frente a los no ocupados (0) >  representación aproximada >  precisión proporcional al tamaño de los cubos >  requiere mucha memoria en objetos con superficies curvas




Octrees >  enumeración de la ocupación espacial más eficiente >  disminuye los cubos almacenados agrupándolos >  resolución fina sólo en regiones necesarias >  representación en árboles octales >  modelos exactos en dominio limitado >  equivalente 2D: quadtrees

>  proceso •  subdividir cubos en llenos, vacíos y parcialmente llenos •  subdividir cubos parcialmente llenos hasta que no existan cubos parcialmente llenos o se alcance la resolución máxima




descomposición celular

octrees enumeración de la ocupación espacial


  modelado sólido mediante CSG


Geometría de Construcción de Sólidos (CSG)

6 medioespacios planares

U*

−*

*U




Árbol CSG

U*

−*




Sistemas de coordenadas locales

a

Z

X Y

b

c

c a j a ( a , b , c )

h

X

c i l i n d r o ( r , h )

Y

r Z




Operaciones lógicas

UNIÓN

SUSTRACCIÓN

INTERSECCIÓN primitivas




Operaciones lógicas

A

A B A B A B

B




Operaciones lógicas regularizadas

*




Operaciones lógicas regularizadas 1.  Calcular como teoría de conjuntos

resultado: volúmenes + elementos a eliminar 2.  Considerar el interior del resultado 3.  Formar la clausura de este interior, añadiendo los puntos

frontera adyacentes a las regiones interiores.

1 2

3




x-desplaza(.,dx) y-desplaza(.,dy) z-desplaza(.,dz)

x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa)

a Z

X Y

b

c

c a j a ( a , b , c )

h

X c i l i n d r o ( r , h )

Y

r Z Ejercicio CSG




Ejercicio CSG




Ejercicio CSG

caja (a,b,c)




Ejercicio CSG

cilindro (r,h) caja (a,b,c)




Ejercicio CSG

x-desplaza (.,a/2)

caja (a,b,c) cilindro (r,h)




Ejercicio CSG

y-desplaza (.,b/2)

caja (a,b,c) cilindro (r,h)

x-desplaza (.,a/2)




Ejercicio CSG

y-desplaza (.,b/2)

z-desplaza (.,c)

cilindro (r,h)

x-desplaza (.,a/2)

caja (a,b,c)




Ejercicio CSG

y-desplaza (.,b/2)

z-desplaza (.,c)

cilindro (r,h)

x-desplaza (.,a/2)

caja (a,b,c)

U*




Ejercicio CSG


x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa)

a Z

X Y

b

c

c a j a ( a , b , c )

h


Y

r Z Z

X

Y 1

9

1

8

4 2

R=1

Z




Ejercicio CSG

a Z

X Y

b

c

c a j a ( a , b , c )

h


Y

r Z


x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa) 4

1 1

2

1

2

2 4

4

1 1

Z

Y

X


  modelado sólido B-Rep


Representación de fronteras (Boundary Representation)

U




Objetos representables con B-Rep >  orientables y cerrados >  múltiples (manifold)

© botella de Klein. http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Klein_bottle.svg




Objetos no múltiples




Objetos no múltiples

posibles topologías como objeto múltiple

objeto no múltiple




Objeto B-Rep y árbol B-Rep

F1 F2 F3

BUCLE2

OBJETO

V6

BUCLE1

... V5

E6

...

E5

V2 V3 V4 V1

E2 E3 E4 E1 ...

F1 E1

E2

E3

E4 V1

V2

V3

V4 F2

V5 E5

E6

V6




Representación arista-alada (winged-edged)

>  Introducida por Bruce Baumgart en 1972 >  Se asume un objeto como un poliedro >  Incluye información topológica >  El elemento central de la representación es la arista, incorporando información sobre relaciones de vecindad con aristas y caras.





>  Se asumen tres tablas (caras, vértices y aristas)

> Tabla de caras •  cara = conjunto de bucles de aristas •  se crea una tabla en la que para cada cara que tenga el poliedro se almacena una arista incidente en esa cara

>  Tabla de vértices •  vértice = adyacente a conjunto de aristas •  se especifica una arista incidente para cada vértice de la figura

>  Tabla de aristas •  vértices incidentes •  caras adyacentes •  aristas precedentes y sucesoras en la definición de las caras adyacentes





1

A

B

b c

d

e

2

a

>  El poliedro debe considerarse visto desde fuera

>  Las caras deben considerarse como bucles de aristas en sentido horario

>  La arista a estudiar debe orientarse de un vértice a otro

>  Se consideran vértices incidentes, caras adyacentes a izquierda y derecha y las aristas incidentes precedentes y sucesoras en la definición de las caras adyacentes





>  vértices incidentes •  desde: 2 •  hacia: 1

>  caras adyacentes •  izquierda: A •  derecha: B

>  aristas incidentes, en el orden de los bucles que definen las caras adyacentes

•  precedente en cara izda: b •  sucesora en cara izda: d •  precedente en cara dcha: e •  sucesora en cara dcha: c

a A B

1

2

b c

d e




Ejercicio arista-alada

ARISTA VÉRTICES CARAS ARISTAS

desde hacia izda dcha en cara izda en cara dcha

prec succ prec succ

a

b

c

d

e

f

A B

C

D

1 3

4

a b

c d

e f




Consistencia topológica >  la topología de un objeto hace referencia a conceptos como vértices, aristas, caras, número de agujeros, consistencia, conectividad, etc. >  la principal debilidad del modelo de fronteras es la validez, ya que cualquier conjunto de caras, vértices y aristas no define un sólido válido >  topología inconsistente: datos de vértices, aristas o caras que no satisfagan relaciones descritas




Consistencia topológica >  para poder representar un sólido mediante B-Rep, éste debe cumplir las siguientes propiedades básicas:

•  Cada arista está delimitada por dos vértices. •  Cada arista separa dos caras (sólidos múltiples). •  Las caras que coinciden en una arista tienen orientación conforme. •  Las aristas solo se intersectan en los vértices. •  Las caras solo se intersectan en los vértices y aristas.

>  validación de la topología de un objeto: consideración de vértices, aristas, caras, bucles de aristas, huecos, conchas...




Consistencia topológica: sólidos simples >  objetos topológicamente simples, sin huecos o agujeros y con un sólo bucle por cara

Formula de Euler

V-E+F-2=0

V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras




V = 8 E = 12 F = 6

V-E+F-2 = 8-12+6-2 = 0

Consistencia topológica: sólidos simples >  fórmula de Euler




Consistencia topológica: sólidos con agujeros >  sólidos que permanecen limitados por una superficie conectada simple, homeomórficos a la esfera con una o más “asas” o agujeros

Fórmula de Euler-Poincaré

V-E+F-2(1-G)=0

V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras G = género (número de agujeros)




Consistencia topológica: sólidos con agujeros

superficie de género 2 (esfera con 2 asas)

objeto con dos agujeros


V = 24 E = 44 F = 18 G = 2

V-E+F-2(1-G) = 24-44+18-2(1-2) = = -2-2(-1) = -2+2 = 0



Consistencia topológica: sólidos con agujeros >  fórmula de Euler-Poincaré




Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos internos

>  sólidos con huecos internos (burbujas) limitados por superficies múltiples cerradas (conchas)

Fórmula de Euler-Poincaré extendida

V-E+F-(L-F)-2(S-G)=0

V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras G = género (número de agujeros) S = número de conchas L = número de bucles


V = 24 E = 36 F = 16 G = 1 L = 18 S = 2

V-E+F-(L-F)-2(S-G) = = 24-36+16-(18-16)-2(2-1) = = 4-2-2 = 0

Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos internos

>  fórmula de Euler-Poincaré extendida




Consistencia topológica >  un usuario no puede construir cualquier sólido >  los operadores de Euler trabajan añadiendo y eliminando vértices, aristas y caras a un poliedro de partida >  los operadores de Euler evitan la construcción de poliedros inválidos (operación cerrada)



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