Diseño de engranajes

  Un par de engranes que trabajan unidos se diseñan a partir de sus círculos primitivos o de paso, estos círculos son siempre tangentes entre si. El diámetro de estos círculos se obtiene de multiplicar el módulo por la cantidad de dientes. El módulo se define como el tamaño de los dientes y para que dos engranes trabajen juntos deben tener igual módulo. Se tiene entonces :

Dp = M Z

en donde

Dp : diámetro primitivo o de paso M :   módulo Z :   cantidad total de dientes del engrane

Si se tienen dos engranajes 1 y 2  con velocidades de giro n1[ rpm]y n2 [rpm]se pueden obtener unas relaciones de gran utilidad. Si los dos engranes van a trabajar juntos, en una unidad de tiempo ambos recorren la misma cantidad de metros, por ejemplo en un minuto ambos recorren :

n1 p Dp1 = n2 p Dp2

n1 / n2  =  Dp2 / Dp1            Pero  Dp = M Z

n1 / n2   =  Z2 / Z1

Se define la relación de transmisión i : 1 como la cantidad de vueltas que debe dar el engranaje motor para que el engranaje conducido de una vuelta. Por ejemplo, un reductor que disminuya a un cuarto la velocidad de giro tiene una relación 4 : 1.

En general :   i =  n1 / n2   =  Dp2 / Dp1  =  Z2 / Z1

De esta forma, un diseño de engranajes parte por  definir el módulo y la relación de transmisión que se desea, de esta forma y usando las relaciones anteriores se obtienen los diámetros de paso. Se entregan a continuación los valores típicos para el módulo :

Módulos Preferidos 2da Opción

1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25

2.5 2.75 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 8 9 10 11 12 14

16 18 20 22 25 28 32 36 40 45

Otra forma de indica el tamaño de los dientes es indicando el Paso diametral [dientes/ pulgada], se tiene que :

Pd = Z / Dp         Pd : Paso diametral

Pd = 1 / M

Los tamaños más utilizados para el Paso diametral son :

Paso diametral Bastos Finos

2 20 2.25 24 2.5 32 3 40 4 48 6 64 8 80

10 96 12 120 16 150

La siguiente parte es el diseño de los  dientes, que deben tener un forma tal que en todo momento exista contacto entre el piñón (el engrane de menor diámetro)  y la corona (el engrane de mayor diámetro). El perfil utilizado generalmente es el de la evolvente de círculo y en otro casos el de la cicloide.  

La curva evolvente se genera en base a un círculo de base sobre el cual se enrolla un hilo inextensible AB. Dejando el extremo A fijo sobre el círculo, se mueve el extremo B como desenrollando el hilo AB, el extremo B describirá una evolvente que es una curva que cambia de radio punto a punto, comienza con radio nulo y se separa del círculo con radios crecientes. Siempre la parte recta del segmento AB es tangente al círculo. En la animación siguiente puede apreciarse como se genera esta curva

Se diseñará a modo de ejemplo un par de engranes para una relación de transmisión de 2 : 1 con módulo 5. Se utilizarán 20 dientes en el piñón y por o tanto 40 dientes en la corona. Los dientes de todo engrane se empujan en una dirección llamada línea de presión, línea de acción o generatriz, esta línea se encuentra inclinada con respecto a la línea AB, tangente a ambos círculos de paso.

Se tiene entonces :

Piñon Corona

M = 5 M = 5

Z = 20 Z = 40

Dp = 100 Dp = 200

Los valores mas utilizados para la inclinación de la línea de presión son :

20º 20.5º 25º 14.5º (obsoleto)

 En nuestro ejemplo se utilizarán 20º. 

La figura siguiente muestra el inicio del trazado del par de engranes, indicando los diámetros de paso y la línea de presión.

     

 La siguiente animación muestra el objetivo final.

Para generar las curvas evolventes en ambos engranajes se traza el círculo de base, concéntrico con el círculo de paso y tangente a la línea de presión. En la figura  se muestran los círculos de base para nuestro ejemplo.

Finalmente se limita el tamaño de los dientes entre dos círculos, por encima y por debajo del círculo de paso. El límite inferior, que determina el comienzo de los dientes se obtiene restando al radio de paso una cantidad denominada dedendo. El dedendo vale : 

d = 1.25 / Pd  d = 1.25 M 

En nuestro ejemplo : d = 6.25, determinando un círculo de radio 43.75 para el piñón y de 93.75 para la corona. 

El límite superior de los dientes se obtiene sumando al radio de paso una cantidad denominada adendo. El adendo vale : 

a = 1 / Pd  a = M 

En nuestro ejemplo : a = 5, determinando un círculo de radio 55 para el piñón y de 105 para la corona. En la figura siguiente se aprecian estos círculos que determinan el largo de los dientes. Es importante notar que en el caso dl piñón los tres círculos quedan bien separados y en el caso de la corona el círculo de base es muy parecido al círculo interior.

Se procede al dibujo de las curvas evolventes para ambos engranes, usando el proceso mostrado en la animación. La imagen muestra el trazado en la evolvente en la parte superior del pinón.

Se limita la curva entre el círculo exterior y el círculo de base. La curva evolvente no puede trazarse debajo del círculo de base, por ello, el diente debe continuarse con un línea en dirección radial hasta cortar el círculo interior.

Trazado el perfil del diente, se calcula el paso circular, que es la distancia medida sobre el círculo de paso que indica la separación entre dientes sucesivos. Se obtiene dividiendo la longitud del círculo de paso en la cantidad de dientes.

Paso circular = Pc = p Dp / Z    como Dp = M Z 

Pc = p M

En este espacio Pc debe caber un diente propio  y un diente del otro engrane. Se copia un perfil igual al trazado y uno rotado para generar la forma final. En nuestro ejercicio el piñón tiene 20 dientes, esto indica que cada 18º hay un diente. En la figura siguiente se muestra el trazado final del diente del piñón.

Este perfil se copia 20 veces y se tiene el dibujo final del piñón. Con la corona se realiza un proceso semejante.

En la animación siguiente se muestran los dientes del piñón y de la corona en su forma final, es importante apreciar que el contacto entre los dientes se lleva acabo a lo largo de la línea de presión indicada. Los dientes se empujan y rotan sin resbalar y cuando un diente deja de tener contacto otro inicia el contacto, manteniendo el movimiento constante.

En el diseño de los engranajes se busca la forma y el ancho del diente para soportar las cargas que se ejercen sobre ellos. Esta carga varía principalmente, dependiendo de la potencia transmitida y de la velocidad de giro. Dependiendo de los esfuerzos que se producen en los dientes,  se pueden fabricar engranajes de diversos materiales y en una gran cantidad de formas. La última figura, muestra ejemplos de engranajes y ruedas catalinas fabricadas en la empresa Bignotti Hnos. que es frecuentemente visitada por los alumnos de este ramo, como parte de las actividades necesarias para conocer mas de cerca los mecanismos y procesos de manufactura existentes en el país.   El tema de los engranajes  se tratará con detalle en el ramo siguiente donde se conocerán las fórmulas para calcular sus resistencia y durabilidad.