Diseno de Un Filtro Fir Pasabanda Utilizando El Metodo de ado Barlet

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DISEÑO DE FILTRO FIR PASABANDA UTILIZANDO EL MÉTODO DE ENVENTANADO BARTLETT

( 24 JUNIO 2011 )

Félix Antonio Palacios Abarca, Luis Antonio Sánchez Flores

Abstracto: En el presente documento se tratara de exponer, la forma de diseñar un filtro digital FIR, con las siguientes características: que sea pasabanda y que además sea implementado mediante el método de enventanado BARTLETT. El filtro debe satisfacer las siguientes características como el de poseer dos frecuencias de stop y dos frecuencia de paso, que han sido previamente definidas, yque más adelante se mostrara en el cuerpo del trabajo.

INTRODUCCIÓN

Los filtros son sistemas que se

diseñan principalmente para eliminar ciertas

componentes no deseadas de una señal.

Generalmente estas componentes no

deseadas se definen en función de sus

componentes de frecuencia. Un filtro ideal

permite el paso de ciertas frecuencias sin

modificarlas y elimina completamente otras;

esto en la realidad no se puede lograr con

exactitud ya que no existen componentes

precisos en el mercado, razón por la cual setienen aproximaciones. El intervalo de

frecuencias que deja pasar un filtro se le

llama banda de paso y todas las frecuencias

que elimina se le llama banda de supresión.

El ancho de banda de un filtro digital

depende de la frecuencia de muestreo, y

estos se pueden implementar tanto en

software como en hardware. Se conocen

usualmente dos tipos de filtros que se eligen

según las necesidades y la naturaleza del

problema, estos filtros se les conoce como

FIR e IIR. Este proyecto se enfoca en la

construcción de un filtro FIR para lo cual en

primer lugar se presentara un desarrollo

teórico del diseño de un filtro digital FIR,

cumpliendo las condiciones de tener una

frecuencia de supresión iguales a f stop1 = 900

Hz , f stop2 = 1600 Hz y una frecuencia de

paso f pass1 =1000 y f pass2 =1500 , que para

nuestro caso son las condiciones de diseño

pedidas. Además de todo se presentara la

implementación de este mediante la técnicade enventanado Bartlett.

MARCO TEÓRICO

Los filtros de respuesta finita al

impulso (FIR finite impulse response) tienen

la ventaja de ser utilizados con facilidad y

poseer fase lineal para una respuesta al

impulso par o impar, a esta propiedad se le

llama simetría. Otra de las características

que debe de tener un filtro FIR es que debe

ser causal, esto significa que debe tener un

retraso hacia los positivos y no debe existir

señal en frecuencias negativas.



REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA.

Existen tres técnicas de diseño de filtros

FIR que son de gran importancia:

1-La técnica de ventanas.

2-La técnica de muestreo en frecuencia.

3-La técnica de diseños con rizadouniforme.

De las diferentes técnicas de diseño se

desarrollo la técnica de ventaneo con la que

lo primero es decidir las especificaciones de

respuesta en frecuencia ideal de nuestro

filtro como Hd(e jω) y luego determinar su

correspondiente respuesta al impulso ideal

hd(n).

La técnica de diseño que se utilizara para

construir un filtro paso banda, está basada en

la construcción de dos filtros ideales, que

como se dijo en el apartado anterior están

denotados con Hd(e jω

) a las frecuencias de

interés.

Un esquema de lo descrito anteriormente

seria como el que se muestra en la siguiente

fig.1

Fig.1 Filtro ideal pasabanda construido a partir de dos paso bajo.

Nosotros representaremos a un filtro

seleccionador de frecuencia ideal por medio

de Hd(e jω

) el cual tiene una ganancia de

magnitud uno y una característica de fase

línea sobre su banda de paso y unarespuesta de cero sobre sus bandas de

supresión. La representación de un filtro

ideal de ancho de banda Wc < π viene dado

por:

Donde:

Wc: frecuencia de corte.

α : el retardo.

La respuesta al impulso de este filtro ideal es

de duración infinita y viene dada por.

Que se obtuvo al aplicar la transformada

inversa de Fourier a la función de respuesta

en frecuencia de un filtro ideal paso bajo,

notando que hd(n) es simétrica con respecto

a α.



Para obtener un filtro FIR de hd(n), se tiene

que truncar a ambos lados de la función

respuesta al impulso ideal. Y además para

obtener un filtro FIR de fase línea y causal

h(n) de longitud M, debemos tener:

A la cual se le llama enventanado. En

general la respuesta al impulso de un filtro

real está realizado por la multiplicación de

hd(n) con una función ventana w(n) como se

muestra en la siguiente expresión.

Donde:

Dependiendo como definamos w(n) así

obtendremos diferentes diseños para las

ventanas.

Para el diseño que aquí se implementa

( ventana Bartlett ) una expresión que

representa a la ventana es la que se nuestra a

continuación.

Que para el caso hipotético de una ventana

de longitud M=45 obtenemos el resultado

que se muestra en la fig.2

Fig.2 ventana Bartlett de longitud M=45En el dominio de la frecuencia la respuesta

del filtro FIR causal Hd(e jω) está dada por la

convolucion periódica de Hd(e jω

) y de la

ventana W(e jω) que es.

De la cual se muestra un resultado grafico

aproximado de la convolucion en la fig.3,para el cual la ventana es rectangular.

Que es la operación del enventanado en el

dominio de la frecuencia.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

w ( n )

Ventana Bartlett

M=45



IMPLEMENTACIÓN DE CÓDIGO MATLAB PARA UN DISEÑO DE FILTRO FIR POR EL MÉTODO

DE VENTANA BARTLETT.

Para nuestro caso se busca construir un filtro

FIR (Bartlett ) pasa-banda con las siguientes

características: (Todas las frecuencias están

en Hz )

fs1=900; fp1=1000;

fp2=1500; fs2=1600;

%para nuestro caso, para sacar lafrecuencia de muestreo nos basamosen la frecuencia máxima del filtro,siendo esta dos veces la frecuenciamáxima o mayor eligiendo la quemejor se ajuste a los resultadospresentados.

fmax=fs2;

fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo

Un esquema del diseño a implementar es elque se muestra en el grafico inferior.

Lo que significa que para nuestro caso todas

las frecuencias serán normalizadas con

respecto a fm.

Para un mayor orden el diseño del código

fuente se efectuara en tres archivos llamados:

Pasobajo.m freqz_modificado.m pasabanda.m

Pasobajo.m

Este código contiene la realización de un

filtro pasobajo ideal hd(n), mediante la

implementación de su función sinc.

Para la cual el código fuente que desarrollala expresión mostrada arriba en cómo se

muestra a continuación:

%filtro pasobajo ideal función hd=pasobajo(wc,M); % hd = respuesta al impulso delfiltro ideal 0-(M-1) % wc = frecuencia de corte enradianes/s % M = longitud del filtro ideal alpha=(M-1)/2;

n=[0:1:(M-1)]; m = n-alpha+eps; hd=sin(wc*m)./(pi*m);

Con la resta de la respuesta de este código

podemos implementar nuestro filtro

pasabanda que es la respuesta al impulso

ideal de un filtro paso bajo.

0 f (Hz)

|H(f)|

Wstop1

Wpass

Wstop2

|F

pass1

|F

pass2

|F

stop1

|F

stop2Fs/2



freqz_modificado.m

Creada para obtener la magnitud de la

respuesta en frecuencia, su angulo de fase y

la magnitud en dB de la misma. Cabe

mencionar que esta función obtiene la

respuesta en frecuencia compleja de la

respuesta al impulso de un filtro paso bajo

ideal.

%funsion freqz modificado function [db,mag,pha,w]=freqz_modificado(b,a); % db = magnitud relativa en dBsimulada sobre 0-pi. % mag = magnitud absoluta simuladasobre 0-pi. % pha = respuesta de fase enradianes de 0-pi. % w = 501 muestras en frecuenciaentre 0-pi. % b = coeficientes del polinomiodel numerador H(z).

% a = coeficientes del polinomiodel denominador H(z) para un filtrofir [a]=1. [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole')%respuesta en frecuencia compleja. H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))'; mag=abs(H); db=20*log((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H);

los vectores de H y w están arreglados para

que operen de 0-pi en frecuencia angular.

Estas dos funciones anteriores son llamadas

por el programa pasabanda que se detalla a

continuación.

pasabanda.m

Este es el programa principal que llama a las

demás funciones anteriormente creadas.Este archivo además contiene todos los

parámetros de diseño necesarios del filtro a

implementar así como la señal que va ser

filtrada por este.

El código resultante es el siguiente.

%FILTRO PASO BANDA TIPO BARTLETT %Generación de la señal TC másruido fm =3*1600; fp1=1000; fp2=1500;

fc1=950; fc2=1550; fcentral=(fp1+fp2)/2; N = 1024; %Total de muestras t = 0:1/fm:(N-1)/fm; x =sin(2*pi*fcentral*t)+sin(2*pi*fc1*t)+sin(2*pi*fc2*t); %Ruido %Conversion TC a TD fcentraln = fcentral/fm;fc1n=fc1/fm; fc2n=fc2/fm; n = t*fm; xn =sin(2*pi*fcentraln*n)+sin(2*pi*fc1n

*n)+sin(2*pi*fc2n*n); %Ruido %Diseño del filtro FIR pasabanda fs1=900; fp1=1000; fp2=1500; fs2=1600; fmax=fs2; fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo %las frecuencias angularesnormalizadas a la frecuencia demuestreo. % w=2*pi*f, entonces al normalizartenemos. ws1=2*pi*fs1/fm; %frecuencia destop1 wp1=2*pi*fp1/fm; %frecuencia de

paso1 wp2=2*pi*fp2/fm; %frecuencia depaso2 ws2=2*pi*fs2/fm; %frecuencia destop2 banda_tr=min((wp1-ws1),(ws2-wp2)); M=ceil(6.1*pi/banda_tr)+1; n=[0:1:M-1]; wc1=(ws1+wp1)/2; wc2=(wp2+ws2)/2;



hd=pasobajo(wc2,M)-pasobajo(wc1,M);% respuesta al impulso ideal ventana=(bartlett(M))'; h= hd.*ventana;% respuesta al impulso real b=h; %para nuestro caso b==h para elcaso del filtro FIR y [a]=1. [db,mag,pha,w]=freqz_modificado(h,[1]); %respuesta del filtro a la señal deentrada. %y = conv(b,xn); %[HH,ww]=freqz(y,1); %plot(ww/pi,abs(HH)); %graficando los resultados subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('Respuesta al Impulso ideal') axis([0 M-1 -0.40.5]);xlabel('x[n]');ylabel('hd[n]'

) subplot(2,2,2);stem(n,ventana);title('Ventana Bartlett') axis([0 M-1 01.1]);xlabel('x[n]');ylabel('w[n]') subplot(2,2,3);stem(n,h);title('Respuesta al Impulso real') axis([0 M-1 -0.40.5]);xlabel('x[n]');ylabel('h[n]') subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('Magnitu Respuesta en frecuencia endB');grid; axis([0 1 -200

10]);xlabel('Frecuencia en unidadesde pi');ylabel('[dB]') legend('wc1=0.39 and wc2=0.64') %Pone una leyenda

Donde para encontrar el valor de M sedispuso de la siguiente tabla para el diseño

de filtros por medio de ventanas.

El resultado obtenido al ejecutar el código

fue el siguiente:

Con M = 148

La banda de transición es igual a (6.1*pi)/M



Esta es la grafica de respuesta en frecuencia

en magnitud de dB. En donde se observa

que antes de wc1 y después de wc2 el filtro

atenúa su magnitud, que es lo que se andaba

buscando. Y dentro de la frecuencia de paso

deja pasar las señales.

La respuesta del filtro al introducir una señal

es tal como se muestra en la grafica inferior

La cual nos dice que para una señal que este

dentro de la banda de paso, esta no sufre

atenuación, y para señales interferentes e

iguales en frecuencia a la de corte y con un

mismo valor en amplitud que la señal

fundamenta o frecuencia de banda media,

estas se atenúan hasta caer en un 30%

aproximadamente de la amplitud de la señal

fundamental.

Características de la señal introducida:

%señal fundamental.xn = sin(2*pi*fcentraln*n)%ruido a las frecuencias de corte.+sin(2*pi*fc1n*n)+sin(2*pi*fc2n*n)%A estas frecuencias la señal seatenúa en 30% de la amplitud de laseñal fundamental.

CONCLUSIONES

♦ Para diseñar un filtro, primero partimos de la respuesta en frecuencia de un filtroideal paso bajo.

♦ La respuesta al impulso de un filtro ideal paso bajo es una sinc infinita.

♦ Para crear un filtro FIR tenemos que truncar la respuesta al impulsó queequivale a enventanar la sinc.

BIBLIOGRAFÍA:

- Tratamiento digital de la Seña usando MATLAB V4, Proakis.

-Documento ITQ, Martínez Barrera.

-Señales : Openhim

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

400

450

frecuencia angular en unidades de pi

Y ( e j w )

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