Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga. Ayacucho, Per, 2010

DISEO EN PARCELAS DIVIDIDASEste es un diseo experimental combinado que resulta til cuando al estudiar simultneamente varios factores, alguno o algunos de ellos deben ser aplicados sobre unidades experimentales relativamente grandes, pudindose aplicar el otro o los otros en unidades experimentales menores, dentro de las unidades mayores. El caso ms sencillo es aqul en el que se tienen slo dos factores, asignando los niveles de uno de ellos a las unidades mayores y los niveles del otro a las subunidades. A las unidades experimentales mayores suele llamrseles parcelas grandes o parcelas principales y a las unidades experimentales menores se le llama subparcelas o subunidades. Se debe notar que adems de que los niveles de los diferentes factores son asignados a unidades experimentales de diferentes tamaos, est implcito tambin un nmero diferente de repeticiones. El nmero de repeticiones para el factor asignado a las subunidades es (ab), siendo a el nmero de repeticiones del factor asignado a las unidades principales y a su nmero de niveles. El factor correspondiente a las parcelas principales puede asignarse a stas utilizando cualquiera de los esquemas de aleatorizacin bsicos: Completamente al Azar, en Bloques al Azar o en Cuadro Latino. El factor correspondiente a las subparcelas se asigna al azar dentro de cada parcela principal; en tal sentido, las parcelas principales son anlogas a bloques, solo que por asignarse a stas los niveles de un efecto jo y por existir repeticiones de las mismas, es posible evaluar tanto los efectos principales del factor asignado a las mismas como su posible interaccin con el otro factor. En adelante nos concentraremos en el caso ms sencillo de un Diseo en Parcelas Divididas, es decir aquel con slo dos factores. Todos los resultados obtenidos son generalizables a casos ms complejos en los que los tratamientos asignados a las unidades principales, a las subunidades o a ambas estn comformados a su vez por las combinaciones de los niveles de dos o ms factores. Supngase que se quiere realizar un experimento que involucre dos factores: el primero con tres niveles y el segundo con dos, as: El factor B con 3 niveles b1 , b2 , b3 y el factor C con 2 niveles c1 , c2 respectivamente. Se muestran a continuacin posibles esquemas de aleatorizacin considerando los diseos ms comunes (Completamente Aleatorizado, Bloques Completamente Aleatorizados y Cuadrados Latinos), suponiendo que ambos factores tienen igual importancia relativa y que se desean evaluar tanto sus efectos principales como su posible interaccin, es decir, descartando la opcin de tomar alguno de stos como factor de bloqueo. Para facilitar la ilustracin de los posibles esquemas de aleatorizacin, se considerarn slo dos repeticiones, excepto donde el diseo exige tantas repeticiones como tratamientos (Cuadro Latino).

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Cuadro 1: Diseo Completamente al Azarb2 c2 b1 c1 b3 c1 b2 c1 b1 c2 b3 c2 b1 c1 b3 c1 b2 c2 b2 c1 b1 c2 b3 c2

Cuadro 2: Diseo en Bloques Completos al Azar Bloque I Bloque IIb1 c2 b3 c1 b2 c2 b1 c1 b2 c1 b3 c2 b1 c1 b3 c2 b1 c2 b2 c2 b3 c1 b2 c1

Cuadro 3: Diseo Cuadro Latinob1 c1 b3 c2 b2 c1 b3 c1 b2 c2 b1 c2 b2 c1 b2 c2 b3 c2 b1 c1 b1 c2 b3 c1 b3 c2 b1 c2 b2 c2 b2 c1 b3 c1 b1 c1 b2 c2 b3 c1 b1 c2 b3 c2 b1 c1 b2 c1 b1 c2 b1 c1 b3 c1 b2 c2 b2 c1 b3 c2 b3 c1 b2 c1 b1 c1 b1 c2 b3 c2 b2 c2

Es importante aclarar que la igual importancia relativa entre los dos factores a la que se hace referencia anteriormente tiene que ver bsicamente con el hecho de que ninguno de stos se tome como factor de bloqueo. Hay que anotar, sin embargo, que slo bajo los tres primeros esquemas de aleatorizacin, los factores son tratados de la misma manera, es decir que son asignados a unidades del mismo tamao y cuentan con el mismo nmero de repeticiones. Esta situacin es diferente en el Diseo en Parcelas Divididas, pues dado que el factor asignado a las subparcelas cuenta con mayor nmero de repeticiones, sus efectos son estimados con mayor precisin. CUANDO SE PUEDE USAR EL DISEO EN PARCELAS DIVIDIDAS. Se recomienda el uso del diseo en los siguientes casos: 1. Cuando uno de los factores, por su naturaleza, exige parcelas relativamente grandes, por ejemplo, sistemas de labranza, de irrigacin, distancias entre surcos, niveles de luz o de temperatura; mientras que el otro factor permite su aplicacin sobre unidades experimentales ms pequeas como variedades, distancia entre plantas, dosis de fertilizantes, etc. 2

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Cuadro 4: Diseo en Parcelas Divididas con el factor A asignado a las parcelas principales, distribuido completamente al azar.c1 c2

b| 3 b| 1

c2 c1

c2 c1

b| 1 b| 2

c1 c2

c2 c1

b| 2 b| 3

c1 c2

Cuadro 5: Diseo en Parcelas Divididas con el factor A asignado a las parcelas principales, distribuido en Bloques Completos al Azar.c1 c2 c Bloque II b3 1 c2

Bloque I

b2

c2 c1 c b1 2 c1 b3

c1 c2 c b2 1 c2 b1

2. Cuando los niveles de un factor requieren de gran cantidad de material experimental por U.E. frente a otros factores. Como ejemplo podemos tener las siguientes situaciones: uso de riego, mtodos de aplicacin de fertilizantes, etc., seran ms factibles usarlos como parcela principal que como subparcela. 3. Cuando se desea incorporar algn factor adicional, y as el alcance de la investigacin sera mayor, como ejemplo de esta situacin, si se desea incorporar ciertos fungicidas, para incrementar el alcance de la investigacin se puede proponer variedades que presenten diversos tipos de resistencia a las enfermedades. En este caso el uso de variedades como parcela principal dara ms proyeccin al experimento. 4. Tiene gran utilidad cuando se desea que ciertos factores sean medidos con mayor precisin que otros, en este caso se elige como subparcelas los factores que se desea estudiar con mayor precisin. MODELO DE UN DISEO EN PARCELAS DIVIDIDAS

Para el caso de unidades arregladas en bloques completamente al azar i = 1, 2, . . . , a = + i + j + ( )ij + k + ( )ik + ()jk + ( )ijk ; j = 1, 2, . . . , b k = 1, 2, . . . , c

yijk

yijk : Efecto (variable de respuesta) en el i-simo bloque (factor A) de la j-sima parcela completa (factor B ) y k-sima subparcela (factor C ). : Efecto medio verdadero de la variable de respuesta. i , j y ( )ij representan la parcela completa y corresponden, respectivamente, a los bloques (factorA), los tratamientos principales (factorB ) y el error de la parcela completa (AB ), mientras que k , ( )ik , ()jk y ( )ijk representan a la subparcela y corresponden, respectivamente, al tratamiento de la subparcela (factor C ), a las interacciones AC

Donde:

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y BC , y el error de la subparcela. Ntese que el error de la parcela completa corresponde a la interaccin AB , y el error de la subparcela es la interaccin de los tres factores ABC . La suma de cuadrados de estos factores se calcula como un anlisis de varianza de tres factores sin rplicas.

Las hiptesis a probara. Para el tratamiento principal o parcela completa (factor B ) H0 : j = 0, para todo j = 1, b H1 : j = 0, para algn j = 1, b b. Para el tratamiento de la subparcela (factor C ) H0 : k = 0, para todo k = 1, c H1 : k = 0, para algn k = 1, c c. Para las interacciones entre las parcelas completas y subparcelas BC H0 : ()jk = 0, para todo j = 1, b, k = 1, c H1 : ()jk = 0, para algn j = 1, b, k = 1, c

Anlisis de VarianzaCuadro 6: ANVA para el diseo en parcelas divididas F.V. G.L. SC Bloques (A) a1 SCA Parcela completa (B ) b1 SCB Error AB (parc. compl.) (a1)(b1) SCEAB Subpacela (C ) c1 SCC Interaccin (AC ) (a1)(c1) SCAC Interaccin (BC ) (b1)(c1) SCBC Error ABC (subparcelas) (b1)(a1)(c1) SCEABC Total abc 1 SCT Donde: Para la parcela completaY2 1 2 SCA = yi.. ... bc i=1 abca

CMCMA CMB CM EAB CMC CMAC CMBC CM EABC

FCMB /CM EAB CMC /CM EABC CMBC /CM EABC

Y... =

a b c i=1 j=1 k=1

yijk

Y2 1 2 y.j. ... SCB = ac j=1 abcb

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SCEAB =

1 2 1 2 1 2 Y2 yij. yi.. y.j. + ... c i=1 j=1 bc i=1 ac j=1 abca b a b

Para la subparcela1 2 Y2 SCC = y..k ... ab k=1 abcc

SCAC =

1 2 Y2 yi.k ... SCA SCC b i=1 k=1 abca c

SCBC =

1 2 Y2 y.jk ... SCB SCC a j=1 k=1 abcb c a b c i=1 j=1 k=1 2 Y... abc

SCEABC = SCT SCC SCAC SCBC SCA SCB SCEAB SCT =2 yijk

Ejemplo 1

Considere un fabricante de papel que est interesado en tres mtodos diferen-

tes para preparar la pulpa y en cuatro diferentes temperaturas de coccin. Desea estudiar el efecto que estos dos factores tienen sobre la resistencia a la tensin del papel. Cada rplica del experimento factorial requiere 12 observaciones y el experimentador a decidido utilizar tres rplicas. Sin embargo, en la planta piloto solo se puede llevar a cabo 12 ensayos diarios por lo que debe realizar una rplica diaria durante tres das, y considerar los das o las rplicas como bloques. Los datos aparecen en la siguiente tabla:

Cuadro 7: Datos de resistencia a la tensin del papel Mtodo de preparacin de la pulpa Temperatura 200 225 250 275 Las hiptesis seran: a. Para el tratamiento principal o parcela completa: mtodo de preparacin (factor B ) H0 : j = 0, para todo j = 1, 3 H1 : j = 0, para algn j = 1, 3 b. Para el tratamiento de la subparcela: temperatura (factor C ) H0 : k = 0, para todo k = 1, 4 H1 : k = 0, para algn k = 1, 4 5 Bloque I 1 2 3 30 35 37 36 34 41 38 42 29 26 33 36 Bloque II 1 2 3 28 32 40 41 31 36 42 40 31 30 32 40 Bloque III 1 2 3 31 37 41 40 35 40 39 44 32 34 39 45

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c. Para las interacciones entre el mtodo de preparacin y la temperatura BC H0 : ()jk = 0, para todo j = 1, 3, k = 1, 4 H1 : ()jk = 0, para algn j = 1, 3, k = 1, 4 El ANVA se muestra en la siguiente tabla: Cuadro 8: ANVA para el ejemplo de la resistencia del papel F.V. G.L. SC CM F P-V Bloques(A) 2 77,5556 38,7778 Mtodo de preparacin(B ) 2 128,3889 64,1944 7, 0781 0,0485 * Error de la parc. compl. (AB ) 4 36,2778 9,0694 Temperatura (C ) 3 434,0833 144,6944 34, 1574 3.7147E-06 * Interaccin (AC ) 6 20,6667 3,4444 Interaccin (BC ) 6 75,1667 12,5278 2, 9574 0.05197 No Error de la subparcela (ABC ) 12 50,8333 4,2361 Total 35 822,9722 Para el tratamiento principal Mtodo de preparacin (factor B ) tenemos que hay suciente evidencia para decir que no hay homogeneidad entre los mtodos de preparacin. Para la temperatura (factor C ) obtuvimos que hay evidencia signicativa para decir que hay diferencias en este factor. Para la interaccin entre el mtodo de preparacin y la temperatura no hay diferencia signicativa entre estos tratamientos. As podemos ver que el mtodo de preparacin y la temperatura tienen inuencia en la resistencia del papel. Tambin podemos observar que el CM EABC = 4, 2361 es menor comparado con el CM EAB = 9, 0694; esto es porque frecuentemente las sub parcelas son mas homogneas

que las parcela completas, por lo cual es ms recomendable ubicar en las subparcelas el factor ms importante.

Referencias[1] Cochran, William G. & Cox, Gertrude M. (1990).

Trillas, Mxico, pginas 329 - 352.

Diseos experimentales

. Edit.

[2] Montgomery, Douglas C. (1991).

rial Iberoamericana, Mxico, pginas 419 - 423.

Diseo y Anlisis de Experimentos

. Grupo Edito-

Efran Ziga Tapahuasco UNSCH 6