Diseños estadisticos

8/2/2019 Diseos estadisticos

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Captulo 3

Diseo Estadstico de ExperimentosUna prueba o serie de pruebas en las cuales se introducen cambios deli-berados en las variables de entrada que forman el proceso, de manera quesea posible observar e identificar las causas de los cambios en la variablede salida

REALIZAR UN EXPERIMENTO

Aplicar los distintos niveles, o combinaciones de niveles cuando hay pre-sentes ms de un factor, a distintas unidades experimentales y se observael valor de la variable respuesta.

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26 Diseo Estadstico de Experimentos

Unidades experimentales: (personas, elementos fsicos, )

Factor: Variable controlable por el experimentador (Niveles del factor otratamientos)

Variable de inters: Variable Respuesta

Error experimental o perturbacin: Variables no controlables por el expe-rimentador

Tamao del experimento: nmero total de observaciones.

OBJETIVO

Estudiar el efecto que sobre la Variable Respuesta tiene un conjunto deotras variables que reciben el nombre de Factores

ETAPAS

1) Disear un experimento con una estructura lo ms adecuada posible a lasituacin que se desea estudiar y a los medios disponibles.

a) Planteamiento general del problema y de los objetivos que se persiguen.

b) Seleccin y definicin de la variable respuesta.

c) Eleccin de los factores y niveles que han de intervenir en el experi-mento.

d) Determinacin del conjunto de unidades experimentales incluidas enel estudio.

e) Determinacin de los procedimientos por los cuales los tratamientosse asignan a las unidades experimentales.

2) Realizar la experimentacin de acuerdo con el plan previamente establecidoen el diseo.

3) Analizar estadsticamente los resultados obtenidos y comprobar si las hipte-sis establecidas y el modelo de diseo elegido se adecuan a la situacinestudiada.

4) Realizar las modificaciones oportunas para ampliar o modificar el diseo.

5) Obtener las conclusiones apropiadas.


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Diseo Estadstico de Experimentos 27

PRINCIPIOS BSICOSDEL DISEO DE EXPERIMENTOS

Aleatorizacin: La asignacin de las unidades experimentales a los distin-tos tratamientos y el orden en el que se realizan los ensayos se determinanal azar.

Replicacin.

Homogeneidad del material experimental.

DISEO COMPLETAMENTEALEATORIZADO

Una compaa algodonera que emplea diversos fertilizantes desea compro-bar si stos tienen efectos diferentes sobre el rendimiento de la semilla de

algodn. Una profesora de estadstica que imparte en grupos experimentales de

alumnos, en los que explica la misma materia pero siguiendo distintosmtodos de enseanza, desea comprobar si el mtodo de enseanza utiliza-do influye en las calificaciones de los alumnos.

Una industria qumica, que obtiene un determinado producto, est intere-sada en comprobar si los cambios de temperatura influyen en la cantidadde producto obtenido.

F INTERS: Un solo factor con varios niveles o tratamientos

F TCNICA ESTADSTICA: Anlisis de la Varianza de un factor o unava

F OBJETIVO: Comparar ente s varios grupos o tratamientos

F MTODO: Descomposicin de la variabilidad total de un experimentoen componentes independientes


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OTROS FACTORES QUE INFLUYEN

Pequeas variaciones en la cantidad de riego, en la pureza de los insecticidassuministrados, etc.

El nivel cultural del alumno, el grado de atencin y de inters del alumno,etc.

La pureza de la materia prima, la habilidad de los operarios, etc.

Tericamente es posible dividir esta variabilidad en dos partes, la origina-da por el factor de inters y la producida por los restantes factores queentran en juego, conocidos o no, controlables o no, que recibe el nombrede perturbacin o error experimental.

MODELO ESTADSTICO

yij = + i + uij , i = 1, , I; j = 1, ni

yij : Variable aleatoria que representa la observacin j-sima del i-simotratamiento (nivel i-simo del factor).

: Efecto constante, comn a todos los niveles. Media global.

i : Efecto del tratamiento i-simo. Es la parte de yij debida a la accin delnivel i-simo, que ser comn a todos los elementos sometidos a ese niveldel factor.

uij : Variables aleatorias que engloban un conjunto de factores, cada unode los cuales influye en la respuesta slo en pequea magnitud pero quede forma conjunta debe tenerse en cuenta. Deben verificar las siguientescondiciones:

F La media sea cero: E [uij] = 0 i , j .

F La varianza sea constante: Var [uij] = 2 i, j


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F Independientes entre s: E [uijurk] = 0 i 6= r j 6= k.

F Distribucin sea normal.

OBJETIVO

Estimar lo efectos de los tratamientos y contrastar las hiptesis

1) Todos los tratamientos producen el mismo efecto.

H0 : i = 0 , i

2) Frente a la alternativa: Al menos dos difieren significativamente entre s:H1 : i 6= 0 por lo menos para algn i

o equivalentemente

1) Todos los tratamientos tienen la misma media:H0 : 1 = = I =

2) H1

: i

6= j

por lo menos para algn par (i, j)

SITUACIONES (EFECTOS)

Modelo de efectos fijos:X

inii = 0

Modelo de efectos aleatorios

SITUACIONES (TAMAOS MUESTRALES)

Modelo equilibrado o balanceado: Todas las muestras del mismo tamao(ni = n)

Modelo no-equilibrado o no-balanceado: Los tamaos, ni, de las mues-tras son distintos.


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TABLA ANOVA

Fuentes de Variacin Sumas de Grados de Cuadrados Medios FexpCuadrados libertad

Entre grupos SCT r I 1 C MTrC MTr

CMRDentro de grupos SCR n I CMR

TOTAL SCT n 1 CMT

Aceptar H0 si Fexp F;I1,NI ; Rechazar H0 si Fexp>F;I1,NI

SCT = SCTr + SCR

1) SCT : Suma de cuadrados total

2) SCTr: Suma de cuadrados entre tratamientos

3) SCR: Suma de cuadrados dentro de los tratamientos o residual.

1) CMT : Cuadrado medio total: CMT =SCT/(N 1)

2) C MTr : Cuadrado medio entre tratamientos: CMTr =SCTr/(I 1)

3) CMR : Cuadrado medio residual: CMR = SCR/(N I)

Nota: Las expresiones de estas sumas de cuadrados estn dadas en el Apndice.

COEFICIENTE DE DETERMINACIN

R2 =SCTr

SCT

R2 : Proporcin de la variabilidad total presente en los datos que es expli-cada por el modelo de anlisis de la varianza.


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EJEMPLOS

1. Una compaa textil utiliza diversos telares para la produccin de telas.Aunque se desea que los telares sean homogneos con el objeto de producirtela de resistencia uniforme, se supone que puede existir una variacin sig-nificativa en la resistencia de la tela debida a la utilizacin de distintostelares. A su disposicin tiene 5 tipos de telares con los que realiza de-terminaciones de la resistencia de la tela. Este experimento se realiza enorden aleatorio y los resultados se muestran en la tabla siguiente

Telares Resistencia

1 51 49 50 49 51 502 56 60 56 56 573 48 50 53 44 454 47 48 49 44

5 43 43 46 47 45 46

. En este experimento, se han considerado 5 tipos de telares y se han rea-lizado 6, 5, 5, 4 y 6 determinaciones de la resistencia de tela manufacturadacon cada uno, respectivamente.

La variable de inters o variable respuesta es la resistencia de la tela.

El factor: Los telares

Niveles del factor: 5

Modelo unifactorial de efectos fijos, no-equilibrado


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2. En una determinada fbrica de galletas se desea saber si las harinas de suscuatro proveedores producen la misma viscosidad en la masa. Para ello,produce durante un da 16 masas, 4 de cada tipo de harina, y mide suviscosidad. Los resultados obtenidos son:

Proveedor A Proveedor B Proveedor C Proveedor D

98 97 99 9691 90 93 9296 95 97 95

95 96 99 98 Variable respuesta: viscosidad

Factor: Proveedor

Tratamientos: 4

Modelo unifactorial de efectos fijos equilibrado

3. Una fbrica de textiles dispone de un gran nmero de telares. En princi-pio, se supone que cada uno de ellos debe producir la misma cantidad de

tela por unidad de tiempo. Para investigar esta suposicin se seleccionanal azar cinco telares, y se mide la cantidad de tela producida en cinco oca-siones diferentes. Se obtienen los datos de la tabla adjunta. Del estudiose concluye que todos los telares tienen el mismo rendimiento?

Telares Produccin

1 14.0 14.1 14.2 14.0 14.12 13.9 13.8 13.9 14.0 14.03 14.1 14.2 14.1 14.0 13.94 13.6 13.8 14.0 13.9 13.75 13.8 13.6 13.9 13.8 14.0

Variable respuesta: cantidad de tela

Factor: Telares

Tratamientos: 5

Modelo unifactorial de efectos aleatorios equilibrado


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DIAGNOSIS Y VALIDACIN DEL MODELOHiptesis bsicas del modelo estn o no en contradiccin con los datos

observados

HIPTESIS DEL MODELO

F La media sea cero: E [uij] = 0 i , j .

F La varianza sea constante: Var [uij] = 2 ; i, j

F Independientes entre s: E [uijurk] = 0 ; i 6= r j 6= k.F Distribucin sea normal.

VERIFICACIN

ESTIMADORES DE LAS PERTURBACIONES: RESIDUOS

eij = yij byij = yij bbi = yij yi. .1) Independencia de los residuos

Grfico de los residuos en funcin del tiempo

2) Normalidad de los residuos

Histograma: Apariencia de una distribucin Normal centrada en cero

Grfico probabilstico normal (Q-Q-Plot)

3) Homocedasticidad (Varianza constante)

Residuos frente a los valores ajustados Residuos frente a ciertas variables de inters

Ambas grficas tambin se utilizan para comprobar la hiptesis deindependencia

Contrastes: Barlett, Cochran, Hartley y Levene

H0 : H0 : 21 = =

2I vs H1 :

2i 6=

2j para algn par (i, j)


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COMPARACIONES MLTIPLES

Tcnicas cuyo objeto es identificar:F Qu tratamientos son diferentes (estadsticamente) yF en cunto oscila el valor de esas diferencias.

MODELO DEEFECTOS

FIJOS

OBJETIVO FUNDAMENTAL

Comparar entre s medias de tratamientos o grupos de ellas

PROCEDIMIENTOS ANALTICOS

Comparar por parejas los efectos de I tratamientos

H0:i = j vs ; H1:i 6= j

Mtodo LSD

Mtodo de Bonferroni

Mtodo de Tukey o mtodo HSD

Mtodo de rango mltiple de Duncan

Test de Newman-Keuls

Mtodo Scheff

Mtodo de Dunnett


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DISEOS EN BLOQUES COMPLETOSALEATORIZADOS

HOMOGENEIDAD ENTRE LAS UNIDADES EXPERIMENTALES: Enla industria algodonera: las parcelas de terreno son de la misma calidad eigual superficie.

El error experimental reflejar esta variabilidad entre las parcelas de ter-reno.

El error experimental sea lo ms pequeo posible. Se debe sustraer delerror experimental la variabilidad producida por las parcelas de terreno.Para ello, el experimentador puede:

1) Considerar parcelas de terreno muy homogneas.

2) O bien, formar bloques de terreno de manera que el terreno de cada bloquesea lo ms homogneo posible y los bloques entre s sean heterogneos.

RECORDEMOS

1) En el diseo completamente aleatorizado asignbamos los tratamientos alazar a las parcelas sin restriccin alguna.

2) En el diseo en bloques aleatorizados primero agrupamos las parcelas enbloques y a continuacin asignamos los tratamientos a las parcelas en cadabloque.

SUPONGAMOS

Se realiza una observacin por tratamiento en cada bloque: N = IJ obser-vaciones.

La asignacin de los tratamientos a las unidades experimentales en cadabloque se determina aleatoriamente.

Los tratamientos y los bloques son factores de efectos fijos.

No hay interaccin entre los tratamientos y los bloques: (El efecto de unfactor no depende del nivel del otro factor): Efectos de los factores sonaditivos.


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Diseo en bloques aleatorizado

Bloques

Tratamientos 1 2 j J

1 y11 y12 y1j y1J2 y21 y22 y2j y2J...

......

......

......

i yi1 yi2 yij yiJ...

......

......

......

I yI1 yI2 yIj yIJ

MODELO ESTADSTICO

yij = + i + j + uij i = 1, 2, , I ; j = 1, 2, , J

yij : La variable aleatoria que representa la observacin (i)-sima del bloque(j)-simo.

es un efecto constante. Media global.

i : El efecto producido por el nivel i-simo del factor principal.P

i i = 0.

j : El efecto producido por el nivel j-simo del factor secundario o factorde bloque. Se supone que

Pj j = 0.

uij : Variables aleatorias independientes con distribucin N(0, ).

DOS FACTORES

1) Factor tratamiento factor principal2) Factor bloque factor secundario

Inters fundamentalmente est centrado en el primero y el factor bloque seintroduce en el modelo para eliminar su influencia en la variable respuesta.


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OBJETIVO

Estimar los efectos de los tratamientos y de los bloques y contrastar lahiptesis:

F H0 : i = 0 i vs H1 : i 6= 0 por lo menos para algn i

F H0 : j = 0 j vs H1 : j 6= 0 por lo menos para algnj

TABLA ANOVATabla ANOVA. Modelo de Bloques Aleatorizados

F. V. S.C. de G. L. C. M. Fexp

Entre tratami. SCT r I 1 C MTr C MTr/C MR

Entre bloques SCBl J 1 CMBl CMBl/CMR

Residual SC R (I 1)(J 1) CMR

TOTAL SCT IJ 1 CMT

SCT = SCTr + SCBl + SCR

1) SCT : Suma total de cuadrados.

2) SCTr: Suma de cuadrados entre tratamientos.

3) SCBl: Suma de cuadrados entre bloques

4) SCR: Suma de cuadrados del error o residual.

1) CMT : Cuadrado medio total : CMT = SCT/(N 1)

2) C MTr : Cuadrado medio entre tratamientos: C MTr =SCTr/(I 1)

3) CMBl : Cuadrado medio entre bloques: CMBl =SCBl/(J 1)

4) CMR : Cuadrado medio residual: CMR =SCR/(I 1)(J 1)

Nota: Las expresiones de estas sumas de cuadrados estn dadas en el Apndice.


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ANLISIS ESTADSTICO

Contraste de inters: H0 1 = = I = 0

F =CMTr

CMR F(I1),(I1)(J1)

Rechazar H0 a nivel si F(exp) > F;I1,(I1)(J1)

Tambin es interesante contrastar: H0 1 = = J = 0

F =CMBl

CMR F(J1),(I1)(J1)

Rechazar H0 a nivel si F(exp) > F;J1,(I1)(J1)

EJEMPLO

Una industria desea comprobar el efecto que tienen cinco productos qumicossobre la resistencia de un tipo particular de fibra. Como tambin puede influirla mquina empleada en la fabricacin, decide utilizar un diseo en bloquesaleatorizados, considerando las distintas mquinas como bloques. La industriadispone de 4 mquinas a las que asigna los 5 productos qumicos en ordenaleatorio. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta.

Tipos de mquinasProducto qumico A B C D

1 87 86 88 83

2 85 87 95 853 90 92 95 904 89 97 98 885 99 96 91 90

Variable respuesta: Resistencia de la fibraFactor principal: Producto qumico. (Niveles: 5)Factor secundario o factor bloque: Mquinas. (Niveles: 4)Diseo en bloques completos al azar


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APNDICE

DISEO COMPLETAMENTEALEATORIZADO

SCT =

I

Xi=1

ni

Xj=1

y2ij y

2

..N SCTr =

I

Xi=1

y2

i.ni y

2

..N

SCR = SCT SCTr

DISEO EN BLOQUES COMPLETOSALEATORIZADOS

SCTr =IX

i=1

y2i.J

y2..IJ

SCBl =

JXj=1

y2.jI

y2..IJ

SC T =IX

i=1

JXj=1

y2ij y2..IJ

SCR = SCT SCTr SCBl

Bibliografa utilizada:

F Lara Porras A.M. (2001). Diseo estadstico de experimentos, anlisis de la varianzay temas relacionados: tratamiento informtico mediante SPSS. Ed.: Proyecto Sur.

Temporalizacin: Dos horas

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