PROBLEMAS CON EL ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS

1.- ANGULO ENTRE RECTAS.El ángulo entre dos rectas es el que se considera a partir de una recta L1 y en sentido contrario al

de las manecillas del reloj hasta otra recta L2, a la recta L1 se le llama recta inicial y a L2 recta final.

2.- CALCULO DEL ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS.El cálculo del ángulo de intersección entre dos rectas se realiza mediante la fórmula:

en donde:

= ángulo de intersecciónm2 = pendiente de la recta final L2

m1 = pendiente de la recta inicial L1

3.- DEDUCCIÓN DE LA FORMULA:

En la figura:

EJEMPLOS:

1.- Encontrar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(-2, 1), B (3, 4) y C (5, -2)

; ;

Comprobación:

A + B + C = 180º ; 54º 10’ + 77º 28’ + 48º 21’ = 179º 59’

2.- Sabiendo que el ángulo formado por L1 y L2 es de 45º y la pendiente de m1 de L1 es , encontrar la

pendiente m2 de L2.

; ; m2 = 5

EJERCICIOS X

1) Encontrar los ángulos interiores del triángulo que tiene como vértices los puntos A ( -3,-2 ), B ( 2,5 ) y C (4,2 ). Comprobar los resultados.

2) Demostrar ( mediante longitudes ) que los vértices proporcionados en cada inciso son de un triángulo isósceles. Calcula el valor de sus ángulos interiores. a) A ( 2,4 ); B ( 5,1 ) y C (6,5 )

b) A ( 3,2 ); B ( 5,-4 ) y C (1,-2 )c) A ( 1,5 ); B ( 5,-1 ) y C (9,6 )

3) Encontrar los ángulos interiores del cuadrilátero cuyos vértices son: A ( 2,5 ), B ( 7,3 ), C ( 6,1 ) y D ( 0,0 ). Comprobar los resultados.

4) Dos rectas forman un ángulo de 1350 , sabiendo que la recta final tiene una pendiente de –3; determinar la pendiente de la recta inicial.

5) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 450 , la recta inicial pasa por los puntos ( -2, 1 ) y ( 9,7 ) y la recta final pasa por el punto ( 3, 9 ) y por el punto A que tiene como abscisa –2. Determinar la ordenada de A.

6) El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos ( - 4, 5 ) y ( 3, y ) con la que pasa por los puntos ( -2,4 ) y ( 9,1 ) es de 1350 ; calcular el valor de “y”.

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

1.- PARALELISMO.Dos rectas son paralelas si el ángulo de intersección formado por ellas es de 0º o de 180º.

2.- PERPENDICULARIDAD.Dos rectas son perpendiculares si el ángulo de intersección por ellas formado es de 90º.

3.- CONDICIONES DE PARALELISMO.Sabiendo que tan 0º = tan 180º = 0; y, sustituyendo el valor de O en la fórmula para encontrar el

ángulo de intersección entre dos rectas tenemos:

Para que la operación del segundo miembro sea cero, m1 y m2 deben ser iguales.

Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales. m1= m2

4.- CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD.Sabiendo que cot 90º = 0 y valiéndose de los conocimientos ya adquiridos, podemos escribir la

fórmula para calcular el ángulo de intersección entre dos rectas de la siguiente manera:

Para que cot = cot 90º = 0 se debe de anular el numerador, es decir: 1 + m 2 m1 = 0 de

donde m2 m1 = -1 o también m2 =

Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una es el inverso y de signo contrario de la otra.

EJEMPLOS:

1.- Demuestre que los puntos A(2, 1), B(7, 4), C(2, 6) y D(-3, 3) son los vértices de un paralelogramo.

Los lados AB y CD; BC y AD son paralelos puesto que tienen la misma pendiente.

2.- Dados los puntos A(6, 5), B(1, 3) y C(5, -7), demostrar por medio de la pendiente que son vértices de un triángulo rectángulo.

mAB es inversa y de signo contrario a mBC:

Los lados AB y BC son perpendiculares.

5.- PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y COEFICIENTES DE ECUACIONES DADAS.Conocida la forma general de la recta que es A x + B y + C = 0 y sabiendo que en una recta la

pendiente m = - , la condición de paralelismo entre dos rectas es que el cociente de los coeficientes

de x y y de las mismas sea igual en valor y signo.

A1x1 + B1y1+ C1 = 0; A2x2 + B2y2 + C2 = 0;

Para que dos rectas sean perpendiculares debe cumplirse la condición de que el cociente de los coeficientes de x y y en una sea el recíproco y de signo contrario del cociente de los coeficientes de x y

y de la otra recta, es decir: = m1 y m2 = -

EJEMPLOS:

1.- Demostrar que las rectas (1) 3 x – 5 y = 0 y (2) 3 x – 5 y + 24 = 0 son paralelas.

por ser m1 = m2; las rectas (1) y (2) son paralelas.

2.- Demostrar que las rectas (1) 2 x – 5 y + 13 = 0 y (2) 10 x + 4 y – 22 = 0 son perpendiculares.

por resultar m1 m2 = - 1; las rectas (1) y (2) son perpendiculares.

EJERCICIOS XI

1) Demostrar que los siguientes puntos son vértices de un triangulo rectángulo:2) A(3,2); B(5,-4) y C(1,-2)3) A(2,4); B(4,8) y C(6,2)4) A(3,4); B(-2,-1) y C(4,1)

2) Encontrar la ecuación de la l1 recta que pasa por (-3,1) y es paralela a la recta l2

que pasa por (0,-2) y (5,2)

3) Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son: l1: 3 x – 8 y + 36 = 0, l2: x + y – 10 = 0, l3: 3 x – 8 y – 19 = 0 y l4: x + y + 1 = 0. Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo.

4) La ecuación de una recta es: 5 x – 7 y + 11 = 0, encontrar la ecuación de la recta que es:a) Perpendicular a ella y pasa por (4,2)b) Paralela a ella y pasa por (4,2)

5) Demostrar que las rectas: l1: 5 x – y – 6 = 0, l2: x + 5 y – 22 = 0, l3: 5 x – y – 32 = 0 y l4: x + 5 y + 4 = 0 son los lados de un cuadrilátero. Aplicar tanto los conceptos de paralelismo como de perpendicularidad.

6) Demostrar que las rectas l1: 2 x – y – 1 = 0, l2: x – 8 y + 37 = 0 , l3: 2 x – y – 16 = 0 y l4: x – 8 y + 7 = 0 forman un paralelogramo. Verificar si el paralelogramo es cuadrado o rectángulo.

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

FAMILIAS DE RECTAS PERPENDICULARES O PARALELAS

1.- FAMILIA DE RECTAS. Una familia de rectas es el conjunto de líneas que satisfacen solamente una de las dos

condiciones necesarias para determinar una recta específica.

2.- RECTAS CON UNA MISMA PENDIENTE (K = b). La familia de rectas que tienen una misma pendiente, proporcionan un número infinito de rectas

paralelas que se diferencian únicamente por el segmento de recta que se determina sobre el eje “y”. La ecuación de la recta con pendiente y ordenada al origen es: y = mx +b

La familia de rectas paralelas se expresan por la ecuación: y = mx +K

en donde K es una constante arbitraria que, en este caso, representa la ordenada en el origen. A K por su importancia se le llama parámetro de la familia.

EJEMPLO:

1.- La pendiente de una familia de rectas es m = 1: escribir y graficar las ecuaciones para K = 1, K = 3, K = -2

3.- RECTAS CON UNA MISMA PENDIENTE PERPENDICULARES A OTRA RECTA. La pendiente de la familia de perpendiculares será una condición proporcionada (recíproca y de

signo contrario a la de la recta dada) y su parámetro K puede ser la ordenada en el origen a cualquier otro punto del plano, no existe ningún Parámetro M que de una recta vertical.

EJEMPLO:

1.- Encontrar la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a la recta 3 x – 2 y – 5 = 0

m de la recta dada es = ; m de la familia es =

A x1 + B y1 + C = 0 3 x – 2 y – 5 = 0 3 x – 2 y = 5A x2 + B y2 + C = 0 2 x + 3 y + C = 0 2 x + 3 y = C

La ecuación buscada (familia de rectas perpendiculares) es:

2 x + 3 y = C o

gráfica para K = 0, K = 2, K = -2

3x-2y+5=0; si x = 0, y =

si y = 0, x =

EJERCICIOS XII

1) Escribir la ecuación de la familia de rectas que se pide en cada caso.

a) Rectas paralelas a 4 x – 7 y = 0b) Rectas paralelas a la recta que pasa por ( 5,3 ) y ( -2,2 ) c) Rectas perpendiculares a la recta que pasa por ( -5,3 ) y ( -2,2 )d) Rectas perpendiculares a la recta con abscisa en el origen 2 y ordenada en el origen 5e) Rectas paralelas a la recta que pasa por ( 2,6 ) y tiene como pendiente 3f) Rectas perpendiculares a 3 x – 4 y = 5g) Rectas paralelas a la recta que tiene como pendiente 2 y su ordenada en el origen es 4

2) En cada uno de los casos anteriores asigna tres valores al parámetro y haz la gráfica correspondiente.

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

1.- DISTANCIA DIRIGIDA.La distancia dirigida de un punto a una recta se considera de signo positivo o negativo según sea

la posición del punto con respecto a la recta.

2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA VERTICAL O A UNA RECTA HORIZONTAL.Es el caso más sencillo y queda explicado con la figura y consideraciones siguientes:

La recta L esta a una distancia “a” del eje “y” y P1 (x1, y1) es un punto fuera de la recta. El pie de la perpendicular de P1 a L esta en P ( a, y1 )

Distancia de P a P1 es:

PP1 = x1 – a positiva si x1 > a

Si estuviera a la izquierda de L entonces:

PP1 = x1 – a negativa si x1 < aAnálogamente para una recta horizontal L, un punto P1 (x1, y1) y un punto P (x1, b).

3.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA INCLINADA.La distancia de un punto a una recta siempre se considera en la recta que pasa por punto y es

perpendicular a la recta dada.

En la figura:

L y L1 son paralelas;

L1 pasa por (x1, y1)

La ecuación de la recta L es:

x cos + y sen – = 0

La ecuación de la recta L1 es:

x cos + y sen – (+d) = 0

El punto (x1, y1) satisface la ecuación de L1 por lo que

x1 cos + y1 sen – (+d) = 0;

despejando d tenemosd = x1 cos + y1 sen –

Cuando se trata de distancia dirigida, esta será positiva si el punto (x1, y1) y el origen están en distinto lado de L y negativa si (x1, y1) y el origen están al mismo lado de L.

4.-FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA CONSIDERANDO A , B Y C. Como generalmente una ecuación se da en la forma general, la fórmula para la distancia es:

;

5.- CALCULO DE LA DISTANCIA.La distancia de un punto a una recta dada se calcula sustituyendo las coordenadas del punto dado

en la ecuación de que se trate.

EJEMPLOS:

1.- Encontrar la distancia de 5x =12y + 26 al punto: a) P (3, -5), b) F (-4, 1)

a) La ecuación de la recta dada en la forma A x + B y + C = 0 es 5x - 12y – 26 = 0

El signo del denominador será el signo contrario al que tenga la constante C.

b)

2.- Encontrar la distancia dirigida a la recta x + 2 y = 6 al punto (2, 2)

d = 0

El punto (2, 2) se encuentra sobre la misma recta.

EJERCICIOS XIII

1) Determinar el valor de “k” para que la distancia del punto ( 2, 3 ) a la recta 8x + 15y + k = 0 sea de 5 unidades.

2) La distancia dirigida de la recta 4x - 3y + 1 = 0 al punto P ( x, y ) es 4; si la ordenada de P es 3, encontrar la abscisa ( dos soluciones ).

3) Calcular la distancia dirigida de la recta al punto señalado en cada inciso:

a) 5x – 12y + 3 = 0; ( -2,1 )b) 4x + 3y = 5; ( 2,- 5 )c) 2x + 3y - 4 = 0; ( 0,4 )

d) x + 3 = 0; (-1,-4 )e) x + 2y = 6; ( 2, 2 )f) 3x – y = 0; ( 0,8 )

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

CONOCIDAS LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS DE LOS VÉRTICES, CALCULAR EL AREA DE TRIANGULOS

1.- DEFINICIÓN

El área de un triángulo es el semiproducto de la base (b) por la altura (h).

2.- AREA DE TRIANGULOS CONCIDOS LOS VÉRTICESMediante los conocimientos adquiridos sobre la distancia entre puntos y la distancia de un punto

a una recta, a continuación se deduce la fórmula apropiada para el cálculo del área de triángulos, conocidas las coordenadas de los vértices.

En la figura, designando la altura del triángulo

en AC por “h” y por “b” la base AC y siendo

A = b h el área del triángulo, se tiene que:

AC = b =

La ecuación de la recta que pasa por A y C es:

Realizando operaciones y trasponiendo términos queda:

Utilizando la fórmula de la distancia de una recta a un punto:

;

EJEMPLO:

1.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas P1(5,7), P2(2,3) y P3(-3,4).

A =11.5 Unidades de Superficie

2.- Encontrar el área del triángulo que tiene como coordenadas de los vértices: (2, -3), (4, 2) y (-5, -2)

A =18.5 Unidades de Superficie

EJERCICIOS XIV

1) Encontrar el área de los triángulos que tienen como vértices los puntos:

a) A ( -3,4 ); B ( 6,2 ) y C ( 4,-3 )b) A ( -8,-2 ); B ( -4,-6 ) y C ( -1,5 )c) A ( 0,4 ); B ( -8,0 ) y C ( -1,-4 )

d) A ( 2,2 ); B ( -4,6 ) y C ( 4,-2 )e) A ( a , b + c ); B ( b , c + a ) y C ( c , a + b )

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

1.- CONDICION PARA CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.Las distancias entre dos rectas, necesariamente debe de calcularse sobre un segmento que sea

perpendicular a las dos rectas.

2.- CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.Para realizar este cálculo se determina un punto P (x, y) de cualquiera de las dos rectas y a

continuación se aplica la fórmula de la distancia entre punto y recta.

EJEMPLOS:

1.- Calcular la distancia entre 3 x – 4 y – 9 = 0 y 3 x – 4 y + 3 = 0

En 3 x – 4 y – 9 = 0; si x = 1;

2.- Encontrar la distancia entre x – y = 16 y 2 x – 2 y = 15

En x – y = 16; si x = 6; y = -10 P ( 6, -10 )

EJERCICIOS XV

1) Encontrar la distancia entre los pares de rectas paralelas siguientes:

a) 12 x + 5 y = 15 12 x + 5 y = 12b) 10 x + 24 y = 14 5 x + 12 y + 12 = 0c) 4 x + y – 6 = 0 12 x + 3 y = 14d) x + 2 y + 5 = 0 x + 2 y = 4e) 5 x – y = - 7 5 x – y = - 9

2) Encontrar la ecuación de la paralela a la recta 5 x + 12 y – 12 = 0 y que dista de ella 4 unidades (2 soluciones).

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

ECUACIONES DE LA BISECTRIZ DE UN ANGULO Y MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

1.- BISECTRIZ DE UN ANGULO.Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo.

2.- DEDUCCIÓN DE LA FORMULA.Valiéndose de la formula de la distancia de un punto a una recta y auxiliándose de la figura.

L y L1 son lados del ángulo;

l y l1 son bisectrices

p es un punto de las bisectrices

d1 y d2 son distancias numéricamente iguales en cada

bisectriz

En l1; d1 = d2 porque p y el origen están en lados

opuestos de L y L1

En l; d1 = -d2 porque para d2, p y el origen están del

mismo lado de la recta.

Para L: A x + B y + C = 0; Para L1: A’x + B’y + C’ = 0; Para l1, d1 = d2, o sea:

Para l2, d1 = -d2

en donde el signo del radical depende de C o B o A como se indicó con anterioridad.

EJEMPLOS:

1.- Hallar la ecuación de la bisectriz del par de ángulos formados por: x – 2 y + 1 = 0 y x + 3 y – 3 = 0

Para (x’, y’); d1=-d2

Para (x1, y1); d1= d2;

las ecuaciones buscadas son:

y

2.- En el triángulo de vértices A(-4, 1), B (- 3, 3) y C(3, -3) encontrar la bisectriz del ángulo ABC.

Ecuación del lado BC

de donde resulta: x + y = 0

Ecuación lado AB

y – 3 = 2x + 6

de donde resulta: 2x – y + 9 = 0

la ecuación de la bisectriz del ángulo ABC es:

3.- MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.Mediatriz es la línea perpendicular en su punto medio de otro segmento.

4.- CALCULO.El cálculo de la ecuación de la mediatriz de un segmento se reduce a la ecuación de un punto y

pendiente.EJEMPLO:

1.- Encontrar la ecuación de la recta mediatriz al segmento determinado por A(-2, -3) y B(4, 2).

El punto medio del segmento es:

pendiente de la perpendicular:

la ecuación de la recta con Mo y Po es:

la ecuación de la recta mediatriz es: 12 x + 10 y – 7 = 0

EJERCICIOS XVI

1) En el triangulo A(- 2, 1 ), B(4, 7 ) y C ( 6, - 3 ) encontrar las ecuaciones de la bisectrices de los ángulos interiores y demostrar que concurren en un punto.

2) Encontrar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por x – 2 y = 4 y 4 x – y = 4.

3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta 4 x – y = 4 es siempre igual al doble de la distancia a x – 2 y = 4.

4) Encontrar la ecuación de las mediatrices a los segmentos determinados por:

a) (2,-3) y (4,2)b) (-4,1) y (3,-5)

c) (0,0) y (5,-3)d) (-5,2) y (3,2)

e) (5,-3) y (5,2)f) (7,0) y (0,4)

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

LONGITUDES Y ECUACIONES DE LAS ALTURAS Y MEDIANAS EN UN TRIANGULO

1.- ALTURA DE UN TRIANGULO.La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su

prolongación. Su ecuación se determina dadas las condiciones punto-pendiente

2.-CALCULO DE LA ALTURA Y DETERMINACIÓN DE SU ECUACION EN UN TRIANGULO.El problema se reduce al cálculo de la distancia de un punto (vértice) a una recta (lado opuesto).

EJEMPLOS:

1.- Encontrar la altura en A del triángulo cuyos vértices son: A(-2, 1), B(5, 4) y C(2, -3)

la ecuación del lado BC es: 7 x – 3 y – 23 = 0

la distancia de A(-2, 1) a 7 x – 3 y – 23 = 0 se calcula con:

la altura buscada es:

2.- Encontrar la ecuación de la altura en B del triángulo que tiene como vértices los puntos: A(-2,1), B(5,4) y C(2,-3).

la ecuación de lado AC es:

y + 3 = -x + 2; x + y + 1 = 0;

pendiente de la recta de la altura = 1; B(5,4); ecuación: y - y1 = m ( x - x1 )

y – 4 = 1 ( x – 5 ) = x – 5; x – y – 1 = 0

la ecuación de la altura es: x – y – 1 = 0

3.- MEDIANA DE UN TRIANGULO.Es el segmento de recta trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Su

ecuación se determina aplicando la fórmula de “ dados dos puntos “.

4.- CALCULO DE LA MEDIANA Y DETERMINACIÓN DE SU ECUACION.El problema se reduce al cálculo de la distancia entre dos puntos: Uno de ellos es el vértice y el

otro el punto medio del lado opuesto.

EJEMPLOS:

1.- Encontrar la mediana en A del triángulo con vértices A(-2, 1), B (5, 4) y C(2, -3).

El punto P(xo, yo) en BC es:

la distancia de la mediana es P0A:

2.- Encontrar la ecuación de la mediana en B del triángulo con vértices: A(-2,1), B(5,4) y C(2,-3).

el punto medio en AC es: Po (0,-1) B(5,4)

la ecuación de la recta que pasa por Po y B es:

y + 1 = x;

la ecuación de la mediana es; x – y – 1= 0

EJERCICIOS XVII

1) Encontrar las ecuaciones de las alturas y medianas trazadas desde A en los triángulos cuyos vértices son:a) A(-3,3) B(5,5) C(2,-4)b) A(5,6) B(1,-4) C(-4,0)c) A(0,4) B(5,1) C(1,-3)

2) Encontrar las longitudes de las alturas y medianas en los triángulos del ejercicio anterior.

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

ECUACIÓN Ax2 + C y2 + D x + E y + F = 0 COMO UNA DE LAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

1.-CIRCUNFERENCIA.Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva

siempre a una distancia constante de un punto fijo en ese plano. El punto fijo es el centro, la distancia constante se llama radio.

2.- ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( FORMAS ORDINARIA Y GENERAL).Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos y valiéndose de la figura:

| C P | = r;

elevando al cuadrado

r2 = ( x – h ) 2 + ( y – k )2 Forma ordinaria

efectuando operaciones:

x2-2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 – r2 = 0

x2 + y2 –2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0

haciendo D = -2h, E = -2k y F = h2 + k2 - r2

la ecuación queda de la siguiente forma:

x2 + y2 + D x + E y + F = 0 Forma general