55

ObjetivosdelaUnidad: Tomars decisiones acertadas a partir de la determinacin deocurrenciadeun suceso,aplicando losmtodosdedistribucinnormalparaestimar lasprobabilidadesdeeventosendiferentesmbitosdelavidasocial,culturalyeconmica.

Propondrssolucionesasituacionesproblemticasdelentornoenlas cuales se requiere la resolucinde tringulosoblicungulos,aplicandolosteoremasdelsenoydelcoseno,valorandolaopinindelosdems.

Utilizarsconcriticidadlalnearecta,elementos,caractersticasyecuacionesalproponersolucionesaproblemasdetuentorno.

Aplicarscorrectamentelageometraanalticacircunferenciaalencontrarsolucionesadiversasproblemticasdetuentorno.

Distribucin normal, Geometra analtica, solucin De trinGulos

MATEMTICAUnidad3

56 matemtica - segundo ao

Descripcin del proyecto:

ste consiste en una aplicacin de la lnea recta, mediante la cual vas a encontrar una frmula que te permita convertir grados Celsius a Fahrenheit y viceversa.

Distribucin normal

Caractersticas

Calcular porcentajes

Distribucinnormal estndar

Formasimtrica

sus

permiten

utilizando

entre

ellas

Tringulos oblicungulos

Ley de seno Ley del coseno

LLA, ALA, AAL LAL, LLL

en los casos en los casos

resolucin utilizando

Geometra analtica

Distancia entre dos puntos

Punto medio de un segmento

Distancia de unpunto a una recta

Centro

Radio

Tangente

La circunferencia

Elementos Ecuaciones

Ordinaria

Cannica

General

Elementos Ecuaciones

Pendiente

Intersectos

Punto pendiente

General

Pendiente intersecto

La lnea recta

comprende

sus

son son son

sus

son

pueden ser

segundo ao - matemtica 57

Tercera Unidad Leccin1Motivacin

Indicadores de logro

Recuerdas que las variables continuas pueden tomar un nmero infinito de valores?

El grfico de la distribucin para la prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, suponiendo que la variable es continua, tiene la forma presentada a la izquierda y recibe el nombre de distribucin normal por su forma.

Identificars, interpretars y explicars, con seguridad, las caractersticas de la distribucin normal.

Determinars las propiedades de la distribucin normal estndar, con precisin y confianza.

Utilizars, con precisin y seguridad las tablas para encontrar reas bajo la curva normal.

Resolvers ejercicios y problemas aplicados a la vida cotidiana sobre variables con distribucin normal con seguridad.

Nmero de respuestas correctas

(r)0 1 2 3 4

Prob

alida

d de

xito

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

P(r)

Cuando determinas la distribucin de probabilidades de una prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, obtienes el grfico de la derecha.Ahora imagina que, hipotticamente la variable nmero de respuestas correctas se vuelve continua.Cmo queda entonces el grfico de la distribucin?

Distribucin normal

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4-1-2

58 matemtica - segundo ao

UNIDAD 3

El grfico anterior es la base para enunciar las caractersticas de la distribucin normal:

1. La curva normal tiene perfil de campana. La media aritmtica, mediana y moda de la distribucin son iguales y estn en el punto central. De esta forma, la mitad del rea bajo la curva se halla a un lado de este punto, y la otra mitad, al otro lado. La distribucin de probabilidad normal es simtrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente por el valor central, las dos mitades sern como imgenes reflejadas en un espejo.

2. Los porcentajes bajo la curva normal decrecen uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asinttica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez ms al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, las dos colas o extremos se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La distribucin normal es un buen modelo para representar, aproximadamente, algunos fenmenos del mundo real.

Familia de Distribuciones Normales

Para la distribucin de probabilidad normal del tiempo de servicio de los empleados de tres plantas industriales, se tiene las siguientes medidas:

Planta A: = 20 aos y = 3.1 aos

Planta B: = 20 aos y = 3.9 aos

Planta C: = 20 aos y = 5.0 aos

Al tener la misma media aritmtica, forman una familia de distribuciones normales y se pueden representar en el mismo grfico.

Recuerda que (miu) representa la media aritmtica de una poblacin y (sigma) la desviacin tpica o estndar.

reas bajo la curva normal

Para una distribucin de probabilidad normal:

1. Aproximadamente 68.27% del rea bajo la curva normal est entre y + . Esto puede expresarse como .

2.Aproximadamente 95.45% del rea bajo la curva normal est entre 2 y + 2. Lo que se expresa 2.

3.Casi toda el rea (99.73%) bajo la curva normal est dentro de tres desviaciones estndares respecto de la media (a uno y otro lado), lo cual se escribe 3.

Mostrando esto en un diagrama y utilizando porcentajes, tienes:

= 3.1 aos planta A

20 aos Tiempo de servicio

= 3.9 aos planta B

= 5.0 aos planta C

- 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 68.27%95.45%99.73%

La curva normal es simtrica, con dos mitades idnticas

Extremidad(o cola)

Extremidad(o cola)

La media, la mediana y la moda son iguales

En teoria, la curva se extiende hasta -

En teoria, la curva se extiende hasta +

Caractersticas de una distribucin normal

segundo ao - matemtica 59

UNIDAD 3

Ejemplo 1

Una prueba acelerada de duracin en un gran nmero de pilas alcalinas tipo D revel que la duracin media para un uso especifico antes de que falle es 19.0 horas. La distribucin de las duraciones se aproxima a una distribucin normal. La desviacin estndar de la distribucin fue 1.2 horas.

Entre qu par de valores se encuentra la durabilidad del 68.27% de las pilas?

Entre qu par de valores se encuentra la durabilidad del 95.45% de las pilas?

Entre qu par de valores se encuentra la durabilidad del 99.73% de las pilas?

Solucin:

Aproximadamente el 68.27% dur entre 17.8 horas y 20.2 horas, valor obtenido por 19.0 1(1.2)

Aproximadamente el 95.48% dur entre 16.6 horas y 21.4 horas, valor obtenido por 19.0 2(1.2)

Aproximadamente el 99.73% dur entre 15.4 horas y 22.6 horas, valor obtenido por 19.0 3(1.2)

Mostrando esto en un diagrama te queda as:

1. Explica lo que significa este enunciado No existe slo una distribucin probabilstica normal, sino familias de estas distribuciones.

2. Enumera las principales caractersticas de una distribucin probabilstica normal.

3. Si la media de una distribucin probabilstica normal es 500 y la desviacin estndar 10, determina lo siguiente.

a) Entre qu par de valores est, aproximadamente, 68% de las observaciones?

b) Entre qu par de valores se halla, aproximadamente, 95% de las observaciones?

c) Entre qu par de valores se encuentran prcticamente todas las observaciones?

4. La media de una distribucin probabilstica normal es 60, y la desviacin estndar es 5. Aproximadamente:

a) Qu porcentaje de las observaciones se encuentra entre 55 y 65?

b) Qu porcentaje de las observaciones se halla entre 50 y 70?

c) Qu porcentaje de las observaciones se halla entre 45 y 75?

Actividad 1

- 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3

15.4 16.6 17.8 19.0 20.2 21.4 22.6 Escala dehoras X

Escala de Z

Estos valores los expresamos de otra forma: el rea bajo la curva normal entre y + es aproximadamente 0.6827, el rea entre y +2 2 es aproximadamente 0.9545 y el

rea entre y +3 3 es aproximadamente 0.9973.

Observa que el rea total bajo la curva es: 1.0000

UNIDAD 3

60 matemtica - segundo ao

Distribucin normal estndar

Existen familias de distribuciones normales, cada una con su propia media () y sus desviaciones estndar (). Por tanto el nmero de distribuciones normales es ilimitado. Resultara fsicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinacin de y . Sin embargo, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde esta distribucin resulte aplicable. sta es una normal con media igual a 0 y una desviacin estndar igual a 1, y se denomina Distribucin normal estndar.

Como ejemplo de su aplicacin supongamos que la media de una distribucin normal es 100 libras, y la desviacin estndar, 2 libras. Considera que ests interesado en determinar el rea entre un valor de 113 libras y la media de 100 libras. Primero se convierte la distribucin, a lo que se conoce cono estandarizacin, de una distribucin normal estndar, utilizando el llamado valor z o desvo normal z.

El valor z es la diferencia (desviacin) entre un valor seleccionado, denotado por x y la media poblacional, dividida entre la desviacin estndar de la poblacin.

El valor z mide la distancia entre el valor especfico x y la media, en unidades de desviacin estndar.

As, el valor de z para el ejemplo dado es: z = =113 100

26 5

. unidades de

desviacin estndar.

Ejemplo 2:

La media de un grupo de ingresos quincenales con distribucin normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1,000; la desviacin estndar es $ 100 Cul es el desvi normal o valor z para un ingreso x de $ 1,100? Y para uno de $ 900?

Solucin:

Para x

zx

=

=

=

=

$ ,

$ , $ ,$

1 100

1 100 1 000100

1

..00

Para x

zx

=

=

=

=