Distribucion de Variables Discretas

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Ing. Vanessa Salazar V.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

1. Distribucin Uniforme 2. Distribucin de Bernoulli 3. Distribucin Binomial 4. Distribucin Binomial Negativa 5. Distribucin Geomtrica 6. Distribucin Hipergeomtrica

a. Aproximacin de la Distribucin Hipergeomtrica con la Distribucin Binomial

7. Distribucin de Poisson a. Aproximacin de la Distribucin Binomial mediante la Distribucin de

Poisson 8. Distribucin Multinomial

Distribucin Uniforme Ud(n)

Una variable aleatoria tiene distribucin discreta uniforme si su espacio muestral tiene n resultados y cada uno con igual probabilidad.

MEN

X: Variable aleatoria discreta x=x1, x2,,,xn. los valores que puede tomar, con igual probabilidad. La Distribucin de Probabilidad de X es:

1 21 , , ,...,

( )0,

nx x x xf x notro x

==

1( )2

nE X += = 2 ( 1)( 1( )

12n nV x + = = )

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Distribucin Bernoulli Ber(p)

Es aquel donde existen solamente dos resultados: xito o fracaso.

X: Variable aleatoria cuyos valores pueden ser 1: xito, 0: fracaso. p: Valor de probabilidad de xito. 1-p=q: Valor de probabilidad de fracaso.

X~Ber(p)

La Distribucin de Probabilidad de X es: , 1

( ) 1 , 0p x

f xp x

== =

x P(X=x) 1 p 0 1-p

( )E X p = =

2 ( ) .V X p q = =

Demostracin:

( ) 0(1 ) 1( )E X p p p = = + =

2 2( ) ( ) [ ( ) ]V X E X E X = = 2 pppXE =+= )(1)1(0)( 222

2 2( ) ( )V X p p = = 2 ( ) (1 )V X p p pq = = =

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MEN

Distribucin Binomial

B(n,p) Tiene las mismas caractersticas de un experimento Bernoulli, cuando ste se repite n veces de tal forma que las repeticiones sean independientes entre si y es de inters la variable aleatoria relacionada con la cantidad de xitos que se obtienen del experimento, entonces tenemos una distribucin binomial. Caractersticas de un experimento Binomial 1. La cantidad de ensayos que se realizan es finita. Sea esta cantidad n. 2. Cada ensayo o prueba tiene nicamente 2 resultados posibles: xito o fracaso. 3. Todos los ensayos realizados son independientes. 4. La probabilidad de xito en cada ensayo permanece constante. Sea este valor p.

X: Variable aleatoria discreta con distribucin binomial. (Nmero de xitos obtenidos en una serie de n ensayos realizados). p: Valor de probabilidad de xito.

X~B(n, p) La Distribucin de Probabilidad de X es:

( ) (1 ) , 0,1, 2,...,x n xn

f x p p xx

= =

n

( ) .E X n p = =

2 ( ) . .(1 )V X n p p = = ( ) ( )t nm t q e p= +

Demostracin: Los trminos de la distribucin binomial coinciden con el desarrollo del binomio:

0 1 1 0

0( ) ...

0 1

nn n n n x

x

n n n nq p p q p q p q p q

n xn x

=

+ = + + + = La funcin generadora de momentos para la distribucin binomial:

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

n n ntx tx tx x n x t x n x

x x x

n nm t E e e f x e p q e p q

x x

= = =

= = = =

Luego de la simplificacin algebraica se puede observar que la tima expresin tiene la misma forma que la frmula del binomio sustituyendo p por etp. Entonces se tiene ( ) ( )t nm t q e p= +

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MEN

PARAMETROS: Son valores que pertenecen a un problema particular. Por ejemplo, para la distribucin binomial sus parmetros son n y p. Para distinguir entre variables y parmetros, se puede usar la siguiente notacin:

( ; , ) (1 ) , 0,1, 2,...,x n xn

f x n p p p x nx

= =

Distribucin Acumulada ( ) ( ) (1 ) , 0t n tt x

nF x P X x p p x

t

= =

Distribucin Binomial Negativa BN(k, p)

Los experimentos estadsticos con este modelo de probabilidad tienen caractersticas similares a los experimentos binomiales. La diferencia es que en este nuevo modelo la variable de inters se refiere a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener una cantidad requerida de xitos: k

X: Variable aleatoria con distribucin binomial negativa. (Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k xitos)

p: Valor de probabilidad de xito. x= k, k+1, k+2, (valores que puede tomar la variable X)

X~BN(k, p)

La Distribucin de Probabilidad de X es:

1( ) (1 ) , , 1, 2,...

1k x kxf x p p x k k k

k = = +

+

( ) kE Xp

= = 2 ( ) k qV X

p p = =

( )1 (1 )

kt

t

pem tp e

=

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MEN

Distribucin de Probabilidad Geomtrica Ge(p)

Es un caso especial de la distribucin Binomial Negativa, cuando k=1. Es decir, interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer xito.

X: Variable aleatoria discreta con distribucin geomtrica. (Cantidad de ensayos realizados hasta obtener el primer xito.). p: Valor de probabilidad de xito. x= 1, 2, 3, (valores que puede tomar la variable X)

X~Ge(p) La Distribucin de Probabilidad de X es:

1( ) (1 ) , 1, 2,3,...xf x p p x= =

1( )E Xp

= = 2

2( )qV Xp

= =

( )1 (1 )

t

t

pem tp e

=

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MEN

Distribucin Hipergeomtrica H(N, K, n)

Esta distribucin se refiere a los experimentos estadsticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados xitos y los restantes son considerados fracasos. Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de xito al tomar cada elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la poblacin est cambiando.

X: Variable aleatoria discreta con distribucin hipergeomtrica (Cantidad de resultados considerados xitos que se obtienen en la muestra) N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra K: Cantidad de elementos existentes que se consideran xitos n: Tamao de la muestra x=0,1,2,3,,n (valores que puede tomar X)

X~H(N, K, n) La Distribucin de probabilidad de X es:

( ) , 0,1, 2,...

K N Kx n x

f x xNn

= = n

( ) KE X nN

= = 2 ( ) 1

1nk K N nV XN N N

= =

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MEN

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Aproximacin de la Distribucin Hipergeomtrica con la Distribucin Binomial

Si el tamao de la muestra n es muy pequeo con respecto a N, entonces podemos considerar que los ensayos son aproximadamente independientes. Ejemplo: Si N=1000 y n=10 y hay 200 elementos considerados xitos, entonces la probabilidad de xito del primer ensayo ser 200/10000=0.2, la probabilidad de xito del segundo ensayo ser 199/999=0.1992 o 200/999=0.2002 dependiendo si el primer resultado fue o no un xito. Ambos valores son muy parecidos. En esta situacin se puede considerar que el modelo hipergeomtrico es aproximadamente Binomial y se puede usar la frmula de la distribucin con p=K/N. Por algunos estudios con respecto a este tema, se establece que esta aproximacin es aceptable si n

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Distribucin de Poisson P( )

La distribucin de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al nmero xitos que ocurren en una regin o en intervalo de tiempo especificados, si se conoce el nmero promedio de xitos que ocurren. Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

a) El nmero de xitos que ocurren en la regin o intervalo es independiente de lo que

ocurre en otra regin o intervalo. b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una regin o intervalo muy pequeo, es

igual para todos los intervalos o regiones de igual tamao y es proporcional al tamao de la regin o intervalo.

c) La probabilidad de que ms de un resultado ocurra en una regin o intervalo muy pequeo no es significativa.

MEN

X: Variable aleatoria discreta con distribucin de Poisson (Cantidad de xitos en una regin o intervalo especificados) x= 0, 1, 2, (valores posibles para la variable X) : Cantidad promedio de xitos en la regin o intervalo especificados-

X~ P( )

La Distribucin de probabilidad de X es:

( ) , 0,1, 2,...,!

xef x xx

= = e=2.71828

( )E X = = 2 ( )V X = =

( 1( )tem t e = )

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Aproximacin de la Distribucin Binomial mediante la Distribucin de Poisson

En la distribucin binomial cuando n es grande, no es prctico usar su frmula. Ejemplo: Suponga que m=200, p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor 5:

5 200200( 5) (5) (1 ) 0.05 0.95 5

x n xnP X f p px

5 = = = = El clculo aritmtico puede presentar alguna dificultad. En esta situacin se puede calcular la probabilidad mediante un modelo aproximado que se obtiene del lmite al que tiende la distribucin binomial:

Este modelo corresponde a la distribucin de Poisson con =np. Algunos estudios con respecto a este tema indican que esta aproximacin es aceptable para la distribucin binomial n 20 y 0.05.p Otro criterio establece que la aproximacin es muy buena si 100 y 10.n np

MEN

( ; , ) , 0,1, 2,..., , cuando y 0.!

x npef x n p x n px

=

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Distribucin Multinomial

En esta distribucin cada ensayo puede tener ms de dos resultados posibles. Consideramos el caso en el que hay n ensayos independientes, cada uno de los cuales permite k resultados

mutuamente excluyentes, cuyas respectivas probabilidades son . 1 2 i1

, ,..., (con p 1)k

ki

p p p=

=

MEN

X: Variable aleatoria discreta con distribucin multinomial. n: Cantidad de ensayos x= 1, 2, 3, (valores que puede tomar la variable X) La Distribucin de Probabilidad de X es:

1 21 2 1 2

11 2

!( , ,..., ) , ,..., , 0,1,..., ; ! !... !

k

kxx x

k k iik

nif x x x p p p x n x nx x x =

= = =

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