Distribuciones en El Muestreo-s3

DISTRIBUCIONES EN EL

MUESTREO

INFERENCIA ESTADISTICA

Consiste en utilizar estadísticos (Promedio de la muestra, la desviación estándar de la muestra y la proporción de la muestra )que se obtienen con los datos de la muestra, para estimar su verdadero valor en la población.


Es necesario darse cuenta de que el investigador en una encuesta se interesa en sacar conclusiones en cuanto a una población y no a una muestra.

Por lo tanto la muestra es el “vehículo” para llegar a conclusiones acerca de la población.


En la practica, una muestra individual de tamaño determinado se selecciona en forma aleatoria entre la población.

Los valores que se van a incluir en la muestra se determinan mediante un generador de números aleatorios (Tabla de números aleatorios).


Si, en la practica , se fuera a hacer una selección de todas las muestras posibles , la distribución de los resultados se denominaría distribución en el muestreo.

DISTRIBUCIONES EN EL

MUESTREO DE LA MEDIA

Porque la media aritmética ?

Existen diversas propiedades que hacen que

de la media aritmética el mejor estimador

para sacar inferencias en cuanto a la media de

la población.

Tres de las propiedades mas importantes son:

1. Insesgadura

2. Eficiencia

3. Consistencia

Insesgadura

Comprende el valor muestral promedio de la media. Si todas las posibles muestras de un tamaño determinado “n” se fueran a seleccionar entre la población, la media de todas estas medias muéstralas seria la media “u” de la población.

Insesgadura

Ejemplo :

Se pidió a una población de cuatro digitadoras que escriban la misma pagina de un escrito . El numero de errores de cada digitadora fue :

Digitadora Nº de errores

A 3

B 2

C 1

D 4

Numero de errores cometidos por una población de cuatro

mecanógrafas.

La distribución poblacional seria :

Numero de errores

Fre

cuen

cia

1 2 3 4

1

2

3

Insesgadura

• La media u de esta poblacion es igual a :3 + 2 + 1 + 4

u = ------------------ = 2.5 Errores4

Si se selecciona las muestras de dos mecanógrafas con reemplazo en esta población , hay 16 posibles muestras que podrían seleccionar N * N = 4*4 = 16

Muestra Mecanógrafas Resultado de la muestra Media de la muestra X i

1 A,A 3,3 Prom . X1 = 32 A,B 3,2 Prom. X2= 2.53 A,C 3,1 Prom. X3= 24 A,D 3,4 Prom. X4= 3.55 B,A 2,3 Prom. X5= 2.56 B,B 2,2 Prom. X6= 27 B,C 2,1 Prom. X7= 1.58 B,D 2,4 Prom. X8= 39 C,A 1,3 Prom. X9= 2

10 C,B 1,2 Prom. X10= 1.511 C,C 1,1 Prom. X11= 112 C,D 1,4 Prom. X12= 2.513 D,A 4,3 Prom. X13= 3.514 D,B 4,2 Prom. X14= 315 D,C 4,1 Prom. X15= 2.516 D,D 4,4 Prom. X16= 4

U Prom. X = 2.5

Insesgadura

Muestra Mecanógrafas Resultado de la muestra Media de la muestra X i

1 A,B 3,2 Prom. X2= 2.52 A,C 3,1 Prom. X3= 23 A,D 3,4 Prom. X4= 3.54 B,C 2,1 Prom. X7= 1.55 B,D 2,4 Prom. X8= 36 C,D 1,4 Prom. X12= 2.5

U Prom. X = 2.5

Eficiencia

• Se refiere a que tan bien un estadístico muestral estima un parámetro de la población.

• La media muestral se considera como un estimador eficiente porque es mas estable de una muestra a otra y por lo tanto es mas probable que proporcione una estimación mas cercana de la media verdadera .

Consistencia

• Conforme aumenta el tamaño de la muestra la variación de la media muestral en relación con la media de la población se vuelve cada vez mas pequeña, con lo que la media aritmética de la muestra se convierte en una estimación mejor de la media de la población.

Error estándar de la media

• Si un valor extremo cae dentro de la muestra, aunque tenga efecto sobre la media , el efecto se reducirá porque se esta promediando con todos los demás valores de la muestra.

• Conforme aumenta el tamaño de la muestra , el efecto de un solo valor extremo se hace todavia mas pequeño , porque se promedia con mas observaciones .


• Este fenómeno se expresa estadísticamente en el valor de la desviación estándar de la media muestral.

• Es la medida de variabilidad de la media entre muestra y muestra y en estadística , se denomina desviación estándar de la media muestral o el error estándar de la media , Q Prom.X.


• Cuando se muestrea con reemplazo , el error estándar de la media es igual a :

Q

QX = -------------

n

Es decir la desviación estándar de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

Según se aumenta el tamaño de la muestra , el error estándar de la muestra se reducirá por un factor igual a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

POBLACIONES NORMALES

• Cuando aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar se vuelve menor, con lo que hay mas medias muestrales mas cercanas a la media de la población.

Distribución de la muestra de la media de 500 muestras de tamaño n=1,4,8,16,32 seleccionadas de una población normal

0

n = 32

n = 16

n = 8

n = 4

n = 1

PROBLEMA

• Una compañía llantera produce 10000 llantas a la semana en una fabrica grande . El control de calidad del proceso es estricto , de modo que la duración del “piso” de las llantas producidas tiene distribución normal , con un promedio de 25000 millas y una desviación estándar de 5000 millas.

Si se selecciona al azar una muestra de 100 llantas para el análisis y se calcula la duración promedio para esta muestra ¿ Que resultado se podría esperar?

RESPUESTA

La muestra actúa como una “ representación en miniatura “ de la población de modo que , si los valores en la población tuvieran distribución normal, los valores de la muestra tendrían distribución normal aproximada.

Si la media de la población es de 25000 millas , la media muestral tiene buena posibilidad de estar cerca de 25000 millas

PROBLEMA

Determinar la probabilidad de que la muestra de 100 llantas tendrá una media entre 24000 y 25000 .

Ya se sabe que en una distribución normal, el área entre cualquier valor X y la media “u” de la población , se puede encontrar al convertir las unidades Z estandarizadas y luego encontrar el valor apropiado en la tabla de distribución

X - uZ = ----------------

Q

En este ejemplo de las llantas , el valor de interés es, en realidad , una media muestral X y se desea estudiar la forma en que un valor particular X = 24000 se desvía de la media de la población . La desviación estándar de X es el error estándar de la media.

X - u X - u

Z = ------------- = --------------Q x Q

n

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