DIVISIBILIDAD

Aritmética Razonada Problemas Resueltos

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Roly Paucar Cruz

Conjunto de Aplicación:

Concepto:

Es parte de la teoría de los números que se encarga de estudiar las condiciones que debe tener un número para que pueda ser dividido exactamente por otro, en caso contrario permite hallar el residuo sin necesidad de efectuar la operación de división.

OBJETIVOS:

a) Calcular el residuo de una división entera, sin necesidad de efectuarla.

b) Encontrar una solución en particular de una ecuación diofántica lineal con dos o tres incógnitas.

Divisibilidad

Se dice que un número entero es divisible por otro entero positivo llamado módulo, si al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo es cero.

Multiplicidad

Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado módulo, si el primero es el resultado de multiplicar al segundo por un entero.

…Primera Colección10

A B A B k0 kÆ

MODULO


Ya que la división resulto exacta se puede decir lo siguiente: A es divisible entre B

A es múltiplo de B B es un divisor de A B es un factor de A

Donde

DivisorSe denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera.

Ejemplos:

Representación de los múltiplos de un número:

Ejemplos:

; ; ;

; ;

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Roly Paucar Cruz

Observaciones:

1) Todo número entero siempre es múltiplo de la unidad.2) EL cero es múltiplo de todo entero positivo;

Esto es: :

3) Todo entero positivo siempre es múltiplo de si mismo.

Representación de los no múltiplos de un número.Como , se observa que al dividir 37 entre 5, el residuo no es cero por lo que habrá residuo.

CLASES DE DIVISIONES

Ejemplos de las divisiones por Defecto y Exceso.


d

A Br k e

A Br k 1

Div. porDefecto

Div. porExceso d ex.r +r =d

N 7 3 N 7 4 3 4 7

N 12 3 N 12 9 3 9 12

N 16 7 N 16 9 7 9 16


PROPIEDADES IMPORTANTES:

1)“Para un número entero positivo Hay infinitos múltiplos pero una determinada cantidad de divisores”

2)El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.

3)Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

1)Con respecto a un mismo módulo (operaciones básicas)

2)Con respecto al módulo de la base. “Todo numeral es múltiplo de su base elevado a un exponente entero positivo “k” más el numeral formado por sus “k” últimas cifras en su base respectiva”

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1.

o o o on n n n

2.

o o on n n

3.o o

Si: a n k a n; k Æ

4.ko o

n n

5.onSi: k kn Æ

1.

o(n)abcde n e

2.2o

(n) (n)abcde n de

3.3o

(n) (n)abcde n ced

Roly Paucar Cruz

3)Con respecto a varios módulos.

4)Un módulo con diferentes residuos

Ejemplo Encontrar el residuo de dividir P entre 7


1.

o

oo

o

N aN b N MCM a;b;cN c

2.

o

oo

o

N a rN b r N MCM a;b;c rN c r


Residuo = 5

5)Principio de Arquímedes

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

Binomio Suma:

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o o5N a N a Æ

Roly Paucar Cruz

Binomio Resta:

Propiedades:

todo número Impar elevado a un exponente par positivo será ; Esto es:

Todo número es múltiplo de sus divisores ; Esto es:

El número 7 y el número 3 elevados a un siempre termina en 1; Esto es:


o0

o1

o2

4 7 14 7 4 Gaussiano: g 34 7 2

o3

o4

o5

o6

4 7 14 7 44 7 2

4 7 1


RESTOS POTENCIALES

Se denomina restos potenciales de un entero N diferente de cero con respecto al módulo “m” a todos los residuos diferentes que se obtienen al dividir las potencias enteras; consecutivas de “N” entre el módulo “m”.

Gaussiano.- Se denomina gaussiano de un entero N diferente de cero con respecto al módulo “m” a la cantidad de restos potenciales de N diferente de cero con respecto al módulo “m” diferentes entre si y de cero que se repiten en forma ordenada y periódica.

Ejemplo:

Si: . Hallar el mínimo .

Solución:

Hallando los restos potenciales de 4 respecto al módulo 7

35

Se llama gaussiano a la cantidad de residuos diferentes.

Roly Paucar Cruz

Se observa:

Siempre se cumple:

Se tiene que: ; residuo= 2 (lo ubicamos)

Entonces se tiene:

IMPORTANTE…

En el cálculo de los restos potenciales de un número “N” respecto a un módulo “m” se presenta los siguientes casos:

Cando el numero entero “N” contenga, únicamente factores primos del módulo “m”.

Ejemplo:Hallemos los restos potenciales de 4 respecto al módulo 36

OBSERVACIÓN:



El entero “N” , contenga algunos de los factores primos del módulo “m” y además factores diferentes de ellos.

Ejemplo:

Hallemos los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40.

OBSERVACIÓN:

35

Roly Paucar Cruz

CIRTERIOS DE DIVISIBILIDAD

Aquí los criterios de divisibilidad más usuales ; importante saber que todos los criterios de divisibilidad se demuestran por Gaussiano que lo dejaremos para el lector.

1) Divisibilidad por ó Dado:

2) Divisibilidad por 3 ó 9

Dado:

3) Divisibilidad por 7 en base 8

4) Divisibilidad por 7

Dado:



5) Divisibilidad por 11 Dado:

6) Divisibilidad por 8 en base 7

Dado:


Dado:

8) Divisibilidad por 33 ó 99 Dado:


35

Roly Paucar Cruz

Dado:


Dado:



Ejemplos Sobre los criterios de divisibilidad

01.01. Indique uno de los valores de “a”, si:

a) 8 b) 6 c) 9d) 3 e) 4


a) 0 b) 8 c) 5

d) 4 e) 2


a) 1 b) 3 c) 8d) 9 e) 6

04.04. Determine “a” Si:

a) 3 b) 2 c) 1d) 7 e) 8


a) 2 b) 3 c) 7d) 0 e) 2

35

Roly Paucar Cruz


a) 1 b) 9 c) 5d) 4 e) 3

07.07. Determine “a”, si:

a) 8 b) 4 c) 0d) 5 e) 7


a) 8 b) 7 c) 6

d) 5 e) 9


a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 7


a) 8 b) 7 c) 5d) 4 e) 0

PROBLEMAS RESUELTOS



01.01.Determine “a” Si: Además el numeral es el menor posible.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02.02.Dar el mayor valor posible de “a + b”, si:

a) 1 b) 7 c) 3

d) 8 e) 5

03.03.¿Cuantos números de la forma:

;

son divisibles por 36?

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 10

Existen 2 #s

04.04.El número de la forma:;

siempre es múltiplo de:

a) 6 b) 9 c) 17

d) 18 e) 12

05.05.Si al dividir por exceso: con no deja

residuo, halle el valor de b.

35

Roly Paucar Cruz

a)1 b) 2 c) 5d)7 e) 8

RESOLUCIÓN

Se tiene:

Como el residuo es “0” Luego:

RPTA.: B

06.06.El número de la forma:

;

siempre es múltiplo de:

a) 10 b) 7 c) 11d) e) 15



es múltiplo de

07.07.Halle el menor valor de , sabiendo que es

múltiplo de:

a)214 b) 316 c) 213d)426 e) 441

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

08.08.Si:

Halle el residuo que deja la expresión:

entre 7

a)1 b) 2 c) 3d)5 e) 4

RESOLUCIÓN

residuo = 5RPTA.: D

09.09. ¿Cuál es el residuo de dividir

a)2 b) 8 c) 3d)5 e) 9

RESOLUCIÓNCalculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.

35

Roly Paucar Cruz

Base 8:

Cada 4 cifras se anula:

r = 2

RPTA.: A

010.010.Halle (d+u), si el número de la forma:

y

a)9 b) 13 c) 12d)15 e) 45

RESOLUCIÓN

De la condición

Luego :

De condición:

Reemplazando

Entonces

De la condición :

RPTA.: A

011.011.Determinar el cardinal del siguiente conjunto:

.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9



012.012.Si: es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”.

a)1 b) 2 c) 3d)4 e) 5

RESOLUCIÓNSean los 83 números consecutivos:

Luego:

RPTA.: B

013.013. Halle el residuo de dividir:

por 2.

a)0 b) 1 c) 0.1d) fd e) n.a

RESOLUCIÓN ;

=

RPTA.: B

014.014.¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma:

Entre 7 ?

a)1 b) 2 c) 3d)4 e) 5

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

35

Roly Paucar Cruz

015.015.Sea:

¿Cuál es el residuo de entre 23?

a)4 b) 6 c) 5d)12 e) 19

RESOLUCIÓN

Dividiendo (I) y (II) se tiene:

Remplasando en (I)

Residuo= 5

RPTA.: C

016.016.¿Cuántos términos de la serie:

4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos) son: ( +1)?

a)14 b) 15 c) 9d)8 e) 12

RESOLUCIÓN

Sucesión de 2º orden:

C = 1 4; 11; 22; 37; 56;...

A+B = 3 7 11 15 19

2A = 4 4 4 4 columna Secundaria

A = 2 ;B = 1 y C = 1



Se concluye:

(7 números)

(7 números)

RPTA.: A

01.01. Determine el resto de dividir:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02.02. Hallar el residuo de dividir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Al descomponer “4365” encontramos “ ” que se descompone a la derecha

017.017.El residuo de dividir el número 657143 entre 25 es . Calcule el resto de dividir dicho número entre a b

a)1 b) 2 c) 3d)4 e) 5

RESOLUCIÓN

35

Roly Paucar Cruz

RPTA.: A

03.03. Hallar el resto de dividir:

a) 4 b) 3 c) 5d) 6 e) 2

Como dijo el destripador vamos por partes :

a)

b)

Bien ahora reemplacemos:

018.018.Halle el residuo de dividir:

a)1 b) 2 c) 5d)6 e) 7

RESOLUCIÓN

Residuo= 1 RPTA.: A

1. Halle “a” si (a+b) = 6, además:

y el exponente tiene 88 cifras.

a)3 b) 4 c) 5d)6 e) 2

RESOLUCIÓN

;



calculando restos potenciales.

Gaussiano=5

Por comparación

RPTA.: B

2. Si el número se convierte en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado?

a)7 b) 3 c) 10d)2 e) 1

RESOLUCIÓN

Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11.

Gaussiano=5

luego:

Exponente =1

r = 3RPTA.: B

019.019.Halle el mayor número , tal que: al ser dividido entre 40, deje como residuo 24.

a)996 b) 249 c) 989d)995 e) 998

RESOLUCIÓN

Sabemos que:

35

Roly Paucar Cruz

Aplicando el Binomio de Newton:

Determinando los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el exponente deberá ser múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24.

además, como debe ser el mayor posible

RPTA.: E

020.020.Halle el resto de dividir E entre 7:

a) 2 b) 6 c) 3d)1 e) 5

RESOLUCIÓN

Realizando

3K = múltiplo de 3

r = 6

Residuo = 6RPTA.: B

021.021.Hallar un número de 4 cifras, que sea divisible entre 9, sabiendo que las cifras van disminuyendo de 1 en 1 a partir de la izquierda. Dar la suma de las cifras del número.



a) 27 b) 36 c) 9d) 18 e) 21

022.022.Dada la siguiente serie:1, 2, 3, 4, 5, . . ., 900

¿Cuántos no son múltiplos de 3 y 5?

a) 400 b) 480 c) 800d) 840 e) 700

023.023.¿Cuántos términos son múltiplos de ?

a)12 b) 9 c) 8d)5 e) 6

RESOLUCIÓN

Término n- ésimo:

Número de términos = 8RPTA.: C

024.024.Cuántos números de la siguiente serie son

35, 39, 43, 47, 51, ……, 247

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Bueno ahora date cuenta que los #s buscados están entre 35 y

247, o sea:35

o

o

o

forma de los términos: 4 3

forma dato: 11 3

forma de los #s buscados: 44 3

Roly Paucar Cruz

025.025.¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1?

a)12 b) 24 c) 36d)42 e) 28

RESOLUCIÓN

(por dato en base 5 acaba en 1)

Luego:

24 valores

026.026.Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes.

a)4 b) 5 c) 6d)7 e) 8

RESOLUCIÓNPlanteando el enunciado: “a” # de relojes

* Módulo de :

RPTA.: B



027.027.Se dispone 100 soles para comprar 40 lápices de 1, 4 y 12 soles ¿Cuántos lápices de 1 sol se han comprado? Dar como respuesta la suma de las cifras.

a) 5 b) 6 c) 28d) 10 e) 11

028.028.Si: ; ; . Determinar: a + b

a) 1 b) 2 c) 4d) 0 e) 3

029.029.Determinar la suma de los factores primos del menor número de 3 cifras que siendo divisible por 7, al dividirlo entre 2, 3, 4, 5 ó 6 deja residuo 1.

a) 28 b) 31 c) 39d) 50 e) 121

030.030.hallar el menor número N tal que:

y

35

9 3

a 4b 12c 100a b c 40

3b 11c 60

Es múltiplo

de 7

o

o

o

o 121

o

abc 2 1

abc 3 1abc 4 1 abcabc 5 1

abc 6 1

181241301361

o60 1

Roly Paucar Cruz

a) 59 b) 45 c) 46d) 52 e) 31

031.031.Hallar la diferencia entre “x” e “y”. Si el número es multiplote de 72.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

032.032.Si: , entonces el mínimo valor de “n” será:

b) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

033.033.¿Cuántos números naturales de 3 cifras, cuya suma de cifras es 17, son múltiplos de 22?

a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) más de 4


o

o4N 15 13

4N 15 2

o

o

o

N 7 34N 7 12

4N 7 2

o

210524N 1 0 5 2

b 3

o

o

o

8 66 8

a c b 11a c b 172 a c 11 6

a c 11 3

Único valor que cumple las

condiciones del problema

o(n)

6

181 7 1

n(n

o

13

8) 7


Los #s son:

Existen 2 #s

034.034.¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre: 2, 3, 6 ó 7; deja un residuo que es menor en uno que el divisor empleado?

a) 43 b) 83 c) 41d) 125 e) 167

035.035.De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos verdes y la onceava parte de los varones tienen ojos azules ¿Cuántas mujeres como mínimo no tienen ojos verdes?

a) 4 b) 48 c) 26d) 19 e) 23

036.036.El número de alumnos de un colegio está entre 500 y 1000. Si salen de paseo en grupos de 3 personas forman un número exacto de grupos y lo mismo sucede si salen en grupos de 5. El colegio está formado por secciones del mismo número de alumnos, el número de secciones es igual al número de alumnos por sección. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?

a) 600 b) 750 c) 510d) 900 e) 960

35

Conviene menos

mujeres

Roly Paucar Cruz

037.037.Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por decenas, por docenas y de 15 en 15 en cada caso le sobran siempre 7 llaves, además al vender sus llaves a diez céntimos gana entre 50 y 60 soles. ¿Cuántas llaves tenia el cerrajero?

a) 599 b) 587 c) 573d) 547 e) 531

038.038.Un niño cuenta los animales que tiene de 3 en 3 y observa que le falta 2 para formar otro grupo, de 5 en 5 le sobran 2, de 7 en 7 le sobran 4.¿Cuantos animales tiene si son menos de 100?

a) 22 b) 32 c) 37d) 67 e) 76

039.039.En una fiesta infantil el payaso “MELOcontoncito” juega con un grupo no más de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta.



a)42 b) 130 c) 47d)122 e) 56

RESOLUCIÓN# niños (N) 150

Pero:

RPTA.: C

040.040.En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera parte usan corbata; los usan

lentes y los llevan saco. De las mujeres se sabe que: la sexta parte usa minifalda; las usan

lentes y las tienen ojos azules. Calcule el número de personas que usan lentes.

a)137 b) 56 c) 81d)420 e) 48

RESOLUCIÓN

Total = 528

De los varones (V):* usan corbata =

* usan lentes =

* llevan saco =

De las mujeres (M):* usan minifalda =

* usan lentes =

* tienen ojos azules =

Personas con lentes: 137RPTA.: A

35

Roly Paucar Cruz

041.041.Un comerciante va a la “Galería Gamarra” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero.

a)183 b) 172 c) 163d) 184 e) 195

RESOLUCIÓN

Artículo: camisas; polos, pantalones

Precio Unitario 24 15 60N° de Articulos x y z

Máximo

x + z > 10

Luego:

Remplazando en

RPTA.: A

042.042.En el salón de Rolicito hay alumnos si se agrupan para

estudiar de 6 en 6 sobran 2, si lo hacen de 5 en 5 faltan 3 para formar otro grupo. ¿Cuantos alumnos hay en el aula si es el menor posible? Dar como respuesta la suma de las cifras.a) 5 b) 7 c) 13

d) 8 e) 9

De donde el menor valor posible será:



043.043.¿Cuántos números capicúas de 3 cifras al dividirse entre 5 y 11 dejan como residuo 4 y 3 respectivamente?a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) 8

Ordenando y tabulando los valores para que se cumpla la

divisibilidad:

044.044.Una pareja días antes de celebrar sus Bodas de Plata, compran un boleto de lotería cuyo número es de la forma

, el cual es múltiplo de los años que llevan casados. Hallar la suma de las cifras del mayor número que cumpla esta condición.

a) 27 b) 30 c) 33d) 36 e) 39

Días antes de las bodas de plata son 24 años, luego se buscan los

valores máximos.

045.045.A un congreso de informática asistieron personalidades europeas y americanas, entre los europeos

son médicos, los son ingenieros y los son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades?

a) 138 b) 183 c) 381d) 318 e) 128

Además:

35

MCM de 7, 14 y

15

Roly Paucar Cruz

046.046.En una fabrica donde trabajan 150 empleados, salen de vacaciones un cierto número de ellos. Si estos se agrupan de a 10,de a 12, de a 15 y de a 20 siempre sobran 6 empleados, agrupando de a 18 no sobra ninguno. ¿Cuantos empleados no están trabajando?

a) 123 b) 120 c) 126d) 261 e) 210

047.047.A una reunión asistieron 201 personas y se observa que de los hombres la onceava parte tenia corbata, de las mujeres la tercera parte usaba falda y la quinta parte usaba pantalón. ¿Cuántas mujeres no usan ni falda ni pantalón?

a) 60 b) 70 c) 63d) 73 e) 93

048.048.Hallar el mayor número de 3 cifras tal que al ser expresado en base 5, 6 y 7; las cifras del primer orden fueron 4, 5 y 6 respectivamente.

a) 831 b) 318 c) 839d) 834 e) 813


Debe ser múltiplo de 18


049.049.Si: . ¿Cuál es resto que deja cuando se divide entre 29?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Al dividir “3” ó “32” entre “29” el residuo es

050.050.Si se tiene la siguiente expresión:

Halle el residuo por exceso de dividir E entre 9.

a) –8 b) –1 c) 1d) 8 e) 1 ó –1

051.051.De los 1500 primeros números enteros positivos, ¿cuántos múltiplos de 3 ó 5 pero no de 15 existen?a) 600 b) 500 c) 400d) 800 e) 700

35

Roly Paucar Cruz

052.052.en una batalla han participado 4000 hombres. De los supervivientes se sabe que el

no fuma, el no bebe. Cuantos han muerto en la batalla?

a) 337 b) 423 c) 294d) e) 197

Además:

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.01. Si: ¿Cuántas soluciones hay? (considerar a y b distintos)

a) 25 b) 16 c) 41 d) 40 e) 45

02.02. Hallar “a” en

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 803.03. Hallar “a” en

a) 2 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10

04.04. Hallar a + b en

a) 10 b) 11 c)8d) 13 e) 14

05.05. Si : Hallar

a) 21 b) 30 c) 27 d) 35 e) 12

06.06. El numero es múltiplo de 56. Hallar a + b.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

07.07. Si : es divisible por 45. Hallar ;

a) 10 b) 30 c) 27 d) 12 e) 42



08.08. Si ¿Cuál es el valor de “b”?

a) 8 b) 1 c) 7 d) 2 e) 5

09.09. Si ¿Cuál es el valor de “b”?a) 8 b) 1 c) 7 d) 2 e) 5

010.010.Hallar “m” si

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5

011.011.Hallar “a” si

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5

012.012.La cantidad de alumnos de un salón de clase es un numero entre 100 y 120. Al ser agrupados de 5 en 5 y de 7 en 7, en ambos casos sobran 3. Si se agrupan de 6 en 6 sobra:

a) 0 b) 1 c ) 2 d) 3 e) 4

013.013.¿Cuál es el número más cercano a 1000 que es múltiplo de 17?

a) 997 b) 986 c) 1001 d) 1003 e) 999

014.014. El número de la forma al ser dividido entre 7 da

como resta 5. Hallar a.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3

015.015. Hallar “a” sabiendo que el número de la forma es divisible entre 56.

a) 9 b) 6 c) 4 d) 2 e) 5

016.016.¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 12?

a) 74 b) 75 c) 76 d) 77 e) 78

017.017.¿Cuál es el residuo de dividir

entre 9?

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0

018.018.Al dividir el numero entre 99 el resto fue 10. Calcular (a – b).

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0019.019. En un barco hay 150 personas, ocurre un accidente y muere un grupo de ellas. De los sobrevivientes los 2/9 son solteros y los 14/14 son

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Roly Paucar Cruz

colombianos. ¿Cuántos murieron?

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

020.020.En una fiesta donde habían 120 personas entre damas, caballeros y niños. El número de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la tercera parte del número de damas; el número de niños era igual a la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fueron con vestido rojo. ¿Cuántas damas no bailaban en ese momento?

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

021.021.En un división el dividendo es y el divisor es . El resto de dividir el cociente entre 11 es:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

022.022. ¿Cuántos múltiplos de 8 existen en los primeros 735 números enteros positivos?a) 90 b) 91 c) 92 d) 95 e) 96

023.023.¿Cuántos números de cuatro cifras son divisibles por 17?

a) 530 b) 520 c)510 d) 500 e) 490

024.024. Si se multiplica por 11 se obtiene . Hallar a + b + c.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 20 e) 22

025.025.Hallar los valores de a y b para que sea divisible por 45.

a) a = 5, b = 6 b) a = 5, b = 5c) a = 6, b = 6 d) a = 6, b = 5e) a = 6, b = 9

026.026. Al dividir entre 99, el resto fue 10. ¿Cuáles son los valores de a y b?

a) a = 1, b = 2 b) a = 2, b = 3 c) a = 3, b = 1 d) a = 1, b = 3e) a = 3, b = 2

027.027. El numero siempre es divisible entre:

a) 14 b) 22 c) 26 d) 77 e) 55

028.028.En una división el divisor es un , el cociente es un

. ¿Cómo tendrá que ser el



dividendo si el residuo es un ?

a) b) c) d) e)

029.029. Si: Hallar el valor de A.a) 4 b) 5 c) 0 d) 3 e) 6

030.030.Hallar el residuo de dividir 131326 entre 5.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

031.031.¿Cuántos múltiplos de 8 existen en los primeros 735 números enteros positivos?

a) 90 b) 91 c) 92 d) 95 e) 96

032.032. La suma de 83 enteros consecutivos es .Hallar “a”.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

033.033.Determinar el resto que se obtiene al dividir el numero

entre 9 siendo “k” un numero entero.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

034.034.Halla r el menor valor que se puede adoptar (a + b) si:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

035.035.Determinar el mayor de “n”, que sea menor que 267, sabiendo que la siguiente expresión al ser dividida entre 150, deja como residuo 90.

con n

a) 234 b) 235 c) 264 d) 264 e) 328

036.036. En una fiesta donde asistieron 105 personas entre niños, damas y varones, se observo que la cantidad de niños era la 7ma parte de las damas y los varones que no bailaban eran la 8va parte de las damas ¿Cuántas damas no bailaban?

a) 34 b) 56 c) 22 d) 12 e) 28

037.037.En una clase de aritmética se observo que la 13va parte de las mujeres usaban short y la 11va parte de los varones usaban polos. Si en total asistieron 98 alumnos ¿Cuántos hombres y cuantas mujeres había?

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Roly Paucar Cruz

a) 65,33 b) 66,32 c) 54,44 d) 33,65 e) 44,54

038.038. Determinar ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5?

a) 110 b) 115 c) 120 d) 124 e) 150

039.039.Hallar el resto de dividir

a) 0 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5

040.040. Calcular el residuo de dividir N entre 7. Si:

Además:

a) 4 b) 2 c)1 d) 3 e) 0

041.041. Hallar el residuo de dividir entre 7

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

042.042. Si: N = 5K + 1 y además:

N = entonces como mínimo puede ser:

a) 19 b) 12 c) 11d) 10 e)21


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