DIVISIBILIDAD · res primos de un número y el método con el que se calculan el máximo común...

2 Divisibilidad

32Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Los alumnos conocen el concepto de múltiplo y divisor de Primaria, en este curso se trata de afianzar estos conceptos no intercambiando su significado. Lo mismo pasa con los números primos, ya son conocidos por los alumnos los primeros números primos aunque este año se utiliza la criba de Eratóstenes para conocer los primos menores que 100. Totalmente nuevo para ellos es la descomposición en facto-

res primos de un número y el método con el que se calculan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, este año se centra en la utilización de la descomposición factorial.

Los contenidos que se trabajan en esta unidad parten de situaciones cotidianas en las que encontramos divisibilidad y se trabajan situaciones en las que para encontrar la solución se necesita el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacio-nados con la divisibilidad.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la divisibilidad.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el empaquetado de los productos, los alumnos profundizarán en el uso de la divisibilidad.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia de sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar la relación de divisibilidad entre dos números, y calcular los múltiplos y los divisores de un número.❚❚ Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad.❚❚ Diferenciar entre número primo y número compuesto y reconocer los números primos menores que 100.❚❚ Hallar la descomposición factorial de un número.❚❚ Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de la divisibilidad.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la divisibilidad.

DIVISIBILIDAD2

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2Divisibilidad

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la divisibilidad.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre divisibilidad y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la divisibilidad pueden acceder a las lecciones 1032, 1034, 1035 y 1044 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisoresRelación de divisibilidadMúltiplos y divisores

1. Conocer propiedades de los números en contextos de divisibilidad, y utilizarlos en situaciones cotidianas.

2. Calcular los múltiplos y los divisores de un número.

1.1. Identifica la relación de divisibilidad entre dos números. 1.2. Emplea adecuadamente la relación de divisibilidad para resolver problemas cotidianos contextualizados.

2.1. Calcula los múltiplos y divisores de un número.

1, 2589, 10Matemáticas vivas 1, 5-7Trabajo cooperativo3-859-65

CMCTCLCSCCAACSIEE

Criterios de divisibilidad

3. Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad del 2, 3, 5, 9, 10 y 11.

3.1. Reconoce y maneja los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9, 10 y 11. 3.2. Utiliza los criterios de divisibilidad en ejercicios, actividades y problemas contextualizados.

11-15

66-7089-104

CMCTCLCSCCAACSIEE

Números primos y compuestos

4. Diferenciar entre número primo y número compuesto.

4.1. Reconoce y diferencia números primos y compuestos.

4.2. Aplica la criba de Eratóstenes para determinar números primos.

16, 1719-2271, 721873, 74

CMCTCDCLCSCCAA

Factorización de un número

5. Hallar la descomposición factorial de un número.

5.1. Aplica los criterios de divisibilidad para descomponer en factores primos números naturales.

23-3075-79CM1, CM2

CMCTCDCLCSCCAA

Máximo común divisor

6. Calcular el máximo común divisor de varios números.

6.1. Identifica y calcula el máximo común divisor de dos o más números naturales mediante el algoritmo adecuado.6.2. Aplica el cálculo del máximo común divisor a problemas contextualizados.

6.3. Calcula el máximo común divisor utilizando medios tecnológicos.

31-3680-88 3747-5789-104Matemáticas vivas 438

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Mínimo común múltiplo

7. Calcular el mínimo común múltiplo de varios números.

7.1. Identifica y calcula el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales mediante el algoritmo adecuado.7.2. Aplica el cálculo del mínimo común múltiplo a problemas contextualizados.

7.3. Calcula el mínimo común múltiplo utilizando medios tecnológicos.

39-4480-88

4547-5789-104Matemáticas vivas 246Matemáticas vivas 3

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Criterios de divisibilidad

4. Factorización de un número

¿Qué tienes que saber? • Múltiplos y divisores de un número. • Criterios de divisibilidad. • Números primos y compuestos. • Máximo común divisor y mínimo

común múltiplo.

Matemáticas vivasPaquetes de productos • Estudio de la divisibilidad en el

supermercado

AvanzaRelación entre el m.c.d. y el m.c.m.

Cálculo mentalEstrategia para la división

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Años bisiestos y divisibilidad

1. Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores

• Relación de divisibilidad • Múltiplos y divisores

GeoGebra. Criba de Eratóstenes

Actividades interactivas

3. Números primos y compuestos

Vídeo. Cálculo del máximo común divisor

Vídeo. Cálculo del mínimo común múltiplo

5. Máximo común divisor

6. Mínimo común múltiplo

MisMates.esLecciones 1032, 1034, 1035 y 1044 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

2 Divisibilidad

Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO34

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2Divisibilidad


Sugerencias didácticas

Introducimos la unidad con un ejemplo curioso de divisi-bilidad que todos los alumnos utilizan, los años bisiestos. Podemos introducir la unidad preguntando por el próximo años bisiesto y después comentar las diferentes excepcio-nes.

Antes de comenzar la unidad conviene repasar el cálculo de divisiones así como las propiedades de la división. También es necesario recordar el uso de las potencias debido a su importancia para el cálculo del máximo y el mínimo común divisor.

Contenido WEB. AÑOS BISIESTOS Y DIVISIBILIDAD

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC en el que se explica la implantación del calendario juliano primero y del gregoriano después, según los estudios sobre la du-ración real de los años y la aplicación de las reglas de divisibilidad para determinar los años bisiestos. Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

25

2El año 2012 fue bisiesto, es decir, el mes de febrero tuvo 29 días. Esto ocurre porque la Tierra no tarda exactamente 365 días en dar una vuelta alrededor del Sol, y es necesario añadir 1 día cada 4 años para corregir este error.

En general, un año es bisiesto si, al dividirlo por 4, su resto es 0. Pero hay excepciones: cuando el año termina en 00, es bisiesto si, al dividirlo entre 400, da de resto 0. Así, el año 1900 no fue bisiesto, mientras que el 2000 sí lo fue.

DIVISIBILIDAD

REPASA LO QUE SABES1. Copia y completa.

Dividendo = ⋅ cociente +

2. Calcula estas divisiones y comprueba el resultado realizando la prueba de la división.

a) 425 : 31 b) 1 506 : 42

3. Indica cuál de las siguientes divisiones es exacta.

a) 357 : 17 b) 2 135 : 55

4. Completa estas relaciones en tu cuaderno.

a) 513 : 19 = 27 → § ⋅ § = 513

b) 1 856 : 58 = § → 58 ⋅ 32 = 1 856

5. Expresa en forma de potencia.

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5

El año 2012 fue bisiesto, es decir, el mes de febrero tuvo 29 días. Esto ocurre porque la Tierra no tarda exactamente 365 días en dar una vuelta alrededor del Sol, y es necesario añadir 1 día cada 4 años para corregir este error.

En general, un año es bisiesto si, al dividirlo por 4, su resto es 0. Pero hay excepciones: cuando el año termina en 00, es bisiesto si, al dividirlo entre 400, da de resto 0. Así, el año 1900 no fue bisiesto, mientras que el 2000 sí lo fue.

IDEAS PREVIAS

Los números naturales:

❚ Multiplicación.

❚ División.

❚ Prueba de la división.

❚ Potencias.

ma1e5

Cada 7 años bisiestos, es decir, cada 28 años, se produce un hecho singular: el mes de febrero tiene 5 domingos. Esta es una de las particularidades del calendario gregoriano que utilizamos actualmente.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Copia y completa.

Dividendo = _______ ⋅ cociente + _______

Dividendo = Divisor ⋅ Cociente + Resto

2. Calcula estas divisiones y comprueba el resultado realizando la prueba de la división.

a) 425 : 31 b) 1 506 : 42

a) 425 31 b) 1 506 42

22 13 246 35

36

Comprobación: Comprobación:

31 ⋅ 13 + 22 = 425 42 ⋅ 35 + 36 = 1 506

3. Indica cuál de las siguientes divisiones es exacta.

a) 357 : 17 b) 2 135 : 55

a) Es exacta: 357 = 17 ⋅ 21 b) No es exacta: 2 135 = 55 ⋅ 38 + 45

4. Completa estas relaciones en tu cuaderno.

a) 513 : 19 = 27 → § ⋅ § = 513 b) 1 856 : 58 = § → 58 ⋅ 32 = 1 856

b) 27 ⋅ 19 b) 32

5. Expresa en forma de potencia.

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5

a) 36 b) 53

2 Divisibilidad


1. Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores

27

2Actividades2 Divisibilidad

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1. RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Relación de divisibilidad

Laura tiene que envasar 180 L de aceite de oliva en garrafas de 5 L, y Jaime, 153 L en garrafas de 2 L. ¿Podrán envasar cada uno su aceite sin que les sobre ningún litro?

Para saberlo, dividimos los litros de aceite entre la capacidad de las garrafas.

1 8 0 5 1 5 3 2

3 0 3 6 1 3 7 6

0 1

Observa que Laura podrá envasar todo el aceite, porque la división de 180 entre 5 es exacta, es decir, tiene resto 0.

Sin embargo, a Jaime le quedará 1 litro de aceite sin envasar, ya que la división de 153 entre 2 no es exacta, es decir, tiene resto distinto de 0.

Entre dos números existe una relación de divisibilidad si la división del número mayor entre el menor es exacta.

Múltiplos y divisores

¿Cuántos litros de aceite se pueden comprar en un supermercado que vende el aceite en garrafas de 2 L?

Para averiguarlo multiplicamos la cantidad de litros que hay en una garrafa por el número de garrafas que se compran:

2 ⋅ 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 5 …

N.º de litros 2 4 6 8 10 …

Podemos comprar 2, 4, 6, 8, 10, … litros de aceite.

Estos números son múltiplos de 2.

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar ese número por los números naturales: 1, 2, 3, 4, …

Marta compra 6 garrafas de aceite. ¿Cuántos grupos de garrafas iguales puede formar sin que sobre ninguna?

Para averiguarlo, tenemos que buscar qué números dividen a 6 de manera exacta.

6 : 1 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1

Marta puede formar 1, 2, 3 o 6 grupos de garrafas.

Estos números son los divisores de 6.

Observa que, entre los divisores de un número, se encuentra la unidad y el mismo número.

Un número es divisor de otro si la división del segundo entre el primero es exacta.

Aprenderás a… ● Identificar la relación de divisibilidad entre dos números.

● Calcular los múltiplos y los divisores de un número.

Presta atención

Si entre dos números existe una relación de divisibilidad, el número mayor es múltiplo del menor, y el menor es divisor del mayor.

1 8 6

0 3

❚ 18 es múltiplo de 6.

❚ 6 es divisor de 18.

Presta atención

Para comprobar si existe relación de divisibilidad entre dos números, dividimos el mayor entre el menor.

Comprueba si entre los siguientes números existe relación de divisibilidad.a) 150 y 25 c) 252 y 12 e) 15 y 885b) 672 y 32 d) 3 458 y 45 f) 17 y 490

Agrupa estos números por parejas que cumplan relación de divisibilidad.13 8 312 72 189 12 60 21 3 65

Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números.a) 4 b) 6 c) 12 d) 15 e) 21 f) 28

Copia y completa con los ocho primeros múltiplos en cada caso.

a) 5 = {5, 10, §, 20, 25, §, §, 40, …}

b) 7 = {7, §, 21, §, §, §, 49, §, …}

c) 9 = {9, §, 27, §, §, §, §, 72, …}

d) 11 = {§, §, §, 44, §, §, 77, §, …}

Escribe un múltiplo de 25 que esté entre 110 y 140.

1

2

3

4

5

Copia y completa con los divisores que faltan.

a) Div (6) = {1, §, § y 6}

b) Div (10) = {1, §, 5 y §}

c) Div (18) = {1, §, §, §, § y 18}

Halla todos los divisores de los siguientes números.a) 42 d) 52b) 38 e) 91c) 27 f) 100

Completa en tu cuaderno con la palabra múltiplo o divisor.

a) 2 es de 8. c) 6 es de 24.

b) 35 es de 7. d) 24 es de 6.

Guillermo quiere guardar 40 canicas en bolsas que tengan el mismo número de unidades. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? Escríbelas.

6

7

8

9

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula todos los divisores de 20.

SoluciónDividimos 20 entre los sucesivos números naturales hasta que el cociente sea menor que el divisor.

20 1 20 2 20 3 20 4 20 5

0 2 0 0 1 0 2 6 0 5 0 4 cociente < divisor

De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente.Div (20) = {1, 2, 4, 5, 10 y 20}

DESAFÍOEn la hucha de Martina hay solo monedas de 1 €. Al abrirla, observa que tiene menos de 100 monedas. Además, si las coloca en montones de 2, 3, 4, 5 y 6 monedas, le sobran 1, 2, 3, 4 y 5 monedas, respectivamente. ¿Cuántas monedas puede tener?

10

❚ Para identificar los múltiplos de un número utilizamos un punto sobre ese número.

múltiplos de 5 → 5

❚ Para identificar los divisores de un número utilizamos Div ( ).

divisores de 20 → Div (20)

Lenguaje matemático

Soluciones de las actividades1 Comprueba si entre los siguientes números existe relación de divisibilidad.

a) 150 y 25 c) 252 y 12 e) 15 y 885

b) 672 y 32 d) 3 458 y 45 f) 17 y 490

Entre dos números existe una relación de divisibilidad, si al dividirlos, el resto es 0. Es decir, cuando la división es exacta.

a) Sí, 150 : 25 = 6 c) Sí, 252 : 12 = 21 e) Sí, 885 : 15 = 59

b) Sí, 672 : 32 = 21 d) No existe. f) No existe.2 Agrupa estos números formando parejas que cumplan la relación de divisibilidad.

13 8 312 72 189 12 60 21 3 65

(12, 3) (21, 3) (60, 3) (60, 12) (72, 3) (72, 8) (72, 12) (189, 3) (189, 21) (312, 3) (312, 8) (312, 12) (312, 13)3 Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números.

a) 4 b) 6 c) 12 d) 15 e) 21 f) 28

Para obtener los múltiplos de un número, lo multiplicamos por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

a) 4, 8, 12, 16, 20 c) 12, 24, 36, 48, 60 e) 21, 42, 63, 84, 105

b) 6, 12, 18, 24, 30 d) 15, 30, 45, 60, 75 f) 28, 56, 84, 112, 140


El epígrafe comienza introduciendo la relación de divisibili-dad. A partir de dicha relación se introducen los múltiplos y divisores de un número.

Estos conceptos generan equívocos y los alumnos suelen intercambiarlos. Es conveniente trabajar las diferencias en-tre ambos.

Es importante que los alumnos no los confundan para des-pués comprender el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Una posibilidad para diferenciarlo es hacer-les pensar si el múltiplo de un número tiene que ser mayor o menor que ese número. La misma estrategia se puede usar para los divisores.

37

2Divisibilidad


4 Copia y completa los ocho primeros múltiplos en cada caso.

a) 5 = {5, 10, §, 20, 25, §, §, 40, …} c) 9 = {9, §, 27, §, §, §, §, 72, …}

b) 7 = {7, §, 21, §, §, §, 49, §, …} d) 11 = {§, §, §, 44, §, §, 77, §, …}

a) 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …} c) 9 = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …}

b) 7 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, …} d) 11 = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, ...}5 Escribe un múltiplo de 25 que esté entre 110 y 140.

25 ⋅ 1 = 25 25 ⋅ 2 = 50 25 ⋅ 3 = 75 25 ⋅ 4 = 100 25 ⋅ 5 = 125 25 ⋅ 6 = 150, …

Luego el múltiplo de 25 comprendido entre 110 y 140 es 125.6 Copia y completa los divisores que faltan.

a) Div(6) = {1, §, § y 6} b) Div(10) = {1, §, 5 y §} c) Div(18) = {1, §, §, §, § y 18}

a) Div(6) = {1, 2, 3 y 6} b) Div(10) = {1, 2, 5 y 10} c) Div(18) = {1, 2, 3, 6, 9 y 18}7 Halla todos los divisores de los siguientes números.

a) 42 b) 38 c) 27 d) 52 e) 91 f) 100

a) Div(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

42 : 1 = 42 42 : 2 = 21 42 : 3 = 14 42 : 6 = 7 42 : 7 = 6 42 : 14 = 3 42 : 21 = 2 42 : 42 = 1

b) Div(38) = {1, 2, 19, 38}

38 : 1 = 38 38 :2 = 19 38 :19 = 2 38 :38 = 1c) Div(27) = {1, 3, 9, 27}

27 : 1 = 27 27 : 3 = 9 27 : 9 = 3 27 : 27 = 1

d) Div(52) = {1, 2, 4, 13, 26, 52}

52 : 1 = 52 52 : 2 = 26 52 : 4 = 13 52 : 13 = 4 52 : 26 = 2 52 : 52 = 1

e) Div(91) = {1, 7, 13, 91}

91 : 1 = 91 91 : 7 = 13 91 : 13 = 7 91 : 91 = 1

f) Div(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

100 : 1=100 100 : 2 = 50 100 : 4 = 25 100 : 5 = 20 100 : 10 = 10

100 : 20 = 5 100 : 25 = 4 100 : 50 = 2 100 : 100 = 18 Completa en tu cuaderno con la palabra múltiplo o divisor.

a) 2 es ______ de 8. b) 35 es ______ de 7. c) 6 es ______ de 24. d) 24 es ______ de 6.

a) 2 es divisor de 8. (8 : 2 = 4) c) 6 es divisor de 24. (24 : 6 = 4)

b) 35 es múltiplo de 7 ⋅ (7 ⋅ 5 = 35) d) 24 es múltiplo de 6. (6 ⋅ 4 = 24)9 Guillermo quiere guardar 40 canicas en bolsas que tengan el mismo número de unidades. ¿De cuántas maneras puede

hacerlo? Escríbelas.

Calculamos los divisores de 40 que representa el número de bolsas que se pueden tener y el resultado de la división re-presenta el número de unidades en cada bolsa.

Div(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

40 : 1 = 40 → 1 bolsa de 40 canicas cada una 40 : 8 = 5 → 8 bolsas de 5 canicas cada una

40 : 2 = 20 → 2 bolsas de 20 canicas cada una 40 : 10 = 4 → 10 bolsas de 4 canicas cada una

40 : 4 = 10 → 4 bolsas de 10 canicas cada una 40 : 20 = 2 → 20 bolsas de 2 canicas cada una

40 : 5 = 8 → 5 bolsas de 8 canicas cada una 40 : 40 = 1 → 40 bolsas de 1 canica cada una

Investiga10 En la hucha de Martina hay solo monedas de 1 €. Al abrirla, observa que tiene menos de 100 monedas. Además, si las

coloca en montones de 2, 3, 5 y 6 monedas, le sobran, respectivamente, 1, 2, 3, 4 y 5 monedas. ¿Cuántas monedas puede tener?

El número acaba en 4 o en 9 porque al dividirlo entre 5 tiene resto 4 y no puede acabar en cifra par. Con el resto los comprobamos y los posible son 29, 59 y 89 monedas.

2 Divisibilidad


2. Criterios de divisibilidad

29


28

2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Escribimos los primeros múltiplos de 2, 3, 5, 9 y 10 y buscamos el patrón que siguen.

Indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Utiliza los criterios de divisibilidad.a) 2 es divisor de 892. c) 5 es divisor de 789. e) 10 es divisor de 680.b) 3 es divisor de 625. d) 9 es divisor de 306. f) 11 es divisor de 209.

Completa esta tabla en tu cuaderno.

Divisiblepor 2

Divisiblepor 3

Divisiblepor 5

Divisiblepor 9

Divisible por 10

Divisiblepor 11

4 520 O O O O O O

3 564 O O O O O O

389 O O O O O O

9 218 O O O O O O

12 036 O O O O O O

49 566 O O O O O O

11

12

Aprenderás a… ● Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad del 2, el 3, el 5, el 9, el 10 y el 11.

Para comprobar si un número es múltiplo de 11, realizamos estos pasos:

1 Sumamos las cifras que ocupan los lugares pares. 4 752 → 4 + 5 = 9

2 Sumamos las cifras que ocupan los lugares impares. 4 752 → 7 + 2 = 9

3 Calculamos la diferencia entre los resultados de las sumas anteriores. 9 − 9 = 0

4 Si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número es múltiplo de 11. 4 752 es múltiplo de 11.

Los criterios de divisibilidad permiten averiguar si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.

Divisible por… Criterio de divisibilidad

2 Si termina en 0 o en cifra par.

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5 Si termina en 0 o 5.

9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

10 Si termina en 0.

11Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan las posiciones pares y la de las que ocupan las posiciones impares es 0 o múltiplo de 11.

Presta atención

Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.

Copia y completa los siguientes números para que se verifique que:

a) 45§ sea divisible por 2. d) 3 §50 sea divisible por 10.

b) 3 4§8 sea divisible por 3. e) 34 9§5 sea divisible por 11.

c) 41 54§ sea divisible por 5. f) 5 42§ sea divisible por 6.

Halla la cifra que falta en cada número para que:

a) 4 36§ sea divisible por 2 y por 5.

b) 3 §56 sea divisible por 3 y por 11.

c) 450 § sea divisible pro 2 y por 3.

13

14

EJERCICIO RESUELTO

} Completa el número 4 5§2 para que sea:

a) Divisible por 3. b) Divisible por 11.

Solución

a) Sumamos las cifras del número: 4 + 5 + § + 2 = 11 + § Buscamos una cifra tal que el resultado de la suma sea un múltiplo de 3. 11 + 1 = 12 → 4 512 es múltiplo de 3. 11 + 4 = 15 → 4 542 es múltiplo de 3. 11 + 7 = 18 → 4 572 es múltiplo de 3.

b) La suma de las cifras que ocupan las posiciones impares es 5 + 2 = 7.

La suma de las cifras que ocupan las posiciones pares es 4 + §. La diferencia entre los resultados anteriores tiene que dar 0 o múltiplo de 11.

4 + § − 7 = 0 → La cifra que buscamos es 3. El número 4 533 es divisible por 11.

4 + § − 7 = 11 → No existe ninguna cifra que cumpla la igualdad.

Investiga

Investiga cuál es el criterio de divisibilidad del 7. Después comprueba si estos números son divisibles por 7.a) 343 b) 182 c) 352 d) 399 e) 567 f) 1 890

15

Soluciones de las actividades11 Indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Utiliza los criterios de divisibilidad.

a) 2 es divisor de 892. d) 9 es divisor de 306.

b) 3 es divisor de 625. e) 10 es divisor de 680.

c) 5 es divisor de 789. f) 11 es divisor de 209.

a) Verdadera. La última cifra es par.

b) Falsa. La suma de sus cifras no es múltiplo de 3.

c) Falsa. No termina ni en 0 ni en 5.

d) Verdadera. La suma de sus cifras es múltiplo de 9.

e) Verdadera. El número termina en 0.

f) Verdadera. La diferencia cifras de posiciones pares y posiciones impares es múltiplo de 11.


Antes de comenzar este epígrafe es conveniente trabajar la utilidad de saber si un número es divisible entre otro sin tener que llegar a efectuar la división. Utilizando un criterio podemos saber si un número es múltiplo o divisor de otro de forma rápida.

Los criterios que se fijan en la última cifra suelen ser muy sencillos para los alumnos. Conviene dedicar más esfuerzos en los criterios del 3 y del 9, y sobre todo insistir en el crite-rio del 11.

El mayor problema que suelen tener los alumnos con el cri-terio de divisibilidad del 11 es que no entienden bien el sig-nificado de las cifras de posición par y las cifras de posición impar. Suelen prescindir de la palabra posición al aplicar el criterio y suman las cifras con un valor par por un lado, y por otro lado, las cifras con un valor impar. Es importante trabajar con detalle para solventar este error.

39

2Divisibilidad


Divisible por 2

Divisible por 3

Divisible por 5

Divisible por 9

Divisible por 10

Divisible por 11

4 520 Sí No Sí No Sí No

3 564 Sí Sí No Sí No Sí

389 No No No No No No

9 218 Sí No No No No Sí

12 036 Sí SI No No No No

49 566 Sí SI No No No Sí

13 Copia y completa los siguientes números para se verifique que:

a) 45§ sea divisible por 2. d) 3 §50 sea divisible por 10.

b) 3 4§8 sea divisible por 3. e) 34 9§5 sea divisible por 11.

c) 41 54§ sea divisible por 5. f) 5 42§ sea divisible por 6.

a) Debe terminar en cifra par: 0, 2, 4, 6, 8, luego podría ser: 450, 452, 454, 456 o 458

b) La suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3; y tenemos que 3 + 4 + 8 = 15. Por tanto, la otra cifra puede ser 0, 3, 6, 9, luego podría ser: 3 408, 3 438, 3 468 o 3 498

c) Debe terminar en 0 o en 5, luego podría ser: 41 540 o 41 545

d) Como termina en 0 es divisible por 10, así, la segunda posición podría ser cualquier valor, luego podría ser: 3 050, 3 150, 3 250, 3 350, 3 450, 3 550, 3 650, 3 750, 3 850,3 950.

e) La diferencia entre las cifras que ocupan posiciones pares y las que ocupan posiciones impares debe ser 0 o múltiplo de 11. Las posiciones impares suman 17 y las pares 4, como la cifra que queda por escribir no puede exceder de 9, la única opción es que la diferencia sea 11, luego 17 − 11 = 6 − 4 = 2, es decir, la posición que falta debe valer 2, luego el número sería: 34 925

f) Un número es divisible por 6, si lo es por 2 y por 3. Para que sea divisible por 2, tiene que acabar en cifra par y para que sea divisible por 3, la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3. Como la suma de las cifras conocidas es 11, vamos probando a sumar con cifra par: 0, 2, 4, 6, 8 y el resultado tiene que ser múltiplo de 3. La única combinación posible es 4 ya que 11 + 4 = 15 que es múltiplo de 3. De forma que el número resultante es 5 424.

14 Halla la cifra que falta en cada número para que:

a) 4 36§ sea divisible por 2 y por 5.

b) 3 §56 sea divisible por 3 y por 11.

c) 4 50§ sea divisible por 2 y por 3.

a) Para que sea divisible por 2 debe ser par y para que sea divisible por 5 acabar en 0 o en 5, de forma, que para que se cumplan los dos sólo puede terminar en 0, luego el número sería 4360.

b) No existe ninguna cifra que permita cumplir las dos divisibilidades para el 3 y para el 11.

c) Para que sea divisible por 2 la última cifra tiene que ser par o 0 y las que hacen que sea también divisible por 3 son 0 y 6.

Investiga15 Investiga cuál es el criterio de divisibilidad del 7. Después comprueba si estos números son divisibles por 7.

a) 343 b) 182 c) 352 d) 399 e) 567 f) 1 890

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble del valor de las unidades es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo:

21 → 2 − 1 ⋅ 2 = 0 → 21 es divisible por 7.

28 → 2 − 8 ⋅ 2 = 14 → 28 es divisible por 7.

36 → 3 − 6 ⋅ 2 = 9 → 36 no es divisible por 7.

a) 34 − 3 ⋅ 2 = 28 → 343 es divisible por 7. d) 39 − 9 ⋅ 2 = 21 → 399 es divisible por 7.

b) 18 − 2 ⋅ 2 = 14 → 182 es divisible por 7. e) 56 − 7 ⋅ 2 = 42 → 567 es divisible por 7.

c) 35 − 2 ⋅ 2 = 31 → 352 no es divisible por 7. f) 189 − 0 = 189 → 1890 es divisible por 7.

12 Completa esta tabla en tu cuaderno.

2 Divisibilidad


3. Números primos y compuestos

31


30

DESAFÍO

3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Observa las siguientes expresiones.

3 = 3 ⋅ 1

6 = 6 ⋅ 1 = 3 ⋅ 2

El número 3 solo tiene dos divisores: 1 y 3. Es un número primo.

Sin embargo, el número 6 tiene más de dos divisores: 1, 2, 3 y 6. Se trata de un número compuesto.

❚ Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.

❚ Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Para obtener los números primos, podemos utilizar un método creado por el matemático griego Eratóstenes hace unos 2 200 años. Consiste en ir tachando los números compuestos.

Vamos a calcular los números primos menores que 100 aplicando este método.

Criba de Eratóstenes

Cristina tiene tres primos. El mayor se llama Pedro; el mediano, Álvaro, y el pequeño, Iván. La suma de sus edades es 30 años y, además, la edad de cada uno es un número primo. Sabiendo que ninguno tiene más de 21 años, ¿cuál es la edad de los tres primos de Cristina?

22

Aprenderás a… ● Diferenciar entre número primo y número compuesto.

● Reconocer los números primos menores que 100.

Escribe todos los divisores de estos números y utiliza el resultado para identificar cuáles son primos.a) 26 c) 47 e) 37b) 48 d) 50 f) 81

16

Clasifica los siguientes números en primos o compuestos.a) 47 d) 39 g) 52b) 31 e) 97 h) 30c) 27 f) 53 i) 95

Copia y utiliza la criba de Eratóstenes para identificar los números primos entre el 100 y el 150.

100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

¿Puede haber algún número primo par distinto de 2? Razona tu respuesta.

Identifica el número primo de cada grupo.a) 435, 523, 622 y 723 c) 747, 804, 881 y 905b) 565, 657, 769 y 856 d) 631, 704, 729 y 842

Escribe cada número como el producto de dos factores distintos de 1. ¿En qué casos no se puede hacer? ¿Por qué?a) 32 c) 45 e) 51 g) 57b) 93 d) 19 f) 58 h) 73

17

18

19

20

21

Presta atención

El número 1 no es ni primo ni compuesto, ya que solo tiene un divisor: él mismo.

1 Escribimos en una tabla los números del 1 al 100.

3 El primer número que encontramos es el 2, que es primo.

5 El primero sin marcar es primo.

2 Dejamos fuera el 1 por no ser ni primo ni compuesto.

4 Marcamos todos los múltiplos de 2.

6 Marcamos todos los múltiplos del último número primo rodeado.

7 Volvemos al paso 5.

EJERCICIO RESUELTO

} Averigua si el número 137 es un número primo o compuesto.

SoluciónDividimos 137 entre los números primos menores que él hasta que aparece un cociente menor o igual que el divisor. Si ninguna de las divisiones es exacta, el número 137 es primo.

1 3 7 2 1 3 7 3 1 3 7 5 1 3 7 7 1 3 7 1 1 1 3 7 1 3

1 7 6 8 1 7 4 5 3 7 2 7 6 7 1 9 2 7 1 2 0 7 1 01 2 2 4 5 7

Luego, el número 137 es primo. 10 < 13

En tu vida diaria

Curtis Cooper, profesor de

matemáticas que trabaja

en la Universidad Central

de Missouri (EE. UU.), ha

descubierto el número

primo más grande hasta la

fecha. Es el 257 885 161 − 1 y tiene 17

millones de cifras.

ma1e6

Soluciones de las actividades16 Escribe todos los divisores de estos números y utiliza el resultado para identificar cuáles son primos.

a) 26 d) 50

b) 48 e) 37

c) 47 f) 81

a) Div (26) = {1, 2, 13, 26}

b) Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48}

c) Div(47) = {1, 47}

Es un número primo.

d) Div(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}

e) Div(37) = {1, 37}

Es un número primo.

f) Div(81) = {1, 3, 9, 27, 81}


La idea de número primo la suelen entender aunque no se paran a pensar en la enorme complejidad que tiene com-probar si un número grande es primo, lo sencillo es encon-trar un divisor distinto del 1 y el mismo y comprobar que no es primo.

Es importante que apliquen los criterios de divisibilidad co-nocidos para eliminar posibles números primos.

GeoGebra. CRIBA DE ERATÓSTENES

En este recurso se muestra el procedimiento para realizar la criba con la que podemos determinar los números primos.

Se pueden mostrar los pasos siguiendo las indicaciones o pedir a los alumnos que vayan realizando los pasos y los comprueben a continuación.

41

2Divisibilidad


17 Clasifica los siguientes números en primos o compuestos.

a) 47 d) 39 g) 52b) 31 e) 97 h) 30c) 27 f) 53 i) 95a) Primo d) Compuesto g) Compuestob) Primo e) Primo h) Compuestoc) Compuesto f) Primo i) Compuesto

18 Copia y utiliza la criba de Eratóstenes para identificar los números primos entre el 100 y el 150.

100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

Los primos resultantes son:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 14919 ¿Puede haber algún número primo par distinto de 2? Razona tu respuesta.

No, porque los números pares son divisibles por 2 y por tanto sería compuesto.20 Identifica el número primo de cada grupo.

a) 435, 523, 622 y 723 c) 747, 804, 881 y 905b) 565, 657, 769 y 856 d) 631, 704, 729 y 842a) 523 c) 881b) 769 d) 631

21 Escribe cada número como el producto de dos factores distintos de 1. ¿En qué casos no se puede hacer? ¿Por qué?

a) 32 e) 51b) 93 f) 58c) 45 g) 57d) 19 h) 73a) 4 ⋅ 8 e) 3 ⋅ 17b) 3 ⋅ 31 f) 2 ⋅ 29c) 9 ⋅ 5 g) Es un número primo.d) Es un número primo. h) Es un número primo.

Desafío22 Cristina tiene tres primos. El mayor se llama Pedro; el mediano, Álvaro, y el pequeño, Iván. La suma de sus edades es 30

años y, además, la edad de cada uno es un número primo. Sabiendo que ninguno tiene más de 21 años, ¿cuál es la edad de los tres primos de Cristina?

Los números primos menores del 21 son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19

30 − 19 = 11

No es posible conseguir 11 con dos números.

30 − 17 = 13, 13 − 11 = 2

En este caso la combinación que se obtiene es válida.

Así, las edades son: el mayor 17, el mediano 11 y el pequeño 2.

2 Divisibilidad


4. Factorización de un número

33


32

4. FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO

Observa los siguientes productos.

Descomponemos el número 20 en factores, de tal forma que todos ellos sean números primos.

1 Dividimos el número entre el menor factor primo que dé como resto 0.

2 Dividimos el cociente obtenido entreel mismo número primo hasta quela división no sea exacta.

3 Repetimos el procedimiento con los siguientes números primos hasta queel cociente sea 1.

La descomposición de 20 en factores primos es:

20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 22 ⋅ 5

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos.

Copia y completa. Después, escribe las factorizaciones de cada número.

a) 36 2 c) 350 § e) 270 2

18 § 175 5 § 3

9 3 § 5 § 3

§ 3 7 7 15 §

1 § 5 §

1

b) 42 § d) 245 § f) 112 §

21 3 49 7 56 2

7 § 7 7 28 §

§ § 14 2

§ §

§

Descompón estos números en factores primos.a) 441 d) 675 g) 686b) 210 e) 735 h) 784c) 209 f) 374 i) 207

¿A qué números corresponden estas factorizaciones?a) 52 ⋅ 13 d) 32 ⋅ 11b) 23 ⋅ 33 e) 2 ⋅ 3 ⋅ 72

c) 22 ⋅ 5 ⋅ 7 f) 33 ⋅ 5 ⋅ 11

Copia y completa en tu cuaderno.a) 225 = § ⋅ 5§ d) 200 = 2§ ⋅ §b) 588 = 2§ ⋅ § ⋅ § e) 195 = 13 ⋅ § ⋅ §c) 1 024 = 2§ f) 900 = 2§ ⋅ 3§ ⋅ 5§

Copia y completa los factores que faltan para que sean ciertas las siguientes descomposiciones factoriales.a) 169 = 13 ⋅ § d) 781 = 11 ⋅ §b) 323 = § ⋅ 19 e) 5 917 = § ⋅ 97c) 1 147 = 31 ⋅ § f) 361 = 19 ⋅ §

Utiliza la descomposición factorial para escribir tres múltiplos y tres divisores del número 144.

Descompón en factores primos los números 126 y 441. Utiliza estas descomposiciones para decidir si entre los dos números existe una relación de divisibilidad.

1623

24

25

26

27

28

29

Aprenderás a… ● Hallar la descomposición factorial de un número.

Presta atención

La descomposición en factores primos de un número es única.

1 ⋅ 20 = 20

2 ⋅ 10 = 20

4 ⋅ 5 = 20

El número 20 es compuesto y se puede descomponer en un producto de factores de varias formas.

1 ⋅ 19 = 19

El número 19 es primo y solo se puede descomponer en dos factores: el 1 y el propio número.

EJERCICIO RESUELTO

} Descompón el número 126 en factores primos.

Solución

1 2 6 2 6 3 3 2 1 3 7 7

0 6 6 3 0 3 2 1 0 7 0 10 0

Así, tenemos que: 126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7

126 263 321 37 71

En la práctica, colocamos en la columna de la derecha los divisores primos, y en la de la izquierda, los cocientes resultantes.

2 0 2

0 0 1 0 Cociente

0 Resto

20 = 2 ⋅ 10

1 0 2

0 5 Cociente

0 Resto

10 = 2 ⋅ 5

5 2

1 2 Cociente

Resto

5 3

2 1 Cociente

Resto

5 5

0 1 Cociente

Resto

5 = 5 ⋅ 1

DESAFÍOSin efectuar operaciones, asocia en tu cuaderno cada número con su descomposición factorial.30

245

7 ⋅ 31

217

3 ⋅ 23

847

5 ⋅ 72

150

7 ⋅ 112

69

2 ⋅ 3 ⋅ 52

Soluciones de las actividades23 Copia y completa. Después, escribe las factorizaciones de cada número.

a) 36 2 c) 350 2 e) 270 2

18 2 175 5 135 3

9 3 35 5 45 3

3 3 7 7 15 3

1 1 5 5

1

36 = 22 ⋅ 32 350 = 2 ⋅ 52 ⋅ 7 270 = 2 ⋅ 33 ⋅ 5

b) 42 2 d) 245 5 f) 112 2

21 3 49 7 56 2

7 7 7 7 28 2

1 1 14 2

7 7

1

42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 245 = 5 ⋅ 72 112 = 24 ⋅ 7


La factorización plantea dificultades los alumnos. La mayo-ría de los errores surgen a la hora de realizar las divisiones y encontrar los cocientes para continuar con la descompo-sición factorial.

Es importante recordarles que se trata de una descompo-sición en factores primos; por tanto, no pueden aparecer números compuestos en dicha descomposición.

43

2Divisibilidad


24 Descompón estos números en factores primos.

a) 441 c) 209 e) 735 g) 686 i) 207

b) 210 d) 675 f) 374 h) 784

a) 441 3 d) 675 3 g) 686 2

147 3 225 3 343 7

49 7 75 3 49 7

7 7 25 5 7 7

1 5 5 1

1

441 = 32 ⋅ 72 675 = 33 ⋅ 52 686 = 2 ⋅ 73

b) 210 2 e) 735 3 h) 784 2

105 3 245 5 392 2

35 5 49 7 195 3

7 7 7 7 65 5

1 1 13 13

1

210 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 735 = 3 ⋅ 5 ⋅ 72 784 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 13

c) 209 1 f) 374 2 i) 207 3

99 11 187 11 69 3

9 9 17 17 23 23

1 1 1

209 = 112 ⋅ 9 374 = 2 ⋅ 11 ⋅ 17 207 = 32 ⋅ 2325 ¿A qué números corresponden estas factorizaciones?

a) 52 ⋅ 13 b) 23 ⋅ 33 c) 22 ⋅ 5 ⋅ 7 d) 32 ⋅ 11 e) 2 ⋅ 3 ⋅ 72 f) 33 ⋅ 5 ⋅ 11

a) 325 b) 216 c) 140 d) 99 e) 294 f) 1 48526 Copia y completa en tu cuaderno.

a) 225 = § ⋅ 5 c) 1 024 = 2§ e) 195 = 13 ⋅ § ⋅ §

b) 588 = 2§ ⋅ § ⋅ § d) 200 = 2§ ⋅ § f) 900 = 2§ ⋅ 3§ ⋅ 5§

a) 225 = 32 ⋅ 52 c) 1024 = 210 e) 195 = 3 ⋅ 5 ⋅ 13

b) 588 = 22 ⋅ 3 ⋅ 72 d) 200 = 23 ⋅ 52 f) 900 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52

27 Copia y completa los factores que faltan para que sean ciertas las siguientes descomposiciones factoriales.

a) 169 = 13 ⋅ 13 c) 1 147 = 31 ⋅ 37 e) 5 917 = 61 ⋅ 97

b) 323 = 17 ⋅ 19 d) 781 = 11 ⋅ 71 f) 361 = 19 ⋅ 1928 Utiliza la descomposición factorial para escribir tres múltiplos y tres divisores del número 144.

144 = 24 ⋅ 32

1 44 = {144, 288, 432, 576...} Div(144) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}29 Descompón en factores primos los números 126 y 441. Utiliza estas descomposiciones para decidir si entre los dos núme-

ros existe una relación de divisibilidad.

126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 441 = 32 ⋅ 72 Los dos números son divisibles por 3, 7, 9, 21 y 63.

Desafío30 Sin efectuar operaciones, asocia en tu cuaderno cada número con su descomposición factorial.

245 847 217 150 69

5 ⋅ 72 3 ⋅ 23 7 ⋅ 112

7 ⋅ 31 2 ⋅ 3 ⋅ 52

2 Divisibilidad


5. Máximo común divisor

34

2 Divisibilidad

Investiga

35

5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Elisa va a plantar cipreses para cercar su parcela. Quiere utilizar el menor número de ejemplares posible, de modo que quede la misma distancia entre uno y otro. ¿Cuántos metros ha de dejar entre árbol y árbol?

Como los árboles tienen que rodear toda la parcela, la distancia entre ellos debe ser divisor del ancho y el largo, es decir, de 48 y de 60.

❚ Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

❚ Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12

La distancia entre los árboles debe ser la máxima posible. Por tanto, tomamos el mayor divisor común de 48 y 60, que es 12.

Luego, Elisa ha de dejar 12 m entre un ciprés y otro.

El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

Para calcular el máximo común divisor de dos números, los descomponemos en factores primos.

48 2 60 2

24 2 30 2

12 2 15 3

6 2 5 5

3 3 1

1

48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5

El mayor número que divide a 48 y a 60 es: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 12

Por tanto:

m.c.d. (48, 60) = 22 ⋅ 3 = 12

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se eligen los factores comunes elevados al menor exponente con el que aparecen en las descomposiciones.

3 El producto de esos factores es el máximo común divisor de los números.

Realiza la descomposición factorial de los siguientes pares de números y elige los factores comunes a los dos.a) 24 y 54 d) 72 y 40b) 84 y 108 e) 75 y 175c) 50 y 100 f) 75 y 125

Los siguientes números están descompuestos en factores. a) 23 ⋅ 32 ⋅ 5 y 22 ⋅ 33 ⋅ 7 c) 25 ⋅ 53 y 23 ⋅ 5 ⋅ 112

b) 3 ⋅ 5 ⋅ 72 y 73 ⋅ 11 d) 4 ⋅ 52 ⋅ 13 y 24 ⋅ 52 ⋅ 13Calcula el máximo común divisor en cada caso, sin hallar el valor numérico.

Calcula.a) m.c.d. (8, 16) d) m.c.d. (24, 32)b) m.c.d. (9, 6) e) m.c.d. (14, 21)c) m.c.d. (16, 24) f) m.c.d. (10, 25)

Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.a) 160 y 144 d) 135 y 252b) 108 y 126 e) 294 y 245c) 231 y 286 f) 598 y 715

Calcula.a) m.c.d. (9, 16) d) m.c.d. (25, 13)b) m.c.d. (23, 17) e) m.c.d. (45, 56)c) m.c.d. (2, 18) f) m.c.d. (23, 24)

Obtén el máximo común divisor de los números propuestos.a) 60, 196 y 220 d) 36, 75 y 80b) 100, 250 y 150 e) 98, 63 y 245c) 25, 50 y 75 f) 81, 90 y 72

Pilar quiere dividir estas cintas en trozos más pequeños de la misma longitud. Sabiendo que la cinta rosa mide 60 cm y la azul 80 cm, indica tres posibles medidas en las que puede dividirlas.

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2Actividades

Aprenderás a… ● Calcular el mayor de los divisores comunes de varios números.

Presta atención

Si dos o varios números no tienen factores comunes, entonces su máximo común divisor es 1.

Decimos en ese caso que los números son primos entre sí.

El máximo común divisor de dos o más números se expresa de esta forma:

m.c.d.

Por ejemplo, el máximo común divisor de 2, 3 y 4 se escribe m.c.d. (2, 3, 4).


Una hoja de cálculo es un tipo de documento que nos permite manejar datos numéricos dispuestos en celdas.La hoja de cálculo CALC del paquete de software libre OpenOffice permite calcular el máximo común divisor de varios números utilizando la función M.C.D().En el ejemplo se muestra el cálculo del máximo común divisor de 312, 252, 300 y 588.Utiliza este programa para determinar elm.c.d. (14 076, 21 896, 46 920).

38

ma1e7

Soluciones de las actividades31 Realiza la descomposición factorial de los siguientes pares de números y elige los factores comunes a los dos.

a) 24 y 54 b) 84 y 108 c) 50 y 100 d) 72 y 40 e) 75 y 175 f) 75 y 125

a) 24 = 23 ⋅ 3 c) 50 = 2 ⋅ 52 e) 75 = 3 ⋅ 52

54 = 2 ⋅ 33 100 = 22 ⋅ 52 175 = 52 ⋅ 7

Factores comunes: 2 y 3 Factores comunes: 2 y 5 Factor común: 5

b) 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 d) 72 = 23 ⋅ 32 f) 75 = 3 ⋅ 52

108 = 22 ⋅ 33 40 = 23 ⋅ 5 125 = 53

Factores comunes: 2 y 3 Factor común: 2 Factor común: 532 Los siguientes números están descompuestos en factores.

a) 23 ⋅ 32 ⋅ 5 y 22 ⋅ 33 ⋅ 7 c) 25 ⋅ 53 y 23 ⋅ 5 ⋅ 112

b) 3 ⋅ 5 ⋅ 72 y 73 ⋅ 11 d) 34 ⋅ 52 ⋅ 13 y 24 ⋅ 52 ⋅ 13

Calcula el máximo común divisor en cada caso, sin hallar el valor numérico.

a) 22 ⋅ 32 b) 72 c) 23 ⋅ 5 d) 52 ⋅ 13


Hay que trabajar con los alumnos las ventajas que ofrece utilizar la descomposición factorial para calcular el máximo común divisor. Son muy reacios a utilizarla y siguen escri-biendo las listas de los divisores de los números y después eligen el mayor de los comunes. Tan solo es necesario es-cribir dos números grandes para que vean las ventajas de este método.

Vídeo. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

En este vídeo se muestra el procedimiento a seguir para hallar el máximo común divisor de cuatro números utilizando la hoja de cálculo. Como se plantea el ejercicio del Investiga es conveniente pedir a los alumnos que realicen el mismo procedimiento para determinar el m.c.d. de otros números o para comprobar los re-sultados de otros ejercicios.

45

2Divisibilidad


33 Calcula.

a) m.c.d. (8, 16) c) m.c.d. (16, 24) e) m.c.d. (14, 21)

b) m.c.d. (9, 6) d) m.c.d. (24, 32) f) m.c.d. (10, 25)

a) 8 = 23 16 = 24 m.c.d. (8, 16) = 23 = 8 d) 24 = 23 ⋅ 3 32 = 25 m.c.d. (24, 32) = 23

b) 9 = 32 6 = 2 ⋅ 3 m.c.d. (9, 6) = 3 e) 14 = 2 ⋅ 7 21 = 3 ⋅ 7 m.c.d. (14, 21) = 7

c) 16 = 24 24 = 23 ⋅ 3 m.c.d. (16, 24) = 23 = 8 f) 10 = 2 ⋅ 5 25 = 52 m.c.d. (10, 25) = 534 Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.

a) 160 y 144 c) 231 y 286 e) 294 y 245

b) 108 y 126 d) 135 y 252 f) 598 y 715

a) 160 = 25 ⋅ 5 144 = 24 ⋅ 32 d) 135 = 33 ⋅ 5 252 = 22 ⋅ 32 ⋅ 7

m.c.d. (160, 144) = 24 = 16 m.c.d. (135, 252) = 32 = 9

b) 108 = 22 ⋅ 33 126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 e) 294 = 2 ⋅ 3 ⋅ 72 245 = 5 ⋅ 72

m.c.d. (108, 126) = 2 ⋅ 32 = 18 m.c.d. (294, 245) = 72 = 49

c) 231 = 3 ⋅ 7 ⋅ 11 286 = 2 ⋅ 143 f) 598 = 2 ⋅ 13 ⋅ 23 715 = 5 ⋅ 11 ⋅ 13

m.c.d. (231, 286) = 1 m.c.d. (598, 715) = 1335 Calcula.

a) m.c.d. (9, 16) c) m.c.d. (2, 18) e) m.c.d. (45, 56)

b) m.c.d. (23, 17) d) m.c.d. (25, 13) f) m.c.d. (23, 24)

a) 9 = 32 16 = 24 m.c.d. (9, 16) = 1 d) 25 = 52 13 es primo. m.c.d. (25, 13) = 1

b) 23 y 17 son primos. m.c.d. (23, 17) = 1 e) 45 = 5 ⋅ 32 56 = 23 ⋅ 7 m.c.d. (45, 56) = 1

c) 2 18 = 2 ⋅ 32 m.c.d. (2, 18) = 18 f) 23 es primo. 24 = 23 ⋅ 3 m.c.d. (23, 24) = 136 Obtén el máximo común divisor de los números propuestos.

a) 60, 196 y 220 c) 25, 50 y 75 e) 98, 63 y 245

b) 100, 250 y 150 d) 36, 75 y 80 f) 81, 90 y 72

a) 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 196 = 22 ⋅ 72 220 = 22 ⋅ 5 ⋅ 11 d) 36 = 22 ⋅ 32 75 = 3 ⋅ 52 80 = 24 ⋅ 5

m.c.d. (60, 196, 220) = 22 = 4 m.c.d. (36, 75, 80) = 1

b) 100 = 22 ⋅ 52 250 = 2 ⋅ 53 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 e) 98 = 2 ⋅ 72 63 = 32 ⋅ 7 245 = 5 ⋅ 72

m.c.d. (100, 250, 150) = 2 ⋅ 52 = 50 m.c.d. (98, 63, 245) = 7

c) 25 = 52 50 = 2 ⋅ 52 75 = 3 ⋅ 52 f) 81 = 34 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 72 = 23 ⋅ 32

m.c.d. (25, 50, 75) = 52 m.c.d. (81, 90, 72) = 32

37 Pilar quiere dividir estas cintas en trozos más pequeños de la misma longitud. Sabiendo que la cinta rosa mide 60 cm y la azul 80 cm, indica tres posibles medidas en las que puede dividirlas.

Como los trozos deben ser de la misma longitud, tenemos que calcular divisores comunes.

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 80 = 24 ⋅ 5 m.c.d. (60, 80) = 22 ⋅ 5

Tres posibles medidas podrían ser 2, 4 y 5.

Investiga38 Una hoja de cálculo es un tipo de documento que nos permi-

te manejar datos numéricos dispuestos en celdas.

La hoja de cálculo CALC del paquete de software libre OpenOffice permite calcular el máximo común divisor de va-rios números utilizando la función M.C.D().

En el ejemplo se muestra el cálculo del máximo común divisor de los números 312, 252, 300 y 588. Utiliza este programa para determinar el m.c.d. (14 076, 21 896, 46 920).

Se pueden utilizar las funciones de la hoja de cálculo o en una celda teclear: =M.C.D.(14 076, 21 896, 46 920)

2 Divisibilidad


6. Mínimo común múltiplo

Soluciones de las actividades39 Realiza la descomposición factorial de los siguientes pares de números y elige los factores comunes a los dos.

a) 18 y 75 b) 12 y 45 c) 52 y 99 d) 28 y 63

a) 18 = 2 ⋅ 32 75 = 3 ⋅ 52 c) 52 = 22 ⋅ 13 99 = 32 ⋅ 11

Factores comunes: 3 y 5 Factor común: 1

b) 12 = 22 ⋅ 3 45 = 32 ⋅ 5 d) 28 = 22 ⋅ 7 63 = 32 ⋅ 7

Factor común: 3 Factor común: 740 Los siguientes números están descompuestos en factores.

a) 2 ⋅ 33 ⋅ 5 y 22 ⋅ 33 ⋅ 7 c) 34 ⋅ 5 y 2 ⋅ 5 ⋅ 112

b) 52 ⋅ 7 y 72 ⋅ 13 d) 34 ⋅ 5 ⋅ 13 y 23 ⋅ 32 ⋅ 13

Calcula el mínimo común múltiplo en cada caso, sin hallar el valor numérico.

a) 22 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 7 b) 52 ⋅ 72⋅ 13 c) 2 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 112 d) 23 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 13


Aquí hay que volver a hacer el mismo trabajo que con el m.c.d. para que los alumnos entiendan la necesidad de uti-lizar la descomposición factorial en el cálculo del mínimo común múltiplo.

Una vez acabado estos dos epígrafes conviene realizar ejer-cicios que mezclen el cálculo del m.c.d. y del m.c.m para afianzar los contenidos y distinguir el uso de uno o de otro.

Vídeo. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

En este vídeo se muestra el procedimiento a seguir para hallar el mínimo común múltiplo de cuatro números utilizando la hoja de cálculo. Como se plantea el ejercicio del Investiga es conveniente pedir a los alumnos que realicen el mismo procedimiento para determinar el m.c.m. de otros números o para comprobar los re-sultados de otros ejercicios.

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6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Carolina tiene dos amigos con los que queda de vez en cuando: con Daniel, cada 12 días, y con Elena, cada 18. Si hoy han coincidido los tres, ¿cuántos días tienen que pasar para que vuelvan a verse los tres juntos?

Como con Daniel queda cada 12 días y con Elena cada 18, el número de días que deben pasar ha de ser múltiplo de 12 y de 18.

❚ Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …

❚ Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, …

Múltiplos comunes: 36, 72, …

El número de días que tienen que transcurrir para que los amigos coincidan será el menor múltiplo común de 12 y de 18, que es 36.

Luego, tienen que pasar 36 días para que vuelvan a coincidir los tres.

El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, los descomponemos en factores primos.

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 32

El menor múltiplo de 12 y 18 debe contener todos los factores primos de los dos números.

Así, el menor múltiplo de 12 y 18 es:

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36

Por tanto: m.c.m. (12, 18) = 22 ⋅ 32 = 36

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se eligen los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el que aparecen en las descomposiciones.

3 El producto de esos factores es el mínimo común múltiplo de los números.

2Actividades

Aprenderás a… ● Calcular el menor de los múltiplos comunes de varios números.

Realiza la descomposición factorial de los siguientes pares de números y elige los factores comunes a los dos.a) 18 y 75 c) 52 y 99b) 12 y 45 d) 28 y 63

Los siguientes números están descompuestos en factores. a) 2 ⋅ 33 ⋅ 5 y 22 ⋅ 33 ⋅ 7 c) 34 ⋅ 5 y 2 ⋅ 5 ⋅ 112

b) 52 ⋅ 7 y 72 ⋅ 13 d) 34 ⋅ 5 ⋅ 13 y 23 ⋅ 32 ⋅ 13Calcula el mínimo común múltiplo en cada caso, sin hallar el valor numérico.

Calcula.a) m.c.m. (9, 27) d) m.c.m. (10, 15)b) m.c.m. (15, 8) e) m.c.m. (14, 16)c) m.c.m. (16, 32) f) m.c.m. (25, 20)

Halla el mínimo común múltiplo de estos números. a) 324 y 144 d) 405 y 320b) 90 y 108 e) 715 y 728c) 126 y 175 f) 272 y 306

Calcula.a) m.c.m. (11, 17) c) m.c.m. (23, 21)b) m.c.m. (16, 27) d) m.c.m. (20, 21)

Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números.a) 140, 175 y 196 c) 243, 300 y 176b) 450, 300 y 432 d) 195, 220 y 306

En un centro escolar los alumnos de 1.º pueden formar equipos de baloncesto y de balonmano sin que sobre ningún alumno. ¿Cuántos alumnos de este curso hay al menos en el centro escolar?

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El mínimo común múltiplo de dos o más números se expresa de esta forma:

m.c.m.

Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 se escribe m.c.m. (2, 3, 4).


Investiga

La hoja de cálculo CALC del paquete de software libre OpenOffice permite calcular el mínimo común múltiplo de varios números utilizando la función M.C.M().En el ejemplo se muestra el cálculo del mínimo común múltiplo de los números 24, 42, 54 y 28.Utiliza este programa para calcular:a) m.c.m. (864, 784, 1 125)b) m.c.m. (700, 625, 490, 1 050)

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41 Calcula.

a) m.c.m. (9, 27) c) m.c.m. (16, 32) e) m.c.m. (14, 16)

b) m.c.m. (15, 8) d) m.c.m. (10, 15) f) m.c.m. (25, 20)

a) 9 = 32 27 = 33 d) 10 = 2 ⋅ 5 15 = 3 ⋅ 5

m.c.m. (9, 27) = 33 = 27 m.c.m. (10, 15) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

b) 15 = 3 ⋅ 5 8 = 23 e) 14 = 2 ⋅ 7 16 = 24

m.c.m. (15, 8) = 3 ⋅ 5 ⋅ 23 = 120 m.c.m. (14, 16) = 24 ⋅ 7 = 112

c) 16 = 24 32 = 25 f) 25 = 52 20 = 22 ⋅ 5

m.c.m. (16, 32) = 25 = 32 m.c.m. (25, 20) = 22 ⋅ 52 = 10042 Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.

a) 324 y 144 b) 90 y 108 c) 126 y 175 d) 405 y 320 e) 715 y 728 f) 272 y 306

a) 324 = 22 ⋅ 34 144 = 24 ⋅ 32 d) 405 = 34 ⋅ 5 320 =26 ⋅ 5

m.c.m. (324, 144) = 24 ⋅ 34 = 1 296 m.c.m. (405, 320) = 34 ⋅ 26 ⋅ 5 = 25 920

b) 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 108 = 22 ⋅ 33 e) 715 = 5 ⋅ 11 ⋅ 13 728 = 23 ⋅ 7 ⋅ 13

m.c.m. (90, 108) = 22 ⋅ 33 ⋅ 5 = 540 m.c.m. (715, 728) = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 40 040

c) 126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 175 = 52 ⋅ 7 f) 272 = 24 ⋅ 17 306 = 2 ⋅ 32 ⋅ 17

m.c.m. (126, 175) = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 = 3 150 m.c.m. (272, 306) = 24 ⋅ 32 ⋅ 17 = 2 44843 Calcula.

a) m.c.m. (11, 17) b) m.c.m. (16, 27) c) m.c.m. (23, 21) d) m.c.m. (20, 21)

a) 11 y 17 son primos. c) 23 es primo. 21 = 3 ⋅ 7

m.c.m. (11, 17) = 11 ⋅ 17 = 187 m.c.m. (23, 21) = 21 ⋅ 27 = 483

b) 16 = 24 27 = 33 d) 20 = 22 ⋅ 5 21 = 3 ⋅ 7

m.c.m. (16, 27) = 16 ⋅ 27 = 432 m.c.m. (20, 21) = 20 ⋅ 21 = 42044 Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

a) 140, 175 y 196 b) 450, 300 y 432 c) 243, 300 y 176 d) 195, 220 y 306

a) 140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7 175 = 52 ⋅ 7 196 = 22 ⋅ 72 c) 243 = 35 300 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 176 = 24 ⋅ 11

m.c.m. (140, 175, 196) = 22 ⋅ 52 ⋅ 72 = 4 900 m.c.m. (243, 300, 176) = 35 ⋅ 24 ⋅ 52 ⋅ 11 = 1 069 200

b) 450 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 300 = 22⋅ 3 ⋅ 52 432 = 24 ⋅ 33 d) 195 = 3 ⋅ 5 ⋅ 13 220 = 22 ⋅ 5 ⋅ 11 306 = 2 ⋅ 32 ⋅ 17

m.c.m. (450, 300, 432) = 24⋅ 33 ⋅ 52 = 10 800 m.c.m. (195, 220, 306) = 32 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 11 ⋅ 17 = 33 66045 En un centro escolar los alumnos de 1.º pueden formar equipos de baloncesto y de balonmano sin que sobre ningún

alumno. ¿Cuántos alumnos de este curso hay al menos en el centro escolar?

Como los equipos tienen 5 y 7 jugadores respectivamente, los alumnos deben ser un múltiplo común.

m.c.m. (5, 7) = 35 En este curso hay al menos 35 alum-nos.

Investiga46 La hoja de cálculo CALC del paquete de software libre

OpenOffice permite calcular el mínimo común múltiplo de va-rios números utilizando la función M.C.M().

En el ejemplo se muestra el cálculo del mínimo común de los números 24, 42, 54 y 28. Utiliza este programa para calcular:

a) m.c.m. (864, 784, 1 125) b) m.c.m. (700, 625, 490, 1 050)

Se pueden utilizar las funciones de la hoja de cálculo o en una celda teclear: =M.C.M.(864, 784, 1 125) para el apartado a) y =M.C.M.(700, 625, 490, 1 050) para el b).

2 Divisibilidad


Lee y comprende las matemáticas

2 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

38 39

El proceso de elaboración del aceite de oliva hoy es el mismo que el que seguían nuestros antepasados. Solo han cambiado las herramientas; en la actualidad, la mecanización permite ahorrar esfuerzo y tiempo.

Una vez recogidas las aceitunas, se llevan cuanto antes a la almazara para su tratamiento. Allí se limpian, se lavan y se clasifican en grupos, según su calidad o la variedad de la aceituna.

En segundo lugar, se procede a moler la aceituna el mismo día de su recolección para evitar que fermente y se oxide. Este proceso corre a cargo de una trituradora de martillo o muelas de piedra, que rompe los tejidos vegetales y libera aceite, con lo que se obtiene una pasta homogénea. Esta pasta se prensa en frío para sacar el aceite y el agua vegetal de las aceitunas o se bate a temperatura ambiente y se centrifuga para obtener aceite.

Mediante la decantación se separa el agua del aceite a fin de evitar la alteración de la calidad.

Siguiendo este proceso, una almazara ha producido hoy 845 L de aceite virgen extra de la variedad arbequina y 990 L de la variedad picual. Después han sido almacenados en depósitos de acero inoxidable para mantenerlos apartados de la luz y a una temperatura suave y constante en torno a 15 ºC, a la espera de su posterior embotellado o envasado para venderlo ya al consumidor.

Divisibilidad en el procesado del aceite de oliva

Con objeto de abaratar costes, en la almazara deciden envasar el aceite que han producido en la menor cantidad posible de garrafas de la misma capacidad. ¿Qué capacidad deben tener estas garrafas?

Después de una semana, embalan las garrafas de la variedad arbequina en cajas de 6 unidades, y las de la variedad picual, en cajas de 8. Deciden comercializarlas en paquetes con el mismo número de garrafas de cada variedad. ¿Cuál es el menor número de garrafas que irá en cada paquete?

Analiza la pregunta

¿Qué capacidad deben tener estas garrafas?

Como la capacidad tiene que ser la misma, debe ser un divisor común de los litros obtenidos de las dos variedades de aceite. Además, dado que quieren envasar el aceite en la menor cantidad posible de garrafas, la capacidad de cada una será el mayor de los divisores comunes, es decir, su máximo común divisor.

¿Cuál es el menor número de garrafas que irá en cada paquete?

Empaquetan las garrafas de dos maneras diferentes. Luego, el número de garrafas en cada paquete tiene que ser un múltiplo común a las dos. Además, será el menor de los múltiplos comunes, es decir, su mínimo común múltiplo.

Busca los datos

La almazara ha producido hoy:

❚ 845 L de aceite de la variedad arbequina.

❚ 990 L de aceite de la variedad picual.

Después de una semana pueden embalar las garrafas:

❚ En cajas de 6. ❚ En cajas de 8.

Observa que, a la hora de resolver un problema, puedes encontrarte con información y datos irrelevantes. En este caso, la temperatura a la que se mantiene el aceite, 15 ºC, es un dato innecesario para encontrar la solución.

Utiliza las matemáticas

Calculamos el máximo común divisor de 845 y 990.

845 = 5 ⋅ 132 990 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 11

m.c.d. (845, 990) = 5

Las garrafas deben tener 5 L de capacidad.

Hallamos el mínimo común múltiplo de 6 y 8.

6 = 2 ⋅ 3 8 = 23

m.c.m. (6, 8) = 23 ⋅ 3 = 24

El menor número de garrafas que irá en cada paquete es 24.

Un estanque se puede llenar mediante dos grifos: uno que vierte 12 L de agua por minuto, y otro que arroja 18 L por minuto. ¿Cuál puede ser la menor capacidad del estanque si se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de los dos grifos?

Alejandro va a embaldosar una habitación de 450 cm de largo por 650 cm de ancho. Utilizará baldosas cuadradas lo más grandes posible. ¿Cuáles son las dimensiones de la baldosa que necesita?

Jorge colecciona sellos americanos y europeos. Decide colocar los de América en carpetas de 24 sellos cada una y los de Europa en carpetas de 20 sellos cada una, sin que sobre ninguno en ambos casos. Si el número de sellos americanos y europeos es el mismo, ¿cuántos tiene como mínimo de cada continente?

Por una parada de autobuses pasan tres líneas con una frecuencia de 18 min, 15 min y 12 min, respectivamente.

a) Si acaban de salir todos a la vez, ¿dentro de cuántos minutos, como mínimo, se volverán a encontrar en la parada?

b) Si han salido a las 9 en punto de la mañana, ¿a qué hora se encontrarán de nuevo?

Una fábrica de bombillas tiene en el almacén 660 unidades de 8 W, 945 unidades de 11 W y 975 de 15 W. El encargado quiere distribuirlas en cajas que contengan el mismo número de bombillas de igual potencia y desea, además, que este número sea el mayor posible.

a) ¿Cuántas bombillas debe contener cada caja?

b) ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá?

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Un teatro recaudó 13 640 € el sábado y 10 881 € el domingo. Si la entrada costó lo mismo los dos días, ¿cuál es su precio?

Dos aviones despegan del mismo aeropuerto. El primero lo hace cada 8 días, y el segundo, cada 12.

a) Si coinciden en el aeropuerto el día 1 de junio, ¿cuáles serán las siguientes tres ocasiones en las que volverán a coincidir los despegues?

b) ¿Cuál será el primer día del año siguiente en el que coincidirán los despegues?

Se quieren empaquetar en bolsas para su venta las naranjas de tres cajas de 16 kg, 36 kg y 20 kg, respectivamente, de modo que cada una pese lo mismo y que este peso sea el mayor posible.

a) ¿Cuánto debe pesar cada envase de naranjas?

b) ¿Cuántas bolsas se podrán vender?

Un carpintero tiene 20 listones de madera de 150 cm, 15 listones de 60 cm y 12 listones de 240 cm. Quiere construir marcos cuadrados de forma que el lado tenga el mayor tamaño posible.

a) ¿Cuál será el tamaño del lado de los marcos?

b) ¿Cuántos marcos podrá construir?

Mar, Rocío y Paloma compiten en un rally de coches que tiene lugar en un circuito circular. Por cada vuelta completa, Mar tarda 18 min y consume 4 L de gasolina; Rocío necesita 20 min y 6 L de gasolina, y a Paloma le lleva 24 min y 10 L de gasolina.

a) Si las tres salen al mismo tiempo, ¿después de cuántos minutos volverán a coincidir en la salida?

b) ¿Cuántos litros de gasolina consume cada una desde el inicio de la carrera hasta que coinciden por primera vez?

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2Actividades

Escribe dos oraciones correctas en cada caso, cambiando solo uno de los datos.

❚ Si un autobús pasa cada 5 min y otro cada 6 min, coincidirán cada 12 min.

❚ Si tengo 12 chicles de fresa y 14 chicles de menta, puedo hacer paquetes de 4 chicles de cada sabor.

57

Soluciones de las actividades47 Un estanque se puede llenar mediante dos grifos: uno que vierte 12 L de agua por minuto, y otro que arroja 18 L por mi-

nuto. ¿Cuál puede ser la menor capacidad del estanque si se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de los dos grifos?

Hay que calcular el mínimo común múltiplo de ambos 12 L y 18 L.

12 = 22 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 m.c.m. (12,18) = 22 ⋅ 32 = 36 L48 Alejandro va a embaldosar una habitación de 450 cm de largo por 650 cm de ancho. Utilizará baldosas cuadradas lo más

grandes posible. ¿Cuáles son las dimensiones de la baldosa que necesita?

Como hay que rellenar la habitación con baldosas del mismo tamaño (divisor) y lo más grandes posibles (máximo), debe-mos calcular el máximo común divisor de 450 y 650.

450 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 650 = 2 ⋅ 52 ⋅ 13 m.c.d. (450, 650) = 2 ⋅ 52 = 50

Luego las baldosas que se necesitan son de 50 cm de lado.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se les plantea alguna situación cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo afrontar problemas en los que interviene el máximo común divisor o en mínimo común múltiplo para conseguir que sean capaces de distinguir el uso correcto de uno o del otro.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

49

2Divisibilidad


49 Jorge colecciona sellos americanos y europeos. Decide colocar los de América en carpetas de 24 sellos cada una y los de Europa en carpetas de 20 sellos cada una, sin que sobre ninguno en ambos casos. Si el número de sellos americanos y europeos es el mismo, ¿cuántos tiene como mínimo de cada continente?

Tiene que colocar el mismo número de sellos, múltiplos, y como se pide cuántos como mínimo, esto indica que hay que calcular el mínimo común múltiplo:

24 = 23 ⋅ 3 20 = 22 ⋅ 5

m.c.m. (24, 20) = 23 ⋅ 5 ⋅ 3 = 120

Por tanto, cada continente tiene como mínimo 120 sellos.50 Por una parada de autobuses pasan tres líneas con una frecuencia de 18 min, 15 min y 12 min, respectivamente.

a) Si acaban de salir todos a la vez, ¿dentro de cuántos minutos, como mínimo, se volverán a encontrar en la parada?

b) Si han salido a las 9 en punto de la mañana, ¿a qué hora se encontrarán de nuevo?

a) Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 18, 15 y 12.

18 = 2 ⋅ 32 15 = 3 ⋅ 5 12 = 22 ⋅ 3

m.c.m. (18, 15, 12) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

Así, dentro de 180 minutos se volverán a encontrar los tres en la parada.

b) Como 180 minutos son 3 horas, se encontrarán de nuevo a las 12 de la mañana.51 Una fábrica de bombillas tiene almacenadas 660 unidades de 8 W, 945 unidades de 11 W y 975 unidades de 15 W. El

encargado quiere distribuirlas en cajas que contengan el mismo número de bombillas de igual potencia y desea, además, que este número sea el mayor posible.

a) ¿Cuántas bombillas debe contener cada caja?

b) ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá?

a) Las cajas deben contener el mismo número de bombillas y además se quiere que sea el mayor número posible, luego debemos calcular el máximo común divisor.

660 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 945 = 33 ⋅ 5 ⋅ 7 975 = 3 ⋅ 52 ⋅ 13

m.c.d. (660, 945, 975) = 3 ⋅ 5 = 15

Es decir, las cajas deben contener 15 bombillas.

b) 660 : 15 = 242 cajas de bombillas de 8 W.

945 : 15 = 63 cajas de bombillas de 11 W.

975 : 15 = 65 cajas de bombillas de 15 W.52 Un teatro recaudó 13 640 € el sábado y 10 881 € el domingo. Si la entrada cuesta lo mismo los dos días, ¿cuál es su

precio?

Como la entrada cuesta lo mismo los dos días, tiene que ser un divisor de ambos.

13 640 = 23⋅5 ⋅11⋅31 10 881 = 33⋅13⋅31

Hallamos el máximo divisor: m.c.d. (13 640, 10 881) = 31

Luego el precio de la entrada es 31€.53 Dos aviones despegan del mismo aeropuerto. El primero lo hace cada 8 días, y el segundo, cada 12.

a) Si coinciden en el aeropuerto el día 1 de junio, ¿cuáles serán las siguientes tres ocasiones en las que volverán a coincidir los despegues?

b) ¿Cuál será el primer día del año siguiente en el que coincidirán los despegues?

a) Calculamos el mínimo común múltiplo de ambos períodos.

8 = 23 12 = 22 ⋅ 3 m.c.m. (8, 12) = 23 ⋅ 3 = 24

Luego el menor tiempo que debe transcurrir para que coincidan es 24 días.

Si el último día que coincidieron fue el 1 de junio, las tres fechas siguientes serán: 25 junio, 19 julio y el 12 de agosto.

b) Para acabar el año quedan 214 días. El primer múltiplo de 24 mayor que 241 es 216, es decir coincidirán el 2 de enero.

2 Divisibilidad


54 Se quieren empaquetar en bolsas para su venta las naranjas de tres cajas de 16 kg, 36 kg y 20 kg, respectivamente, de modo que cada una pese lo mismo y que este peso sea el mayor posible.

a) ¿Cuánto debe pesar cada envase de naranjas?

b) ¿Cuántas bolsas se podrán vender?

a) Hay que calcular el máximo común divisor entre el peso de cada caja: 16 kg, 36 kg y 20kg.

16 = 24 36 = 22 ⋅ 32 20 = 22 ⋅ 5

m.c.d. (16, 36, 20) = 22 = 4,

Luego cada bolsa debe pesar 4 kg.

b) 16 : 4 = 4 36 : 4 = 9 20 : 4 = 5

Así, el número total de bolsas que se podrán vender es: 4 + 9 + 5 = 18 55 Un carpintero tiene 20 listones de 150 cm, 15 listones de 60 cm y 12 listones de 240 cm. Quiere construir marcos cuadra-

dos para fotografías de forma que el lado tenga el mayor tamaño posible.

a) ¿Cuál será el tamaño del lado de los marcos?

b) ¿Cuántos marcos podrá construir?

a) Como los lados tienen que tener la misma medida y se pide que el lado tenga el mayor tamaño, calculamos el máximo común divisor entre los cm de los listones.

150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5

m.c.d. (150, 60, 240) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

Por tanto, el tamaño del lado de los marcos deberá ser 30 cm.

b) Hay que calcular cuántos lados salen de cada listón.

150 : 30 = 5, como tiene 20 listones entonces: 20 ⋅ 5 = 100 lados

60 : 30 = 2, como tiene 15 listones, entonces: 15 ⋅ 2 = 30 lados

240 : 30 = 8, como tiene 12 listones, entonces: 12 ⋅ 8 = 96 lados

Número total de lados: 100 + 30 + 96 = 226

Dividimos por 4 para calcular los marcos que podrá construir: 226 : 4 = 56,5 marcos 56 Mar, Rocío y Paloma compiten en un rally de coches que tiene lugar en un circuito circular. Por cada vuelta completa, Mar

tarda 18 min y consume 4 L de gasolina; Rocío necesita 20 min y 6 L de gasolina, y a Paloma le lleva 24 min y 10 L de gasolina.

a) Si las tres salen al mismo tiempo, ¿después de cuántos minutos volverán a coincidir en la salida?

b) ¿Cuántos litros de gasolina consume cada una desde el inicio de la carrera hasta que coinciden por primera vez?

a) Calculamos el mínimo común múltiplo de los tiempos, 18, 20 y 24.

18 = 2 ⋅ 32 20 = 22 ⋅ 5 24 = 23 ⋅ 3

m.c.m. (18, 20, 24) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360 min

b) Mar consume 18 :4 = 4,5 L/min y como recorre 360 min, entonces gasta: 360 ⋅ 4,5 = 1 620 L

Rocío consume 20 :6 = 3,3 L/min y como recorre 360 min, entonces gasta: 360 ⋅ 3,3 = 1 188 L

Paloma consume 24 :20 = 2,4 L/min y como recorre 360 min, entonces gasta: 360 ⋅2,4 = 864 L

Analiza57 Escribe dos oraciones correctas en cada caso, cambiando solo uno de los datos.

❚❚ Si un autobús pasa cada 5 min y otro cada 6 min, coincidirán cada 12 min.

❚❚ Si tengo 12 chicles de fresa y 14 chicles de menta, puedo hacer paquetes de 4 chicles de cada sabor.

❚❚ Si un autobús pasa cada 5 min y otro cada 6 min, coincidirán cada 30 min.

❚❚ Si tengo 12 chicles de fresa y 14 chicles de menta, puedo hacer paquetes de 2 chicles de cada sabor.

51

2Divisibilidad



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Calcular los múltiplos y los divisores de un número.

❚❚ Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad.

❚❚ Diferenciar entre número primo y compuesto.

❚❚ Manejar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Actividades finalesSoluciones de las actividades58 Copia y une los números entre los que exista una relación de divisibilidad.

15 17 48 51

12 14 42 45

15 y 45, 12 y 48, 17 y 51, 14 y 4259 Escribe cuatro múltiplos de cada uno de estos números.

a) 16 b) 19 c) 20 d) 24 e) 32 f) 100

a) 32, 48, 64, 80 c) 20, 40, 60, 80 e) 64, 96, 128, 160

b) 38, 57, 76, 95 d) 48, 72, 96, 120 f) 200, 300, 40060 Comprueba si 391 es divisible por alguno de los siguientes números.

8 12 17 15 18 23

391 es divisible por 17 y por 23 ya que: 391 : 17 = 23 y 391 : 23 = 17

¿Qué tienes que saber?

40 41

¿QUÉ2 tienes que saber?Indica si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.a) 15 es divisor de 3.b) 200 es múltiplo de 25.c) 121 es múltiplo de 11.d) 6 es divisor de 72.

Criterios de divisibilidad

Averigua, sin realizar la división, si el número 43 571 es divisible por los siguientes números.a) 2 b) 3 c) 4 d) 11

Completa la tabla en tu cuaderno.

507 1 305 2 640 5 093

Divisible por 2 O O O O






Copia y completa los números para que se verifiquen estas afirmaciones.a) 35§ es múltiplo de 2.b) 5 0§4 es múltiplo de 3.c) 7 04§ es múltiplo de 5.d) 6 §61 es multiplo de 9.e) 3 27§ es múltiplo de 10.f) 1 §70 es múltiplo de 11.

Completa el número 1 50§ en tu cuaderno para que:a) Sea divisible por 2. d) Sea divisible por 9.b) Sea divisible por 3. e) Sea divisible por 10.c) Sea divisible por 5. f) Sea divisible por 11.

Aplica los criterios de divisibilidad para saber si los siguientes números son divisibles por 6.a) 571 b) 252 c) 405 d) 422

Números primos y compuestos

Copia y completa la siguiente tabla.

Divisores Primo/compuesto

35 O O

51 O O

89 O O

65

66

67

68

69

70

71

Escribe tres múltiplos y todos los divisores del número 28.

Múltiplos de 28: 28 ⋅ 2 = 56 28 ⋅ 3 = 84 28 ⋅ 4 = 112

Divisores de 28: 2 8 1 2 8 2 2 8 3 2 8 4 2 8 5 2 8 6

0 8 2 8 0 8 1 4 1 9 0 7 3 5 4 4

0 0

cociente < divisor

Div (28) = {1, 2, 4, 7, 14 y 28}

Múltiplos y divisores de un númeroTen en cuenta

Si entre dos números existe una relación de divisibilidad, el número mayor es múltiplo del número menor y el menor es divisor del mayor.

Aplica los criterios de divisibilidad para saber si el número 4 356 es divisible por 2, 3, 5, 9, 10 y 11.

❚ Es divisible por 2 porque la última cifra, 6, es par.

❚ Es divisible por 3 porque la suma de sus cifras, 4 + 3 + 5 + 6 = 18, es múltiplo de 3.

❚ No es divisible por 5 porque la última cifra, 6, no es 0 ni 5.

❚ Es divisible por 9 porque la suma de sus cifras, 4 + 3 + 5 + 6 = 18, es múltiplo de 9.

❚ No es múltiplo de 10 porque la última cifra no es 0.

❚ Es múltiplo de 11 porque la suma de las cifras de posición par, 4 + 5 = 9, menos la suma de las cifras de posición impar, 3 + 6 = 9, es 0.

Criterios de divisibilidadTen en cuenta

Un número es divisible por:

❚ 2 si termina en 0 o en cifra par.

❚ 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

❚ 5 si termina en 0 o 5.

❚ 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

❚ 10 si termina en 0.

❚ 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan las posiciones pares y la de las que ocupan las posiciones impares es 0 o múltiplo de 11.

Comprueba que el número 169 es compuesto.

Dividimos 169 entre los números primos menores que él hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor.

1 6 9 2 1 6 9 3 1 6 9 5 1 6 9 7 1 6 9 1 1 1 6 9 1 3

0 9 8 4 1 9 5 6 1 9 3 3 2 9 2 4 5 9 1 5 3 9 1 31 1 4 1 4 0

cociente < divisor

Números primos y compuestosTen en cuenta

❚ Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.

❚ Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 72 y 48.

Máximo común divisor y mínimo común múltiploTen en cuenta

❚ Para hallar el m.c.d. de varios números, se descomponen en factores primos y se eligen los factores comunes elevados al menor exponente.

❚ Para hallar el m.c.m. de varios números, se descomponen en factores primos y se eligen los comunes y no comunes con mayor exponente.

Factorizamos

72 2 48 236 2 24 218 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1

72 = 23 ⋅ 32 48 = 24 ⋅ 3

❚ Máximo común divisorm.c.d. (48, 72) = 23 ⋅ 3 = 24

❚ Mínimo común múltiplom.c.m. (48, 72) = 24 ⋅ 32 = 144

Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores

Copia y une los números entre los que exista una relación de divisibilidad.15 17 48 5112 14 42 45

Escribe cuatro múltiplos de cada uno de estos números.

a) 16 d) 24

b) 19 e) 32

c) 20 f) 100

Comprueba si 391 es divisible por alguno de los siguientes números.

8 12 17 15 18 23

Halla todos los divisores de estos números.

a) 36 d) 63

b) 45 e) 72

c) 55 f) 121

Copia y completa en tu cuaderno los triángulos de forma que los números que escribas sean múltiplos de los dos números situados en los lados contiguos.

a) b)

§

5 7

§ 3 §

§

15 12

§ 20 §

Copia y completa los triángulos de forma que el número que escribas sea divisor de los dos vértices situados en el mismo lado.

a) b)

18

§ §

20 § 15

35

§ §

45 § 21

Copia y completa.

Divisores N.º Múltiplos

1, 2, 3, 4, 6 y 12 12 12, 24, 36, 48…

O 24 O

O 40 O

O 54 O

58

59

60

61

62

63

64

Actividades Finales 2

2 Divisibilidad


61 Halla todos los divisores de estos números.

a) 36 b) 45 c) 55 d) 63 e) 72 f) 121

a) 36 = 22 ⋅ 32 Div(36) = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} c) 63 = 32 ⋅ 7 Div(63) = {3, 7, 9, 21}

b) 45 = 32 ⋅ 5 Div(45) = {3, 5, 9, 15} e) 72 = 23 ⋅ 32 Div(72) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36}

c) 55 = 5 ⋅ 11 Div(55) = {5, 11} f) 121 = 112 Div(121) = {11}62 Copia y completa los triángulos de forma que los números que escribas sean múltiplos de los dos números situados en los

lados contiguos.

a) b)

35

5 7

15 3 21

60

15 12

60 20 60

63 Copia y completa los triángulos de forma que el número que escribas sea divisor de los dos vértices situados en el mismo lado.

a) b)

18

2 3

20 5 15

35

5 7

45 3 21

64 Copia y completa.

Divisores N.º Múltiplos

1, 2, 3, 4, 6 y 12 12 24, 36, 48…

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 24 48, 72, 96…

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 40 28, 120, 160…

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54 54 108, 162, 216…

65 Indica si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) 15 es divisor de 3. c) 121 es múltiplo de 11.

b) 200 es múltiplo de 25. d) 6 es divisor de 72.

a) Falsa. El 15 es múltiplo de 3. c) Verdadera. 11 ⋅ 11 = 121

b) Verdadera. 200 : 25 = 8 d) Verdadera. 72 : 6 = 1266 Averigua, sin realizar la división, si el número 43 571 es divisible por los siguientes números.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 11

a) No, el número no es par. c) No, las dos últimas cifras no son múltiplo de 4.

b) No, la suma de sus cifras no es multiplo de 3. d) Sí, la suma de las cifras de posiciones pares e impares es 0.67 Completa la tabla en tu cuaderno.

507 1 305 2 640 5 093 507 1 305 2 640 5 093

Divisible por 2 No No Sí No Divisible por 9 No Sí No No

Divisible por 3 Sí Sí Sí No Divisible por 10 No No Sí No

Divisible por 5 No Sí Sí No Divisible por 11 No No Sí Sí

53

2Divisibilidad


68 Copia y completa los números para que se verifiquen estas afirmaciones.

a) 35§ es múltiplo de 2.

b) 5 0§4 es múltiplo de 3.

c) 7 04§ es múltiplo de 5.

d) 6 §61 es multiplo de 9.

e) 3 27§ es múltiplo de 10.

f) 1 §70 es múltiplo de 11.

a) 350 es múltiplo de 2, valdría cualquier cifra múltiplo de 2: 0, 2, 4, 6, 8

b) 5 004 es múltiplo de 3, valdría cualquier cifra múltiplo de 3: 0, 3, 6, 9

c) 7 040 es múltiplo de 5, valdría el 0 o el 5

d) 6 561 es multiplo de 9, ya que 6 + 5 + 6 + 1 = 18 es múltiplo de 9.

e) 3 270 es múltiplo de 10, todas las cifras terminadas en 0 son múltiplo de 10.

f) 1 870 es múltiplo de 11, 1 + 7 (impares) − 8 + 0 (pares) = 069 Completa el número 1 50§ en tu cuaderno para que:

a) Sea divisible por 2.

b) Sea divisible por 3.

c) Sea divisible por 5.

d) Sea divisible por 9.

e) Sea divisible por 10.

f) Sea divisible por 11.

a) 1 500 b) 1 509 c) 1 500 d) 1 503 e) 1 500 f) 1 50770 Aplica los criterios de divisibilidad para saber si los siguientes números son divisibles por 6.

a) 571 b) 252 c) 405 d) 422

a) No, no es divisible ni por 2 ni por 3.

b) Sí, es divisible por 2 y por 3.

c) No, solo es divisible por 3.

d) No, solo es divisible por 2.71 Copia y completa la siguiente tabla.

Divisores Primo/compuesto

35 1, 5, 7, 35 Compuesto

51 1, 3, 17, 51 Compuesto

89 1, 89 Primo

2 Divisibilidad


72 Averigua cuáles de los resultados de las operaciones propuestas son primos.

a) 4 + 3 d) 7 ⋅ 3

b) 5 + 5 + 5 e) 18 : 2

c) 12 − 1 f) 9

a) 7, primo d) 21, compuesto

b) 15, compuesto e) 9, compuesto

c) 11, primo f) 3, primo73 ¿Existe algún número primo mayor que 200 y menor que 215? Escríbelo.

Sí, 211 es primo.74 Piensa un número que sea múltiplo de 5. ¿Puede ser un número primo? Justifica tu respuesta.

No, porque si es múltiplo de 5, el 5 ya es su divisor, luego no es primo, será compuesto.75 Copia y completa las siguientes descomposiciones factoriales.

a) 124 2 b) 207 §

62 § 69 3

31 § § §

1 1

a) 124 2 b) 207 2

62 2 69 3

31 31 23 23

1 1

42

2 Divisibilidad

43

Arturo compra 5 refrescos en una tienda. Cuando el dependiente le dice el precio, no escucha cuántos euros son, pero sí los céntimos: 32. ¿Cómo sabe Arturo que la cuenta está mal hecha?

Eva quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados iguales tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

Una floristería ha recibido 240 rosas y 140 claveles. ¿Cuántos ramos con el mismo número de flores se pueden hacer, sin mezclarlas y con el mayor número posible de unidades?

Alrededor de una finca rectangular se quieren colocar postes igualmente espaciados de tal forma que haya uno en cada esquina y que el número total de postes sea el menor posible. Si la finca mide 360 m de largo por 140 m de ancho, ¿cuántos postes serán necesarios?

Julia ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar una pastilla cada 6 h y una cucharada de jarabe cada 4 h. Si ingirió los dos medicamentos a las 8:00 de la mañana, ¿a qué hora volverá a tomarlos a la vez?

Se quiere dividir una nave industrial de 80 m de largo y 45 m de ancho en espacios cuadrados con la mayor superficie posible.

a) ¿Cuánto medirá el lado de cada espacio?

b) ¿Cuántos espacios habrá en total?

Calcula el menor número que, al ser dividido por 12, 18 y 13, tenga por resto 1.

Se han dividido en trozos iguales tres cables de 120 cm, 160 cm y 180 cm de longitud, respectivamente. ¿Cuál puede ser la máxima longitud de cada trozo?

César ha comprado 135 kg de naranjas y 150 kg de limones al por mayor para venderlos en su frutería. Quiere meterlos en bolsas del mismo peso sin mezclar las frutas. ¿Cuánto pesará cada bolsa?

91

92

93

94

95

96

97

98

99

Averigua cuáles de los resultados de las operaciones propuestas son primos.

a) 4 + 3 d) 7 ⋅ 3b) 5 + 5 + 5 e) 18 : 2

c) 12 − 1 f) 9

¿Existe algún número primo mayor que 200 y menor que 215? Escríbelo.

Piensa un número que sea múltiplo de 5. ¿Puede ser un número primo? Justifica tu respuesta.

Factorización de un número

Copia y completa las siguientes descomposiciones factoriales.

a) 124 2 b) 207 §

62 § 69 3

31 § § §

1 1

Descompón estos números en producto de factores primos.

a) 36 c) 210 e) 441

b) 50 d) 112 f) 385

En las siguientes descomposiciones factoriales faltan los exponentes. Complétalas en tu cuaderno.

a) 735 = 3§ ⋅ 5§ ⋅ 7§

b) 280 = 2§ ⋅ 5§ ⋅ 7§

c) 1 144 = 2§ ⋅ 11§ ⋅ 13§

d) 966 = 2§ ⋅ 3§ ⋅ 7§ ⋅ 23§

Un número tiene la siguiente factorización: 32 ⋅ 7.

Si multiplicamos ese número por 9, ¿cuál será su factorización? ¿Y si lo dividimos entre 7?

Utiliza las siguientes descomposiciones factoriales para, sin calcular su valor, escribir en cada caso dos múltiplos y dos divisores distintos de 1 y del propio número.

a) 22 ⋅ 34 c) 35

b) 11 ⋅ 232 d) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

Máximo común divisor y mínimo común multiplo

Escribe los factores primos comunes en los siguientes pares de números.

a) 22 ⋅ 35 ⋅ 7 y 2 ⋅ 5 ⋅ 73

b) 34 ⋅ 75 y 24 ⋅ 75 ⋅ 11

c) 22 ⋅ 132 ⋅ 17 y 53 ⋅ 173

72

73

74

75

76

77

78

79

80

Ainoa y Noelia compiten en una carrera de atletismo. Ainoa emplea 45 s en completar cada vuelta, y Noelia, 36 s.

a) Si las dos salen de la meta al mismo tiempo, ¿después de cuántos segundos vuelven a coincidir en la salida?

b) Si cada vuelta de la pista de atletismo mide 400 m, ¿cuántos metros habrá recorrido cada corredora la primera vez que coinciden en la salida?

Jacobo y su abuelo miden con sus pasos la distancia que hay entre dos árboles del parque. Los pasos de Jacobo son de 52 cm de largo, y los de su abuelo, de 74 cm.

a) ¿Cuál es la distancia entre los árboles si esta es igual a la recorrida por el abuelo y su nieto cuando vuelven a coincidir sus pisadas?

b) ¿Cuántas huellas dejaron en el suelo entre los dos?

A una excursión se han apuntado 136 alumnos, de los cuales 60 son chicas, y 76, chicos. El centro quiere reservar el menor número de habitaciones iguales sin mezclar en ellas a chicos y chicas.

a) ¿Cuál es el número de alumnos que van a dormir por habitación?

b) ¿Cuántas habitaciones hay que reservar?

c) ¿Cuántas habitaciones de chicos se reservarán? ¿Y cuántas habitaciones de chicas?

Una ONG ha recogido 360 libros, 270 juguetes y 120 equipaciones deportivas que va a repartir en la campaña de Navidad. Quiere hacer paquetes que contengan los mismos elementos.

a) ¿Cuál es el mayor número de niños que recibirá un regalo?

b) ¿Qué cantidad de libros, juguetes y equipaciones deportivas le corresponderán a cada uno?

Las instrucciones de mantenimiento de un coche especifican que debe cambiarse el aceite del motor cada 24 000 km, el filtro del aire cada 15 000 km y las bujías a los 20 000 km. ¿Cuántos kilómetros tendrá el coche cuando deban realizarse todos los cambios a la vez?

100

101

102

103

104

Calcula el máximo común divisor de estos números.a) 16 y 32 d) 30 y 48b) 15 y 28 e) 24 y 36c) 10 y 25 f) 16 y 34

Escribe dos posibles pares de números cuyo máximo común divisor sea 32 ⋅ 5.

Calcula.a) m.c.m. (15, 32) d) m.c.m. (28, 36)b) m.c.m. (16, 24) e) m.c.m. (18, 27)c) m.c.m. (24, 28) f) m.c.m. (19, 21)

Escribe dos posibles pares de números cuyo mínimo común múltiplo sea 22 ⋅ 33.

Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos pares de números.a) 20 y 30 d) 315 y 441b) 42 y 105 e) 176 y 297c) 144 y 84 f) 275 y 154

Utiliza la calculadora para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números descompuestos en factores.

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos.a) 36, 48 y 72b) 15, 21 y 35c) 13, 17 y 19d) 120, 84 y 132

Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números.a) 18, 42, 48 y 54 b) 117, 169, 182 y 208

Problemas de divisibilidad

Marisa está preparando canapés para la cena y quiere colocarlos en bandejas que contengan el mismo número de unidades. Si hace 90 canapés, ¿de cuántas formas los puede colocar? ¿Y si hace 91?

Luis ha vendido todas las papeletas de la rifa para el viaje de fin de curso. Sabiendo que cada papeleta cuesta 3 €, ¿es posible que haya recaudado 343 €? Razona tu respuesta.

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

a) 25 ⋅ 172 ⋅ 31 y 2 ⋅ 13 ⋅ 174

b) 34 ⋅ 973 y 52 ⋅ 91 ⋅ 972

c) 53 ⋅ 532 ⋅ 714 y 132 ⋅ 53 ⋅ 713

d) 112 ⋅ 472 y 113 ⋅ 594

Actividades Finales 2

55

2Divisibilidad


76 Descompón estos números en producto de factores primos.

a) 36 c) 210 e) 441

b) 50 d) 112 f) 385

a) 24⋅32 c) 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 e) 32⋅72

b) 2 ⋅52 d) 24⋅7 f) 5 ⋅7 ⋅1177 En las siguientes descomposiciones factoriales faltan los exponentes. Complétalas en tu cuaderno.

a) 735 = 3§ ⋅ 5§ ⋅ 7§ c) 1 144 = 2§ ⋅ 11§ ⋅ 13§

b) 280 = 2§ ⋅ 5§ ⋅ 7§ d) 966 = 2§ ⋅ 3§ ⋅ 7§ ⋅ 23§

a) 735 = 31 ⋅ 51 ⋅ 72 c) 1 144 = 23 ⋅ 111 ⋅ 131

b) 280 = 23 ⋅ 51 ⋅ 71 d) 966 = 21 ⋅ 31 ⋅ 71 ⋅ 231

78 Un número tiene la siguiente factorización: 32 ⋅ 7. Si multiplicamos ese número por 9, ¿cuál será su factorización? ¿Y si lo dividimos entre 7?

Al multiplicarlo por 9 tenemos: 34 ⋅ 7

Al dividirlo entre 7 resulta: 32

79 Utiliza las siguientes descomposiciones factoriales para, sin calcular su valor, escribir en cada caso dos múltiplos y dos divisores distintos de 1 y del propio número.

a) 22 ⋅ 34 b) 11 ⋅ 232 c) 35 d) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

a) Múltiplos: 23 ⋅ 34, 22 ⋅ 35 c) Múltiplos: 2 ⋅ 35, 36

Divisores: 2 ⋅ 34, 22 ⋅ 33 Divisores: 34, 33

b) Múltiplos: 2 ⋅ 11 ⋅ 232, 3 ⋅ 11 ⋅ 232 d) Múltiplos: 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7, 2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7

Divisores: 232, 11 ⋅ 23 Divisores: 3 ⋅ 5 ⋅ 7, 2 ⋅ 5 ⋅ 780 Escribe los factores primos comunes en los siguientes pares de números.

a) 22 ⋅ 35 ⋅ 7 y 2 ⋅ 5 ⋅ 73 b) 34 ⋅ 75 y 24 ⋅ 75 ⋅ 11 c) 22 ⋅ 132 ⋅ 17 y 53 ⋅ 173

a) 2 y 7 b) 7 c) 1781 Calcula el máximo común divisor de estos números.

a) 16 y 32 c) 10 y 25 e) 24 y 36

b) 15 y 28 d) 30 y 48 f) 16 y 34

a) 16 = 24 32 = 25 m.c.d. (16, 32) = 24

b) 15 = 3 ⋅ 5 28 = 22 ⋅ 7 m.c.d. (15, 28) = 1

c) 10 = 2 ⋅ 5 25 = 52 m.c.d. (10, 25) = 5

d) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 48 = 23 ⋅ 3 m.c.d. (30,48) = 2 ⋅ 3 = 6

e) 24 = 23 ⋅ 3 36 = 22 ⋅ 32 m.c.d. (24, 36) = 22 ⋅ 3 = 12

f) 16 = 24 34 = 2 ⋅ 17 m.c.d. (16, 34) = 282 Escribe dos posibles pares de números cuyo máximo común divisor sea 32 ⋅ 5.

Primer par: (90, 225), ya que: 90 = 32 ⋅ 5 ⋅ 2 y 225 = 32 ⋅ 52, luego m.c.d. (90, 225) = 32 ⋅ 5.

Segundo par (135, 315), ya que: 135 = 33 ⋅ 5 y 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7, luego m.c.d. (135, 315) =32 ⋅ 5.83 Calcula.

a) m.c.m. (15, 32) c) m.c.m. (24, 28) e) m.c.m. (18, 27)

b) m.c.m. (16, 24) d) m.c.m. (28, 36) f) m.c.m. (19, 21)

a) 15 = 3 ⋅ 5 32 = 25 m.c.m. (15, 32) = 25 ⋅ 3 ⋅ 5 = 480

b) 16 = 24 24 = 23 ⋅ 3 m.c.m. (16, 24) = 24 ⋅ 3 = 48

c) 24 = 24 ⋅ 3 28 = 22 ⋅ 7 m.c.m. (24, 28) = 24 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168

d) 28 = 22 ⋅ 7 36 = 22 ⋅ 32 m.c.m. (28, 36) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 = 252

e) 18 = 2 ⋅ 32 27 = 33 m.c.m. (18, 27) = 2 ⋅ 33 = 54

f) 19 es primo. 21 = 3 ⋅ 7 m.c.m. (19, 21) = 19 ⋅ 21 = 399

2 Divisibilidad


84 Escribe dos posibles pares de números cuyo mínimo común múltiplo sea 22 ⋅ 33.

Primer par (4, 27), ya que: 4 = 22 y 27 = 33, luego m.c.m. (4, 27) = 22 ⋅ 33.

Segundo par (54, 12), ya que: 54 = 2 ⋅ 33 y 12 = 22 ⋅ 3, luego m.c.m. (54, 12) =22 ⋅ 33.85 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos pares de números.

a) 20 y 30 c) 144 y 84 e) 176 y 297

b) 42 y 105 d) 315 y 441 f) 275 y 154

a) 20 = 22 ⋅ 5 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

m.c.d. (20, 30) = 2 ⋅ 5 = 10 m.c.m. (20, 30) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

b) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7

m.c.d. (42, 105) = 3 ⋅ 7 = 21 m.c.m. (42, 105) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210

c) 144 = 24 ⋅ 32 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7

m.c.d. (144, 84) = 22 ⋅ 3 = 12 m.c.m. (144, 84) = 24 ⋅ 32 ⋅ 7 = 1 008

d) 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7 441 = 32 ⋅ 72

m.c.d. (315, 441) = 32 ⋅ 7 = 63 m.c.m. (315, 441) = 32 ⋅ 5 ⋅ 72 = 2 205

e) 176 = 24 ⋅ 11 297 = 33 ⋅ 11

m.c.d. (176, 297) =11 m.c.m. (176, 297) = 24 ⋅ 11 ⋅ 33 = 4 752

f) 275 = 52 ⋅ 11 154 = 2 ⋅ 7 ⋅ 11

m.c.d.(175, 154) = 11 m.c.m.(175, 154) = 2 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11 = 3 85086 Utiliza la calculadora para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números des-

compuestos en factores.

a) 25 ⋅ 172 ⋅ 31 y 2 ⋅ 13 ⋅ 174 c) 53 ⋅ 532 ⋅ 714 y 132 ⋅ 53 ⋅ 713

b) 34 ⋅ 973 y 52 ⋅ 91 ⋅ 972 d) 112 ⋅ 472 y 113 ⋅ 594

a) m.c.d. = 2 ⋅ 17 = 34 m.c.m. = 25 ⋅ 174 ⋅ 31 ⋅ 13 = 860 064

b) m.c.d. = 972 = 9 409 m.c.m. = 34 ⋅ 973 ⋅ 52 ⋅ 91 = 5 608 375 585

c) m.c.d. = 53 ⋅ 713 m.c.m. = 53 ⋅ 532 ⋅ 714⋅ 132 = 1 507 932 327 000 125

d) m.c.d. = 112 = 121 m.c.m. = 113 ⋅ 472 ⋅ 594 = 35 627 210 347 61987 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos.

a) 36, 48 y 72 c) 13, 17 y 19

b) 15, 21 y 35 d) 120, 84 y 132

a) 36 = 22 ⋅ 32 48 = 24 ⋅ 3 72 = 23 ⋅ 32

m.c.d. (36, 48, 72) = 22 ⋅ 3 = 12 m.c.m. (36, 48, 72) = 24 ⋅ 32 = 144

b) 15 = 3 ⋅ 5 21 = 3 ⋅ 7 35 = 5 ⋅ 7

m.c.d. (15, 21, 35) = 1 m.c.m. (15, 21, 35) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105

c) 13,17 y 19 son primos.

m.c.d. (13, 17, 19) = 1 m.c.m. (13, 17, 19) = 13 ⋅ 17 ⋅ 19 = 4 199

d) 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 132 = 22 ⋅ 3 ⋅ 11

m.c.d. (120, 84, 132) = 2 ⋅ 3 = 6 m.c.m. (120, 84, 132) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 84088 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

a) 18, 42, 48 y 54 b) 117, 169, 208 y 182

a) 18 = 2 ⋅ 32 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 48 = 24 ⋅ 3 54 = 2 ⋅ 33

m.c.d. (18, 42, 48) = 2 ⋅ 3 = 6 m.c.m. (18, 42, 48) = 24 ⋅ 33 ⋅ 7 = 3 024

b) 117 = 32 ⋅ 13 169 = 132 208 = 24 ⋅ 13 182 = 2 ⋅ 7 ⋅ 13

m.c.d. (117, 169, 208, 182) = 13 m.c.m. (117, 169, 208, 182) = 32 ⋅ 132 ⋅ 24 ⋅ 7 = 170 352

57

2Divisibilidad


89 Marisa está preparando canapés para la cena y quiere colocarlos en bandejas que contengan el mismo número de unida-des. Si hace 90 canapés, ¿de cuántas formas los puede colocar? ¿Y si hace 91?

90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 y Div(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 50}, luego de 13 formas distintas.

91 = 7 ⋅ 13 y Div(91) = {1, 7, 13, 91}, luego de 4 formas distintas.90 Luis ha vendido todas la papeletas de la rifa para el viaje de fin de curso. Sabiendo que cada papeleta cuesta 3 €, ¿es

posible que haya recaudado 343 €? Razona tu respuesta.

Luis tiene que recaudar un múltiplo de 3.

Como 343 no es múltiplo de 3, no es posible que haya recaudado 343 €.91 Arturo compra 5 refrescos en una tienda. Cuando el dependiente le dice el precio, no escucha cuántos euros son, pero sí

los céntimos: 32. ¿Cómo sabe Arturo que la cuenta está mal hecha?

Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, luego si el precio termina en 32, la cuenta estaría mal hecha.92 Eva quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados iguales tan grandes como sea posible,

de forma que no le sobre ningún trozo. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

Hay que calcular el máximo común divisor de 40 y 30.

40 = 23 ⋅ 5 ⋅ 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

m.c.d. (40, 30) = 2 ⋅ 5 = 10

Luego el lado del cuadrado medirá 10 cm.93 Una floristería ha recibido 240 rosas y 140 claveles. ¿Cuántos ramos con el mismo número de flores se pueden hacer, sin

mezclarlas y con el mayor número posible de unidades?

Calculamos el máximo común divisor del número de rosas y claveles, para saber cuántas flores debe llevar cada ramo.

240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

m.c.d. (240, 140) = 22 ⋅ 5 = 20 flores cada ramo.

Para saber el número de ramos que se pueden hacer dividimos el número de rosas y claveles por el número de flores de cada ramo.

Ramos de rosas: 240 : 20 = 12

Ramos de claveles: 140 : 20 = 7

En total se pueden hacer 19 ramos de flores. 94 Alrededor de una finca rectangular se quieren colocar postes igualmente espaciados de tal forma que haya uno en cada

esquina y que el número total de postes sea el menor posible. Si la finca mide 360 m de largo por 140 m de ancho, ¿cuántos postes serán necesarios?

Tendremos que dividir la parcela en el mayor número de espacios posibles, luego calculamos el máximo común divisor entre las dimensiones de la parcela.

360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5

140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

m.c.d. (360, 140) = 22 ⋅ 5 = 20

Luego se necesitan 20 postes.95 Julia ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar una pastilla cada 6 h y una cucharada de jarabe cada

4 h. Si ingirió los dos medicamentos a las 8:00 de la mañana, ¿a qué hora volverá a tomarlos a la vez?

Calculamos el mínimo común múltiplo de las frecuencias de tomas.

6 = 2 ⋅ 3

4 = 22

m.c.m. (6, 4) = 22 ⋅ 3 = 12

Es decir, 12 horas después se las volverá tomar a la vez, y serán las 20:00 horas.

2 Divisibilidad


96 Se quiere dividir una nave industrial de 80 m de largo y 45 m de ancho en espacios cuadrados con la mayor superficie posible.

a) ¿Cuánto medirá el lado de cada espacio?

b) ¿Cuántos espacios habrá en total?

a) Calculamos el máximo común divisor, ya que se trata de dividir un espacio utilizando elementos lo más grandes posi-bles.

80 = 24 ⋅ 5

45 = 32 ⋅ 5

m.c.d. (80, 45) = 5

Es decir, el lado de cada espacio mide 5 m.

b) De largo caben 80 : 5 = 16 y de ancho 45 : 5 = 9.

En total hay 9 ⋅ 16 = 144 espacios cuadrados.97 Calcula el menor número que, al ser dividido por 12, 18 y 13, tenga por resto 1.

Nos están pidiendo calcular el mínimo común múltiplo de las cantidades indicadas.

12 = 22 ⋅ 3

18 = 2 ⋅ 32

13 es primo.

m.c.m. (12, 18, 13) = 22 ⋅ 32 ⋅ 13 = 468

Como se pide que tenga por resto 1, le sumamos 1, luego el número resultante es 469.98 Se han dividido en trozos iguales tres cables de 120 cm, 160 cm y 180 cm de longitud, respectivamente. ¿Cuál es la lon-

gitud de cada trozo?

Calculamos el máximo común divisor de la longitud de cada cable.

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

160 = 25 ⋅ 5

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5

m.c.d. (120, 160, 180) = 22 ⋅ 5 = 20

Luego la longitud de cada trozo es 20 cm.99 César ha comprado 135 kg naranjas y 150 kg de limones al por mayor para venderlos en su frutería. Quiere meterlos en

bolsas del mismo peso sin mezclar las frutas. ¿Cuánto pesará cada bolsa?

Calculamos el máximo común divisor entre el número de naranjas y limones.

135 = 33 ⋅ 5

150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52

m.c.d. (135, 150) = 3 ⋅ 5 = 15

Luego cada bolsa pesará 15 kg.100 Ainoa y Noelia compiten en una carrera de atletismo. Ainoa emplea 45 s en completar cada vuelta, y Noelia, 36 s.

a) Si las dos salen de la meta al mismo tiempo, ¿después de cuántos segundos vuelven a coincidir en la salida?

b) Si cada vuelta de la pista de atletismo mide 400 m, ¿cuántos metros habrá recorrido cada corredora la primera vez que coinciden en la salida?

a) Calculamos el mínimo común múltiplo entre los segundos que emplea cada atleta.

45 = 32 ⋅ 5 36 = 22 ⋅ 32 m.c.m. (45, 36) = 32 = 9

A los 9 s de salir de meta vuelven a coincidir.

b) Si Ainoa tarda 45 s en recorrer 400 m, en 9 s recorre:

400 ⋅ 9 : 45 = 80 m

Si Noelia tarda 36 s en recorrer 400 m, en 9 s recorre:

400 ⋅ 9 : 36 = 100 m

59

2Divisibilidad


101 Jacobo y su abuelo miden con sus pasos la distancia que hay entre dos árboles del parque. Los pasos de Jacobo son de 52 cm de largo, y los de su abuelo, de 74 cm.

a) ¿Cuál es la distancia entre los árboles si esta es igual a la recorrida por el abuelo y su nieto cuando vuelven a coincidir sus pisadas?

b) ¿Cuántas huellas dejaron en el suelo entre los dos?

a) Calculamos el mínimo común múltiplo entre los recorridos de Jacobo y su abuelo.

52 = 22 ⋅ 13 74 = 2 ⋅ 37

m.c.m. (52, 74) = 22 ⋅ 13 ⋅ 37 = 1924

Luego la distancia entre los árboles es de 1924 cm.

b) Jacobo: 1924 : 52 = 37 pisadas

Su abuelo: 1924 : 74 = 26 pisadas

Luego entre los dos 37 + 26 = 63 pisadas.102 A una excursión se han apuntado 136 alumnos, de los cuales 60 son chicas, y 76, chicos. El centro quiere reservar el me-

nor número de habitaciones iguales sin mezclar en ellas a chicos y chicas.

a) ¿Cuál es el número de alumnos que van a dormir por habitación?

b) ¿Cuántas habitaciones hay que reservar?

c) ¿Cuántas habitaciones de chicos se reservarán? ¿Y cuántas habitaciones de chicas?

a) Calculamos el máximo común divisor entre el número de chicas y chicos.

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 76 = 22 ⋅ 19

m.c.d. (60, 76) = 22 = 4

Luego en cada habitación dormirán 4 alumnos.

b) En total se reservarán:

136 : 4 = 34 habitaciones

c) Habitaciones de chicas: 60 : 4 = 15

Habitaciones de chicos: 76 : 4 = 19103 Una ONG ha recogido 360 libros, 270 juguetes y 120 equipaciones deportivas que va a repartir en la campaña de Navi-

dad. Quiere hacer paquetes que contengan los mismos elementos.

a) ¿Cuál es el mayor número de niños que recibirá un regalo?

b) ¿Qué cantidad de libros, juguetes y equipaciones deportivas le corresponderán a cada uno?

a) Calculamos el máximo común divisor entre los diferentes tipos de regalos, y con ello sabremos cuantos elementos contienen los paquetes.

360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 270 = 2 ⋅ 33 ⋅ 5 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

m.c.d. (360, 270, 120) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

b) Libros: 360 : 30 = 12

Juguetes: 270 : 30 = 9

Equipaciones: 120 : 30 = 4104 Las instrucciones de mantenimiento de un coche especifican que debe cambiarse el aceite del motor cada 24 000 km, el

filtro del aire cada 15 000 km y las bujías a los 20 000 km. ¿Cuántos kilómetros tendrá el coche cuando deban realizarse todos los cambios a la vez?

Trabajamos con miles de kilómetros para facilitar los cálculos.

Calculamos el mínimo común múltiplo entre los kilómetros a los que se deben cambiar cada uno.

24 = 23 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 20 = 22 ⋅ 5

m.c.m. (24, 15, 20) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120

Luego el coche tendrá 120 000 km cuando realice todos los cambios a la vez.

2 Divisibilidad


Matemáticas vivas

2 MATEMÁTICAS VIVAS 2Paquetes de productos

44 45

RELACIONA

Celia ha ido al supermercado y ha cogido el mismo número de latas de atún que de yogures.

a. ¿Cuál es el menor número de paquetes de atún que ha podido comprar?

b. ¿Cuántos paquetes de yogures compra como mínimo?

c. ¿Es posible que haya comprado 24 artículos en total?

Moisés ha comprado el mismo número de pilas que de yogures.

a. Utiliza la hoja de cálculo para decidir cuál es el menor número de pilas que puede comprar.

b. ¿Es posible que haya adquirido 5 paquetes de yogures?

Lorena se ha llevado el mismo número de pilas, latas de atún y yogures.

a. ¿Cuántos yogures como mínimo puede comprar?

b. ¿Cuántos paquetes de yogures ha adquirido como mínimo?

c. ¿Es posible que haya comprado 24 artículos en total? Explica por qué.

2

3

4

Hay productos, como los huevos, que no se compran por unidades. Lo habitual es encontrarlos en paquetes de media, una o dos docenas.

5

a. ¿En múltiplos de qué número pueden comprarse los huevos?

b. ¿Se podrían comprar exactamente 20 huevos? ¿Y 18?

Un supermercado ofrece la posibilidad de llevarse los huevos en cajas de 5 unidades. Copia la siguiente tabla y marca las distintas cantidades de huevos que es posible adquirir en este formato.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

7

Es posible adquirir 24 huevos de varias formas distintas; por ejemplo, comprando una caja con 2 docenas de huevos, 4 cajas de media docena… En esta tabla aparecen las diferentes combinaciones que hay para realizar esta compra.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Media docena 0 0 2 4

Una docena 0 2 1 0

Dos docenas 1 0 0 0

Elabora dos tablas como la anterior que incluyan las distintas posibilidades para comprar 36 y 60 huevos.

6

REFLEXIONA

COMPRENDE

Observa los artículos anteriores.

a. ¿En múltiplos de qué número pueden comprarse las pilas? ¿Y las latas de atún?

UTILIZA EL LENGUAJEMATEMÁTICO

b. ¿En múltiplos de qué número pueden comprarse los yogures?

c. ¿Cuántos yogures hay en 3 paquetes? ¿Y en 5 paquetes?

d. ¿Es posible comprar exactamente 20 latas de atún? Explica por qué.

e. Si Roberto necesita 18 pilas, ¿cuántos paquetes tiene que comprar?

f. Si gasta las 18 pilas, y necesita comprar 18 más, ¿cuántos paquetes debería comprar esta vez? Explica por qué.

1

PIENSA Y RAZONA

REPRESENTARESUELVE

COMUNICA

UTILIZA LAS TIC

ARGUMENTA

Explica por qué.

ARGUMENTA

En el supermercado hay artículos que no podemos adquirir de forma individual. Por ejemplo, la mayoría de las pilas, los rollos de papel higiénico o las galletas se presentan en paquetes que contienen varias unidades.

Otros productos los compramos individualmente o en paquetes indivisibles, siendo esta última opción casi siempre la más económica.

TRABAJO

COOPERATIVO

Paquetes de productosSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el envasado en paquetes de los productos que compramos, en la que interviene la divisibilidad.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Resuelve, Comunica, Utiliza las TIC, Argumenta o Representa.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos realizarán un trabajo de investigación sobre las diferentes maneras que existen de empaquetar los botes de refrescos.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Observa los artículos anteriores.

a) ¿En múltiplos de qué número pueden comprarse las pilas? ¿Y las latas de atún?

b) ¿En múltiplos de que número pueden comprarse los yogures?

c) ¿Cuántos yogures hay en 3 paquetes? ¿Y en 5 paquetes?

d) ¿Es posible comprar exactamente 20 latas de atún? Explica por qué.

e) Si Roberto necesita 18 pilas, ¿cuántos paquetes tiene que comprar?

f) Si gasta las 18 pilas, y necesita comprar 18 más, ¿cuántos paquetes debería comprar esta vez? Explica por qué.

61

2Divisibilidad


a) Las pilas en múltiplos de 4 y las latas de atún en múltiplos de 3.

b) En múltiplos de 6.

c) Hay 6 ⋅ 3 = 18 yogures. Hay 6 ⋅ 5 = 30 yogures.

d) No es posible porque 20 no es múltiplo de 3.

e) Necesitaría 5 paquetes con 20 pilas.

f) En total necesitaría 36 pilas que son 9 paquetes luego solo necesita 4 paquetes más.

Relaciona2 Celia ha ido al supermercado y ha cogido el mismo número de latas de atún que de yogures.

a) ¿Cuál es el menor número de paquetes de atún que ha podido comprar?

b) ¿Cuántos paquetes de yogures ha adquirido como mínimo?

c) ¿Es posible que haya comprado 24 artículos en total?

Ha tenido que comprar un múltiplo del mínimo común múltiplo de 3 y 6 que es 6.

m.c.m. (3, 6) = 6

a) Dos paquetes.

b) Solo un paquete.

c) Sí, porque 24 es un múltiplo del mínimo común múltiplo.3 Moisés ha comprado el mismo número de pilas que de yogures.

a) Utiliza la hoja de cálculo para decidir cuál es el menor número de pilas que puede comprar.

b) ¿Es posible que haya adquirido 5 paquetes de yogures?

a) Puedes utilizar las funciones que tiene una hoja de cálculo o situarte en una celda y teclear:

=M.C.M.(4, 6)

Ha tenido que comprar un múltiplo del mínimo común múltiplo de 4 y 6.

m.c.m. (4, 6) = 12

El menor número de pilas que puede comprar es 12.

b) No, porque 5 ⋅ 6 = 30 no es múltiplo de 12.4 Lorena se ha llevado el mismo número de pilas, latas de atún y yogures.

a) ¿Cuántos yogures como mínimo puede comprar?

b) ¿Cuántos paquetes de yogures ha adquirido como mínimo?

c) ¿Es posible que se haya llevado 24 productos en total? Explica por qué.

Ha tenido que comprar un múltiplo del mínimo común múltiplo de 3, 4 y 6.

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

a) 12 yogures.

b) Yogures 12 : 6 = 2 paquetes

c) No, ya que como el número mínimo de yogures debe ser 12 y tiene que llevar el mismo número de artículos, tendría que comprar 36 artículos como mínimo.

Reflexiona5 Hay productos, como los huevos, que no se compran por unidades. Lo habitual es encontrarlos en paquetes de media,

una o dos docenas.

a) ¿En múltiplos de qué número pueden comprarse los huevos?

b) ¿Se podrían comprar exactamente 20 huevos? ¿Y 18?

a) En el m.c.d. (6, 12, 24) = 6 huevos

b) No se pueden comprar 20 huevos porque 20 no es múltiplo de 6.

Sí se pueden comprar 18 huevos, por ejemplo comprando 3 cajas de 6 huevos.

2 Divisibilidad


6 Es posible adquirir 24 huevos de varias formas distintas; por ejemplo, comprando una caja con 2 docenas de huevos, 4 cajas de media docena… En esta tabla aparecen las diferentes combinaciones que hay para realizar esta compra.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Media docena 0 0 2 4

Una docena 0 2 1 0

Dos docenas 1 0 0 0

Elabora dos tablas como la anterior que incluyan las distintas posibilidades para comprar 36 y 60 huevos.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

Media docena 0 0 2 4 6

Una docena 1 3 2 1 0

Dos docenas 1 0 0 0 0

36 huevos

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8

Media docena 0 0 0 2 4 6 8 10

Una docena 1 3 5 4 3 2 1 9

Dos docenas 2 1 0 0 0 0 0 0

60 huevos

7 Un supermercado ofrece la posibilidad de llevarse los huevos en cajas de 5 unidades. Copia la siguiente tabla y marca las distintas cantidades de huevos que es posible adquirir en este formato.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Hay que marcar todos los múltiplos de 5.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

63

2Divisibilidad


46

2 Divisibilidad

Observa que el producto del máximo común divisor y el mínimo común multiplo de dos números coincide con el producto de estos dos números.

Vamos a comprobar la relación que existe entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 63 y 84.

Calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 63 y 84.

Si multiplicamos los resultados, comprobamos que obtenemos el producto de los números.

conmutativa + asociativa

m.c.d. (63, 84) ⋅ m.c.m. (63, 84) = 3 ⋅ 7 ⋅ 22 ⋅ 32 ⋅ 7 = (32 ⋅ 7) ⋅ (22 ⋅ 3 ⋅ 7) = 63 ⋅ 84

AVANZA

A1. Copia y completa los valores que faltan.

a) m.c.d. (18, §) = 6 b) m.c.d. (84, §) = 22 ⋅ 3

m.c.m. (18, §) = 180 m.c.m. (84, §) = 22 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 7

A2. Sabemos que el máximo común divisor de dos números, distintos de 1, es 1 y el mínimo común múltiplo es 221. ¿Cuáles son esos números?

CÁLCULO MENTAL Estrategias para la DIVISIÓN

❚ Descomposición en factores

Para resolver divisiones descomponemos el divisor para obtener divisiones más sencillas.

• Si el divisor es 6, dividimos por 2 y por 3.

48 : 6 = (48 : 2) : 3 = 24 : 3 = 8

CM1. Realiza las siguientes divisiones.

a) 138 : 6 c) 72 : 6 e) 180 : 6 g) 252 : 6

b) 90 : 6 d) 174 : 6 f) 216 : 6 h) 312 : 6

• Si el divisor es una potencia de 2, dividimos el número por 2 sucesivamente hasta alcanzar la potencia.

416 : 8 = 416 : 23 = (416 : 2) : 2 : 2 = (208 : 2) : 2 = 104 : 2 = 52

CM2. Resuelve estas divisiones.

a) 104 : 4 c) 152 : 8 e) 144 : 16 g) 384 : 32

b) 192 : 4 d) 288 : 8 f) 240 : 16 h) 864 : 32

Factorizamos los números

63 3 84 221 3 42 27 7 21 31 7 7

1

63 = 32 ⋅ 7 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7

m.c.d. (63, 84) = 3 ⋅ 7

m.c.m. (63, 84) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7

Relación entre el m.c.d. y el m.c.m.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la propie-dad que se cumple al relacionar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.


A1. Copia y completa los valores que faltan.

a) m.c.d. (18, §) = 6

m.c.m. (18, §) = 180

b) m.c.d. (84, §) = 22 ⋅ 3

m.c.m. (84, §) = 22 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 7

a) 18 ⋅ x = 6 ⋅ 180 → x = 60

b) 84 ⋅ x = 22 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 7 → 84 x = 11 088 x = 132

A2. Sabemos que el máximo común divisor de dos núme-ros, distintos de 1, es 1 y el mínimo común múltiplo es 221. ¿Cuáles son esos números?

Como el máximo común divisor es 1 los números no tienen divisores comunes.

La descomposción factorial de 221 es 13 ⋅ 17, luego los dos números son 13 y 17.

Cálculo mental. Estrategia para la divisiónSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan dos estrategias de cálculo mental para realizar divisiones, basadas en el razonamiento ¿Cómo puedo expresar el divisor para realizar la división de manera más fácil? Se descompone el divisor en factores primos o se expresa como potencia.


CM1. Realiza las siguientes divisiones.

a) 138 : 6 c) 72 : 6 e) 180 : 6 g) 252 : 6

b) 90 : 6 d) 174 : 6 f) 216 : 6 h) 312 : 6

a) 23 c) 12 e) 30 g) 42

b) 15 d) 29 f) 36 h) 52

CM2. Resuelve estas divisiones.

a) 104 : 4 c) 152 : 8 e) 144 : 16 g) 384 : 32

b) 192 : 4 d) 288 : 8 f) 240 : 16 h) 864 : 32

a) 26 c) 19 e) 9 g) 12

b) 48 d) 36 f) 15 h) 27

Avanza. Relación entre el m.c.d. y el m.c.m.

2 Divisibilidad


1. Escribe dos múltiplos y dos divisores de los siguientes números.

a) 32

a) Por ejemplo, son múltiplos de 32 el 64 y el 320. Y son divisores, el 8 y el 16.

b) 18

b) Por ejemplo, son múltiplos de 18 el 36 y el 54. Y son divisores, el 2 y el 9.

2. Aplica los criterios de divisibilidad para justificar si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 9, 10 y 11.

a) 3 465

a) No es divisible por 2 por acabar en cifra impar.

Es divisible por 3 y por 9 ya que sus cifras suman 18, que es múltiplo de 3 y 9.

Es divisible por 5 por acabar en 5.

No es divisible por 10 por no acabar en 0.

Es divisible por 11 ya que la diferencia de la suma de cifras par e impar es 0.

b) 2 310

b) Es divisible por 2 por acabar en 0.

Es divisible por 3 ya que sus cifras suman 6 que es múltiplo de 3.

Es divisible por 5 y por 10 por acabar en 0.

No es divisible por 9 ya que la suma de sus cifras no es múltiplo de 9.

Es divisible por 11 ya que la diferencia de la suma de cifras par e impar es 0.

3. Descompón en factores primos los números 156 y 315.

156

78

39

13

1

2

2

3

13

315

105

35

7

1

3

3

5

7

156 = 22 ⋅ 3 ⋅ 13 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7

4. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 112 y 120.

112

56

28

14

7

1

2

2

2

2

7

120

60

30

15

5

1

3

3

5

7

m.c.d. (112, 120) = 23 = 8

m.c.m. (112, 120) =24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1 680

112 = 24 ⋅ 7 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

5. Miguel juega al fútbol cada 6 días y practica snowboard cada 8 días. Si hoy ha tenido un partido de cada deporte, ¿cuán-tos días tienen que pasar para que coincidan otra vez los dos deportes?

Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 6 y 8.

6 = 2 ⋅ 3 8 = 23

m.c.m. (6, 8) = 23 ⋅ 3 = 24

Los dos deportes coincidirán de nuevo dentro de 24 días.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

65

2Divisibilidad


1. Completa el número 6 2§7 para que sea divisible a la vez por 11 y por 3.

6 237 es divisible por 3 porque sus cifras suman 18 que es múltiplo de 3.

También es divisible por 11 porque la diferencia de la suma de las cifras pares e impares es 0.

2. Descompón en factores primos el número 221.

221

17

1

13

17

221 = 13 ⋅ 17

3. Clasifica los siguientes números en primos o compuestos.

a) 107

a) El número 107 es primo, pues sus únicos divisores son el 1 y él mismo.

b) 143

b) El número 143 es compuesto porque se puede des-componer como 143 = 11 ⋅ 13

3. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 60, 108 y 144.

60

30

15

5

1

2

2

3

108

54

27

9

3

1

2

2

3

3

3

144

72

36

18

9

3

1

2

2

2

2

3

3

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 108 = 22 ⋅ 33 144 = 24 ⋅ 32

m.c.d. (60, 108, 144) = 22 ⋅ 3 = 12

m.c.m. (60, 108, 144) = 24 ⋅ 33 ⋅ 5 = 2 160

4. Ana tiene 105 caramelos de fresa y 165 caramelos de limón. Tiene que empaquetarlos en bolsas de igual tamaño, sin mezclar sabores y sin que le sobre ningún caramelo. ¿Cuántas bolsas necesita?

Hay que calcular el máximo común divisor de 105 y 165.

105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 165 = 3 ⋅ 5 ⋅ 11

m.c.d. (105, 165) = 3 ⋅ 5 = 15

Bolsas de fresa: Bolsas de limón:

105 : 15 = 7 165 : 15 = 11

En total necesita 18 bolsas.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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