REESTRUCTURACIÓN CURRICULAR POR CICLOS

PROPUESTA SEMINARIO- TALLER NÚMERO CUATROTEMA DEL SEMINARIO TALLER: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

CIENTIFICO-TECNOLOGICO Y LOGICO- MATEMATICO

El esfuerzo, absolutamente necesario, para revisar y trascender las fronteras entre las "disciplinas" y las unidades pedagógicas correspondientes, no se debería realizar en detrimento de la identidad y de la especificidad de las enseñanzas

fundamentales, sino, por el contrario, debería hacer aparecer la coherencia y la particularidad de las problemáticas y de los modos de pensamiento característicos

de cada especialidad.

De manera más general, el acceso al método científico pasa por el aprendizaje de la lógica elemental y por la adquisición de hábitos de pensamiento, de técnicas y

de instrumentos cognoscitivos que son indispensables para conducir un razonamiento riguroso y reflexivo

Hay que privilegiar resueltamente las enseñanzas que son capaces de asegurar la asimilación reflexiva y crítica de los modos de pensamiento fundamentales, como

el modo de pensamiento deductivo, el modo de pensamiento experimental o el modo de pensamiento histórico, y también el modo de pensamiento reflexivo y

crítico que debería estar siempre asociado con ellos.(Pierre Bourdieu y Francois Gros, 1988)

I. PRESENTACIÓN

La SED definió el plan sectorial 2008-2012 dando prioridad a proyectos que apunten hacia la “Calidad de la Educación”, desplazando la preocupación por la eficacia y la eficiencia propia de un modelo económico neoliberal por criterios de relevancia y pertinencia. La relevancia está asociada al desarrollo pleno de lo humano, para actuar significativamente en la sociedad, pero está asociada también a la adecuación de la educación, según sean los contextos y los proyectos: “una educación es de calidad si promueve el desarrollo de las competencias necesarias para participar en las diferentes áreas de la vida humana, afrontar los desafíos de la sociedad actual y desarrollar el proyecto de vida en relación con los otros” (UNESCO, 2007: 5).

La pertinencia por otro lado, tal como lo plantea el documento de la Unesco sobre el desarrollo sostenible, está relacionada con la adecuación de la escuela

a las necesidades específicas de los sujetos. Se trata de propender porque “la educación sea significativa para personas de distintos estratos sociales y culturas, y con diferentes capacidades e intereses, de forma que puedan apropiarse de los contenidos de la cultura, mundial y local, y construirse como sujetos, desarrollando su autonomía, autogobierno y su propia identidad.” (UNESCO, 2007: 9).

Este mismo documento propone considerar las “Herramientas para la vida”, entendiendo por ello el acceso y el dominio de las competencias y las habilidades fundamentales y necesarias para saber afrontar las situaciones de una sociedad caracterizada por la acumulación de información y de tendencias hacia el individualismo y la segregación. Las “Herramientas para la vida” están en el centro del proyecto educativo de Bogotá y constituyen el horizonte para las acciones pedagógicas en las aulas y fuera de ellas. Su apropiación es decisiva para el desarrollo de una propuesta que busca comprometernos en la transformación de las prácticas pedagógicas a partir de la reorganización curricular por ciclos.

El concepto “Life Skills” aparece como respuesta a la necesidad de incluir en el currículo escolar elementos que favorezcan en el estudiante la toma de decisiones, el enfrentar riegos, situaciones de emergencia, fomentar el desarrollo, y ayudar a potenciar la formación personal, profesional, social. Se ha entendido como capacidades (saberes, habilidades, actitudes, comportamientos, valores) para enfrentar exitosamente contextos y problemas de la vida cotidiana, privada, social y profesional; así como a situaciones excepcionales. (UNESCO, 2006)

La herramienta que se aborda en este taller es la que busca profundizar el aprendizaje de la ciencia, la tecnología y las matemáticas, tal como se plantea en este documento de la UNESCO, la educación para el desarrollo sostenible está íntimamente ligado a las ciencias naturales, a las tecnologías, a la política, a las matemáticas, a las ciencias sociales, está basado en las maneras como se perciben las relaciones entre nosotros, con nosotros mismos, con los otros y con la naturaleza, es una cuestión de valores de cultura.

A su vez entre los fines de la educación contemplados en la Ley general de Educación (1994) que promueva, la “capacidad para crear, investigar, adoptar la tecnología que se requiere en los procesos de desarrollo del país y le permita al educando ingresar al sector productivo” (MEN, 1994: 24) y ser reconocido como sujeto social con derechos. Así entonces, “el acceso al conocimiento, la ciencia, la técnica y demás bienes y valores de la cultura, el fomento de la investigación y el estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones” (MEN, 1994:

23), se desprenden de estos fines. Para lograrlos, se requiere de “la capacidad crítica, reflexiva y analítica que fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al mejoramiento cultural y la calidad de vida de la población, la participación en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y el progreso social y económico del país.” (MEN, 1994: 24). Se trata en el fondo de asignarle sentido a los quehaceres de la escuela teniendo como horizonte de sentido la formación de sujetos para la construcción de la democracia en el marco de proyectos sociales y humanos.

Desde esta perspectiva entonces, ¿Qué aportan las ciencias, la tecnología y las matemáticas en la construcción de las herramientas para la vida para el desarrollo sostenible?

Se busca formar sujetos, ciudadanos y ciudadanas que sepan desenvolverse asertivamente en un mundo atravesado por los avances científicos y tecnológicos, capaces de adoptar actitudes responsables, tomar decisiones fundamentadas y resolver los problemas cotidianos. Para ello se requieren propuestas que se orienten hacia una ciencia para la vida y para el ciudadano (UNESCO, 2006).

La enseñanza de las ciencias y las matemáticas promueven la constitución de la subjetividad afectando los procesos cognitivos, las formas de razonamiento, las maneras de explicarse y comprender el funcionamiento del mundo, los fenómenos naturales y sociales, interpretar los fenómenos cotidianos, desarrollarse como sujetos y actuar como ciudadanos solidarios, conscientes, creativos y responsables en la participación en procesos de producción científica.

Sujetos que valoren la ciencia y las matemáticas como una empresa humana en continua construcción, con avances y retrocesos en el marco de un contexto social, político, económico e histórico que condiciona su evolución. Enseñar no unas ciencias y unas matemáticas infalibles, verdaderas, objetivas, rigurosas sino unas ciencias y matemáticas que se vinculan a los problemas del hombre, a sus maneras de ser que problematizan lo ético, y se sensibilizan frente a lo estético, ciencias que se vinculan y no dejan de lado los contextos sociales, culturales, económicos y políticos en los cuales ese conocimiento se desarrolla. En las que se enfatiza la belleza de este conocimiento, la emoción, los aspectos lúdicos, afectivos, creativos que éstos suponen y encierran.

Tal como plantea bourdieau (1988) “La búsqueda de la coherencia debería reforzarse con una búsqueda del equilibrio y de la integración entre las diferentes especialidades y, en consecuencia, entre las diferentes formas de excelencia. Sería importante, en lo particular, conciliar el universalismo inherente al

pensamiento científico y el relativismo que enseñan las ciencias históricas, atentas a la pluralidad de formas de vida y tradiciones culturales”.

Las aulas en ese sentido, se convierten en un espacio que favorece el encuentro de saberes tanto locales como universales, un espacio de negociación, construcción y reconstrucción de conocimiento en el que se discute, se intercambia, se problematiza, en el cual los alumnos se involucran activamente, participan en el control y la toma de decisiones, en la planificación de la producción y construcción de conocimiento. Un conocimiento dónde las “ciencias de la escuela” y “las matemáticas escolares” ya no son verdades absolutas e inamovibles sino son objetos de búsqueda, de intercambio, de razonamiento, de discusión, de comprensiones compartidas, de establecimientos de acuerdos consensuados, los alumnos adquieren un poder de sentirse dueños de su saber. Las aulas se convierten así en ambientes dinámicos, flexibles, que toleran la incertidumbre y valoran el error, contextos que hacen de la enseñanza-aprendizaje de estas disciplinas escolares prácticas sociales y culturales.

Es por esto, que establecer procesos en el aula que den cuenta del trabajo que pueden hacer los estudiantes integrando el conocimiento local con el conocimiento desde las ciencias, puede conducir a fortalecer los vínculos que se construyen entre el estudiante y el conocimiento.

En este sentido, hay que señalar que la intención por reconocer la necesidad de buscar estrategias que permitan avanzar en el conocimiento que se tiene en torno a las maneras de trabajar las ciencias y las matemáticas en el contexto de la escuela, viene dándose desde hace ya tiempo, razón por la cual es pertinente aunar los esfuerzos por establecer posibilidades desde las prácticas pedagógicas con miras a construir conocimiento sobre el particular, Rabino et. al. (2002) citando a Owen (1989) sostiene que “Es muy posible que los métodos, por ejemplo, hayan variado en las últimas décadas. También las ideas sobre la forma en que el alumno aprende. Sin embargo, la estructura conceptual de las ciencias que se enseñan en los cursos se considera como algo dado e inamovible y ha estado normalmente fuera del alcance e interés de la investigación educativa: no constituye una variable problemática en las reflexiones y estudios sobre didáctica de las ciencias”.

Pero al asumir la escuela como una institución de cultura y las practicas que allí se realizan como prácticas sociales y culturales, se puede entender de dos maneras, como la institución a la que se le asigna la función de reproducir la cultura o la institución que además de posibilitar el espacio de apropiación de la cultura por parte de los sujetos, los prepara para enfrentarse al mundo cambiante en el que

vivirán y los forma para emanciparse de aquellas lógicas que los prepara para ser un simple usuario consumidor y convertirse en un productor o negociador. Lo que decidimos hacer en la escuela solo tiene sentido cuando se considera en el contexto más amplio de lo que la sociedad pretende conseguir a través de la inversión educativa en la infancia. La forma en que se concibe la educación es función de cómo se entiende la cultura y sus metas. Parafraseando a De Entwistle, la educación es una forma intencional y deliberada de transmisión cultural y como tal debe ser selectiva, es decir la escuela no es neutral, ya sea de manera consciente o inconsciente, explícita o implícita selecciona intencionalmente las maneras de aproximación del sujeto a la realidad social y natural y la participación en el concierto mundial. En términos de Habermas como toda acción humana esta es una práctica interesada.

En esta línea de pensamiento, el desarrollo científico, tecnológico y matemático se convierte en un reto fundamental para la sociedad en su conjunto, pues de su incorporación, en el que prima el interés emancipador, como un factor de cambio mediado por la cultura propia, depende en alto grado la integración tanto regional como del país a un entorno global en el cual el conocimiento se constituye en el principal factor y resolver los problemas así como de posicionamiento en el nuevo orden mundial.

En ese contexto la reestructuración curricular por ciclos esta llamada a pensar las maneras como en la escuela se han enseñado las ciencias, la investigación, las matemáticas y las formas de incorporación de las Tecnologías a la formación de los sujetos y a la búsqueda de aportar en la construcción de una sociedad que participe en la producción de los bienes científicos, técnicos y culturales que serán los soportes del desarrollo económico, social y ambiental y la calidad de vida de los sujetos. Generar un proceso de desarrollo científico y tecnológico que propicie la participación de la ciudad en la competencia de los mercados internacionales no puede concebirse como un fin en sí mismo, sino como un medio para transformar las instituciones y mejorar el nivel de vida de la población. (CODICITI, 2008)

Partiendo de lo anterior, debe reconocerse el contexto donde se desarrolla el ejercicio de la enseñanza, para llegar a construir los ambientes de aprendizaje que se requieren para lograr los fines que se han propuesto; siguiendo la propuesta de Pozo (1992), la intención es permitir que el maestro reconozca las posibilidades que tiene en el contexto de sus prácticas y desde allí generar posibilidades que le permitan alcanzar los objetivos que ha propuesto en su ejercicio, la idea es centrar la atención en el maestro como actor educativo que busca transformar sus prácticas; viabilizandolas y reconociéndolas como el medio

para consolidar escenarios educativos en el marco de la investigación sobre la propia práctica (Pérez, 2002) y desde allí la innovación educativa.

De acuerdo con el panorama planteado consideramos que, desde la reorganización curricular por ciclos, debe tenerse en cuenta la posibilidades investigar en el aula y constituirla en un espacio donde la discusión, el análisis, la observación, y la construcción colectiva de saberes, permitan el reconocimiento del otro como sujeto y desde ese reconocimiento se dé lugar a la generación de experiencias y alternativas en el contexto de la enseñanza de las ciencias y las matemáticas. En este sentido, orientar la enseñanza a lograr que los estudiantes comprendan las ciencias y las matemáticas desde una estructura conceptual específica, requiere de unos procesos particulares que deben entenderse desde el objetivo que se quiere alcanzar, en otras palabras, enseñar a construir sentido alrededor de conceptos requiere de procesos que permitan la construcción de estructuras conceptuales en el estudiante.

Es importante señalar que no se trata de indicar un rechazo hacia el manejo de contenidos en el aula, ni tampoco de sustentar que la enseñanza de las ciencias y las matemáticas deba basarse en ello, nuestra propuesta radica en mostrar la viabilidad de integrar varios elementos en el proceso de enseñanza para generar posibilidades en el aprendizaje, de manera que en el mismo sentido de Pozo y Gómez (1998) compartimos que el aprendizaje fundamental de hechos, de datos de algoritmos se centra en un trabajo memorístico y repetitivo que terminará siendo insuficiente para lograr que el estudiante adquiera conceptos, el estudiante habrá adquirido un concepto cuando puede otorgarle un significado en un contexto determinado.

Así las cosas, este seminario-taller pretende abrir un espacio de sensibilización que favorezca desmitificar los conceptos de ciencia y matemáticas que circulan en el quehacer pedagógico, afectar creencias y representaciones que tanto individual como colectivamente han orientado las aproximaciones a la compresión y producción de conocimiento, sustentando una nueva visión de la construcción social de conocimiento para así poder incorporar esta herramienta al diseño del currículo y avanzar en la construcción de la ruta que desde la universidad se ha propuesto como referente para que los docentes e instituciones la articulen armónicamente en el proceso de reestructuración curricular por ciclos.

II. Propuesta Conceptual

Los temas que se abordaran en este seminario estarán centrados en pensar las formas de abordaje del currículo interdisciplinar de la herramienta ciencia, tecnología y las matemáticas. Dado que la praxis del profesor supone la reflexión permanente, requiere problematizar y comprender las maneras como en la escuela se han comprendido y trabajado las disciplinas escolares de ciencias y matemáticas así como la incorporación de las tecnologías. Para eso revisaremos algunos de los argumentos epistemológicos, psicológicos, sociológicos y comunicativos. Y en un segundo momento nos centraremos en las preguntas sobre el saber pedagógico que nos permitan continuar con algunas pistas para operacionalizar los currículos.

Argumentos epistemológicos y de enseñanza sobre ciencia y tecnología

La enseñanza de la ciencia y la tecnología es un aspecto relevante al momento de considerar las maneras en que se trabaja en el aula buscando la interacción entre el estudiante y el conocimiento.

A este respecto, es de señalar, que no se trata de encontrar las maneras “modelo” para trabajar con los estudiantes, sino de generar actitudes reflexivas en los docentes frente a su práctica pedagógica (Pérez, 2005), de suerte que se consolide en el cuerpo docente de una institución, un proceso permanente que dé cuenta de los aciertos y desaciertos que aparecen en las formas de acción que se toman en aula.

A propósito de la estructuración curricular por ciclos y de la propuesta de las herramientas para la vida, será posible centrar la propuesta desde la ciencia y la tecnología desde el punto de vista de construir conocimiento en la interacción de saberes, para lo cual es importante retomar elementos desde la propuesta constructivista con Vigotsky, de manera que se comprenda que es clave en el trabajo desde las ciencias, la interacción entre los sujetos, no se trata de personajes aislados pensando sobre problemas, sino de colectivos que reflexionan y llegan a acuerdos sobre los fenómenos.

En este sentido consideramos relevante la observación y la argumentación en el trabajo en el aula, es de vital importancia consolidar prácticas que se orienten a cualificar la observación como un eje central de trabajo que se articula con procesos argumentativos.

Ahora bien, una vez establecidas la observación y la argumentación como bases de la propuesta, generaremos el contexto en el cual van a aparecer, es en este punto donde el aprendizaje por investigación, la pedagogía por proyectos y el trabajo colaborativo entran a articularse en la propuesta, de suerte que lo que se tiene es una posición integral desde el trabajo en ciencia y tecnología.

Es importante mencionar que en lo particular la tecnología debe verse como una actividad cultural (Latour, 2001), des la idea de saber que ésta responde a las necesidades sociales y debe enfocarse desde el punto de vista reflexivo.

La tecnología como parte del currículo puede entenderse desde tres perspectivas, los artefactos, los procesos y los sistemas.

Los artefactos

La relación que establece el humano con los objetos, es una relación funcional medida por un valor de uso, entenderemos entonces que todas aquellas construcciones humanas, son en primera medida objetos, que son susceptibles de ser descritos y explicados desde la perspectiva de la ciencia, específicamente en el contexto de lo químico y lo físico.El trascender del objeto, se logra tan pronto como se emplea, es decir, el uso da un significado al objeto de manera que tan pronto como se llena de significado comienza a ser un artefacto en términos de la carga social y cultural que se le imprime.De esta manera, se considera que la tecnología puede comenzar su recorrido curricular por la construcción de la idea de artefacto en el estudiante, es decir, hacerlo consciente del significado que tiene un artefacto y de la estructura que tiene cuando en sí mismo es un objeto.

Los Procesos

Una vez se construye la idea de artefacto, se logra entonces profundizar en la actividad humana que media en el proceso de consolidación de dicho artefacto, es entonces el momento en que se establecen los proceso reflexivos en torno a lo instrumental y su relación con el uso, la determinación humana en términos de explicar las razones por las cuales un determinado objeto cumple con un determinado uso.

Se llega entonces a la ida del proceso, desde el punto de vista instrumental cultural, que se basa en reconocerlos como una reflexión desde la acción, en la

misma vía, comprender que el proceso se entiende como una reflexión mediada por un contexto social y cultural que da como resultado un significado que se enmarca en un artefacto determinado.

El proceso entonces se comprende desde muchas perspectivas pues tiene un contexto personal, social, cultural e histórico, lo cual comienza a dejar clara la idea de la tecnología como una actividad cultural que integra en su proceder muchos elementos que devienen desde lo ontológico mismo.

Los Sistemas

Toda vez que se ha construido la idea del artefacto y la manera como este se puede integrar con otros de manera que se logra definir un proceso orientado a una intención, se logra consolidar la idea de un sistema tecnológico (sin que se equipare con lo electrónico).

Un sistema se estructura desde la intención, desde el proceso que se lleva a cabo para dotarlo teleológicamente y cuando esto se ha conseguido, se comprende entonces que los sistemas cumplen con una equifinalidad, están provistos de unas estructuras disipativas y cuentan con propiedades emergentes (Bertalanffy, 1989).Los sistemas son construcciones que obedecen a una intención y cumplen con una función, pero con producto de las necesidades sociales y tienden a viabilizar los procesos que hacen parte de su generación.En términos concretos, el sistema es la materialización de las reflexiones sobre los fenómenos y la integración de los artefactos en torno a un mismo fin.

La observación en ciencia y tecnología

Es importante considerar que la observación como evento es una sola y cumple con determinadas características, sin embargo las interpretaciones y aplicaciones que se hacen de ella varían de acuerdo con el contexto en el que se dibujan.

Para empezar estableceremos que al hablar de observación no nos referimos al proceso científico metódico de observar, de hecho una de las primeras solicitudes, es abandonar la visión ortodoxa de la ciencia desde su método y establecer un marco que permita entender que la ciencia es una manera de acercarse al mundo, tan válida como otras existentes, entendemos entonces que le ciencia es un lenguaje y que como tal , es compartido por un grupo de personas, lo cual no lo hace más o menos válido que otros.

Desde esta postura nos referiremos a la observación desde la posición de Herrero (1997), quien menciona que la observación es parte vital del proceso educativo, desde su planteamiento comprendemos que la formación del estudiante debe considerar una cualificación permanente de la observación desde diferentes contextos, así se contemplará la importancia de observar desde lo cuantitativo y desde lo cualitativo, teniendo en cuenta que la actividad de la ciencia y la tecnología es más cualitativa que cuantitativa.

Se trata de dejar de lado la idea de la observación como el contacto de los sentidos con el mundo y avanzar en su comprensión como una actividad permanente en la cual pueden verse implicados diferentes procesos dependiendo de la intención que se tenga al recurrir a ella.

De acuerdo con lo anterior consideramos entonces que cualquier proceso formativo, cualifica implícitamente procesos en observación y para nuestro caso particular, la enseñanza de las ciencia y la tecnología tiene el reto de mostrar todas las dimensiones de la observación y cualificar al estudiante desde ciclo 1, en los procesos que le permitan reconocer lo que encuentra en su contexto, y las interacciones que establece con esos componentes contextuales.

La experiencia como eje articulador de saberes

Otro de los ejes interesantes en la enseñanza de las ciencia y la tecnología es la experiencia, entendida desde la idea de Bruner y Olson (1973) como un articulador entre el sujeto y el conocimiento, de la idea de estos autores compartimos que el fin de la educación no es el contenido únicamente y que la experiencia bien sea existente o generada, modifica la relación entre sujeto y contenido.

De acuerdo con esto es importante considerar que la experiencia debe permear el aula, sin que esto indique que todas las actividades que se sugieran para las sesiones de clase deban ser de alguna manera “experienciales o vivenciales”.

Por el contrario, es necesario reconocer que en los diálogos que establecen los estudiantes siempre está presente la experiencia, propia o no, ya que los contenidos y los eventos o fenómenos se comprenden desde la experiencia y la interacción en la cual se construye el saber requiere de un diálogo de saberes existentes en la individualidad o construidos mediante interacción social o cultural.

Así mismo, es importante considerar que las “verdades” de la ciencia son acuerdos sociales, que no deben ser impuestos al estudiante sino que deben

construirse en la vivencia, permitir que el estudiante los recorra e identifique en ellos los elementos que los componen y la manera como han llegado a constituirse en nuevo conocimiento.

Con base en lo anterior, entendemos la necesidad de la experiencia en el diálogo en el aula dados los elementos que se encuentran en ella, puesto que podemos encontrar que confluyen explicaciones, observaciones y argumentos e incluso se encuentra conocimiento construido sin necesidad de la intervención escolar.

El aprendizaje por investigación y los conceptos

Otro de los aspectos que toma relevancia es la propuesta del aprendizaje por investigación, saliendo de la idea clásica de la investigación con fines lucrativos, nos referimos a investigar con los estudiantes. Reconocer en los procesos investigativos, un elemento clave para el desarrollo de contenidos y para la construcción de saberes, así como también para el manejo de conceptos.

De acuerdo con Gagliardi (1983), una estrategia valiosa es la identificación de los conceptos estructurantes de la disciplina, lo cual consiste en trabajar alrededor de aquellos conceptos que son clave en la estructura epistemológica disciplinar de manera que se permite establecer relaciones entre conceptos que pueden ser desarrollados en el contexto de una actividad específica.

Para este trabajo puede partirse de los siguientes elementos:

Identifique los conceptos clave de la ciencia o del tema o contenido que esté trabajando.

Identifique aquellos conceptos comunes de las ciencias con otras áreas. Establezca relaciones entre los conceptos clave que identificó, procure ser

jerárquico de manera que vaya encontrando conceptos que contienen a otros.

Procure separar conceptos de contenidos y de temas. Una vez tenga identificados aquellos conceptos clave, identifique las

maneras en que están representados en la actividad que va a desarrollar. Reconocidas las actividades y las maneras en que trabajan dichos

conceptos, establezca las maneras en que podría llegar a verificar que al final de la actividad, el estudiante de cuenta del dominio de dicho concepto, sin solicitarle que lo defina.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

Argumentos Sobre Las Matemáticas Y Enseñanza De Las Matemáticas

Algunos supuestos que podrían fundamentar una pedagogía crítica que se pregunta por los intereses que y los tipos de acción que se promoverían la educación matemática y sus implicaciones a nivel pedagógico y del aula, se exponen a continuación. Estos son unos referentes iniciales para pensar desde diferentes perspectivas, esta disciplina escolar como una herramienta para la vida, que atraviesa el currículo en cada uno de los ciclos.Algunas preguntas que permanentemente nos haríamos para pensar esta propuesta son entre otras: ¿Cómo organizar una cultura enriquecedora que capacite a los niños para usar los recursos y las oportunidades de la cultura global y local?¿Cómo contribuir a potenciar nuevas mentalidades, reflexivas, comprensivas sobre la cultura y el papel de las matemáticas en el desarrollo y avance de las sociedades?¿Cómo a través de la enseñanza –aprendizaje de esta disciplina del conocimiento se ponen en escena muchas formas de comprender, interpretar y transformar el mundo natural, social y personal? ¿Es posible desde la enseñanza de esta disciplina promover otros valores que contribuyan al interés emancipador propuesto desde la pedagogía crítica para la construcción de una sociedad basada en el respeto, la tolerancia, la resolución pacífica de los conflictos, la capacidad de diálogo, discusión, debate público y negociación. Una sociedad más justa y equitativa, que promueva la construcción del bien común a partir del reconocimiento de los otros, la introducción de la confianza y la asunción de responsabilidades compartidas?.Es loable intentar pensar los presupuestos y formas de operacionalizar y llevar a la práctica propuestas pedagógicas que promueven culturas de aprendizaje mutuo, en las que se promueve el compartir mutuamente conocimientos e ideas, en el que se asumen diversos roles y papeles y se reflexiona constantemente sobre la vida grupal. En estas perspectivas el quehacer de la escuela y el aula se convertiría en un ejercicio de toma de conciencia sobre las posibilidades de la actividad mental comunal y en un espacio micro de constitución de las intersubjetividades de construcción de conocimientos y habilidades que tendrían un mayor influjo en la sociedad en su conjunto.

Conocimiento como construcción de significados conjuntamente. La mente se constituye por y a la vez se materializa en el uso de la cultura humana. Esta perspectiva lleva a concepciones sobre la naturaleza de la mente y sobre cómo debe cultivarse la mente. La aproximación llamada culturalismo toma su inspiración del hecho de que la mente no puede existir por fuera de la cultura. La realidad que atribuimos a los mundos que habitamos es construida individual y

colectivamente, la realidad se hace no se encuentra. La construcción de la realidad es el producto de la creación de conocimiento conformada a lo largo de tradiciones con la caja de herramientas de formas de pensar de una cultura. Ya que la evolución de la mente hominida esta representada por un simbolismo compartida por los miembros de una comunidad cultural a la vez que toma forma de vida técnico social es a la vez organizada y construida en términos de ese simbolismo. Este modo simbólico no solo es compartido por una comunidad, sino conservado, elaborado y pasado a generaciones sucesivas que a través de esa tradición continúan manteniendo la identidad y forma de vida de la cultura. Los sujetos acceden a ese conocimiento gracias a su capacidad para asignar significado y organizar la información que le llega del mundo exterior usando las herramientas que la cultura y el contexto le proporcionan.En ese sentido, la cultura es súper orgánica, pero también da forma a la mente de los individuos: Su expresión individual es sustancial a la creación de significados, a la asignación de significado a cosas en distintos contextos y en particulares ocasiones. Aunque los significados están en la mente tienen sus orígenes y significado en la cultura en la que se crean. Es este carácter situado de los significados según Bruner lo que asegura su negociabilidad y en último término, su comunicabilidad. En esta perspectiva, el conocer y el comunicar son altamente interdependientes en su naturaleza, pues por mucho que el individuo pueda parecer operar por su cuenta al llevar a cabo la búsqueda de significados y que posee unas disposiciones innatas propias de la especie y unas estructuras construidas en interacción con el mundo físico, nadie puede hacerlo sin la ayuda de los sistemas simbólicos de la cultura y sin la interacción con los otros. Es la cultura la que aporta los instrumentos para organizar y entender nuestros mundos en formas comunicables. En esta perspectiva el aprendizaje y el pensamiento siempre están situados en un contexto cultural y siempre dependen de la utilización de recursos culturales El culturalismo se concentra exclusivamente en como los seres humanos de comunidades culturales crean y transforman los significados.En el aprendizaje de las matemáticas hay un aspecto en el que existe acuerdo “Los significados compartidos que tenemos de las verdades matemáticas” pero en la construcción de esos significados también existe una vertiente personal importante. El significado se refiere a las conexiones que establecemos entre ideas, y solo algunas conexiones serán las conexiones y significaciones acordadas, compartidas u oficiales. Sin embargo el sujeto en el proceso de construcción establece diferentes conexiones no necesariamente las arbitrarias, liga esos nuevos conocimientos a la información y experiencia que posee del mundo, lo vincula a imágenes y metáforas personales producto de su experiencia y nivel de desarrollo.

Así mismo, el significado de cualquier hecho, proposición o encuentro es relativo a la perspectiva o marco de referencia en términos del cual se construye. Las interpretaciones de significado no solo reflejan las historias idiosincrásicas de los individuos, sino también las formas canónicas de construir la realidad de una cultura. Nada está libre de cultura, pero los individuos tampoco son simples espejos de la cultura, es la interacción entre ellos lo que da un carácter comunal al pensamiento individual. Y a la vez impone una cierta riqueza impredecible a la forma de vida, de pensar y de sentir de cualquier cultura.

“Podría afirmarse que el campo del pensamiento matemático se ocupa del desarrollo de esa dimensión lógico-matemática del pensamiento, entendida como la capacidad de establecer relaciones y de operar con estas. Esta capacidad no surge únicamente de las potencialidades cognitivas de los sujetos adquiridas como miembros de la especie humana, tampoco se dan exclusivamente en el desarrollo de un sujeto en su interacción con el medio físico; en su surgimiento también están involucrados los significados que va construyendo en el esfuerzo de apropiarse de las herramientas simbólicas producidas por la cultura, en nuestro caso muy especialmente por el conocimiento matemático escolar” (Castaño, Forero y otros, 2007).

Es decir que la enseñanza de este saber tiene que ver con potenciar en los niños, niñas y jóvenes la apropiación o la comprensión de las herramientas simbólicas y tecnológicas propias del grupo en el que se inserta su experiencia vital, así como las producidas por las comunidades Matemáticas, que los haga sujetos cada vez más capaces de establecer relaciones y operar con éstas herramientas en diferentes situaciones y contextos, para conocer y actuar creativa y críticamente y sobre todo para participar activamente y con sentido en la construcción del sí mismo, en las relaciones con los otros y en la comprensión de su mundo físico y social.

En ese sentido la educación matemática debe concebirse como una ayuda para que los niños y jóvenes aprendan a usar las herramientas de creación de significado y de construcción de la realidad, para adaptarse mejor al mundo en el que se encuentran y para ayudarlo a cambiar según se requiera. Así mismo la empresa educativa ha de promover el examen de las diferentes perspectivas, que circulan en la cultura y especialmente aquellas que se consideran sacralizadas y que mantienen el statu quo. La educación tiene que correr el riego de desacralizar

estas formas de interpretar la realidad a riesgo de quedar atascada y ser alienante o por el contrario de promover el cambio y la flexibilidad.De igual manera, este desplazamiento hacia una perspectiva cultural, requiere que la educación tome conciencia de los valores que subyacen a las matemáticas y especialmente aquellas que le asignan muchas veces el poder y el dogmatismo a esta disciplina y reconozca la complejidad de enseñar estos valores a los niños. No basta con enseñarles matemáticas debemos educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas (Bishop,1999).

El Sujeto Un Asignador De Significado Y Organizador De La Información

El entender que el conocimiento se construye en interacción con otros, que es una práctica social y cultural no puede perder de vista el aporte Piagetiano a la idea de conocer y al papel del sujeto. El niño es un organizador de significado, es decir no es un sujeto pasivo en el acto de conocer, sino organiza la información que recibe de acuerdo con el pensamiento que posee. Paul Ernest (1991), dice: “si es reconocido que la matemática es una construcción falible y social, entonces es un proceso de indagación y acercamiento al conocer, un campo de creación e invención expandiéndose continuamente, no un producto terminado. Un panorama tal de la matemática tiene poderosas consecuencias educativas. Los fines de la enseñanza de la matemática requieren incluir la facultad de los aprendices para crear su propio conocimiento matemático; la matemática puede ser reformada,1 al menos en la escuela, para permitir a más grupos acceder a sus conceptos, y a la riqueza y el poder que su conocimiento conlleva; el contexto social y los usos y prácticas de la matemática pueden ya no ser legítimamente dejadas de lado, los valores implícitos de la matemática requieren ser encarados. Cuando la matemática es vista de esta manera necesita ser estudiada en los contextos vivos los cuales son significativos y relevantes para los aprendices, incluyendo sus lenguajes, culturas y vivencias cotidianas, tanto como sus experiencias de referencia escolar”.

El pensamiento como sistema El pensamiento logra niveles superiores de organización no por la asociación de mayor número y mejor calidad de habilidades específicas, sino por la mayor estructuración de los sistemas conceptuales que los constituyen

El cuadro muestra un ejemplo las relaciones y las operaciones que pueden considerarse conforman el sistema numérico de los naturales en el primer ciclo:

1 Con Chevallard (1991), diremos que necesariamente es transformada, reformulada (aunque se hagan inconscientemente) como fruto de la transposición didáctica. Tomado del documento publicado por la SED sobre campos de pensamiento matemático.

EL SISTEMA CONCEPTUAL DE LOS NUMEROS NATURALES

RELACIONES OPERACIONES NOTACION Y ENUNCIACION

DE ORDEN ADITIVO

Hace referencia a ese pensamiento que permite manejar de forma comprensiva las relaciones “mayor que” y “menor que”. Además de tener la capacidad de identificar el mayor o menor entre dos o más naturales, se trata de poder operar con estas relaciones, es decir, poseer un pensamiento que maneje la transitividad y la composición de las relaciones directa e inversa

DE EQUIVALENCIA

Hace referencia a ese pensamiento que maneja la igualdad entre números naturales. Ser igual a

ADITIVAS

Hace referencia a ese pensamiento que permite comprender y resolver los distintos tipos de problemas aditivos simples.

Composición

Descomposición

Complemento

Excedencia

Hacer referencia a ese pensamiento que permite comprender y manejar los principios que rige este sistema de notación y enunciación de los números.

Los sistemas conceptuales que se proponen recogen los saberes de la disciplina y lo planteado por el MEN y el Método Descubro la matemática. Comprender cada uno de esos sistemas demanda el que el sujeto establezca relaciones de orden y de equivalencia, ejecute operaciones de tipo aditivas y maneje la notación y enunciación.

Se Comprende cuando se puede pensar y actuar con flexibilidad

Así mismo con Perkins retomamos que una persona comprende cuando manifiesta un desempeño flexible. “La comprensión se presenta cuando la gente puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe. Por contraste, cuando un estudiante no puede ir más allá de la memorización y el pensamiento y la acción rutinarios, esto indica que falta comprensión”. Gardner reafirma lo dicho “ una persona comprende algo- un concepto, una técnica, una teoría o un ámbito

de conocimiento- cuando lo puede aplicar de forma apropiada en una nueva situación” (1999, p.38) Desde niveles concretos, ligados a la acción, en un contexto hasta niveles cada vez más abstractos en los que las comprensiones se ponen actuar en diversos contextos.

La interacción vehículo fundamental de la construcción cultural

Es sobre todo a través de la interacción con otros como los sujetos averiguan de que trata la cultura y cómo concibe el mundo. A diferencia de otras especies los seres humanos se enseñan unos a otros deliberadamente en contextos fuera de aquellos en los que se usara el conocimiento que se enseña. Contar o mostrar son tan humanamente universales como hablar. Esa especialización descansa sobre el don del lenguaje y sobre nuestro desarrollado talento para la intersubjetividad.Desde diferentes perspectivas se reconoce y es un lugar común asumir la interacción como facilitadora en la construcción del conocimiento. Sin embargo existen diferencias en la manera como la consideran, y en la prioridad que se le da con relación a los otros factores que inciden en el conocer. Vygotsky y sus discípulos como Wertsch la consideran “ como el vehículo fundamental para la transmisión dinámica del conocimiento cultural e histórico”. Esta teoría da por supuesto que la interacción social implica: crear, establecer y mantener definiciones de roles y de la tarea, para el beneficio mutuo de los participantes, implica cooperación y ayuda, especialmente a beneficio del estudiante. La ayuda social y el lenguaje en la zona de desarrollo próximo son elementos necesarios de facilitación. Los mecanismos teóricos que aparentemente apuntalan el progreso cognitivo, según estos autores, derivan de la interacción social, la cual estimula la comunicación en general y el conflicto, la negociación y la resolución en particular. Sin embargo, nuestra tradición pedagógica apenas hace justicia a la importancia de la interacción y la intersubjetividad en el proceso de conocer y de apropiación cultural. Una mejor manera de concebir una subcomunidad que se especializa en el aprendizaje entre sus miembros implica que el profesor no cumpla su papel monopolizando, sino que permita que los aprendices se andamien unos a otros, que lleguen a confiar en si mismos, que trabajen bien unos con otros. Tales competencias no florecen bajo un régimen de transmisión de dirección única sino de crear una subcomunidad de aprendices que se apoyan unos a otros. El aula se reconceptualiza precisamente como esa comunidad de aprendices mutuos, con el profesor orquestando los procedimientos. Esto no reduce el papel del profesor ni su autoridad sino al igual que en la narración desaparece el profesor omnisciente.

En la interacción se ponen en juego relaciones complejas atravesadas por lo social ( por el manejo del poder, el lenguaje, el afecto, las diferencias cognitivas, lo cual determinan los diferentes roles que se actúan en el espacio escolar.

El lenguaje principal herramienta en la apropiación de la cultura

El aula es uno de los diversos tipos de escenario de la vida cotidiana donde el conocimiento se construye conjuntamente y donde algunas personas ayudan a otras a desarrollar su comprensión. En cualquier escuela, los modos en que los profesores y los alumnos hablan están formados por tradiciones culturales y por los escenarios específicos en los que operan. Pero los profesores pueden pasar a ser críticamente conscientes de las formas de utilización del lenguaje. Las técnicas o formas de conversar no pueden ser evaluadas fuera de contexto o sin tener en cuenta de que se está hablando. Las conversaciones en el aula tienen historias y/ o futuros e implican a personas que tienen relaciones con otras personas y distintos niveles culturales. Hay formas de conversación que funcionan en algunos profesores y alumnos y que no funcionarían en otros. Si ignoramos el contenido y el contexto perdemos la naturaleza del lenguaje como una forma social del pensamiento. Pero si aceptamos su significación, podemos empezar a entender y a evaluar sucesos reales de las aulas.Al enseñar ciencias, tecnología y matemáticas no solo enseñamos los principios, conceptos, métodos, y procedimientos propios de cada disciplina sino además enseñamos una forma de pensar, hacer y comunicar. En términos de Vygotski, el lenguaje es la herramienta que el sujeto utiliza para darle sentido a la experiencia. “El lenguaje es por lo tanto no solo un medio por el cual los individuos formulan ideas y las comunican, sino también es un medio para que la gente piense y aprenda conjuntamente, es decir cumple una función cultural (comunicar) y una función psicológica (pensar) que están interrelacionadas.¨ ( Mercer, 1997 )2 El lenguaje se convierte en la herramienta3 fundamental que reorganiza nuestros propios procesos cognitivos y nos permite expresar y comunicar nuestras comprensiones y construir con otros ese conocimiento.En ese sentido la herramienta del lenguaje (Leer, escribir, hablar, escuchar) pretende asignarle un lugar privilegiado al papel del lenguaje verbal y no verbal en la construcción del conocimiento matemático escolar, y en las maneras como los maestros creamos contextos comunicativos en el aula, para apoyar a los

2 Mercer, Neil.(1997), La Construcción guiada del conocimiento: El habla de profesores y alumnos, Barcelona, Paidos.

3 El lenguaje es entendido como un sistema de representación que media en el desarrollo cognitivo: lo que es social no se

convierte directamente en individual, sino que pasa por un enlace, una herramienta psicológica. Pero el lenguaje no es entendido como un determinante del pensamiento, es entendido como un sistema de representación que media en el desarrollo cognitivo: lo que es social no se convierte directamente en individual, sino que pasa por un enlace, una herramienta psicológica. Dicho enlace mediador es el signo. El concepto de Herramienta es tomado en su sentido materialista como transformadora del sujeto a la vez que se trasforma cuando este las usa.

estudiantes en la construcción conjunta de la comprensión de la matemática escolar. Se acepta que cuando los estudiantes y profesores participan en la actividad matemática del aula, adoptan formas de observar, razonar, analizar, hablar, describir, justificar, argumentar, y validar, es decir un saber que se ha, construido en el interjuego de lo apropiado como miembros de una comunidad en los múltiples contextos en que se desarrollan sus experiencias. En este sentido la educación en ciencia, tecnología y matemática puede entenderse como el espacio en el que se negocian significados y sentidos a partir de dos saberes, el de los estudiantes y el de la matemática escolar.

En su libro Rogoff, nos muestra diferentes formas de conversación, una que merece especial atención para lo que nos interesa, es la que plantea la antropóloga Ruth Paradise quien realizó investigaciones con comunidades Americanas nativas en México; en sus observaciones encontró que la mayor pasividad en la implicación de los padres puede animar a los niños a asumir un papel más activo en el proceso de su propio aprendizaje, produciendo así niños capaces de responsabilizarse de su propio aprendizaje, capaces de crear situaciones y actividades de las que aprender, niños con una alta capacidad para tomar la iniciativa y mantener la motivación personal. Sin embargo no podemos plantear esto en términos absolutos; distintas clases de orientar la enseñanza pueden ser efectivos en la construcción del conocimiento depende de las distintas situaciones y al desarrollo de distintos niveles de comprensión, del escenario mismo y de las relaciones implicadas Las interacciones entre profesor y alumno son un tipo de episodio social común y reconocible, todo episodio social requiere que los participantes sigan ciertas reglas o convenciones para desarrollar las cosas de la forma usual y esperada. Durante el tiempo que los niños transcurren en el aula se espera de ellos que respeten de forma incuestionable las reglas básicas de la conversación, que pueden considerarsen bastante arbitrarias porque se las han impuesto y nunca se las han explicado o justificado. Atrapados en las obligaciones de los intercambios tradicionales entre profesor y alumno, los estudiantes pueden pasar demasiado tiempo jugando a adivinar lo que el profesor tiene en mente” e intentando pasar como “buenos” alumnos, en cambio de estar analizando y resolviendo problemas más valiosos educativamente.Una tarea importante para el profesor es ayudar a los alumnos a ver que las distintas actividades que hacen, en el tiempo, contribuyen al desarrollo de su comprensión; esto le permite al niño ir construyendo sentido de cada una de sus acciones. La continuidad de la experiencia compartida es uno de los recursos disponibles más preciados. Los docentes deben buscar caminos para que los alumnos vean la continuidad de las diferentes acciones, y la secuencia y

organización de estas. Debe valerse del lenguaje para revisar y reinterpretar repetidamente la experiencia y utilizarla como base de conversaciones, actividades y aprendizajes futuros.

Si lo que se busca es que los estudiantes le den sentido propio y coherente a lo que se enseña, también necesitan desarrollar formas propias de uso del lenguaje como una forma social de pensamiento, mediante los razonamientos, los argumentos y las explicaciones. El profesor puede valerse de diferentes estrategias comunicativas: preguntas, que tienen el propósito de Hacer que los niños justifiquen sus respuestas, que expliciten sus razonamientos, que se problematicen, que contrasten diversas ideas, que argumenten y contraargumente. Muchos profesores efectivos utilizan la pregunta no solo para controlar la actividad sino que también la utilizan para guiarla, el docente dirige la atención a cuestiones que requieren más reflexión y clarificación. Solo cuándo las preguntas que se hacen se consideran en el contexto, como un elemento de toda su interacción con los alumnos, se puede ver que el lenguaje es utilizado para guiar los esfuerzos de los estudiantes. Investigaciones realizadas por David Wood que constatamos en situaciones experimentales con niños muestra que cuando los profesores utilizan otros tipos de estrategias de conversación, como por ejemplo ofrecer sus propias reflexiones, pensar sobre el pensamiento y pensar sobre el lenguaje, pueden invitar a los niños a hacer lo mismo y suscitar otro tipo de respuestas en cuanto a (claridad, precisión, veracidad, extensión, actitud animada, explicitación de razonamientos, reorganizaciones cognitivas).

El docente ha de posibilitar un repertorio más amplio de actividades comunicativas que garantice el que todos los estudiantes se impliquen en nuevos conocimientos para consolidar su propia comprensión, y esto no se puede hacer simplemente escuchando información presentada clara y lógicamente por expertos. Necesitaran sin duda utilizar la información ellos mismos y aplicarla bajo distintas condiciones para que se dé la asimilación.Desde esta perspectiva cultural se hace énfasis en abordar y priorizar en el aula un tipo de texto. Se da relevancia a la narración como forma de pensamiento y como una expresión de la visión del mundo de una cultura. Es según Bruner a través de nuestras propias narraciones como principalmente construimos una versión de nosotros mismos en el mundo, y es a través de sus narraciones como una cultura ofrece modelos de identidad y acción a sus miembros.Sin embargo, no podemos dejar de lado que el objeto de conocimiento mismo conlleva formas de razonamiento y de lenguaje que le son propias. En este caso el conocimiento matemático también pretende desarrollar la lógica y diferentes razonamientos en los niños, por lo que la diversidad textual (graficas, cuadros, figuras) textos explicativos y argumentativos tendrían un sentido y un poder para

acceder a este tipo de conocimiento, es decir el aula no reduciría el trabajo a un solo tipo de texto, sino consecuente con la pragmática y la semiótica abordaría diversos textos de acuerdo a la naturaleza de la tarea y a las características e interés de los alumnos. Se es más competente en la medida en que accedan a la diversidad de los usos del lenguaje en diversos contextos. Tal como lo plantea Raymond Duval Los sistemas simbólicos utilizados por la matemática son sistemas semióticos de representación que cumplen la función de representación externa, utilizada para comunicar ideas (en este caso de conceptos matemáticos) y de representación interna (mental), utilizada como herramienta para pensar. Estas dos funciones, aunque diferenciables, no son separables. “las representaciones mentales nunca pueden considerarse independientemente de las representaciones semióticas”4. Los sistemas semióticos de la matemática comportan una sintaxis que involucra conceptos, de manera que su dominio exige la comprensión de estos y no la simple ejercitación de las reglas sintácticas5.

Producción de obras, principal función de toda actividad culturalDe acuerdo con el psicólogo cultural frances Ignace Meyerson Citado por Bruner (1997), la principal función de toda actividad cultural colectiva es producir obras, obras que alcanzan una existencia propia. Las obras así sean modestas y locales, otorgan identidad a un grupo o colectivo. Estas obras cuando son colectivas producen cohesión y solidaridad grupal, promueven la diferenciación de roles y la división del trabajo. En el caso del aula al abordar obras colectivas se transmite representaciones sobre la valoración del trabajo grupal y el progreso del grupo mas que el crecimiento individual , posibilita discusiones y metacogniciones. Las obras y la creación de obras colectivas posibilitan formas compartidas y negociables de pensar. Es externalizar el trabajo mental en obras materiales. La externalización deja huella, deja un registro de nuestros esfuerzos mentales, un registro que esta fuera de nosotros y, que materializa nuestros pensamientos e intenciones, que permite objetivar esa producción cultural, sacarla de nosotros y volver sobre ella, pensar sobre el pensamiento, reflexionar sobre lo escrito, lo plástico, el hacer. Como lo plantea Bruner, 1997. “ la externalización rescata la actividad cognitiva del estado implícito, haciéndola más publica y negociable y solidaria” (1997).En la clase de matemáticas hay diversas formas de hacer matemáticas y producir obras colectivas: A través del diseño y elaboración de los juegos de la cultura;

4 Duval r (2004) Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y Aprendizajes Intelectuales.Cali, Univ. del Valle.

5 Por ejemplo, la potenciación no es un simple problema de aprender a decodificar el signo de potencia basado en la multiplicación y manejar las reglas sintácticas que rigen las transformaciones de expresiones con potencias, es mucho más que eso, es desarrollar un pensamiento potenciativo que posibilite dar sentido y significado a esta operación en diferentes contextos, incluido el propiamente formal. Pero de formar complementaria el sistema de representación de la potenciación (los signos y sus reglas de tratamiento) son herramientas para poder pensar esta operación. Tomado de campos de pensamiento matemático, SED, 2007.

desde la idea de los proyectos de aula, se producen materiales relacionados con el campo que se aborda en el proyecto.En geometría si se privilegia el diseño y la construcción es posible copiar modelos y posible elaborar artefactos y crear nuevos objetos.Y en la actividades de resolución de problemas colectivos a través de la producción simbólica (escrituras ligadas a los códigos y símbolos matemáticos u otras escrituras)

Acceder equitativamente a las herramientas simbólicas de la cultura. La educación cultural es política, práctica e instrumental. La educación tiene consecuencias a nivel instrumental en la vida posterior de los sujetos. La educación aporta habilidades, formas de pensar, sentir y hablar con las que los sujetos se pueden desempeñar exitosamente o no y entrar al mundo de las instituciones y organizaciones sociales. En ese sentido la educación no es neutral, siempre deja huellas a nivel personal, social, económico. La educación en sentido amplio es política, si la asumimos en ese sentido se es publica y pretende el bien común, por lo cual ha de crear las condiciones y posibilidades de manera equitativa a todos los miembros de una cultura independientemente de su clase social, su religión, su sexo y sus capacidades o aptitud. La escuela y los maestros tendrían que hacerse la pregunta por quiénes son sus alumnos, cuáles son sus competencias, que le ofrece el contexto y que le demanda, con qué herramientas simbólicas se cuenta para promover la no diferenciación ni la segregación.Las formas de creación de significado accesibles a los seres humanos de cualquier cultura estan limitados de dos maneras. La primera es inherente al propio funcionamiento mental; nuestra evolución como especie nos ha especializado en ciertas formas características de conocer, pensar, sentir y percibir; la segunda limitación incluye aquellas constricciones impuestas por los sistemas simbólicos accesibles a la mente en general, límites impuestos por los distintos lenguajes y sistemas notacionales accesibles a distintas culturas.Las implicaciones pedagógicas que se derivan son si la pedagogía va a capacitar a los seres humanos para que vayan más allá de sus predisposiciones innatas debe transmitir la caja de herramientas que ha desarrollado la cultura para hacerlo. Obviamente no todo el mundo se beneficia de la misma manera de la instrucción que ofrece la caja de herramientas de la cultura. Pero ello no significa que debamos instruir a aquellos que tienen el talento más notable para beneficiarse de esa instrucción. Con respecto a la segunda constricción, todo indica que la conciencia parece reducir las constricciones impuestas por cualquier sistema simbólico. Y ese don metalingüístico, la capacidad de volvernos sobre nuestro propio lenguaje para examinar y trascender sus límites, como señalo Jacobson está al alcance de todo el mundo. La pedagogía pues tiene la responsabilidad de expander nuestra conciencia lingüística. ¨el pensamiento

sobre el pensamiento¨ debe ser un ingrediente de cualquier práctica pedagógica que pretenda mejorar a través de ello la capacidad humana para construir significados y realidades.

Qué enseñar desde la herramienta?

White, citado por Bishop (1999) nos ofrece un punto de partida donde argumenta que las funciones de la cultura son, por un lado relacionar al hombre con su entorno y por otro relacionar al hombre con el hombre. Agrupa los componentes de la cultura en cuatro categorías, que en esta propuesta ampliamos recogiendo aportes como los de Bruner en su enfoque de pedagogía cultural y de Piaget en relación con la formación en los procesos lógicos y el desarrollo de la capacidad de operar.

Componente Ideológico o cultural. El grupo social más amplio es el grupo cultural y las matemáticas como fenómeno cultural tienen una naturaleza suprasocial. Las matemáticas se utilizan en todas las sociedades y son la única materia que se enseña en la mayoría de las escuelas del mundo. Como las matemáticas son un fenómeno cultural trasciende los límites sociales. Esta dimensión se compone de creencias, depende de símbolos y filosofías.

Componente Societal. Las matemáticas están mediatizadas por las diversas instituciones de la sociedad y están sometidas a las fuerzas políticas e ideológicas de esa sociedad. Cada sociedad sin embargo emplea sus distintas instituciones educativas formales e informales para dar forma a la enseñanza de las matemáticas en función de sus aspiraciones y sus metas sociales.Cualquier propuesta desde esta perspectiva ha de tener en cuenta que la educación no es una isla sino parte del continente de la cultura; se pregunta cuál es la función de la educación en la cultura y que papel juega en las vidas de aquellos que operan dentro de ella, y como afecta la distribución del poder, status y otros beneficios.

Componente Institucional. Cada institución trabaja en el curriculo intencional y lo implementa en función de su ideario educativo, la estructura interna, las políticas institucionales y los recursos. Aunque la etiqueta de la materia llamada matemáticas es la misma en escuelas distintas, a pesar de las similitudes se aborda de manera diferente. Esta dimensión así mismo, se pregunta por los recursos facilitadores que se disponen para afrontar diversas situaciones y se interesa igualmente por las constricciones impuestas al proceso de educación (organización escolar, recursos asignados, formación de profesores y recursos internos, número de alumnos en el aula, entre otros).

Interpersonal o intersubjetiva. Las influencias sociales en la educación matemática del niño se pueden identificar mucho más fácilmente con personas concretas y conocidas. Dentro de las limitaciones establecidas por la sociedad y la institución el maestro y el grupo moldean en su interacción, los valores que recibirá cada niño en relación con las matemáticas. Mediante actividades y con refuerzo y negociación el niño sigue un proceso de enculturación en el que adquiere maneras de pensar, de comportarse, de sentir y de valorar. Es a través de la intersubjetividad: como los seres humanos llegan a conocer las mentes unos del otro.

Individual o subjetiva. El individuo negocia integra y comprende los diferentes mensajes. Cada alumno es creador de significados y aporta una dimensión cognitiva, personal a esta empresa en función de su familia, su historia, su cultura local y sus competencias cognitivas. Sin embargo la subjetividad involucra a su vez, los sentimientos, Actitudes, y comportamientos. No puede omitir el lugar de la emoción y del sentimiento en la vida de la mente. Las emociones y los sentimientos están representados en los procesos de creación de significado y en nuestras construcciones de la realidad.Si se quiere que el niño sea activo y responsable de su propio aprendizaje se ha de posiblitar que el tenga comprensión y control sobre los procesos del aula y sobre sus propios procesos, es entender el niño como agente, tal como lo plantea Bruner.Instrumental o Tecnológica. La fabricación y empleo de instrumentos y utensilios, este según White es el factor básico que determina en alguna medida los otros factores. La idea de la tecnología cultural no se debe limitar a la maquinaria o utensilios. Autores como Bruner (1964) han argumentado que el hombre ha evolucionado vinculándose con sistemas instrumentales nuevos y externos y no mediante cambios morfológicos manifiestos. Según Bruner hay tres tipos de sistemas instrumentales: Amplificadores de las capacidades motrices, amplificadores de la capacidad sensorial, amplificadores de la capacidad de razonamiento (símbolos). La matemática es un ejemplo por excelencia de amplificador de la capacidad de razonamiento del ser humano y como fenómeno cultural tiene un importante componente tecnológico

“ Por instrumento amplificador se entiende una característica tecnológica, sea blanda o dura, que permite al individuo controlar recursos, prestigio y deferencia dentro de la cultura. Un ejemplo de amplificador cultural que potencia los procesos de pensamiento de quienes lo emplean es la disciplina que se conoce, como matemáticas. El empleo de técnicas matemáticas requiere el cultivo de unas aptitudes determinadas para el

razonamiento e incluso ciertos estilos de desplegar los propios procesos de pensamiento. Si cultivamos estrategias y estilos pertinentes al empleo de las matemáticas, tendremos a nuestra disposición la correspondiente gama de tecnologías. Si no cultivamos aptitudes matemáticas, el resultado es una incompetencia funcional y la incapacidad de emplear este tipo de técnica” (Cole y Bruner, 1971, pag. 872)

De los componentes enunciados anteriormente se puede desprender que el currículo que integra esta herramienta para la vida tendría que prestar especial atención a los recursos que aporta una cultura para la construcción de significado de sus individuos e incluir de manera explícita contenidos interdisciplinares relacionados con: Valores, creencias, motivos o estados intencionales Regulación de la vida social Constitución de la subjetividad Desarrollo del pensamiento y formas de razonamiento lógico Comprensión y uso de herramientas tecnológicas Conocimiento sobre el pasado, el presente y el futuro de las matemáticas y su

relación con el entorno físico y social.

En el cuadro siguiente se amplía esta propuesta.

CONTENIDOS DE UNA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DESDE LO CULTURAL

DIMENSIONES DE LO CULTURAL

COMPONENTES CURRICULARESCONTENIDOS

Ideológica. Valores, creencias, motivos RacionalidadObjetivismoProgresoSeguridad e incertidumbre

Sociológica o intersubjetiva

Regulación de la vida social: Normas, rituales, reglas de convivencia

ConfianzaComunicación y lenguajeRoles y statusResolución de los conflictosVida grupalConocimiento compartido

Subjetiva Sentimientos , afectos y motivacionesRegulación de la propia acción

Expectativas, AutoconceptoValoración de los otrosSentimientos hacía la disciplinaSentido de pertenencia al grupo y a la institución y a la sociedad.Sentido de sus acciones en la escuela y en la vida

Racional Pensamiento lógico y razonamiento matemático

Conceptos matemáticos en donde se privilegia la comprensión a través del razonamiento, desarrollo de operaciones lógicas y del lenguaje: contar, medir, ubicación espacial, diseño y estimación, etc.

Instrumental o tecnológica

Uso de herramientas y aprendizaje de procedimientos y técnicas

Unidades de medidaJuegos y objetos culturalesPlanos, mapasDiseño de objetos y espaciosReglas y técnicas. Códigos matemáticos y lingüísticosEl computadorHerramientas propias de la cultura y el contexto

Histórica Reconstruir el pasado para entender el presente e imaginar el futuro

Las matemáticas en el pasadoLas matemáticas en la sociedad actualLas matemáticas en el futuro

III. SUPUESTOS DIDÁCTICOS

Algunos supuestos fundamentales que se desprenden de los anteriores principios para orientar el diseño curricular y el quehacer y la reflexión de las prácticas de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas podríamos sintetizarlos así:

La pedagogía orientada a desarrollar el pensamiento y la comprensión. Si queremos formar desde esta perspectiva “La acción pedagógica en lugar de reducirse a presentar informaciones que el niño debe memorizar, se ha de orientar a ayudar a elevar el pensamiento de este, al nivel requerido para que pueda comprender y disfrutar del aprender” (Castaño, 1999).

La acción va más allá de ofrecer unas cuantas explicaciones, realizar y mecanizar unos ejercicios puntuales de manera aislada y fragmentada, supone una acción global capaz de desarrollar el pensamiento, al punto de ejecutar las operaciones y establecer las relaciones que la comprensión de los conceptos demandan.

El plantear como fin mismo de la enseñanza de la matemática el desarrollo cognitivo no nos debe llevar a olvidar que el sujeto es una totalidad y que en el aprendizaje se ponen actuar deseos, emociones, afectos, sentimientos que son parte de la subjetividad.

De la linealidad a la simultaneidad. Los contenidos en este modelo no se abordan de manera lineal y aislados primero el uno, luego el dos, hasta el nueve,,, primero la suma, luego la resta sino se asumen simultáneamente de manera sistémica, ejemplo se desarrolla el pensamiento aditivo que implica coordinar simultáneamente la suma y la resta (su inversa).

El currículo ligado a las comprensiones de los niños. Aunque se piensa un currículo de acuerdo con los conceptos propios de la disciplina, los estándares propuestos por el MEN, el proyecto de la institución, el contexto y los sujetos a los que se les va a enseñar, este currículo se debe flexibilizar de acuerdo con las experiencias previas, y con las comprensiones con las que los niños llegan a la escuela. Es un currículo que reconoce las escrituras y saberes espontáneos de los niños y los integra para posibilitar complejizar las comprensiones de éstos.

Integración de diversos contenidos. Coherente con este enfoque pedagógico y la propuesta de ciclos, el abordaje de los conceptos se hace desde la integración de contenidos en las diversas áreas del currículo: matemáticas, lenguaje, ciencias naturales, estética, formación ciudadana, tecnología. También nos lleva a preguntarnos frente a cada concepto trabajado cómo integrar conocimientos, desempeños, actitudes, valoraciones y afectos.

Estructurar múltiples y variadas situaciones didácticas

En este marco, se proponen múltiples y diversas situaciones didácticas que favorezcan la comprensión, la significación y movilicen el deseo. Situaciones reales o imaginadas en las que se crea un contexto en el cual niños, niñas y maestro dan significado y sentido a la acción. Significado, en tanto que le es interpretable desde las posibilidades de su pensamiento y se obtiene comprensión compartida con los pares, con el docente y la cultura misma y sentido, en tanto le fijan un fin que orienta la acción y permite que afloren los motivos, deseos y voluntad que lo disponen para ésta.

Se busca que a través de estas situaciones se desencadenan las condiciones para que niños y docentes asuman las preguntas como propias, se construyan y formulen problemas plenos de significado, se promuevan diferentes formas de razonamiento, y producciones de diferentes textos, se fijen metas comunes, se traspase el control y regulación de la acción y se distribuya el poder en el colectivo, promoviendo así interacciones más gratificantes, recíprocas, y vinculantes afectivamente. Interacciones que promueven el uso de la razón y la argumentación para dirimir los conflictos cognitivos, éticos-morales y afectivos.

Se pueden estructurar situaciones significativas que van en un continuum, desde aquellas más abiertas o inestructuradas, pasando por las semiestructuradas, hasta aquellas estructuradas o cerradas (Castaño, 1997).

SITUACIONES SIGNIFICATIVAS

Abiertas Semiestructuradas Estructuradas

Vinculadas a la vida

Globales

Fuente de sentido

Integra contenidos de diferentes disciplinas

Más focalizadas hacia lo matemático

Se ejercitan una y otra vez las acciones

Consolidación

Especializadas

Toma de conciencia

Diferenciación e integración

Proyectos de aula• Tiendas • Panaderias• Lecherias• fruterias

Juegos de la cultura:

Bolos, cucunuba, rana, ratonera, perinola, dados, jacos, trompo, hipódromo, tiro al blanco, ponerle la cola al burro, con greda, arena, extralandias, construcción, palos de paleta y pitillos

Juegos de mesa especializados para establecer relaciones u operar que se quieren desarrollar6: cuenta-cuentas, quemanueve, rutatrón, cachito aditivo.

El juego del pirata

Entre situación y situación: Formulación y resolución de problemas

Diversidad de escrituras y sistemas de representación.

A lo largo de los trayectos, entonces, se pueden encontrar los proyectos de aula, alrededor de los intereses por las tiendas, los bancos, los juegos de la cultura, hasta aquellas situaciones más estructuradas que favorecen la reflexión y toma de conciencia, tales como los diversos formatos escriturales o los problemas. En fin, se hace del aula y de las maneras de incorporar a los diferentes contenidos del currículo, vivencias y prácticas con sentido, en las que se introducen diversas situaciones y experiencias ligadas a los contenidos curriculares, múltiples sistemas de representación y diversos formatos textuales.

6 Tomado de: Castaño García Jorge. El Método Descubro la Matemática. Esta propuesta cuenta con una serie de situaciones significativas que favorecen la consolidación de los diferentes conceptos de las matemáticas.

IV. CARACTERÍSTICAS PENSAMIENTO LÓGICO-CIENTIFICO DE LOS NIÑOS Y NIÑAS

Pensar en los desarrollos de los niños y los jóvenes en cada ciclo, invita a la reflexión de los niños, niñas y jóvenes con los que los maestros vivimos día a día, también en las necesidades de formación que ellos demandan. Es por esto que el ejercicio de identificar sus características desde el desarrollo de las herramientas para la vida, requiere de diversos referentes que nos permitan hacer lecturas de realidades y condiciones particulares desde diversas perspectivas del desarrollo y campos del conocimiento.

Es por esto, que dentro de la diversidad de referentes estudiados, los documentos de “Campos del Conocimiento” de la Secretaría de educación Distrital, fueron un pilar fundamental en este proceso.

CICLO UNO: INFANCIAS Y CONSTRUCCIÓN DE SUJETOS

Durante este período es importante velar para que los niños y niñas organicen el conocimiento que tienen de las cosas que les rodean. Sus percepciones les permiten reconocer características, pero será durante este tiempo que pasarán de conocerlas como cosas inconexas, a organizarlas a fuerza de darse cuenta de las semejanzas y las diferencias que existen entre ellas, y de agruparlas según diversas características, llegaran a reconocer claramente algunos de los grandes grupos en los que se organizaran las cosas: animales, vestidos o bien objetos de color rojo, objetos pequeños, etc.Este proceso que es progresivo, avanza siempre en una dirección clara substituir las cosas concretas por una característica que englobe a muchas de ellas. Es imprescindible iniciar este proceso de estructuración mental para poder construir conocimientos matemáticos. El conocimiento matemático se basa precisamente en las relaciones que se pueden crear entre objetos, grupos de objetos y situaciones, utilizando un lenguaje que reduce la complejidad de las cosas reales algunas características que las definen. En este ciclo también es importante ayudar a tomar consciencia y a comprender los aspectos de la vida cotidiana que hacen referencia a la cantidad. Las matemáticas se ocupan de manera especial de la medida y la expresión de cantidad y ofrece los instrumentos y el lenguaje necesarios para referirnos a ellas. En esta etapa la cantidad debería preocupar más que el número, se requiere dedicar tiempo, por ejemplo, a comparar y a decidir dónde hay más objetos o cuál es el más grande; a repartir y a ver si tenemos lo suficiente o si faltan; a igualar y una vez comprobado que no hay la

misma cantidad, decidir si se debe añadir o quitar, etc., es decir a hacer acciones que resalten la cantidad permitan experimentar; los números y las unidades de medida que irán aprendiendo, y sólo tendrán sentido si se tiene como base una buena experimentación con cantidad. De la misma forma, las matemáticas también se ocupan de temas relacionados con el conocimiento del espacio y del tiempo.

Concretamente en geometría se hacen propuestas para desarrollar una primera representación mental del espacio o de las formas y para conocer características y transformaciones, la percepción y organización del tiempo es un tema que se trabaja más en bloque de medida y consiste en ayudar a detectar las repeticiones (las partes del día, los días de la semana, los meses del año, etc.) y a situarse en el presente teniendo claro qué paso antes y qué vendrá después. Una organización clara del espacio y del tiempo es necesaria para cualquier otro aprendizaje e influye decisivamente en temas como: la ordenación de cantidades prescindiendo de si ocupan más o menos espacio, la comprensión del tiempo de una operación (qué tenemos, qué lo cambia, qué tendremos como resultado), la elaboración de estrategias para la medida, etc.Es necesario que se vaya teniendo una representación mental del espacio y del tiempo, basándose en movimiento y las experiencias psicomotrices, que poco a poco, permitan comunicar y comprender descripciones.Hay aspectos del proceso enseñanza-aprendizaje, es decir de cómo la maestra o el maestro pueden plantear e intervenir en este proceso, que son clave, ya que si no se respetan no se está ayudando a aprender matemáticas.En primer lugar, hay que tomar consciencia de que muchas situaciones de aprendizaje se dan en un marco informal los adultos cercanos a los niños tanto en el ámbito familiar como en el escolar tienen un papel determinante en el desarrollo de su inteligencia, los comentarios y explicaciones que hacen en un momento determinado ayudan a seleccionar y a priorizar unos estímulos que el niño o la niña reciben de manera indiscriminada. El adulto con su intervención facilita y estimula la organización mental. Con intervenciones tan simples y cotidianas como decir a un niño que pide alguna cosa “Hoy no puede ser, lo haremos mañana” ya se le está ayudando a tomar consciencia del paso del tiempo, porque es necesario que comprenda que no se puede hacer inmediatamente, se debe esperar, y a la vez se le pone una situación que favorezca la representación mental, porque es necesario que conserve la idea de lo que quería hacer y la haga revivir al día siguiente.Es importante que en la escuela se aprovechen estas situaciones por lo que tienen de significativas, que los maestros las consideren “educativas” y que no sólo aprovechen las que surgen naturalmente, sino que procuren crear otras nuevas, por ejemplo, una distribución determinada de los juguetes y de los lugares donde

se pueden guardar proporciona una actividad de clasificación que se convertirá en habitual.Por otro lado, es importante plantear las cosas del tal modo que sea el niño siempre el que piense, es decir que haga las relaciones y las exprese. Demasiadas veces es el adulto quien dice las cosas creyendo que el niño o la niña las aprende simplemente por haberlas escuchado, o bien se proponen actividades dando por descontado que por el hecho de hacerlas se aprende, y hace falta algo más que eso para aprender, es necesaria la actividad mental de relación, decisión y rectificación para que exista aprendizaje de verdad.

Las intervenciones de los adultos deberían encaminarse a hacer preguntas, a proponer soluciones invitando al niño a escoger alguna, a confrontar decisiones tomadas por distintos niños, a añadir elementos de contraste cuando hayan hecho un juicio que considere otras posibilidades, a facilitar materiales que amplíen el punto de vista de los niños, etc. La verbalización es imprescindible en este proceso, ya que sirve, por un lado como una invitación a que se realice una actividad mental, y, por otro convirtiéndose en una de las pocas maneras de conocer lo que pasa por la cabeza de cada niño o niña, como piensa, como relaciona, como entiende las cosas, y eso es diferente para cada uno.Así pues en este ciclo son claves aspectos referentes a los contenidos de la enseñanza, como la estructuración lógica, los aspectos de cantidad y los de situación en el espacio y el tiempo y también los referentes a cómo se aprende y cómo se enseñan las matemáticas.

Lo matemático hace referencia al desarrollo de la capacidad de los niños de establecer relaciones y de operar con éstas. Este primer ciclo tiene una especificidad que lo distingue de los otros. Esta particularidad tiene que ver con su carácter fundante. En este ciclo los niños están en un momento inicial de la construcción de un buen número de categorías básicas (número, medida, espacio, tiempo, etc.) sobre las que se soporta el conocimiento humano, y son estos procesos los que la escuela puede ayudar a potenciar. Reconocer el carácter fundante del primer ciclo, no significa desconocer que el niño ya ha iniciado, en sus primeros años de vida, varios de estos procesos. Las experiencias del niño como sujeto social y cultural, junto con los procesos de crecimiento fisiológico, aportan en la construcción de estas categorías; muchas de ellas se empiezan a construir y logran ciertos niveles de desarrollo en presencia o no de la intervención escolar (como ocurre con algunas construcciones como la lengua hablada o la capacidad de discriminación global de la forma de ciertos objetos). Una intervención pedagógica adecuada en este campo enriquecerá la construcción de muchas de estas categorías básicas, promoviendo comprensiones potentes

nociones y potenciando algunas capacidades cognitivas, directamente involucradas con ellas.

Entonces, podemos, afirmar con seguridad que el niño al ingresar a este ciclo ya ha construido representaciones y comprensiones sobre las matemáticas. Aunque estas representaciones y comprensiones están en un nivel elemental de elaboración le han servido para explicarse y actuar en el mundo. Estos conocimientos llamados por algunos intuitivos o informales son el punto de partida que el docente ha de reconocer para diseñar situaciones didácticas que favorezcan mayores niveles de elaboración.

Si bien los niños que inician este ciclo todavía no poseen una idea de número y aún tienen dificultad para cuantificar de forma exacta una colección pequeña de objetos, ya poseen algunas capacidades cognitivas para discriminar la cantidad, al igual que algunas ideas rudimentarias sobre conteo.

Son múltiples las situaciones en que los niños hacen uso de los números y se dan cuenta que éstos transmiten diferente información de acuerdo con el contexto en que se encuentran. En esta edad ya el niño se plantea preguntas en relación con las formas de nominar el tiempo y lo vincula con su experiencia, por ejemplo cuando pregunta: cuándo es ayer, hoy y mañana. Así mismo en sus actividades cotidianas desde antes de ingresar a la escuela, los niños ya han tenido diversas experiencias lingüísticas con distintas magnitudes, principalmente la longitud, el peso, la capacidad.

Estos elementos se constituyen en un soporte importante para sus adquisiciones posteriores sobre la cuantificación. Aún en este nivel tan elemental, nuevamente se constata una idea que se ha reiterado una y otra vez en este documento: el niño no parte de cero.

Los niños pueden discriminar la cantidad de elementos en conjuntos pequeños. Las investigaciones de las últimas décadas muestran que el bebe, desde los primeros meses de vida, está en capacidad de discriminar la cantidad de elementos de colecciones de hasta tres o cuatro elementos, e incluso que es capaz de identificar cuándo dos de estas colecciones tienen la misma cantidad de elementos y cuándo no. Algunos estudios intentan mostrar que esta capacidad puede extenderse a unas especies de animales. Como parte del intercambio con los adultos y muy seguramente con otros pares, el niño se hace a ideas muy primitivas de lo que después ha de ser la capacidad de contar: repiten algunos nombres de la sucesión numérica aunque en muchos casos no respeten el orden convencional. Identifican algunas palabras como nombres de los números y algunos signos escritos como representaciones de números; además son capaces

de distinguirlos de otros que hacen referencia a las “palabras”. Aunque no pueden establecer relaciones del tipo “hay más”, “hay menos”, “hay la misma cantidad”, ni entender estas expresiones, sí distinguen lo único de lo plural y lo mucho de lo poco. La escuela entonces debe contribuir a la discriminación de estas comprensiones.

Sin embargo, estos logros son limitados, pues su capacidad de conteo es reducida, no sólo porque aún no pueden repetir en orden adecuado las palabras de la sucesión numérica, sino porque no dominan los principios del conteo y de la determinación de la cantidad de una colección. No ven la necesidad de seguir un orden al contar los objetos, de manera que unas veces dejan de contar algunos y otras cuentan uno o varios más de una vez. No hacen correspondencia entre cada palabra enunciada y cada unidad contada y tampoco manejan lo que se ha llamado el principio de cardinalidad, es decir, no comprenden que la última palabra enunciada de la sucesión verbal numérica corresponde a la cantidad de elementos que contiene la colección. Pero además de estos vacíos en el conteo, sus valoraciones sobre la cantidad están ligadas a la percepción inmediata, de tal forma que en muchos casos pueden considerar que la cantidad de una colección varía porque cambia la distribución espacial de sus elementos. De aquí la importancia de propiciar experiencias donde la reflexión sobre las acciones que se desarrollan con los objetos, permitan analizar dichas situaciones.

Un poco más adelante, cuando el niño se ha apropiado de la capacidad de determinar la cantidad de elementos en una colección de pocos elementos, y aunque en sus acciones reúna dos o más colecciones con la intención de aumentar su cantidad, no logra utilizar sus conocimientos numéricos para anticipar la cantidad de la totalidad obtenida, a partir de la información que posee, con relación a la cantidad de las partes reunidas. En estos casos se dice que el niño no posee el esquema de composición. Por ejemplo, cuando por alguna razón decide reunir dos colecciones de tres y dos objetos con la intención de obtener una colección más numerosa, no logra anticipar la cantidad de elementos que tendrá la nueva colección. De forma semejante, aunque ejecute la acción de quitar elementos de una colección con la intención de disminuir su cantidad, tendrá dificultad para anticipar la cantidad de la parte que queda, a partir de la información surgida de la totalidad y de la parte quitada. En estos casos se dice que el niño no posee el esquema de descomposición.

A pesar de que el niño de los grados de primero y segundo generalmente puede resolver problemas que exigen los esquemas de composición y descomposición, tendrá dificultad para enfrentar situaciones que le exijan coordinarlos. Problemas que requieren el complemento (¿cuántos faltan?) o excedencia (¿cuántos sobran?) de una cantidad con relación a otra, resultan más difíciles para los niños,

precisamente porque exigen empezar a representaciones mentalmente relacionando una de las partes y la totalidad. En la medida en que los problemas exigen coordinaciones más fuertes de la composición y la descomposición, a los niños les resulta más difícil, como cuando se trata de encontrar una cantidad desconocida a la que se le ha agregado o quitado una parte, a partir de la cantidad resultante (¿cuántos había?). Cuando el niño carece de un manejo reversible de estas composiciones y descomposiciones no está en condiciones de reconstruir la totalidad desconocida.

La labor de la escuela en este ciclo con relación a este campo está vinculada con los procesos iniciales de construcción de las nociones básicas vinculadas a la cuantificación de conjuntos, la cuantificación de magnitudes, las posiciones relativas entre los objetos, la forma de los objetos, con la apropiación del cambio e identificación de algunos patrones, con el manejo de pequeños grupos de datos y la diferenciación de lo necesario y posible.

En este sentido es pertinente admitir que la capacidad de razonar del niño está condicionada por el contexto en el cuál razona y por su implicación en el problema. En cuanto mayor y mejor conocimiento de la situación tenga de los elementos que componen la tarea, y en cuanto mayor sea el interés y deseo de resolver la tarea, los razonamientos hechos por el niño son más complejos y más controlados. Unas veces se verá a un niño capaz de coordinar dimensiones distintas de la tarea, de planear, de controlar sus tentativas, de contrastar; mientras que otras veces, ese mismo niño frente a situaciones que le son menos conocidas y en las que está menos implicado se le verá más limitado.

Más allá de las discusiones teóricas, en este trabajo nos parece adecuado, (apoyándonos en Puche) plantear que el niño es portador de una “racionalidad mejorante (…), que él desarrolla de manera natural. (…) Este planteamiento deriva de la idea según la cual, la construcción de herramientas lógicas del pensamiento es una de las condiciones que va a permitir y garantizar pensar mejor la realidad” (Puche 2001). Al actuar sobre su entorno, el niño da muestras de pensar de manera natural, con herramientas cognitivas que mejora permanentemente en la constante actividad de resolver los problemas, al que se ve enfrentado al intentar alcanzar los fines que se propone. La autora sostiene que “según Piaget esa racionalidad mejorante es espontáneamente construida por el niño”. Aunque el término “espontáneo” conlleva aceptar al niño como sujeto con capacidad de pensar y con capacidad de mejorar ese pensar, independientemente de la intervención sistemática de la escuela, no excluye que la intervención escolar pueda potenciarla, pero esto es posible a condición de ofrecer prácticas de enseñanza en las que los niños sean impelidos a pensar.

Pero, ¿cuáles son esas herramientas cognitivas que constituyen esa “racionalidad mejorante”, que el niño va construyendo? Puche destaca cinco herramientas que todo individuo puede desarrollar: inferencia, clasificación, planificación, experimentación y formulación de hipótesis.

De estas herramientas, la que más directamente se liga a lo que hemos acordado asociar al proceso de razonamiento matemático es la capacidad de hacer inferencias, sin embargo en este nivel conviene resaltar la importancia de plantear alternativas didácticas que promuevan acciones como planear y realizar un experimento, el extraer información de éste y de contrastar lo que se piensa con la información que el experimento arroja como forma de darle validez a una idea que se ha anticipado.

Algo semejante sucede con las cantidades continuas. Los niños empiezan con ideas primitivas sobre lo mucho y lo poco aplicado a cantidades de magnitudes, como longitud (largo-corto), de líquido o de cantidad de materia. Igual que en el caso de las cantidades discretas, sus evaluaciones están estrechamente ligadas a la percepción, de manera que éstas variarán con los cambios en las configuraciones especiales. El largo de una piola o un camino hecho con palillos variará según sea como estos objetos aparezcan a sus ojos. La cantidad de líquido se modifica según sea la forma del envase, etc. Todavía no aparece en ellos la idea de hacer evaluaciones introduciendo un tercer elemento que facilite la comparación y menos que éste cumpla el papel de una unidad que se itera. Sus evaluaciones se hacen por comparación directa y en estos casos lo hacen de manera poco eficiente; aunque en algún momento logran cuantificar un poco más allá de lo mucho y lo poco y aparecen expresiones muy cercanas a una relación, pero que aún no lo son, como “aquí hay más y aquí hay menos”. Por ejemplo, en algunas ocasiones intentan comparar el largo de dos objetos poniéndolos juntos, pero pasan por alto que la comparación exige la igualación de uno de sus extremos.

En cuanto a su pensamiento científico, observa los fenómenos y describe las situaciones desde los eventos perceptibles, y puede interpretar eventos que suceden desde los elementos que los componen.

Tecnológicamente es un individuo que puede construir objetos con fines definidos desde actividades específicas y puede abordar problemas simples que se resuelven mediante la intervención de un objeto determinado que puede existir o puede diseñarse.

Sus actividades se centran en el manejo de la comprensión del funcionamiento y la recreación del mismo, al tiempo que se va avanzando en la consolidación del trabajo entre pares como punto de partida para lograr el trabajo colaborativo.

Sus avances en cuanto a la descripción deben ser notorios pues al establecer relaciones con el contexto e identificarlas, debe ser capaz de describirlas en atención a conseguir una reconstrucción de los eventos observados.

De acuerdo con las orientaciones de la Secretaría de Educación Distrital, se presenta un esquema del proceso mencionado para el estudiante de ciclo 1.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

Algunas Consideraciones

Es posible que en este ciclo la observación y la experiencia se muestren de una manera muy somera, dado que el estudiante comprende que la experiencia es

una narración, lo cual le lleva a agregar ingredientes, no necesariamente reales a complementar su experiencia, de la misma manera las observaciones pueden estar disminuidas o aumentadas de acuerdo con la relación que haya entre éstas y la parte emocional del estudiante, de manera que será necesario generar acciones que permitan que el estudiante enfoque su trabajo descriptivo narrativo en el contexto que se le solicita.

Una posibilidad para el trabajo en este ciclo, consiste en el uso de la necesidad como generadora de saberes, es decir, manejar actividades que requieran estrictamente de cumplir con trabajos para ser entregados a familiares o autoridades, lo cual motivará al estudiante a construir en su trabajo.

Por otra parte, hay que mencionar que la colaboración es una actividad que se debe construir y que el estudiante debe avanzar en reconocer que los demás pueden aportar en el desarrollo de las actividades, de manera que será importante establecer mecanismos de trabajo por pares o equipos que persigan fines específicos y alcanzables, algunas actividades se muestran en la siguiente figura.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

CICLO DOS: CUERPO, CREATIVIDAD Y CULTURA.

En este ciclo los cambios que se producen son muy grandes en todos los aspectos de su desarrollo. Cada vez es más necesario tener una actitud abierta hacia las diferencias e ir hacia la concepción del aprendizaje que no aspire a igualar los conocimientos de los estudiantes en cantidad y calidad.

La importancia de los conocimientos previos se reconoce como un determinante de los aprendizajes posteriores, y aunque es en este ciclo donde se empieza a plantear el aprendizaje por áreas de conocimiento diferenciadas, para las niñas y los niños no tienen demasiado sentido y después puede convertirse en un inconveniente a la hora de aplicar lo que aprenden de manera creativa.

El aprendizaje de la lectura y de la expresión oral condicionan fuertemente los aprendizajes matemáticos aunque se realicen actividades de manipulación de manera sistemática. A veces una respuesta incorrecta procede de la falta de capacidad para comunicar las propias ideas. También es necesario tener en cuenta que el desarrollo de la percepción espacial se encuentra en una fase decisiva, la lateralidad, las relaciones de dirección y de situación tienen una intervención trascendental y se relacionan directamente con las nociones de tiempo y espacio que determinaran las comprensiones del mundo.

La capacidad de generalización está en proceso de desarrollo, es necesario brindarles a los estudiantes herramientas que les permitan construir sentido alrededor de situaciones significativas en donde estos procesos sean recurrentes. Es útil para el profesor de este ciclo entender que una expresión 13 + 24 puede llegar a ser para un niño la representación simbólica de un modelo de composición de partes. Un niño puede llegar a resolver problemas como “13 dulces de Pedro con 24 dulces de Alberto” y escribir la expresión 13 + 24, pero pensándolo como un problema singular, sin lograr ponerlo en relación con otros de la misma estructura particular. Este niño resolverá otros problemas como éste (de la misma estructura), pero sin ser consciente de la semejanza entre unos y otros. Como parte de apoyar al niño a progresar en su pensamiento aditivo, se debe ayudar a los niños a imaginar muchas situaciones que puedan resolverse como 13 + 24 y es por eso que conviene promover estas relaciones en el proceso de enseñanza. Este ejemplo ilustra que una condición esencial de un modelo consiste en dar cuenta de la representación de lo común en la variedad.

El niño de este ciclo ya ha pasado por la adquisición de la lengua materna, domina los códigos del lenguaje oral y utiliza esta herramienta para comprender el mundo, comunicarse y establecer relaciones con los otros. Esta adquisición de la lengua favorece su estructuración cognitiva y la disposición para hacerse a la construcción de algunas categorías o nociones básicas del saber matemático.

La experiencia cultural en la que la acción y el lenguaje han estado presentes le permiten al niño tener contacto y enfrentar situaciones del que-hacer matemático, asignarle nombre, hacer enunciaciones matemáticas, e incluso leer y escribir algunos signos convencionales con los cuales la cultura ha nominado y diferenciado significados que encierran conceptos matemáticos.

Los estudiantes que inician este ciclo poseen un pensamiento aditivo elemental, razón por la que aunque logran resolver algunos problemas aditivos simples, aún tienen dificultad para tomar conciencia de que pueden modelarse mediante la suma y la resta de naturales, especialmente aquellas situaciones inversas. En el caso de las situaciones multiplicativas sus elaboraciones son más rudimentarias, muchas veces las resuelven por sumas reiteradas. Conviene en este ciclo apoyar a los estudiantes para que progresivamente usen expresiones que involucren operaciones aditivas y multiplicativas entre naturales para modelar situaciones que requieran combinar operaciones aditivas, multiplicativas y combinaciones de éstas. De igual forma ayudarles a extender estas construcciones en contextos distintos a los de cantidades discretas, como contextos de medida y de combinatoria.

Ligado a los progresos de los niños en su capacidad de establecer relaciones y de operar con la composición y la descomposición, están las conquistas que alcanzan en el manejo de los sistemas de signos, para dar cuenta de la cantidad (tanto el forma verbal como escrita). Si bien por el entrenamiento escolar y por las experiencias en el mundo de la vida, el niño exhibe cierta habilidad para contar, leer y escribir números, y aunque logre escribir y leer expresiones como “435”, e incluso pueda decir que el “3” representa tres decenas y que el “4” , cuatro centenas, a partir del entrenamiento que recibe en la manejo de las tablas de columnas (centenas, decenas y unidades), esto no significa que necesariamente tenga una comprensión clara de unidad relativa y menos que entienda en su complejidad el sistema posicional de escritura de los números. Investigaciones en este campo muestran que aunque los niños puedan usar estas escrituras, les confieren significados más elementales que se adaptan a sus construcciones cognitivas.

Algo semejante a lo mencionado en lo aditivo, se dirá con relación a lo multiplicativo. El pensamiento multiplicativo en los niños no surge como

consecuencia del aprendizaje de las tablas de multiplicar, de la ejecución de los algoritmos de la multiplicación, la división y del aprendizaje de problemas prototípicos. Este pensamiento surge de enfrentar a los niños a situaciones que para un pensamiento adulto exigen la multiplicación y la división. En un comienzo los niños las resolverán mediante los recursos aditivos que poseen. De ahí que conviene orientar el trabajo del aula para que hagan estos procedimientos de forma más sistemática, intercambiando formas de proceder y produciendo escrituras cada vez más cortas, precisas y claras. Antes de enseñar los algoritmos para multiplicar y dividir, conviene invitar a los niños a seguir procedimientos de duplicación y de agrupaciones, que si bien todavía son procedimientos aditivos, están a medio camino de los propiamente multiplicativos. Es tradición que en segundo los niños tengan que aprender los algoritmos convencionales para multiplicar y dividir por una cifra,7 como suele decirse. Pero es preciso discutir la conveniencia de aplazar su enseñanza, al menos al grado siguiente, para permitir que el niño de segundo tenga suficiente tiempo de consolidar sus procedimientos convencionales.

De manera semejante a lo que se dijo con las tablas de la suma, se dirá que se puede ayudar a los niños a ganar habilidad para hacer cuentas desarrollando la capacidad de utilizar resultados conocidos de multiplicaciones para encontrar otros nuevos (el resultado de una multiplicación como 4*5 se puede obtener como el doble de 2*5; 7*6 se puede obtener de 7*5= 35 y sumarle una vez 7; 8*5 se puede obtener como la mitad de 8*10=80): Detrás de esta posibilidad está la de desarrollar la capacidad de componer el “operador veces8”.

Toda vez que la observación ha centrado la atención en el desarrollo del estudiante del primer ciclo, en este contexto es importante avanzar en la construcción de la explicación, de manera que el estudiante trabajará en aspectos que comienzan a ilustrar la relación entre ciencia y tecnología.

Es importante considerar que la reflexión sobre los eventos debe ser permanente, de manera que a partir de la observación y la descripción se pueda llegar a consolidar un evento desde el punto de vista de pensar sobre los elementos que intervienen y las funciones que cumplen.

El estudiante comenzará a avanzar en la diferenciación entre el objeto en sí mismo y el uso que se puede hacer de él, lo cual será uno de los primeros pasos en la consolidación de la diferencia entre objeto y artefacto.

7 Incluso en algunas instituciones, con la errada idea de elevar el nivel académico, enseñan los algoritmos a dos cifras o lo adelantan a primero.

8 En Castaño J y otros. (2003). Descubro la Matemática. La Matemática con Quetzacoa el lector(a) encontrará sugerencias sobre este asunto.

Es importante mantener presente que los estudiantes en este ciclo pueden llenar el aula y las actividades con fragmentos de experiencia que no necesariamente es personal, a diferencia del ciclo anterior donde el estudiante mencionaba su experiencia pero podía complementarla con aspectos ficticios, en este caso el estudiante puede incluir experiencias que son transmitidas mediante narraciones, de manera que será importante señalar que dicha experiencias puede complementarse con la vivencia que se hace sobre los fenómenos para consolidar explicaciones propias sobre los eventos.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

Como se ha mencionado anteriormente, la construcción de explicaciones, como un hecho científico tecnológico, hace parte de la posibilidad que tiene el estudiante de relacionarse con su contexto y conocerlo, sin embargo la explicación debe construirse en el contexto de lo colaborativo, que puede dar cuenta de la relación que se establece entre pares como complemento.En este momento puede recurrirse a elementos de construcción de circuitos simples o deconstrucción de maquinas pequeñas como posibilidad para observar, describir y explicar.Es importante avanzar en la consolidación de la idea de artefacto desde la interacción entre el sujeto, el contexto y la cultura, razón por la cual pueden

retomarse varios ejemplos de uso de maquinas simples en la cotidianidad o el análisis del impacto que éstas tiene sobre los eventos.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

Por último, es importante señalar que el manejo integrado del artefacto y la reflexión sobre el mismo, puede conducir al reconocimiento de la relación entre situación problema y solución, de manera que el estudiante avance en la comprensión de la tecnología como una expresión cultural de la solución de situaciones o la viabilización de las mismas.

En lo comunicativo, este ciclo es un muy buen escenario para construir la lectura y consolidar la escritura como eventos propios del trabajo científico tecnológico, de manera que será valioso pensar en actividades que involucren la medición y la

representación simbólica de eventos o cantidades, es decir el manejo de la simbología científica y de las representaciones tecnológicas en el plano del diseño. Lo argumentativo sigue siendo importante durante todo el proceso, de manera que los estudiantes seguirán construyendo argumentos frente a las situaciones que los involucren, razón por la cual es de vital importancia construir escenarios de aprendizaje en lo concreto, reconocer fenómenos reales, reconstruir diseños de maquinas existentes o sugerir estructuras que viabilicen el funcionamiento habitual de las cosas.

CICLO TRES: INTERACCION SOCIAL Y CONSTRUCCION DE MUNDOS POSIBLES

Al inicio de este ciclo los estudiantes están en un momento en que se acostumbran a presentar conflictos especiales. No se pueden olvidar los cambios físicos que se producen en estas edades que pueden influir en las pautas de comportamiento, en los niveles “eufóricos” o “bajos” que se alternan con ciclos imprevisibles.

Las reacciones frente a diferentes situaciones pueden ser muy diversas, de manera que se dan posiciones muy cerradas o muy abiertas que linden, en algunas ocasiones, con la insolencia. Los chicos y chicas se sienten más grandes, más inseguros, con más capacidad para cuestionarlo todo (incluso el aprendizaje) y presentan, por tanto, un desarrollo emocional generador de inseguridades y cambios constantes de actitud.

Estas características hacen que con frecuencia la supuesta autonomía, la buena organización y la madurez creciente que algunos esperarían de un “alumnado mayor” se queda en nada. A nivel personal todo el mundo ha recibido en esta etapa una fuerte influencia de lo que ha sido su aprendizaje previo o sus experiencias escolares anteriores, y a nivel de grupo los desequilibrios entre ellos aumentan de manera espectacular más aun en lo que se refiere a las matemáticas.

Si a todo esto le unimos el incremento de presión de trabajo por parte de todas las áreas y la intensificación de la dedicación exigida, ya podemos ver que el panorama, requerirá una atención especial por parte de todos los maestros.

Pero como todo en la vida, en esta etapa también hay una parte positiva que es necesario explorar al máximo: los estudiantes tienen un potencial de aprendizaje abstracto creciente; su capacidad de análisis de alternativas y de decisiones sobre

resoluciones posibles de situaciones o problemas es enorme; su trabajo cooperativo con otros alumnos, el espíritu de grupo y de ayuda se ve aumentado, y la capacidad de estudio autónomo o de hacer trabajos individuales tiene un margen mucho más amplio que el de la etapa anterior.

No sobra aclarar que “motivar” en esta etapa es mucho más difícil que en las anteriores, ya que determinados valores dejan de serlo: la fe ciega en las maestras y los maestros, aquel querer satisfacer sus exigencias, da paso a menudo, a actitudes más críticas que ponen en duda los trabajos que hay que hacer o el porqué de las cosas.

En este ciclo se requiere favorecer experiencias para que los niños puedan distinguir entre no poder encontrar un hecho o un camino y la imposibilidad lógica de conseguirlo (“Eso no se cumple porque intenté hacerlo y no pude”). Se trata de enfrentar al estudiante de este ciclo ante apelaciones del tipo: “¿Es imposible hacerlo o usted no encontró cómo hacerlo?”. Diseñar experiencias en las que los estudiantes tengan la posibilidad de ofrecer contra argumentos que debatan la idea de los otros. Es común que cuando tienen cierta certeza de que la idea del otro es incorrecta, se limiten a oponérsele mostrando la propia en la que confían. Se trata de hacer notar a los estudiantes de este ciclo la limitación de “contra argumentos” del tipo “lo suyo es falso porque lo mío es verdadero”. Los estudiantes de este nivel generalmente tienen poco control de las cadenas de razones que producen. Se trata de ayudarlos para que realicen encadenamientos de razones y tengan mayor control de ellas, pretendiendo que las recuperen y reflexionen sobre ellas. En esta etapa los niños y niñas recorren un camino que no consiste en la enseñanza aislada de temas, sino en construcciones y reconstrucciones constantes; en las que sus capacidades cognitivas se complejizan en el ejercicio auténtico de pensar al tratar de resolver problemas. En este constante ejercicio se apropia comprensivamente de las herramientas conceptúales de las matemáticas.

Al niño de este ciclo le resulta difícil dar razones sobre la validez de sus ideas. Cuando se logra ponerlo en situación de dar cuenta de la validez de sus ideas se observan varias formas de reaccionar: se soporta en la evidencia empírica “yo lo hice así y me salió”, “porque yo lo hice así”; en razones de autoridad “es así porque así me lo sé”, o “porque así me lo enseñaron”; o simplemente en lugar de ofrecer una justificación se limita a describir el procedimiento seguido ya que ante requerimientos del profesor del tipo “explique por qué”, o ante la necesidad de dar una justificación responde describiendo lo que hizo, como si entendiera que dar una razón de la validez de lo que dice y hace es mostrar que lo que dice y hace es correcto. Se trata entonces en este ciclo de promover situaciones en la que el

estudiante empiece a elaborar razones sencillas que sustenten la validez de sus ideas.

Los estudiantes de este ciclo están en capacidad de estudiar secuencias de datos e identificar patrones de variación que tienen una variable única. Se trata entonces de apoyarlos a encontrar los patrones en secuencias que incluyen dos variables, y para que en situaciones sencillas no se limiten a resolver el caso particular, sino den cuentan de una regla general que justifique todos los casos posibles. Además que ellos ofrezcan razones que justifiquen la necesidad lógica del patrón.Si bien en la literatura es común vincular el proceso de modelación al estudio de hechos más o menos amplios, que involucran múltiples variables, conviene aceptar con un significado un poco más débil que el niño del ciclo 3 da muestra de acciones de modelación cuando no sólo se le enfrenta a resolver un problema en el que debe obtener la respuesta a esa situación particular, sino que se busca que incluya muchos otros casos distintos de múltiples contextos que se pueden resolver por el mismo procedimiento; dicho en otros términos, el niño de éste ciclo modela cuando se le ayuda a tomar conciencia de la estructura común que comportan muchas situaciones, razón por la que tiene sentido resolver con un mismo procedimiento.

En el proceso de ayudar a los estudiantes a hacer representaciones variadas de una misma situación (representaciones gráficas tipo imagen o gráficos de barras, o tabulares), apoyarlos para que logren conocer que situaciones distintas pueden tener formas semejantes de representación (la variaciones de los valores crecen o decrecen, o crecen y decrecen siguiendo los mismos patrones de variación).

Los diagramas de árbol en este ciclo son una potente herramienta para modelar situaciones que requieren la composición de correspondencias múltiples (situaciones que requieren la sucesión de varias multiplicaciones), estas son el punto de entrada para acceder a un pensamiento potenciativo.

Finalizando este ciclo conviene hacer representaciones tabulares y gráficas de tipo cartesiano de situaciones sencillas de proporcionalidad directa e inversa. Ayudándolos a observar los modificaciones que tienen estas representaciones al modificar las relaciones de variación entre ellas (por ejemplo, ¿cómo varían las representaciones que se hacen de una situación de variación directa al modificar el valor de variación por unidad).

Los niños en este ciclo ya han consolidando la capacidad de decodificación del sistema de escritura del lenguaje natural y ya han accedido al reconocimiento y diferenciación de algunos símbolos matemáticos básicos (notación y enunciación

numérica, aproximación a la sintaxis del sistema decimal de numeración, lectura de signos para representar algunas operaciones y relaciones entre naturales). Así mismo con la lectura y escritura de algunos textos los niños acceden a las estructuras semánticas, sintácticas y pragmáticas, por ejemplo pueden identificar y enunciar en los textos descriptivos, algunas marcas espaciales, en los textos narrativos marcas temporales y en los textos argumentativos cierto tipo de conectores causales. En relación con los problemas matemáticos, por ejemplo, producto de la enseñanza escolar, los niños ya se han hecho a marcas textuales que les permiten saber que se trata de una estructura textual propia de las matemáticas y, más aún, que les indican cuando hay que sumar, restar o multiplicar. Sería recomendable plantearle diversidad de textos propios de las matemáticas que les permitan hacerse a la construcción y reglas propias de estos, sin que se les enseñen las claves para resolverlos; esto en cambio de ser un facilitador del pensamiento lo limita. Así mismo los niños de este nivel manejan algunos léxicos particulares y utilizan algunas estrategias que garantizan ciertos niveles de coherencia y cohesión a nivel local, que evidencian que su pensamiento aún requiere herramientas cognitivas y lingüísticas para hacerse a la totalidad y la globalidad de los textos. Estos avances sin embargo los preparan para asumir textos más formalizados de las matemáticas.

Es característico que los niños de este ciclo puedan resolver problemas y representar simbólicamente expresiones matemáticas que los conducen a su solución. Sin embargo, aún se les dificulta explicar verbalmente los procedimientos utilizados para su resolución. En parte esto ocurre ya que cada vez que se enfrenta a la comprensión de un concepto con mayor complejidad se requiere reconstruir lo ya logrado en un nivel inferior. Aunque pueden representar mentalmente la situación, interpretarla y resolverla correctamente aún se les dificulta la toma conciencia de lo que hacen y comunicarlo. Se recomienda entonces que los docentes enfrenten a los estudiantes a múltiples y variadas experiencias que les permitan ir complejizando su comprensión y consolidar ese pensamiento particular. Valerse del lenguaje para narrar, describir, explicar, argumentar y representar simbólicamente los conceptos.

Ya en este ciclo se pueden plantear problemas de enunciación verbal desligados de la acción en aquellas operaciones más elementales, pero cada vez que se introduce un nuevo concepto se ha de volver a enunciarlos de manera directa y a vincularlos con la experiencia concreta. Cada vez que se encuentren avances y se hayan consolidado conceptos básicos se pueden introducir problemas que se enuncian de manera indirecta; en los que las acciones o eventos se presentan en un orden no lineal como ocurre en la acción. Poco a poco a lo largo de este ciclo conviene ayudar a los estudiantes a comprender problemas con la misma

estructura lógica pero con enunciaciones diversas, que tengan formatos lingüísticos más “formales”. Así mismo, se les invita a inventar y resolver problemas que superen los estereotipados como problemas con diferentes estructuras lingüísticas, problemas abiertos y/o cerrados, problemas que recojan las experiencias de los sujetos, hasta problemas desligados del contexto. Esto favorece el que los estudiantes manifiesten un lenguaje con poder generalizador, cada vez menos ligado a las situaciones concretas (independencia del contexto). En otras palabras, un lenguaje más formalizado.

Es indispensable en este ciclo incorporar en el aprendizaje de los conceptos matemáticos diversas formas de registro y representación, haciendo especial énfasis en la necesidad de hacer conversiones de un sistema de representación a otro. El paso de representaciones basadas en el lenguaje común a representaciones esquemáticas y más resumidas (representaciones “simbólicas” a mitad de camino), apoyadas en diagramas, dibujos o gráficas hasta lograr ‘verdaderas’ representaciones simbólicas, ayuda a los estudiantes a complejizar sus construcciones. El uso de diferentes sistemas de representación para expresar la misma idea (la mitad, un medio, ½, 0,5) ayuda a los estudiantes a hacer transformaciones y conversiones de las representaciones y amplía el significado de los conceptos.

Es importante invitar a los estudiantes a participar, discutir y colaborar en la construcción y negociación de un conocimiento compartido. Es preciso promover formas de conversación en la que aparece la crítica y donde haya lugar al cuestionamiento, al debate y a la justificación. Situaciones dialógicas en donde se hace visible el razonamiento, se establecen acuerdos y se toman decisiones conjuntamente para construir nuevas elaboraciones más consistentes. Favorecer estas situaciones requiere asumir un estilo de comunicación no autoritario, ni unidireccional, en que se da lugar al respeto, la tolerancia, el reconocimiento y valoración de las diferentes perspectivas.

Respecto al desarrollo del pensamiento científico y tecnológico, el estudiante se vuelca sobre situaciones que le implican pensar más profundamente sobre ellas, de manera que, la intención es trascender la explicación y mezclarla con la comprensión del evento para concretar el análisis. Es importante que los estudiantes se enfrenten a situaciones que les impliquen necesariamente reflexionar sobre todos aquellos elementos que las componen.

Es por esto fundamental, que se avance en la comprensión del fenómeno como un complejo que reúne intenciones y construcciones, de manera que se comienza a comprender desde lo tecnológico el proceso, es decir los eventos que subyacen a

un resultado, de manera que ontológicamente se reconocerá el artefacto y su teleología para, a partir de él, reconstruir el proceso.

En el contexto de lo específicamente científico, se recapitulará la experiencia, no como un evento cultural, sino como un evento de reconstrucción o representación, de manera que el estudiante puede abordar experimentos desde la intención y las razones para construirlos, así como para reconocer el contexto histórico que los rodea y comprender las razones que llevaron a pensar en la actividad que se desarrolla.

Es importante que se viabilicen la originalidad y la creación como eventos científico tecnológicos desde el punto de vista de analizar los procesos para reconstruirlos y mejorarlos.

Nótese la relación existente entre el proceso y el experimento, de manera que el estudiante estará en todo momento en actividades que le permitan identificar procesos científicos y tecnológicos que resultan en artefactos tecnológicos cargados culturalmente desde la intención.

Finalmente es importante reconocer que el trabajo desde las intencionalidades del estudiante debe complementarse con la producción de material completo es decir, que se muestre la reflexión, el diseño y la construcción, como parte esencial de la comprensión de los procesos.

A nivel argumentativo, el estudiante podrá construir argumentos que trascienden la experiencia propia o construida culturalmente y comienzan a incluir explicaciones desde la reflexión propia sobre el evento involucrando también elementos clave desde el punto de vista de analizar y sintetizar la información que se obtiene del análisis, lo cual va construyendo pensamiento científico y tecnológico como una respuesta a inquietudes que se deben caracterizar por completo desde su naturaleza para comprenderlas y abordarlas.

Tomado de: SED (2007). Colegios Públicos de Excelencia para Bogotá. Orientaciones para el campo de ciencia y tecnología. Serie Cuadernos de Currículo.

CICLO CUARTO: PROYECTO DE VIDA

Nos centramos en la consolidación del proceso y su relación con el sistema, de manera que el estudiante abordará la visión sistémica de la ciencia y la tecnología para comprenderlas como actividades humanas que son complementarias.

La argumentación será el escenario en el que se construyan los saberes de manera colaborativa, por eso la construcción grupal desde el conocimiento escrito puede ser una estrategia que viabilice los procesos que se quieren desarrollar.

Pueden en este ciclo usarse como base las reflexiones en torno a la equifinalidad de un sistema y las propiedades emergentes del mismo, de manera que el estudiante pueda analizar procesos o revisar organismos desde la comprensión de las funciones y el reconocimiento de dicha función.

Partimos de reconocer que la equifinalidad se evidencia en el funcionamiento del sistema, de manera que todo sistema tiene una intención de función y de uso, así que los artefactos y los elementos que lo componen también contribuyen con dicha equifinalidad así su proceso individual sea diferente y no necesariamente el teleológicamente pensado.

Dado lo anterior será posible reflexionar con los estudiantes en torno a la integración del análisis de varios sistemas y la ejemplificación de las funciones de los componentes para señalar que las finalidades del sistema son puntuales, pero que las finalidades de los componentes (estructurales o funcionales) son parte de la finalidad general, de manera que pueden equipararse con la finalidad del sistema mismo.

El análisis de motores o maquinas complejas viabiliza dicha comprensión y facilita que el estudiante incorpore los elementos desde la visión complementaria entre ciencia y tecnología.

En el caso de lo científico particular, la hipotetización hace parte clave de este ciclo, dado que el estudiante tiene los elementos para reconocer un sistema y suponer su comportamiento bajo condiciones diseñadas con fines particulares así que los sistemas de prueba y los comportamientos ideales serán escenarios deseables para el desarrollo de sus actividades.

En este caso es importante trabajar en torno a la sistematización y el registro de datos desde lo numérico, es decir el trabajo en el manejo de variables y de representaciones sintéticas de las observaciones, pueden emplearse en el registro de campo o de experimentación, como punto de partida para reconstruir los hechos que se presencian.

De acuerdo con lo anterior es importante la construcción de la ciencia y la tecnología desde su perspectiva histórica, asociada con los modelos de pensamiento que han sido escuela desde la epistemología, reconocer las características desde el iluminismo, la modernidad, la lógica, la racionalidad y el escepticismo, serán escenarios que entrarán a complementar las actividades del aula desde la perspectiva del pensamiento en relación con el producto, es decir la relación que existe entre historia y desarrollo.

CICLO CINCO: PROYECTO PROFESIONAL Y LABORAL

En el ciclo quinto finalmente se cuenta con un estudiante que maneja el pensamiento desde lo complejo haciendo acercamientos hacia las realidades científico tecnológicas desde la comprensión de un sistema de explicaciones que es compartido por un grupo de personas pero que no representa realidades absolutas.

Los elementos desde la teorización juegan un papel importante para integrar los ciclos anteriores frente a propuestas novedosas, puesto que el estudiante centrará su atención en el estudio de necesidades, y el diseño y construcción de alternativas frente a ellas.

En cuanto a la visión sistémica desde la tecnología, es importante que ahora aparezcan en el debate académico las estructuras disipativas del sistema, para que con base en ellas se comprenda el funcionamiento complejo del sistema y la relación entre este y el ambiente en el que se desarrolla.Aparece también la integración de elementos desde lo electrónico, comprender la energía y sus aplicaciones y las implicaciones de la energía en los procesos científicos y tecnológicos, el diseño de circuitos de ondas como una posibilidad para simplificar la interacción entre componentes de un sistema terminará por concretar la visión de síntesis que tiene la ciencia.

Algunas de las preguntas que pueden orientar el trabajo del ciclo son las siguientes:

¿Cómo modifico mi entorno?¿Cómo dinamizo los procesos sin incrementar el gasto energético de ellos?

Las anteriores preguntas abordan problemas desde diferentes perspectivas pues involucran el conocimiento de lo sistémico en torno al mejoramiento de situaciones que implican al hombre y sus necesidades sin impactar de manera negativa en el entorno.

Se comprende el éxito de la actividad como el éxito energético y su equilibrio.

En el sentido de la composición, el estudiante empleará los elementos del análisis para comprender la composición desde el punto de vista estructural y llegar a manejar la función desde lo particular enfocándose en el conocimiento de las unidades que componen los elementos del sistema.

Lo anterior con el fin de contextualizar en el sistema las estructuras que funcionan como disipadoras, la idea de que todo sistema cerrado o abierto cuenta con la estructuras que le permiten comunicación con el exterior o con otros sistemas y la comprensión del sistema como una unidad, darán cuenta del manejo de la síntesis y el análisis construidos desde elementos de la observación y la experiencia que ahora se integran frente al análisis de procesos y diseño de estructuras.

El estudiante de ciclo quinto habrá de reconocer los elementos que integran su entorno y la manera en que estos actúan e interactúan, establecerá análisis desde la función y la estructura con el fin de entender el funcionamiento del sistema global, es decir comprenderá que el sistema no se limita a la expresión sino que es una estructura dinámica que permite comprender los procesos, los artefactos y los objetos desde lo teleológico y lo ontológico.

Finalmente habrá construido la visión integral y complementaria de ciencia y tecnología como actividades humanas y por lo tanto culturales que están mediadas por un pensamiento histórico que orienta las necesidades. Comprenderá que la ciencia y la tecnología como leguajes que permites establecer comunicación con el contexto y con los demás sujetos y podrá verse como un diseñador de soluciones y no como un consumidor de soluciones que responden a situaciones a las que puede resultar ajeno, mediará su conocimiento con el de otros reconociendo que los saberes se construyen en la interacción y no en la individualidad.

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