Doe 3 Completamente Al Azar

7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar

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Diseo de experimentos p. 1/111

Diseo completamente al azar


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Ejemplo

Suponga que tenemos 4 dietas diferentes que queremoscomparar. Las dietas estn etiquetadas A,B,C y D.Estamos interesados en estudiar si las dietas afectan la tasade coagulacin en conejos. La tasa de coagulacin es el

tiempo en segundos que tarda una cortada en dejar desangrar.Tenemos 16 conejos para el experimento, por lo que usaremos4 en cada dieta.

Los conejos estn en una jaula grande hasta que se inicie elexperimento, momento en que se transferirn a otras jaulas.

Cmo asignamos los conejos a los cuatro grupos

tratamiento?


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Mtodo 1

Supongamos que los conejos se atrapan "al azar". Atrapamoscuatro conejos y los asignamos a la dieta A. Atrapamos otroscuatro y los asignamos a la dieta B y as sucesivamente.

Dado que los conejos fueron "atrapados al azar", estoproducir un diseo completamente al azar.


4/111Diseo de experimentos p. 4/111

Mtodo 1

No es necesariamente cierto.

Los primeros cuatro conejos atrapados pueden ser los ms

lentos y dbiles, aquellos menos capaces de escapar. Estopuede sesgar los resultados.

Si los resultados del experimento dan desventaja a la dieta A,no habr forma de determinar si los resultados son a

consecuencia de la dieta A o del hecho de haber asignado losconejos ms dbiles a esa dieta por nuestro "proceso dealeatorizacin".


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Mtodo 2

Atrape a todos los conejos y etiqutelos del 1 al 16.

Seleccione cuatro nmeros aleatorios (sin reemplazo) del 1 al

16 y ponga los conejos con esa etiqueta en una jaula querecibir la dieta A.

Entonces, seleccione otros cuatro nmeros aleatorios y pongalos conejos correspondientes en otra jaula que recibir la dieta

B.

As sucesivamente hasta tener cuatro jaulas con cuatroconejos en cada una.


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Mtodo 2

No hay repeticiones.

El diseo es un diseo completamente al azar pero no tiene

repeticiones.

Hay 16 conejos, pero los conejos en cada jaula no sonindependientes. Si un conejo come mucho, los otros en lajaula tienen menos para comer.

La unidad experimental es la menor unidad de materialexperimental a la cual se le aplica un tratamiento en formaindependiente. En este caso, las jaulas son las unidades

experimentales. Para un diseo completamente al azar conrepeticiones, cada conejo debe estar en su propia jaula.


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Mtodo 3

En una urna ponga las letras A,B,C y D en pedazos de papelseparados.

Atrape un conejo, saque un pedazo de papel al azar de la urna

y asigne el conejo a la dieta que indique el papel. Noreemplace el papel. Atrape el segundo conejo y seleccione alazar otro pedazo de papel de la urna de los tres que quedan.Asigne el conejo a la dieta correspondiente.Continue hasta que los primeros cuatro conejos seanasignados a una de las cuatro dietas. De esta manera, todoslos conejos lentos tienen diferentes dietas.

Coloque otra vez los cuatro pedazos de papel en la urna y

repita el procedimiento hasta que los 16 conejos estnasignados a una dieta.


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Mtodo 3

Este no es un diseo completamente al azar.

Ya que se seleccionaron los conejos en bloques de 4, y cadauno asignado a una de las dietas, el diseo es el bloques alazar.

El tratamiento es Dieta pero se ha bloqueado a travs delgrado de "atrapabilidad".


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Mtodo 4

Atrape a todos los conejos y mrquelos del 1 al 16. Ponga 16piezas de papel en una urna, con las letras A, B, C y Drepetidas cuatro veces cada una.

Ponga otros 16 pedazos de papel numerados del 1 al 16 enotra urna. Tome un pedazo de papel de cada urna. El conejocon el nmero seleccionado es asignado a la dietaseleccionada.

Para hacer ms fcil de recordar cul conejo tiene cul dieta,las jaulas se acomodan como se muestra abajo:

A A A A

B B B BC C C C

D D D D


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Mtodo 4

El mtodo 4 tiene algunas deficiencias. La asignacin de losconejos a los tratamientos es un diseo completamente alazar. Sin embargo, el arreglo de las jaulas crea un sesgo enlos resultados.

Puede haber cambios climticos y de luz que afecten de formadiferencial a los tratamientos, de tal manera que, cualquierdiferencia observada no puede ser atribuida a la dieta, sinoque podra ser resultado de la posicin de la jaula.

La posicin de la jaula no es parte del tratamiento, pero debeser considerada. En un diseo completamente al azar, todoslos conejos tienen la misma probabilidad de recibir cualquier

dieta y en cualquier posicin de la jaula.


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Mtodo 5

Marque las jaulas del 1 al 16.

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 154 8 12 16

Ponga 16 pedazos de papel en una urna, numerados del 1 al

16. En otra urna ponga 16 pedazos de papel, marcados conlas letras A, B C y D.

Atrape un conejo. Seleccione un nmero y una letra de cadaurna. Ponga el conejo en la jaula indicada por el nmero

escogido y asgnelo a la dieta indicada por la letra.Repita sin reemplazo hasta que todos los conejos hayan sidoasignados a una dieta y una jaula.


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Mtodo 5

Si, por ejemplo, el primer nmero seleccionado fu 7 y laprimera letra B, entonces el primer conejo se pone en la jaula7 y se alimenta con la dieta B.

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 B 11 15

4 8 12 16


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Mtodo 5

Un ejemplo de asignacin completa es el siguiente:

1 C 5 A 9 B 13 D

2 D 6 B 10 D 14 C

3 C 7 B 11 A 15 D4 A 8 A 12 C 16 B

Note que el diseo completamente al azar no toma en cuenta

las diferencias en la altura de las jaulas. Es solamente unaasignacin completamente al azar.

En este ejemplo vemos que la mayora de los conejos con ladieta A estn en jaulas de la parte de abajo y los de la dieta Destn en la parte superior. Un diseo completamente al azarsupone que estas posiciones no producen una diferenciasistemtica en la respuesta (tiempo de coagulacin).

Si creemos que la posicin afecta la respuesta, deberamosusar un diseo de bloques al azar.


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Diseo completamente al azar, un factor

Ejemplo: Disminucin del crecimiento de bacterias en carnealmacenada.

La vida en estante de carne almacenada es el tiempo en queel corte empacado se mantiene bien, nutritivo y vendible.

El empaque estndar con aire del medio ambiente tiene unavida de 48 horas. Despus se deteriora por contaminacin

bacterial, degradacin del color y encogimiento.

El empaque al vaco detiene el crecimiento bacterial, sinembargo, se pierde calidad.

Estudios recientes sugieren que al controlar ciertos gases dela atmsfera se alarga la vida en estante.


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Hiptesis de investigacin: Algunas formas de gasescontrolados pueden mejorar la efectividad delempacamiento para carne.

Diseo de tratamientos: Un factor con 4 niveles:

1. Aire ambiental con envoltura plstica2. Empacado al vaco

3. Mezcla de gases:s 1% CO (monxido de carbono)

s 40% O2 (oxgeno)

s 59% N (nitrgeno)

4. 100% CO2 (bixido de carbono)

Diseo experimental: Completamente al azar.


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Tres bisteces de res, aproximadamente del mismo tamao (75grs.) se asignaron aleatoriamente a cada tratamiento. Cadabistec se empaca separadamente con su condicin asignada.

Variable de respuesta: Se mide el nmero debacterias psichnotropicas en la carne despus de 9das de almacenamiento a 4C.

Estas bacterias se encuentran en la superficie de lacarne y aparecen cuando la carne se ech a perder.La medicin fu el logaritmo del nmero debacterias por cm2.


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Cmo aleatorizar?

Se obtiene una permutacin aleatoria de los nmeros 1 a 12. Para esto se

toma una secuencia de nmeros de 2 dgitos de una tabla de nmerosaleatorios y se les asigna el rango que les corresponda.Por ejemplo:

# aleatorio 52 56 20 99 44 34 62 60 31 57 40 78

rango 6 7 1 12 5 3 10 9 2 8 4 11

trat 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

u.e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

trat 1 3 2 4 2 1 1 4 3 3 4 2


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Modelo estadstico para el experimento

El modelo estadstico para estudios comparativos supone quehay una poblacin de referencia de u.e. En muchos casos la

poblacin es conceptual. En el ejemplo, es posible imaginaruna poblacin de carne empacada.

Cada unidad de la poblacin tiene un valor de la variable derespuesta, y, la cual tiene media y varianza 2.

Se supone una poblacin de referencia para cada tratamientoconsiderado en el estudio, y las variables en el experimento sesuponen seleccionadas aleatoriamente de dicha poblacin de

referencia, como resultado de la aleatorizacin.

Nota. Para estudios observacionales, suponemos que lasunidades observadas se seleccionaron aleatoriamente decada una de las poblaciones.


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Modelo estadstico lineal para un diseo completamente alazar.

Modelo de medias:

yij = i + ij i = 1, 2, . . . , t j = 1, 2, . . . , r

donde

yij es la observacin de la j-sima u.e. del i-simo tratamiento,i es la media del i-simo tratamiento,ij es el error experimental de la unidad ij.Suponemos que hay t tratamientos y r repeticiones en cada

uno.

En el ejemplo de la carne empacada, tenemos:


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bistec trata obser log yij Modelo

miento vacin (conteo/cm2)

6 1 1 7.66 y11 1 + 11

7 1 2 6.98 y12 1 + 121 1 3 7.80 y13 1 + 13

12 2 1 5.26 y21 2 + 21

5 2 2 5.44 y22 2 + 22

3 2 3 5.80 y23 2 + 23

10 3 1 7.41 y31 3 + 31

9 3 2 7.33 y32 3 + 32

2 3 3 7.04 y33 3 + 338 4 1 3.51 y41 4 + 41

4 4 2 2.91 y42 4 + 42

11 4 3 3.66 y43 4 + 43


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yij = + ij yij = i + ij


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Pregunta de investigacin: Hay ms crecimiento bacterialcon algunos mtodos de empacado que con otros?

Pregunta estadstica: Cul modelo describe mejor losresultados del experimento?

Se requiere un mtodo para estimar los parmetros de los dos

modelos y con base en algun criterio objetivo determinar culmodelo o hiptesis estadstica se ajusta mejor a los datos delexperimento.


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Diseo completamente el azar, un factor

Los estimadores de mnimos cuadrados son aquellos queresultan de minimizar la suma de cuadrados de los erroresexperimentales.

Si los errores experimentales son independientes con mediacero y varianzas homogneas, los estimadores de mnimoscuadrados son insesgados y tienen varianza mnima.

Nota. El muestreo aleatorio en los estudios observacionales yla aleatorizacin en los experimentales aseguran la suposicinde independencia.


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Estimadores para el modelo completo

yij = i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , r

ij = yij i

SSEc =

ti=1

rj=1

2ij =

ti=1

rj=1

(yij i)2

La SSEc es una medida de qu tan bien se ajusta el modelo a

los datos.

Queremos determinar los estimadores i tales que seminimice esta SSEc.

Vamos a tener t ecuaciones normales, una para cadatratamiento, encontradas a partir de derivar la SSEc conrespecto a cada i e igualarlas a cero.


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Por lo tanto,

i = yi i = 1, . . . , t

Entonces,

SSEc =t

i=1

rj=1

(yij i)2

=t

i=1

rj=1

(yij yi.)2

=t

i=1

r

j=1

(yij

yi.

)2

E i d l d l l


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La varianza muestral del i-simo tratamiento es:

S2i = rj=1 (yij yi.)2

r 1es una estimador de 2 de los datos del i-simo grupo.

S2 = ti=1 rj=1 (yij yi.)

2t(r 1) =

SSEct(r 1)

es un estimador combinado (pooled) de 2 de todos losdatos del experimento.

Es un buen estimador si podemos hacer la suposicin de que2 es homognea en todos los grupos.


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Estimadores para el modelo reducido


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yij = + ij

ij = yij

SSEr =t

i=1r

j=1 2ij =t

i=1r

j=1 (yij )2

t

i=1

r

j=1

(yij

)2

=

2

t

i=1

r

j=1

(yij

)

igualando a cero

t

i=1

r

j=1

=t

i=1

r

j=1

yij

rt = y..

=y..rt

= y..



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Entonces,

SSEr =t

i=1r

j=1 (yij )2

=t

i=1r

j=1 (yij y..)2

Para el ejemplo,

= y.. =70.80

12= 5.90


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Modelo reducido Modelo completo

yij = + ij yij = i + ijObservado Estimado Diferencia Estimado Diferencia

Tratamiento y (yij ) i (yij i)Comercial 7.66 5.90 1.76 7.48 0.18

6.98 5.90 1.08 7.48 -0.507.80 5.90 1.90 7.48 0.32

Vaco 5.26 5.90 -0.64 5.50 -0.24

5.44 5.90 -0.46 5.50 -0.06

5.80 5.90 -0.10 5.50 0.30

Mezcla 7.41 5.90 1.51 7.26 0.15

7.33 5.90 1.43 7.26 0.07

7.04 5.90 1.14 7.26 -0.22CO2 3.51 5.90 -2.39 3.36 0.15

2.91 5.90 -2.99 3.36 -0.45

3.66 5.90 -2.24 3.36 0.30

SSEr = 33.7996 SSEc = 0.9268

Diseo completamente al azar un factor


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Siguiendo con el ejemplo:

Modelo completo yij = i + ij SSEc =

i

j(yij yi.)2 = 0.9268

Modelo reducido yij = + ij SSEr =ij(yij y..)2 = 33.7996

Diferencia:

SSEr SSEc =i j

(yij y..)2 i j

(yij yi.)2

haciendo lgebra

=i

j

(yi. y..)2 = ri

(yi. y..)2

En el ejemplo: SSEr SSEc = 32.8728


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Grados de libertad. Representan el nmero de piezas deinformacin independientes en las sumas de cuadrados.

En general, es el nmero de observaciones menos el nmerode parmetros estimados de los datos.

Sea n = rt, el tamao de muestra total.

As, SStotal =tirj(yij y..)2 donde y.. es el estimador de, tiene n 1 g.l.

SSE =

ti

rj(yij yi.)2 se estimaron t parmetros

(1

, 2

, . . . , t) por lo tanto tiene n

t g.l.

SSt = SStotal SSE = (n 1) (n t) = t 1 g.l.


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Tabla de Anlisis de Varianza


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Si suponemos ij N ID(0, 2) i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ren el modelo completo yij = i + ij

Entonces, yij N ID(i, 2).Se puede demostrar que:

SStotal2

=

i

j(yij y..)2

2 2n1

SSE2

=ij(yij yi.)2

2 2nt

Cuando H0 : 1 = 2 = . . . = t es cierta

SSt2

=

i r(yi. y..)22

2t1



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Por el Teorema de Cochran (Montgomery, 2001, pg. 69), SSty SSE son independientes, por lo tanto cuando H0 es cierta,

F0 =SSt/

2(t 1)SSE/2(n

t)

=CMt

CM E

Ft1,nt

Adems, E(CMt) = 2 + 2t =

2 cuando 2t = 0 que escuando H0 es cierta. Es decir,

E(CMt) = E(CM E) cuando H0 es cierta

E(CMt) > E(CM E) cuando H0 no es cierta

Entonces, si CMt > CM E, o sea, valores grandes de F0llevan a rechazar la hiptesis nula H0 : 1 = 2 = . . . = t.Por lo tanto, la regin de rechazo es:

F0 > F

t1,nt



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ANOVA

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

Tratamientos t 1 SSt CMt = SStt1 CMtCME 2 + 2t

Error n t SSE CM E = SSEnt 2

Total n

1 SStotal

SSt =

ti=1

r (yi. y..)2

SSE =t

i=1

rj=1

(yij yi.)2

SStotal =

t

i=1

r

j=1 (yij y..)

2



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En el ejemplo de empacado de carne:

F.V. g.l. SS CM F P r > F

trat 3 32.8728 10.958 94.55 0.000error 8 0.9268 0.1159

total 11 33.7996

Por lo tanto, se rechaza la hiptesis H0 : 1 = 2 = . . . = 4,es decir, hay algn mtodo de empaque que tiene diferentecomportamiento en promedio.



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Se quieren comparar t niveles de un factor, lo que implica ttratamientos y se dispone de ni u.e. para el tratamiento i,i = 1, . . . , t. Hay dos situaciones:

1. Los t tratamientos son escogidos especficamente por elinvestigador. En esta situacin deseamos probar hiptesisacerca de las medias de los tratamientos y nuestrasconclusiones se aplicarn solamente a los niveles delfactor considerados en el anlisis. Las conclusiones no se

pueden extender a tratamientos similares que no fueronexplcitamente considerados. Este es el modelo deefectos fijos.

2. Los t tratamientos son una muestra aleatoria de una

poblacin de tratamientos. En esta situacin nos gustarapoder extender las conclusiones (las cuales estn basadasen la muestra de tratamientos considerada) a todos lostratamientos de la poblacin. Este es el modelo de

efectos aleatorios.



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A las cantidades n1, n2, . . . , nt se les llama repeticiones decada tratamiento.

Si ni = r

i se dice que el diseo es balanceado.

yij es la respuesta de la u.e. j del tratamiento i,i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni.



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Estructura de los datos.

tratamientos1 2 3 ... t

y11 y21 y31 ... yt1y12 y22 y32 ... yt2

y13 y23 y33 ... yt3

. . . ... .

. . . ... .

. . . ... .

y1n1 y2n2 y3n3 ... ytnt

y1. y2. y3. ... yt. totalesy1. y2. y3. ... yt. medias


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Las observaciones en cada una de estas muestras se puedenrepresentar por el modelo lineal simple

yij = i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

con ij error experimental en la observacin j-sima deltratamiento i-simo.

Estamos suponiendo independencia entre y dentro de las

muestras, es decir, ij son independientes y ij N(0, 2).



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Otra forma de verlo

Como suponemos que las u.e. son homogneas, es decir, elpromedio de respuesta de todas las u.e. es el mismo () antesde aplicar los tratamientos, y si se observan en condicionessimilares, las respuestas las podemos modelar como

yij = + ij

Modelo de efectos


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Entonces al aplicar el tratamiento i-simo a un grupo (detamao ni) de u.e. se introduce un efecto (i) de esetratamiento en las variables por observar.

El modelo se puede escribir como:

Modelo de efectos

yij = + i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

donde

es la media general, comn a todas las u.e.

i es el efecto del tratamiento i-simo


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Modelo de efectos


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El modelo de efectos implica que se empieza el experimentocon u.e. con la misma capacidad de respuesta () y con lamisma varianza (2).

La aplicacin de los tratamientos tiene el efecto de alterar lasmedias, que ahora son i = + i, pero supone que no semodifican las varianzas.

En este caso, la hiptesis a probar es:H0 : 1 = 2 = . . . = t = 0

Ha : i = 0 para al menos una i

Modelo de efectos


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Estimadores de mnimos cuadrados:

yij = + i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

SSE =t

i=1

nij=1

2ij =t

i=1

nij=1

(yij i)2

t

i=1

ni

j=1

(yij

i)2 =

2

t

i=1

ni

j=1

(yij

i)

i

t

i=1ni

j=1(yij i)2 = 2

ni

j=1(yij i) i = 1, . . . , t


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Modelo de efectos


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Hay un nmero infinito de posibles restricciones que sepueden usar para resolver las ecuaciones normales. Entonces

Cul usar?

No importa ya que en cualquier caso

+ i = yi.

Aunque no podemos obtener estimadores nicos de losparmetros del modelo de efectos, podemos obtenerestimadores nicos de funciones de estos parmetros.

A estas funciones se les llama funciones linealeslinealmente estimables.

Diseo completamente al azar, Tabla de ANOVA


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F.V. g.l. SS CM F E(CM)

Tratamientos t 1 SSt CMt = SStt1 CMtCME 2 +

i ni(i)2t1

Error n t SSE CM E = SSEnt 2

Total n 1 SStotal

SSt =

t

i=1 ni (yi. y..)

2

=

t

i=1

y2i.

ni y2..

n

SSE =t

i=1ni

j=1(yij yi.)2 =

t

i=1ni

j=1y2ij

t

i=1y2i.ni

SStotal =t

i=1

nij=1

(yij y..)2 =t

i=1

nij=1

y2ij y2..n

n =

ti=1

ni

Intervalos de confianza


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i = yi. S2yi. =

S2

nicon S2 = CM E = 2 Syi. =

CM E

ni

Como suponemos que

yij N

i, 2

entonces

yi.

Ni, 2/nicomo estimamos la varianza:

yi. iSyi.

tnt

Por lo tanto, un intervalo del (1 )100% de confianza para ies

yi. t1/2nt (Syi.)

Contrastes


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En el ejemplo del empacado de carne tenamos:

Comercial Al vaco CO,O2,N CO2

i = yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

S2 = CM E = 0.116 con 8 g.l.

Una vez que rechazamos la hiptesis H0 : 1 = 2 = 3 = 4

Qu sigue?


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Contrastes


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Los contrastes para las preguntas anteriores son:

s comercial vs. atmsfera artificial

C1 = 1 1

3 (2 + 3 + 4)

s vaco vs. gases

C2 = 2 1

2 (3 + 4)

s mezcla de gases vs. CO2 puro

C3 = 3

4

Contrastes


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El estimador del contraste

C =

t

i=1kii es C =

t

i=1kii =

t

i=1kiyi.

Si suponemos que

yij N

i,

2

entoncesyi. Ni, 2/ni

Por lo tanto,

C =

ti=1

kiyi. Nt

i=1kii, 2

ti=1

k2ini

Contrastes


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Ya que:

Et

i=1 kiyi. =t

i=1 kiE(yi.) =t

i=1 kii

Vt

i=1kiyi. =m.indep

t

i=1k2i V (yi.) =

t

i=1k2i

2

ni= 2

t

i=1k2ini

V

C

= 2

t

i=1k2ini

= CM E

t

i=1k2ini


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Contrastes

Ad


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Adems,

C C2t

i=1 k2i /ni

N(0, 1)

Si H0 :ti=1 kii = 0, es decir, H0 : C = 0 es cierta, entonces,C2

2

ti=1 k

2i /ni

21

Sea

SSc =C2

ti=1 k

2i /ni

entonces

SSc/2

SSE/2(n t) =C2/t

i=1 k2i /ni

CM E F1,nt

Por lo tanto, para probar H0 : C = 0 se rechaza si Fc > F1,n

t

Contrastes


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El nmero de contrastes que se pueden hacer es muy grande,sin embargo, esta tcnica tiene su mayor utilidad cuando seaplica a comparaciones planeadas antes de realizar elexperimento.

Una clase de contrastes, conocida como Contrastesortogonales (como son los del ejemplo anterior) tienenpropiedades especiales con respecto a la particin de sumasde cuadrados y grados de libertad y con respecto a su relacin

entre ellos. La ortogonalidad implica que un contraste noaporta informacin acerca de otro.

Dos contrastes, con coeficientes {ki}, {li} son ortogonales si

ti=1

kilini

= 0

Contrastes


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Para t tratamientos existe un conjunto de t 1 contrastesortogonales, los cuales hacen una particin de la suma decuadrados de tratamientos en t 1 componentesindependientes, cada uno con 1 g.l. Por lo tanto las pruebasrealizadas con contrastes ortogonales son independientes.

En el ejemplo anterior, los contrastes son ortogonales.

k1 k2 k3 k4C1 1 -1/3 -1/3 -1/3

C2 0 1 -1/2 -1/2

C3 0 0 1 -1


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Otro ejemplo

Los siguientes datos son los tiempos de coagulacin de


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Los siguientes datos son los tiempos de coagulacin de

sangre para 24 animales que fueron aleatoriamente asignadosa una de cuatro dietas (A,B,C,D)

Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D

62 63 68 5660 67 66 62

63 71 71 60

59 64 67 61

65 68 63

66 68 64

63

59


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Comparaciones mltiples


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En muchas situaciones prcticas, se desea comparar pares demedias. Podemos determinar cules medias difieren probandolas diferencias entre todos los pares de medias detratamientos.

Es decir, estamos interesados en contrastes de la forma

= i j i = j

Lo primero que se nos viene a la mente es hacer una prueba tpara cada par de medias, es decir, probar

H0 : i = j

Ha : i = j i = j



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Si suponemos varianzas iguales, se tiene la estadstica deprueba

tc =yi. yj.

sp1ni

+ 1nj

y se rechaza H0 al nivel de significancia si

tc t/2ni+nj2 tc t1/2ni+nj2

Esto es equivalente a decir que se rechaza H0 si

|tc| = |yi. yj.|sp

1ni

+ 1nj

> t1/2ni+nj2

o equivalente a

|yi. yj.| > t1/2ni+nj2 sp1

ni

+1

nj


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La probabilidad de cometer al menos 1 error tipo I es

P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 (1 c)n

es decir, la mxima probabilidad de cometer al menos un errortipo I entre las n comparaciones es:

E = 1 (1 c)n de aquc = 1

(1

E)

1/n



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# de pruebas E cuando c cuandoindep. n c = 0.05 E = 0.05

1 0.05 0.05

2 0.098 0.025

3 0.143 0.017

4 0.185 0.013

5 0.226 0.010

10 0.401 0.005

Por el razonamiento anterior es que han surgido una serie depruebas de diferentes autores para hacer comparaciones

mltiples tratando de mantener laP(error tipo I del experimento) =

Bonferroni


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E ncn comparaciones, la igualdad se d cuando las pruebas sonindependientes.

Entonces,

c = E/n

Si queremos E = 0.05 entonces, c = 0.05/n y se hacen las

pruebas t para los pares de medias con un nivel designificancia c en cada una de ellas.

Tukey


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Conocida como la prueba de la Diferencia Mnima SignificativaHonesta (DMSH)

DMSH = q

t,glerrorCM Er si ni = r iDMSH = qt,glerror

CM E

2

1

ni+

1

nj

Si |yi. yj.| > DM SH se rechaza H0 : i = j .q1,2 se obtiene de las "tablas de rangos estudentizados".


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Student-Newman-Keuls (SNK)


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Se calcula un conjunto de valores crticos

kp = qp,fSyi. p = 2, 3, . . . , t

donde qp,f es el percentil 1 de la distribucin del rangoestudentizado para el nmero p de medias involucradas en lacomparacin y f g.l. del error, y Syi. =

CME

r

Para el ejemplo de la carne empacada:

p 2 3 4

q.05p,8 3.26 4.04 4.53

kp 0.642 0.796 0.892

Student-Newman-Keuls (SNK)


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yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

Medias ordenadas:

y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48

|y4. y1.| = 4.12 > k4|y4. y3.| = 3.90 > k3|y4. y2.| = 2.14 > k2

|y2.

y1.

|= 1.98 > k3

|y2. y3.| = 1.76 > k2|y3. y1.| = 0.22 < k2(N.S.)

Duncan


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Es similar a la de SNK. Los promedios de los t tratamientos seordenan en forma ascendente y el error estndar de cadapromedio se determina con

Syi. =CM E

rsi ni = r i

Para muestras de diferente tamao, se reemplaza la r por lamedia armnica (nh) de los

{ni}

nh =t

ti=1

1ni

Duncan


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De las tablas de Duncan de rangos significativos se obtienenlos valores de rp,f para p = 2, 3, . . . , t.

p es el nmero de medias involucradas en la comparacin, es el nivel de significancia y f los grados de libertad del error.

Se calculan

Rp = rp,fSyi. p = 2, 3, . . . , t

Para el ejemplo de la carne empacada:

p 2 3 4

r.05p,8 3.26 3.39 3.47

Rp 0.642 0.668 0.684

Duncan


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yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

Medias ordenadas:

y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48

|y4. y1.| = 4.12 > R4|y4. y3.| = 3.90 > R3|y4. y2.| = 2.14 > R2

|y2.

y1.

|= 1.98 > R3

|y2. y3.| = 1.76 > R2|y3. y1.| = 0.22 < R2(N.S.)

Dunnett

Para comparar las medias de los tratamientos con la media del


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tratamiento control.Suponga que el tratamiento t es el control, queremos probarlas hiptesis

H0 : i = tHa : i = t i = 1, 2, . . . , t 1

H0 : i = t se rechaza si|yi. yt.| > D = d(t 1,glerror)CM E

r

con d(k, ) es el percentil 1 de las tablas de Dunnett.Para el ejemplo de la carne empacada, el tratamiento 1 es elcontrol.


yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

Dunnett


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d0.05,3,8 = 2.42

D = 2.42CM E

r = 0.477|y2. y1.| = 1.98 > D|y3. y1.| = 0.22 < D(N.S.)|y4. y1.| = 4.12 > D

Scheff

Scheff (1953) propuso un mtodo para probar todos los

posibles contrastes


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posibles contrastes.

Considere cualquier contraste

C =

ti=1

kii estimado con C =

ti=1

kiyi.

con error estndar

SC =CM E t

i=1

k2ini

La hiptesis nula pra el contraste H0 : C = 0 se rechaza si

|C| > S(E)donde

S(E

) = SC(t 1)FEt1,g.l.error


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Anlisis de residuales

Si los errores experimentales estn correlacionados el error


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Si los errores experimentales estn correlacionados, el errorestndar estar mal estimado. La independencia se justificaaleatorizando las u.e. a los tratamientos en experimentos yseleccionando muestras aleatorias en estudios

observacionales.

Si no hay homogeneidad de varianzas el estimador de 2 esmalo, aunque se ha visto en estudios que si el diseo es

balanceado no efecta mucho. Tambin si los tamaos demuestra mayores corresponden a las poblaciones con mayorvarianza.


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Anlisis de residuales, Homogeneidad de varianzas

Prueba de Bartlett

2 2 2


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H0 : 21 =

22 = . . . =

2t

Ha : no H0

Estadstica de Prueba:

U =1

C

(n t)ln(2) i

(ni 1)ln(2i )

donde 2 =i

(ni 1)2in t

2i =j

(yij yi.)2ni 1

C = 1 +

1

3(t 1) i

1

ni 1 1

n tH0 se rechaza si U >

2,t1 (prueba sensible a falta de

normalidad)

Anlisis de residuales, Homogeneidad de varianzas

Prueba de Levene


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Se calcula

dij = |yij yi.| i = 1, . . . , t j = 1, . . . , nidonde yi. es la mediana de las observaciones en eltratamiento i.

Se evala si el promedio de estas observaciones dij es igual

para todos los tratamientos, es decir, se hace un ANOVA paraprobar igualdad de medias de dij .

Prueba de Welch

La prueba F usual es robusta ante heteroscedasticidad(varianzas diferentes) si los tamaos de muestra son muy


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(varianzas diferentes) si los tamaos de muestra son muyparecidos o, si los tamaos de muestra ms grandescorresponden a las poblaciones con varianzas ms grandes.

Sin embargo, se han construdo algunas procedimientos deprueba de igualdad de medias (H0 : 1 = 2 = . . . = t) comopor ejemplo el desarrollado por Welch, conocido como laprueba de Welch, utilizada cuando no hay homoscedasticidad.

Sean Wi = ni/2i y

=

i Wiyi./

i Wi y

=i

(1 Wi/W.)2

ni 1donde W. =

i Wi.

Prueba de Welch

Entonces


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Entonces

Fc =

i Wi

(yi.y)2t1

1 + 2(t 2)/(t2 1)

tiene aproximadamente una distribucin F con1 = t 1 y 2 = (t2 1)/3 grados de libertad.H0 : 1 = 2 = . . . = t se rechaza al nivel de significancia si

Fc > F1,2 .

Transformaciones

Se utilizan las transformaciones para cambiar la escala de lasobservaciones para que se cumplan las suposiciones del


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observaciones para que se cumplan las suposiciones delmodelo lineal y dar inferencias vlidas del anlisis de varianza.

Cuando las transformaciones son necesarias, se hace elanlisis y se hacen las inferencias en la escala transformadapero se presentan tablas de medias en la escala de medicinoriginal.

1. Distribucin Poisson. Mediciones que son conteos(nmero de plantas en cierta rea, insectos en plantas,accidentes por unidad de tiempo) tienen distribucin Poisson.

La transformacin x =

y + a, a

es la adecuada.

Transformaciones

2. Distribucin binomial. Observaciones del nmero dexitos en n ensayos independientes tiene distribucin binomial


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tos e n e sayos depe d e tes t e e d st buc b o a(proporcin de semillas germinadas, proporcin de plantascon flores en un transecto). = y/n

La transformacin x = sin1 es la adecuada.Las transformaciones del tipo potencia alteran la simetra oasimetra de las distribuciones de las observaciones.

Si suponemos que la desviacin estndar de y es proporcionala alguna potencia de la media, es decir,

y

Una transformacin de las observaciones, del estilo:

x = yp

Transformaciones

Da una relacin

x p+1


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x

Si p = 1 entonces la desviacin estndar de la variabletransformada x ser constante, ya que p + 1 = 0 y x 0.

La transformacin de Box-Cox

x = (yp 1)/p p = 1x = logey p = 1

El estimador de p se encuentra maximizando

L(p) =

1

2loge [CM E(p)]

donde CM E(p) es el cuadrado medio del error del anlisis devarianza usando la transformacin x = (yp 1)/p para el valordado p.

Transformaciones

Se determina CM E(p) para un conjunto de valores de p, se


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(p) p j pgrafica CM E(p) vs. p y se toma el valor de p que correspondeal valor mnimo de CM E(p).

JMP calcula la transformacin de Box-Cox, da una grfica de pvs. CM E y da la opcin de guardar los datos transformadosen el archivo.

La dificultad de utilizar esta transformacin es la interpretacin.

Ejemplo

Los siguientes datos son el nmero de errores en un examen

de sujetos bajo la influencia de dos drogas. El grupo 1 es unt l ( i d ) l j t d l 2 l di l


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j j g g pgrupo control (sin droga), a los sujetos del grupo 2 se les di ladroga 1, a los del grupo 3 la droga 2 y a los del grupo 4 las dosdrogas.

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4(sin droga) (droga 1) (droga 2) (dos drogas)

1 12 12 13

8 10 4 14

9 13 11 14

9 13 7 17

4 12 8 11

1 10 10 141 12 13

5 14

Ejemplo

Correr el ejemplo con R y JMP.


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1. Probar homogeneidad de varianzas. (Bartlett y Levene)

2. Hacer prueba de Welch

3. Probar con algunas transformaciones, checandonormalidad y homogeneidad de varianzas

ej2_1_messy.jmp

ej2_1_messy.txt

Relacin entre Regresin y ANOVA

Cualquier modelo de ANOVA se puede escribir como un


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modelo de regresin lineal.

Suponga el ejemplo de la carne empacada

tratamiento comercial vaco mezcla CO2

7.66 5.26 7.41 3.51

6.98 5.44 7.33 2.91

7.80 5.80 7.04 3.66

Un diseo completamente al azar con un solo factor (mtodode empacado) con 4 niveles (4 tratamientos) y 3 repeticiones

en cada tratamiento (diseo balanceado).


Modelo ANOVA completamente al azar un solo factorb l d


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balanceado:

yij = i + ij = + i + ij i = 1, 2, 3, 4j = 1, 2, 3El modelo de regresin equivalente es:

yij = 0 + 1x1j + 2x2j + 3x3j + ij

i = 1, 2, 3, 4

j = 1, 2, 3


Donde las variables x1j , x2j , x3j estn definidas como:


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x1j = 1 si la observacin j es del tratamiento 10 en otro casox2j =

1 si la observacin j es del tratamiento 2

0 en otro caso

x3j =

1 si la observacin j es del tratamiento 3

0 en otro caso


La relacin entre los parmetros del modelo ANOVA y el

modelo de regresin es:


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Si la observacin viene del tratamiento 1, entoncesx1j = 1, x2j = 0, x3j = 0 y el modelo de regresin es

y1j = 0 + 1(1) + 2(0) + 3(0) + 1j

= 0 + 1 + 1j

y el modelo ANOVA es:

y1j = 1 + 1j = + 1 + 1j

Por lo tanto:

0 + 1 = 1 = + 1


Similarmente, para las observaciones del tratamiento 2

y2j = 0 + 1(0) + 2(1) + 3(0) + 2j


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y2j 0 + 1(0) + 2(1) + 3(0) + 2j

= 0 + 2 + 2j

y la relacin entre los parmetros es:

o + 2 = 2 = + 2

Lo mismo para las observaciones del tratamiento 3

y3j = 0 + 1(0) + 2(0) + 3(1) + 3j

= 0 + 3 + 3j

y la relacin entre los parmetros es:

o + 3 = 3 = + 3


Finalmente, considere las observaciones del tratamiento 4,para las cuales el modelo de regresin es:


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para las cuales el modelo de regresin es:

y4j = 0 + 1(0) + 2(0) + 3(0) + 4j

= 0 + 4j

entonces 0 = 4 = + 4

Por lo tanto,0 = 4

1 = 1 42

= 2

4

3 = 3 4


Entonces, para probar la hiptesis H0 : 1 = 2 = 3 = 4

tendramos que probar H0 : 1 = 2 = 3 = 0, lo cual se puedehacer con cualquier paquete de cmputo estadstico.


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q p q pPara el ejemplo de la carne empacada:

tratamiento y x1 x2 x3

1 7.66 1 0 01 6.98 1 0 0

1 7.80 1 0 0

2 5.26 0 1 0

2 5.44 0 1 0

2 5.80 0 1 0

3 7.41 0 0 1

3 7.33 0 0 1

3 7.04 0 0 1

4 3.51 0 0 0

4 2.91 0 0 0

4 3.66 0 0 0


Si pedimos una regresin y = 0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 + ypedimos una tabla de anlisis de varianza del modelo


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pedimos una tabla de anlisis de varianza del modeloyij = + i + ij las dos tablas ANOVA son idnticas.

Doe 3 Completamente Al Azar

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